Slide 1 / 190 Ne w Je rs e y Ce nte r for Te aching and Le arning Iniciativa de Mate mática Progre s iva® Es te ma te ria l e s tá dis ponible gra tuita me nte e n ww.njctl.org y e s tá pe ns a do pa ra e l us o no comede rcia l e s tudia nte s y profe s ore s . No pue de s e r utiliza pado ra cua lquie r propós ito come rcia l s in cons e l e ntimie nto por e s crito de s us propie ta rios . NJCTL ma ntie ne s u s itio we b por la convicción de profe s ore s que de s e a n ha ce r dis ponible s u trapa barajo otros profe s ore s , pa rticipa r e n una comunida d de a pre ndiza je profe s iona l virtua l, y /o pe rmitir a pa dre s , e s tudia nte s y otra s pe rs ona s e l a cce s o a los ma te ria le s de los curs os . Nos otros , e n la As ocia ción de Educa ción de Nue va J eNJEA) rs e y ( s omos funda dore s orgullos os y a poyoNJCTL de y la orga niza ción inde pe ndie nte s in fine s de lucro. NJEA a dopta la mis ión de NJCTL de ca pa cita r a profe s ore s pa ra dirigir e l me jora mie nto e s cola r pa ra e l be ne ficio de todos los e s tudia nte s . Click para ir al s itio we b: www.njctl.org

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Geometría Ángulos

2015-06-16 www.njctl.org

Tabla de contenidos Ángulos Ángulos congruentes Ángulos y Postulado de la suma de ángulos Transportadores Pares especiales de ángulos Demostraciones de ángulos especiales Bisectrices Locus y construcciones angulares Bisectrices y Construcciones Preguntas PARCC

click sobre el tema para ir a la sección

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Tabla de Contenidos para videos de demostraciones de construcciones

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Ángulos congruentes Bisectrices

A lo largo de esta unidad, se usan los Estándar para Práctica de Matemática.

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MP1: Darle sentido a los problemas y perseverar en resolverlos. MP2: Razonamiento abstracto y cuantitativo. MP3: Construir argumentos viables y ser crítico con el razonamiento de los otros. MP4: Modelar con matemática. MP5: Usar estratégicamente las herramientas apropiadas . MP6: Ser preciso. MP7: Buscar y hacer uso de la estructura. En las diapositivas se incluyen preguntas adicionales usando las tablas de arrastre "Práctica de Matemática" (como ejemplo se muestra una en blanco a la derecha en esta diapositiva) con una referencia a los estándares usados. Si ya hay preguntas en una diapositiva, en la tabla de arrastre se enumeran los estándares específicos a los que la pregunta dirige.

A lo largo de esta unidad, se usan los Estándar para Práctica de Matemática.

Práctica de matemática

MP1: Darle sentido a los problemas y perseverar en resolverlos. MP2: Razonamiento abstracto y cuantitativo. MP3: Construir argumentos viables y ser crítico con el razonamiento de los otros. MP4: Modelar con matemática. MP5: Usar estratégicamente las herramientas apropiadas . MP6: Ser preciso. MP7: Buscar y hacer uso de la estructura. [This object is a pull tab] En las diapositivas se incluyen preguntas adicionales usando las tablas de arrastre "Práctica de Matemática" (como ejemplo se muestra una en blanco a la derecha en esta diapositiva) con una referencia a los estándares usados.

Si ya hay preguntas en una diapositiva, en la tabla de arrastre se enumeran los estándares específicos a los que la pregunta dirige.

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Ángulos

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Ángulos Definición 8: un ángulo es la inclinación entre sí de dos rectas en un plano que se encuentran entre sí y no se encuentran en una línea recta

A

Cuando sea que semirrectas o segmentos se intersequen en un plano, formarán un ángulo.

x B

C

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Ángulos La medida del ángulo es la cantidad que una recta, una semirrecta o un segmento necesitaría rotar a fin de superponerse con el otro.

A

En este caso, la semirrecta BA tendría que rotar a lo largo del ángulo x a fin de superponerse con la semirrecta BC.

x B

C

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Ángulos En este curso, los ángulos serán medidos en grados, con el símbolo º.

A

Rotar la semirrecta BA alrededor de la semirrecta BC, y volver a la misma semirrecta representaría un ángulo de 360º

x B

C

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Medición de ángulos en grados El uso de 360 grados para representar una rotación completa volviendo a la posición originaria es arbitrario

Se podría usar cualquier número, pero 360 grados para una rotación se ha convertido en estándar.

360º

Slide 11 / 190 Medición de ángulos en grados Se piensa que el uso del 360 para una rotación completa proviene de la antigua Babilonia, en donde se usaba un sistema numéricao basado en 60. Su sistema numérico podría también vincularse al hecho de que hay 365 días en un año lo cuál es muy cercano a 360. 360 es un número mucho más fácil para trabajar con él que con 365 ya que se puede dividir por muchos números sin resto. Incluídos 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 y 12.

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Ángulos rectos Definición 10: Cuando se ubica una recta vertical sobre una línea recta se forman ángulos adyacentes iguales entre sí, cada uno de los ángulos iguales es recto, y se dice que la línea recta vertical es perpendicular a aquella sobre la cuál se asienta. La única forma en la que dos rectas pueden intersecarse como se muestra y formar ángulos adyacentes iguales, de modo que los ángulos mostrados aquí donde m∠ ABC = m∠ ABD, es si ellos son ángulos rectos, es decir que miden 90º.

A

x x B

D

C

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Ángulos rectos Cuarto postulado: Todos los ángulos rectos son iguales entre sí. No sólo son ángulos rectos adyacentes iguales entre sí como se muestra abajo, todos los ángulos rectos son iguales, incluso si no son adyacentes, por ejemplo, los tres ángulos rectos mostrados abajo son iguales entre sí.

A

A

xº xº D

B

90º

C

B

C

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Ángulos rectos Esta definición no ha cambiado actualmente y te debería ser familiar. Las rectas, segmentos o semirrectas perpendiculares forman ángulos rectos.

Si se cortan rectas para formar ángulos adyacentes iguales, entonces son perpendiculares y la medida de los ángulos formados es 90º.

A

90º B

C

Cuando se encuentran rectas perpendiculares, forman ángulos adyacentes iguales y su medida es 90º.

Slide 15 / 190 Ángulos rectos Aquí hay un indicador especial de ángulos rectos.

A

En este caso se muestra en rojo para reconocerlo más fácilmente.

B

C

Ángulos obtusos

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Definición 11: Un ángulo obtuso es un ángulo mayor que un ángulo recto.

A

135º B

C

Ángulos agudos Definición 12: Un ángulo agudo es un ángulo menor a un ángulo recto.

A 45º B

C

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Ángulo llano

B

A

C

Respuesta

Una definición que no necesitamos usar en Los Elementos es la de "ángulo llano". Es el ángulo de una línea recta.

2 preguntas para discutir con un compañero: ¿Es un ángulo agudo u obtuso? Explica por qué. ¿Cuál es la medida en grados del ángulo?

Ángulo reflejo

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Otra definición moderna que no fue usada en Los Elementos es la de "angulo reflejo". Este es el ángulo que es mayor que 180º.

