MATEMÁTICAS I

R I U IT T S SU

1er Grado Volumen II

MATEMÁTICAS I

Libro para el maestro

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1er Grado Volumen II

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1er Grado Volumen II

matemáticas I

Libro para el maestro

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Matemáticas I. Libro para el maestro. Volumen II. Telesecundaria. Primer grado fue elaborado en la Coordinación de Informática Educativa del Instituto Latinoamericano de la Comunicación Educativa (ILCE), de acuerdo con el convenio de colaboración entre la Subsecretaría de Educación Básica y el ILCE.

Autores Ana Laura Barriendos Rodríguez Ernesto Manuel Espinosa Asuar Diana Violeta Solares Pineda Asesoría académica María Teresa Rojano Ceballos (DME-Cinvestav) Judith Kalman Landman (DIE-Cinvestav) (Convenio ILCE-Cinvestav, 2005) Apoyo técnico y pedagógico María Catalina Ortega Núñez María Padilla Longoria Colaboración Martha Gabriela Araujo Pardo, Silvia García Peña, José Cruz García Zagal, Olga Leticia López Escudero, Verónica Rosainz Bonilla Coordinación editorial Sandra Hussein Domínguez

Servicios editoriales Dirección de arte Rocío Mireles Gavito Diseño Zona gráfica Diagramación Bruno Contreras Iconografía Cynthia Valdespino Ilustración Imanimastudio, Curro Gómez, Gabriela Podestá, Cecilia Varela Fotografía Ariel Carlomagno, Pablo González de Alba, Pável Ramírez

Primera edición, 2006 Segunda edición, 2007 Sexta reimpresión, 2013 (ciclo escolar 2013-2014) D.R. © Secretaría de Educación Pública, 2006 Argentina 28, Centro, 06020, México, D.F. ISBN: 978-968-01-1200-5 (obra completa) ISBN: 978-968-01-1486-3 (volumen II) Impreso en México D istribución gratuita -P rohibida su venta

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Índice 4 9

Mapa-índice Clave de logos

12 22 32 40 50 60 72 84

Bloque 3 secuencia 17 División de números decimales secuencia 18 Ecuaciones de primer grado secuencia 19 Existencia y unicidad secuencia 20 Áreas y perímetros secuencia 21 Porcentajes secuencia 22 Tablas de frecuencia secuencia 23 Gráficas de barras y circulares secuencia 24 Nociones de probabilidad

104 114 126 140 150 158 164 172

25 secuencia 26 secuencia 27 secuencia 28 secuencia 29 secuencia 30 secuencia 31 secuencia 32 secuencia

184 200 204 218 224 232

Bloque 5 Cuentas de números con signo Áreas de figuras planas Juegos equitativos Gráficas, tablas y expresiones algebraicas Proporcionalidad inversa Medidas de tendencia central

265

Propuesta de examen bimestral bloque 3 Propuesta de examen bimestral bloque 4 Propuesta de examen bimestral bloque 5

280

Bibliografía

241 255

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33 secuencia 34 secuencia 35 secuencia 36 secuencia 37 secuencia 38 secuencia

Bloque 4 Números con signo Raíz cuadrada y potencias Relación funcional Construcción de círculos y circunferencias El número Pi El área de los círculos Relaciones de proporcionalidad Gráficas asociadas a situaciones de proporcionalidad

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8. Problemas de conteo. • Resolver problemas de conteo utilizando diversos recursos y estrategias, como tablas, diagramas de árbol y otros procedimientos de enumeración.

7. Reparto proporcional. • Elaborar y utilizar procedimientos para resolver problemas de reparto proporcional.

6. Proporcionalidad. • Identificar y resolver situaciones de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante”, utilizando de manera flexible diversos procedimientos.

5. Simetría. • Construir figuras simétricas respecto a un eje, analizarlas y explicitar las propiedades que se conservan en figuras tales como: triángulos isósceles y equiláteros, rombos, cuadrados y rectángulos.

4. Geometría y expresiones algebraicas. • Explicar en lenguaje natural el significado de algunas fórmulas geométricas, interpretando las literales como números generales con los que es posible operar.

3. Sucesiones de números y figuras. • Construir sucesiones de números a partir de una regla dada. • Determinar expresiones generales que definen las reglas de sucesiones numéricas y figurativas.

2. Fracciones y decimales en la recta numérica. • Representar números fraccionarios y decimales en la recta numérica a partir de distintas informaciones, analizando las convenciones de esta representación.

1. Sistemas de numeración. • Identificar las propiedades del sistema de numeración decimal y contrastarlas con las de otros sistemas numéricos posicionales y no posicionales.

SECUENCIA

Diagrama de árbol

Diagrama de árbol

¿Saben cuántos caminos hay?

8.3 ¿Cuántos viajes hay…? 8.4 Otros contextos

Diagrama de árbol

8.1 ¿Cuántos caminos hay? 8.2 ¿De cuántas formas?

Mapa de calles

Variación proporcional 2

7.2 Más sobre reparto proporcional

Variación proporcional 1 Reparto proporcional

Simetría de polígonos

Simetría de puntos

Cuadrado

Rectángulo

Hexágono

Cuadrado

Patrones y secuencias 2

7.1 La kermés

Escalas y maquetas en arquitectura

Vitrales

Fórmulas y perímetros

6.3 La proporcionalidad en otros contextos

6.2 El valor unitario

6.1 Las cantidades directamente proporcionales

5.4 Algo más sobre simetría

5.3 Los vitrales

5.2 Papel picado

5.1 Como si fuera un espejo

4.2 Fórmulas y áreas

4.1 Fórmulas y perímetros

Patrones y secuencias 1

3.3 Reglas de sucesiones

Patrones y secuencias 1 Sucesiones

Figuras que crecen

3.2 Números que crecen

3.1 Figuras que crecen

La recta numérica: Fracciones decimales

2.3 El salto de longitud y los números decimales

Sistema de numeración maya

Interactivos

La recta numérica: Fracciones

El salto de altura

Los números mayas

Videos

6.2 Valor unitario (Hoja de cálculo)

5.4 Algo más sobre simetría (Geometría dinámica)

5.2. Papel picado (Geometría dinámica)

4.2 Fórmulas y áreas (Hoja de cálculo)

3.2 Números que crecen (Hoja de cálculo)

Hojas de trabajo

Sucesión

Archivo

Escalas

Aprendido

Simétrico

Papel

Cuadrado 1

Aula de medios

RECURSOS TECNOLÓGICOS

2.2 Densidad y fracciones

2.1 El salto de altura

1.3 El sistema decimal

1.2 Otro sistema de numeración

1.1 Acertijos arqueológicos

SESIÓN

Bloque 1



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16. Aplicación sucesiva de constantes de proporcionalidad. • Interpretar el efecto de la aplicación sucesiva de factores constantes de proporcionalidad en diversos contextos.

15. La constante de proporcionalidad. • Identificar situaciones de proporcionalidad directa en diversos contextos, y resolverlas mediante procedimientos más eficientes.

14. Fórmulas para calcular el área de polígonos. • Justificar las fórmulas para calcular el perímetro y el área de triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares.

13. Polígonos regulares. • Construir polígonos regulares a partir de distintas informaciones.

12. Mediatriz y bisectriz. • Utilizar las propiedades de la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ángulo para resolver diversos problemas geométricos.

11. Multiplicación de números decimales. • Resolver problemas que impliquen la multiplicación de números decimales en distintos contextos.

10. Multiplicación y división de fracciones. • Resolver problemas que impliquen la multiplicación y división con números fraccionarios en distintos contextos.

9. Problemas aditivos con números fraccionarios y decimales. • Resolver problemas aditivos con números fraccionarios y decimales en distintos contextos.

SECUENCIA

16.3 Consomé ranchero

16.2 Escalas y reducciones

16.1 Microscopios compuestos

15.3 Rutas y transporte

15.2 Mapas y escalas

15.1 La cancha de básquetbol

14.4 Otras formas de justificar las fórmulas

14.3 Descomposición de figuras

14.2 Rompecabezas 2

14.1 Rompecabezas 1

Microscopios compuestos

Centro Histórico de la Ciudad de México

Justificación

Variación proporcional 5

Variación proporcional 4

Variación proporcional 3

Fórmulas geométricas

13.2 Mosaicos (Geometría dinámica)

16.1 Microscopios compuestos (Hoja de cálculo)

15.1 La cancha de básquetbol (Hoja de cálculo)

14.4 Otras formas de justificar (Geometría dinámica)

14.3 Descomposición de figuras (Geometría dinámica)

13.3 Más sobre polígonos regulares (Geometría dinámica)

Polígonos regulares ángulo interior

13.3 Más sobre polígonos regulares

13.2 Mosaicos

13.1 Tarjetas de felicitación (Geometría dinámica)

Polígonos regulares ángulo central

Felicidades

12.2 Un problema geométrico (Geometría dinámica)

12.1 A la misma distancia (Geometría dinámica)

9.1 El festival de fin de cursos (Hoja de cálculo)

Hojas de trabajo

Aula de medios

13.1 Tarjetas de felicitación

Bisectrices

Bisectriz

Mediatrices

Mediatriz

Áreas y números decimales

Escalas y números decimales

Multiplicación de números decimales

Multiplicación de fracciones 2

Multiplicación de fracciones 1

Multiplicación de fracciones 1

Números fraccionarios

Interactivos

12.3 Apliquemos nuestro conocimiento de mediatrices y bisectrices (Geometría dinámica)

Mitades de ángulos

Más de tres, pero menos de cuatro

El sistema solar y la fuerza de gravedad

¿Dónde se utilizan fracciones?

Videos

RECURSOS TECNOLÓGICOS

12.3 Apliquemos nuestros conocimientos de mediatrices y bisectrices

12.2 Un problema geométrico

12.1 A la misma distancia

11.3 ¿En dónde se usa la multiplicación de decimales?

11.2 El punto es el asunto

11.1 Tres veces y media

10.5 ¿Cuántas botellas de jugo se necesitan?

10.4 Hay tela de donde cortar

10.3 ¿Cómo serían las marcas atléticas en el espacio?

10.2 Superficies y fracciones

10.1 De compras en el mercado

9.3 Los precios de la cafetería

9.2 Marcas atléticas

9.1 El festival de fin de cursos

SESIÓN

Bloque 2

Microscopios

Cancha

Hexágono Apotema Fórmulas

Polígono Central

Centros Ángulo 2 Medida Ángulo 3

Ejes

Figura 1 Ángulo 1 Bisectrices

Mediatrices

Segmento

Fracciones

Archivos



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E VA L U A C I Ó N

24. Nociones de probabilidad.  (84 - 101) • Enumerar los posibles resultados de una experiencia aleatoria. Utilizar la escala de probabilidad entre 0 y 1 y vincular diferentes formas de expresarla. • Establecer cuál de dos o más eventos en una experiencia aleatoria tiene mayor probabilidad de ocurrir; justificar la respuesta.

23. Gráficas de barras y circulares.  (72 - 83) • Interpretar información representada en gráficas de barras y circulares de frecuencia absoluta y relativa, proveniente de diarios o revistas y de otras fuentes. • Comunicar información proveniente de estudios sencillos, eligiendo la forma de representación más adecuada.

22. Tablas de frecuencia.  (60 - 71) • Interpretar y comunicar información mediante la lectura, descripción y construcción de tablas de frecuencia absoluta y relativa.

21. Porcentajes.  (50 - 59) • Resolver problemas que impliquen el cálculo de porcentajes utilizando de manera adecuada las expresiones fraccionarias o decimales.

20. Áreas y perímetros.  (40 - 49) • Resolver problemas que impliquen calcular el perímetro y el área de triángulos, romboides y trapecios, y establecer relaciones entre los elementos que se utilizan para calcular el área de cada una de estas figuras. • Realizar conversiones de medidas de superficie.

19. Existencia y unicidad.  (32 - 39) • Construir triángulos y cuadriláteros. • Analizar las condiciones de existencia y unicidad.

18. Ecuaciones de primer grado.  (22 - 31) • Resolver problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de las formas x + a = b; ax = b; ax + b = c, utilizando las propiedades de la igualdad, cuando a, b y c son números naturales y decimales.

17. División de números decimales.  (12 - 21) • Resolver problemas que impliquen la división de números decimales en distintos contextos.

SECUENCIA

17.1 El metrobús

24.4 Comparación de probabilidades II

24.3 Comparación de probabilidades I

24.2 Probabilidad clásica

24.1 Probabilidad frecuencial

23.3 Gráfica circular

23.2 Gráficas de barras

23.1 Qué dicen las gráficas

Lanza monedas

¿Qué es más probable?

Bolsa con canicas

La ruleta

24.1 Probabilidad frecuencial (Hoja de cálculo)

22.3 La tabla representa… (Hoja de cálculo)

22.1 ¿Quién llegó primero? (Hoja de cálculo)

21.2 El IVA (Hoja de cálculo)

22.3 La tabla representa…

El rating en la televisión

Porcentajes 2

Porcentajes 1

19.2 ¿Es uno o son muchos? (Geometría dinámica)

22.2 Tabla de frecuencia relativa (Hoja de cálculo)

Un recorrido por el origen de la estadística

Los migrantes

Medidas de superficie

¿Es uno o son muchos?

Desigualdad triangular

Ecuaciones de primer grado

18.1 A repartir naranjas (Hoja de cálculo)

Hojas de trabajo

Rombos

Ecuación

Archivos

Matrículas

Frecuencias

Edades

Atletismo

IVA

Construcciones

Aula de medios

22.2 Tabla de frecuencia relativa

22.1 ¿Quién llegó primero?

21.3 Miscelánea de porcentajes

21.2 El IVA

21.1 México en el INEGI

20.3 Medidas de superficie

20.2 Relaciones importantes

20.1 Problemas de aplicación

19.2 ¿Es uno o son muchos?

19.1 ¿Existe o no existe?

18.3 Resolución de ecuaciones mixtas

Ecuaciones 2

18.2 El paseo escolar

División de números decimales

Interactivos

Ecuaciones 1 El terreno y el río

El metrobús

Videos

RECURSOS TECNOLÓGICOS

18.1 A repartir naranjas

17.3 Números decimales en la ciencia

17.2 Cambio de dinero

SESIÓN

Bloque 3



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E VA L U A C I Ó N

32. Gráficas asociadas a situaciones de proporcionalidad.  (172 - 181) • Explicar las características de una gráfica que represente una relación de proporcionalidad en el plano cartesiano.

31. Relaciones de proporcionalidad.  (164 - 171) • Formular la expresión algebraica que corresponda a la relación entre dos cantidades que son directamente proporcionales. • Asociar los significados de las variables en la expresión y = kx con las cantidades que intervienen en dicha relación.

30. El área de los círculos.  (158 - 163) • Resolver problemas que impliquen calcular el área y el perímetro de un círculo.

29. El número Pi.  (150 - 157) • Determinar el número como la razón entre la longitud de la circunferencia y el diámetro. • Justificar y usar la fórmula para el cálculo de la longitud de la circunferencia.

28. Construcción de círculos y circunferencias.  (140 - 149) • Construir círculos que cumplan condiciones dadas a partir de diferentes datos.

27. Relación funcional.  (126 - 139) • Analizar en situaciones problemáticas la presencia de cantidades relacionadas y representar esta relación mediante una tabla y una expresión algebraica.

26. Raíz cuadrada y potencias.  (114 - 125) • Resolver problemas que impliquen el cálculo de la raíz cuadrada y la potencia de exponente natural, ambas de números naturales y decimales.

