13 Figuras y cuerpos geométricos ACTIVIDADES INICIALES 13.I.

¿Qué es un quilate? ¿Para qué es apropiado utilizar esta medida? El quilate es un término que se utiliza de dos maneras distintas: 1. Quilate de joyería: Unidad de masa usada, fundamentalmente, para pesar gemas y perlas. En este sentido, un quilate representó históricamente la ciento cuarentava parte de una onza, actualmente representa un peso de 200 miligramos en el Sistema Métrico Decimal. 2. Quilate de orfebrería: Designa la ley (pureza) de los metales utilizados en las joyas. En este sentido, un quilate de un metal precioso representa la 1/24 parte de la masa total de la aleación que lo compone (aproximadamente el 4,167%). Por ejemplo, si una joya hecha con oro es de 18 quilates, su aleación está hecha de 18/24 (ó 3/4) partes de oro y tiene una pureza del 75%; mientras que una pieza de 24 quilates está hecha de 24/24 partes de oro y es de oro puro. Como un quilate son 200 miligramos, la medida es apropiada para objetos con poca masa.

13.II.

En el texto se menciona que los diamantes también tienen usos industriales. Investiga cuáles son y pon varios ejemplos. Por su dureza y conductividad térmica, el uso industrial dominante de los diamantes es el corte, perforación, lijado y pulido. Los diamantes son insertados en la punta de taladros u hojas de sierras, o esparcidos en un polvo para su uso en aplicaciones de lijado y pulido.

13.III.

En la historia de la talla de los diamantes se han utilizado poliedros con diferente número de facetas, buscando siempre el máximo brillo. Haz una investigación histórica de estos poliedros y redacta un informe, indicando qué papel desempeñó el matemático y gemólogo Marcel Tolkowsky. Hasta principios del siglo XX, la evolución de la talla de los diamantes se desarrolló de forma empírica, siendo las mejoras el resultado de la práctica artesanal. En 1919, Marcel Tolkowsky realizó los primeros estudios técnicos teniendo en cuenta las propiedades ópticas del diamante y las reacciones de la luz al refractarse en su interior. Tras algunos retoques posteriores en la determinación de los ángulos de la corona y la culata, estableció las medidas “ideales” para la talla brillante. Dicho nuevo modelo de la talla fue rápidamente apreciado.

13.IV. ¿Qué significa la expresión “eres un diamante en bruto”? RAE: ~ bruto, o ~ en bruto. 1. m. El que está aún sin labrar. 2. m. Cosa animada y sensible, como el entendimiento, la voluntad, etc., cuando no tiene el lucimiento que dan la educación y la experiencia.

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ACTIVIDADES PROPUESTAS 13.1.

Indica cuál de estos poliedros es cóncavo y cuál es convexo. a) b)

a) Cóncavo

b) Convexo

13.2.

Actividad interactiva

13.3.

Copia y completa la siguiente tabla. Caras (C) Vértices (V) 4 4 Tetraedro

Aristas (A) 6

C+V 8

A+2 8

Cubo

6

8

12

14

14

Octaedro

8

6

12

14

14

Dodecaedro

12

20

30

32

32

Icosaedro

20

12

30

32

32

13.4.

Actividad resuelta

13.5.

Halla el elemento desconocido de los siguientes prismas. Las medidas están dadas en centímetros. a) b)

a

10

b

15 16

10 10

30

a) Hallamos la diagonal de la base: d = 10 2 + 10 2 = 200 Y ahora la diagonal del prisma, por el teorema de Pitágoras: a=

( 200 )

2

+ 10 2 = 300 = 10 3

b) Hallamos la diagonal de la base: d =

30 2 + 16 2 = 1156 = 34

Y ahora la diagonal del prisma, por el teorema de Pitágoras: b =

34 2 + 15 2 = 1381

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13.6.

Calcula el elemento desconocido en estas pirámides. Las medidas están dadas en centímetros. a) b) b

8

9 cm

a 8 cm

4

a) La base es un cuadrado, aplicamos el teorema de Pitágoras con catetos de 2 y 8 cm. 8 2 + 22 =

a=

68 = 2 17

b) Sea h la apotema del hexágono, por Pitágoras: h2 = 82 – 42  h = 6,93 cm b2 + 6,932 = 92  b2 = 33  b = 5,74 cm 13.7.

¿Qué cuerpo geométrico se obtiene al girar el trapecio sobre el eje e? Halla la generatriz. Se obtiene un tronco de cono. 4 cm Para el cálculo de la generatriz usamos el teorema de Pitágoras: g2 = 62 + 52 = 61  g = 7,81 cm 6 cm

e

13.8.

9 cm

¿Qué cuerpo geométrico se obtiene al girar el triángulo sobre el eje e? ¿Cuánto mide el radio de la base? Se obtiene un cono. El radio de la base es el cateto de longitud desconocida del triángulo. Usamos Pitágoras para hallarlo. 12 cm 122 = 72 + x2  x2 = 95  x = 9,75 cm e 7 cm

13.9.

Gira el rectángulo de la figura alrededor del eje a y del eje b.

1,5 cm

4 cm

b

a) ¿Qué figuras obtienes?

a

b) ¿Cuáles son sus radios?

a) Cilindros b) Al girar el rectángulo alrededor del eje a se obtiene un cilindro de radio 1,5 cm, y al girarlo alrededor del eje b se obtiene un cilindro de radio 2 cm. 13.10. Gira una circunferencia y un círculo, ambos de radio 5 centímetros, alrededor de su diámetro. ¿Hay alguna diferencia entre las dos figuras que obtienes? Sí, en la primera se obtiene una esfera ‘hueca’ de radio 5 cm, y en la segunda, una esfera ‘maciza’ de radio 5 cm.

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13.11 Actividad resuelta 13.12. Sobre los cuerpos del ejercicio 11, traza, si es posible, otros ejes de simetría. La pirámide y el cono no tienen más ejes de simetría.

13.13. Sobre los cuerpos del ejercicio 11, traza, si es posible, otros planos de simetría.

13.14. (TIC) Dibuja los cinco sólidos platónicos y determina cuántos ejes y cuántos planos de simetría tiene cada uno. Puedes ayudarte de un ordenador o de modelos físicos de estos sólidos.

