Copiar y construir figuras y cuerpos 6to. Grado Universidad de La Punta

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CONSIDERACIONES GENERALES Otros problemas que también implican construcciones de figuras son los que requieren realizar un dibujo a partir de ciertos datos. En esta secuencia será necesario considerar con los alumnos la posibilidad de que con esos datos se pueda construir solo una figura o más de una. Con respecto a los instrumentos de geometría es fundamental destacar que no se trata de que los alumnos adquieran una destreza en el manejo de los mismos como conocimiento en sí mismo, sino que su uso debe estar al servicio de la resolución de problemas, para que los alumnos avancen en sus conocimientos sobre las propiedades de las figuras. El hecho de que los alumnos tengan que pensar la manera de construir una figura y analizar cuál es el instrumento que más utilidad tiene frente a cada situación planteada, permite que exploren, algunas veces, y que usen, otras veces, diferentes propiedades de las figuras y los cuerpos. Asimismo, la evaluación de la necesidad de hacer o no un trazado preciso se podrá realizar en el marco de un problema. En 5º grado se profundizará el estudio de triángulos y cuadriláteros a partir de actividades que implican el uso y la discusión respecto de la pertinencia del uso de los diferentes instrumentos de geometría para construirlos y, en particular, del compás y, por lo tanto, será necesario realizar actividades que requieran trasladar segmentos y trazar circunferencias. Además, en el caso de los cuadriláteros se estudiarán sus diagonales y las propiedades de estas. El círculo, si bien es una de las primeras figuras geométricas que los chicos reconocen en la escolaridad, difícilmente han tenido ocasión de construir uno a partir de la línea que lo limita, es decir, la circunferencia. En consecuencia, es necesario que, para arribar a esta idea, se presenten problemas en los que sea necesario usar la noción de distancia entre dos puntos y de igual distancia entre un punto y otros. Otras propuestas que ponen en juego las propiedades son las que requieren componer unas figuras combinando otras. ----

Cuando planteamos que las actividades que proponemos desde la enseñanza tienen que favorecer la construcción de los conocimientos por los alumnos y en este caso en particular favorecer la elaboración de las propiedades de las figuras y cuerpos geométricos, las construcciones ocupan un lugar esencial. En este caso, estamos considerando las construcciones, no como las utilizamos en nuestra escolaridad, sino como un recurso muy valioso para la exploración y el descubrimiento de propiedades y relaciones a partir del análisis y de la posibilidad de anticipar, conjeturar, confrontar para avanzar en los conocimientos. Estamos pensando en que esas construcciones representen genuinos problemas y no algoritmos que hay que saber repetir.

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En este sentido, podremos, a través de las actividades, inhibir el uso de algunos instrumentos para habilitar otros que exijan a los alumnos desplegar procedimientos diferentes para resolver una situación.

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ÍNDICE DE LA PROPUESTA Actividad 1: Mensajes… Construir figuras a partir de mensajes realizados por otros.

Actividad 2: Uno o más cuadriláteros. Analizar las construcciones posibles y determinar si se trata de una única figura o no.

Actividad 3: Construyendo sabiendo solo la diagonal. Componer figuras combinando otras.

Actividad 4: Diagonales. Elaborar y analizar mensajes de figuras dadas que incluyen diagonales analizando propiedades de estas: perpendicularidad, igualdad, o intersección en su punto medio.

Actividad 5: La cabra atada. Establecer la noción de un punto fijo y otros puntos equidistantes de él.

Actividad 6: ¿De qué cuerpo se trata? Determinar el cuerpo que corresponde a cierto desarrollo plano.