25. Números con signo.  (104 - 113) • Plantear y resolver problemas que impliquen la utilización de números con signo.

SECUENCIA

32.2 Comparación de gráficas

32.1 Gráficas y sus características

31.2 Expresiones algebraicas y relaciones de proporcionalidad en distintos contextos

31.1 Cambio de moneda

30.2 Áreas y perímetros

30.1 Área del círculo

29.2 Perímetro del círculo

Gráficas

Historia de la moneda

Área del círculo

Variación proporcional y gráficas

Variación proporcional 6

Área del círculo

Cálculo del área del círculo de Arquímedes

El número Pi

30.1 Área del círculo (Geometría dinámica)

29.1 Relación entre circunferencia y diámetro (Geometría dinámica) Relación entre circunferencia y diámetro

¿De dónde salió Pi?

29.1 La relación entre circunferencia y diámetro

28.3 Tres puntos y una circunferencia (Geometría dinámica)

Construcción de circunferencias con la mediatriz

27.3. Cocina navideña (Hoja de cálculo)

26.1 Cuadros y más cuadros (Hoja de cálculo)

Polígonos

Círculos

Aplicación

Comunidad

Comunidades

Pavo

Cuadrado 2

Archivos

Aula de medios Hojas de trabajo

28.3 Tres puntos y una circunferencia

Diagrama de árbol

Método babilónico

Temperaturas

Interactivos

Construcción de circunferencias

Las circunferencias que pasan por dos puntos

La expansión del universo

Los babilonios y la raíz cuadrada



Temperaturas ambientales

Videos

RECURSOS TECNOLÓGICOS

28.2 Cuerdas y circunferencias

28.1 Las circunferencias que pasan por dos puntos

27.4 El recibo de teléfono

27.3 Cocina navideña

27.2 Los husos horarios

27.1 La expansión del universo

26.3 ¿Cuántos tatarabuelos?

26.2 Cálculo de raíces cuadradas

26.1 Cuadros y más cuadros

25.3 Valor absoluto y simétricos

25.2 Distancia y orden

25.1 Nivel del mar

SESIÓN

Bloque 4



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8/25/07 3:00:43 PM

Forma, espacio y medida

Manejo de la información

EJE 2:

EJE 3:

Sentido numérico y pensamiento algebraico

EJE 1:

E VA L U A C I Ó N

38. Medidas de tendencia central.  (232 - 239) • Comparar el comportamiento de dos o más conjuntos de datos referidos a una misma situación o fenómeno a partir de sus medidas de tendencia central.

37. Proporcionalidad inversa.  (224 - 231) • Identificar y resolver situaciones de proporcionalidad inversa mediante diversos procedimientos.

36. Gráficas, tablas y expresiones algebraicas.  (218 - 223) • Calcular valores faltantes a partir de varias representaciones relacionando las que corresponden a la misma situación, e identificar las que son de proporcionalidad directa.

35. Juegos equitativos.   (204 - 217) • Reconocer las condiciones necesarias para que un juego de azar sea justo, con base en la noción de resultados equiprobables y no equiprobables.

34. Áreas de figuras planas.  (200 - 203) • Resolver problemas que impliquen el cálculo de áreas de diversas figuras planas.

33. Cuentas de números con signo.  (184 - 199) • Utilizar procedimientos informales y algorítmicos de adición y sustracción de números con signo en diversas situaciones.

SECUENCIA

38.2 ¿Qué prefieren comer?

38.1 Promedios

37.3 La hipérbola

37.2 La velocidad

37.1 El agua

36.2 De la gráfica al problema

36.1 Gráficas, tablas y expresiones algebraicas asociadas a problemas de proporcionalidad directa

35.4 Quinielas

35.3 Juegos con dados

35.2 Ruletas

35.1 ¿Cuál es la mejor opción?

34.2 Áreas de figuras formadas por círculos

34.1 Áreas de figuras formadas por rectas

33.4 De todo un poco

Promedios

La velocidad constante

Elementos de la proporcionalidad directa

Pronósticos nacionales

Geometría andaluza

Variación proporcional inversa y gráficas 2

Variación proporcional inversa y gráficas 1

Lanza monedas

La ruleta

Los átomos 3

33.3 Restas de números con signo

Los átomos 1

Interactivos

Los átomos 2

Los átomos

Videos

37.3 La hipérbola (Hoja de cálculo)

36.1 Gráficas, tablas y expresiones algebraicas asociadas a problemas de proporcionalidad directa (Hoja de cálculo)

34.2. Áreas de figuras formadas por círculos (Geometría dinámica)

34.1 Áreas de figuras formadas por rectas (Geometría dinámica)

Hojas de trabajo

Años

Región

Figuras

Figura 2

Archivos

Pintores

Rectángulos

Aula de medios

RECURSOS TECNOLÓGICOS

33.2 Sumas de números con signo

33.1 Los átomos

SESIÓN

Bloque 5

Clave de logos T rabajo

individual

S itios

de I nternet

En

parejas

B iblioteca

En

equipos

V ideo

T odo

el grupo

C onexión

con otras asignaturas

G losario

C onsulta

CD

Programa integrador Edusat

I nteractivo

A udiotexto

otros materiales

de recursos

A ula

de

M edios

O tros T extos



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BLOQUE   3

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8/25/07 3:00:48 PM

secuencia 17

Propósito de la sesión. Dar sentido a lo que significa dividir entre un número con punto decimal, descubrir que el cociente no siempre es mayor que el dividendo y que hay varias maneras de resolver algunas divisiones entre números decimales.

División de números decimales En esta secuencia resolverás problemas que impliquen la división de números decimales en distintos contextos. sEsión 1

EL mEtrOBús

Para empezar En la Ciudad de México hay un transporte llamado metrobús. Es un autobús más largo que lo normal, que transita por una avenida llamada Insurgentes.

Organización del grupo. Se sugiere trabajar en parejas durante toda la sesión, con algunos momentos de confrontación grupal.

Para subirse al metrobús se usan tarjetas, las cuales se pasan por un aparato que permi­ te el acceso. En el aparato se marca el dinero disponible en la tarjeta, es decir, el saldo. El costo por viaje en el metrobús es de $3.50.

12

Eje Sentido numérico y pensamiento algebraico.

Tema Significado y uso de los números.

Propósitos de la secuencia Resolver problemas que impliquen la división de números decimales en distintos contextos.

Sesión

Título y propósitos de la sesión

Recursos

1

El metrobús Dar sentido a lo que significa dividir entre un número con punto decimal, descubrir que el cociente no siempre es mayor que el dividendo y que hay varias maneras de resolver algunas divisiones entre números decimales.

Video El metrobús Interactivo “División de números decimales”

2

Cambio de dinero Conocer y practicar la técnica para dividir entre un número con punto decimal.

3

Números decimales en la ciencia Resolver diversos problemas que implican operaciones de números con punto decimal.

Antecedentes Los alumnos aprendieron en la escuela primaria a resolver divisiones: - en las que dividendo y divisor son naturales, hallando el cociente hasta centésimos; y - en las que el dividendo tiene cifras decimales. En esta secuencia los alumnos aprenderán a resolver divisiones en las que el dividendo o el divisor tengan cifras decimales.

12

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MATEMÁTICAS

I

Propósito de la actividad. La finalidad es que los alumnos interpreten la división como la operación que permite saber cuántas veces cabe un número en otro. En este caso, deberán calcular “cuántas veces cabe” el número 3.50 en cada una de las cantidades indicadas como saldo. Es importante que en este momento los alumnos no utilicen la calculadora para que puedan hacer uso de otras estrategias.

Consideremos lo siguiente En cada caso anoten para cuántos viajes alcanza el saldo de la tarjeta y cuánto sobra. Recuerden que el costo de un viaje es $3.50.

Saldo $24.00

Número de viajes: Sobra:

6

$3.00

Saldo $37.50

Número de viajes:

10

$2.50

Sobra:

Saldo $75.00

viajes: Número de Sobra:

$1.50

Saldo $115.50

21

viajes: Número de Sobra:

33

0

Platiquen con su grupo los resultados y la manera en que llegaron a ellos. Si utilizaron operaciones digan cuáles y cómo las usaron.

Manos a la obra I. Hallar el número de viajes que se puede hacer con cierta cantidad de dinero, equiva­ le a dividir esa cantidad entre el costo de un viaje.

Utilicen los resultados que encontraron en el problema anterior y completen la tabla. División

Cociente (número de viajes)

Residuo (lo que sobra)

24.00 ÷ 3.50 37.50 ÷ 3.50

Posibles procedimientos. - Sumar varias veces 3.50 hasta llegar al número más cercano al saldo indicado. - Restar 3.50 al saldo indicado las veces que sea necesario hasta agotarlo o hasta que ya no alcance el dinero para un viaje más. - Multiplicar 3.50 por diferentes números hasta obtener un producto que se aproxime al saldo indicado. - Dividir el saldo entre 3.50. Sugerencia didáctica. Mientras las parejas resuelven, trate de identificar qué procedimientos utilizan para, posteriormente, recuperar algunos de ellos durante la confrontación.

75.00 ÷ 3.50 115.50 ÷ 3.50

Observen que al calcular el número de viajes, están calculando cuántas veces cabe el costo de cada viaje en el saldo.

13

3 Sugerencia didáctica. Es importante que el algoritmo de la división sea considerado como una manera más de resolver el problema, no es la única y no siempre la mejor; por ejemplo, si el saldo es $37.50 se puede calcular más rápidamente sabiendo que de 10 viajes son $35.00 y sobran $2.50.

Propósito de la actividad. Se pretende que los alumnos identifiquen que la actividad que resolvieron en el apartado Consideremos lo siguiente puede solucionarse mediante una división. Por eso es importante que utilicen los datos que encontraron anteriormente para completar la tabla.

13

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8/25/07 3:00:58 PM

Sugerencia didáctica. Mientras las parejas resuelven, usted puede plantear algunas preguntas para que los alumnos vayan reflexionando sobre aspectos interesantes que revisarán en las siguientes actividades; por ejemplo, para que identifiquen cómo varía el cociente en función del divisor: si el saldo es de $4 ¿a cuál destino se puede ir más veces, a uno cuyo viaje cuesta $0.50 o a otro que cuesta $0.20?

secuencia 17 ii. Imaginen ahora un lugar donde el precio de cada viaje varía y hay costos muy bajos. Completen la tabla. Saldo ($) (dividendo)

Posibles procedimientos. Los alumnos podrían ir completando cantidades “redondas”: si el costo del viaje es de $2.50, con $5.00 se hacen 2 viajes; si el costo es de $0.20, con $1.00, se hacen 5 viajes. También pueden recurrir al cálculo mental para resolver varias de las divisiones, pues los números que se ponen en juego son relativamente sencillos de manejar. Invite a los alumnos a que completen la tabla utilizando los procedimientos que ellos quieran; en este momento no es necesario que todos usen el algoritmo de la división, aunque sí es importante que sepan que están resolviendo divisiones. Recuerde que. Divisor

4 Cociente 6 27 Dividendo 3 Residuo

Costo del viaje ($) (divisor)

División

9

4.50

90 ÷ 4.50

15

2.50

4.50

1.50

4.80

1.20

9

1.80

4

0.50

8.50

0.50

4

0.25

5.25

0.25

4

0.20

4.30

0.10

Número de viajes (cociente)

iii. Analicen la tabla anterior para contestar las siguientes preguntas: a) ¿En cuáles casos el cociente es menor que el dividendo? b) ¿En cuáles casos el cociente es mayor que el dividendo? c) Encuentren qué tienen en común aquellas divisiones en las que el cociente es mayor que el dividendo y anoten sus observaciones:

iV. Anoten el resultado al que llegaron al dividir

4 ÷ 0.50 =

Observen que este resultado equivale a multiplicar 4 por un número, ¿por cuál número? 14

Propósito de la actividad. Hay dos aspectos interesantes que los alumnos trabajan: - Reconocer que al dividir no siempre el cociente resulta menor que el dividendo; por ejemplo, al dividir 4 entre 0.50 el resultado es 8 (8 > 4). - Al analizar en qué casos el cociente es mayor o menor que el dividendo, los alumnos podrán desarrollar, gradualmente, estrategias para estimar resultados. Respuestas. a) Cuando el costo del viaje (divisor) es mayor que uno. b) Cuando el costo del viaje (divisor) es menor que uno.

14

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MATEMÁTICAS

I

Propósito de la actividad. Que los alumnos se den cuenta de que el resultado de una división también puede obtenerse multiplicando por el inverso del divisor. Por ejemplo, para hallar el resultado de dividir 4 ÷ 0.1 se puede también multiplicar 4 × 10. En algunos casos, una manera es más sencilla que otra, y se espera que los alumnos vayan adquiriendo habilidades para decidir cuál les conviene, dependiendo de las circunstancias. Este tipo de prácticas son muy importantes porque desarrollan el sentido numérico de los alumnos.

Algunas divisiones entre un número con punto decimal pueden calcularse más fácilmen­ te con una multiplicación. Completen la siguiente tabla. Es lo mismo que multiplicar por:

Dividir entre:

0.50 0.25 0.20 0.10 0.125 0.01

Ejemplo resuelto con división

Ejemplo resuelto con multiplicación

2

3 ÷ 0.5 = 6

3×2=6



4

3 ÷ 0.25 = 12

3 × 4 = 12



10

3 ÷ 0.10 = 30 3 × 10 = 30



100



5 8

3 ÷ 0.20 = 15

3 × 5 = 15

3 ÷ 0.125 = 24 3 × 8 = 24

3 ÷ 0.01 = 300 3 × 100 = 300

V. Resuelvan mentalmente las siguientes divisiones: 2 ÷ 0.5 =

1 ÷ 0.125 =

3 ÷ 0.01 =

4 ÷ 0.25 =

1.5 ÷ 0.5 =

3 ÷ 0.1 =

12. 5 ÷ 2.5 =

9 ÷ 0.2 =

Sugerencia didáctica. Invite a los alumnos a que multipliquen los números de la primera y segunda columnas. Por ejemplo, 0.5 × 2; 0.25 × 4; 0.125 × 8. En todos los casos se obtiene 1. Pregunte: ¿Por qué creen que sucede esto?

VI. Platiquen a sus compañeros cómo resolvieron mentalmente alguna de las operacio­ nes de la actividad anterior. Elijan una operación y anoten en el pizarrón varios pro­ cedimientos para resolverla mentalmente. Comenten cuál procedimiento es mejor y por qué.

A lo que llegamos Dividir una cantidad entre un número equivale a calcular cuántas veces cabe ese número en dicha cantidad. Algunas divisiones entre números con punto decimal pueden resolverse más rápidamente con una multiplicación, por ejemplo, 10 ÷ 0.25 puede escribirse como 10 ÷ I, , que como estudiaron en la división de fracciones, equivale a multiplicar 10 × 4 = 40. Al dividir una cantidad entre un número menor que la unidad, el resultado será mayor que la cantidad, por ejemplo, 5 ÷ 0.2 = 25, 25 es mayor que 5. 15

Propósito del interactivo: Mostrar gráficamente la división de decimales por medio de la idea "cuántas veces cabe en".

Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que escriban en su cuaderno 2 ejemplos diferentes a los que se plantean en el recuadro de cada uno de los puntos.

Integrar al portafolios. Recupere esta actividad y analice las respuestas de los alumnos. Si lo considera necesario, revisen la secuencia 11, en ella se llena una tabla en la que se observa que dividir una fracción es lo mismo que multiplicarla por su recíproco. Sugerencia didáctica. El cálculo mental es una herramienta que permite, además de obtener algunos resultados de manera rápida, desarrollar habilidades, como el establecimiento de relaciones entre los datos y la anticipación de resultados. Invite a los alumnos a que resuelvan mentalmente estas operaciones, se darán cuenta de lo eficaz que es este tipo de cálculo y de las múltiples relaciones que pueden darse entre los números.

