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Ne w Je rs e y Ce nte r for Te aching and Le arning
Geometría
Iniciativa de Mate mática Progre s iva® Es te ma te ria l e s tá dis ponible gra tuita me nte e n ww.njctl.org y e s tá pe ns a do pa ra e l us o no comede rcia l e s tudia nte s y profe s ore s . No pue de s e r utiliza pado ra cua lquie r propós ito come rcia l s in cons e l e ntimie nto por e s crito de s us propie ta rios . NJCTL ma ntie ne s u s itio we b por la convicción de profe s ore s que de s e a n ha ce r dis ponible s u trapa barajo otros profe s ore s , pa rticipa r e n una comunida d de a pre ndiza je profe s iona l virtua l, y /o pe rmitir a pa dre s , e s tudia nte s y otra s pe rs ona s e l a cce s o a los ma te ria le s de los curs os .
Ángulos
Nos otros , e n la As ocia ción de Educa ción de Nue va J eNJEA) rs e y ( s omos funda dore s orgullos os y a poyoNJCTL de y la orga niza ción inde pe ndie nte s in fine s de lucro. NJEA a dopta la mis ión de NJCTL de ca pa cita r a profe s ore s pa ra dirigir e l me jora mie nto e s cola r pa ra e l be ne ficio de todos los e s tudia nte s .
2015-06-16 www.njctl.org
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Slide 3 / 190 Tabla de contenidos
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Ángulos
Tabla de Contenidos para videos de demostraciones de construcciones
click sobre el tema para ir a ese video
Ángulos congruentes Ángulos y Postulado de la suma de ángulos Transportadores
Ángulos congruentes Bisectrices
Pares especiales de ángulos Demostraciones de ángulos especiales Bisectrices Locus y construcciones angulares Bisectrices y Construcciones Preguntas PARCC
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A lo largo de esta unidad, se usan los Estándar para Práctica de Matemática. MP1: Darle sentido a los problemas y perseverar en resolverlos. MP2: Razonamiento abstracto y cuantitativo. MP3: Construir argumentos viables y ser crítico con el razonamiento de los otros. MP4: Modelar con matemática. MP5: Usar estratégicamente las herramientas apropiadas . MP6: Ser preciso. MP7: Buscar y hacer uso de la estructura. En las diapositivas se incluyen preguntas adicionales usando las tablas de arrastre "Práctica de Matemática" (como ejemplo se muestra una en blanco a la derecha en esta diapositiva) con una referencia a los estándares usados. Si ya hay preguntas en una diapositiva, en la tabla de arrastre se enumeran los estándares específicos a los que la pregunta dirige.
Ángulos
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Ángulos
Ángulos
Definición 8: un ángulo es la inclinación entre sí de dos rectas en un plano que se encuentran entre sí y no se encuentran en una línea recta
A
Cuando sea que semirrectas o segmentos se intersequen en un plano, formarán un ángulo.
La medida del ángulo es la cantidad que una recta, una semirrecta o un segmento necesitaría rotar a fin de superponerse con el otro.
A
En este caso, la semirrecta BA tendría que rotar a lo largo del ángulo x a fin de superponerse con la semirrecta BC.
x
x B
B
C
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Ángulos
Medición de ángulos en grados
En este curso, los ángulos serán medidos en grados, con el símbolo º.
A
Rotar la semirrecta BA alrededor de la semirrecta BC, y volver a la misma semirrecta representaría un ángulo de 360º
C
Se podría usar cualquier número, pero 360 grados para una rotación se ha convertido en estándar.
x B
El uso de 360 grados para representar una rotación completa volviendo a la posición originaria es arbitrario
360º
C
Slide 11 / 190 Medición de ángulos en grados Se piensa que el uso del 360 para una rotación completa proviene de la antigua Babilonia, en donde se usaba un sistema numéricao basado en 60. Su sistema numérico podría también vincularse al hecho de que hay 365 días en un año lo cuál es muy cercano a 360. 360 es un número mucho más fácil para trabajar con él que con 365 ya que se puede dividir por muchos números sin resto. Incluídos 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 y 12.
Slide 12 / 190 Ángulos rectos Definición 10: Cuando se ubica una recta vertical sobre una línea recta se forman ángulos adyacentes iguales entre sí, cada uno de los ángulos iguales es recto, y se dice que la línea recta vertical es perpendicular a aquella sobre la cuál se asienta. La única forma en la que dos rectas pueden intersecarse como se muestra y formar ángulos adyacentes iguales, de modo que los ángulos mostrados aquí donde m∠ ABC = m∠ ABD, es si ellos son ángulos rectos, es decir que miden 90º.
A
x x D
B
C
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Slide 14 / 190 Ángulos rectos
Ángulos rectos Cuarto postulado: Todos los ángulos rectos son iguales entre sí. No sólo son ángulos rectos adyacentes iguales entre sí como se muestra abajo, todos los ángulos rectos son iguales, incluso si no son adyacentes, por ejemplo, los tres ángulos rectos mostrados abajo son iguales entre sí.
A
A
xº xº D
Esta definición no ha cambiado actualmente y te debería ser familiar. Las rectas, segmentos o semirrectas perpendiculares forman ángulos rectos.
Si se cortan rectas para formar ángulos adyacentes iguales, entonces son perpendiculares y la medida de los ángulos formados es 90º.
A
90º B
90º
B
C
B
C
Cuando se encuentran rectas perpendiculares, forman ángulos adyacentes iguales y su medida es 90º.
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Slide 16 / 190 Ángulos obtusos
Ángulos rectos Aquí hay un indicador especial de ángulos rectos.
En este caso se muestra en rojo para reconocerlo más fácilmente.
C
A
Definición 11: Un ángulo obtuso es un ángulo mayor que un ángulo recto.
A
135º B B
C
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Slide 18 / 190 Ángulo llano
Ángulos agudos
Una definición que no necesitamos usar en Los Elementos es la de "ángulo llano". Es el ángulo de una línea recta.