235º B

C

También es un tipo de ángulo obtuso.

A

Ángulos

En las siguientes diapositivas usaremos los respondedores para revisar los nombres de ángulos a partir de mostrar ángulos desde 0º a 360º aumentando de a 45º Los ángulos pueden ser de cualquier tamaño, no sólo aumentando de a 45º, pero esto es sólo para dar una idea que como se ve un giro completo.

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1 Este es un ejemplo de un ángulo ________ . Elige todas las que aplican

B obtuso C recto

Respuesta

A agudo A

0º B

C

D reflejo E llano

Slide 22 / 190

A agudo

Respuesta

2 Este es un ejemplo de un ángulo ________ . Elige todas las que aplican.

A

B obtuso C recto D reflejo

45º B

C

E llano

Slide 23 / 190

A agudo

Respuesta

3 Este es un ejemplo de un ángulo ________. Elige todas las que aplican. A

B obtuso C recto D reflejo E llano

90º B

C

Slide 24 / 190

Respuesta

4 Este es un ejemplo de un ángulo ________. Elige todas las que aplican. A agudo B obtuso

A

C recto 135º

D reflejo

B

C

E llano

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5 Este es un ejemplo de un ángulo ________ . Elige todas las que aplican

B obtuso C recto

180º A

B

C

Respuesta

A agudo

D reflejo E llano

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A agudo 235º

B obtuso

B

C recto D reflejo E llano

A

C

Respuesta

6 Este es un ejemplo de un ángulo_______ . Elige todas las que aplican.

Slide 27 / 190 Respuesta

7 Este es un ejemplo de un ángulo ________ . Elige todas las que aplican. A agudo B obtuso

270º

B

C

C recto D reflejo E llano

A

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A agudo B obtuso

315º

C recto

C B

D reflejo

Respuesta

8 Este es un ejemplo de un ángulo ________ . Elige todas las que aplican.

A

E llano

Slide 29 / 190

A agudo B obtuso C recto D reflejo E llano

360º B

A C

Respuesta

9 Este es un ejemplo de un ángulo ________ . Elige todas las que aplican

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Nombrando ángulos Un ángulo tiene tres partes, dos lados y un vértice que es donde los lados se encuentran.

En este ejemplo, los lados son las semirrectas BA y BC y el vértice es B.

lado

vértice

A

θ lado

B

C

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Interior de los ángulos Cualquier ángulo con una medida de menos de 180º tiene un exterior y un interior como se muestra abajo.

A Exterior

Interior θ B

C

Slide 32 / 190

Nombrando ángulos Un ángulo puede ser nombrado en tres diferentes maneras:

· por su vértice (B en el ejemplo de abajo)

· por un punto en su lado, su vértice y un punto sobre el otro lado (o ABC o CBA en el ejemplo de abajo)

vértice

lado

A

θ B

lado

C

· O por un número o por un símbolo ubicado dentro del ángulo (ej., letra griega θ, en la figura)

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Nombrando ángulos Al ángulo mostrado abajo se lo puede llamar ∠ABC , ∠CBA, ó ∠B. Cuando no hay lugar a confusión, el ángulo podría también ser identificado por su vértice B. Los lados de ∠ABC son las semirrectas BC y BA

C

32°

B

A

La medida del ∠ABC es 32 grados, esto puede ser reescrito como m∠ABC = 32º.

Slide 34 / 190

Nombrando ángulos

Respuesta

Usar el vértice para nombrar un ángulo no funciona en algunos casos. ¿Por qué sería no muy claro usar el vértice para nombrar al ángulo en la imagen de abajo?

D ¿Cuántos ángulos cuentas en la imagen?

A θ

α

B

C

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Nombrando ángulos

Respuesta

¿De qué otras maneras podrías nombrar ∠ABC, ∠ABD y ∠DBC en el caso de abajo? (usando el lado - vértice - método de los lados)

D A θ B

α

C

¿Cómo podrías nombrar aquellos 3 ángulos usando las letras ubicadas dentro de los ángulos?

Rectas que se cortan forman ángulos

Slide 36 / 190

Cuando se forma un ángulo a partir de dos semirrectas o dos segmentos que comparten un vértice, se forma un ángulo incluido. Se lo muestra como θ en el diagrama de la izquierda. Cuando dos rectas se intersecan, se forman 4 ángulos, se los numera como en el diagrama de abajo a la derecha.

A

2 3

1 4

θ B

C

Slide 37 / 190 Rectas que se cortan forman ángulos Estos números usados no tienen un significado especial, sólo muestran los 4 ángulos. Cuando semirrectas o segmentos se intersecan pero no tienen un vértice común, también forman 4 ángulos.

A

2

θ B

C

3

1 4

Slide 38 / 190 10

Dos rectas________________ se encuentran en más de un punto. A

Siempre

B

Algunas veces

C

Nunca

Slide 38 (Answer) / 190 Dos rectas________________ se encuentran en más de un punto. A

Siempre

B

Algunas veces

C

Nunca

Respuesta

10

B

[This object is a pull tab]

Slide 39 / 190

A

Siempre

B

Algunas veces

C

Nunca

Respuesta

11 Un ángulo que mide 90º __________ es un ángulo recto.

Slide 40 / 190

A

Siempre

B

Algunas veces

C

Nunca

Respuesta

12 Un ángulo que es menor a 90 grados___________ es obtuso.

Slide 41 / 190

A

Siempre

B

Algunas veces

C

Nunca

Respuesta

13 Un ángulo que es mayor que 180 grados se lo conoce _______ como un ángulo reflejo.

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Ángulos Congruentes Volver a la tabla de contenidos

Slide 43 / 190

Congruencia Aprendimos anteriormente que si dos segmentos tienen la misma longitud son congruentes. a También, todos los segmentos de igual longitud son congruentes. ¿Estos segmentos son congruentes? Explica tu respuesta.

b

Slide 43 (Answer) / 190

Congruencia Práctica de matemática

Aprendimos anteriormente que si dos segmentos tienen la misma longitud son congruentes.

Las preguntas en la diapositiva direcciona a MP6 a y MP3

También, todos los segmentos de igual longitud son congruentes.

b [This object is a pull tab]

¿Estos segmentos son congruentes? Explica tu respuesta.

Slide 44 / 190

Congruencia ¿Qué se puede decir de dos ángulos formados por dos semirrectas con vértices comunes. ¿Son congruentes? ¿Qué tendría que ser igual para cada uno de ellos para ser congruentes?

D

A

B

F

E

C

Slide 44 (Answer) / 190

Congruencia Práctica de matemática

¿Qué se puede decir de dos ángulos formados por dos semirrectas con vértices comunes. ¿Son congruentes? Las preguntas en la

diapositiva direcciona a MP6 ¿Qué tendría que ser igual para cada uno de ellos para ser y MP3 congruentes?

[This object is a pull tab]

D

A

B

C

F

E

Slide 45 / 190

Congruencia Si dos ángulos tienen la misma medida, son congruentes ya que pueden ser rotados y movidos para superponerse en cada punto.