Un tetraedro regular tiene: – Siete ejes de simetría: cuatro son rectas perpendiculares a cada cara por el vértice opuesto del tetraedro y tres son rectas que pasan por el punto medio de una arista y por el de la arista opuesta. – Seis planos de simetría: los formados por cada arista y el punto medio de la arista opuesta. Un hexaedro regular (o cubo) tiene: – Once ejes de simetría: tres que son rectas perpendiculares a cada par de caras paralelas por su punto medio, cuatro que son rectas que unen los centros de aristas opuestas y cuatro que son las rectas que unen cada vértice con su opuesto. – Nueve planos de simetría: tres paralelos a cada par de caras paralelas por el punto medio de las aristas que las unen, y seis formados por los pares de aristas opuestas. – Un centro de simetría. Un octaedro regular tiene: – Trece ejes de simetría: tres que son rectas que unen vértices opuestos, seis que son rectas que unen los centros de aristas opuestas y cuatro que son rectas que unen los baricentros de las caras opuestas. – Nueve planos de simetría: tres que contienen cada grupo de aristas coplanares y seis perpendiculares a cada par de aristas paralelas. – Un centro de simetría. Un dodecaedro regular tiene: – Treinta y un ejes de simetría: seis que son rectas que unen los centros de caras opuestas, quince que son rectas que unen los centros de aristas opuestas y diez que son rectas que unen cada par de vértices opuestos. – Quince planos de simetría, que contienen cada pareja de aristas opuestas coplanares – Un centro de simetría. Un icosaedro regular tiene: – Treinta y un ejes de simetría: seis que son rectas que unen los vértices opuestos, quince que son rectas que unen los centros de aristas opuestas y diez que son rectas que unen los baricentros de cada par de caras opuestas. – Quince planos de simetría, que contienen cada pareja de aristas opuestas coplanares. – Un centro de simetría.

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13.15. Actividad resuelta 13.16. (TIC) a) Dibuja la elipse que tiene por focos los puntos ( −2,0 ) y ( 2,0 ) , y por suma de distancias a los focos, 8 unidades. Para ello, traza pares de circunferencias de radios que sumen 8, centradas en los dos focos, y señala los puntos de corte entre cada par de circunferencias. b) ¿Por qué razón el procedimiento anterior produce la elipse buscada? a)

Y

1 F’

O

1 F

X

b) Porque esos puntos cumplen que la suma de distancias a los focos es constante. 13.17. (TIC) ¿Qué figura se obtiene al intersecar un cono con un plano tangente a él? Describe la figura e indica su nombre. Se obtiene una recta, salvo que el plano sea tangente a él en el vértice del cono, en cuyo caso se obtiene un punto. 13.18. La plaza de la figura está en Roma y su forma es la de una cónica. ¿De qué cónica se trata? De una elipse

13.19. Actividad resuelta 13.20. Halla el área lateral y total de estos cuerpos. Las medidas están dadas en centímetros. a) b) 5

10

12

4

 4h  2  = 12h = 12 4 2 − 2 2 = 12 12 = 41,57 cm ; Phexágono = 4 · 6 = 24 cm 2  

a) Ahexágono = 6 

Alateral = 10 · 24 = 240 cm2 Atotal = 240 + 2 · 41,57 = 323,14 cm2 b) Alateral = 2πrh = 2π · 2,5 · 12 = 188,4 cm2 Acilindro = 2πrh + 2πr2 = 2π · 2,5 · 12 + 2π · 2,52 = 188,4 + 39,25 = 227,65 cm2

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13.21. (TIC) Considera un prisma hexagonal y un cilindro de igual altura. La apotema de la base del prisma es igual al radio de la base del cilindro. ¿Cuál tiene mayor área total? Primero vamos a averiguar cuánto mide el lado del hexágono de la base para calcular el 2r 3 perímetro. Como la apotema mide igual que el radio del cilindro, se obtiene l = . 3 El perímetro del hexágono es p = 4r 3 . El área total del prisma hexagonal es AT = AL + 2 ABase = p·h + p·r = p(h + r ) = 4r 3(h + r ) . El área total del cilindro es AT = AL + 2 ABase = 2π·r ·h + 2πr 2 = 2π·r ( h + r ) . Tiene mayor área total el prisma hexagonal. 13.22. (TIC) Calcula las áreas lateral y total de los siguientes cuerpos, cuyas medidas están dadas en centímetros. a) b)

15

7 5

9

a) Se calcula la longitud de la arista lateral de la pirámide: l = Se calcula la longitud de la apotema de la pirámide: A = Alateral =

152 + 92 = 17, 49 cm.

17, 492 -4, 52 = 16, 9 cm.

9 · 6 · 16,9 p· A = 456,3 cm2 = 2 2

Se calcula la longitud de la apotema de la base: a = Apirámide =

92 -4,52 = 8, 4 cm.

p· A p · a 9 · 6 · 8,4 = 683,1 cm2 + = 456,3 + 2 2 2

b) Se calcula la longitud de la generatriz: g = 72 + 52 = 8, 6 cm. Alateral = πrg = π · 5 · 8,6 = 135,02 cm2 Acono = πrg + πr2 = 135,02 + π · 52 = 213,52 cm2 13.23. Actividad interactiva 13.24. Actividad resuelta 13.25. Calcula el volumen de los siguientes cuerpos. Las medidas están dadas en centímetros. a) b)

10 12

5

3

3

a) V = Abase · h = 5 · 3 · 10 = 150 cm3 b) V = 3,14 ⋅ 3 2 ⋅ 12 = 339,12 cm 3

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13.26. Halla el volumen de los siguientes cuerpos, cuyas medidas están dadas en centímetros. a) b) 10

15

12

a) V =

16

3,14 ⋅ 62 ⋅ 8 = 301,44 cm3 3

b) V =

162 ⋅ 15 = 1280 cm3 3

13.27. Halla el volumen de una esfera cuyo diámetro mide 12 centímetros: 4 π · r3 = 904,78 cm3 3 13.28. El volumen de una esfera es de 500 centímetros cúbicos. Calcula su radio y el área de su superficie.

V=

Se calcula la longitud del radio: r =

3

3V = 4π

3

3 · 500 = 4,9 cm  A = 4π · r2 = 304,65 cm2 4π

13.29. (TIC) Calcula el volumen de un huso esférico de 45º de una esfera de radio 10 centímetros

4 3 4 3 πr = 10 π  4188,79 cm3 3 3 Un huso esférico de 45º es una octava parte de la esfera, luego su volumen será: 1 4  V =  ·103 π   523,60 cm3 83  Vesfera =

13.30. Calcula el volumen de una esfera cuya superficie mide tanto como el área total de un cilindro de radio y altura 10 centímetros 4 3 πr . 3 Como el área de la superficie esférica mide tanto como el área total del cilindro de radio y altura 10 cm, podemos obtener r. El área total del cilindro es AT = AL + 2 ABase = 2πrh + 2πr 2 = 400π , y el área de la superficie

El volumen de la esfera es V =

esférica es A = 4πr 2 . Igualando obtenemos que r = 10, luego V =

4 π103 ≈ 4188 cm3. 3

13.31. Calcula el área y el volumen del cuerpo de la figura

A1 = π · 5 · 6 + π · 52 + 36 = 94,2 + 78,5 + 36 = 208,7 cm2 A2 = 2 · 4 · 5 + 2 · 5 · 6 + 6 · 4 = 40 + 60 + 24 = 124 cm2  A = 208,7 + 124 = 332,7 cm2 V1 =

3 cm

V2 = 5 · 4 · 6 = 120 cm3  V = 235,5 + 120 = 355,5 cm3

5 cm 4 cm

24

π · 52 · 6 π ⋅ r 2h = = 235,5 cm3 2 2

6 cm

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15 cm

13.32. Determina el área y el volumen del siguiente cuerpo.

10 cm

15 cm

7,5 cm

Se calcula la longitud de la generatriz del cono: g =

102 − 7,52 = 6,61 cm.