A
A 45º
C
B
C
2 preguntas para discutir con un compañero: ¿Es un ángulo agudo u obtuso? Explica por qué. ¿Cuál es la medida en grados del ángulo?
Respuesta
Definición 12: Un ángulo agudo es un ángulo menor a un ángulo recto.
B
C
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Slide 20 / 190 Ángulos
Ángulo reflejo Otra definición moderna que no fue usada en Los Elementos es la de "angulo reflejo". Este es el ángulo que es mayor que 180º.
En las siguientes diapositivas usaremos los respondedores para revisar los nombres de ángulos a partir de mostrar ángulos desde 0º a 360º aumentando de a 45º
235º
C
Los ángulos pueden ser de cualquier tamaño, no sólo aumentando de a 45º, pero esto es sólo para dar una idea que como se ve un giro completo.
También es un tipo de ángulo obtuso.
A
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1 Este es un ejemplo de un ángulo ________ . Elige todas las que aplican
2 Este es un ejemplo de un ángulo ________ . Elige todas las que aplican.
B obtuso
A
0º B
C
A agudo
C recto
D reflejo
Slide 24 / 190 4 Este es un ejemplo de un ángulo ________. Elige todas las que aplican. Respuesta
3 Este es un ejemplo de un ángulo ________. Elige todas las que aplican. A
B obtuso C recto
E llano
C
E llano
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D reflejo
45º B
D reflejo
E llano
A agudo
A
B obtuso
Respuesta
C recto
Respuesta
A agudo
Respuesta
B
A agudo B obtuso
A
C recto 90º B
C
D reflejo E llano
135º B
C
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Slide 26 / 190 6 Este es un ejemplo de un ángulo_______ . Elige todas las que aplican. A agudo
B obtuso 180º B
A
C
D reflejo
E llano
E llano
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C
C recto
315º
C B
Slide 30 / 190 Nombrando ángulos
A agudo B obtuso B
A C
Respuesta
9 Este es un ejemplo de un ángulo ________ . Elige todas las que aplican
360º
A
E llano
A
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E llano
B obtuso
D reflejo
E llano
D reflejo
A agudo
C recto
D reflejo
C recto
A
8 Este es un ejemplo de un ángulo ________ . Elige todas las que aplican. Respuesta
A agudo B
C
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7 Este es un ejemplo de un ángulo ________ . Elige todas las que aplican.
270º
B
C recto
D reflejo
B obtuso
235º
B obtuso
Respuesta
C recto
Respuesta
A agudo
Respuesta
5 Este es un ejemplo de un ángulo ________ . Elige todas las que aplican
Un ángulo tiene tres partes, dos lados y un vértice que es donde los lados se encuentran.
En este ejemplo, los lados son las semirrectas BA y BC y el vértice es B. vértice
lado
A
θ B
lado
C
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Slide 32 / 190 Nombrando ángulos
Interior de los ángulos
Un ángulo puede ser nombrado en tres diferentes maneras:
Cualquier ángulo con una medida de menos de 180º tiene un exterior y un interior como se muestra abajo.
· por su vértice (B en el ejemplo de abajo)
· por un punto en su lado, su vértice y un punto sobre el otro lado (o ABC o CBA en el ejemplo de abajo)
A Exterior
Interior θ B
vértice
lado
A
θ lado
B
C
· O por un número o por un símbolo ubicado dentro del ángulo (ej., letra griega θ, en la figura)
C
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Slide 34 / 190 Nombrando ángulos
Nombrando ángulos
Usar el vértice para nombrar un ángulo no funciona en algunos casos. ¿Por qué sería no muy claro usar el vértice para nombrar al ángulo en la imagen de abajo?
Al ángulo mostrado abajo se lo puede llamar ∠ABC , ∠CBA, ó ∠B. Cuando no hay lugar a confusión, el ángulo podría también ser identificado por su vértice B.
Respuesta
C
D Los lados de ∠ABC son las semirrectas BC y BA
¿Cuántos ángulos cuentas en la imagen?
32°
B
A
A θ
La medida del ∠ABC es 32 grados, esto puede ser reescrito como m∠ABC = 32º.
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Rectas que se cortan forman ángulos
Respuesta
¿De qué otras maneras podrías nombrar ∠ABC, ∠ABD y ∠DBC en el caso de abajo? (usando el lado - vértice - método de los lados)
D A
B
C
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Nombrando ángulos
θ
α
B
Cuando se forma un ángulo a partir de dos semirrectas o dos segmentos que comparten un vértice, se forma un ángulo incluido. Se lo muestra como θ en el diagrama de la izquierda. Cuando dos rectas se intersecan, se forman 4 ángulos, se los numera como en el diagrama de abajo a la derecha.
A
2 3
α
C
¿Cómo podrías nombrar aquellos 3 ángulos usando las letras ubicadas dentro de los ángulos?
θ B
C
1 4
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Slide 38 / 190 10
Rectas que se cortan forman ángulos Estos números usados no tienen un significado especial, sólo muestran los 4 ángulos. Cuando semirrectas o segmentos se intersecan pero no tienen un vértice común, también forman 4 ángulos.
Dos rectas________________ se encuentran en más de un punto. A
Siempre
B
Algunas veces
C
Nunca
A
2
B
3
C
1 4
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11 Un ángulo que mide 90º __________ es un ángulo recto.
12 Un ángulo que es menor a 90 grados___________ es obtuso.
Siempre
A
Siempre
B
Algunas veces
B
Algunas veces
C
Nunca
C
Nunca
Respuesta
A
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Respuesta
θ
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A
Siempre
B
Algunas veces
C
Nunca
Respuesta
13 Un ángulo que es mayor que 180 grados se lo conoce _______ como un ángulo reflejo.
Ángulos Congruentes Volver a la tabla de contenidos
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Congruencia
Congruencia
Aprendimos anteriormente que si dos segmentos tienen la misma longitud son congruentes.