15

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Propósito del video. Observar el planteamiento y la solución de problemas que involucren la división entre un número decimal. Observar qué sucede cuando se divide entre un número menor o mayor que la unidad.

secuencia 17 El metrobús Vean el video y realicen lo que ahí se pide. Cuando terminen, reúnanse en parejas y jun­ tos hagan un resumen que se titule “La división con números decimales”. Después lean el resumen ante su grupo.

sEsión 2

Propósito de la sesión. Conocer y practicar la técnica para dividir entre un número con punto decimal.

CamBiO dE dinErO

Para empezar

Se van a repartir $29.60 entre 4 amigos, ¿cuánto le toca a cada uno? En la primaria aprendiste que este problema se resuelve con la siguiente división:

4

Organización del grupo. Inicie la sesión trabajando con el grupo en conjunto; posteriormente organice parejas para resolver el apartado Consideremos lo siguiente.

7.40 29.60 16 00

El resultado es $7.40. Estas divisiones se resuelven igual que con números enteros, pero al momento de bajar el 6 "se sube el punto". ¿Saben por qué se hace así? a) Cuando se divide 29 entre 4 se están dividiendo 29 enteros, por eso el resultado es entero.

Sugerencia didáctica. Dé tiempo para que los alumnos lean el apartado Para empezar y después comente con el grupo la información que se presenta. Repasen las divisiones con punto decimal en el dividendo resolviendo algunas en el pizarrón. Es necesario que los alumnos sepan resolver este tipo de divisiones para que puedan continuar con la sesión.

b) Al bajar el 6 junto al 1 ya se están dividiendo 16 décimos entre 4, por eso hay que poner un punto, para indicar que el resultado corresponde a décimos. Ahora aprenderás cómo se resuelve una división cuando el punto decimal está en el divisor.

Consideremos lo siguiente Araceli tiene $19.40 y le va a dar a cada uno de sus amigos $2.50. ¿Para cuántos amigos le alcanza y cuánto le sobra? Esta situación también se resuelve con una división. Encuentren una manera de hallar el resultado de la siguiente división que resuelve el problema.

2.5 19.4

3 Sugerencia didáctica. Anime a los alumnos para que expliquen sus intentos y escuchen los de otros. En caso de que alguna pareja sí haya podido resolver la división, pida a sus integrantes que muestren al grupo cómo lo hicieron. Si nadie logró resolverla, invítelos a que continúen trabajando la sesión.

Expliquen a sus compañeros cómo resolvieron la división anterior y por qué lo hicie­ ron así.

16

1 Propósito de la actividad. Se pretende que los alumnos manejen la técnica para dividir números con punto decimal. Por ello deberán resolver el problema utilizando una división y no mediante otros procedimientos (aunque sean correctos).

Sugerencia didáctica. Es probable que los alumnos no sepan cómo resolverlas. Invítelos a que lo intenten, recuerde que en estos momentos se trata de crear en los alumnos un conflicto al darse cuenta de que estas divisiones son distintas a las que ya conocen, así como la necesidad de hallar la manera de resolverlas.

16

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8/25/07 3:01:05 PM

MATEMÁTICAS

I

Manos a la obra I. Resuelvan las siguientes divisiones:

4

400

8

40

800

4 000

80

8 000

a) ¿Cómo son los resultados entre sí? b) Observen que el dividendo (8) y el divisor (4) de la primera división se multi­ plicaron por 10 para obtener la segunda división (80 y 40). c) ¿Por cuál número se multiplicaron dividendo y divisor de la primera división para obtener la tercera división? d) ¿Por cuál número se multiplicaron dividendo y divisor de la primera división

e: Recuerden qu n se visió Si en una di dividendo multiplica el el por y el divisor ero, el mismo núm la resultado de bia. cam división no

Sugerencia didáctica. Los alumnos ya estudiaron esta propiedad en la escuela primaria, por lo que la actividad puede ser considerada como un repaso; no obstante, usted puede enriquecerla comentando al grupo que, si se parte de que una división puede escribirse como fracción, al multiplicar dividendo y divisor por el mismo número, lo que se está haciendo es calcular fracciones equivalentes. Observe: 2 4 = wR = wR × T = qW p P = 10 20 × Esto implica que: 2 4 = 10 20

para obtener la cuarta división? II. Consideren que se tiene esta división

2.5 20



Multipliquen dividendo y divisor por 10, ¿qué división obtienen? Anótenla y re­ suélvanla.

ar un Al multiplic punto número con 10, se decimal por nto un recorre el pu recha. lugar a la de

Esta división es más sencilla que 20 ÷ 2.5 y, por la propiedad que recordaron en la actividad I, saben que el resultado de esta división es el mismo para ambas.

17

Sugerencia didáctica. Puede pedir a los alumnos que: 1. Estimen el resultado antes de que pasen al inciso a). Por ejemplo, si está entre 1 y 10, entre 10 y 100 o entre 100 y 1 000. 2. Calculen mentalmente el resultado antes de que pasen al inciso a). 3. Resuelvan la división y verifiquen su resultado en la calculadora. 4. Una vez resuelta, inventen un problema que se resuelva con esa operación. Si lo considera necesario, plantee más operaciones de este tipo para que los alumnos las resuelvan en su cuaderno. 17

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Respuestas. • Se multiplica por 10, 480 ÷ 12 = 40 y no sobra. • Se multiplica por 1 000, 3 500 ÷ 125 = 28 y no sobra. • Se multiplica por 100, 450 ÷ 32 = 14 y sobra. 2. Si algunos alumnos continúan dividiendo obtendrán 14.0625. Si lo considera pertinente, comente con sus alumnos lo que sucede con el residuo en esta división. Si bien es cierto que al multiplicar por un mismo número el dividendo y el divisor, el cociente no se altera, no pasa lo mismo con el residuo. Éste aumenta tantas veces como el número por el cual se multiplicó. Por ejemplo, mientras que en la división original (4.5 ÷ 0.32) el residuo es 0.02, en la división transformada (450 ÷ 32) el residuo es 2. El residuo de la división transformada es 100 veces mayor que el de la división original.

secuencia 17 iii. Transformen cada división en una cuyo divisor no tenga punto decimal y resuélvanla; elijan bien el número por el que tienen que multiplicar cada una. 1.2

48

0.125

0.32

3.5

4.5

iV. Resuelvan la división del problema inicial (19.4 2.5) transformándola en una divi­ sión sin punto en el divisor. Comparen este resultado con el que obtuvieron al princi­ pio de la sesión. Comenten los resultados que han obtenido hasta este momento. Pasen al pizarrón a re­ solver las 3 divisiones de la actividad III y expliquen por cuál número multiplicaron el dividendo y el divisor de cada una y por qué.

A lo que llegamos Para resolver una división con punto decimal en el divisor: 1. Primero se transforma la división en otra que no tenga punto decimal en el divisor, esto se logra multiplicando el dividendo y el divisor por 10, 1 00, 1 000, ... según el divisor tenga 1, 2, 3, ... cifras decimales. 2. Después se resuelve. Por ejemplo, para resolver: 0.12 2.4

se multiplican por 100 el dividendo y el divisor para transformar la división en 12 240

Y se resuelve:

20 12 240 000

El resultado de dividir 240 ÷ 12 es el mismo que el resultado de dividir 2.4 ÷ 0.12. Compruébenlo con una calculadora. 18

Propósito de la actividad. Esta actividad permite que los alumnos validen el resultado que obtuvieron en el problema inicial. Si es necesario pídales que corrijan. Puede haber discrepancia en los resultados si algunos alumnos dejaron el residuo y si otros continuaron la división. Es buen momento para que los anime a terminar la división.

Sugerencia didáctica. Resuelvan en el pizarrón más divisiones y aclare las posibles dudas.

18

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8/25/07 3:01:12 PM

MATEMÁTICAS

I

Respuestas. Araceli tiene 100 monedas (50.00 ÷ 0.50). Necesita 5 monedas para hacer cada montón de $2.50, así que puede hacer 20 montones. Luis tiene 100 monedas (500.00 ÷ 5.00). Necesita 5 monedas para hacer cada montón de $25.00, así que también puede hacer 20 montones. Entonces la respuesta correcta es c).

Lo que aprendimos 1. Araceli tiene $50.00 en monedas de $0.50 y quiere hacer montones de $2.50; Luis tiene $500.00 en monedas de $5.00 y quiere hacer montones de $25.00. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta? a) Araceli hará más montones. b) Luis hará más montones. c) Ambos harán el mismo número de montones. d) No puede calcularse quién hará más montones. Justifica la respuesta que elijas.

Respuestas. El número de envases siempre debe ser 14, entonces la cantidad de litros de leche a repartir hay que dividirla entre 14 para obtener la capacidad de cada envase. Si lo que conocemos es la capacidad de cada envase, entonces ese número se multiplica por 14 para hallar la cantidad de litros a repartir.

2. Don Fernando va a repartir 7 de leche en envases de 0.5 . ¿Cuántos envases ocu­ pará? Completa la tabla de tal manera que el número de envases siempre sea el mismo que los que ocupará don Fernando. Litros a repartir

Capacidad de cada envase ( )

Número de envases

14

1

14

21

1.5



14

28

2

14

70 5

14

140 10

14

Respuestas. El resultado es 4.6. Se obtendría el mismo cociente con números como: 92 entre 20, 920 entre 200, 9 200 entre 2 000, 92 000 entre 20 000, 920 000 entre 200 000, etcétera.

3. Resuelve la división 9.2 entre 2 = Inventa 5 divisiones que, partiendo de los mismos números que la anterior, tengan igual cociente.

19

19

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Propósito de la sesión. Resolver diversos problemas que implican operaciones de números con punto decimal. Organización del grupo. Forme equipos para que resuelvan los problemas.

1 Propósito de la actividad. Aunque la secuencia se refiere a la división de números con punto decimal, en la serie de problemas que aquí se presentan no siempre usarán la división, también harán uso de otras operaciones que ya han estudiado. Sugerencia didáctica. En algunos problemas puede solicitar a los alumnos que antes de hacer operaciones, den una respuesta aproximada del resultado y la anoten en una hoja. Al término, compararán sus estimaciones con los resultados obtenidos. Respuestas. El diamante es 4 veces más duro que la plata y 6.6666666… veces más duro que el azufre (se divide 10 entre 2.5 y 10 entre 1.5). La diferencia de temperatura es de 22.5 ˚C. Es la distancia de 4.5 a 18.5 ˚C bajo cero. Aun cuando el problema involucra números con signo, se espera que los alumnos puedan resolverlo mediante sus conocimientos sobre las temperaturas bajo cero. Si nota dificultades, puede auxiliarlos. La ballena es 22 veces más larga que una salamandra gigante y 117.857 veces más larga que una araña Goliat (se divide 33 entre 1.5 y 33 entre 0.28).

secuencia 17 sEsión 3

númErOs dECimaLEs En La CiEnCia

Lo que aprendimos

En esta sesión aplicarán varios de los conocimientos que han adquirido a lo largo de todas las secuencias sobre números con punto decimal. En cada caso, respondan la pre­ gunta planteada.

La dureza de un mineral puede medirse de acuerdo

El crecimiento de las bacterias a menos de 10 oC

con la facilidad para rayarlo. El mineral más duro

es muy lento, por ello los alimentos en el refrige­

es el diamante y su dureza es de 10. La mínima

rador se conservan más tiempo. La temperatura

dureza de la plata es 2.5 y la del azufre es 1.5.

del congelador se conserva alrededor de los 18 oC

¿Cuántas veces es más duro el diamante que la

bajo cero y en el refrigerador puede estar alrede­

plata?

dor de 4.5 oC. ¿Cuál

¿Y que el azufre?

es la diferencia entre la temperatura del congelador y la del refrigerador?

El animal más grande del mundo es la ballena azul,

La estrella más brillante que vemos en el cielo es

llega a medir hasta 33 m de largo. El anfibio más

Sirio, que se ve durante las noches de invierno. ¡La

grande es la salamandra gigante de Japón, con

luz de Sirio tarda 8.8 años en llegar a la Tierra!

1.5 m de largo. La araña más grande es la Goliath,

puede medir 0.28 m de longitud. ¿Cuántas veces es más larga una ballena azul que una salamandra

Si la luz viaja a 300 000 km/s, ¿qué operaciones tendríamos que hacer para conocer la distancia a la que está Sirio?

gigante? , ¿Y que una araña Goliath?

20

Invite a los alumnos a que lean atentamente la pregunta del problema de la estrella Sirio; no se pide el resultado, sino las operaciones que resuelven el problema. Hay varias maneras de expresar la respuesta, una posible es: - Multiplicar 60 × 60 × 24 × 365 × 8.8 para saber cuántos segundos hay en 8.8 años y el resultado multiplicarlo por 300 000 para saber la distancia que se pide. Si surgen varias respuestas será interesante analizarlas en la confrontación y determinar si son o no equivalentes.

20

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8/25/07 3:01:20 PM

MATEMÁTICAS

I

El cuerpo humano está formado

Al caminar rápidamente se queman

por varios elementos: 63% de hi­

0.097 calorías por cada kilogramo de

drógeno, 23.5% de oxígeno, 9.5%

peso por minuto. Si una persona cami­

de carbono, 1.4% de nitrógeno

nando rápidamente quemó 6.305

y el resto de otros elementos.

calorías en un minuto, ¿cuánto pesa?

¿Cuál es el porcentaje que corres­ ponde en total a esos otros ele­

¿Cuánto tiempo, aproximadamente,

mentos?

tendría que caminar rápido esa per­ sona para quemar 500 calorías?

La Tierra, al viajar alrededor del Sol, re­

Si el tiempo que tardan los planetas en dar la vuelta al Sol

corre 30.5 kilómetros en un segundo.

se mide en años, se tiene que: Neptuno tarda 165.4 años y

¿En cuánto tiempo recorre 1 830 kiló­ metros?

Urano 83.7 años. ¿Cuál es la duración en años, meses y días del tiempo que tarda Neptuno en dar la vuelta al Sol? ¿Y Urano?

Respuestas. Los porcentajes de los elementos que forman el cuerpo humano suman 97.4, hace falta 2.6%, que es lo que corresponde a otros elementos. La Tierra recorre 1 830 km en un minuto (60 segundos). Se divide 1 830 entre 30.5. Neptuno tarda 165 años, 4 meses y 26 días (porque 0.4 de año son 146 días). Urano tarda 83 años, 8 meses y 12.5 días (porque 0.7 de año son 255.5 días). La persona pesa 65 kg (se divide 6.305 entre 0.097); y tendría que caminar durante 79.302 minutos (se divide 500 entre 6.305). Integrar al portafolios. Seleccione 3 problemas de esta sesión y pida a los alumnos que los resuelvan en una hoja aparte. En caso de haber errores, analice si tienen que ver con las divisiones con decimales, con la comprensión del problema o con ambas.

Comenten con otros equipos los resultados de estos problemas. Comparen los proce­ dimientos que muestren los diferentes equipos y elijan aquellos que les parezcan más fáciles.

Para saber más Sobre la división de números decimales consulta en: http://www.sectormatematica.cl/basica/decvida.htm [Fecha de consulta: 23 de agosto de 2007]. Ruta: Dar clic en "Relacionando multiplicación y división". 21

21

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Propósito de la sesión. Interpretar la ecuación como una expresión que sintetiza las relaciones entre los datos y la cantidad desconocida del problema. Resolver problemas que implican plantear y resolver ecuaciones algebraicas aditivas del tipo x + a = b.

secuencia 18

Ecuaciones de primer grado En esta secuencia resolverás problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma x + a = b; ax = b; ax + b = c, utilizando las propiedades de la igualdad, cuando a, b y c son números naturales o decimales.