A1 = π · r · g = π · 7,5 · 6,61 = 155,67 cm2 A2 = 2π · r · h = 2π · 7,5 · 15 = 706,5 cm2 A3 = 2πr2 = 353,25 cm2  A = 155,67 + 706,5 + 353,25 = 1215,42 V1 =

π · 7,5 2 · 10 πr 2h = = 588,75 cm3 3 3

V2 = π · r2 · h = π · 7,52 · 15 = 2649,38 cm3 V3 =

2π · 7,5 3 2πr 3 = = 883,13 cm3  V = 588,75 + 2649,38 + 883,13 = 4121,26 cm3 3 3

13.33. Dos ciudades se encuentran situadas sobre dos meridianos que forman un ángulo de 225º. ¿Cuál será su diferencia horaria?

225 = 15 horas 15 13.34. (TIC) a) Halla el área de la superficie terrestre sabiendo que el radio de la Tierra mide, aproximadamente, 6 371 kilómetros b) Halla el volumen de la Tierra con los datos anteriores

a) A = 4 ⋅ 3,14 ⋅ 63712 = 509 805 890,96 km2 b) V =

4 3 4 πr = π 63713 = 1,08·1012 km3 3 3

13.35. ¿Verdadero o falso? Todos los meridianos son semicircunferencias máximas. Verdadero, ya que los extremos coinciden con los polos. 13.36. Recuerda un conocido acertijo: Un oso camina 10 kilómetros hacia el sur, 10 hacia el este y 10 hacia el norte, y se encuentra de nuevo en el punto de partida. a) ¿De qué color es el oso? b) ¿Dónde está el oso? (Atención: ¡hay más de una solución!)

a) El color del oso es blanco, por ser un oso polar. b) Los únicos lugares donde se cumple la condición de regresar al punto de partida son el Polo Norte y cualquier punto situado a 10 km al norte de los paralelos que midan 10 km de circunferencia, puesto que al hacer los 10 km al este volveremos al punto de partida. En cualquiera de estos casos estamos en uno de los polos, por lo que el oso será blanco (aunque en el Polo Sur no hay osos).

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13.37. La Tierra se divide en cinco zonas: dos frías, dos templadas y una cálida. Investiga entre qué paralelos se encuentra cada zona y dibújalos. Zona fría del norte

90º N

66,5º N

Zona templada del norte 23,5º N

0º

Zona cálida

23,5º S

Zona templada del sur 66,5º S 90º S

Zona fría del sur

13.38. Halla la distancia entre los dos puntos terrestres. A(10º O, 25º S) B(10º O, 55º S)

Como están en el mismo meridiano (10º O), la distancia en grados es 55º – 25º = 30º. dist =

2 ⋅ 3,14 ⋅ 30º ⋅ 6371 = 3 334,16 km 360º

13.39. Las coordenadas geográficas de una ciudad son (15º E, 45º N). ¿Cuál es la distancia al ecuador medida sobre el meridiano de dicha ciudad?

Como está a 45º N  dist =

2 ⋅ 3,14 ⋅ 45º ⋅ 6371 = 5 001,235 km 360º

13.40. Dibuja una esfera, sitúa sobre ella estos puntos y di a qué hemisferio pertenecen. a) ( 10ºE,90ºN) b) ( 30º O,45º S )

c) ( 45º O,45ºN)

d) ( 180ºE,0ºN)

a) Pertenece al hemisferio norte.

c) Pertenece al hemisferio norte.

N N 90º

O

E O

10º

45º

E 45º

S S

b) Pertenece al hemisferio sur.

d) Es un punto del Ecuador. N

N

180º

O O

E

E 45º

30º

S S

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Unidad 13 | Figuras y cuerpos geométricos

13.41. Se dice que dos puntos son antípodas si se sitúan en puntos diametralmente opuestos en una circunferencia máxima de la Tierra. a) ¿Cuál es la distancia entre un punto y sus antípodas? b) ¿Qué punto son las antípodas del punto (90º O, 0º N) c) ¿Y del punto (45º E, 45º S)

a) Media circunferencia máxima ( πr ) b) ( 90ºE,0ºN) c) (135º O,45ºN) 13.42. Investiga qué es la línea internacional de cambio de fecha, dónde se encuentra y cuál es su utilidad. La Línea Internacional de Cambio de Fecha es una línea imaginaria en la superficie de la Tierra trazada sobre el océano Pacífico, que coincide con el meridiano 180°. Cruzar esta línea implica cambiar de fecha, exactamente un día. La Tierra está dividida en husos horarios, que son cada una de las 24 áreas que tienen la misma definición de tiempo cronométrico. La hora de referencia la marca la zona GMT (Greenwich Mean Time). Si estás en zona GMT, te puedes mover hacia el este o hacia el oeste. Si vas hacia el este, la zona horaria se incrementa (hasta el huso GMT + 12), mientras que si vas al oeste, disminuye (hasta el GMT – 11). Es por ello que para mantener un sistema horario uniforme, se adelanta un día cuando pasamos del hemisferio occidental al oriental en el meridiano de 180º, y se retrasa un día cuando lo atravesamos en sentido contrario. El uso del meridiano 180º como la línea internacional del cambio de fecha fue ideado por sir Sandford Fleming en 1879 y reiterado en numerosos congresos, incluyendo el realizado en Washington en 1884, donde se decidió tomar como origen, tanto para la longitud geográfica como para los husos horarios, el meridiano de Greenwich. El meridiano 180º pasa por el estrecho de Bering entre Alaska y Siberia, haciendo que ambos lados del estrecho tengan diferentes fechas. La mayoría de su recorrido transcurre en medio del océano Pacífico, por zonas casi despobladas, de modo que no dificulta el mantenimiento de ninguna hora local. 13.43. ¿Qué proyección te parece más apropiada para representar Canadá? La proyección cónica 13.44. Comenta la distorsión del tamaño de Europa respecto a África en la proyección cilíndrica. África quedará menos distorsionada respecto de Europa por estar más cerca del Ecuador. 13.45. En la Tierra, los meridianos y paralelos se cortan perpendicularmente. Describe cómo se cortan estas líneas imaginarias en cada una de las tres proyecciones.