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Actividad 1: Mensajes… ACTIVIDADES 1 · un cuadrado de lado: A. Mariana dibujó un cuadrilátero cuyas diagonales miden 4 y 7 cm. Cada una corta a la otra en el punto medio. Ahora dibujá vos un cuadrilátero con esas características. B. ¿Podés asegurar que la figura que dibujaste es igual a la que hizo Mariana? ¿Por qué? 2 · Para que Mariana pudiera construir esta figura sin verla, los chicos escribieron estos mensajes. Javier: las diagonales son perpendiculares, una mide 5 cm y la otra 3 cm Emiliano: los lados son iguales dos a dos y las diagonales perpendiculares. Mariano: Una diagonal mide 5 cm y la otra 3 cm. La mayor corta a la menor por la mitad A. ¿Cuál creés que permite construir la figura? ¿Por qué? B. ¿Será necesario agregar alguna condición en los mensajes de los chicos? ¿Cuál o cuáles?

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Actividad 2: Uno o más cuadriláteros ACTIVIDADES Se organiza la clase en grupos. Propondremos a los alumnos discutir lo que indica la consigna. 1 · Discutí con tu grupo y anotá qué procedimientos conocen para construir un rectángulo. En cada caso, indicá qué datos y qué instrumentos se necesitan para construirlo. 2 · En grupo, analicen cada caso y definan si es posible construir una única figura, si se pueden construir figuras diferentes o si no se puede construir ninguna figura. A. Un rectángulo que tenga un lado de 3 cm y otro de 5 cm. B. Un rectángulo que tenga dos lados de 5 cm. C. Un rectángulo que tenga una diagonal de 8 cm. D. Un rectángulo cuyo perímetro mida 16 cm. E. Un cuadrilátero que tenga sus diagonales que miden 4 y 7 cm. F. Un cuadrilátero que tenga sus diagonales iguales. 3 · En los casos en que sea posible construir más de una figura, modifiquen los datos para que sea posible construir una única figura. Nota:  Será importante promover en los grupos no solo la anticipación, sino la justificación de sus afirmaciones.  En una puesta en común propondremos registrar las primeras conclusiones sobre las propiedades del rectángulo.

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Actividad 3: Construyendo sabiendo solo la diagonal ACTIVIDADES Se organiza la clase en grupos. Propondremos a los alumnos discutir lo que indica la consigna. 1· A. Construí un rectángulo de modo que el segmento AB sea una diagonal.

B. ¿Podés construir otro rectángulo distinto que también tenga a AB como diagonal? C. ¿Cómo podés asegurar que la figura que obtuviste es un rectángulo? Nota:  Para resolver esta actividad los alumnos pueden recortar, calcar, y disponer de todos los instrumentos: escuadras, reglas, transportador y compás. 2 · A continuación se presentan tres procedimientos que utilizaron otros alumnos para resolver la actividad anterior. Analizá cada uno y decí si son correctos o no. Procedimiento 1: Desplazando la escuadra construyeron un triángulo rectángulo. Luego, con dos triángulos, compusieron el rectángulo. Cuando terminaron, miraron la figura e intentaron nuevamente, porque... nos salió cuadrado, justificaron. Reprodujeron el mismo procedimiento trasladando la escuadra hasta visualizar el rectángulo, ahora sí es rectángulo, afirmaron.

Procedimiento 2: Trazaron paralelas por los extremos del segmento, luego las perpendiculares y remarcaron el rectángulo.

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Procedimiento 3: Marcaron la mitad de AB, trazaron otro segmento congruente con AB y dibujaron el rectángulo.

Nota:  Al comunicar los procedimientos y tratar de justificar la construcción del rectángulo se explicitan contenidos tales como el trazado de paralelas y perpendiculares con escuadra, la descomposición del rectángulo en dos triángulos rectángulos iguales, el reconocimiento del paralelismo de los lados opuestos y de la congruencia de diagonales y lados.

Secuencia para determinar propiedades de una figura: “Construir rectángulos” -----------------Esta actividad exige que, a partir de las condiciones dadas, los alumnos anticipen las construcciones posibles y sobre todo determinen si se trata de una única figura o no. --------------Actividad 2 Para recuperar las propiedades de las diagonales que seguramente surgieron de la actividad anterior, podremos continuar con la siguiente actividad de construcción. Actividad 3 A continuación, podremos ofrecer una tarea diferente, que consiste en analizar afirmaciones de otros. 