Organización del grupo. Se sugiere que trabajen todas las actividades organizados en parejas. Propósitos de la actividad. Se trata de un problema sencillo que se resuelve con la suma 24 + 8. Se espera que los alumnos identifiquen cuáles son los datos conocidos y cuál es la operación que resuelve el problema. Es importante que identifiquen como una igualdad la expresión en la que aparece el signo igual. En este momento no es necesario que definan el concepto de igualdad, sino sólo que empiecen a reconocer y a utilizar el término.

sesión 1

Eje

Consideremos lo siguiente Un comerciante de naranjas quiere saber cuántos kilogramos de naranjas tenía al principio del día si vendió 24 kg y al final se quedó con 8 kg. a) ¿Cuál es el valor desconocido en este problema? Subráyenlo: • Los kilogramos de naranjas que vendió. • Los kilogramos de naranjas que tenía al principio. • Los kilogramos de naranjas que le quedaron al final. b) En el problema hay dos valores que sí se conocen, ¿cuáles son?

En la siguiente igualdad, el valor desconocido del problema es un número que debe estar en el recuadro azul: − 24 = 8

c) ¿Cuál es el número que debe estar en el recuadro azul? Comparen sus respuestas y comenten: a) ¿Qué operación hicieron para encontrar el número que va en el recuadro azul? b) ¿Cuántos kilogramos tenía el comerciante al principio del día?

22

Propósitos de la secuencia Resolver problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de las formas x + a = b; ax = b; ax + b = c, utilizando las propiedades de la igualdad, cuando a, b y c son números naturales y decimales.

Sesión

Recursos

1

Interactivo “Ecuaciones” Aula de medios “A repartir naranjas” (Hoja de cálculo)

2

El paseo escolar Resolver problemas que implican plantear y resolver ecuaciones algebraicas del tipo ax = b.

Video “El terreno y el río” Interactivo “Ecuaciones”

3

Resolución de ecuaciones mixtas Resolver problemas que implican plantear y resolver ecuaciones algebraicas del tipo ax + b = c.

Interactivo “Ecuaciones de primer grado”

Significado y uso de las operaciones.

Antecedentes En las secuencias 3 y 4 los alumnos se iniciaron con la utilización de literales para expresar patrones y fórmulas geométricas. En esta secuencia usarán literales para traducir el texto de un problema al código algebraico y para resolver ecuaciones.

Título y propósitos de la sesión A repartir naranjas Interpretar la ecuación como una expresión que sintetiza las relaciones entre los datos y la cantidad desconocida del problema. Resolver problemas que implican plantear y resolver ecuaciones algebraicas aditivas del tipo x + a = b.

Sentido numérico y pensamiento algebraico.

Tema

Para empezar

En la primaria resolviste problemas en los que tenías que encontrar la solución haciendo operaciones aritméticas: sumas, restas, multiplicaciones y divisiones. En esta secuencia aprenderás una nueva manera de resolver problemas: usarás expresiones algebraicas para representar y encontrar valores desconocidos.

Posibles dificultades. Dado que aparecen las palabras “tenía”, “vendió”, algunos alumnos podrían pensar que el problema se resuelve con la resta 24 – 8. Si bien está implícita una resta, el problema se resuelve mediante una suma (cantidad final de naranjas más cantidad de naranjas vendidas). Sugerencia didáctica. En caso de que algunos alumnos presenten una respuesta distinta a 32 kg, pídales que comenten cómo lo obtuvieron. Posteriormente invite al grupo a que resuelvan la actividad I del apartado Manos a la obra para verificar si la respuesta que dieron es correcta o no.

A RepARtiR nARAnjAs

22

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8/25/07 3:01:46 PM

MATEMÁTICAS

I

Propósito del interactivo. Resolver ecuaciones de primer grado utilizando las propiedades de la igualdad.

Manos a la obra I. Escriban el número que encontraron y hagan las operaciones para comprobar la igualdad:

Propósito de la actividad. Que los alumnos continúen identificando los datos conocidos y los desconocidos de un problema, y que resuelvan problemas de suma o resta mediante la operación inversa.

− 24 = 8

II. Hay que encontrar un número que, al sumarle 57, dé como resultado 124. a) En este problema hay dos números que sí se conocen, ¿cuáles son?

En la siguiente igualdad, el número desconocido del problema es un número que debe estar en el recuadro morado. Completen la igualdad usando los números conocidos: +

=

Recuerde que. Los problemas aditivos son aquellos que implican tanto a la suma como a la resta. Cuando en una suma se desconoce uno de los datos, se puede encontrar el dato faltante mediante una resta, que es la operación inversa de la suma. En este caso, el dato desconocido de la suma se encuentra mediante una resta: 124 – 57 = 67. Los alumnos irán identificando estas relaciones en el transcurso de las actividades de este apartado y podrán formalizarlo al final de esta sesión.

b) ¿Cuál es el número que va en el recuadro? c) Comprueben la solución que encontraron: En lugar del recuadro morado escriban el número que encontraron y hagan las operaciones: +

=

Comparen sus respuestas y comenten: ¿Cuál es el número que al sumarle 57 da como resultado 124? III. Representen con una igualdad el siguiente problema: ¿Cuál es el número que al sumarle 110 da como resultado 221? Usen el recuadro rojo para representar el número desconocido. +

=

a) ¿Cuál es el número que debe ir en el recuadro rojo? b) ¿Qué operación hicieron para encontrarlo? IV. Generalmente, en las matemáticas se utilizan letras para representar los valores desconocidos. Si en el problema anterior: ¿Cuál es el número que al sumarle 110 da como resultado 221? se usa la letra x para representar el valor desconocido, el problema puede representarse mediante la siguiente igualdad: x + 110 = 221

Esta igualdad es la misma que:

+ 110 = 221

sólo que ahora se usa la letra x en lugar del recuadro rojo 23

Propósito de la actividad. Que los alumnos logren expresar mediante una igualdad, un problema que se les presenta de manera verbal. Esto implica identificar cuáles son los datos conocidos y desconocidos, y cómo se relacionan entre ellos: + 110 = 221 Posibles procedimientos. Puede hacerse restando 221 – 110 o pensando cuánto le falta a 110 para llegar a 221.

Propósito de la actividad. En secuencias anteriores los alumnos han utilizado letras para expresar fórmulas y patrones numéricos; en esta secuencia se pretende que los alumnos utilicen una letra (en este caso la x ) para representar al dato desconocido (incógnita) en una igualdad. Es importante que los alumnos identifiquen a la x no como una letra, sino como un número del que se desconoce su valor.

Propósito de la actividad. Que los alumnos analicen la estructura del problema (los datos y la forma en que están relacionados) para identificar cómo está conformada una igualdad. Aproveche diferentes momentos para que los alumnos se vayan familiarizando con el término “igualdad”; insista en que una igualdad comprende las expresiones que están de uno y del otro lado del signo igual. Sugerencia didáctica. Es importante que se comente cómo se obtiene el resultado. Algunos restarán 124 – 57, otros lo harán pensando cuánto le hace falta a 57 para llegar a 124; ambas formas de resolver implican a la resta.

23

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Sugerencia didáctica. Si los alumnos tienen dificultades para completar la ecuación, se les puede pedir que completen lo siguiente: x = 221 – x=

s e c ue n c ia 1 8 a) ¿Qué operación hay que hacer para encontrar el valor de x? Complétenla: 221 −

b) Comprueben su resultado sustituyendo el valor que obtuvieron para x en la igualdad:

Sugerencia didáctica. Si los alumnos muestran facilidad para realizar estos ejercicios, puede proponerles que verifiquen el valor de x sustituyéndolo en la ecuación: x + 110 = 221

+ 110 = 221

Comparen sus respuestas.

A lo que llegamos Las igualdades como x + 110 = 221 son expresiones algebraicas en las que hay un valor desconocido o incógnita que generalmente se representa con una letra. Estas igualdades se llaman ecuaciones.

111 + 110 = 221 221 = 221

Sugerencia didáctica. Lea y comente esta información con sus alumnos. Destaque las siguientes ideas: - Las igualdades que aparecieron en las actividades anteriores tenían sólo números, ahora se presentan igualdades en las que se utilizan letras para representar un dato desconocido (incógnita). - Estas igualdades se llaman “ecuaciones”. Puede pedirles que en su cuaderno respondan a la pregunta “¿Qué es una ecuación?”. Pida a algunos alumnos que lean sus respuestas y, a partir de ellas, usted puede ampliarlas incorporando otros términos que las enriquezcan. Por ejemplo: “Es una igualdad en la que hay una incógnita que se representa con una letra”. “Es una expresión algebraica en la que hay una incógnita”. Una vez que se hayan leído y comentado algunas respuestas, los alumnos pueden hacer correcciones o ampliar lo que inicialmente habían escrito. Propósito del interactivo. Resolver ecuaciones de primer grado utilizando las propiedades de la igualdad.

x=

¿Cuánto vale x?

V. En la ecuación m − 1 = 7, ¿cuál es el valor desconocido o incógnita? Subráyenlo: • 1 • m • 7 a) ¿Qué operación hay que hacer para encontrar el valor de m? b) ¿Cuánto vale m? m = c) Comprueben su resultado sustituyendo m por el valor que encontraron: −1=7

A lo que llegamos Para resolver la ecuación x + 110 = 221, en la que se está sumando, se puede hacer una resta: x = 221 – 110. La solución de esta ecuación es x = 111. Para resolver la ecuación m – 1 = 7, en la que se está restando, se puede hacer una suma: m = 1 + 7. La solución de esta ecuación es m = 8. Se dice entonces que la suma y la resta son operaciones inversas. 24

Sugerencia didáctica. Aclare a los alumnos que, en general, puede utilizarse cualquier letra para representar un valor desconocido o incógnita (no siempre es la letra x ). Para el inciso c), comente que una característica fundamental de toda igualdad es que lo que aparece del lado izquierdo del signo igual, debe tener el mismo valor que lo que está en el lado derecho, por lo que es importante verificar que el valor que se le ha asignado a las incógnitas es correcto.

Sugerencia didáctica. Una forma más de ejemplificar esta información, es “Lo contrario de sumar, es restar: si a un número le sumo 5 y al resultado le resto 5, obtenemos el mismo número”. Puede preguntar a los alumnos lo siguiente: - Si en una adición se desconoce un sumando ¿qué operación se realiza para calcularlo? - Si en una sustracción se desconoce el minuendo ¿qué operación se realiza para calcularlo?

24

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MATEMÁTICAS

I

Propósito de la actividad. A la cantidad inicial, que es la incógnita del problema, se le aplican dos operaciones sucesivas y se obtiene un resultado determinado. A partir de esas transformaciones y del resultado, que son los datos conocidos, debe obtenerse el valor de la incógnita. Respuesta. Las dos últimas ecuaciones representan el problema.

VI. El comerciante quiere saber ahora cuántos kilogramos de naranja tenía al principio, si en esta ocasión vendió primero 13 kg de naranja, después vendió 11 kg y finalmente se quedó con 5 kg. a) ¿Cuáles de las siguientes ecuaciones representan el problema? • x – 13 – 11 + 5 • x – 13 + 11 = 5 • x – 24 = 5 • x – 13 – 11 = 5 b) Resuelvan la ecuación, ¿cuánto vale x? x =

Sugerencia didáctica. Pida que pasen algunos alumnos al pizarrón a resolver cada una de las ecuaciones elegidas y que identifiquen cuáles ecuaciones plantean el problema de manera adecuada. Es importante destacar que en el caso de la primera expresión algebraica no se plantea ninguna igualdad, a diferencia de las otras tres.

Comparen las ecuaciones que escogieron y las soluciones que encontraron. Comenten: a) ¿Cuántos kilogramos de naranja tenía el comerciante al principio? b) Hay dos ecuaciones que representan el problema, ¿por qué creen que la solución de estas dos ecuaciones es la misma? Comprueben su solución sustituyéndola en las dos ecuaciones: – 13 – 11 = 5

– 24 = 5

Lo que aprendimos

Sugerencia didáctica. Subraye el hecho de que con las dos últimas ecuaciones se obtiene la misma solución porque plantean el mismo problema: restar primero 11 kg y después 13 kg, es lo mismo que restar 24 kg en una sola operación.

1. Un camión que distribuye leche en un pueblo sale del establo con varios litros. Recoge 21 más en otro pueblo, deja 56 en una tienda, después deja 34 en otra tienda. Al acabar su recorrido se quedó con 15 de leche. a) En este problema hay 4 valores conocidos, ¿cuáles son?

b) La ecuación x + 21 – 56 – 34 = 15 permite resolver el problema. Resuélvanla en sus cuadernos. c) ¿Cuántos litros tenía el camión al salir del establo? d) Comprueben si la solución que encontraron es correcta. 2. Para los siguientes problemas plantea una ecuación y resuélvela. Hazlo en tu cuaderno. a) ¿Cuál es el número que al sumarle 27 da como resultado 138? b) ¿Cuál es el número que al restarle 2.73 da como resultado 5.04? Comprueba tus soluciones.

25

Integrar al portafolios. Si identifica que los alumnos tienen dificultades para plantear las ecuaciones, repase con el grupo las actividades III y IV del apartado Manos a la obra y el II del apartado A lo que llegamos, con la finalidad de enfatizar cuáles son las operaciones que permiten encontrar el número buscado una vez que se ha planteado la ecuación. Respuestas. a) x + 27 = 138 x = 138 – 27 x = 111 b) x – 2.73 = 5.04 x = 5.04 + 2.73 x = 7.77

Posibles procedimientos. Pueden resolver el problema de distintas maneras. Una de ellas es partir de los 15 con los que se quedó, e ir agregando los litros que fue entregando en cada tienda: 15 + 34 + 56 = 105 Y después se restan los 2 que había recogido en otro pueblo: 105 – 21 = 84 Otra forma es sumar las cantidades de litros entregados (56 + 34 = 90), restarles los 21 que se agregaron en otro pueblo (esos litros no salieron del primer establo): 90 – 21 = 69, y sumar después los 15 que sobraron: 69 + 15 = 84 Sugerencia didáctica. Ayúdeles a comprender cómo fueron variando las cantidades haciéndoles preguntas como: ¿Sabemos con cuántos litros de leche salió el camión del primer pueblo? ¿Qué pasó después, entregó o recibió más litros de leche? ¿A qué se refiere el número 21? ¿A qué se refiere el número 56? Posteriormente puede pedir a los alumnos que comenten por qué las ecuaciones x + 21 – 56 – 34 = 15 y x – 69 = 15 tienen la misma solución. 25

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Propósito de la sesión. Resolver problemas que implican plantear y resolver ecuaciones algebraicas del tipo ax = b.

s e c ue n c ia 1 8 sesión 2

a) ¿Cuál es el valor desconocido en el problema? Subráyenlo. • El número de niños que asisten al paseo. • El número de autobuses que se rentan. • El número de niños que van en cada autobús.

Propósito de la actividad. El problema que ahora se plantea es de tipo multiplicativo: implica a la división y a la multiplicación. Encontrar el resultado es relativamente sencillo, pues los alumnos pueden identificar rápidamente que el problema se resuelve con una división, y los números que se dividen son enteros y con pocas cifras. La parte central de la actividad es que los alumnos traten de plantear –y resolver– una ecuación que represente el problema; no importa si en este momento no logran hacerlo de manera correcta, lo importante es que exploren distintas posibilidades.

Respuesta. 8y = 280. Esta ecuación representa que en cada camión hay “y” niños; como hay 8 camiones, con 8y se obtiene la cantidad total de niños, que es de 280. Respuesta. Para encontrar el valor de y se divide 280 ÷ 8. Propósito del interactivo. Resolver ecuaciones de primer grado utilizando las propiedades de la igualdad.

Consideremos lo siguiente Para un paseo al que asistirán 280 niños se van a rentar 8 autobuses. Todos los autobuses van a llevar el mismo número de niños. Se quiere saber cuántos niños debe llevar cada autobús.