D

A

C

F

E

B

Slide 46 / 190

Congruencia Sin embargo, si hay ángulos que no tienen igual medida, no se los puede hacer superponer en cada punto. Para que los ángulos sean congruentes necesitan tener igual medida.

¿Estos ángulos son congruentes? Explica tu respuesta.

A

B

C

D

F

E

Slide 46 (Answer) / 190

Congruencia Sin embargo, si hay ángulos que no tienen igual medida, no se los puede hacer superponer en cada punto. Práctica de matemática

Para que los ángulos sean congruentes necesitan tener igual Las medida. preguntas en la

diapositiva direcciona a MP6 y MP3 ¿Estos ángulos son congruentes? Explica tu respuesta.

A

F

[This object is a pull tab]

B

C

D

E

Slide 47 / 190

Congruencia Sin embargo, si hay ángulos que no tienen igual medida, no se los puede hacer superponer en cada punto. Para que los ángulos sean congruentes necesitan tener igual medida.

Aquí puedes ver claramente cuando rotamos los dos ángulos de la diapositiva anterior, no tienen la misma medida.

D

A

B

F

E

C

Slide 48 / 190

Ángulos congruentes Una manera para indicar que dos ángulos tienen igual medida es nombrarlos con la misma variable. Por ejemplo, nombrando ambos de esos ángulos con xº indicamos que tienen igual medida.

D

A

xº

xº

B

C

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Ángulos congruentes Otra manera de mostrar que los ángulos son congruentes es marcar el ángulo con una recta. Si hay 2 conjuntos iguales de ángulos, el segundo conjunto podría ser marcado con dos rectas.

D

A

B

C

F

E

Slide 50 / 190 Respuesta

14 ¿El ∠B es congruente al ∠E ? Sí No

D

A

B

F

E

C

Slide 51 / 190

A

Siempre

B

Algunas veces

C

Nunca

Respuesta

15 Los ángulos congruentes ___________ tienen igual medida

Slide 52 / 190

A

Congruentes

B

No Congruentes

C

No se puede determinar

B

A

Respuesta

16 El ∠A y el∠B son ______.

Slide 53 / 190

17 El ∠E y el ∠F son _______. Congruentes

B

No Congruentes

C

No se puede determinar

F

Respuesta

A

E

Slide 54 / 190 El ∠C y el ∠D son congruentes. A

Verdadero

B

Falso

C

No se puede determinar

D

Respuesta

18

C

Slide 55 / 190

19 El ∠C y el ∠D son congruentes D

Verdadero

Respuesta

Falso

C

Slide 56 / 190

Ángulos y Postulado de la Suma de Ángulos

Volver a la tabla de contenidos

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Ángulos adyacentes

Los ángulos adyacentes comparten un vértice y un lado.

D

A

Los dos ángulos están lado a lado o adyacentes. En este caso, el ángulo DBA es adyacente al ángulo ABC.

B

C

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Postulado de la Suma de Ángulos El postulado de la suma de ángulos dice que la suma de las medidas de los ángulos adyacentes forma la medida del ángulo formado por sus semirrectas exteriores.

D

A

B En este caso, m∠DBC = m∠DBA + m∠ABC

C

Slide 58 (Answer) / 190

Postulado de la Suma de Ángulos MP6 Práctica de matemática

Explica y emfatiza la importancia y diferencias entre las notaciones y El postulado de lalas suma de D símbolos al nombrar y dar la ángulos dice quelos la suma A de las medidasmedida de los de los ángulos. ángulos adyacentes formasignifica "ángulo DBC" ej ∠DBC la medida del ángulo mientras que m∠DBC significa "la formado por sus medida del ángulo DBC" semirrectas exteriores. B

C

[This object is a pull tab]

En este caso, m∠DBC = m∠DBA + m∠ABC

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Postulado de la Suma de Ángulos Además, dice que si cualquier punto descansa en el interior de un ángulo, entonces la semirrecta conectando ese punto al vértice, forma dos ángulos adyacentes cuya suma es la del ángulo original.

D

Si A descansa en el interior del ángulo DBC entonces m∠DBA + m∠ABC = m∠DBC

A

B

C

Lo cual da el mismo resultado que teníamos antes. m∠DBC = m∠DBA + m∠ABC

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Ejemplo del Postulado de la Suma de Ángulos

S

m∠SQR = 26° 32° 26°

Q ¿Cuál es la medida del ∠PQR?

R

Respuesta

P

m∠PQS = 32°

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Ejemplo del Postulado de la Suma de Ángulos A está en el interior de ∠BNJ.

Respuesta

B

Si m∠ANJ = (7x +11)°, A

m∠ANB = (15x + 24)°,

)° 24 x+ (15

y m∠BNJ = (9x + 204)°. Resuelve para x.

J

(7x+11)° N

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20 Dados m∠ ABC = 22° y m∠ DBC = 46°. Respuesta

D

Calcula m∠ ABD.

C

46°

22°

A

B

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Respuesta

21 Dados m∠ OLM = 64° y m∠ OLN = 53°. Calcula m∠ NLM. O

A 28

B 15 64°

C 11 D 117

N

53° L

M

Slide 64 / 190

22 Dados m∠ ABD = 95° y m∠ CBA = 48°. Calcula m∠ DBC.

A

Respuesta

C 48° 95° B

D

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23 Dados m∠ KLJ = 145° y m∠ KLH = 61°. Respuesta

Calcula m∠ HLJ.

H

K

61° 145°

L

J

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24 Dados m∠ TRS = 61° y m∠ SRQ = 153°.

Respuesta

Calcula m∠ QRT.

R S

61° 153° Q

T

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25 C está en el interior de ∠ TUV.

m∠ TUC = (14x + 18)⁰ y m∠ CUV = (9x + 2)⁰ Resuelve para x.

Respuesta

Si m∠ TUV = (10x + 72)⁰,

Slide 68 / 190

Si m∠ CBA = (11x + 66)⁰, m∠ DBA = (5x + 3)⁰ y m∠ CBD= (13x + 7)⁰

Respuesta

26 D está en el interior de ∠ ABC.

Resuelve para x.

Slide 69 / 190

m∠DQP = (3x + 44)⁰ m∠FQP = (8x + 3)⁰ m∠DQF= (5x + 1)⁰ Resuelve para x.

Respuesta

27 F está en el interior de ∠DQP.

r

La figura muestra las rectas r, n, and p intersecándose para formar ángulos numerados como 1, 2, 3, 4, 5, y 6. Todas las rectas están en el mismo plano.

28 En base a la figura, ¿cuál de las afirmaciones individuales proveerían suficiente información para concluir que r es perpendicular a la recta p?

6 5 4

Slide 70 / 190

n 1 2

3

p

Respuesta

Pregunta 2/25

no está hecho a escala

Selecciona todas las que aplican. A m∠2 = 90° B m∠ 6 = 90° C m∠3 = m∠6

D m∠1 + m∠6 = 90° E m∠3 + m∠4 = 90° F m∠4 + m∠5 = 90°

From EOY PARCC sample test

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Transportadores

Volver a la tabla de contenidos

Transportadores

Los ángulos se miden en grados usando un transportador. Cada ángulo tiene una medida que va de 0 a 180 degrees. Se puede dibujar ángulos de cualquier tamaño.