¿Qué se puede decir de dos ángulos formados por dos semirrectas con vértices comunes. ¿Son congruentes? ¿Qué tendría que ser igual para cada uno de ellos para ser congruentes?
a También, todos los segmentos de igual longitud son congruentes.
b D
A
¿Estos segmentos son congruentes? Explica tu respuesta.
B
E
C
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Congruencia Si dos ángulos tienen la misma medida, son congruentes ya que pueden ser rotados y movidos para superponerse en cada punto.
F
Congruencia Sin embargo, si hay ángulos que no tienen igual medida, no se los puede hacer superponer en cada punto. Para que los ángulos sean congruentes necesitan tener igual medida.
D
A
¿Estos ángulos son congruentes? Explica tu respuesta.
A
B
F
E
C
B
C
Slide 47 / 190 Congruencia Sin embargo, si hay ángulos que no tienen igual medida, no se los puede hacer superponer en cada punto. Para que los ángulos sean congruentes necesitan tener igual medida.
Aquí puedes ver claramente cuando rotamos los dos ángulos de la diapositiva anterior, no tienen la misma medida.
D
A
C
F
E
B
F
E
D
Slide 48 / 190 Ángulos congruentes Una manera para indicar que dos ángulos tienen igual medida es nombrarlos con la misma variable. Por ejemplo, nombrando ambos de esos ángulos con xº indicamos que tienen igual medida.
D
A
xº B
xº
C
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Ángulos congruentes
Respuesta
14 ¿El ∠B es congruente al ∠E ? Sí
Otra manera de mostrar que los ángulos son congruentes es marcar el ángulo con una recta. Si hay 2 conjuntos iguales de ángulos, el segundo conjunto podría ser marcado con dos rectas.
No
D
A D
A
F B
E
C
E
C
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Slide 52 / 190 16 El ∠A y el∠B son ______.
15 Los ángulos congruentes ___________ tienen igual medida
B
A
Siempre
A
Congruentes
B
Algunas veces
B
No Congruentes
C
Nunca
C
No se puede determinar
Respuesta
Respuesta
B
F
A
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17 El ∠E y el ∠F son _______. Congruentes
B
No Congruentes
C
No se puede determinar
F
Respuesta
A
18
E
El ∠C y el ∠D son congruentes. A
Verdadero
B
Falso
C
No se puede determinar
C
D
Respuesta
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19 El ∠C y el ∠D son congruentes D
Verdadero
Respuesta
Falso
Ángulos y Postulado de la Suma de Ángulos
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C
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Ángulos adyacentes
Postulado de la Suma de Ángulos
D
El postulado de la suma de ángulos dice que la suma de las medidas de los ángulos adyacentes forma la medida del ángulo formado por sus semirrectas exteriores.
A
Los dos ángulos están lado a lado o adyacentes. En este caso, el ángulo DBA es adyacente al ángulo ABC.
C
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Postulado de la Suma de Ángulos
Ejemplo del Postulado de la Suma de Ángulos P
m∠PQS = 32°
D
C
En este caso, m∠DBC = m∠DBA + m∠ABC
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Si A descansa en el interior del ángulo DBC entonces m∠DBA + m∠ABC = m∠DBC
A
B B
Además, dice que si cualquier punto descansa en el interior de un ángulo, entonces la semirrecta conectando ese punto al vértice, forma dos ángulos adyacentes cuya suma es la del ángulo original.
D
A
S
m∠SQR = 26° 32° 26°
Q B
C
Lo cual da el mismo resultado que teníamos antes. m∠DBC = m∠DBA + m∠ABC
¿Cuál es la medida del ∠PQR?
R
Respuesta
Los ángulos adyacentes comparten un vértice y un lado.
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Ejemplo del Postulado de la Suma de Ángulos Respuesta
B
Si m∠ANJ = (7x +11)°, A
m∠ANB = (15x + 24)°,
Resuelve para x.
22°
J
(7x+11)°
C
46°
)° 24 x+ 5 (1
y m∠BNJ = (9x + 204)°.
A
B
N
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21 Dados m∠ OLM = 64° y m∠ OLN = 53°. Calcula m∠ NLM.
22 Dados m∠ ABD = 95° y m∠ CBA = 48°.
O
B 15 64°
48°
N
53°
D 117
C
95°
L
M
B
Slide 65 / 190
D
Slide 66 / 190
23 Dados m∠ KLJ = 145° y m∠ KLH = 61°.
24 Dados m∠ TRS = 61° y m∠ SRQ = 153°. Respuesta
Calcula m∠ HLJ.
H
Calcula m∠ QRT. Respuesta
C 11
A
Respuesta
Respuesta
Calcula m∠ DBC.
A 28
R S
K
D
Calcula m∠ ABD.
Respuesta
A está en el interior de ∠BNJ.
20 Dados m∠ ABC = 22° y m∠ DBC = 46°.
61°
61°
153° 145°
L
Q J
T
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Slide 68 / 190 26 D está en el interior de ∠ ABC. Si m∠ CBA = (11x + 66)⁰,
m∠ TUC = (14x + 18)⁰ y
m∠ DBA = (5x + 3)⁰ y
Respuesta
Si m∠ TUV = (10x + 72)⁰,
m∠ CUV = (9x + 2)⁰ Resuelve para x.
Respuesta
25 C está en el interior de ∠ TUV.
m∠ CBD= (13x + 7)⁰ Resuelve para x.
Slide 70 / 190 r
Pregunta 2/25
27 F está en el interior de ∠DQP. Respuesta
m∠DQP = (3x + 44)⁰ m∠FQP = (8x + 3)⁰ m∠DQF= (5x + 1)⁰ Resuelve para x.
La figura muestra las rectas r, n, and p intersecándose para formar ángulos numerados como 1, 2, 3, 4, 5, y 6. Todas las rectas están en el mismo plano.
28 En base a la figura, ¿cuál de las afirmaciones individuales proveerían suficiente información para concluir que r es perpendicular a la recta p?