Organización del grupo. Forme parejas para que trabajen de esa manera durante toda la sesión.

Sugerencia didáctica. Es posible que la mayoría de los alumnos haya logrado encontrar el resultado del problema mediante la división 280 ÷ 8, pero que no todos hayan logrado plantear la ecuación. Pida a estos alumnos que expliquen cómo resolvieron el problema, aunque no hayan podido plantear la ecuación; después pida a quienes sí lo hayan podido hacer, que muestren al grupo sus respuestas. Pregunte al grupo: ¿Cómo podemos saber cuál es la respuesta correcta?

eL PAseO esCOLAR

b) Usando la letra y escriban una ecuación que describa este problema:

c) Encuentren el valor de y Comparen sus ecuaciones y sus resultados.

Manos a la obra En esta actividad se usará algo que aprendieron en la secuencia 4. Recuerden que 8y es lo mismo que 8 por y; el símbolo de la multiplicación aquí no se pone para no confundirlo con la letra x. i. Una de las siguientes ecuaciones corresponde al problema anterior. Subráyenla: • 280 y = 8 • 280 + y = 8 • y + 8 = 280 • 8 y = 280 a) ¿Cuál de las siguientes operaciones permite encontrar el valor de y? • 8 ÷ 280 • 8 × 280 • 280 – 8 • 280 ÷ 8 b) Usando la operación que señalaron encuentren el valor de y.

y= c) Comprueben su solución sustituyendo el valor de y en la ecuación que escogieron. Háganlo en sus cuadernos. Comparen sus respuestas y comenten: ¿Cuántos niños debe llevar cada autobús? 26

Sugerencia didáctica. En caso de que algunas parejas hayan elegido ecuaciones que no corresponden con el problema, pida que hagan la comprobación en el pizarrón. Los alumnos pueden comentar por qué esa ecuación no permite obtener el resultado correcto. Asimismo, es importante que se contraste con la ecuación correcta y que se muestre su comprobación. Destaque el hecho de que la ecuación plantea una multiplicación, y la operación con la que se resuelve es una división: 8y = 280

y = 280 ÷ 8 y = 35

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MATEMÁTICAS

I

Respuesta. Las ecuaciones que corresponden al problema son la segunda y la tercera.

II. Se quiere conocer la edad de Julián y se sabe que la tercera parte de su edad es igual a la edad de Diego, que tiene 4 años. a) ¿Cuáles de las siguientes ecuaciones corresponden a este problema? Se usa la letra J para representar a la edad de Julián. • J×3=4

Posibles procedimientos. Algunos alumnos quizá resuelvan el problema sin plantear la ecuación, aun cuando la hayan identificado. Pueden sumar 3 veces 4, o multiplicar 3 × 4, que es una forma correcta de resolver, pues para encontrar el valor de J es necesario realizar la multiplicación 3 × 4. Trate de identificar qué alumnos sí recurren a la ecuación y quiénes no.

• J÷3=4 • J÷4=3 • J=4

<

b) ¿Cuántos años tiene Julián? c) En sus cuadernos, comprueben su solución sustituyendo el valor de J en la ecuación que escogieron. Comparen sus respuestas y comenten cómo las encontraron. a) ¿Cuáles son las dos ecuaciones que corresponden a este problema? b) ¿Qué operación hicieron para encontrar la edad de Julián? c) ¿La edad de Julián que encontraron es la cuarta parte de la edad de Diego? III. En la siguiente tabla se presentan algunos problemas, sus ecuaciones correspondientes y las operaciones con las que se pueden resolver. Complétenla. Problema

Ecuación

Operación que se hace para encontrar la incógnita

Valor de la incógnita

¿Cuál es el número que al multiplicarlo por 3 da 57? ¿Cuál es el número que al dividirlo entre 6 da 48? ¿Cuál es el número que al multiplicarlo por____ da ____?

x ÷ 6 = 48 m× 25 = 165

¿Cuál es el número que al dividirlo entre 7 da 12.5?

165 ÷ 25 12.5 × ______

87.5

Comparen sus tablas.

A lo que llegamos En la ecuación 2y = 16, el número 2 está multiplicando a la incógnita y. Para encontrar el valor de y se puede hacer una división: 16 ÷ 2. La solución de la ecuación es y = 8.

Sugerencia didáctica. Pida a dos alumnos que resuelvan en el pizarrón las ecuaciones que corresponden al problema, y que sustituyan la incógnita para hacer la comprobación. Pregunte a los alumnos por qué las expresiones J ÷ 3 = 4 y Je = 4 dan el mismo resultado. Aclare que si bien ambas ecuaciones expresan una división, en el lenguaje algebraico se utiliza más la raya ( Je = 4) para indicar una división y se usa poco el signo de la división.

En la ecuación s ÷ 5 = 6, el número 5 está dividiendo a la incógnita s. Para encontrar el valor de s se puede hacer una multiplicación: 6 × 5. La solución de la ecuación es s = 30. Se dice entonces que la multiplicación y la división son operaciones inversas.

27

Propósito de la actividad. Se espera que los alumnos establezcan relaciones entre los distintos momentos por los que han transitado en estas dos sesiones para encontrar el valor de una incógnita: el planteamiento verbal del problema, su expresión algebraica y la resolución aritmética. Sugerencia didáctica. Mientras las parejas resuelven, reproduzca la tabla en el pizarrón para que puedan comparar sus respuestas. Pida a algunos alumnos que pasen a completar la tabla. Es posible que aparezcan distintas formas correctas

de expresar las ecuaciones, si no es así, es conveniente que usted las proponga, por ejemplo: En el segundo renglón, x ÷ 6 = 48 es lo mismo que xy = 48. En el tercer renglón, m × 25 = 165 es lo mismo que 25m = 165 (de hecho, esta última expresión es más adecuada que la anterior, pues el signo de multiplicación podría confundirse con la literal x ). En el cuarto renglón, la ecuación puede ser: y y ÷ 7 = 12.5 o u = 12.5

2 Sugerencia didáctica. Lea y comente esta información con los alumnos. Puede pedirles que busquen en esta misma sesión otros ejemplos en los que la ecuación se resuelva mediante una división o una multiplicación. La idea de que la multiplicación y la división son operaciones inversas puede ejemplificarse de la siguiente manera: “Lo contrario de multiplicar es dividir: si un número lo multiplicamos por 6 y el resultado lo dividimos entre 6, obtenemos el mismo número”. Y viceversa. 27

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Propósito del video. Observar el planteamiento y la solución de problemas con un valor desconocido.

s e c ue n c ia 1 8

Lo que aprendimos El terreno y el río

Propósito de la actividad. Se conoce la medida del largo y la superficie total, la incógnita es la medida del ancho. Pueden resolver el problema dividiendo la superficie entre la medida del largo sin recurrir a una ecuación. Lo relevante es que logren plantear la ecuación y que encuentren el valor de la incógnita resolviendo la ecuación. Sugerencia didáctica. Pida a uno o dos de los alumnos que resuelvan en el pizarrón la ecuación que plantearon y que hagan la comprobación. Respuesta. 17y = 238 y = 238 ÷ 17 (o también y = y = 14

El terreno rectangular que se muestra en la figura de la izquierda está atravesado por un río y no es posible medir su ancho. ¿Cómo se puede calcular el ancho si se sabe que el terreno mide de largo 17 m y el área que ocupa es 238 m2? a) Escriban una ecuación para resolver el problema anterior:

b) Encuentren el valor de la incógnita.

17 m

c) Comprueben el valor que encontraron para la incógnita.

Comparen sus respuestas y comenten: ¿Cuánto mide el ancho del terreno?

sesión 3

ResOLUCión De eCUACiOnes MiXTAs

Consideremos lo siguiente

Juan pensó un número. Lo multiplicó por 3 y a lo que le salió le restó 5. Al final obtuvo 10. a) Escriban una ecuación para encontrar el número que pensó Juan. Usen la letra x para representarlo.

WqEuI

b) ¿Cuál es el número que pensó?

)

Comparen sus ecuaciones y soluciones. Comenten: ¿Qué operaciones hicieron para resolver la ecuación?

Propósito de la sesión. Resolver problemas que implican plantear y resolver ecuaciones algebraicas del tipo ax + b = c . Organización del grupo.Se sugiere resolver todas las actividades en parejas, a excepción del apartado Lo que aprendimos, que puede resolverse de manera individual. Propósito de la actividad. Este problema implica dos transformaciones sucesivas de la cantidad inicial: primero se multiplica y luego se resta. Posibles dificultades. Si algunos alumnos siguen utilizando el signo de la multiplicación, usted puede sugerirles que lo cambien por la expresión 3x para evitar confusiones. Podrían tener mayores dificultades para resolver la ecuación en la que se aplican dos operaciones a la cantidad inicial: una multiplicación y una suma. ¿Qué se resuelve primero? Permita que los alumnos exploren la manera de encontrar el valor de la incógnita cuando la ecuación implica una operación aditiva.

Manos a la obra i. ¿Cuál es la incógnita en el problema? • El resultado de multiplicar por 3. • El resultado que obtuvo Juan al final. • El número que pensó Juan. Juan hizo dos operaciones con el número que pensó. a) ¿Cuál fue la primera operación que hizo? b) ¿Cuál fue la segunda operación que hizo? 28

Sugerencia didáctica. Mientras los alumnos resuelven, identifique dos o tres procedimientos que puedan apoyar a los demás alumnos en el planteamiento de la ecuación y en su resolución. Pida a esos alumnos que muestren su solución a todo el grupo. En las actividades del siguiente apartado tendrán oportunidad de encontrar una forma correcta de plantear y resolver la ecuación.

Propósito de las actividades. Los alumnos podrán identificar los datos conocidos y la incógnita, así como las relaciones que se establecen entre ellos; esto les permitirá identificar la ecuación que corresponde al planteamiento del problema. Respuesta. La incógnita es el número que pensó Juan, y la ecuación correcta es 3x – 5 = 10

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MATEMÁTICAS

I

c) Una de las siguientes ecuaciones sirve para encontrar el número que pensó Juan, ¿cuál es? • 3x – 5x = 10 • 3x + 10 = 5 • 3x – 5 = 10 Comparen sus ecuaciones y soluciones.

Comenten: la ecuación 5 x – 3 = 10 no corresponde a este problema, ¿por qué? II. En la ecuación 3x – 5 = 10 se hacen dos operaciones: primero se multiplica 3 por x, y después, al resultado se le resta 5. a) ¿Qué número creen que obtuvo Juan al hacer la operación: 3x? Comparen sus respuestas y comenten cómo las encontraron. b) En la ecuación 3x – 5 = 10, ¿cuál es la operación que hay que hacer para encontrar el valor de 3x? Completen: 3x = 10 +

e: Recuerden qu que o 3x es lo mism lo bo 3 por x. El sím ión licac de la multip para no no se pone con la confundirlo letra x.

=

c) En la ecuación 3x = 15, ¿cuál es la operación que hay que hacer para encontrar el valor de x? Completen:

x = 15 ÷

=

d) En sus cuadernos, comprueben el valor que encontraron para el número que pensó Juan, sustituyéndolo en la ecuación. III. Ana pensó un número. Lo dividió entre 4 y después, a lo que le salió, le sumó 6. Al final obtuvo 11.

b) ¿Cuál es la segunda operación que hizo Ana? c) Escriban una ecuación para encontrar el número que Ana pensó. Usen la letra y para representarlo.

y÷4+

=

y=

e) Comprueben la solución en sus cuadernos. Comparen sus ecuaciones y soluciones. Comenten: La ecuación y – (2 ÷ 8) no corresponde al problema, ¿por qué?

29

Sugerencia didáctica. Asegúrese de que los alumnos efectivamente hagan la comprobación en sus cuadernos; para ello, deben sustituir la incógnita por el valor que encontraron: 20 ÷ 4 + 6 = 5 + 6 = 11

Propósito de la actividad. Para encontrar el valor de la incógnita deben considerar que la operación inversa de la resta es la suma; por lo tanto, para saber cuál fue el número que obtuvo Juan al hacer la operación 3x , es necesario sumar 5 al resultado final: 10 + 5 = 15 Propósito de la actividad. La operación inversa de la multiplicación es la división, por lo tanto, tendrían que dividir 15 ÷ 3 para encontrar el valor de x .

a) ¿Cuál es la primera operación que hizo Ana?

d) ¿Cuál es el valor de y?

Sugerencia didáctica. Pida a los alumnos que argumenten por qué esa ecuación no corresponde con el problema. Deben darse cuenta de que en esta ecuación los números no corresponden con las operaciones realizadas. Puede pedir que sustituyan x por el valor encontrado anteriormente, para ver si obtienen el mismo resultado que con la ecuación correcta.

3 Sugerencia didáctica. Anime a los alumnos para que argumenten por qué esa ecuación no resuelve el problema (una posible respuesta es que ni las operaciones ni los números coinciden con los del problema planteado). Si los argumentos no son suficientes, pueden sustituir la incógnita por el valor que ya encontraron, y ver si obtienen el mismo resultado.

Sugerencia didáctica. Puede pedir a un alumno que haga la comprobación en el pizarrón. Pida a los alumnos que regresen a la solución que dieron al mismo problema al inicio de la sesión, para que comparen la ecuación y la solución que dieron en ese momento con lo que obtuvieron ahora. Pídales que hagan las correcciones necesarias. Propósito de la actividad. Al igual que en la actividad anterior, se pretende que los alumnos identifiquen que en la ecuación hay dos operaciones, una multiplicativa (en este caso la división y ÷ 4) y otra aditiva (en este caso, la suma + 56), y que primero se resuelve la operación aditiva mediante la operación inversa: al resultado final se debe restar 6, que es lo que se había agregado. Respuesta. Pueden utilizar y y ÷ 4 + 6 = 11 o también r + 6 = 11

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A lo que llegamos Para resolver ecuaciones en las que se hacen dos operaciones con la incógnita, como 5x + 1 = 21, hay que respetar el orden de las operaciones. Una manera de resolver estas ecuaciones es la siguiente: Primero. Encontrar el valor de 5x: 5x = 21 – 1 5x = 20

Segundo. Encontrar el valor de x:

Propósito de la actividad. La incógnita de la ecuación que corresponde a este problema está determinada por dos operaciones. Se espera que, a partir de lo que trabajaron en la actividad anterior, los alumnos puedan identificar la ecuación que corresponde al problema y resolverla.

x = 20 ÷ 5 x=4 En la ecuación (y ÷ 6) – 8 = 4 se pone un paréntesis para indicar que primero se divide entre 6 y después se resta 8. Nuevamente se resuelve la ecuación respetando el orden de las operaciones: Primero. Se encuentra el valor de y ÷ 6: y÷6=4+8 y ÷ 6 = 12 Segundo. Se encuentra el valor de y: y = 12 × 6 y = 72 iV. En el rectángulo de la figura 1 la medida de la base es igual al doble de la medida de la altura más 1 cm.

Respuesta. La segunda ecuación (2a + 1 = 7.2) y la cuarta (a × 2 + 1 = 7.2) permiten encontrar el valor de la altura.

a

7.2 cm Figura 1

De las siguientes ecuaciones señalen las que sirven para encontrar la altura. • a × 2 + 7.2 = 1 • 2 a + 1 = 7.2 • (a ÷ 2) + 1 = 7.2 • a × 2 + 1 = 7.2 Comparen las ecuaciones que escogieron y comenten: a) ¿Cuáles son las operaciones que se hacen en este problema? b) ¿Cuáles son las dos ecuaciones que permiten resolver el problema? 30

Respuesta. La segunda y la cuarta ecuación son las correctas. Conviene que aclare a los alumnos que la respuesta óptima es la segunda ecuación, pues en la cuarta se está utilizando el signo × para indicar la multiplicación, lo cual podría resultar confuso. En caso de que haya alumnos que hayan elegido otras ecuaciones, puede pedirles que las resuelvan y que después hagan la comprobación, para que de esa manera se percaten del error.

