Slide 1 / 207 Ne w Je rs e y Ce nte r for Te aching and Le arning Iniciativa de Mate mática Progre s iva® Es te ma te ria l e s tá dis ponible gra tuita me nte e n ww.njctl.org y e s tá pe ns a do pa ra e l us o no comede rcia l e s tudia nte s y profe s ore s . No pue de s e r utiliza pado ra cua lquie r propós ito come rcia l s in cons e l e ntimie nto por e s crito de s us propie ta rios . NJCTL ma ntie ne s u s itio we b por la convicción de profe s ore s que de s e a n ha ce r dis ponible s u trapa barajo otros profe s ore s , pa rticipa r e n una comunida d de a pre ndiza je profe s iona l virtua l, y /o pe rmitir a pa dre s , e s tudia nte s y otra s pe rs ona s e l a cce s o a los ma te ria le s de los curs os . Nos otros , e n la As ocia ción de Educa ción de Nue va J eNJEA) rs e y ( s omos funda dore s orgullos os y a poyoNJCTL de y la orga niza ción inde pe ndie nte s in fine s de lucro. NJEA a dopta la mis ión de NJCTL de ca pa cita r a profe s ore s pa ra dirigir e l me jora mie nto e s cola r pa ra e l be ne ficio de todos los e s tudia nte s . Click para ir al s itio we b: www.njctl.org

Slide 2 / 207

Geometría Rectas Paralelas 2015-06-15

www.njctl.org

Tabla de Contenidos Click sobre el tema para ir a la sección

Rectas intersecantes, paralelas e inclinadas Rectas y transversales Rectas paralelas y demostración Propiedades de las rectas paralelas Construcción de rectas paralelas Preguntas de muestra PARCC

Slide 3 / 207

Vídeos de Contrucción. Tabla de Contenidos

Slide 4 / 207

Click sobre el tema para ver ese video

Rectas Paralelas Ángulos correspondientes Rectas Paralelas Ángulos Interiores Alternos Rectas Paralelas Ángulos Exteriores Alternos Rectas Paralelas Usando el Menú Opciones

A lo largo de esta unidad, se usan los Estándar para Práctica de Matemática.

Slide 5 / 207

MP1: Darle sentido a los problemas y perseverar en resolverlos. MP2: Razonamiento abstracto y cuantitativo. MP3: Construir argumentos viables y ser crítico con el razonamiento de los otros. MP4: Modelar con matemática. MP5: Usar estratégicamente las herramientas apropiadas . MP6: Ser preciso. MP7: Buscar y hacer uso de la estructura MP8 Buscar y expresar regularidad en razonamientos repetidos. En las diapositivas se incluyen preguntas adicionales usando las tablas de arrastre "Práctica de Matemática" (como ejemplo se muestra una en blanco a la derecha en esta diapositiva) con una referencia a los estándares usados. Si ya hay preguntas en una diapositiva, en la tabla de arrastre se enumeran los estándares específicos a los que la pregunta dirige.

Slide 6 / 207

Rectas Intersecantes, paralelas e inclinadas

Volver a la Tabla de Contenidos

Slide 7 / 207 Quinto Postulado de Euclides El Quinto Postulado de Euclides es probablemente el más famoso. Esto molestó a los matemáticos por miles de años

Quinto Postulado: Que si una recta al incidir sobre dos líneas rectas hace los ángulos internos menores que dos ángulos rectos, las dos rectas al prolongarse indefinidamente se encontrarán en el lado sobre el cuál están los dos ángulos menores que los dos ángulos rectos.

r

Slide 8 / 207 Quinto Postulado de Euclides Esto pareció tan natural que los geómetras griegos pensaron que ellos serían capaces de demostrarlo y no necesitarían que sea un postulado. Ellos se resistieron a usarlo por años. Sin embargo, se dieron cuenta que lo necesitaban. Y no pudieron probarlo. Sólo tuvieron que postularlo.

Quinto Postulado de Euclides Dice que existen dos casos posibles si una recta corta a otras dos rectas.

1 2

3 4

Slide 9 / 207

Quinto Postulado de Euclides

Slide 10 / 207

Los pares de ángulos sobre ambos lados, (ó ∠1 y ∠3 ó ∠2 y ∠4) juntos suman 180º, dos ángulos rectos, y las dos rectas rojas nuca se encuentran. Como esto....

1 2

3 4

Slide 11 / 207 Quinto Postulado de Euclides O como ésto.

1

3

2

4

O, ...

Quinto Postulado de Euclides Estos forman un ángulo menor a 180º en un lado (ángulos ∠2 y ∠4), y más que 180º sobre el otro lado (ángulos∠1 y ∠3), en este caso las rectas se juntan sobre el lado que tienen los ángulos de menor medida. Como éste...

1 2

3 4

Slide 12 / 207

Quinto Postulado de Euclides

Slide 13 / 207

Ó como este.

1

3

2

4

Slide 14 / 207 Quinto Postulado de Euclides Ellos no lo podían demostrar desde los otros axiomas y postulados. Pero sin esto hubo un gran cantidad de importantes partes de la geometría que no podían demostrar. De manera que dieron por hecho que sea el postulado definitivo de la Geometría Euclidiana. Por los siguientes miles de años, los matemáticos lo sintieron así. Se mantuvieron intentanto demostrar por qué este postulado no era necesario. No tuvieron éxito.

Quinto Postulado de Euclides En 1866, Bernhard Riemann tomó la otra perspectiva. 
 Para su disertación doctoral diseñò una geometría en la cual los postulados de Euclides no eran verdaderos, más bien que asumir que sí lo eran. Esto condujo a la Geometría No Euclidiana donde las rectas paralelas siempre se encuentran, mientras que en la otra geometría nunca se encuentran.

Slide 15 / 207

Slide 16 / 207 Quinto Postulado de Euclides Pero unos cincuenta años después la geometría no Euclidiana se convirtió en la base matemática de la Relatividad General De Einstein. en base al rechazo del quinto postulado. Esto creo la idea del espaciotiempo curvado. Esta es la teoría aceptada ahora para la forma de nuestro universo.

Quinto Postulado de Euclides

Slide 17 / 207

Las rectas que están en el mismo plano y nunca se encuentran se llaman paralelas.

Las rectas que se cortan se llaman no paralelas ó intersecantes. Todas las rectas que se cortan están en un plano común.

Quinto Postulado de Euclides Las rectas que están en diferentes planos y nunca se encuentran se llaman inclinadas.

n Las rectas m y n en en la figura están inclinadas.

P

Q m

Slide 18 / 207

Postulado de las Paralelas

Slide 19 / 207

Una manera de afirmar el Quinto Postulado de Euclides es decir que las rectas paralelas nunca se encuentran. Una extensión de esto es el Postulado de las Paralelas: dada una, recta y un punto que no esté sobre la recta, existe uno y sólo una recta que puede ser dibujada pasando por ese puntoy que sea paralela a la recta. B

a

¿Puedes estimar donde estaría ubicada la recta?

Slide 20 / 207 Postulado de las Paralelas ¿Puedes imaginar alguna otra recta que podría ser trazada pasando por el punto B y aún ser paralela a la recta a? B

a

Paralelas, Intersecantes e Inclinadas Las Rectas Paralelas son dos rectas en un plano que nunca se encuentran.

Podemos decir que las rectas DE y FG son paralelas. Ó, simbólicamente:

DE ║ FG

D La pregunta en esta diapositiva direcciona a MP2 F

E G

Slide 21 / 207

Slide 22 / 207

Símbolo para rectas paralelas No se puede asumir que las rectas sean paralelas a menos que esté indicado que lo son. Ver que son paralelas no es suficiente. Existen dos maneras de indicar que las rectas son paralelas. La primer manera es como se muestra en la diapositiva anterior: DE ║ FG

D

E

F

G

Slide 23 / 207

Símbolo para rectas paralelas La otra manera para indicar que las rectas son paralelas es indicarlas con flechas como se muestra abajo. Las rectas que comparten la flecha (en rojo para que sean más visibles) son paralelas. Si dos diferentes pares de rectas son paralelas las que coinciden en el número de flechas son paralelas como se muestra abajo.

k m

Slide 24 / 207

Símbolo para rectas paralelas Esto indica que las rectas k y m son paralelas entre sí. Y, las rectas a y b son paralelas entre sí. Pero las rectas k y m no son paralelas con a y b. a b

k m

Paralelas, Intersecantes e Inclinadas

Slide 25 / 207

Si dos diferentes rectas en el mismo plano que no son paralelas se cortan, son rectas intersecantes en un punto.