En la proyección cilíndrica, los paralelos y meridianos son líneas rectas que se cortan perpendicularmente. En la proyección cónica, los paralelos son semicircunferencias, y los meridianos son sus radios y se cortan perpendicularmente. En las proyecciones cenitales, los paralelos son circunferencias concéntricas, y los meridianos son radios y se cortan perpendicularmente.

Unidad 13 | Figuras y cuerpos geométricos

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EJERCICIOS Poliedros y cuerpos redondos 13.46. Un poliedro regular tiene 8 vértices y 12 aristas. Utiliza la fórmula de Euler para saber de qué poliedro se trata.

C + V = A + 2; C = A – V + 2  C = 12 – 8 + 2 = 6. Se trata de un cubo. 13.47. (TIC) Queremos construir con alambre el esqueleto de un tetraedro de 8 centímetros de arista. ¿Cuánto alambre necesitamos?

Como el tetraedro tiene 6 aristas, son necesarios 6 · 8 = 48 cm de alambre. 13.48. Dibuja un prisma pentagonal recto, e indica cuántas aristas, cuántas caras y cuántos vértices tiene.

El prisma tiene 15 aristas, 7 caras y 10 vértices.

13.49. Dibuja una pirámide hexagonal recta, e indica cuántas aristas, cuántas caras y cuántos vértices tiene.

La pirámide tiene 12 aristas, 7 caras y 7 vértices.

13.50. Dibuja la figura que se obtiene al hacer girar los siguientes polígonos sobre el lado que se indica. A

B

A

D

D

B

C

E

a) Lado AE

C

b) Lado AD

A

B

A

D

D

B

C

E

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Unidad 13 | Figuras y cuerpos geométricos

C

13.51. El triángulo rectángulo BAC de la figura se hace girar sobre el cateto AB. Dibuja el cuerpo que se obtiene y calcula la longitud de su generatriz.

Generatriz: g =

62 + 82 = 10 cm

C C

6 cm A

A

8 cm

B

B

13.52. ¿Qué nombre recibe la pirámide que tiene todas sus caras iguales?

Tetraedro 13.53. ¿Qué cuerpo geométrico se forma al unir los centros de las caras de un tetraedro?

Un tetraedro 13.54. (TIC) Las aristas del ortoedro de la figura miden 12, 4 y 3 centímetros, respectivamente. Halla la longitud de la diagonal d.

d = a2 + b2 + c 2 =

122 + 32 + 42 = 13 cm

4 d 3 12

13.55. Señala cuántas caras, aristas y vértices tiene una pirámide hexagonal recta, y comprueba que verifica la fórmula de Euler.

Una pirámide hexagonal recta tiene 7 caras, 12 aristas y 7 vértices. Se comprueba que verifica la fórmula de Euler: C + V = A + 2; 7 + 7 = 12 + 2; 14 = 14 13.56. Dibuja un poliedro cóncavo que no cumpla la fórmula de Euler

La fórmula de Euler: C + V = A + 2  10 + 15 ≠ 21 + 2

Unidad 13 | Figuras y cuerpos geométricos

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Simetría en poliedros y cuerpos redondos 13.57. Dibuja todos los ejes de simetría que se pueden trazar en un octaedro.

Un octaedro regular tiene trece ejes de simetría: tres que son rectas que unen vértices opuestos, seis que son rectas que unen los centros de aristas opuestas y cuatro que son rectas que unen los baricentros de las caras opuestas.

13.58. Queremos cortar la figura, de manera que quede dividido en dos trozos exactamente iguales. Dibuja todos los posibles planos de simetría para resolver el problema.

Hay dos formas diferentes de hacerlo. 13.59. Dibuja los planos de simetría de un prisma hexagonal recto.

En total hay 7 planos de simetría, he aquí algunos..

13.60. Dibuja los planos de simetría de un cubo que pasen por dos aristas opuestas. ¿Cuántos hay?

Hay 6 planos de simetría.

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Unidad 13 | Figuras y cuerpos geométricos

13.61. ¿Cuántos ejes de simetría tiene una esfera?

Tantos como se quiera siempre que pasen por el centro de la esfera. 13.62. Describe los planos de simetría de un cilindro.

Todos los planos que incluyan el segmento formado al unir los centros de las circunferencias de las bases son planos de simetría del cilindro. Además, el plano paralelo a las bases que divide al cilindro en dos partes iguales también es plano de simetría. 13.63. ¿Qué condición tienen que cumplir los planos de simetría de una esfera?

Que pasen por el centro de la esfera.

Cónicas 13.64. (TIC) Dibuja la elipse de focos F ( 1,2 ) y F ' ( −1, −2 ) , y cuya suma de distancias a los focos es 10. Y F 1 O

1

X

F’

13.65. (TIC) Representa la parábola de foco F ( 0,0 ) y directriz la recta y = 4 . Y

1 F

1

X

13.66. Representa, despejando y y dando valores a x, el lugar geométrico de los puntos (x, y) x2 y2 del plano que cumplen la ecuación + = 1 . ¿Qué figura describen? 25 9

Despejando y: y = ±

225 − 9 x 2 25 Y

x 0

y

5

0 0

−5

±3

1 1

X

Unidad 13 | Figuras y cuerpos geométricos

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13.67. (TIC) Dibuja el lugar geométrico de los puntos que equidistan del punto (2,0), y de la recta y = −2. Y

1

F

O

X

1

13.68. ¿Qué condiciones deben cumplir una elipse y una circunferencia para que coincidan? Pon un ejemplo. En una elipse, el semieje mayor tiene que coincidir con el semieje menor, y este, con el radio de la circunferencia. Los focos de la elipse tienen que coincidir y ser iguales que el centro de la circunferencia. Si la elipse tiene por focos el punto (0, 0) y el semieje mayor y el semieje menor miden ambos 2, quedaría una circunferencia de centro (0, 0) y radio 2.

Áreas y volúmenes de cuerpos geométricos 13.69. Calcula las áreas lateral y total de los siguientes cuerpos. 4 cm 5 cm

16 cm

4 cm

18 cm

8 cm 4 cm

9 cm

4 cm

12 cm

a) Alateral = 4a2 = 4 · 42 = 64 cm2; Acubo = 6a2 = 6 · 42 = 96 cm2 b) Alateral = p·h = (4 + 9 + 4 + 9)·16 = 416 cm2;Apoliedro = p·h + 2Abase = 416 + 2 · 9 · 4 = 488 cm2 c) Alateral = 2πrh = 2 · π · 5 · 8 = 251,2 cm2; Acilindro = 2πrh + 2πr2 = 251,2 + 2 · π · 52 = 251,2 + 157 = 408,2 cm2 d) Se calcula la longitud de la generatriz: g = 18 2 + 6 2 = 18,97 cm. Alateral = πrg = π · 6 · 18,97 = 357,39 cm2; Acono = πrg + πr2 = 357,39 + π · 62 = 470,43 cm2 13.70. Halla las áreas lateral y total y el volumen de estos cuerpos geométricos a)

b)