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Slide 73 / 190

Transportadores

A B

C

∠ABC es un ángulo de 23° grados La medida del ∠ABC es 23° grados

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Transportadores D

B

C

∠DBC es un ángulo de 118° . La medida del ∠DBC es 118°.

Slide 75 / 190 Transportadores D

A

B

C

A partir de nuestros resultados anteriores sabemos que m∠DBC = 118° y m∠ABC = 23°. De manera que, el Postulado de la Suma de Ángulos nos dice que la m∠DBA ¿debe ser cuál?

Slide 75 (Answer) / 190 Transportadores

La pregunta de esta diapositiva direcciona a MP6 y MP2 D

Práctica de matemática

Preguntas: adicionales que podrían usarse ¿Qué información tienes? A (MP1) ¿Qué necesitas calcular? (MP1) ¿Cómo puedes hacerlo C mentalmente? (MP5) B ¿Puedes imaginar y controlar? [This object is a pull tab] A partir de nuestros resultados (MP 1 yanteriores MP5) sabemos que m∠DBC = 118° y m∠ABC = 23°.

De manera que, el Postulado de la Suma de Ángulos nos dice que la m∠DBA ¿debe ser cuál?

Slide 76 / 190 Transportadores D

A

C

B

Sin aquellos primeros resultados, podríamos leer en el transportador el valor de 118° y 23° obtener la medida del ángulo incluido 95°.

Slide 77 / 190 Respuesta

29 ¿Cuál es la m del ∠CJD? A 39° B 54°

F

C 130°

E

G

D

D 180°

C

J

H

Slide 78 / 190

30 ¿Cuál es la m del ∠CJG A 39° Respuesta

B 54° F

C 130°

E

D 180°

G

D

C

H

J

Slide 79 / 190

31 ¿Cuál es la m del∠DJE?

Respuesta

A 141° B 54° F

C 39°

E

D 15°

G

D

C

H

J

Slide 80 / 190 Respuesta

32 ¿Cuál es la m del ∠EJG? A 54° B 76° F

C 90°

E

D 130°

C

G

D

J

H

Slide 81 / 190

33 ¿Cuál es la m del ∠DJF? Respuesta

A 39° B 51° F

C 90° D 141°

E

G

D

C

H

J

Slide 82 / 190

34 m∠ PJK = Respuesta

M

L

N K

P

O

J

Slide 83 / 190

L

Respuesta

35 m∠ PJM = M N K

P

J

O

Slide 84 / 190

L

Respuesta

36 m∠ PJO = M N K

P

O

J

Slide 85 / 190

L

Respuesta

37 m∠ PJL = M N K

P

O

J

Slide 86 / 190

L

Respuesta

38 m∠ PJN = M N K

P

J

O

Slide 87 / 190

L

Respuesta

39 m∠ NJM = M N K

P

O

J

Slide 88 / 190

L

Respuesta

40 m∠ MJL = M N K

P

O

J

Slide 89 / 190

L

Respuesta

41 m∠ LJK = M N K

P

J

O

Slide 90 / 190

L

Respuesta

42 m∠ NJK = M N K

P

O

J

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Pares Especiales de Ángulos Volver a la tabla de contenidos

Ángulos Complementarios Los ángulos complementarios son ángulos cuya suma mide 90º. Se dice que un ángulo tal es complementario al otro. Podrían ser adyacentes, pero no es necesario. 25o

65o

25o

Complementarios Adyacentes

65o Complementarios no adyacentes

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Slide 93 / 190

Ángulos Complementarios Los ángulos adyacentes complementarios formar un ángulo recto.

A

D

B

El ángulo ABD y el ángulo DBC son complementarios ya que forman el ángulo ABC, que es un ángulo recto.

C

Slide 94 / 190

Respuesta

43 ¿Cuál es el complementario de un ángulo cuya medida es 72°?

Slide 95 / 190

Respuesta

44 ¿Cuál es el complementario de un ángulo cuya medida es 28°?

Slide 96 / 190

Dos ángulos son complementarios. El ángulo más grande tiene dos veces la medida del ángulo más pequeño. ¿Cuál es la medida de ambos ángulos?

Respuesta

Ejemplo

Llamamos x = ángulo pequeño; llamamos = 2x al ángulo más grande

Slide 97 / 190

¿Cuál es su medida?

Respuesta

45 Un ángulo tiene 34° más que su complementario.

Slide 98 / 190

¿Cuál es la medida del ángulo?

Respuesta

46 Un ángulo tiene 14° que su complementario.

Ángulos suplementarios

Slide 99 / 190

Los ángulos suplementarios son ángulos cuya suma mide 180º. Los ángulos suplementarios pueden ser adyacentes, pero no necesariamente. Se dice que un ángulo es suplementario al otro. 25o

155o

25o 155o

Suplementarios adyacentes también conocidos como. Par lineal

Suplementarios no adyacentes

Slide 100 / 190 Ángulos suplementarios Dos ángulos cualquiera que o llano son suplementarios. O, dos ángulos adyacentes cuyos lados exteriores sean semirrectas opuestas son suplementarios.

D

B C A Si el ángulo ABC es un ángulo llano, su medida es 180°.

Entonces el ángulo ABD y el ángulo DBC son suplementarios ya que la suma de sus medidas es 180°.

Ángulos complementarios vs. ángulos suplementarios Existen 2 maneras en las que uno puede recordar la diferencia entre ángulos suplementarios y complementarios. : - Forma 1 - Orden: Piensa en el orden de las primeras letras en cada palabra y el número que representan. C va antes que S en el abecedario y 90 está antes que 180 en la recta numérica, de manera que complementario significa que sumados dan 90º y suplementarios significa que sumandos dan 180º - Forma 2 - Visual: Agrega una línea a cada letra para comenzar a formar el número asociado con él. .

C

Agregando una línea a la "C", formas un 9, para 90º

S

Agregando una línea a la "S", formas un 8, para 180º

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Slide 101 (Answer) / 190

Práctica de matemática

Ángulos complementarios vs. ángulos suplementarios Las conecciones mostradas representan a MP2 y MP4

Existen 2 maneras en las que uno puede recordar la diferencia entre ángulos suplementarios y complementarios. : - Forma 1 - Orden: Piensa en el orden de las primeras letras en cada palabra y el número que representan. C va antes que S en el abecedario y 90 está antes que 180 en la recta numérica, de manera que complementario significa que sumados dan 90º y [This object is a pull tab] suplementarios significa que sumandos dan 180º - Forma 2 - Visual: Agrega una línea a cada letra para comenzar a formar el número asociado con él. .

C

Agregando una línea a la "C", formas un 9, para 90º

S

Agregando una línea a la "S", formas un 8, para 180º

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Respuesta

47 ¿Cuál es el suplementario del ángulo cuya medida es 72°?

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Respuesta

48 ¿Cuál es el suplementario de un ángulo cuya medida es 28°?

Slide 104 / 190

¿Cuál es la medida del ángulo?

Respuesta

49 Lo medida de un ángulo es 98° más que su suplementario.

Slide 105 / 190

50 La medida de un ángulo es 74° menos que su suplementario

Respuesta

¿Cuál es la medida del ángulo?