Sabemos que se forman cuatro ángulos.

E G

F D

Paralelas, Intersecantes e Inclinadas

Slide 26 / 207

A partir de esos cuatro ángulos, exiten cuatro pares de ángulos lineales o pares lineales.

Los Pares Lineales son ángulos adyacentes formados por rectas intersecantes; los ángulos son suplementarios. ∠ 1 y ∠ 3 son un par lineal

1 3

F

4

2

E G

D Enumera los otros pares lineales.

Rectas perpendiculares Si los ángulos adyacentes formados por rectas intersecantes son congruentes, las rectas son perpendiculares.

E

Symbolicamente se escribe como FG DE

⊥

G

F D

Slide 27 / 207

Slide 28 / 207

Rectas inclinadas Si dos rectas se intersecan, definen un plano, de modo que son co-planares. Dos rectas que no se intersecan pueden o ser paralelas si están en el mismo plano o inclinadas si están en planos diferentes.

n

Q

m P Las rectas m y n en la figura son inclinadas.

Slide 29 / 207

Rectas inclinadas H Usando el siguiente diagrama, nombra una recta que esté inclinada con respecto a la recta HG: una recta que no está en un plano común.

E

G F

D

∠ 1y∠ 2, ∠ 2 y∠ 4, ∠ 3y∠ 4

A

C B

Slide 30 / 207 1 ¿Están inclinadas las rectas a y b? a

Yes No G

b

Slide 31 / 207 2 ¿Cuántas rectas se pueden dibujar pasando por C y que sean paralelas a la recta AB? B

A

C

Slide 32 / 207 Nombra todas las rectas paralelas a EF. A

AB

B C

BC DC

D

HD

E

HG

H

G

E

Respuesta

3

F

D

C

A

B

Slide 33 / 207 Nombra las rectas inclinadas a EF. A

BC

B

DC HD

C D

AB

E

GC

H E

G

F

D A

Respuesta

4

C B

Slide 34 / 207 Dos rectas intersecantes siempre son coplanares. Verdadero Falso

Respuesta

5

Slide 35 / 207 6

Dos rectas inclinadas son coplanares. Verdadero Respuesta

Falso

Slide 36 / 207 7 Completa esta afirmación con la palabra más apropiada :

A

siempre

B

nunca

C

algunas veces

Respuesta

Dos rectas inclinadas son __________ paralelas.

Slide 37 / 207

Rectas y Transversales

Volver a la tabla de contenidos

Slide 38 / 207

Transversales Una Transversal es una recta que intersea dos o más rectas coplanares.

n

(Este es el nombre de la recta que Euclides usó para intersecar dos rectas en su quinto postulado). En la imagen se muestra la recta n, transversal, intersecando a la recta k y a la recta m.

2 3 6 7

1 4

k

5 8

m

La recta k y la recta m pueden o no ser paralelas.

Ángulos formados por una Transversal n Cuando una recta transversal interseca dos rectas, se forman ocho ángulos. A esos ángulos se les da nombres especiales.

3 4 6 5

k

m

Los ángulos Interiores son los 4 ángulos que están entre las dos rectas.

Slide 39 / 207

Slide 40 / 207

Ángulos formados por una Transversal n Cuando una transversal interseca dos rectas, se forman ocho ángulos. A esos ángulos se le da nombres especiales.

2 1

k

m

7 8

Ángulos Exteriores son los 4 ángulos que están afuera de las dos rectas.

Slide 41 / 207

8 Nombra todos los ángulos interiores.

B ∠2

F ∠6

C ∠3

G ∠7

D ∠4

H ∠8

2 1 3 4 6 5 7 8

9 Nombra todos los ángulos exteriores. A ∠1

E ∠5

B ∠2

F ∠6

C ∠3

G ∠7

D ∠4

H ∠8

k

2 1 3 4 6 5 7 8

Respuesta

E ∠5

m

Slide 42 / 207 n

k

m

Respuesta

A ∠1

n

Ángulos Correspondientes 2 1 3 4

Los ángulos correspondientes son pares de ángulos que están en la misma posición relativamente transversal como se muestra arriba.

6 5 7 8

Slide 43 / 207 n

k

m

Existen cuatro pares de ángulos correspondientes formados cuando se intersecan dos rectas.

Slide 44 / 207

10 ¿Qué ángulo es correspondiente con ∠ 1?

2 1 3 4

Respuesta

n

k

6 5 7 8

m

Slide 45 / 207

n 2 1 3 4 6 5 7 8

k

m

Respuesta

11 ¿Qué ángulo es correspondiente con ∠ 7?

Slide 46 / 207

12 ¿Qué ángulo es correspondiente con ∠ 6?

2 1 3 4

Respuesta

n

k

6 5 7 8

m

Slide 47 / 207

13 ¿Qué ángulo es correspondiente con ∠ 4?

2 1 3 4

Respuesta

n

k

6 5 7 8

m

Ángulos Interiores Alternos n

Los ángulos interiores alternos son ángulos interiores que están en lados opuestos de la transversal.

3 4 6 5

k

m

Existen dos pares formados por la transversal; se muestran en rojo y azul.

Slide 48 / 207

Slide 49 / 207

Ángulos Exteriores Alternos n Los ángulos exteriores alternos son ángulos exteriores que están en lados opuestos de una transversal.

2 1

k

m

7 8

Existen dos pares formados por una transversal; se muestran arriba en rojo y azul.

6 5 7 8

m

∠1 ∠2 ∠3 ∠4

E ∠5 F ∠6 G ∠7 H ∠8

n 2 1 3 4 6 5 7 8

k

m

Slide 51 / 207 Respuesta

15 ¿Cuál es el ángulo exterior alterno que se aparea con ∠ 7? A B C D

Slide 50 / 207

Respuesta

14 ¿Cuál es el ángulo interior alterno que se aparea con ∠ 3? n A ∠1 E ∠5 B ∠2 F ∠6 2 1 k C ∠3 G ∠7 3 4 D ∠4 H ∠8

Slide 52 / 207

A B C D E F

∠1 ∠2 ∠3 ∠4 ∠5 ∠6

G ∠7 H ∠8

Respuesta

16 ¿Cuál es el ángulo exterior alterno que se aparea con ∠ 2? n 2 1 3 4

k

6 5 7 8

m

Slide 53 / 207

A ∠1 B ∠2 C ∠3 D ∠4 E ∠5 F ∠6 G ∠7 H ∠8

Respuesta

17 ¿Cuál es el ángulo interior alterno que se aparea con ∠ 6? n 2 1 3 4

k

6 5 7 8

m

Slide 54 / 207

Ángulos interiores del mismo lado n Los ángulos interiores del mismo lado son ángulos que están en el mismo lado de la transversal.

3 4 6 5

Hay dos pares de ángulos formados por la transversal, se muestran en rojo y en azul.

k

m

Slide 55 / 207

Ángulos Exteriores del mismo lado

n

Los ángulos exteriores del mismo lado son ángulos que están en el mismo lado de la transversal.

2 1

k

m

7 8

Hay dos pares de ángulos formados por la transversal, se muestran en rojo y en azul.

Slide 56 / 207

n 2 1 3 4

k

6 5 7 8

m

19 ¿Cuál es el ángulo exterior del mismo lado que se aparea con ∠ 7? A B C D

∠1 ∠2 ∠3 ∠4

E ∠6 F ∠7 G ∠8

n 2 1 3 4 6 5 7 8

k

m

Slide 57 / 207 Respuesta

A ∠1 B ∠2 C ∠3 D ∠4 E ∠6 F ∠7 G ∠8

Respuesta

18 ¿Cuál es el ángulo interior del mismo lado que se aparea con ∠ 6?

Slide 58 / 207

Clasificando ángulos

Desliza cada palabra dentro del recuadro apropiado para clasificar cada par de ángulos. Respuesta

a. ∠ 1 y ∠ 2 n

b. ∠ 1 y ∠ 3 2 1 3 4

c. ∠ 1 y ∠ 5

6 5 7 8

d. ∠ 3 y ∠ 6 e. ∠ 3 y ∠ 5

igual lado

f. ∠ 3 y ∠ 8 Par lineal Correspondiente

k

m

Interiores Alternos Exteriores alternos Vertical

Interior Igual Lado

Slide 59 / 207

20 ∠ 3 y ∠ 6 son... Respuesta

A Ángulos correspondientes B Ángulos exteriores alternos C Ángulos exteriores del mismo lado D Ángulos verticales k E Ninguno de esos 1 2 3 4

j 5 6 7 8

t

Slide 60 / 207 Respuesta

21 ∠ 1 y ∠ 6 son ____.