6 cm 8 cm

4 cm 6 cm

5 cm

a) A l = 20 ⋅ 6 = 120 cm 2 ; A t = 120 + 2 ⋅ 6 ⋅ 4 = 168 cm 2 ; V = 4 ⋅ 6 ⋅ 6 = 144 cm 3 b) A l = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 5 ⋅ 8 = 251,2 cm 2 ; A t = 251,2 + 2 ⋅ 3,14 ⋅ 5 2 = 408,2 cm 2 ; V = 3,14 ⋅ 5 2 ⋅ 8 = 628 cm 3

32

Unidad 13 | Figuras y cuerpos geométricos

13.71. Averigua las áreas lateral y total y el volumen de los siguientes cuerpos geométricos a) b)

30 cm

50 cm 40 cm

40 cm

20 cm

a) A l = 4 ⋅

40 2 ⋅ 30 40 ⋅ 36 = 16000 cm 3 = 2880 cm 2 ; A t = 2880 + 40 2 = 4480 cm 2 ; V = 3 2

b) A l = 3,14 ⋅ 20 ⋅ 53,85 = 3381,78 cm 2 ; A t = 3381,78 + 3,14 ⋅ 20 2 = 4637,78 cm 2 ; V=

3,14 ⋅ 20 2 ⋅ 50 = 20933,33 cm 3 3

13.72. Un prisma recto, cuya base es un rectángulo de dimensiones 5 y 6 centímetros, tiene una altura de 15 centímetros. Calcula su volumen.

V = Abase · h = 5 · 6 · 15 = 450 cm3 13.73. (TIC) La generatriz de un cono mide 6 centímetros y el radio de su base, 3 . Calcula: a) La altura del cono c) Su área total b) Su área lateral d) Su volumen

a) Se calcula la altura aplicando el teorema de Pitágoras:

62 -32 = 5,2 cm.

b) Alateral = πrg = π · 3 · 6 = 56,55 cm2 c) Acono = πrg + πr2 = 456,55 + π · 32 = 84,82 cm2 d) V =

π ⋅ r 2 ⋅ h 3,14 ⋅ 32 ⋅ 5,2 = = 48,984 cm3 3 3

13.74. (TIC) El volumen de un depósito cilíndrico es 1 005,31 metros cúbicos y el radio de su base mide 4 metros. Calcula la altura del depósito.

Se sustituyen los datos en la fórmula: Vcilindro = Abase · h; 1005,31 = π · 42 · h Se despeja la altura: h =

1005,31 = 20 cm. π · 42

13.75. Si el área total de un tetraedro es de 48 centímetros cuadrados, ¿cuánto mide el área de su base?

El área del tetraedro está formado por 4 triángulos equiláteros iguales, luego el área de la base es la de uno de los triángulos. Por tanto: Abase =

48 = 12 cm2. 4

Unidad 13 | Figuras y cuerpos geométricos

33

13.76. (TIC) Las pirámides de los faraones Keops y Micerinos se pueden encontrar muy próximas en Gizeh, aunque con proporciones bien distintas. La pirámide de Keops tiene una base cuadrada de lado 230 metros y de altura 147 metros. El lado de la base cuadrada de la pirámide de Micerinos es 105 metros y la altura 65. a) Calcula el volumen de cada una de ellas. b) ¿Cuántas veces es mayor la pirámide de Keops respecto a la de Micerinos?

a) Vpirámide Keops = Vpirámide Micerinos = b)

2302 · 147 = 2 592 100 m3 3 1052 · 65 = 238 875 m3 3

2592100 = 10,85 238875

El volumen de la pirámide de Keops es 10,85 veces mayor que el de la de Micerinos. 13.77. Un triángulo rectángulo, cuyos catetos miden 3 y 4 centímetros, respectivamente, gira alrededor del cateto mayor. Calcula el área total y el volumen del cuerpo que genera. 2

At = 3,14 ⋅ 3 ⋅ 5 + 3,14 ⋅ 32 = 75,36 cm ; V =

3,14 ⋅ 32 ⋅ 4 = 37,68 cm3 3

13.78. Un cilindro y un cono tienen la misma base y el mismo volumen. ¿Qué diferencia de altura existe entre ambos?

El cono debe ser tres veces más alto. 13.79. Encuentra la relación que existe entre los volúmenes de un cono y de un cilindro, cuyas bases y alturas miden lo mismo.

Observando las fórmulas, el volumen del cono es la tercera parte del volumen del cilindro.

La esfera

13.80. (TIC) Calcula el área de una superficie esférica cuyo radio mide 7 centímetros.

A = 4π · r2 = 4π · 72 = 615,44 cm2 13.81. (TIC) Halla el volumen de una esfera cuyo diámetro mide 18 centímetros.

V=

34

4 4 π · r3 = π · 93 = 3052,08 cm3 3 3

Unidad 13 | Figuras y cuerpos geométricos

13.82. Averigua el volumen de cada uno de estos cuerpos.

10 cm

a) V =

8 cm

1 1 π · r3 = π · 103 = 1046,67 cm3 3 3

b) V =

2 2 π · r3 = π · 83 = 1071,79 cm3 3 3

13.83. Dos esferas de radios 5 y 7 centímetros tienen un solo punto en común. ¿Qué distancia hay entre sus centros?

Como las esferas son tangentes, la distancia entre sus centros es la suma de sus radios. 5 + 7 = 12 cm. 13.84. (TIC) Halla el área y el volumen de las siguientes esferas. a) Radio = 10 cm b) Diámetro = 31 cm

a) V =

4 ⋅ 3,14 ⋅ 103 = 4186,67 cm3 3

b) V =

A = 4π r 2 = 4π ·102  1256,64cm2

4 ⋅ 3,14 ⋅ 15,53 = 15590,62 cm3 3

A = 4π r 2 = 4π ·15,52  3019,07cm2

13.85. (TIC) Una circunferencia, cuya longitud es de 15,7 centímetros, gira alrededor de un diámetro generando una esfera. Calcula el volumen de dicha esfera. 15,70 = 2 ⋅ 3,14 ⋅ r  r = 2,5 cm  V =

4 ⋅ 3,14 ⋅ 2,53 = 65,427 cm3 3

13.86. (TIC) Calcula el volumen de una esfera cuya superficie mide 1 256 centímetros cuadrados.

Se calcula la longitud del radio: r = Se calcula el volumen: V =

S = 4π

1256 = 10 cm 4π

4 π · r3 = 4186,67 cm3 3

13.87. Una esfera y una semiesfera tienen el mismo volumen. ¿Qué relación existe entre sus radios?

Se despeja de la fórmula el radio de la esfera: r =

3

3V 4π

Se despeja de la fórmula el radio de la semiesfera: R =

Se calcula el cociente de los radios:

Luego el radio de la esfera es

3

3

3

3V 2π

3V 4π = 3 1 3V 2 2π

1 el de la semiesfera. 2

Unidad 13 | Figuras y cuerpos geométricos

35

13.88. (TIC) Se dispone de un cubo y de una esfera que tienen el mismo volumen, 125 centímetros cúbicos. ¿Cuál de ellos tiene mayor superficie?