Slide 106 / 190

¿Cuál es la medida del ángulo?

Respuesta

51 La medida de un ángulo es 26° más que su suplementario.

Slide 107 / 190

Ángulos opuestos por el vértice (verticales) Los ángulos verticales son dos ángulos cuyos lados forman dos pares de semirrectas opuestas. Donde sea que dos rectas se corten, se forman dos pares de ángulos verticales. A

∠ABC y ∠DBE son ángulos verticales y ∠ABE & ∠CBD son ángulos verticales.

B

E

C

D

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Ángulos verticales ∠ABC y ∠DBE son ángulos verticales A

B

E

∠ABE y ∠CBD son ángulos verticales. C A

D

E

B

C

D

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Ángulos verticales Podemos demostrar importantes propiedades sobre esos tres casos especiales: ángulos que son complementarios, ángulos que son suplementarios y ángulos verticales. La demostración usa dos columnas, una columna hace una afirmación y la columna siguiente provee la razón. Debajo hay una demostración con formato 2 columnas usadas para calcular el valor de x en el diagrama de la derecha. )⁰

Vamos a usar mucho las demostraciones, de manera que vamos +a 66 (11x A usar el formato como ese ejemplo para demostrar los tres ⁰ 3) D teoremas. + (Ver la siguiente diapositiva.) B

x (5 (13x + 7)⁰

C

Slide 110 / 190

Demostración de Ángulos verticales Afirmaciones

Razones

1) m∠ABD = (5x + 3)° m∠DBC = (13x + 7)° 1) Dadas m∠ABC = (11x + 66)° 2) m∠ABD + m∠DBC = m∠ABC 3) 5x + 3 + 13x + 7 = 11x + 66 4) 18x + 10 = 11x + 66 5) 7x + 10 = 66 6) 7x = 56 7) x = 8

A

2) Postulado Suma de Ángulos

B 3) Sustitución Propiedad de igualdad

(11x

⁰ 3) D + x (5 (13x + 7)⁰

+ 66

)⁰

C

4) Combinar términos semejantes/Simplificar 5) Resta Propiedad de igualdad 6) Resta Propiedad de igualdad 7) División Propiedad de igualdad

Slide 111 / 190

Demostraciones Ángulos especiales Volver a la tabla de contenidos

Demostraciones de dos columnas Las demostraciones comienzan con un objetivo: aquello que estamos intentando demostrar. No son exploraciones abiertas-cerradas, pero están directamente dirigidas a un fin específico. Conocemos la última afirmación de cada prueba cuando comenzamos esto es lo que estamos intentando probar. No conocemos la razón por anticipado.

Slide 112 / 190

Teorema de los Complementos Congruentes

Slide 113 / 190

Teorema: Los ángulos que son complementarios al mismo ángulo son iguales. Dados: Los ángulos 1 y 2 son complementarios Los ángulos 1 y 3 son complementarios Demostración: m∠ 2 = m∠ 3

Teorema de los Complementos Congruentes

Slide 114 / 190

Teorema: Los ángulos complementarios al mismo ángulo son iguales.

Razón 1 Afirmación 1 Los ángulos 1 y 2 son complementarios Dado Los ángulos 1 y 3 son complementarios

¿Qué sabemos sobre la suma de las medidas de los ángulos complementarios?

Teorema de los Complementos Congruentes MP7

Práctica de matemática

Teorema: Los ángulos complementarios al mismo Deje claro que el primer paso ángulo son iguales.demostración para cualquier

es establecer lo "Dado".

Razón 1 Afirmación 1 Luego, se usan las Dado Los ángulos 1 y propiedades 2 son complementarios de la primera Los ángulos 1 y 3 son complementarios

afirmación para hacer preguntas y continuar para resolver la prueba. La pregunta en esta diapositiva direcciona MP6 [This object is a pullatab] ¿Qué sabemos sobre la suma de las medidas de los ángulos complementarios?

Slide 114 (Answer) / 190

Teorema de los Complementos Congruentes

Slide 115 / 190

Razón 2 Definición de ángulos complementarios

Afirmación 2 m∠1 + m∠2 = 90 m∠1 + m∠3 = 90

Si igualamos las ecuaciones de arriba a 90 grados, ¿cómo están relacionadas entre sí? Explica cómo lo sabes.

Práctica de matemática

Teorema de los Complementos Congruentes

Slide 115 (Answer) / 190

Las preguntas en esta diapositiva direccionan a MP2, MP3 y MP6.

Afirmación 2 m∠1 + m∠2 = 90 m∠1 + m∠3 = 90

Razón 2 Definición de ángulos [This object iscomplementarios a pull tab]

Si igualamos las ecuaciones de arriba a 90 grados, ¿cómo están relacionadas entre sí? Explica cómo lo sabes.

Teorema de los Complementos Congruentes

Afirmación 3 m∠1 + m∠2 = m∠1 + m∠3

Razón 3 Sustitución propiedad de igualdad

¿Hay algo igual en ambos lados de la ecuación? Si es así, qué podemos hacer hacer para simplificar la ecuación? ¿Por qué es posible?

Slide 116 / 190

Práctica de matemática

Teorema de los Complementos Congruentes

Slide 116 (Answer) / 190

Las preguntas en esta diapositiva direccionan a MP2, MP3 y MP6.

Afirmación 3 m∠1 + m∠2 = m∠1 + m∠3

Razón 3 Sustitución propiedad de [This object is aigualdad pull tab]

¿Hay algo igual en ambos lados de la ecuación? Si es así, qué podemos hacer hacer para simplificar la ecuación? ¿Por qué es posible?

Teorema de los Complementos Congruentes

Afirmación 4 m∠2 = m∠3

Slide 117 / 190

Razón 4 Resta propiedad de igualdad

¿Qué podemos hacer establecer la demostración?

Teorema de los Complementos Congruentes Dado: Los ángulos 1 y 2 son complementarios Los ángulos 1 y 3 son complementarios Prueba: m∠2 = m∠3 Afirmación

Razón

Los ángulos 1 y 2 son complementarios Los ángulos 1 y 3 son complementarios

Dado

m∠ 1 + m∠ 2 = 90 m∠ 1 + m∠ 3 = 90

Definición de ángulos complementarios

m∠ 1 + m∠ 2 = m∠ 1 + m∠ 3

Sustitución Propiedad de igualdad

m∠ 2 = m∠ 3

Resta propiedad de igualdad

Slide 118 / 190

Teorema de los suplementarios congruentes

Slide 119 / 190

Teorema: Los ángulos que son suplementarios al mismo ángulo son iguales Dado:

Los ángulos 1 y 2 son suplementarios Los ángulos 1 y 3 son suplementarios

Demostración: m∠2 = m∠3

Esta es por tanto la última prueba que vamos a hacer a partir de la que examinaremos la prueba total.