A Ángulos correspondientes

B Ángulos exteriores alternos C Ángulos exteriores del mismoklado D Ángulos verticales E Ninguno de esos 1 2 3 4

j 5 6 7 8

t

Slide 61 / 207

A Ángulos correspondientes B Ángulos exteriores alternos j C Ángulos exteriores del mismo lado k D Ángulos verticales 5 6 E Ninguno de esos 1 2 7 8 3 4

Respuesta

22 ∠ 2 y ∠ 7 son ____.

t

Slide 62 / 207

A Ángulos correspondientes B Ángulos exteriores alternos C Ángulos exteriores del mismo lado D Ángulos verticales k E Ninguno de esos

1 2 3 4

Respuesta

23 ∠ 4 y ∠ 8 son ____.

j 5 6 7 8

t

Slide 63 / 207

A Ángulos correspondientes B Ángulos exteriores alternos C Ángulos exteriores del mismo lado D Ángulos verticales E Ninguno de esos k

1 2 3 4

Respuesta

24 ∠ 1 y ∠ 7 son ____.

j 5 6 7 8

t

Slide 64 / 207

A Ángulos correspondientes B Ángulos exteriores alternos C Ángulos exteriores del mismo lado D Ángulos verticales E Ninguno de esos k

1 2 3 4

Respuesta

25 ∠ 5 y ∠ 8 son ____.

j 5 6 7 8

t

Slide 65 / 207

A Ángulos correspondientes B Ángulos exteriores alternos C Ángulos exteriores del mismo lado D Ángulos verticales k E Ninguno de esos

1 2 3 4

Respuesta

26 ∠ 2 y ∠ 5 son ____.

j 5 6 7 8

t

Slide 66 / 207

Rectas paralelas y demostraciones Laboratorio- Comenzando un negocio-Hoja de trabajo

Laboratorio- Comenzando un negocio- Diapositivas para el profesor

Volver a la tabla de contenidos

Slide 67 / 207 Propiedades de congruencia e igualdad Además de los postulados y teoremas usados hasta ahora, hay tres propiedades esenciales de congruencia en las que nos vamos a basar a medida que avancemos. Existen también cuatro propiedades de igualdad, tres de las cuales están muy cercanamente relacionadas para coincidir con las propiedades de congruencia.

Slide 68 / 207 Propiedades de congruencia e igualdad Todas ellas representan una suerte de sentido común que Euclides habría descripto como una Comprensión Común y los que ahora llamamos Axioma. Las propiedades de congruencia son ciertas para todas las cosas congruentes: segmentos, ángulos y figuras. Las propiedades de igualdad son ciertas para todas las medidas de cosas incluyendo longitudes de rectas y medidas de ángulos.

Propiedad Reflexiva de Congruencia Una cosa siempre es congruente a sí misma. Aunque esto es obvio será usado como una razón para demosstrar teoremas. Por ejemplo, cuando un segmento sirve como lado para dos triángulos diferentes, podemos decir que los lados de aquellos triángulos son congruentes con la razón: Propiedad Reflexiva de Congruencia A

B

En el diagrama, AC ≅ AC D

C

Slide 69 / 207

Propiedad Reflexiva de Igualdad

Slide 70 / 207

Las medidas de ángulos o longitudes de lados pueden ser tomadas como que son iguales a sí mismas, incluso si hay partes de diferentes figuras, con la razón: Propiedad Reflexiva de Igualdad

A

C

B

D

El Postulado de la suma de segmentos nos dice que AC = AB + BC

y

BD = CD + BC

La Propiedad Reflexiva de la Igualdad indica que la logitud BC es igual a sí misma en ambas ecuaciones.

Propiedad Simétrica de Congruencia

Slide 71 / 207

Si una cosa es congruente a otra, la segunda cosa también es congruente a la primera. De nuevo, esto es obvio pero permite reversar el orden de las afirmaciones sobre las propiedades congruentes con la razón: Propiedad Simétrica de Congruencia Por ejemplo: ∠ ABC es congruente a ∠ DEF que ∠ DEF es congruente a ∠ ABC,

Propiedad Simétrica de Igualdad Si una cosa es congruente a otra, la segunda cosa también es igual a la primera. De nuevo, esto es obvio pero permite reversar el orden de las afirmaciones sobre las propiedades de la igualdad con la razón: Propiedad Simétrica de Igualdad Por ejemplo: Si m∠ ABC = m∠ DEF, entonces m∠ DEF = m∠ ABC,

Slide 72 / 207

Propiedad Transitiva de la Congruencia

Slide 73 / 207

Si dos cosas son congruentes a una tercera cosa, entonces ellas también son congruentes entre sí. De manera que si ΔABC es congruente a ΔDEF y ΔLMN también es congruente a ΔDEF, entonces podemos decir que ΔABC es congruente a ΔLMN debido a con la razón: Propiedad Transitiva de Congruencia

Propiedad Transitiva de Igualdad

Slide 74 / 207

Si dos cosas son iguales a una tercera cosa, entonces son también iguales entre sí. Si m∠A = m∠B y m∠C = m∠B, entonces m∠A = m∠C Esto es idéntico a la propiedad transitiva de la congruencia excepto si trata con las medidas de cosas en lugar que con las cosas. Propiedad Transitiva de Igualdad

Propiedad de Sustitución de la Igualdad

Si una cosa es igual a otra, entonces puede ser sustituída por otra. Este es un paso común en una demostración donde una cosa es probada igual a otra y reemplazada por otra en una expresión usando la razón: Propiedad de Sustitución de la Igualdad Por ejemplo si x + y = 12, y x = 2y Podemos sustituir 2y por x para obtener 2y + y = 12 y usar la propiedad de la división para obtener y = 4

Slide 75 / 207

Slide 76 / 207

Teorema de los ángulos correspondientes Si las rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces los ángulos correspondientes son congruentes. n 2 1 3 4

k

6 5 7 8

m

Slide 77 / 207

Demostración de ángulos correspondientes Para clarificar el argumento, vamos a comprobar que un par de aquellos ángulos son iguales. Puedes seguir el mismo enfoque para demostrar los otros tres pares de ángulos iguales.

Respuesta

De acuerdo a los ángulos correspondientes, ¿cuál de los ángulos de arriba son congruentes?

n

2 1 3 4

k

6 5 7 8

m

Podríamos elegir cualquier par de ángulos correspondientes: ∠2 y ∠6; ∠3 y ∠7; ∠1 y ∠5; o ∠4 y ∠8. Juntos vamos a probar que ∠2 y ∠6 son congruentes.

Slide 78 / 207

Demostración de ángulos correspondientes Dado: que la recta m y la recta k son paralelas e intersecadas por la recta n n

Demostar: m∠2 = m∠6 2 1 3 4 6 5 7 8

k

m

Propiedad Transitiva de Congruencia

Slide 79 / 207

n 2 1 3 4

k

6 5 7 8

m

Afirmación 1 La recta m y la recta k son paralelas e intersecadas por la recta n

Razón 1 Dado

Demostración de ángulos correspondientes

Slide 80 / 207

n

Recuerda el Quinto Postulado de Euclides. El que no gustó pero que igual necesitan. 2 1 3 4 6 5 7 8

k

m

Quinto Postulado: Que si una recta al incidir sobre dos líneas rectas hace los ángulos internos menores que dos ángulos deindefinidamente Euclides rectos, las dos Quinto rectas alPostulado prolongarse se encontrarán en el lado sobre el cuál están los dos ángulos menores que los dos ángulos rectos.