Se calcula la arista del cubo: a = 3 125 = 5 cm. Se calcula la superficie del cubo: S = 6a2 = 6 · 52 = 150 cm2. Se calcula la longitud del radio de la esfera: r =

3

3V = 4π

3

3 ·125 = 3,1 cm. 4π

Se calcula el área de la esfera: A = 4π · r2 = 120,7 cm2. Tiene mayor superficie el cubo. 13.89. En una superficie esférica de radio 10 centímetros, se tiene una circunferencia máxima y una circunferencia menor paralela a ella. Calcula la distancia entre sus centros sabiendo que el radio de la circunferencia menor es 5 centímetros.

Se aplica el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo formado por los dos radios y el segmento que une los dos centros: d =

102 -52 = 8,66 cm.

13.90. Halla la relación que existe entre el volumen de la esfera y el del cilindro de la figura, sabiendo que el diámetro de la base del cilindro, su altura y el diámetro de la esfera miden lo mismo.

d

d

d

3

2

π ⋅ d3 d  ;Vesfera Vcilindro = π ⋅   ⋅ d = 4 2

d  4 ⋅π ⋅  3  2  = π ⋅ d  2V = cilindro = 3Vesfera 3 6

13.91. Una esfera de 20 centímetros de radio se corta con un plano a 12 centímetros del centro. Averigua la longitud de la circunferencia que se origina al cortar la superficie esférica con el plano. r = 202 − 122 = 16 cm  l = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 16 = 100,48 cm

36

Unidad 13 | Figuras y cuerpos geométricos

La Tierra, coordenadas geográficas y mapas 13.92. ¿Existe algún paralelo que mida lo mismo que un meridiano? En caso afirmativo, di cuál es.

Sí, el Ecuador 13.93. ¿Cuántos grados abarca un huso horario? 360 = 15º 24 13.94. ¿Cuáles son las coordenadas geográficas del polo Norte y del polo Sur?

Polo Norte (0º, 90º N). Polo Sur (0º, 90º S)

13.95. Calcula la superficie de cada uno de los husos horarios de la Tierra.

Sabiendo que el radio de la Tierra es, aproximadamente, de 6371 kilómetros:

A=

4 ⋅ 3,14 ⋅ 63712 = 2,12·107 km2 24

13.96. (TIC) Dos puntos, A y B, situados sobre el Ecuador, tienen de longitud 30º E y 15º O, respectivamente. ¿Cuál es la distancia entre ambos?

Sabiendo que el Ecuador mide 40 030 kilómetros: dist =

40030 ⋅ 45 = 5003,75 km 360

13.97. (TIC) Un barco está situado en un punto de coordenadas (20º O, 60º S) y avanza 15º en dirección este sobre el mismo paralelo. a) ¿A qué punto llegará? b) ¿Cuántos kilómetros habrá recorrido?

a) (5º O, 60º S) b) r =

4 ⋅ 3,14 ⋅ 3185,5 ⋅ 15 6371 = 1667 km = 3185,5 km  dist = 360 2

13.98. Calcula la distancia que recorre un avión que vuela entre un punto de Europa de coordenadas (8º E, 45º N) y otro de América de coordenadas (70ºO, 45º N), siguiendo el paralelo común.

Como tiene la misma latitud y es 45º N, el avión sigue una circunferencia de radio:

r 2 + r 2 = 63712  r = 4505 km El ángulo que recorre es de 70º + 8º = 78º. dist =

2 ⋅ 3,14 ⋅ 4505 ⋅ 78 = 6132,91 km 360

Unidad 13 | Figuras y cuerpos geométricos

37

13.99. Dos puntos A y B situados sobre el Ecuador tienen de longitud 20º E y 20º O. ¿Cuál es la distancia entre ambos? dist =

40000 ⋅ 40 = 4444, 44 km 360

PROBLEMAS 13.100. Calcula la cantidad de lámina de hojalata necesaria para fabricar un bote de conservas, de forma cilíndrica, cuya base tiene un diámetro de 16 centímetros y cuya altura mide 20 centímetros.

Acilindro = 2πrh + 2πr2 = 2π · 8 · 20 + 2π · 82 = 1004,8 + 401,92 = 1406,72 cm2 Se necesitan 1406,72 cm2 de lámina. 13.101. Una apisonadora tiene un rodillo de 1,2 metros de diámetro y 2,3 metros de largo. ¿Qué superficie de tierra apisona en cada vuelta de rodillo?

La superficie apisonada es igual al área lateral del cilindro del rodillo: Alateral = 2πrh = 2π · 0,6 · 2,3 = 8,67 m2 La superficie que apisona en cada vuelta es de 8,67 m2. 13.102. Una fábrica de bastones recibe un pedido de cajas de 80 centímetros de alto, 7 centímetros de ancho y 3 centímetros de largo. Calcula cuánto mide el bastón más largo que se puede embalar en una de estas cajas.

La distancia mayor que quepa dentro de la caja es la diagonal. Se calcula la diagonal: D =

x 2 + y 2 + z2 =

72 + 32 + 802 = 80,36.

El bastón más largo que se puede embalar en las cajas es de 80,36 cm. 13.103. Una empresa dona a una ONG 1 000 000 centímetros cúbicos de leche en polvo. Para envasarla, utilizan unos botes como el de la figura. 10 cm

20 cm

¿Cuántas unidades se necesitan?

Se calcula el volumen del cilindro: V = Abase · h = π · r2 · h = π · 102 · 20 = 6280 cm3. Se calcula el número de botes necesario: Se necesitan 160 unidades.

38

Unidad 13 | Figuras y cuerpos geométricos

1000000 = 159,24 6280

13.104. En la caja de la figura se quieren guardar dos esferas macizas de 10 centímetros de radio. ¿Cuánto ocupa el aire que queda en la caja?

Vcaja = 20 ⋅ 10 ⋅ 10 = 2000 cm3; Vesferas =

2 ⋅ 4 ⋅ 3,14 ⋅ 53 = 1046, 67 cm3 3

Vaire = 2000 − 1046,67 = 953,33 cm3

13.105. (TIC) El volumen de un depósito cilíndrico es de 1 695,6 metros cúbicos y el radio de su base mide 6 metros. Calcula la altura del depósito.