6 5 4
Selecciona todas las que aplican. A m∠2 = 90° B m∠ 6 = 90° C m∠3 = m∠6
D m∠1 + m∠6 = 90° E m∠3 + m∠4 = 90° F m∠4 + m∠5 = 90°
From EOY PARCC sample test
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Slide 72 / 190 Transportadores
Transportadores
Los ángulos se miden en grados usando un transportador. Cada ángulo tiene una medida que va de 0 a 180 degrees. Se puede dibujar ángulos de cualquier tamaño.
Volver a la tabla de contenidos
n 1 2
3
p no está hecho a escala
Respuesta
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Slide 74 / 190 Transportadores
Transportadores D
A B
C
B
C
∠DBC es un ángulo de 118° . La medida del ∠DBC es 118°.
∠ABC es un ángulo de 23° grados La medida del ∠ABC es 23° grados
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Slide 76 / 190 Transportadores
Transportadores D
D
A
A
C
B
A partir de nuestros resultados anteriores sabemos que m∠DBC = 118° y m∠ABC = 23°.
Sin aquellos primeros resultados, podríamos leer en el transportador el valor de 118° y 23° obtener la medida del ángulo incluido 95°.
De manera que, el Postulado de la Suma de Ángulos nos dice que la m∠DBA ¿debe ser cuál?
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Slide 78 / 190 30 ¿Cuál es la m del ∠CJG
A 39° F
C 130°
E
C
J
B 54° F
C 130° G
D
D 180°
A 39°
E
D 180°
H
Respuesta
Respuesta
29 ¿Cuál es la m del ∠CJD?
B 54°
C
B
G
D
C
J
H
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Slide 80 / 190
31 ¿Cuál es la m del∠DJE?
Respuesta
A 141° B 54° F E D
C
B 76° F
C 90°
E
D 130°
H
J
C
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33 ¿Cuál es la m del ∠DJF?
34 m∠ PJK = Respuesta
A 39° B 51° F
D 141°
M
L
N K
E
G
D
P C
O
J
H
J
Slide 83 / 190
Slide 84 / 190 36 m∠ PJO =
L
Respuesta
35 m∠ PJM = M N
L
M N
K
P
H
J
Slide 81 / 190
C 90°
G
D
Respuesta
D 15°
G
A 54°
Respuesta
C 39°
Respuesta
32 ¿Cuál es la m del ∠EJG?
K
J
O
P
J
O
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Slide 86 / 190
L
M
L
M
N
N
K
K
P
O
J
P
O
J
Slide 87 / 190
Slide 88 / 190
L
M N
L
Respuesta
40 m∠ MJL = Respuesta
39 m∠ NJM =
M N
K
K
P
O
J
P
O
J
Slide 89 / 190
Slide 90 / 190
L
M N
L
Respuesta
42 m∠ NJK = Respuesta
41 m∠ LJK =
M N
K
P
Respuesta
38 m∠ PJN = Respuesta
37 m∠ PJL =
K
J
O
P
J
O
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Slide 92 / 190 Ángulos Complementarios Los ángulos complementarios son ángulos cuya suma mide 90º. Se dice que un ángulo tal es complementario al otro.
Pares Especiales de Ángulos
Podrían ser adyacentes, pero no es necesario. 25o
65o
Volver a la tabla de contenidos
25o
Complementarios Adyacentes
65o Complementarios no adyacentes
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Ángulos Complementarios
43 ¿Cuál es el complementario de un ángulo cuya medida es 72°?
A
D
El ángulo ABD y el ángulo DBC son complementarios ya que forman el ángulo ABC, que es un ángulo recto.
C
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Slide 96 / 190 Ejemplo Respuesta
44 ¿Cuál es el complementario de un ángulo cuya medida es 28°?
Dos ángulos son complementarios. El ángulo más grande tiene dos veces la medida del ángulo más pequeño. ¿Cuál es la medida de ambos ángulos?
Llamamos x = ángulo pequeño; llamamos = 2x al ángulo más grande
Respuesta
B
Respuesta
Los ángulos adyacentes complementarios formar un ángulo recto.
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Slide 98 / 190
Respuesta
¿Cuál es su medida?
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¿Cuál es la medida del ángulo?
Respuesta
46 Un ángulo tiene 14° que su complementario.
45 Un ángulo tiene 34° más que su complementario.
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Ángulos suplementarios
Ángulos suplementarios
Los ángulos suplementarios son ángulos cuya suma mide 180º.
Dos ángulos cualquiera que o llano son suplementarios.
Los ángulos suplementarios pueden ser adyacentes, pero no necesariamente.
O, dos ángulos adyacentes cuyos lados exteriores sean semirrectas opuestas son suplementarios.
Se dice que un ángulo es suplementario al otro.
155o
25o 155
Suplementarios adyacentes también conocidos como. Par lineal
o
Suplementarios no adyacentes
Slide 101 / 190 Ángulos complementarios vs. ángulos suplementarios Existen 2 maneras en las que uno puede recordar la diferencia entre ángulos suplementarios y complementarios. : - Forma 1 - Orden: Piensa en el orden de las primeras letras en cada palabra y el número que representan. C va antes que S en el abecedario y 90 está antes que 180 en la recta numérica, de manera que complementario significa que sumados dan 90º y suplementarios significa que sumandos dan 180º - Forma 2 - Visual: Agrega una línea a cada letra para comenzar a formar el número asociado con él. .
C
Agregando una línea a la "C", formas un 9, para 90º
S
Agregando una línea a la "S", formas un 8, para 180º
D
B C A Si el ángulo ABC es un ángulo llano, su medida es 180°.
Entonces el ángulo ABD y el ángulo DBC son suplementarios ya que la suma de sus medidas es 180°.
Slide 102 / 190 47 ¿Cuál es el suplementario del ángulo cuya medida es 72°?
Respuesta
25o
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Slide 104 / 190
48 ¿Cuál es el suplementario de un ángulo cuya medida es 28°?
49 Lo medida de un ángulo es 98° más que su suplementario.
Respuesta
Respuesta
¿Cuál es la medida del ángulo?