Teorema de los suplementarios congruentes

Dado:

Slide 120 / 190

Los ángulos 1 y 2 son suplementarios Los ángulos 1 y 3 son suplementarios

Demostración: m∠2 = m∠3 Afirmación

Razón

Los ángulos 1 y 2 son suplementarios Los ángulos 1 y 3 son suplementarios

Dadps

m∠ 1 + m∠ 2 = 180

Definición de ángulos suplementarios

m∠ 1 + m∠ 3 = 180 m∠ 1 + m∠ 2 = m∠ 1 + m∠ 3

Sustitución propiedad de igualdad

m∠ 2 = m∠ 3

Resta propiedad de igualdad

Teorema de los ángulos verticales Los ángulos verticales tienen igual medida

A

E

1 2 4 3 B

C

D

Dado: recta AD y recta EC son rectas horizontales que se cortan en el punto B y forman los ángulos 1, 2, 3 y 4. Probar: m∠1 = m∠3 y m∠2 = m∠4

Slide 121 / 190

Teorema de los ángulos verticales A E

1 2 4 3 B

Slide 122 / 190

C

D

La primera afirmación se enfocará en qué está dado lo cual hace a esta situación única. En este caso, es sólo lo dado

Teorema de los ángulos verticales A

Slide 122 (Answer) / 190

Práctica de matemática

MP7 2 el primer paso Deje claro 1que 4 3 demostración para E cualquier C B es establecer lo "Dado". D se usan las Luego, propiedades de la primera afirmación para hacer La primera afirmación se enfocará en qué está dado lo cual preguntas y continuar hace a esta situación única. para resolver la prueba. En este caso, esissólo lo dado [This object a pull tab]

Teorema de los ángulos verticales A E

Afirmación 1 La recta AD y la recta EC son rectas horizontales que se cortan en el punto B y forman los ángulos 1, 2, 3 y4

1 2 4 3 B D

C

Razón 1 Dado

Entonces sabemos que queremos saber algo sobre la relación entre los pares de ángulos verticales. : ∠ 1 y ∠ 3 así como también ∠2 y ∠4 ¿Qué sabemos sobre esos cuatro ángulos que lo dado pueda ayudarnos con ellos?

Slide 123 / 190

Slide 123 (Answer) / 190

Práctica de matemática

Teorema de los ángulos verticales A 1 2 La pregunta sobre esta 4 3 direcciona E C diapositiva a MP1. B D

Afirmación 1 La recta AD y la recta EC son rectas horizontales que se cortan en el punto B y forman los ángulos 1, 2, 3 y4

Razón 1 Dado

[This object is a pull tab]

Entonces sabemos que queremos saber algo sobre la relación entre los pares de ángulos verticales. : ∠ 1 y ∠ 3 así como también ∠2 y ∠4 ¿Qué sabemos sobre esos cuatro ángulos que lo dado pueda ayudarnos con ellos?

Slide 124 / 190

52 Sabemos que los ángulos _____________. B C D E

∠1 y ∠4 son suplementarios

Respuesta

A

∠1 y ∠2 son suplementarios ∠2 y ∠3 son suplementarios ∠3 y ∠4 son suplementarios Todos los de arriba A E

1 2 4 3 B

C

D

Teorema de los ángulos verticales A E

1 2 4 3 B

C

D

Afirmación 2 ∠1 y ∠2 son suplementarios ∠1 y ∠4 son suplementarios ∠2 y ∠3 son suplementarios ∠3 y ∠4 son suplementarios

Razón 2 Los ángulos que forman un par lineal son suplementarios

¿Qué sabemos sobre dos ángulos que son suplementarios al mismo ángulo, tal como ∠2 y ∠4 que son ambos suplementarios de ∠1?

Slide 125 / 190

Práctica de matemática

Teorema de los ángulos verticales A La

Slide 125 (Answer) / 190

1 2 4 3 pregunta Bde E

esta C diapositiva direcciona a MP7. D

Razón 2 Afirmación 2 ∠1 y ∠2 son suplementarios Los ángulos que forman un ∠1 y ∠4 son suplementarios [This object is a pull tab] lineal son suplementarios par ∠2 y ∠3 son suplementarios ∠3 y ∠4 son suplementarios ¿Qué sabemos sobre dos ángulos que son suplementarios al mismo ángulo, tal como ∠2 y ∠4 que son ambos suplementarios de ∠1?

Teorema de los ángulos verticales A E

1 2 4 3 B

Slide 126 / 190

C

D

Razón 2

Afirmación 2 ∠1 y ∠2 son suplementarios ∠1 y ∠4 son suplementarios ∠2 y ∠3 son suplementarios ∠3 y ∠4 son suplementarios

Los ángulos que forman un par lineal son suplementarios

Vamos a observar el hecho de que ∠2 y ∠4 son ambos suplementarios a ∠1 y que 1 y 3 son ambos suplementarios a ∠4, ya que eso relaciona a los ángulos verticales que son de nuestro interés.

Práctica de matemática

Teorema de los ángulos verticales A E

1 2 4 3 B

C

El comentario en la parte D inferior de esta diapositiva direcciona a MP7.

Afirmación 2 ∠1 y ∠2 son suplementarios ∠1 y ∠4 son suplementarios ∠2 y ∠3 son suplementarios ∠3 y ∠4 son suplementarios

Razón 2

Los ángulos que forman un par lineal son suplementarios [This object is a pull tab]

Vamos a observar el hecho de que ∠2 y ∠4 son ambos suplementarios a ∠1 y que 1 y 3 son ambos suplementarios a ∠4, ya que eso relaciona a los ángulos verticales que son de nuestro interés.

Slide 126 (Answer) / 190

Slide 127 / 190

Teorema de los ángulos verticales A E

1 2 4 3 B

C

D Afirmación 3 m∠1 = m∠3 m∠2 = m∠4

Razón 3 Dos ángulos suplementarios al mismo ángulo son iguales

Pero aquellos son los pares de ángulos verticales que nos disponemos a probar que son iguales. De manera que, nuestra prueba terminó: los ángulos verticales son iguales.

Teorema de los ángulos Averticales

Dado: AD y EC son ángulos horizontales que se cortan en el Punto B y forman los ángulos 1, 2, 3 y 4 E Prueba: m∠1 = m∠3 y m∠2 = m∠4 Afirmación

1 2 4 3 B

Slide 128 / 190

C

D Razón

La recta AD y la recta EC son rectas horizontales que se cortan Dado en el Punto B y forman los ángulos 1, 2, 3 y 4. ∠ 1 y ∠ 2 son suplementarios ∠ 1 y ∠ 4 son suplementarios ∠ 2 y ∠ 3 son suplementarios

Los ángulos que forman un par lineal son suplementarios

∠ 3 y ∠ 4 son suplementarios

m∠ 1 = m∠ 3 y m∠ 2 = m∠ 4

Dos ángulos suplementarios al mismo ángulo son iguales

Slide 129 / 190 Teorema de los ángulos verticales

Hemos demostrado que los ángulos verticales son congruentes. Esto se convierte en un teorema que podemos usar en pruebas futuras. También podemos resolver problemas con él.