Se despeja de la fórmula la altura del cilindro: h =

V 1695, 6 ;h= = 15 Abase π · 62

La altura del depósito es de 15 metros. 13.106. (TIC) Un obelisco está formado por un prisma recto de base cuadrada coronado por una pirámide. El lado de la base mide 80 centímetros, mientras que la altura del prisma es de 10 metros y la altura total del obelisco es de 13 metros. Halla su volumen.

Vprisma = Abase · h = 0,82 · 10 = 6,4 m3 0, 82 · 3 Abase · h = = 0,64 m3 3 3 Vobelisco = 6,4 + 0,64 = 7,04 m3

Vpirámide =

13.107. La pirámide de la figura se corta por un plano paralelo a la base por el punto medio de la altura de la pirámide. Calcula la relación que existe entre los volúmenes de las dos figuras resultantes.

Al ser figuras semejantes de razón 2, el volumen de la mayor es 8 veces (23) el de la menor.

6 cm

6 cm

8 cm

Unidad 13 | Figuras y cuerpos geométricos

39

13.108. (TIC) Un recipiente de palomitas tiene forma de tronco de pirámide cuadrangular como el de la figura. Calcula: a) La altura del recipiente. b) El área lateral. c) El área total. d) El volumen. 20 cm

30 cm

14 cm

a) Se aplica el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo que tiene por hipotenusa la apotema del tronco de pirámide y por catetos la altura del tronco y la mitad de la diferencia de los lados de las bases. h =

302 -32 = 29,85 cm

Suma perímetros bases · apotema tronco (4 · 20 + 4 ·14) · 30 = = 2040 cm2 2 2 c) A = Alateral + Abase = 2040 + 142 = 2236 cm2

b) Alateral =

d) V =

(

)

)

(

1 1 B + B '+ B·B ' ·h = 142 + 202 + 202 ·142 · 891  8716 cm3 3 3

AMPLIACIÓN 13.109. El área total de un prisma rectangular es de 22 metros cuadrados, y la suma de las longitudes de todas sus aristas es de 24 metros. ¿Cuál es la máxima distancia entre dos vértices del prisma? a)

12 m

b)

13 m

c) 14 m

d)

15 m

Si las aristas miden a, b y c, el área total es 2ab + 2ac + 2bc = 22 m2, y la suma de las longitudes de todas sus aristas es 4(a + b + c) = 24 m. La distancia máxima entre los vértices es a2 + b2 + c 2 . Elevando la igualdad a + b + c = 6 al cuadrado tenemos a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc = 36, luego a2 + b2 + c2 = 36 – 22 = 14, y, por tanto, La respuesta correcta es la c.

a 2 + b 2 + c 2 = 14 .

b c = . Si su volumen es de 8 metros a b cúbicos, y su área total, de 32 metros cuadrados, ¿cuánto suman las longitudes de todas sus aristas? a) 32 m b) 36 m c) 40 m d) 44 m

13.110. Las dimensiones a, b y c de un ortoedro verifican

Sabemos que b2 = ac (1), abc = 8 (2), 2ab + 2ac + 2bc = 32 (3). De (1) y (2) deducimos que b3 = 8, luego b = 2, y ac = 4. Sustituyendo en (3), 4a + 8 + 4c = 32, deducimos que a + c = 6 y, por tanto, 4(a + b + c) = 4 · 8 = 32 m. La respuesta correcta es la a.

40

Unidad 13 | Figuras y cuerpos geométricos

13.111. Se enrolla una larga cinta de papel de 5 centímetros de ancho en torno a un cilindro de cartón de 2 centímetros de diámetro, de modo que al darle 600 vueltas, aumenta el diámetro del cilindro a 10 centímetros. ¿Cuánto mide la cinta? a) 36π m

b) 45π m

c) 60π m d) 72π m

Restamos al volumen del rollo el volumen del cilindro de cartón: 3 2 2 V = π ⋅ 5 ⋅ 5 − π ⋅ 1 ⋅ 5 = 120π cm . El volumen de la cinta es V = 5 ⋅ L ⋅ e cm3, donde e es el espesor de la cinta, que es igual a 4 cm/600 vueltas = 1/150 cm. 1 , L = 3600π cm = 36π m 150 La respuesta correcta es la a. 120π = 5 ⋅ L ⋅

13.112. Sobre un lago flota un balón. Al helarse el agua, el balón queda atrapado, pero al liberarlo con cuidado, sin romper el hielo, deja un agujero de 24 centímetros de diámetro y 8 de profundidad. ¿Cuál es el radio del balón? a) 8 cm

c) 13 cm d) 8 3 cm

b) 12 cm

Planteamos la ecuación R2 = 122 + (R – 8)2 y obtenemos R = 13 cm. La respuesta correcta es la c. 13.113. Una pirámide está formada por un cuadrado de base y cuatro triángulos equiláteros. Si el área de la base es 16, ¿cuál es el volumen de la pirámide redondeado a las centésimas? a) 7,39 b) 9,24 c) 15,08 d) 21,33

La base es un cuadrado de 4 cm de lado. Como los triángulos son equiláteros de 4 cm de lado, su altura mide 2 3 cm, la altura de la pirámide es h = (2 3 )2 − 22 = 8 cm y el volumen es V =

16 ⋅ 8 ≅ 15, 08 cm3. 3

La respuesta correcta es la c.

AUTOEVALUACIÓN

13.1.

Calcula la longitud de la diagonal de un prisma cuadrangular recto de aristas 4, 4 y 9 centímetros. d=

13.2.

92 + 42 + 42 = 10,63 cm

Se quiere pintar el techo y las paredes de una habitación de 4 metros de largo por 3,5 de ancho y 3 de alto. Sabiendo que la pintura cuesta 3 euros por cada metro cuadrado de pared, ¿cuánto nos costará pintar la habitación? 2

A = 15 ⋅ 3 + 4 ⋅ 3,5 = 59 m  Precio = 59 · 3 = 177 euros

Unidad 13 | Figuras y cuerpos geométricos

41

13.3.

En un cubo, cuya arista mide 4 centímetros, se introduce una esfera maciza tangente a las caras del cubo. Determina el volumen del espacio comprendido entre ambos cuerpos. Vcubo = 43 = 64 cm 3 ; Vesfera =

13.4.

4 ⋅ π ⋅ 23  33,51cm3  V = 64 − 33,51 = 30,49 cm3 cm3  V = 64 – 33,49 = 20,51 cm3 3

Las coordenadas geográficas de dos ciudades son: A(10º E, 45º N) y B(10º O, 45º N). Calcula la distancia entre ambas, teniendo en cuenta que el radio de la Tierra es 6 371 kilómetros.

Como tiene la misma latitud y es 45º N  r 2 + r 2 = 63712  r = 4505 km dist = 13.5.