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Slide 106 / 190
50 La medida de un ángulo es 74° menos que su suplementario ¿Cuál es la medida del ángulo?
Respuesta
51 La medida de un ángulo es 26° más que su suplementario.
Respuesta
¿Cuál es la medida del ángulo?
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Ángulos opuestos por el vértice (verticales)
Ángulos verticales
Los ángulos verticales son dos ángulos cuyos lados forman dos pares de semirrectas opuestas. Donde sea que dos rectas se corten, se forman dos pares de ángulos verticales. ∠ABC y ∠DBE son ángulos verticales y ∠ABE & ∠CBD son ángulos verticales.
A
∠ABC y ∠DBE son ángulos verticales A
B
E
∠ABE y ∠CBD son ángulos verticales. C A
D B
E D
C
E
B D
C
Slide 109 / 190
Slide 110 / 190 Demostración de Ángulos verticales
Ángulos verticales
Afirmaciones
Razones
Podemos demostrar importantes propiedades sobre esos tres casos especiales: ángulos que son complementarios, ángulos que son suplementarios y ángulos verticales.
1) m∠ABD = (5x + 3)° m∠DBC = (13x + 7)° 1) Dadas m∠ABC = (11x + 66)°
La demostración usa dos columnas, una columna hace una afirmación y la columna siguiente provee la razón. Debajo hay una demostración con formato 2 columnas usadas para calcular el valor de x en el diagrama de la derecha.
3) 5x + 3 + 13x + 7 = 11x + 66
2) m∠ABD + m∠DBC = m∠ABC
)⁰
Vamos a usar mucho las demostraciones, de manera que vamos +a 66 (11x A usar el formato como ese ejemplo para demostrar los tres ⁰ 3) D teoremas. +
4) 18x + 10 = 11x + 66
(Ver la siguiente diapositiva.)
6) 7x = 56
B
x (5 (13x + 7)⁰
C
Slide 111 / 190
5) 7x + 10 = 66
7) x = 8
A
2) Postulado Suma de Ángulos
B 3) Sustitución Propiedad de igualdad
(11x ⁰ 3) D
+ 66
)⁰
+ x (5 (13x + 7)⁰
C
4) Combinar términos semejantes/Simplificar 5) Resta Propiedad de igualdad 6) Resta Propiedad de igualdad 7) División Propiedad de igualdad
Slide 112 / 190 Demostraciones de dos columnas
Demostraciones Ángulos especiales
Las demostraciones comienzan con un objetivo: aquello que estamos intentando demostrar. No son exploraciones abiertas-cerradas, pero están directamente dirigidas a un fin específico. Conocemos la última afirmación de cada prueba cuando comenzamos esto es lo que estamos intentando probar. No conocemos la razón por anticipado.
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Slide 113 / 190 Teorema de los Complementos Congruentes
Teorema: Los ángulos que son complementarios al mismo ángulo son iguales. Dados: Los ángulos 1 y 2 son complementarios Los ángulos 1 y 3 son complementarios
Slide 114 / 190 Teorema de los Complementos Congruentes Teorema: Los ángulos complementarios al mismo ángulo son iguales.
Razón 1 Afirmación 1 Los ángulos 1 y 2 son complementarios Dado Los ángulos 1 y 3 son complementarios
Demostración: m∠ 2 = m∠ 3
¿Qué sabemos sobre la suma de las medidas de los ángulos complementarios?
Slide 115 / 190 Teorema de los Complementos Congruentes
Razón 2 Definición de ángulos complementarios
Afirmación 2 m∠1 + m∠2 = 90 m∠1 + m∠3 = 90
Slide 116 / 190 Teorema de los Complementos Congruentes
Afirmación 3 m∠1 + m∠2 = m∠1 + m∠3
Razón 3 Sustitución propiedad de igualdad
Si igualamos las ecuaciones de arriba a 90 grados, ¿cómo están relacionadas entre sí? Explica cómo lo sabes.
¿Hay algo igual en ambos lados de la ecuación? Si es así, qué podemos hacer hacer para simplificar la ecuación? ¿Por qué es posible?
Slide 117 / 190
Slide 118 / 190
Teorema de los Complementos Congruentes
Teorema de los Complementos Congruentes Dado: Los ángulos 1 y 2 son complementarios Los ángulos 1 y 3 son complementarios Prueba: m∠2 = m∠3
Razón 4 Resta propiedad de igualdad
Afirmación 4 m∠2 = m∠3
Afirmación
Razón
Los ángulos 1 y 2 son complementarios Los ángulos 1 y 3 son complementarios
Dado
m∠ 1 + m∠ 2 = 90
Definición de ángulos complementarios
m∠ 1 + m∠ 3 = 90
¿Qué podemos hacer establecer la demostración?
m∠ 1 + m∠ 2 = m∠ 1 + m∠ 3
Sustitución Propiedad de igualdad
m∠ 2 = m∠ 3
Resta propiedad de igualdad
Slide 119 / 190 Teorema de los suplementarios congruentes
Teorema: Los ángulos que son suplementarios al mismo ángulo son iguales Dado:
Los ángulos 1 y 2 son suplementarios Los ángulos 1 y 3 son suplementarios
Demostración: m∠2 = m∠3
Esta es por tanto la última prueba que vamos a hacer a partir de la que examinaremos la prueba total.
Slide 120 / 190 Teorema de los suplementarios congruentes
Dado:
Los ángulos 1 y 2 son suplementarios Los ángulos 1 y 3 son suplementarios
Demostración: m∠2 = m∠3 Afirmación
Razón
Los ángulos 1 y 2 son suplementarios Los ángulos 1 y 3 son suplementarios
Dadps
m∠ 1 + m∠ 2 = 180 m∠ 1 + m∠ 3 = 180
Definición de ángulos suplementarios
m∠ 1 + m∠ 2 = m∠ 1 + m∠ 3
Sustitución propiedad de igualdad
m∠ 2 = m∠ 3
Resta propiedad de igualdad
Slide 121 / 190
Slide 122 / 190 Teorema de los ángulos verticales A
Teorema de los ángulos verticales Los ángulos verticales tienen igual medida
A
D C
La primera afirmación se enfocará en qué está dado lo cual hace a esta situación única.