Quinto Postulado de Euclides Recuerda que anteriormente en esta unidad hemos aprendido que esto significa que... Si los pares de ángulos interiores sobre ambos lados de la transversal, (tanto ∠1 y ∠3 o ∠2 ∠4) suman 180º, las dos rectas rojas son paralelas...y nunca se juntan. 1

3

4

2

Slide 81 / 207

Slide 82 / 207

27 De modo que, en este caso, ¿qué ángulos deberán sumar 180º en base al quinto postulado de Euclides? A ∠1 y ∠4

2 1 3 4

B ∠6 y ∠8

6 5 7 8

C ∠4 y ∠5

k

Respuesta

n

m

D ∠3 y ∠6 E Todos los de arriba

Demostración de ángulos correspondientes

Slide 83 / 207

n

2 1 3 4

k

6 5 7 8

Afirmación 2 ∠3 y ∠6 son suplementarios

m

Razón 2 Quinto Postulado de Euclides

∠4 y ∠5 son suplementarios

¿Qué otros ángulos son suplementarios a ∠3, debido a que juntos forman un ángulo recto? ¿Qué podemos decir sobre ∠6?

Demostración de ángulos correspondientes n

2 1 3 4 6 5 7 8

Afirmación 3 ∠ 2 & ∠ 3 son suplementarios

k

m

Razón 3 Los ángulos que forman un par lineal son suplementarios

¿Qué sabemos sobre los ángulos suplementarios?

Slide 84 / 207

Demostración de ángulos correspondientes

Slide 85 / 207

n

2 1 3 4 6 5 7 8

Afirmación 4 m∠ 2 = m∠ 6

k

m

Razón 4 Dos ángulos suplementarios al mismo ángulo son iguales

Slide 86 / 207

n

Demostración de ángulos correspondientes 2 1 3 4

Dado: La recta m y la recta k son paralelas e intersecadas por la recta n

6 5 7 8

Prueba: m∠2 = m∠6 Afirmación La recta m y la recta k son 1 paralelas e intersecadas por la recta n 2

∠4 y ∠5 son suplementarios ∠3 y ∠6 son suplementarios

k m

Razón Dado Quinto Postulado de Euclides

3 ∠3 & ∠2 son suplementarios

Los ángulos que forman un par lineal son suplementarios

4 m∠2 = m∠6

Dos ángulos suplementarios al mismo ángulo son iguales

Slide 87 / 207

Propiedades de las Rectas Paralelas Este es un resultado importante, que fue sólo hecho posible por el Quinto Postulado de Euclides. Esto lleva a otros importantes resultados. Nos permite probar algunos otros pares de ángulos suplementarios. n

Y, funciona en reversa, si se encuentra cualquiera de esas condiciones podemos comprobar que las rectas son paralelas.

2 1 3 4 6 5 7 8

k

m

Demostración de las Rectas Paralelas Opuestas

Slide 88 / 207

Hemos demostrado que si dos rectas son paralelas, sus ángulos correspondientes son iguales. El opuesto debería también ser cierto: Si dos rectas son cortadas por una transversal y sus ángulos correspondientes son congruentes, entonces las rectas son paralelas.

Demostración de las Rectas Paralelas Opuestas

Slide 89 / 207

Para cada caso se usa la misma razón: los ángulos correspondientes de las rectas paralelas son iguales. Demostrar la relación entre ciertos ángulos si sabemos que las rectas son paralelas. O Probar que las rectas son paralelas si sabemos la relación entre aquellos ángulos.

Slide 90 / 207 Demostración de las Rectas Paralelas Opuestas Este patrón será cierto de cada teorema demostramos sobre los ángulos formados por la intersección transversal de las rectas paralelas. Esto prueba la relación entre las rectas sabiendo que son paralelas, o prueba que las rectas son paralelas.

Teorema de los Ángulos Interiores Alternos

Slide 91 / 207

n

De acuerdo al Teorema de los Ángulos Interiores Alternos, ¿cuál de esos ángulos son congruentes?

2 1 3 4

k

6 5 7 8

Respuesta

Si rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces los ángulos interiores alternos son congruentes.

m

Slide 92 / 207

Demostración de Ángulos Interiores Alternos Dado: La recta m y la recta k son paralelas e intersecadas por la recta n Probar: ∠ 3 ≅ ∠ 5 y ∠ 4 ≅ ∠ 6

n 2 1 3 4

k

6 5 7 8

m

Demostración de Ángulos Interiores Alternos

Afirmación 1 La recta m y la recta k son paralelas e intersecadas por la recta n

Slide 93 / 207 Razón 1 Dado

n 2 1 3 4

6 5 7 8

k

m

De acuerdo al Teorema de los Ángulos Correspondientes, ¿cuál de los ángulos de arriba son congruentes?

Demostración de Ángulos Interiores Alternos

Afirmación 2 ∠1 ≅ ∠5 ∠2 ≅ ∠6

n 2 1 3 4

Slide 94 / 207

Razón 2 Cuando dos rectas paralelas están cortadas por una transversal, los ángulos correspondientes son congruentes.

k

6 5 7 8

m

¿Qué otro ángulo es congruente a ∠ 1? ¿Qué otro ángulo es congruente a ∠ 2? ¿Por qué esos ángulos son congruentes?

Demostración de Ángulos Interiores Alternos Afirmación 3 ∠1 ≅ ∠3

Slide 95 / 207

Razón 3 Los ángulos verticales son n congruentes

∠2 ≅ ∠4 2 1 3 4

k

6 5 7 8

m

¿Qué sabemos de los ángulos que son congruentes al mismo ángulo? Explica tu respuesta.

Demostración de Ángulos Interiores Alternos

Afirmación 4 ∠3 ≅ ∠5 ∠4 ≅ ∠6

n 2 1 3 4 6 5 7 8

Razón 4 Propiedad Transitiva de Congruencia

k

m

Pero aquellos son los pares de ángulos interiores alternos que tenemos que demostrar que son congruentes. Así que nuestra prueba esta completa: los Ángulos Alternos Interiores de las Rectas Paralelas son congruentes.

Slide 96 / 207

Dado: La recta m y la recta k son paralelas e intersecadas con la recta n ∠4 ≅ ∠6 Afirmación

2 1 3 4

k

6 5 7 8

Probar: ∠3 ≅ ∠5

Slide 97 / 207

n

Demostración de Ángulos Interiores Alternos

m

Razón

La recta m y la recta k son 1 paralelas e intersecadas por la recta n

Dado

2 ∠1 ≅ ∠5 y ∠2 ≅ ∠6

Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces los ángulos correspondientes son ≅

3 ∠1 ≅ ∠3 y ∠2 ≅ ∠4

Los ángulos verticale son ≅

4 ∠3 ≅ ∠5 y ∠4 ≅ ∠6

Propiedad Transitiva de la Congruencia

Slide 98 / 207

Teorema de los Ángulos Interiores Alternos Si dos rectas son cortadas por una transversal y los ángulos interiores alternos son congruentes, entonces las rectas son paralelas.

Slide 99 / 207

Teorema de los Ángulos Exteriores Alternos Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces los ángulos exteriores son congruentes.

2 1 3 4 6 5 7 8

k

m

De acuerdo al Teorema de los Ángulos Exteriores Alternos ¿con qué ángulos son congruentes?

Respuesta

n

Slide 100 / 207

Teorema de los Ángulos Exteriores Alternos Ya que la demostración para el Teorema de los Ángulos Exteriores Alternos es muy similar al Teorema de los Ángulos Exteriores Alternos se completará esta demostración como una parte del trabajo en la casa para esta lección.

Slide 101 / 207

Teorema de los Ángulos Exteriores Alternos Opuestos Si dos rectas son cortadas por una transversal y los ángulos exteriores alternos son congruentes, entonces las rectas son paralelas.

Slide 102 / 207

Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces los ángulos interiores del mismo lado son suplementarios. n 2 1 3 4 6 5 7 8

k

m

De acuerdo al Teorema de los Ángulos Interiores del mismo lado ¿qué pares de ángulos son suplementarios?

Respuesta

Teorema de los Ángulos Interiores del mismo lado

Slide 103 / 207

Demostración de Ángulos Interiores del mismo lado 2 1 3 4

Dado: Las rectas m y k son paralelas e intersecadas por la recta n

6 5 7 8

Definición de suplementario Quinto Postulado de Euclides Dado Los ∠s Interiores Alternos son ≅ Los ∠s Correspondientes are ≅ Afirmación

2 1 3 4 6 5 7 8

m

?

m∠ 4 + m∠ 5 = 180º

Definición de ∠ s suplementarios

Slide 105 / 207

Definición de suplementario Quinto Postulado de Euclides Dado Los ∠s Interiores Alternos son ≅

n 2 1 3 4 6 5 7 8

k m

E Los ∠s Correspondientes are ≅ Afirmación 1 2 3

Razón

La recta m y k son paralelas e intersecados por la recta n m∠ 3 + m∠ 6 = 180º m∠ 4 + m∠ 5 = 180º ?