2 ⋅ 3, 14 ⋅ 4505 ⋅ 20 = 1571, 74 km 360

Averigua las áreas lateral y total de estos cuerpos geométricos. a) b)

15 cm

13 cm 12 cm

14 cm

a) Al = 3,14 ⋅ 14 ⋅ 15 = 659,4 cm2; At = 659,4 + 2 ⋅ 3,14 ⋅ 72 = 967,12 cm2 b) Al = 3,14 ⋅ 5 ⋅ 13 = 204,1 cm2; At = 204,1 + 3,14 ⋅ 52 = 282,6 cm2 13.6.

Calcula el volumen del depósito.

1,5 m

3,5 m

V =

42

4 ⋅ 3,14 ⋅ 0,753 + 3,14 ⋅ 0,752 ⋅ 2 = 5,29875 m3 3

Unidad 13 | Figuras y cuerpos geométricos

PON A PRUEBA TUS COMPETENCIAS

Experimenta y reflexiona > Recortables de cartulina

13.1.

Toma una cartulina y copia a una escala adecuada (2:1, 3:1 ó 4:1) los tres primeros desarrollos. Coloréalos a tu gusto.

13.2.

Dibuja algunas lengüetas para que cuando los recortes puedas pegarlos por las aristas contiguas.

13.3.

Recórtalos y construye los tres poliedros.

Actividades manuales 13.4.

Determina el número de vértices, caras y aristas de cada uno.

Tetraedro truncado: C = 8, V = 12, A = 18 Deltaedro 10: C = 10, V = 7, A = 15 Antiprisma pentagonal: C = 12, V = 10, A = 20 13.5.

Como su nombre indica, el tetraedro truncado se obtiene cortando (truncando) las cuatro “esquinas” de un tetraedro regular de manera que todas las aristas del poliedro que resulta sean iguales. Halla el área exterior de un tetraedro truncado de arista 4 centímetros.

El tetraedro truncado está formado por 4 hexágonos regulares y 4 triángulos equiláteros, todos ellos de 4 cm de lado. El área de un triángulo es de 4 3 cm2, y el de un hexágono, de 24 3 cm2, luego el área total es de 112 3 cm2.

13.6.

El volumen es un poco más difícil de calcular, pero puedes intentarlo calculando el volumen del tetraedro original y quitándole el volumen de los tetraedros de las esquinitas que cortas.

El lado del tetraedro original es de 3 × 4 = 12 cm y le quitamos cuatro tetraedros de 4 cm de lado. Para calcular el volumen debemos calcular la altura de estos tetraedros: 2

 3a  6 = a , y el área de Si el lado de un tetraedro mide a, la altura verifica: h = a 2 −   3  3   a2 3 2 3 , luego su volumen es V = a . 4 12 2 2 3 368 2 ⋅ 123 − 4 ⋅ ⋅4 = ≈ 173,48 cm3. El volumen del tetraedro truncado es V = 12 12 3

la base es A =

Unidad 13 | Figuras y cuerpos geométricos

43

Hay un objeto utilizado en un deporte que tiene forma de icosaedro truncado. ¿De qué objeto y de qué deporte se trata? Cuenta el número de caras, vértices y aristas. ¿También cumple la fórmula de Euler?

El balón de fútbol. Tiene 32 caras, 60 vértices y 90 aristas, luego cumple la fórmula de Euler.

Observa y deduce > La talladora de gemas Suponiendo que el cubo tiene de arista 4 centímetros, determina: 13.1.

La longitud de la arista del cuboctaedro.

Las aristas miden 2 2 cm.

13.2. El número de vértices, caras y aristas del cuboctaedro.

12 vértices, 14 caras y 24 aristas 13.3.

¿Verifica el cuboctaedro la fórmula de Euler?

Sí. 13.4.

El área total del cuboctaedro.

El cuboctaedro está formado por 6 cuadrados y 8 triángulos equiláteros de lados

(

(2 2 ) +8⋅

2

3

= (48 + 16 3 ) ≈ 75, 71 cm2. 4 El volumen de una de las esquinas del cubo que se cortan. 2 2 cm. Su área es A = 6 ⋅ 2 2

13.5.

)

2

Como seis esquinas forman un cubo de arista 2 cm, su volumen es de 13.6.

El volumen del cuboctaedro (resta al cubo sus ocho esquinas).

V = 43 − 8·

13.7.

44

4 160 = cm3 3 3

El número de planos de simetría. 9.

Unidad 13 | Figuras y cuerpos geométricos

8 4 = cm3. 6 3

Aprende a pensar > El valor de los diamantes 13.1.

¿Habías oído hablar acerca del tráfico ilegal de diamantes? ¿Qué opinas al respecto?

Actividad abierta 13.2.

¿Crees que la gran riqueza en diamantes de Sierra Leona revertirá en su desarrollo?

Actividad abierta 13.3.

Consulta en la página web www.e-sm.net/3esoz61 los comentarios que se hacen sobre la película Diamante de sangre. ¿Te parece interesante que se haya hecho? ¿Por qué?

Actividad abierta 13.4.

¿De qué forma se podría garantizar la legalidad de un diamante? Investiga sobre el proceso Kimberley.

Actividad abierta

13.5.

En la fotografía puedes ver una mina de diamantes con forma de cono truncado. Su diámetro es de 463 metros en la superficie y 320 en el fondo, y su profundidad, de 240. ¿Qué volumen de escombros habrá generado su excavación? V =

13.6.

π ⋅ 240·(4632 + 3202 + 463·320) ≈ 116 849 402 m3 3

Todos los diamantes extraídos de la mina de la foto cabrían en tan solo tres carretillas cúbicas de un metro de arista cada una. ¿Qué porcentaje de material se ha desaprovechado? Comenta el impacto ambiental y sobre el precio del diamante de estas explotaciones.

(116 849 399 / 116 849 402) · 100 = 99,9999974%

Unidad 13 | Figuras y cuerpos geométricos

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Proyecto editorial: Equipo de Educación Secundaria del Grupo SM Autoría: Rafaela Arévalo, José Luis González, Juan Alberto Torresano Edición: Elena Calvo, Miguel Ángel Ingelmo, Yolanda Zárate Corrección: Ricardo Ramírez Ilustración: Félix Anaya, Modesto Arregui, Juan Francisco Cobos, Domingo Duque, Félix Moreno, Fotografía: Archivo SM Diseño: Pablo Canelas, Alfonso Ruano Maquetación: SAFEKAT S. L. Coordinación de diseño: José Luis Rodríguez Coordinación editorial: Josefina Arévalo Dirección del proyecto: Aída Moya

Cualquier forma de reproducción, distribución, comunicación pública o transformación de esta obra solo puede ser realizada con la autorización de sus titulares, salvo excepción prevista por la ley. Diríjase a CEDRO (Centro Español de Derechos Reprográficos, www.cedro.org) si necesita fotocopiar o escanear algún fragmento de esta obra, a excepción de las páginas que incluyen la leyenda de “Página fotocopiable”. © Ediciones SM Impreso en España – Printed in Spain

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