D
En este caso, es sólo lo dado
Dado: recta AD y recta EC son rectas horizontales que se cortan en el punto B y forman los ángulos 1, 2, 3 y 4. Probar: m∠1 = m∠3 y m∠2 = m∠4
Slide 123 / 190
Slide 124 / 190
Teorema de los ángulos verticales A C
A C D
D
Afirmación 1 La recta AD y la recta EC son rectas horizontales que se cortan en el punto B y forman los ángulos 1, 2, 3 y4
52 Sabemos que los ángulos _____________. B
1 2 4 3 B
E
Razón 1 Dado
E
∠1 y ∠4 son suplementarios ∠1 y ∠2 son suplementarios ∠2 y ∠3 son suplementarios ∠3 y ∠4 son suplementarios Todos los de arriba A E
Entonces sabemos que queremos saber algo sobre la relación entre los pares de ángulos verticales. : ∠ 1 y ∠ 3 así como también ∠2 y ∠4 ¿Qué sabemos sobre esos cuatro ángulos que lo dado pueda ayudarnos con ellos?
Teorema de los ángulos verticales A E
C
C
Slide 126 / 190 Teorema de los ángulos verticales A E
1 2 4 3 B
C
D
D
Afirmación 2 ∠1 y ∠2 son suplementarios ∠1 y ∠4 son suplementarios ∠2 y ∠3 son suplementarios ∠3 y ∠4 son suplementarios
1 2 4 3 B D
Slide 125 / 190
1 2 4 3 B
C
Respuesta
1 2 4 3 B
E
1 2 4 3 B
E
Razón 2 Los ángulos que forman un par lineal son suplementarios
¿Qué sabemos sobre dos ángulos que son suplementarios al mismo ángulo, tal como ∠2 y ∠4 que son ambos suplementarios de ∠1?
Afirmación 2 ∠1 y ∠2 son suplementarios ∠1 y ∠4 son suplementarios ∠2 y ∠3 son suplementarios ∠3 y ∠4 son suplementarios
Razón 2 Los ángulos que forman un par lineal son suplementarios
Vamos a observar el hecho de que ∠2 y ∠4 son ambos suplementarios a ∠1 y que 1 y 3 son ambos suplementarios a ∠4, ya que eso relaciona a los ángulos verticales que son de nuestro interés.
Slide 127 / 190 Teorema de los ángulos verticales A E
1 2 4 3 B
Afirmación
Razón 3 Dos ángulos suplementarios al mismo ángulo son iguales
m∠1 = m∠3 m∠2 = m∠4
Teorema de los ángulos Averticales
Dado: AD y EC son ángulos horizontales que se cortan en el Punto B y forman los ángulos 1, 2, 3 y 4 E Prueba: m∠1 = m∠3 y m∠2 = m∠4
C
D Afirmación 3
Slide 128 / 190
1 2 4 3 B
C
D Razón
La recta AD y la recta EC son rectas horizontales que se cortan Dado en el Punto B y forman los ángulos 1, 2, 3 y 4. ∠ 1 y ∠ 2 son suplementarios
Pero aquellos son los pares de ángulos verticales que nos disponemos a probar que son iguales. De manera que, nuestra prueba terminó: los ángulos verticales son iguales.
∠ 1 y ∠ 4 son suplementarios
Los ángulos que forman un par lineal son suplementarios
∠ 2 y ∠ 3 son suplementarios ∠ 3 y ∠ 4 son suplementarios
Dos ángulos suplementarios al mismo ángulo son iguales
m∠ 1 = m∠ 3 y m∠ 2 = m∠ 4
Slide 129 / 190
Slide 130 / 190 Ángulos verticales
Teorema de los ángulos verticales
Dado: m∠ABC = 55o, resuelve para x, y y z. A
Hemos demostrado que los ángulos verticales son congruentes. Esto se convierte en un teorema que podemos usar en pruebas futuras. También podemos resolver problemas con él.
55o
xo E
yo
B
zo
C
D
Slide 131 / 190
Slide 132 / 190 Ejemplo
Ángulos verticales
Calcula m∠1, m∠2 y m∠3. Explica tu respuesta
Dado: m∠ABC = 55°
Sabemos que x + 55 = 180°, ya que son suplementarios Y que y = 55°, ya que son ángulos verticales. y que x = z por la misma razón. A
E
125o 55o 55o B125o D
C
1
36o
3
2
36 + m∠1 = 180 m∠1 = 144° Los pares de ángulos lineales son suplementarios
m∠2 = 36°; Los ángulos verticales son congruentes (ángulo original y m∠2) m∠3 = 144°; Los ángulos verticales son congruentes (m∠1 y m∠3)
Slide 133 / 190
Slide 134 / 190
B
103°
C
113°
D
ninguno de los de arriba 1 2
A
77°
B
103°
C
113°
D
ninguno de los de arriba
77° 3
56 ¿Cuánto mide el ángulo 4? Respuesta
77° 103°
C
113°
D
ninguno de los de arriba
77° 3
Slide 136 / 190
55 ¿Cuánto mide el ángulo 3? B
1 2
Slide 135 / 190
A
Respuesta
77°
54 ¿Cuánto mide el ángulo 2?
1 2
A
112°
B
78°
Respuesta
A
Respuesta
53 ¿Cuánto mide el ángulo 1?
C
102°
D
ninguno de los de arriba
77°
D) medida
3 4
112° 6
5
B
Slide 137 / 190
Slide 138 / 190
112°
B
68°
C
102°
D
ninguno de los de arriba
Respuesta
A
4
112° 6
5
A
102°
B
78°
C
112°
D
ninguno de los de arriba
Respuesta
58 ¿Cuál es la m∠6?
57 ¿Cuánto mide el ángulo 5?
4
112° 6
5
Slide 139 / 190
Slide 140 / 190 Ejemplo
Los ángulos mostrados son verticales de manera que son congruentes.
Los ángulos mostrados son suplementarios
Calcula el valor de x.