? ? Definición de ∠ s suplementario

Respuesta

?

29 ¿Qué razón aplica al paso 2? A B C D

k

?

m∠ 3 + m∠ 6 = 180º

3

n

Razón

Las rectas m y k son 1 paralelas e intersecadas por la recta n 2

m

Slide 104 / 207

28 ¿Qué razón aplica al paso 1? A B C D E

k

Respuesta

Prueba: ∠3 y ∠6 son suplementarios y ∠4 y ∠5 son suplementarios

n

Slide 106 / 207

30 ¿Qué afirmación sería la del paso 3? 2 1 3 4 6 5 7 8

E ∠3 y ∠5 son suplementarios Afirmación

?

Las sumas de m∠3 y m∠6 y de m∠4 y m∠5 son 180º.

? Definición de ángulos suplementarios

?

3

m

Razón

La recta m y la recta k son 1 paralelas e intersecadas por la recta n 2

k

Respuesta

A ∠3 y ∠6 son suplementarios B ∠6 y ∠5 son suplementarios C ∠2 y ∠6 son suplementarios D ∠4 y ∠5 son suplementarios

n

Demostración de ángulos interiores del mismo lado

Dado: La recta m y la recta k son paralelas e intersecadas por la recta n Prueba: ∠3 y ∠6 son suplementarios y ∠4 y ∠5 son suplementarios Afirmación

Slide 107 / 207 n 2 1 3 4

6 5 7 8

k m

Razón

Las rectas m y k son paralelas 1 Dado e intersecadas por la recta n 2 3

m∠ 3 + m∠ 6 = 180º m∠ 4 + m∠ 5 = 180º ∠ 3 y ∠ 6 son suplementarios ∠ 4 y ∠ 5 son suplementarios

Quinto Postulado de Euclides Definición de ∠ s suplementarios

Teorema de los ángulos interiores opuestos del mismo lado Si dos rectas son cortadas por una transversal y los ángulos interiores del mismo lado son suplementarios, entonces las rectas son paralelas.

Slide 108 / 207

Slide 109 / 207

Teorema de los Ángulos Exteriores del mismo lado

2 1 3 4

De acuerdo al Teorema de los Ángulos Exteriores del mismo lado ¿qué ángulos son suplementarios?

k

6 5 7 8

m

Demostración de Ángulos Exteriores del mismo lado

Slide 110 / 207 n

2 1 3 4

Dado: Las rectas m y k son paralelas e intersecadas por la recta n

k

6 5 7 8

Prueba: ∠2 y ∠7 son suplementarios

Respuesta

Si dos rectas son cortadas por una transversal, entonces los ángulos exteriores del mismo lado son suplementarios. n

m

Demostrando que ∠2 y ∠7 son suplementarios estamos probando además que ∠1 y ∠8 son suplementarios ya que el mismo argumento aplica a ambos pares de ángulos.

31 ¿Qué razón aplica al paso 1? 2 1 3 4 6 5 7 8

Razón

Las rectas m y k son 1 paralelas e intersecadas por la recta n 2

?

3

?

? Los ángulos interiores del mismo lado son suplementarios Los ángulos que forman un par lineal son suplementarios

4 ∠2 ≅ ∠6 y ∠3 ≅ ∠7

?

5 ∠2 y ∠7 son suplementarios

?

k m

Respuesta

Definición de ∠s suplementarios Propiedad de Sustitución de la Igualdad Dado ∠s que forman un par lineal son suplementarios E ∠s suplementarios al mismo ∠ are ≅ Afirmación

Slide 111 / 207

n

A B C D

32 ¿Qué afirmación se hace en el paso 2?

Afirmación

2 1 3 4 6 5 7 8

k

Respuesta

∠2 y ∠1 son suplementarios ∠7 y ∠8 son suplementarios ∠3 y ∠6 son suplementarios ∠4 y ∠5 son suplementarios ∠5 y ∠8 son suplementarios

m

Razón

Las rectas m y k son 1 paralelas e intersecadas por la recta n

?

2

?

Ángulos Interiores del mismo lado son suplementarios

3

?

Ángulos que forman un par lineal son suplementarios ?

5 ∠2 y ∠7 son suplementarios

?

n

33 ¿Que afirmación se hace en el paso 3? A ∠2 y ∠3 son suplementarios B ∠1 y ∠3 son suplementarios C ∠6 y ∠8 son suplementarios D ∠6 y ∠7 son suplementarios E ∠7 y ∠1 son suplementarios Afirmación

2 1 3 4

Slide 113 / 207 k

6 5 7 8

Respuesta

4 ∠2 ≅ ∠6 y ∠3 ≅ ∠7

m

Razón

1

La rectas m y k son paralelas e intersecadas por la recta n

2

?

3

?

? Ángulos interiores del mismo lado son suplementarios Ángulos que forman un par lineal son suplementarios

4 ∠2 ≅ ∠6 y ∠3 ≅ ∠7

?

5 ∠2 y ∠7 son suplementarios

?

34 ¿Qué razón aplica al paso 4? A Definición de ∠s suplementarios B Propiedad de Sustitución de la Igualdad C Dado D ∠s que forman un par lineal son suplementarios E ∠s suplementarios al mismo ∠ son ≅ Afirmación

2 1 3 4 6 5 7 8

Razón

Las rectas m y k son 1 paralelas e intersecadas por la recta n 2

?

3

?

? Ángulos del mismo lado interior son suplementarios Ángulos que forman un par lineal son suplementarios

4 ∠2 ≅ ∠6 y ∠3 ≅ ∠7

?

5 ∠2 y ∠7 son suplementarios

?

Slide 114 / 207

n k

Respuesta

A B C D E

Slide 112 / 207

n

m

35 ¿Qué razón aplica al paso 5? A Definición de ∠s suplementarios

2 1 3 4

k

6 5 7 8

Respuesta

B Propiedad de Sustitución de la Igualdad C Dado D ∠s que forman un par lineal son suplementarios E ∠s suplementarios al mismo ∠ son ≅ Afirmación

Slide 115 / 207

n

m

Razón

Las rectas m y k son 1 paralelas e intersecadas a la recta n 2

?

3

?

? Ángulos interiores del mismo lado son suplementarios Ángulos que forman un par lineal son suplementarios

4 ∠2 ≅ ∠6 y ∠3 ≅ ∠7

?

5 ∠ 2 y ∠ 7 son suplementarios

?

n Demostración de ángulos exteriores del mismo lado

Dado: La rectas m y k son paralelas e intersecadas por la recta n

Prueba: ∠2 y ∠7 son suplementarios(y así que ∠1 y ∠8 lo son también) Afirmación

2 1 3 4 6 5 7 8

Slide 116 / 207

k m

Razón

Las rectas m y k son 1 paralelas e intersecadas por Dado la recta n 2 ∠3 y ∠6 son suplementarios 3

∠2 y ∠3 son suplementarios ∠6 y ∠7 son suplementarios

Ángulos interiores del mismo lado son suplementarios ´Ángulos que forman un par lineal son suplementarios

Ángulos suplementarios al mismo ángulo son congruentes Propiedad de sustitución de la 6 ∠2 y ∠7 son suplementarios igualdad 5 ∠2 ≅ ∠6 y ∠3 ≅ ∠7

Teorema del Ángulo Exterior del mismo lado Si dos rectas son cortadas por una transversal y los ángulos exteriores del mismo lado son suplementarios, entonces las rectas son paralelas.

Slide 117 / 207

Slide 118 / 207

Propiedades de las Rectas Paralelas

Volver a la Tabla de Contenidos

Slide 119 / 207

Propiedades de las Rectas Paralelas Existen varios teoremas y postulados relacionados a las rectas paralelas. Vaya, por favor al laboratorio "Propiedades de las Rectas Paralelas". Click aquí para ir al laboratorio "Propiedades de las Rectas Paralelas"

Slide 120 / 207

k ║m

n Ejemplo: si m∠4 = 54º, calcula la m∠8. Explica tu respuesta.

2 1 3 4 6 5 7 8

k m

Respuesta

Propiedades de las Rectas Paralelas

Slide 121 / 207

k ║m

n 2 1 3 4

Ejemplo: si m∠3 = 125º, calcula la m∠5.

k

6 5 7 8

Explica tu respuesta.