30

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MATEMÁTICAS

I

Propósito de la actividad. Se espera que los alumnos apliquen lo aprendido en las sesiones anteriores para resolver estos problemas. Una particularidad de los problemas que aquí se plantean, es que se hace uso de números decimales.

Encuentren el valor de la altura y comprueben su respuesta sustituyéndolo en la ecuación.

Lo que aprendimos 1. La mitad del número de alumnos que hay en primer año más 29 es igual a 44. a) Escribe una ecuación para este problema: b) ¿Cuántos alumnos hay en primer año?

Sugerencia didáctica. Para cada uno de los siguientes problemas solicite a los alumnos que hagan las comprobaciones en sus cuadernos. Recuérdeles también que pueden usar las literales que quieran.

2. En tu cuaderno resuelve los siguientes problemas. Puedes usar ecuaciones. a) Si pienso un número, lo multiplico por 2, a lo que me sale le resto 3 y al final obtengo 15.8. ¿Cuál es el número que pensé? b) Si a la cuarta parte de un número le sumo 23.5 obtengo 117.7. ¿Cuál es el número? 3. Encuentra el valor de x en las siguientes ecuaciones. Escribe los procedimientos en tu cuaderno. a) 3x + 0.1 = 10

a

Respuestas. w + 29 = 44. También (a ÷ 2) + 29 = 44. El número de alumnos es 30 (puede usar cualquier literal).

b) (x ÷ 2) + 44 = 100 c) x + 23 − 15 = 29.2 d) (x ÷ 3) + 25 = 46 4. Un reto. Resuelve el siguiente problema. Intenta hacerlo solo, pero si tienes dudas, puedes consultar a tu maestro o a otros compañeros.

Respuestas. a) 2x – 3 = 15.8 2x = 18.8 xx = 9.4

Eugenio abrió una cuenta en el banco con cierta cantidad inicial de dinero, pero no recuerda cuánto. Después de un tiempo esta cantidad inicial se triplicó. Eugenio retiró todo el dinero que tenía y gastó 150 pesos. El resto lo repartió entre tres amigos, de modo que a cada uno le tocaron 100 pesos. Ayúdale a Eugenio a recordar cuánto dinero depositó en el banco. a) Escribe una ecuación que corresponda a este problema.

b) xr + 23.5 = 117.7

b) Resuelve la ecuación en tu cuaderno.

r = 94.2

c) ¿Cuánto dinero depositó Eugenio en el banco?

x = 376.8

Para saber más

Respuestas. a) x = 3.3 b) x = 112 c) x = 21.2 d) x = 63

Consulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula: Bosch, Carlos y Claudia Gómez. Una ventana a las incógnitas. México: SEP/Santillana, Libros del Rincón, 2003. Tahan, Malba. El hombre que calculaba. Trad, Basilio Lozada. México: SEP/Editorial Limusa, Libros del Rincón, 2005. 31

Propósito del interactivo. Resolver ecuaciones mixtas de primer grado respetando el orden de las operaciones.

Integrar al portafolios. Si identifica dificultades para plantear la ecuación, pida a uno o dos alumnos que lo hayan hecho correctamente que la escriban en el pizarrón. Usted puede preguntar: ¿Cuál es la incógnita? ¿Cómo fue cambiando el dinero que inicialmente tenía Eugenio? ¿Con cuánto dinero se quedó al final? ¿Cómo podemos plantear la igualdad? Si los alumnos tienen dificultades para resolver la ecuación repase con ellos el apartado A lo que llegamos de las sesiones 2 y 3 de esta secuencia.

Respuestas. 3x – 150 = 300 (3x – 150) ÷ 3 = 100

Con el propósito de apoyar a aquellos alumnos que aún no hayan comprendido el problema, y para revisar una forma más de resolverlo sin plantear la ecuación, usted puede comentar el siguiente procedimiento: Si repartió $100 a cada amigo quiere decir que a Eugenio le quedaban $ 300. Si gastó $150, entonces tenía $450 (considerando los $300); esa fue la cantidad que retiró. Si esa cantidad se obtuvo al triplicarse su dinero, entonces inicialmente había depositado $150. 31

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Propósito de la sesión. Identificar que no siempre es posible construir un triángulo dadas 3 medidas. Conocer la propiedad que deben cumplir 3 medidas para que sea posible trazar un triángulo.

secuencia 19

Existencia y unicidad

Materiales. Popotes o tiras de cartoncillo, tijeras, regla y compás. Organización del grupo. Se sugiere que el problema inicial se resuelva en equipos, y el apartado Manos a la obra, en parejas.

En esta secuencia construirás triángulos y cuadriláteros, y analizarás las condiciones de existencia y unicidad. sEsión 1

Propósito de la actividad. Que los alumnos desarrollen su capacidad para cuestionarse acerca de dos hechos: 1) ¿Tiene solución este problema? Es decir, ¿existe la solución? 2) Si existe la solución, ¿es única o son varias las soluciones correctas? Se espera que los alumnos se den cuenta de que, dadas 3 medidas, no siempre es posible construir un triángulo cuyos lados tengan, precisamente, esas medidas. Es decir, se trabaja en torno de la existencia o no existencia de la solución de un problema.

Para empezar

Cuando se pide construir una figura geométrica con ciertas condiciones, a veces es posible hacerlo y a veces no. Por ejemplo, ¿crees que sea posible trazar un triángulo cuyos lados midan 10 cm, 1 cm y 1 cm?; ¿por qué? Éste es el tipo de reflexiones que realizarás a lo largo de la secuencia. Es importante que hagas tus suposiciones o hipótesis y luego trates de comprobarlas.

Consideremos lo siguiente Recorten popotes de las siguientes medidas.

3 cm

2 cm

5 cm

4 cm

6 cm

8 cm

Traten de formar triángulos, usando como lados tres de los pedazos de popotes que cortaron. Completen la siguiente tabla, anoten cuando sea posible formar el triángulo. Medida de los popotes para formar el triángulo

Posibles procedimientos. Tal vez algunos alumnos no necesiten manipular los popotes para completar la tabla; si es así, pídales que los usen después para comprobar sus hipótesis; esto permitirá que los integrantes del equipo validen los resultados obtenidos.

Respuesta. Sólo es posible formar

¿ExistE o no ExistE?

¿Es posible formar el triángulo?

8 cm, 3 cm, 2 cm 8 cm, 6 cm, 4 cm 8 cm, 4 cm, 2 cm 6 cm, 4 cm, 3 cm 6 cm, 3 cm, 2 cm

32

triángulos con las medidas 8, 6 y 4 cm, y con las medidas 6, 4 y 3 cm.

Eje

Propósitos de la secuencia Construir triángulos y cuadriláteros. Analizar las condiciones de existencia y unicidad

Forma, espacio y medida.

Tema Figuras geométricas.

Sesión

Antecedentes A diferencia de las construcciones geométricas que se realizan en la escuela primaria, en este grado se espera que con base en procedimientos específicos los alumnos logren anticipar, probar y justificar los datos que son necesarios y suficientes para llevar a cabo una construcción. Para ello se apoyarán en procedimientos que ya conocen: - Trazos con regla y compás de triángulos y cuadriláteros. - Trazo de ángulos dada su medida.

1

2

Título y propósitos de la sesión ¿Existe o no existe? Identificar que no siempre es posible construir un triángulo dadas 3 medidas. Conocer la propiedad que deben cumplir 3 medidas para que sea posible trazar un triángulo.

¿Es uno o son muchos? Analizar y explorar casos sencillos de existencia y unicidad en la construcción de cuadriláteros.

Recursos Interactivo “Desigualdad triangular” Video ¿Es uno o son muchos? Aula de medios “Es uno o son muchos” (Geometría dinámica)

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8/25/07 3:02:35 PM

MATEMÁTICAS

I

a) ¿Siempre fue posible construir triángulos con las tres longitudes? b) Escriban tres longitudes de los popotes que no estén en la tabla con las que crean que sí es posible construir un triángulo .

,

,

c) Escriban tres longitudes de los popotes que no estén en la tabla con las que crean que no es posible construir un triángulo.

,

,

Comenten sus hallazgos y resultados con sus compañeros de grupo. Expliquen cuándo creen que dadas tres longitudes es posible construir un triángulo y cuándo no es posible.

Manos a la obra I. Recuerden cómo se construye con regla y compás un triángulo si se conocen las medidas de sus lados. Construir un triángulo cuyos lados midan 6 cm, 4 cm y 3 cm. Paso 1. Se traza un segmento de cualquiera de las medidas dadas, por ejemplo, 6 cm.

Paso 2. Se abre el compás a cualquiera de las otras dos medidas y con centro en un extremo del segmento, se traza un arco.

Paso 3. Se abre el compás a la tercera medida y con centro en el otro extremo del segmento, se traza un arco que cruce al anterior.

Paso 4. Se unen los extremos del segmento con el punto donde se cortan los arcos y se obtiene el triángulo pedido.

33

Sugerencia didáctica. Aunque los alumnos estudiaron el trazo de triángulos en la primaria es probable que ya no lo recuerden, por ello cerciórese de que las parejas sigan de manera correcta los pasos enunciados. Permita que sean ellos quienes interpreten las instrucciones; si nota que tienen dificultades, trate de auxiliarlos.

Respuestas. a) No. b) La medida que los alumnos propongan para cada uno de los lados debe ser menor que la suma de los otros dos lados. Podrán anotar cualquiera de las siguientes opciones: (8, 6, 5); (8, 6, 4); (8, 6, 3); (8, 5, 4); (6, 5, 4); (6, 5, 3); (6, 5, 2); (6, 4, 3); (5, 4, 3); (5, 4, 2); (4, 3, 2). c) Debe haber un lado que sea mayor o igual que la suma de los otros dos. El alumno podrá contestar cualquiera de las siguientes opciones: (8, 6, 2); (8, 5, 3); (8, 5, 2); (8, 4, 3); (8, 4, 2); (8, 3, 2); (6, 4, 2); (6, 3, 2); (5, 3, 2). Sugerencia didáctica. Recomiende a los alumnos que para verificar rápidamente si las medidas propuestas permiten formar un triángulo, sumen las medidas de los lados menores. Esa suma debe ser mayor que la longitud del lado más grande. Cuando se comparen las respuestas de los incisos b) y c) invite a los alumnos a que las verifiquen usando los popotes. Pregunte también cómo podrían saber si se puede o no formar el triángulo, pero sin usar los popotes. Esto tiene el propósito de que analicen las ternas de números y traten de encontrar la relación entre ellos para determinar la existencia o no existencia del triángulo.

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Propósito de la actividad. Con los incisos c), d) y e) se promueve que los alumnos identifiquen que dadas dos magnitudes para los lados de un triángulo, éste no queda completamente definido, lo que da lugar a varias respuestas.

secuencia 19 ii. Utilicen sus instrumentos geométricos para trazar en su cuaderno triángulos cuyos lados midan a) 8 cm, 9 cm, 7 cm. b) 9 cm, 5 cm, 6 cm. c) 6 cm, 3 cm, 2 cm. iii. Respondan las preguntas: a) ¿Pudieron trazar los tres triángulos?

Respuestas. a) y b) El triángulo con las medidas 6, 3 y 2 cm es imposible de trazar. c) El tercer lado puede medir 8, 7, 6, 5 o 4 cm, aunque también puede tener una medida no entera, como 6.5, 7.5 cm; es probable que los alumnos no consideren estas soluciones, pero si alguno lo hace será interesante comentarla en el grupo. d) Si la tercera medida es un número entero, entonces hay 5 soluciones: 8, 7, 6, 0 y 4. e) El triángulo que los alumnos tracen deberá cumplir con la condición de las medidas que se dan. El tercer lado deberá medir más de 3 cm y menos de 9 cm.

b) ¿Cuál fue imposible trazar? c) Si dos lados de un triángulo miden 6 cm y 3 cm, indiquen una posible longitud para el tercer lado, de manera que se pueda trazar el triángulo. d) Tracen en su cuaderno triángulos en los que dos de sus lados midan 6 cm y 3 cm y el tercer lado tenga la longitud que ustedes indiquen. e) Si se pone la condición de que la medida del tercer lado sea un número entero, ¿cuántos triángulos diferentes pueden trazarse con dos lados que midan 6 cm y 3 cm?

iV. Propongan tres medidas de lados diferentes a las anteriores para que puedan trazar un triángulo. a) ¿Cuáles son esas medidas? b) Tracen el triángulo en su cuaderno y verifiquen su hipótesis; si no se puede trazar, intenten con otras medidas. V. Sin hacer trazos, anoten Medida de los lados

¿Existe el triángulo?

10 cm, 5 cm, 5 cm 8 cm, 9 cm, 2 cm 1 cm, 0.5 cm, 2 cm 2.5 cm, 3 cm, 1.5 cm

Propósito del interactivo. Explorar cómo deben ser las medidas de los lados de un triángulo para poder trazarlo. Sugerencia didáctica. Mientras las parejas resuelven, observe qué medidas son las que propusieron, de tal manera que usted pueda identificar si los alumnos han elaborado ya alguna hipótesis respecto de las condiciones para que sea posible el trazo de un triángulo. Asegúrese de que los alumnos efectivamente construyan el triángulo en sus cuadernos para que puedan verificar sus respuestas.

a los triángulos que sí pueden trazarse.

N,

4 cm, 3

N, cm, 9 cm

Comenten sus respuestas con sus compañeros de grupo, traten de concluir qué condición deben cumplir las tres medidas de los lados de un triángulo.

34

Sugerencia didáctica. Es importante que para completar esta tabla ya no hagan uso de los popotes ni de los trazos, sino que atiendan a las relaciones entre los lados con el fin de que pongan en juego las conjeturas que fueron construyendo a lo largo de las actividades anteriores. En la puesta en común tendrán oportunidad de validar sus respuestas.

Respuestas. Sólo es posible trazar un triángulo con las siguientes medidas: 8, 9 y 2 cm, y 2.5, 3 y 1.5 cm. En el caso del primer renglón de la tabla, es la primera vez que se presenta un caso en el que la suma de dos lados es igual a la del lado mayor. Pida a los alumnos que comenten por qué no es posible trazar este triángulo.

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8/25/07 3:02:41 PM

MATEMÁTICAS

I

2

A lo que llegamos No siempre es posible construir un triángulo cuando se dan tres medidas de los lados, por ejemplo, no existe un triángulo cuyos lados midan 7 cm, 4 cm y 2 cm.

Para que el triángulo exista, cada uno de los lados debe ser menor que la suma de los otros dos.

Sugerencia didáctica. Además de leer la información, pueden reproducirla con sus propias palabras de manera verbal o por escrito en sus cuadernos; también pueden dar ejemplos diferentes a los mostrados o localizar en el mismo libro alguna actividad que la identifique.

Por ejemplo, sí existe un triángulo cuyos lados midan 7 cm, 4 cm y 5 cm, porque: 7 es menor que 4 + 5.

4 es menor que 7 + 5. 5 es menor que 7 + 4.

¿Es UnO O sOn MUCHOs?

sEsión 2

Para empezar

En la lección anterior te diste cuenta de que a veces es posible trazar triángulos con ciertas medidas, y a veces no. En esta lección explorarás los cuadriláteros, ¿los recuerdas? Son figuras de cuatro lados.

trapecio cuadrado

rectángulo

rombo

romboide

Se analizará si, dadas ciertas condiciones, es posible trazar uno o muchos cuadriláteros. 35

Sugerencia didáctica. De manera breve, haga un recordatorio sobre lo que es un cuadrilátero, solicitando a los alumnos que mencionen las características principales de los cuadriláteros que aquí se muestran y de otros que conozcan.