Considerá las siguientes afirmaciones y decidí si estás de acuerdo o no con lo que dicen los chicos.

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Actividad 4 La siguiente es una actividad de síntesis. En la puesta en común, convendrá que solicitemos a los chicos que expliquen por qué creen en cada caso que la figura resulta un rectángulo, e iremos registrando las razones que dan, en las que irán explicitando las propiedades involucradas. 

Discutí con tu grupo y anotá qué procedimientos conocen para construir un rectángulo. En cada caso, indicá qué datos y qué instrumentos se necesitan para construirlo.

En un primer momento, y si bien los rectángulos que se obtienen son distintos, los alumnos atribuyen esta variedad a la diferencia de procedimientos. Pero es la discusión sobre el ítem b) de la actividad lo que permite descubrir que, con esa diagonal, pueden construirse tantos rectángulos como se desee. Ante la pregunta ¿Cómo pueden asegurar que es un rectángulo? aparecen respuestas como: los lados opuestos son paralelos y sus ángulos son rectos, tiene ángulos rectos, tiene cuatro ángulos rectos, los lados opuestos son iguales y los ángulos son rectos. Si bien los alumnos siguen apoyándose todavía en comprobaciones empíricas, también comienzan a usar las propiedades que conocen y consideran válidas para justificar a partir de esas comprobaciones. Por ejemplo, pueden decir si tiene las diagonales iguales, y que se cortan en el punto medio, seguro es un rectángulo, aunque todavía no puedan argumentar sobre la validez de esa afirmación. La actividad 3 permite avanzar en la identificación del cuadrado como un rectángulo particular y volver sobre las propiedades de lados y diagonales de los rectángulos, que podrán terminar de explicitarse en la actividad 4. Otra forma de promover la explicitación de las propiedades es transformar la consigna de la actividad 4 y que los alumnos tengan que producir un mensaje para que otro alumno construya un rectángulo. Puede ocurrir que los chicos usen como datos la longitud de los lados, el valor de los lados y la diagonal, o solo el valor de la diagonal, por este motivo es interesante que en el espacio de reflexión propiciemos el análisis sobre la relación entre los mensajes, los datos aportados y las figuras resultantes.

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Actividad 2: Construyendo rombos I. ACTIVIDADES 1 · Hacé el dibujo de un rombo en papel liso usando los instrumentos de geometría que necesites y escribí el procedimiento que usaste. 2 · Sofía dice que para hacerlo solo necesita una regla y un compás. Sin embargo, Gabriel dice que sin compás, pero con una escuadra, también se puede dibujar un rombo. ¿Es cierto lo que dicen? ¿Por qué? 3 · Para dibujar un rombo de 4 cm de lado, ¿qué procedimiento conviene usar? Nota:  En esta actividad se plantea la construcción de un rombo, pero esta propuesta de enseñanza es válida para cualquier figura.  En el primer caso, se pide construir un rombo cualquiera con la idea de que los chicos busquen diferentes formas de hacerlo, utilizando las propiedades que conocen.

Si pueden usar compás y regla, y saben que el rombo tiene cuatro lados iguales y que el compás traza una curva cuyos puntos están a igual distancia del centro, entonces pueden trazar dos triángulos isósceles con el lado diferente común para formar el rombo.

Si usan escuadra, es posible que dibujen un rombo partiendo de unas diagonales perpendiculares que se corten en el punto medio.

 Si no aparecieran procedimientos distintos, la pregunta 2 habilita la discusión sobre los mismos. Después de realizar la consigna 3, habrá que discutir si, con este dato, queda definido un único rombo o más de uno. En este caso, se necesita la medida de una de sus diagonales o de uno de sus ángulos, para que quede totalmente definido.

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Actividad 3: Construyendo rombos II. ACTIVIDADES 1 · Dados los siguientes triángulos, agregá otro igual a cada uno, de tal manera que quede formado un rombo en los casos en que sea posible.