Respuesta
Calcula el valor de x
(2x + 8)°
Respuesta
Ejemplo
(3x + 17)°
(13x + 16)° (14x + 7)°
Slide 141 / 190
Slide 142 / 190 60 Calcula el valor de x
95
B C
50 45
D
40 85o
A
75
B
17
C
13
D
12
Respuesta
A
Respuesta
59 Calcula el valor de x
(2x - 5)o
75o (6x + 3)o
Slide 143 / 190
Slide 144 / 190
13.1 14
C
15
D
122
Respuesta
A B
A
12
B
13
C
42
D
138
Respuesta
62 Calculal el valor de x.
61 Calcula el valor de x.
122o (9x - 4)o
(7x + 54)o
42o
Slide 145 / 190
Slide 146 / 190 Bisectriz de un ángulo
A
La bisectriz de un ángulo es una semirrecta o recta que comienza en el vértice y corta a un ángulo en dos mitades iguales
Bisectrices
X
B Volver a la tabla de contenidos
La semirrecta BX bisecta al
∠ABC
C
Bisectar significa cortar en dos partes iguales. La "bisectriz" es la cosa que corta. La bisectriz de un ángulo es equidistante desde los lados del ángulo medido a lo largo de un segmento perpendicular a los lados del ángulo.
Slide 147 / 190
Slide 148 / 190
Calculando la medida que falta
Respuesta
Ejemplo: el ∠ABC es bisectado por la semirrecta BD. Calcula las medidas de los ángulos que faltan.
A
E H
56o
Respuesta
63 El ∠ EFG es bisectado por FH. La m∠ EFG = 56º. Calcula las medidas de los ángulos que faltan.
D F 52° C
Slide 149 / 190
Slide 150 / 190
L M
(x + 10)
65 La semirrecta NP bisecta a ∠MNO Dado que Respuesta
64 MO bisecta a ∠LMN. Calcula el valor de x.
m∠MNP = 57°, ¿cuál es la m∠MNO?
Pista:
o
O
(3x - 20)o
N
click para revelar
¿Qué significa bisectar? Dibuja y coloca nombres a la imagen
Respuesta
B
G
Slide 151 / 190
Slide 152 / 190 67 La semirrecta VY bisecta a ∠UVW. Dado que
66 La semirrecta RT bisecta a ∠QRS. Dado que
m∠UVW = 165o, ¿cuál es la m∠UVY?
Slide 153 / 190
Slide 154 / 190 69 La semirrecta FH bisecta a ∠EFG. Calcula el valor de x. Respuesta
valor de x.
D (7x + 3)o
H
E
(9x - 17)o (3x + 49)o
(11x - 25)o B
Respuesta
68 La semirrecta BD bisecta a ∠ABC. Calcula el
A
Respuesta
Respuesta
m∠QRT = 78°, ¿cuál es la m∠QRS?
F
C
Slide 155 / 190
G
Slide 156 / 190
I (7x + 1)o
L
Respuesta
70 La semirrecta JL bisecta a ∠IJK. Calcula el valor de x.
Locus y Constructiones de ángulos
(12x - 19)o J
K
Volver a la tabla de contenidos
Slide 157 / 190 Construcción de ángulos congruentes
Slide 158 / 190 Construcción de ángulos congruentes
Dado: ∠FGH Construye: ∠ABC de modo que ∠ABC ≅ ∠FGH
De modo que, si salimos una distancia fijada desde el vértice sobre ambas semirrectas y dibujamos puntos ahí, la distancia en que aquellos puntos se apartan uno del otro define la medida del ángulo.
Nuestro enfoque estará basado en la idea que la medida de un ángulo es cuánto habríamos rotado una semirrecta para superponerla con la otra.
A mayor distancia, mayor la medida del ángulo.
Cuanto más grande la medida de un ángulo, más separadas ellas están a medida que las mueves desde el vértice.
Si construimos otro ángulo cuyas semirrectas están separadas a la misma distancia desde el vértice, este será congruente al primer ángulo. F
F
G
G
H
H
Slide 159 / 190 Construcción de ángulos congruentes 1. Dibuja una recta de referencia con el lado horizontal. Ubica un punto de referencia (B) para indicar donde la nueva semirreca comenzará sobre la recta.
Slide 160 / 190 Construcción de ángulos congruentes 2. Ubica la punta del compás sobre el vértice G y ábrelo para cualquier longitud siempre y cuando el arco trazado corte ambas semirrectas. 3. Dibuja un arco que corte ambas semirrectas del ∠FGH. (Esto define una distancia común desde el vértice en ambas semirrectas ya que el arco es parte de un círculo y todos sus puntos son equidistantes desde el centro del círculo) F
F
G
H
B
G
H
Slide 161 / 190 Construcción de ángulos congruentes 4. Sin cambiar la extensión del compás, ubica la punta del compás en el punto de referencia B y mueve un arco de vaya desde la recta y por encima de él. (Esto define igual distancia desde el vértice sobre ambas, nuestra semirrecta de referencia y la semirrecta que usábamos para el ángulo original).
Slide 162 / 190 Construcción de ángulos congruentes 5. Ahora ubicaremos nuestro compás donde el arco corta una semirrecta del ángulo original y lo fijaremos de modo que se pueda dibujar un arco donde se cruza con la otra semirrecta. (Esto define cuán apartadas están las semirrectas a esa distancia desde el vértice)
F
G
B
F
H
B
G
H
B
Slide 163 / 190
Slide 164 / 190
Construcción de ángulos congruentes
Construcción de ángulos congruentes
6. Sin cambiar la apertura del compás ubica la punta del compás donde el primer arco cruza a la primera semirrecta y dibuja un arco que corta al arco sobre la semirrecta.
6. Ahora usa tu lado horizontal para dibujar la segunda semirrecta del nuevo ángulo que es congruente con el primer ángulo.