Respuesta

Propiedades de las Rectas Paralelas

m

Slide 122 / 207

Propiedades de las Rectas Paralelas Ejemplo: si m∠2 = 78º, calcula la m∠8.

2 1 3 4

k

6 5 7 8

Explica tu respuesta.

Respuesta

k║m

n

m

Slide 123 / 207

Propiedades de las Rectas Paralelas

Explica tu respuesta.

k ║m

n 2 1 3 4 6 5 7 8

k m

Respuesta

Ejemplo: si m∠3 = 163º, calcula m∠6.

Slide 124 / 207

Propiedades de las Rectas Paralelas 2 1 3 4

Respuesta

k ║m

n

k

6 5 7 8

m

Nombra todos los ángulos congruentes con ∠1.

Slide 125 / 207

Propiedades de las Rectas Paralelas 2 1 3 4 6 5 7 8

Respuesta

k ║m

n

k m

Nombra todos los ángulos suplementarios a ∠1.

1 2 3 4

5 6 7 8

j

m

Slide 126 / 207 Respuesta

36 Encuentra todos los ángulos congruentes a ∠ 5. A ∠1 B ∠4 k C ∠8 j║m D todos los de arriba

Slide 127 / 207

37 Calcula el valor de x.

j ║m

Respuesta

k j

0 5x+3

m

120º

Slide 128 / 207

38 Calcula el valor de x. Respuesta

k j║m j

+40 1.5x

m

110º

Slide 129 / 207

n

k ║m

Respuesta

39 Si la m∠ 4 = 116º entonces m∠ 9 = _____º? p

n ║p 2 1 3 4 5

6 7

8

10

9

11 12 14

15

13 16

k

m

Slide 130 / 207

40 Si la m∠ 15 = 57º, entonces la m∠ 2 = _____º. 57 123 33 ninguno de los de arriba n

k ║m

Respuesta

A B C D

p

n ║p 2 1 3 4 5

6 7

8

10

9

11 12 14

15

13

k

m

16

Extendiendo rectas para armar transversales

Slide 131 / 207

Calcula m∠1. 131º

1 41º

Con el diagrama dado, existen no transversales, pero podemos extender una de las rectas para armar una transversal.

Extendiendo rectas para armar transversales Calcula m∠1.

1 41º

B Luego completa el ángulo que es correspondiente al ángulo de 131º. ¿Qué ángulo corresponde a 131º?

Respuesta

131º

Slide 132 / 207

Extendiendo rectas para armar transversales 131º

1

131º

Respuesta

Calcula m∠1.

Slide 133 / 207

41º

Luego completa la medida del ángulo adyacente a 131º que está dentro del triángulo. ¿Cuál es la medida de este ángulo? Explica tu respuesta.

Extendiendo rectas para armar transversales 131º

1 49º

131º

Respuesta

Calcula m∠1.

Slide 134 / 207

41º

Como se recordará, el tercer ángulo en el triángulo debe hacer que la suma de los ángulos sea igual a 180º. ¿Cuál es la medida del tercer ángulo del triángulo?

Extendiendo rectas para armar transversales Calcula m∠1. 131º

1

90º

49º

131º

41º

Y, finalmente el ángulo 1 es suplementario al ángulo de 90º. ¿Cuál es la m∠ 1?

Slide 135 / 207

Extendiendo rectas para armar transversales

Slide 136 / 207

Calcula m∠1. 131º

1

90º

49º

131º

41º

m∠1 = 90º

Slide 137 / 207

Transversales dobles

Respuesta

Calcula los valores de x e y.

132º

(4y+12)º

xº

Slide 138 / 207

Rectas Transversales y Perpendiculares Calcula los valores de x, y, z.

66º

2zº (3y-6)º

Respuesta

(14x+6)º

Slide 139 / 207

Respuesta

41 Calcula la m∠1.

1

126º

110º

Slide 140 / 207

A B C D

Respuesta

42 Calcula el valor de x. 12 54 42 18

54º

(3x)º

Slide 141 / 207

(2x-3)º (4x-61)º

Respuesta

43 Calcula el valor de x.

Slide 142 / 207 Respuesta

44 Calcula el valor de x.

122º

(16x+10)º

Slide 143 / 207

Si m∠3 = 56º, calcula la m∠7 que hace que la rectas k y m sean paralelas. Explica tu respuesta.

n 2 1 3 4

Respuesta

Demostración de Rectas Paralelas

k

6 5 7 8

m

Slide 144 / 207

Demostración de Rectas Paralelas

Explica tu respuesta.

2 1 3 4 6 5 7 8

Respuesta

Si m∠4 = 110º, calcula la m∠6 que hace que las rectas k y m sean paralelas.

n k m

Slide 145 / 207

Si m∠1 = 48º, calcula la m∠7 que
 
 hace que las rectas k y m sean paralelas. Explica tu respuesta.

n

2 1 3 4

Respuesta

Demostración de Rectas Paralelas

k

6 5 7 8

m

Slide 146 / 207

Si m∠5 = 54º, calcula la m∠4 que hace que las rectas k y m sean paralelas.

n

2 1 3 4

k

6 5 7 8

m

45 ¿Qué afirmación demostraría que las rectas k y m son paralelas? A m∠2 = m∠4 B m∠5 + m∠6 =180º C m∠3 = m∠5 D m∠1 + m∠5 =90º n

k 1

2

m

4

3 6

7

5 8

Slide 147 / 207

Respuesta

Explica tu respuesta.

Respuesta

Demostración de Rectas Paralelas

C h║i D e║g

e

123º

g

f

64º

Slide 148 / 207 Respuesta

46 En este diagrama, ¿qué opción de las siguientes es correcta? A e║f B f║g

57º

132º

h

i

A Los ángulos correspondientes son congruentes. B Los ángulos interiores alternos son congruentes. C Los ángulos interiores del mismo lado complementarios.

Slide 149 / 207

Respuesta

47 Si las rectas a y b son cortadas por una transversal, ¿cuál de las siguientes No probaría que son paralelas?

D Los ángulos interiores del mismo lado son suplementarios. E Todas las de arriba.

Slide 150 / 207

a

d

b 115º

xº

Respuesta

48 Calcula el valor de x para el que a║b.

Slide 151 / 207

d

Respuesta

49 Calcula el valor de x que hace a║b. c

(6x-20)º

a

2xº

b

Slide 152 / 207

50 Calcula el valor de x para el cual m║n.

Respuesta

m

(14x - 10)º

(5x)º n

A B C D

Teorema de los ángulos correspondientes Teorema de los ángulos correspondientes opuestos Teorema de los ángulos interiores alternos Teorema de los ángulos interiores alternos opuestos b

a

3 2

1

4

c

Slide 153 / 207 Respuesta

51 Si a║b, ¿cómo podemos probar que m∠ 1 = m∠ 4?

Slide 154 / 207

52 Si m∠ 1 = m∠ 3, ¿cómo podemos demostrar a║b?

Teorema de los ángulos correspondientes Teorema de los ángulos correspondientes opuestos Teorema de los ángulos interiores alternos Teorema de los ángulos interiores alternos opuestos

Respuesta

A B C D

b

a

3 2

1

c

4

53 Dado m∠ 1 = m∠ 2, m∠ 3 = m∠ 4, ¿qué podemos probar? (elige todas las que aplican)

Slide 155 / 207

A a║b Respuesta

B c║d C la recta a es perpendicular a la recta c D la recta b es perpendicular a la recta d a 1 2 4

b

3 c

5 d

Slide 156 / 207

54 Dado a║b, ¿qué podemos probar? Respuesta

A m∠1 = m∠2 B m∠1 = m∠4 C m∠2 = m∠3 D m∠1 + m∠3 = 180º b

a

3 2

1

4

c

Slide 157 / 207

Construcción de rectas paralelas

Volver a la tabla de contenidos

Construcción de Rectas Paralelas

Slide 158 / 207

Construir figuras geométrica significa construir rectas, ángulos y figuras con herramientas básicas adecuadas. Podemos usar un compás, una regla para construcciones, pero también podemos usar técnicas de plegado de papel.