Slide 130 / 190 Ángulos verticales Dado: m∠ABC = 55o, resuelve para x, y y z. A

E

xo

55o

o

zo

y

B

C

D

Slide 130 (Answer) / 190

Práctica de matemática

Ángulos verticales Este ejemplo direcciona a MP2 Dado: m∠ABC = 55o, resuelve para x, y y z. Preguntas adicionales que podrían A usarse: ¿Qué información se te está dando? (MP1 ¿Qué necesitas calcular? (MP1) 55o xo (MP4) ¿Qué conecciones ves? o ¿CómoEpuedes hacer eso z o y B C mentalmente? (MP5) ¿Cómo se relaciona esta pregunta con los ángulos suplemetarios? [This object is a pull tab] (MP7) D

Slide 131 / 190 Ángulos verticales Dado: m∠ABC = 55°

Sabemos que x + 55 = 180°, ya que son suplementarios Y que y = 55°, ya que son ángulos verticales. y que x = z por la misma razón. A

E

125o 55o 55o B125o D

C

Slide 132 / 190

Ejemplo Calcula m∠1, m∠2 y m∠3. Explica tu respuesta

1

36o

3

36 + m∠1 = 180 m∠1 = 144° Los pares de ángulos lineales son suplementarios

2

m∠2 = 36°; Los ángulos verticales son congruentes (ángulo original y m∠2) m∠3 = 144°; Los ángulos verticales son congruentes (m∠1 y m∠3)

Slide 133 / 190 A

77°

B

103°

C

113°

D

ninguno de los de arriba

Respuesta

53 ¿Cuánto mide el ángulo 1?

1

77°

2

3

Slide 134 / 190 A

77°

B

103°

C

113°

D

ninguno de los de arriba

Respuesta

54 ¿Cuánto mide el ángulo 2?

1 2

77° 3

Slide 135 / 190 A

77°

B

103°

C

113°

D

ninguno de los de arriba

Respuesta

55 ¿Cuánto mide el ángulo 3?

1 2

77° 3

Slide 136 / 190 A

112°

B

78°

C

102°

D

ninguno de los de arriba

Respuesta

56 ¿Cuánto mide el ángulo 4?

4

D) medida del ángulo 4 = 68o

112° 6

5

B

Slide 137 / 190 A

112°

B

68°

C

102°

D

ninguno de los de arriba

Respuesta

57 ¿Cuánto mide el ángulo 5?

4

112° 6

5

Slide 138 / 190

A

102°

B

78°

C

112°

D

ninguno de los de arriba

Respuesta

58 ¿Cuál es la m∠6?

4

112° 6

5

Slide 139 / 190

Calcula el valor de x

Los ángulos mostrados son verticales de manera que son congruentes.

Respuesta

Ejemplo

(13x + 16)° (14x + 7)°

Slide 140 / 190

Ejemplo

(2x + 8)°

Los ángulos mostrados son suplementarios

(3x + 17)°

Respuesta

Calcula el valor de x.

Slide 141 / 190 A

95

B C

50 45

D

40

Respuesta

59 Calcula el valor de x

85o

(2x - 5)o

Slide 142 / 190

60 Calcula el valor de x 75

B

17

C

13

D

12

Respuesta

A

75o (6x + 3)o

Slide 143 / 190 61 Calcula el valor de x. 13.1

B

14

C

15

D

122

Respuesta

A

122o (9x - 4)o

Slide 144 / 190

A

12

B

13

C

42

D

138

Respuesta

62 Calculal el valor de x.

(7x + 54)o

42o

Slide 145 / 190

Bisectrices

Volver a la tabla de contenidos

Bisectriz de un ángulo

Slide 146 / 190 La semirrecta BX bisecta al
 
 ∠ABC

A

La bisectriz de un ángulo es una semirrecta o recta que comienza en el vértice y corta a un ángulo en dos mitades iguales

X

B

C

Bisectar significa cortar en dos partes iguales. La "bisectriz" es la cosa que corta. La bisectriz de un ángulo es equidistante desde los lados del ángulo medido a lo largo de un segmento perpendicular a los lados del ángulo.

Slide 147 / 190

Calculando la medida que falta

Respuesta

Ejemplo: el ∠ABC es bisectado por la semirrecta BD. Calcula las medidas de los ángulos que faltan.

A D

B

52° C

Slide 148 / 190

E H

56o

F

Respuesta

63 El ∠ EFG es bisectado por FH. La m∠ EFG = 56º. Calcula las medidas de los ángulos que faltan.

G

Slide 149 / 190 Respuesta

64 MO bisecta a ∠LMN. Calcula el valor de x.

L M

(x + 10)o

O

(3x - 20)o

N

Slide 150 / 190

65 La semirrecta NP bisecta a ∠MNO Dado que

Pista: click para revelar

¿Qué significa bisectar? Dibuja y coloca nombres a la imagen

Respuesta

m∠MNP = 57°, ¿cuál es la m∠MNO?

Slide 151 / 190

66 La semirrecta RT bisecta a ∠QRS. Dado que Respuesta

m∠QRT = 78°, ¿cuál es la m∠QRS?

Slide 152 / 190

67 La semirrecta VY bisecta a ∠UVW. Dado que ¿cuál es la m∠UVY?

Respuesta

m∠UVW = 165o,

Slide 153 / 190

68 La semirrecta BD bisecta a ∠ABC. Calcula el

A

Respuesta

valor de x.

D (7x + 3)o (11x - 25)o B

C

Slide 154 / 190

69 La semirrecta FH bisecta a ∠EFG. Calcula el valor de x.

E

Respuesta

H

(9x - 17)o (3x + 49)o F

G

I (7x + 1)o

L

(12x - 19)o J

K

Respuesta

70 La semirrecta JL bisecta a ∠IJK. Calcula el valor de x.

Slide 155 / 190

Slide 156 / 190

Locus y Constructiones de ángulos

Volver a la tabla de contenidos

Práctica de matemática

Slide 156 (Answer) / 190

Locus y Constructiones de ángulos

La lección entera con construcciones direcciona a MP5

[This object is a pull tab]

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Construcción de ángulos congruentes Dado: ∠FGH Construye: ∠ABC de modo que ∠ABC ≅ ∠FGH Nuestro enfoque estará basado en la idea que la medida de un ángulo es cuánto habríamos rotado una semirrecta para superponerla con la otra. Cuanto más grande la medida de un ángulo, más separadas ellas están a medida que las mueves desde el vértice. F

G

H

Slide 157 / 190

Construcción de ángulos congruentes

Slide 158 / 190

De modo que, si salimos una distancia fijada desde el vértice sobre ambas semirrectas y dibujamos puntos ahí, la distancia en que aquellos puntos se apartan uno del otro define la medida del ángulo. A mayor distancia, mayor la medida del ángulo. Si construimos otro ángulo cuyas semirrectas están separadas a la misma distancia desde el vértice, este será congruente al primer ángulo. F

G

H

Construcción de ángulos congruentes

Slide 159 / 190

1. Dibuja una recta de referencia con el lado horizontal. Ubica un punto de referencia (B) para indicar donde la nueva semirreca comenzará sobre la recta.