(Esto hará la separación entre las seirrectas igual a la misma distancia desde el nuevo vérticce coo era el caso para el ángulo original) F
F A
G
H
B
G
C
B
H
Slide 165 / 190
Slide 166 / 190
Construcción de ángulos congruentes
Construcción de ángulos congruentes
Debería estar claro que esos dos ángulos son congruentes. La semirrecta FG tendría que ser rotada la misma cantidad para superponerse con la semirrecta GH que la semirrecta AB para superponerse con la semirrecta BC.
Podemos confirmar poniendo un sobre el otro.
Observa que donde ubicamos el punto no es relevante, sólo la forma del ángulo indica congruencia. F
F
A
A
G
B
G
C
B
H
Slide 167 / 190
Intenta ésto! Notas para el profesor
Construye un ángulo congruente sobre el segmento dado. B A
C
Slide 168 / 190
Intenta ésto! 1)
H
P
Construye un ángulo congruente sobre el segmento dado. 2)
C
E
L
Q
R
J
K
Slide 169 / 190
Slide 170 / 190
Video demostrativo de construcción de ángulos congruentes usando el Software de Geometría dinámica
Bisectrices y Construcciones
Click aquí para ver el video
Volver a la tabla de contenidos
Slide 171 / 190 Construcción de bisectrices Como aprendimos anteriormente, una bisectriz divide a un ángulo en dos ángulos adyacentes de igual medida. Para dibujar una bisectriz usaremos un enfoque similar al que usamos para construir un ángulo congruente, ya que, en este caso, estaremos construyendo dos ángulos congruentes.
Slide 172 / 190 Construcción de bisectrices 1. Con la punta del compás sobre el vértice, dibuja un arco que corte ambas semirrectas. (Esto establecerá una distancia fijada desde el vértice en ambas semirrectas). U
U
V
V
W
W
Slide 173 / 190 Construcción de bisectrices
2. Sin cambiar la apertura del compás, ubica la punta del comàs sobre la intersección de cada arco y la semirrecta y dibuja un nuevo arco de tal manera que los dos arcos se corten en el interior del ángulo. (Esto fija la distancia desde cada semirrecta original al la nueva semirrecta para ser la misma, de manera que los dos nuevos ángulos serán congruentes)
Slide 174 / 190 Construcción de bisectrices 3. Con una regla, dibuja una semirrecta desde el vértice y pasando por la intersección de los arcos y coloca el nombre a un punto allí. Porque sabemos que la distancia de cada semirrecta original a la nueva semirrecta es la misma, en la misma distancia desde el vértice, sabemos que las medidas de los nuevos ángulos es la misma y que m∠UVX = m∠XVW U
U
X V
V W
W
Slide 175 / 190
Slide 176 / 190 Intenta ésto!
Intenta ésto! Notas para el profesor
Bisecta el ángulo 3)
Bisecta el ángulo 4)
Slide 177 / 190 Construcción de bisectrices con cuerda, varilla, lápiz y regla Todo lo que hacemos con un compás puede ser hecho con una varilla y una cuerda. En ambos casos, la idea es marcar un centro (o la punta del compás o la varilla) y luego dibujar una parte de un círculo manteniendo un radio fijo (con la apertura del compás o la longitud de la cuerda fijos).
Slide 178 / 190 Construcción de bisectrices con cuerda, varilla, lápiz y regla 1. Con la varilla sobre el vértice, dibujamos un arco cruzando a cada lado. U
V
Slide 179 / 190 Construcción de bisectrices con cuerda, varilla, lápiz y regla 2. Ubicamos la varilla sobre la intersecciones de cada arco con los lados y dibujamos 2 arcos, uno desde cada lado de manera que quede un punto de intersección entre ellos.
W
Slide 180 / 190 Construcción de bisectrices con cuerda, varilla, lápiz y regla 3. Con una regla, conectamos el vértice con la intersección de los arcos. Nombra ese punto. m∠UVX = m∠XVW
U
U X
V
W
V W
Slide 181 / 190
Slide 182 / 190 Intenta ésto!
Intenta ésto! Bisecta el ángulo con cuerda, varilla, lápiz y regla. 5)
Slide 183 / 190 Construcción de bisectrices mediante plegado
1. Sobre tu papel de calcar, traza cualquier ángulo que elijas. Hazlo tan grande como el papel. Marca los puntos A, B y C.
Slide 185 / 190 Construcción de bisectrices mediante plegado
3. Despliega el papel. Dibuja una semirrecta a lo largo del pliegue, comenzando desde el punto B. Dibuja y coloca nombre a un punto sobre la semirrecta.
Bisecta el ángulo con cuerda, varilla, lápiz y regla. 6)
Slide 184 / 190 Construcción de bisectrices mediante plegado
2. Pliega tu papel de calcar de manera que la semirrecta BA quede alineada. Se forma un pliegue.
Slide 186 / 190 Intenta ésto! Bisecta el ángulo mediante plegado. 7)
Slide 187 / 190
Slide 188 / 190
Intenta ésto! Videos demostrativos para la construcción de bisectrices usando Software de Geometría
Bisecta el ángulo mediante plegado. 8)
Click aquí para ver video usando compás y la herramienta segmento
Click aquí para ver video usando el menú opciones
Slide 190 / 190
Preguntas de muestra para la prueba. PARCC La diapositiva restantes de esta presentación contiene una pregunta tomada de la prueba de muestra PARCC. Después de terminar la unidad 2, deberías ser capaz de responder esta pregunta. Buena suerte!
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Pregunta 2/25
r
La figura muestra la intersección de las rectas r, n, y p que forman los ángulos 1, 2, 3, 4, 5, y 6. Las tres rectas están en el mismo plano.
71 En base a la figura, ¿Cuál de las afirmaciones proveería suficiente información para concluir que r es perpendicular a la recta p? Selecciona todas las que aplican. A m∠2 = 90°
D m∠1 + m∠6 = 90°
B m∠ 6 = 90°
E m∠3 + m∠4 = 90°
C m∠3 = m∠6
F m∠4 + m∠5 = 90°
6 5 4
n 1 2
3
p no está hecho a escala
Respuesta
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