Click aquí para ver una animación de la construcción de una recta paralela a otra que pasa a través de un punto

Construction by: MathIsFun

Construcción de Rectas Paralelas Dado: La recta AB y un punto C, que no está sobre la recta, dibuja una segunda recta que sea paralela a AB y que pase por el punto C. Hay tres diferentes métodos para lograr esto. Método 1: Ángulos correspondientes

C

A

B

Slide 159 / 207

Construcción de Rectas Paralelas: Método 1

Slide 160 / 207

La teoría de esta construcción es que los ángulos correspondientes formados por una transversal y las rectas paralelas son iguales. Para usar esta teoría, dibujaremos una transversal a través de C que forma un ángulo agudo con la recta AB. Entonces formaremos un ángulo congruente a C sobre el mismo lado de la transversal como el ángulo agudo formado con la recta AB. Ya que esos son ángulos correspondientes congruentes, las rectas C son paralelas.

A

B

Construcción de Rectas Paralelas: Método 1

Slide 161 / 207

Paso 1: Dibuja una transversal a AB pasando por el punto C y que corte a AB en el punto D. Se forma un ángulo agudo con el punto D como vértice (la medida del ángulo no es importante) El ángulo CDB es el ángulo que replicaremos en el punto C sobre el mismo lado de la transversal.

C

D

A

B

Construcción de Rectas Paralelas: Método 1 Paso 2: Centra el compás en el punto D y dibuja un arco que corte a ambas rectas. Usando el mismo radio del compás, haz centro en el punto C y dibuja otro arco. Coloca el nombre F al punto de intersección sobre el segundo arco. Estamos siguiendo el procedimiento que usamos previamente para construir un ángulo congruente.

F

C

Este paso es marcar las mismas distancias desde D y desde C. A

E

D

B

Slide 162 / 207

Construcción de Rectas Paralelas: Método 1

Slide 163 / 207

Paso 3: ubica el radio del compás a la distancia entre los dos puntos de intersección del primer arco. Esto replica la distancia entre donde el arco corta a los dos catetos del ángulo a la misma distancia desde el vértice.

F

Cuando eso es replicado en C el ángulo construido será congruente con el ángulo original.

C

D

A

B

Construcción de Rectas Paralelas: Método 1

Slide 164 / 207

Paso 4: Centra el compás en el punto F donde el segundo arco corta la recta DC y dibuja un tercer arco. Esto asegura que la longitud del arco para cada ángulo sea idéntica.

F

C

D

A

B

Construcción de Rectas Paralelas: Método 1 Paso 5: Marca la intersección del arco con el punto E y usa el lado de una escuadra para unir C y E.

F

∠CDB ≅ ∠FCE así que AB║CE

E

C

A

D

B

Slide 165 / 207

Construcción de Rectas Paralelas: Método 1

Slide 166 / 207

Aquí están las rectas paralelas construidas sin las líneas auxiliares de construcción.

C

E

D

A

B

Slide 167 / 207 Video de demostración de construcción de rectas paralelas con ángulos correspondientes usando el Software de Geometría Dinámica

Click aquí para ver el video

Construcción de Rectas Paralelas: Método 2

La teoría de esta construcción es que los ángulos interiores alternos formados por una transversal y las rectas paralelas son iguales.

Para usar esta teoría, dibujaremos una transversal a través de C que forma un ángulo agudo con la recta AB. Luego armaremos un ángulo congruente en C, sobre el lado opuesto de la transversal como el ángulo formado con la recta AB. Ya que existen ángulos interiores alternos congruentes las rectas son paralelas. C

A

B

Slide 168 / 207

Método 2: Ángulos Interiores Alternos

Slide 169 / 207

Dado AB y el punto C, fuera de la recta, dibuja una segunda recta que sea paralela a AB y que pase por el punto C.

C

B

A

Método 2: Ángulos Interiores Alternos

Slide 170 / 207

Paso 1: Dibuja una transversal a la recta AB pasando por el punto C que corte a la recta AB en el punto D. Se forma un ángulo agudo con el punto D como vértice.

El ángulo CDB es el ángulo que replicaremos en el punto C sobre el lado opuesto de la transversal.

A

C

D

B

Método 2: Ángulos Interiores Alternos Paso 2: Centra el compás en el punto D y dibuja un arco que corte ambas rectas en los puntos E y F.

Estamos siguiendo el procedimiento que usamos previamente para construir un ángulo congruente. Este paso es marcar la misma distancia igual desde D sobre ambas rectas.

C

F

A

D

E

B

Slide 171 / 207

Método 2: Ángulos Interiores Alternos

Slide 172 / 207

Paso 3: Usando el mismo radio, centra el compás en el punto C y dibuja un arco que pase a través de la recta DC y el punto G.

Esto replica la misma distancia entre la transversal y la nueva recta que se dibujará desde C como fue hecha para la distancia desde D.

C

F

A

G

E

D

B

Método 2: Ángulos Interiores Alternos

Slide 173 / 207

Paso 4: De nuevo, con el mismo radio, centra el compás en el punto G y dibuja un tercer arco que corte al anterior en H. Calcula ahora la misma distancia desde donde el arco corta a la transversal y la nueva recta como fue para el caso de la transversal y la recta original.

A

H

C

F

G

E

D

B

Método 2: Ángulos Interiores Alternos Paso 5: Dibuja la recta CH, que será paralela a la recta AB ya que sus ángulos interiores alternos son congruentes. Ya que los ángulos HCG y BDF son congruentes y son ángulos interiores alternos, las rectas son paralelas.

A

C

H

G F

D

E

B

Slide 174 / 207

Método 2: Ángulos Interiores Alternos

Slide 175 / 207

Aquí están las rectas construidas sin los pasos de construcción mostrados.

H

C

D

A

B

Slide 176 / 207 Video de demostración de la construcción de Rectas Paralelas con Ángulos Interiores Alternos usando el Software de Geometría Dinámica

Click aquí para ver el video

Método 3: Ángulos Exteriores Alternos Dado la recta AB y el punto C, fuera de la recta dibuja una segunda recta que sea paralela a la recta AB y que pase por el punto.

C

A

B

Slide 177 / 207

Método 3: Ángulos Exteriores Alternos

Slide 178 / 207

Paso 1: Dibuja una transversal a la recta AB a que pase a través del punto C que corte a la recta AB en el punto D. Se forma un ángulo agudo con el punto D como vértice. C

A

D

B

Método 3: Ángulos Exteriores Alternos

Slide 179 / 207

Paso 2: Centra el compás en el punto D y dibuja un arco para cortar las rectas AB y DC sobre el lado opuesto del punto C en A y E. C

A

D

B

E

Método 3: Ángulos Exteriores Alternos Paso 3: manteniendo el mismo radio dibuja un arco centrado sobre C que corte a la recta DC arriba de C, en F.

F

C

A

D

E

B

Slide 180 / 207

Método 3: Ángulos Exteriores Alternos Paso 4: manteniendo el mismo radio dibuja un arco con centro en F que corte al arco con centro en C en el punto G.

Slide 181 / 207

F

G

C

A

D

B

E

Método 3: Ángulos Exteriores Alternos Paso 5: Dibuja la recta CE, que es paralela a la recta AB ya que los ángulos exteriores alternos formados por la transversal son congruentes.

F

G

C

A

Slide 182 / 207

D

B

∠ ADG ≅ ∠ ECF por lo tanto AB║CE E

Método 3: Ángulos Exteriores Alternos Aquí se muestran las rectas sin las líneas auxiliares de construcción.

C

A

E

B

Slide 183 / 207

Slide 184 / 207 Video de demostración de la construcción de los ángulos exteriores alternos usando el Software de Geometría Dinámica

Click aquí para ver el video

Construcción de Rectas Paralelas Usando Papel Plegado

Slide 185 / 207

Paso 1: Dibuja una recta en el papel de plegal. Colocale nombre como recta g. Dibuja un punto fuera de la recta g y colocale como nombre B.

B

g

Construcción de Rectas Paralelas Usando Papel Plegado Paso 2: Pliega tu papel de mota g están exactamente una arriba de la otra y el punto B esté en el pliegue.

B

g

Slide 186 / 207

Construcción de Rectas Paralelas Usando Papel Plegado

Slide 187 / 207

Paso 3: Abre el papel plegado y dibuja una recta sobre el pliegue. Colocale el nombre como recta h.

B

g

h

Construcción de Rectas Paralelas Usando Papel Plegado

Slide 188 / 207

Paso 4: A través del punto B, haz otro pliegue que sea perpendicular a la recta h.

B

g

h

Construcción de Rectas Paralelas Usando Papel Plegado Step 5: Open the patty paper and draw a line on the crease. Label this line i. i

B

g

h Debido a que las rectas i y g son perpendiculares a la recta h son paralelas entre sí. De modo que la recta i ║recta g.