F

G

H

B

Construcción de ángulos congruentes 2. Ubica la punta del compás sobre el vértice G y ábrelo para cualquier longitud siempre y cuando el arco trazado corte ambas semirrectas. 3. Dibuja un arco que corte ambas semirrectas del ∠FGH. (Esto define una distancia común desde el vértice en ambas semirrectas ya que el arco es parte de un círculo y todos sus puntos son equidistantes desde el centro del círculo) F

G

H

B

Slide 160 / 190

Construcción de ángulos congruentes

Slide 161 / 190

4. Sin cambiar la extensión del compás, ubica la punta del compás en el punto de referencia B y mueve un arco de vaya desde la recta y por encima de él. (Esto define igual distancia desde el vértice sobre ambas, nuestra semirrecta de referencia y la semirrecta que usábamos para el ángulo original).

F

G

B

H

Construcción de ángulos congruentes

Slide 162 / 190

5. Ahora ubicaremos nuestro compás donde el arco corta una semirrecta del ángulo original y lo fijaremos de modo que se pueda dibujar un arco donde se cruza con la otra semirrecta. (Esto define cuán apartadas están las semirrectas a esa distancia desde el vértice)

F

G

H

B

Construcción de ángulos congruentes 6. Sin cambiar la apertura del compás ubica la punta del compás donde el primer arco cruza a la primera semirrecta y dibuja un arco que corta al arco sobre la semirrecta. (Esto hará la separación entre las seirrectas igual a la misma distancia desde el nuevo vérticce coo era el caso para el ángulo original) F

G

H

B

Slide 163 / 190

Construcción de ángulos congruentes

Slide 164 / 190

6. Ahora usa tu lado horizontal para dibujar la segunda semirrecta del nuevo ángulo que es congruente con el primer ángulo.

F A

G

C

B

H

Construcción de ángulos congruentes

Slide 165 / 190

Debería estar claro que esos dos ángulos son congruentes. La semirrecta FG tendría que ser rotada la misma cantidad para superponerse con la semirrecta GH que la semirrecta AB para superponerse con la semirrecta BC. Observa que donde ubicamos el punto no es relevante, sólo la forma del ángulo indica congruencia. F A

G

B

H

C

Construcción de ángulos congruentes Podemos confirmar poniendo un sobre el otro.

F

G

B

A

H

C

Slide 166 / 190

Slide 167 / 190 Notas para el profesor

Intenta ésto! Construye un ángulo congruente sobre el segmento dado. B

1) A

P

Q

R

Slide 168 / 190

Intenta ésto! Construye un ángulo congruente sobre el segmento dado. 2)

C

E

L

J

K

Slide 169 / 190 Video demostrativo de construcción de ángulos congruentes usando el Software de Geometría dinámica

Click aquí para ver el video

Slide 170 / 190

Bisectrices y Construcciones Volver a la tabla de contenidos

Práctica de matemática

Slide 170 (Answer) / 190 La lección entera con construcciones direcciona a MP5

Bisectrices y Construcciones [This object is a pull tab]

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Construcción de bisectrices Como aprendimos anteriormente, una bisectriz divide a un ángulo en dos ángulos adyacentes de igual medida. Para dibujar una bisectriz usaremos un enfoque similar al que usamos para construir un ángulo congruente, ya que, en este caso, estaremos construyendo dos ángulos congruentes. U

V

W

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Construcción de bisectrices

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1. Con la punta del compás sobre el vértice, dibuja un arco que corte ambas semirrectas. (Esto establecerá una distancia fijada desde el vértice en ambas semirrectas). U

V

W

Construcción de bisectrices

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2. Sin cambiar la apertura del compás, ubica la punta del comàs sobre la intersección de cada arco y la semirrecta y dibuja un nuevo arco de tal manera que los dos arcos se corten en el interior del ángulo. (Esto fija la distancia desde cada semirrecta original al la nueva semirrecta para ser la misma, de manera que los dos nuevos ángulos serán congruentes) U

V

W

Construcción de bisectrices 3. Con una regla, dibuja una semirrecta desde el vértice y pasando por la intersección de los arcos y coloca el nombre a un punto allí. Porque sabemos que la distancia de cada semirrecta original a la nueva semirrecta es la misma, en la misma distancia desde el vértice, sabemos que las medidas de los nuevos ángulos es la misma y que m∠UVX = m∠XVW U

X V

W

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Intenta ésto! Notas para el profesor

Bisecta el ángulo 3)

Intenta ésto!

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Bisecta el ángulo 4)

Construcción de bisectrices con cuerda, varilla, lápiz y regla Todo lo que hacemos con un compás puede ser hecho con una varilla y una cuerda. En ambos casos, la idea es marcar un centro (o la punta del compás o la varilla) y luego dibujar una parte de un círculo manteniendo un radio fijo (con la apertura del compás o la longitud de la cuerda fijos).

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Slide 178 / 190 Construcción de bisectrices con cuerda, varilla, lápiz y regla 1. Con la varilla sobre el vértice, dibujamos un arco cruzando a cada lado. U

V

W

Construcción de bisectrices con cuerda, varilla, lápiz y regla

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2. Ubicamos la varilla sobre la intersecciones de cada arco con los lados y dibujamos 2 arcos, uno desde cada lado de manera que quede un punto de intersección entre ellos. U

V

W

Construcción de bisectrices con cuerda, varilla, lápiz y regla 3. Con una regla, conectamos el vértice con la intersección de los arcos. Nombra ese punto. m∠UVX = m∠XVW U X

V W

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Intenta ésto!

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Bisecta el ángulo con cuerda, varilla, lápiz y regla. 5)

Intenta ésto!

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Bisecta el ángulo con cuerda, varilla, lápiz y regla. 6)

Construcción de bisectrices mediante plegado

1. Sobre tu papel de calcar, traza cualquier ángulo que elijas. Hazlo tan grande como el papel. Marca los puntos A, B y C.

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Construcción de bisectrices mediante plegado

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2. Pliega tu papel de calcar de manera que la semirrecta BA quede alineada. Se forma un pliegue.

Construcción de bisectrices mediante plegado

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3. Despliega el papel. Dibuja una semirrecta a lo largo del pliegue, comenzando desde el punto B. Dibuja y coloca nombre a un punto sobre la semirrecta.

Intenta ésto! Bisecta el ángulo mediante plegado. 7)

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Intenta ésto! Bisecta el ángulo mediante plegado. 8)

Slide 188 / 190 Videos demostrativos para la construcción de bisectrices usando Software de Geometría Click aquí para ver video usando compás y la herramienta segmento

Click aquí para ver video usando el menú opciones

Slide 189 / 190 Preguntas de muestra para la prueba. PARCC La diapositiva restantes de esta presentación contiene una pregunta tomada de la prueba de muestra PARCC. Después de terminar la unidad 2, deberías ser capaz de responder esta pregunta. Buena suerte!

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71 En base a la figura, ¿Cuál de las afirmaciones proveería suficiente información para concluir que r es perpendicular a la recta p? Selecciona todas las que aplican. A m∠2 = 90°

D m∠1 + m∠6 = 90°

B m∠ 6 = 90°

E m∠3 + m∠4 = 90°

C m∠3 = m∠6

F m∠4 + m∠5 = 90°

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r

La figura muestra la intersección de las rectas r, n, y p que forman los ángulos 1, 2, 3, 4, 5, y 6. Las tres rectas están en el mismo plano.

6 5 4

n 1 2

3

p no está hecho a escala

Respuesta

Pregunta 2/25