Integrar al portafolios. Solicite a los alumnos que realicen el siguiente ejercicio: a) Proponer unas medidas, distintas a las que se han dado anteriormente, con las cuales sea imposible construir un triángulo. Escribir por qué no es posible construirlo. b) Proponer unas medidas (distintas a las de los ejercicios anteriores) con las cuales sí sea posible construir un triángulo. Trazar el triángulo. Si los alumnos muestran dificultades para establecer cuáles son las condiciones para que esta figura exista, revise nuevamente con ellos la información del apartado A lo que llegamos. Propósito de la sesión. Analizar y explorar casos sencillos de existencia y unicidad en la construcción de cuadriláteros. Organización del grupo. Se sugiere trabajar en equipos durante toda la sesión, incluyendo momentos de intercambio con todo el grupo. Materiales. - Popotes o tiras de cartoncillo cortados en las medidas que se indican. - Tachuelas o hilo y aguja. - Regla, compás, escuadras y transportador.

35

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Sugerencia didáctica. La manipulación con material concreto es de gran ayuda para ciertos aprendizajes matemáticos. En este caso, el uso del material que se sugiere ayudará a que los alumnos se den cuenta de que existen rombos que son diferentes aunque sus lados midan lo mismo. Notarán que la medida de los popotes no varía, pero la medida de los ángulos que forman sí. Asegúrese de que se cuente con este material de manera oportuna y que los alumnos efectivamente lo empleen para realizar las actividades que se indican.

secuencia 19

Consideremos lo siguiente Recorten 4 popotes de 6 cm y armen con ellos un rombo; unan los popotes cosiéndolos con hilo o poniéndoles una tachuela.

6 cm

Observen que el rombo va cambiando al jalar dos de sus vértices opuestos. a) Cambien el rombo hasta formar un cuadrado. b) Cambien el rombo hasta que formen otro cuyos ángulos midan 120°

Sugerencia didáctica. Para el inciso a) es necesario que los alumnos se cercioren de que, efectivamente, su figura es un cuadrado; para ello pueden usar el ángulo recto de una hoja, de una escuadra o el transportador. Para el inciso b) pueden usar el ángulo de 60º de la escuadra o el transportador. Respecto del inciso d), al jalar los vértices se forman rombos diferentes, debido a que cambia la medida de los ángulos.

y 60°. c) Cada vez que jalan los vértices ¿se forma un rombo diferente al anterior?

d) ¿Qué es lo que varía en estos rombos? e) Si se te pide que traces un rombo cuyos lados midan 6 cm, ¿hay una solución o varias?

. ¿Por qué?

Comenten y comparen sus respuestas con las de otros compañeros. En particular, mencionen: • ¿Cuántos rombos diferentes que midan 6 cm de lado pueden trazar? • ¿Qué otro dato es necesario dar para que los rombos que se tracen sean todos iguales en forma y tamaño?

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36

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MATEMÁTICAS

I

Sugerencia didáctica. En las actividades 1 y 2 es posible que los alumnos piensen que para hacer el trazo necesitan un dato más (la altura o la base, respectivamente). Mientras los equipos resuelven, hágales ver que lo que deben trazar es un rectángulo que cumpla con la condición pedida y que con ello están resolviendo el problema planteado; se espera que los alumnos se den cuenta de que se pueden trazar muchos rectángulos diferentes, construyendo gradualmente la idea de que para trazar un rectángulo y para que éste quede definido, se requiere, en este caso, saber tanto la medida de la base como de la altura (esto podrán verlo en el ejercicio 3).

Manos a la obra I. Tracen lo que se pide: 1. Un rectángulo cuya base sea el siguiente segmento:

¿Cuántos rectángulos diferentes se pueden trazar? 2. Un rectángulo cuya altura sea el siguiente segmento:

¿Cuántos rectángulos diferentes se pueden trazar? 3. Un rectángulo cuya base y altura sean los siguientes segmentos:

a) ¿Cuántos rectángulos diferentes se pueden trazar en la actividad 3? b) ¿Cuántas medidas del rectángulo deben darse para que sólo pueda trazarse un rectángulo? 37

37

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secuencia 19 Propósito de la actividad. Los ii. Utilicen sus instrumentos geométricos para trazar en su cuaderno un romboide cuya alumnos deberán percatarse de base mida 8 cm y su altura 5 cm. que existen ciertas condiciones Comparen sus romboides. que dan lugar al trazo de figuras a) ¿Cumplen con las condiciones pedidas: base 8 cm y altura 5 cm? diferentes, y que existen condiciones que permiten determinar a una b) ¿Son iguales todos los romboides que trazaron? figura de manera única. En el caso c) ¿En qué varían? del romboide que se sugiere, los d) ¿Cuántos romboides diferentes se pueden trazar que midan 8 cm de base y 5 cm alumnos identificarán que la base de altura? y la altura no son datos suficientes secuencia 19 e) ¿Qué otro dato es necesario dar para que sólo exista UN romboide con esas caracpara determinarlo, pero que si se terísticas? ii. Utilicen sus instrumentos geométricos para trazar en su cuaderno un romboide cuya da el valor de un ángulo interior, base mida 8 cm y suf)altura 5 romboide cm. cuya base mida 7 cm, altura 5 cm y con un ángulo de 45°. Tracen un entonces es posible determinarlo de g) ¿Cuántos romboides diferentes se pueden trazar con estas características? Comparen sus romboides. manera única. Sugerencia didáctica. En la confrontación de resultados procure que los alumnos distingan un caso del otro y que hagan explícitas cuáles son las condiciones para cada uno de ellos.

a) ¿Cumplen con las condiciones pedidas: base 8 cm y altura 5 cm?

Propósito de la actividad. Todos los casos propuestos en la tabla permitirán a los alumnos establecer hipótesis y conjeturas acerca de la existencia y unicidad de las figuras, dadas ciertas condiciones, al mismo tiempo que tendrán que explorar posibles soluciones y validar o desechar sus hipótesis iniciales.

d) ¿Cuántos romboides diferentes se pueden trazar que midan 8 cm de base y 5 cm

3

Característicasque trazaron? b) ¿Son iguales todos los romboides

c) ¿En qué varían?

¿Existe uno o varios o no existe?

Un rombo cuyo lado mida 9 cm Un cuadrado cuyo lado mida 6 cm

de altura?

Un cuadrilátero cuyos lados midan 10 cm, 5 cm, 2 cm y 1 cm Un romboide cuya base mida 6 cm y uno de sus ángulos 130°

e) ¿Qué otro dato es necesario dar para que sólo exista UN romboide con esas caracUn rombo que tenga dos ángulos opuestos terísticas?

que midan 40° y los otros dos 140°

Un trapecio isósceles cuya base mayor mida 6 cm y la base menor 4 cm

f) Tracen un romboide cuya cuya base midamida 7 cm, Un cuadrado diagonal 10 cm altura 5 cm y con un ángulo de 45°. g) ¿Cuántos romboides diferentes se pueden trazar con estas características? Comparen con otros compañeros de grupo los resultados que obtuvieron; argumenten sus respuestas. 38

En el caso del cuadrilátero del tercer renglón, si el tiempo se lo permite, invite a los alumnos a construirlo y a que argumenten por qué no es posible hacerlo. La razón es que la suma de las longitudes de los tres lados más pequeños es menor que la longitud del lado más grande. Durante la puesta en común, invite a los alumnos a que ellos mismos se hagan cargo de la validación y defiendan sus respuestas, o que reconozcan cuando algún compañero les demuestre que están equivocados. Estas habilidades y actitudes son tan importantes como el contenido que se pretende que ellos construyan. 38

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iii. Analicen los datos y anoten si es posible trazar uno varios cuadriláteros con las características que se piden en cada caso.

iii. Analicen los datos y anoten si es posible trazar uno varios cuadriláteros con las características que se piden en cada caso. Características

¿Existe uno o varios o no existe?

Un rombo cuyo lado mida 9 cm

Varios (pueden variar los ángulos)

Un cuadrado cuyo lado mida 6 cm

Uno (la medida de los ángulos es de 90°)

Un cuadrilátero cuyos lados midan 10 cm, 5 cm, 2 cm y 1 cm Un romboide cuya base mida 6 cm y uno de sus ángulos 130°

No existe (la medida del lado mayor no debe exceder la suma de los otros 3) Varios (el otro lado puede tener cualquier longitud)

Un rombo que tenga dos ángulos opuestos que midan 40° y los otros dos 140°

Varios (puede variar la medida de los lados)

Un trapecio isósceles cuya base mayor mida 6 cm y la base menor 4 cm

Varios (puede variar la altura)

Un cuadrado cuya diagonal mida 10 cm

Uno (es un cuadrado de lado raíz cuadrada de 50)

Comparen con otros compañeros de grupo los resultados que obtuvieron; argumenten sus respuestas. 38

8/25/07 3:02:53 PM

MATEMÁTICAS

I

Sugerencia didáctica. Para cerrar la sesión, además de comentar lo enunciado puede invitar a los alumnos a que ilustren casos en que las condiciones pedidas no pueden cumplirse para trazar un cuadrilátero, casos en que se cumplen pero hay varias soluciones posibles y casos en que el cuadrilátero queda determinado de manera única.

A lo que llegamos Si se pide que se trace un trapecio isósceles cuya base mayor mida 3 cm y su base menor mida 2 cm, puedes observar que existen varias soluciones. Cada trapecio tiene diferente altura, pero cumple con las medidas de las bases.

En cambio, si se pide un trapecio isósceles cuya base mayor mida 5 cm, la base menor 4 cm y la altura 2 cm, todos los trapecios isósceles que se tracen con estas características serán iguales en forma y tamaño.

¿Es uno o son muchos? Ahora ya sabes que cuando se dan ciertas condiciones para hacer trazos geométricos, es probable que la figura con esas condiciones no pueda trazarse o, en caso de que sí pueda trazarse, es probable que tenga varias respuestas correctas o sólo una.

Para saber más Sobre las propiedades de los triángulos y cuadriláteros consulten: http://matematicas.net/paraiso/cabri.php?id=trianprop [Fecha de consulta: 23 de agosto de 2007].

39

Integrar al portafolios. Solicite a los alumnos que realicen el siguiente ejercicio: a) Proponer las medidas para trazar un cuadrilátero (el que cada alumno elija), de tal manera que sea posible trazar varios cuadriláteros de distinto tamaño y forma. Trazar dos cuadriláteros. b) Proponer las medidas para trazar el cuadrilátero que eligieron anteriormente, de tal manera que todos los cuadriláteros que se tracen con esas medidas sean del mismo tamaño y forma. Trazar un cuadrilátero. Si los alumnos muestran dificultades para establecer cuáles son las características que cumplen con las condiciones anteriores, revise nuevamente con ellos las actividades I y II del apartado Manos a la obra y la información del apartado A lo que llegamos.

Propósito del video. Plantear y solucionar algunos problemas de trazo de triángulos y cuadriláteros con solución única o varias soluciones diferentes.

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8/25/07 3:02:56 PM

Propósito de la sesión. Aplicar conocimientos sobre el cálculo de áreas y perímetros en la resolución de problemas.

secuencia 20

Áreas y perímetros

Organización del grupo. Se recomienda que los alumnos resuelvan todos los problemas organizados en parejas y que al final se comparen los resultados. Si lo considera conveniente, pueden resolver un problema e inmediatamente comparar los resultados.

En esta secuencia resolverás problemas que impliquen calcular el perímetro y el área de triángulos, romboides y trapecios, y establecerás relaciones entre los elementos que se utilizan para calcular el área de cada una de estas figuras. También realizarás conversiones de medidas de superficie.

Materiales. Instrumentos geométricos y calculadora. Propósito de la actividad. Que los alumnos decidan qué medidas deben tomar para calcular el área de una figura determinada.

sesión 1

Eje Forma, espacio y medida.

Tema Medida.

Lo que aprendimos 1. Para cada polígono regular midan lo que sea necesario y calculen su área. Uno de ustedes utilice el método de sumar las áreas de los triángulos, y el otro la fórmula del área.

40

Propósitos de la secuencia Resolver problemas que impliquen calcular el perímetro y el área de triángulos, romboides y trapecios y establecer relaciones entre los elementos que se utilizan para calcular el área de cada una de estas figuras. Realizar conversiones de medidas de superficie.

Sesión

Antecedentes Desde primer grado de primaria los alumnos han tenido contacto con las magnitudes de área y longitud. Se espera que en este grado los alumnos ya sepan calcular áreas utilizando diferentes procedimientos; particularmente en la secuencia 14 tuvieron la oportunidad de justificar algunas fórmulas para calcular áreas y perímetros. En esta ocasión continuarán resolviendo problemas de cálculo de áreas vinculando ese conocimiento con otros, por ejemplo, con las ecuaciones y con las situaciones de variación proporcional.

Para empezar

Tanto en la primaria como en las secuencias 4 y 14 has estudiado, conocido y justificado algunas fórmulas para calcular perímetros y áreas. Ahora se trata de que apliques estos conocimientos a la resolución de problemas. ¿Listo?

Posibles dificultades. Es probable que no puedan hacer mediciones exactas y, por lo tanto, que los resultados sean distintos. Proponga que utilicen aproximaciones. Esta es una oportunidad para reflexionar sobre la dificultad de obtener medidas exactas, así como sobre la necesidad de establecer un margen de error aceptable. Sugerencia didáctica. Pueden revisar la secuencia 14 con el fin de recordar la fórmula para calcular el área de un polígono regular. Es importante que los alumnos decidan qué es lo que tienen que medir para calcular el área de cierta figura, si usted les da todos los datos para que sólo hagan las operaciones, la situación se reduce a cálculos aritméticos. Mientras resuelven, identifique dificultades que usted pueda retomar en la comparación de resultados. Por ejemplo, en los alumnos que apliquen la fórmula usted puede observar cómo determinan la medida del apotema.

Problemas de aPlicación

Título y propósitos de la sesión

1

Problemas de aplicación Aplicar conocimientos sobre el cálculo de áreas y perímetros en la resolución de problemas.

2

Relaciones importantes Resolver problemas de áreas en los que se debe plantear una ecuación o identificar relaciones de variación proporcional.

3

Medidas de superficie Resolver problemas que implican conversiones de unidades de superficie.

Recursos

Video Medidas de superficie

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8/25/07 3:03:16 PM

MATEMÁTICAS

I

2. De los siguientes triángulos, elijan el lado que quieran como base y tracen la altura correspondiente. Tomen las medidas necesarias y calculen el área y el perímetro.

e: Recuerden qu te En el siguien ha triángulo se de sus trazado una alturas.

Área

Área

Perímetro

Perímetro

perpenLa altura es do que dicular al la o base y se elige com vértice el r po sa pa En sus cuadernos tracen un triángulo que tenga la misma área que el primer triángulo e lado. opuesto a es de este ejercicio. 3. ¿Cuál es el área del siguiente terreno de forma irregular? Tomen las medidas necesarias y consideren que la escala es 1:200.