Slide 189 / 207

Slide 190 / 207 Video de demostración de construcción de Rectas Paralelas usando el Menú Opciones del Software de Geometría Dinámica

Click aquí para ver el video 1

Click aquí para ver el video 2

Slide 191 / 207

Las rectas en el diagrama de abajo son paralelas debido al: A B C D

Teorema de los Ángulos Interiores Alternos Teorema de los Ángulos Exteriores Alternos Teorema de los Ángulos del mismo lado Postulado de los Ángulos Correspondientes

Respuesta

55

F

E

C D

A

B

G

A B C D

Slide 192 / 207

Las rectas de abajo se muestran paralelas debido a:

Teorema de los Ángulos Interiores Alternos Teorema de los Ángulos Exteriores Alternos Teorema de los Ángulos del mismo lado Postulado de los Ángulos Correspondientes C

F

E G A

D

Respuesta

56

Slide 193 / 207

Las rectas de abajo se muestran paralelas debido a:

A Teorema de los Ángulos Interiores Alternos B Teorema de los Ángulos Exteriores Alternos C Teorema de los Ángulos del mismo lado D Postulado de los Ángulos Correspondientes E

C

Respuesta

57

F

G A

D

Slide 194 / 207 Preguntas de muestra para la prueba PARCC Las restantes diapositivas en esta presentación contienen preguntas tomadas de las preguntas de muestra para la prueba PARCC. Después de terminar con la unidad 3, deberías ser capaz de responder esas preguntas. Buena Suerte!

Volver a la tabla de contenidos

Preguntas para la Prueba- PARCC Tema: Rectas Paralelas y demostraciones

PARCC Preguntas de lanzamiento (EOY)

Slide 195 / 207

Slide 196 / 207 B E

F

58 ∠CBD ≅ ∠BFE A B C D E F

C A

Dado: ∠CBD ≅ ∠BFE Prueba: ∠ABF ≅ ∠BFE

D

Respuesta

En la figura de abajo, la recta CF corta a las rectas AD y EH en los puntos B y F, respectivamente.

H

G

Dado Definición de ángulos congruentes Los ángulos verticales son conngruentes Propiedad reflexiva de congruencia Propiedad simétrica de congruencia Propiedad transitiva de congruencia

Slide 197 / 207 B E

F H

59 ∠ CBD ≅ ∠ ABF A B C D E F

C A

Dado: ∠CBD ≅ ∠BFE Prueba: ∠ABF ≅ ∠BFE

D

Respuesta

En la figura mostrada, la recta CF corta a las rectas AD y EH en los puntos B y F, respectivamente.

G

Dado Definición de ángulos congruentes Los ángulos verticales son conngruentes Propiedad reflexiva de congruencia Propiedad simétrica de congruencia Propiedad transitiva de congruencia

Slide 198 / 207 En la figura mostrada, la recta CF corta a las rectas AD y EH en los puntos B y F, respectivamente.

Afirmación

B

A

Dado: ∠CBD ≅ ∠BFE Prueba: ∠ABF ≅ ∠BFE

E

F H

Demostración completada abajo.

G

Razón

1 ∠ CBD ≅ ∠ BFE

Dado

2 ∠ CBD ≅ ∠ ABF

Los ángulos verticales son congruentes Propiedad transitiva de la congruencia

3 ∠ ABF ≅ ∠ BFE

D

C

Slide 199 / 207

Preguntas de muestra para la prueba PARCC Tema: Rectas paralelas y demostraciones

Marca con círculo la razón que soporta cada recta de la demostración. PARCC pregunta de lanzamiento (EOY)

Slide 200 / 207 D

C B

A

E

Dado: m∠CBD = m∠BFE Prueba: m∠BFE + m∠DBF = 180º

F H

Respuesta

En la figura mostrada la recta CF intersecta las rectas AD y EH en los puntos B y F respectivamente.

G

60 m∠ CBD = m∠ BFE A Dado B Ángulos que forman un par lineal son suplementarios C Ángulos que son adyacentes son suplementarios D Propiedad reflexiva de la igualdad E Propiedad de sustitución de la igualdad F Propiedad transitiva de la igualdad

Slide 201 / 207

Dado: m∠CBD = m∠BFE Prueba: m∠BFE + m∠DBF = 180º

D

C

B

A

E

Respuesta

En la figura mostrada la recta CF corta a las rectas AD y EH en los puntos B y F, respectivamente

F H

G

61 m∠ CBD + m∠ DBF = 180º A B C D E F

Dado Ángulos que forman un par lineal son suplementarios Ángulos que son adyacentes son suplementarios Propiedad reflexiva de la igualdad Propiedad de sustitución de la igualdad Propiedad transitiva de la igualdad

Slide 202 / 207 D

C

Respuesta

En la figura mostrada la recta CF corta a las rectas AD y EH en los puntos B y F, respectivamente.

B

A

E

Dado: m∠CBD = m∠BFE Prueba: m∠BFE + m∠DBF = 180º

F H

G

62 m∠ BFE + m∠ DBF = 180º A B C D E F

Dado Ángulos que forman un par lineal son suplementarios Ángulos que son adyacentes son suplementarios Propiedad reflexiva de la igualdad Propiedad de sustitución de la igualdad Propiedad transitiva de la igualdad

Slide 203 / 207 En la figura mostrada la recta CF interseca a las rectas AD y EH en los puntos B y F, respectivamente.

B

A

E

Dado: m∠CBD = m∠BFE Prueba: m∠BFE + m∠DBF = 180º

F H

Afirmación

D

C

G

Razón

1 m∠CBD = m∠BFE

Dado

2 m∠CBD + m∠DBF = 180º

Ángulos que forman un par lineal son suplementarios

3 m∠BFE + m∠DBF = 180º

Propiedad de sustitución de la igualdad

La figura muestra la recta r los puntos P y T sobre la recta r y el punto Q fuera de la recta r. También se muestra la semirrecta PQ.

Q r P

T

63 PARTE A Considera la construcción parcial de una recta paralela a r y pasando por el punto Q. ¿Cuál sería el paso final de la construcción? A B C D

Dibuja una recta a través de P yS Dibuja una recta a través de Q y S Dibuja una recta a través de T y S Dibuja una recta a través de W y S

S

Q

r P W

PARCC preguntas de lanzamiento (EOY)

T

Respuesta

Slide 204 / 207

Slide 205 / 207

Q

S

Q r

P

T

Respuesta

La figura muestra a la recta r y los puntos P and T sobre la recta r y el punto Q fuera de la recta r. También se muestra la semirrecta PQ.

r P W

T

64 PARTE B Una vez que se completa la construcción, ¿cuál de las razones mencionadas contribuye a proveer la validación de la construcción? A Cuando dos rectas son cortadas por una transversal y los ángulos correspondientes son congruentes, las rectas son paralelas. B Cuando dos rectas son cortadas por una transversal y los ángulos verticales son congruentes, las rectas son paralelas. C Definición de mediatriz (bisectriz de un segmento) D Definición de bisectriz

Slide 206 / 207

Pregunta 1/7Temas: Rectas intersecantes, paralelas e inclinadas 65 El diagrama .representa una parte de una ciudad pequeña. Las calles Maple

Respuesta

y Pine corren exactamente de este a oeste. La avenida Oak corre exactamente de norte a sur. Todas las calles permanecen derechas.

¿Qué afirmaciones son ciertas respecto a la información dada? Selecciona todas las que aplican. A Las calles Birch y Elm se cortan en ángulos rectos B Las calles Maple y Pine son paralelas. C Si se mostrara más del mapa, La calle Elm y la avenida Oak Avenue no se cortan. D La calle Pine corta tanto a la calle Birch como a la calle Elm. E La avenida Oak y la calle Maple son perpendiculares PARCC Preguntas de lanzamiento (PBA)

Slide 207 / 207 D

C B

A

E

Dado: ∠CBD ≅ ∠BFE Prueba: ∠ABF ≅ ∠BFE

F H

G

66 ∠ ABF ≅ ∠ BFE A Dado B Definición de ángulos congruentes C Los ángulos verticales son conngruentes D Propiedad reflexiva de congruencia E Propiedad simétrica de congruencia F Propiedad transitiva de congruencia

Respuesta

En la figura mostrada, la recta CF corta a las rectas AD y EH en los puntos B y F, respectivamente