2 · En los casos en que no fue posible construir un rombo que cuadrilátero se formó. Explica cómo te diste cuenta. 3 · ¿Cuántos triángulos como el que se muestra se necesitan para construir un hexágono?

Nota:  Esta actividad permite trabajar las diagonales de los rombos y, también, dado que en algunos casos no es posible obtener la figura pedida, habría que explicitar cuál es el cuadrilátero que se obtiene y por qué no es rombo. 4 · ¿Cuáles podes usar para construir un cuadrado? ¿Por qué? 5 · ¿Cuáles podes usar para construir un rectángulo? ¿Por qué?

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Actividad 3: Diagonales. ACTIVIDAD 1 MATERIALES: Figuras como las que se presenta a continuación:

Figura 1

Figura 2

ORGANIZACIÓN La clase se organiza en una cantidad par de grupos, la mitad de los grupos tendrán la figura 1 (un rectángulo con una diagonal trazada y un triángulo isósceles cuyo lado desigual es igual al lado menor del rectángulo) y la otra mitad de los grupos tendrá la figura 2 (el mismo rectángulo que en la figura 1 y un triángulo isósceles cuyo lado desigual es igual al lado mayor del rectángulo). Cada grupo con la figura 1 trabaja en equipo con otro grupo que recibe la figura 2. ACTIVIDAD Cada grupo tiene que escribir un mensaje que contenga la información que sea necesaria sobre la figura que le tocó, formada por un rectángulo y un triángulo isósceles, como para que el otro grupo con el que forman el equipo pueda construir la misma figura sin verla. Si al recibir el mensaje no entienden algo, pueden pedir aclaraciones por escrito. Cuando ambos grupos de cada equipo terminen, se van a reunir y van a comprobar si las figuras que realizaron pueden superponerse exactamente con las que recibieron. Si las figuras no coinciden, entre todos van a tratar de analizar dónde estuvo la falla. Notas:  Las figuras que se presentan deberán resultar relativamente sencillas de ser descriptas para los alumnos de 5º grado, dado que están formadas por otras dos muy conocidas para ellos: el rectángulo y el triángulo. Esto les posibilitará tener ciertos elementos para decidir qué información es importante proporcionar sobre cada una de ellas.

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 En la comparación de los diferentes mensajes, además de debatir la mejor manera de comunicar las posiciones relativas de las dos figuras entres sí, se incorpora un elemento nuevo para los alumnos: las diagonales.  En el cierre, se podrá discutir cuál de las dos diagonales del rectángulo hay que construir en este caso, indicando la posición relativa de esta respecto de la configuración. Se verá en esta instancia la conveniencia de nombrar los vértices con letras para identificar cada una de las diagonales. Así la notación aparece de modo significativo en relación con la solución de un problema. ACTIVIDAD 2 Al igual que en la actividad anterior y teniendo en cuenta las figuras 3 y 4, cada grupo va a escribir un mensaje que contenga la información necesaria sobre la figura que le tocó, como para que el otro grupo pueda construir la misma figura sin verla. Figura 3

Figura 4

Además: NRDC y PQSB son rectángulos y que ARCM es un romboide y OSTB es un rombo. Notas:  Estas configuraciones abren, nuevamente, el debate acerca de las posiciones relativas entre sus elementos y posibilitan el perfeccionamiento del vocabulario matemático y las notaciones utilizados por los alumnos en sus comunicaciones.  Dado que en este caso las diagonales son lados de cuadriláteros, es posible proponer a los alumnos que utilicen las propiedades que conocen acerca de ellos (son iguales, son perpendiculares, etc.) para realizar afirmaciones sobre las propiedades de las primeras. Por ejemplo, para la figura 3, Como el rectángulo tiene los cuatro ángulos rectos, las diagonales del romboide son perpendiculares

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o, para la figura 4, Como un rombo tiene pares de lados consecutivos iguales, las diagonales del rectángulo se cortan en el punto medio y son iguales entre sí. ACTIVIDAD 3 Analicen la siguiente figura y respondan:

1 · ¿Se puede asegurar que la figura HGIJ es un cuadrado, sabiendo que se construyó a partir de agregar al cuadrado rojo un triángulo amarillo igual a GJH? ¿Por qué? 2 · Si la figura roja fuera un rectángulo, ¿qué cuadrilátero se hubiera obtenido al agregar el triángulo amarillo? ¿Por qué? 3 · ¿Y si la figura roja fuera un rombo? ¿Qué figura se obtiene? ¿Por qué? Notas:  Esta actividad tiene como propósito volver sobre las discusiones propiciadas en la anterior, a propósito de las propiedades de las diagonales: su perpendicularidad, igualdad, o si se cortan o no en el punto medio.

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Actividad 4: La cabra atada ACTIVIDADES 1 · Durante la noche, una cabra está atada a un poste con una cuerda de 3 metros de largo. Al cabo de un tiempo, en la zona que estuvo al alcance de la cabra, ya no quedan hierbas para comer. A. Dibujá a mano alzada la zona en la que no quedan hierbas. B. El pastor quiere poner una vasija con agua para que la cabra pueda beber. ¿A qué distancia del poste debe hacerlo? ¿A qué distancia del poste están las hierbas que la cabra no pudo comer? C. A 7 metros del poste donde está atada la cabra, el pastor quiere atar un burro. ¿De qué largo debe ser la cuerda con que ate al burro para que no comparta con la cabra ninguna zona de pasto? D. Usá un instrumento de geometría conveniente para mejorar tu dibujo y elabora un instructivo donde se expliciten los pasos que realizaste. 2 · Dibujá un segmento AB de 5 cm de longitud. A. ¿Es posible encontrar un punto P que esté a 4 cm de A y también de B? ¿Y un punto Q que esté a 4 cm de A y a 3 cm de B? B. ¿Cuántos puntos cumplen las condiciones expresadas en A.? C. Si se trazan los segmentos AP y BP, ¿qué tipo de triángulo determinan con AB?

Nota:  Es posible que algunos alumnos identifiquen sólo algunos puntos en la zona donde “la cabra pudo comer”, y la discusión sobre las respuestas del primer problema debiera permitir a los alumnos diferenciar tres zonas, la de los puntos situados a una distancia del poste menor que 3 m, mayor que 3 m e igual a 3 m.  Las ideas de circunferencia y círculo surgen como el “lugar geométrico” de los puntos que cumplen una cierta condición. Para la circunferencia, estar todos a igual distancia (radio) de otro punto llamado centro, y para el círculo, estar todos a una distancia del centro igual o menor que el radio. Estas nociones se pueden reinvertir en muchos problemas, entre ellos el planteado como problema 2, donde intervienen como parte del procedimiento para construir triángulos a partir de la medida de sus lados.

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Actividad 5: ¿De qué cuerpo se trata? ACTIVIDADES 1 · ¿Te acordás de las cajitas que desarmaste en 4to grado? Ahora dibujá el desarrollo plano de un prisma de base triangular y otro de base rectangular. 2 · Observá los siguientes desarrollos planos. ¿A qué cuerpo corresponden? Justificar la respuesta.

Dibujá otro desarrollo plano que corresponda a este cuerpo 3 · ¿A qué cuerpos geométricos corresponden los siguientes desarrollos planos?

Jutificá en cada caso. Nota:  Con respecto a la actividad 1, si no realizaron en 4to la actividad de desarmar algunas cajitas, es conveniente realizarla antes de comenzar con esta secuencia.

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 En estas actividad, los alumnos están “obligados” a analizar las características de cada uno de los cuerpos (qué figura son sus bases y cuántas caras laterales tiene), para realizar la tarea.  Se trata de anticipar y no de constatar, dado que no estamos pensando en una construcción efectiva, sino en la producción de argumentos apoyados en las propiedades de los cuerpos

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