41

Posibles procedimientos. Este problema es de mayor complejidad que los anteriores no sólo porque se trata de una figura irregular y los alumnos tendrán que decidir cómo hacer particiones, sino también porque es una figura hecha a escala. Una forma de resolverlo es dividir el terreno en figuras conocidas, (pueden ser triángulos, rectángulos y romboides), calcular el área de cada una de ellas considerando desde un inicio la escala (1 cm en el dibujo equivale a 200 cm) y después sumar las áreas para obtener el área total. Si los alumnos no consideran la escala

Sugerencia didáctica. Un aspecto que es interesante observar en los procedimientos de los alumnos es cómo determinan la altura de cada uno de los triángulos; particularmente para el caso del segundo triángulo, si eligen como base el lado de menor longitud necesitarán prolongar este lado para poder trazar la perpendicular que va al vértice opuesto. Sin embargo, es probable que pocos alumnos hagan esto, por lo que usted puede aprovechar la comparación de resultados para plantear esta situación. También es pertinente que los alumnos reflexionen en torno de que aun cuando se hayan considerado distintas alturas en cada uno de los triángulos, el área debe ser la misma. Sugerencia didáctica. Puede dejar este ejercicio como tarea. Los alumnos tienen dos posibilidades para trazar un triángulo distinto pero con la misma área que el de la lección: pueden utilizar las mismas medidas de la base y la altura, pero deben “mover” la altura (que pase por la mitad de la base, por ejemplo) para que el triángulo resulte distinto al de la lección. Otra forma es variar las medidas de la base y de la altura de tal manera que obtengan la misma área.

desde un inicio, pueden obtener el área del dibujo y aplicar después la escala, aunque esto es más complejo: el área obtenida en el dibujo es aproximadamente de 24 cm2 , y 1 cm en el dibujo equivale a 200 cm, entonces 1 cm2 equivale a 40 000 cm2. El área es de 96 000 cm2. Seguramente las diferencias en las medidas serán más notorias en este caso, pero siempre dentro de un margen de error en el que los alumnos tendrán que decidir si tales diferencias se deben a las imprecisiones al medir o a un cálculo erróneo.

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Sugerencia didáctica. Si los alumnos no recuerdan la fórmula, recomiéndeles que consulten la secuencia 14. Respuesta. La fórmula es A = D × d , y el resultado es 1 750 cm2.

secuencia 20 4. Alejandro va a hacer un papalote en forma de rombo, quiere que las diagonales midan 50 cm y 70 cm. ¿Qué superficie estará en contacto con el viento? 5. Se va a construir la barda de un terreno con las siguientes medidas:

2

Integrar al portafolios. El reto que tienen los alumnos con este problema es que aun cuando se dan las medidas, deberán decidir cuáles de ellas deben tomar en cuenta para calcular lo que se cobrará en cada caso (el costo de los cimientos, de los castillos y del tabique). Tal vez las dificultades que se presenten tengan que ver precisamente con no poder decidir qué medidas considerar, por ello es importante que durante la comparación de resultados dedique mayor tiempo para analizar cuáles son la medidas que los alumnos deben tomar en cuenta y por qué. Respuestas. - Costo de los cimientos: se requiere calcular el perímetro del terreno, que es de 36 m, y se multiplica por el costo de cada metro: 36 × 200 = $7 200. - Costo de los castillos: son 9 castillos y cada castillo tiene 3 m de altura, es decir que son 27 metros en total. 27 × 80 = $2 160. - Costo de la barda: quitando el hueco para el zaguán, la barda tiene un perímetro de 33 m. Considerando los 3 m de altura: 33 m × 3 m de altura son 99 m2 de barda: 99 × 50 = $4 950. - El costo total de la mano de obra es de $14 310.

3m (hueco para el zaguán)

8m

s y los Los cimiento dan le os ill st ca barda fuerza a la eda para que pu techo y sostener el otros pisos.

10 m Castillo

Los albañiles cobran lo siguiente: Metro de cimientos

Cimientos

$200

Metro de castillos

$80

Metro cuadrado de tabique

$50

• La barda será de una altura de 3 m. • Cada punto negro indica el lugar donde se pondrá un castillo. • El tabique se cobra parejo, sin descontar el espacio que ocupan los castillos. • Los cimientos van alrededor de todo el terreno, incluso en la parte del zaguán. a) ¿Cuánto se pagará de mano de obra a los albañiles?

42

42

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MATEMÁTICAS

I

Comparen todos los procedimientos y resultados con los de otras parejas y, además, comenten: a) La dificultad de tomar medidas exactas en algunos de los ejercicios anteriores y la manera en que esto se refleja en resultados diferentes, aunque muy cercanos. b) La manera en que se trazan y miden las alturas de los triángulos.

relaciones imPortantes

Para empezar

sesión 2

En sesiones anteriores aprendiste a resolver ecuaciones, recuerda que el dato desconocido se llama incógnita y que puede representarse con una letra. En varias secuencias has estudiado la proporcionalidad y has elaborado tablas de proporcionalidad. Ahora te invitamos a que apliques tus conocimientos de ecuaciones y proporcionalidad para resolver problemas relacionados con el perímetro y el área de figuras.

Propósito de la sesión. Resolver problemas de áreas en los que se debe plantear una ecuación o identificar relaciones de variación proporcional.

Lo que aprendimos 1. Para cada problema deben plantear la ecuación correspondiente y resolverla. a) Doña Lupita usó 1.60 m de listón que colocó alrededor de una servilleta cuadrada para las tortillas. ¿Cuánto mide de lado la servilleta?

Organización del grupo. Se sugiere que los alumnos resuelvan en equipo todas las actividades de la sesión. Propósito de las actividades. Que los alumnos recurran a otros conocimientos que tienen vínculos con el cálculo de áreas y perímetros; en los primeros 4 problemas ponen en juego el planteamiento y la resolución de ecuaciones, y en los siguientes problemas se explora la noción de variación proporcional vinculándola con problemas de áreas y perímetros.

Resultado:

b) ¿Cuánto mide de largo un corte de tela rectangular de ancho 1.5 m y de 40 m2 de superficie?

Resultado: 43

Respuesta. Considerando que la servilleta tiene 4 lados iguales y el total del perímetro es de 1.60 m, una forma de plantear y resolver la ecuación es la siguiente: 4x = 1.60 x = 1.60 ÷ 4 x = 0.40 La servilleta mide 40 cm por lado.

Sugerencia didáctica. Para hacer más ágil el momento de la confrontación, centre la atención en la medición y en los procedimientos para calcular el área y el perímetro de cada una de las figuras, no en los cálculos. Es decir, si se tienen que hacer cálculos pida sólo los resultados al equipo, o bien, pida a alguien que traiga calculadora, verifique los cálculos; recuerde que el propósito de esta secuencia no es ejercitar las operaciones.

Respuesta. El área del rectángulo se obtiene multiplicando largo por ancho. Una forma de plantear y resolver la ecuación es la siguiente: 1.5x = 40 x = 40 ÷ 1. 5 x = 26. 6666666… Si se redondea la cantidad, el largo de la tela es de 26.67 cm

Sugerencia didáctica. Comente a los alumnos que los primeros 4 problemas pueden resolverse por medio de las ecuaciones que ya estudiaron en la secuencia 18, mencione que hay otras formas de resolverlos pero que en este momento se trata de que apliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones. Invítelos a que verifiquen cada una de las ecuaciones que resuelvan. En un primer momento permita que los alumnos determinen cuál es la incógnita en cada problema. Si nota que algún equipo tiene dificultades, apóyelos con las siguientes preguntas: - - - -

¿Qué les piden? ¿Qué datos tienen? ¿Cómo se relacionan los datos? ¿Conocen alguna fórmula que relacione los datos? - De la fórmula que conocen, ¿cuáles datos tienen y cuál o cuáles les faltan? - ¿Cómo pueden calcular los datos que faltan? 43

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8/25/07 3:03:25 PM

Respuesta. Para calcular el área del rectángulo se necesita encontrar primero la medida del ancho. Una forma de resolver es la siguiente: El largo mide x. El ancho mide x – 6. El perímetro es de 28 cm. El perímetro se calcula de la siguiente manera: 2 veces el largo + 2 veces el ancho; una manera de plantear y resolver la ecuación es:

secuencia 20 c) Un rectángulo de 28 cm de perímetro mide de ancho 6 cm menos que su largo. ¿Cuál es su área?

Resultado: d) Escriban y resuelvan la ecuación que permite calcular el valor de x, sabiendo que el área total de la figura es 45 cm2.

2x + 2 (x – 6) = 28 2x + 2x – 12 = 28 4x – 12 = 28 4x = 28 + 12 4x = 40 x = 40 ÷ 4 x = 10

6 cm

x

Ecuación:

El largo mide 10 cm y el ancho mide 4 cm. El área es de 40 cm2. Integrar al portafolios. Las siguientes son algunas formas de resolver el problema: a) Calcular primero el área del cuadrado rojo (6 cm × 6 cm = 36 cm2); si el área total es de 45 cm2, entonces el rectángulo azul tiene un área de 9 cm2. Como el área del rectángulo azul es 6x, entonces: 6x = 9 x=9÷6 x = 1.5 cm b) Calcular el área roja y sumarle el área azul: 36 + 6x = 45 6x = 45 – 36 6x = 9 x = 0.25 ÷ 6 x = 1.5 cm Si identifica que los alumnos tienen dificultades para plantear la ecuación, presénteles las 2 formas anteriores de resolver el problema.

Sugerencia didáctica. Los alumnos han tenido varias experiencias con problemas de proporcionalidad en distintos contextos, ahora se trata de que vinculen esa experiencia con problemas de área y perímetros. Una vez que hayan resuelto la primera tabla, usted puede hacer un breve recordatorio sobre las características de una relación de proporcionalidad directa, apoyándose en las siguientes preguntas: - Si aumenta la medida del lado ¿aumenta también el perímetro? - Si la medida del lado aumenta el doble, ¿la medida del perímetro también aumenta el doble?

6 cm

2. En cada caso completen la tabla y determinen si se trata de una relación de proporcionalidad directa y justifiquen por qué. a) Perímetro de un cuadrado. Lado del cuadrado (cm)

Perímetro

1 2 3 4

¿Es una tabla de variación proporcional? ¿Por qué? 44

- Si la medida del lado aumenta el triple, ¿la medida del perímetro también aumenta el triple? - ¿Por qué número se multiplica el lado del cuadrado que mide 1 cm para obtener el perímetro? - ¿Se multiplica por el mismo número en todos los casos para obtener la medida del perímetro? (ese número es la constante de proporcionalidad). - Si se divide el perímetro entre la medida del lado, ¿se obtiene siempre el mismo cociente en cada uno de los renglones?

Si la respuesta es afirmativa en cada una de las preguntas, entonces se trata de una relación de proporcionalidad directa: 1. Cuando crece una de las magnitudes, crece la otra. 2. Si una magnitud crece el doble, el triple, etc., la otra también. 3. A la suma de valores de una magnitud le corresponde la suma de valores de la otra magnitud, y a diferencias iguales en una magnitud corresponden diferencias iguales en la otra magnitud. 4. El cociente entre las cantidades de un mismo renglón es siempre el mismo.

44

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MATEMÁTICAS

I

Respuesta. Sí es una relación de proporcionalidad. La constante de proporcionalidad es 4 porque todas las medidas de la primera columna se multiplican por 4 para obtener las medidas de la segunda columna.

En caso de que sí sea de proporcionalidad, ¿cuál es la constante de proporcionalidad? b) Un rectángulo mantiene una base fija de 4 cm y su altura varía. Medida de la altura (cm)

Área

2 3 4 5

Respuesta. Sí es una relación de proporcionalidad. La constante de proporcionalidad es 4 porque todas las medidas de la primera columna se multiplican por 4 para obtener las medidas de la segunda columna.

¿Es una situación proporcional? ¿Por qué? En caso de que sí sea de proporcionalidad, ¿cuál es la constante de proporcionalidad? c) Un rombo mantiene la diagonal menor fija de 3 cm y la mayor varía.

Diagonal mayor (cm)

Área

4 5 7 9

¿Es una situación proporcional? ¿Por qué? En caso de que sí sea de proporcionalidad, ¿cuál es la constante de proporcionalidad?

45

Respuesta. Sí es una relación de proporcionalidad. La constante de proporcionalidad está compuesta por dos operaciones: multiplicar por 3 y dividir entre 2, que es lo mismo que multiplicar por wE o por 1.5. Todas las medidas de la primera columna se multiplican por wE o por 1.5 para obtener las medidas de la segunda, columna.

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secuencia 20 d) Área de un cuadrado. Lado (cm)

Área

2 3

Respuesta. No es una situación de proporcionalidad, por lo tanto no hay constante de proporcionalidad: cada medida de la primera columna se multiplica por un número distinto para obtener las medidas de la segunda columna.

Propósito de la sesión. Resolver problemas que implican conversiones de unidades de superficie.

4 5

¿Es una situación proporcional? ¿Por qué? En caso de que sí sea de proporcionalidad, ¿cuál es la constante de proporcionalidad?

Comenten sus conclusiones; recuerden que en los casos anteriores deben justificar si son o no proporcionales.

sesión 3

Medidas de suPerficie

Para empezar

¿Sabías que el estado más grande de la República Mexicana es Chihuahua? ¿Cuál crees que es su área?

Organización del grupo. Se sugiere que los alumnos resuelvan la sesión organizados en parejas.

a) 245 962 m2. b) 245 962 cm2. c) 245 962 km2.

46

46

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8/25/07 3:03:33 PM

MATEMÁTICAS

I

Posibles procedimientos. Algunas formas de calcular el área, son:

Consideremos lo siguiente El siguiente es un mapa de Aguascalientes. Calculen aproximadamente su área considerando que cada centímetro equivale a 7.5 kilómetros.

1. Cuadricular el mapa. 2. Hacer un polígono que se ajuste

lo más posible al contorno del mapa y dividir el polígono en figuras conocidas; calcular el área de cada figura y después sumarlas.

3. Hacer un rectángulo que cubra

todo el mapa, calcular el área del rectángulo y después restarle el área de las figuras que quedaron dentro y que no corresponden al mapa. Una vez que obtengas el área en centímetros cuadrados, deben transformarla a kilómetros cuadrados. Para ello deben considerar que de acuerdo a la escala que se les da en el problema, 1 cm2 equivale 56.25 km2.

ESCALA: 1 cm: 7.5 km 7.5

0

7.5

15 km

Describan a sus compañeros de grupo la estrategia que siguieron para resolver el problema. En particular, comenten la unidad de área más conveniente para expresar el resultado y las posibles razones de las diferencias entre resultados.

Manos a la obra I. Realicen lo que se pide. a) El siguiente es un centímetro cuadrado (1 cm2); imaginen que lo dividen en cuadrados de un milímetro (1 mm) de lado, es decir, en milímetros cuadrados (mm2).

• ¿A cuántos milímetros cuadrados equivale un centímetro cuadrado?

47

Propósito de la actividad. Para que los alumnos logren construir la idea de que 1 cm2 no equivale a 10 mm2 sino a 100 mm2, así como 1 dm2 equivale a 100 cm2 o a 10 000 mm2, es importante que cuenten con un referente concreto o gráfico en el que puedan visualizar estas equivalencias. Por ello se les presentan los dibujos de 1 cm2 y de 1 dm2, y se les pide los dividan en otras unidades de superficie para que visualicen la equivalencia correspondiente.

Sugerencia didáctica. Si lo considera necesario, puede pedir a los alumnos que construyan con papel el cm2 y el dm2 y que superpongan el primero en el segundo las veces que sea necesario para que vean “cuántas veces cabe” uno en el otro, es decir a cuántos cm2 equivale un dm2.

Posibles errores. La dificultad está en la conversión que hagan de la escala 1:750 000 a cm2. En general, las conversiones de unidades de superficie es un tema difícil para los alumnos porque transfieren las reglas de cambio de las longitudes a las de la superficie. Por ejemplo, si un metro equivale a 10 decímetros, los estudiantes podrían creer que 1 m cuadrado también equivale a 10 dm, cuadrados. En este caso, la escala se refiere a longitudes y no a superficies, por lo que un error probable es que calculen el área en cm2 y crean que hay que multiplicar este resultado por 750 000 para obtener la medida real. Sugerencia didáctica. Procure dar mayor énfasis a las unidades de superficie que utilizaron para expresar el resultado, pídales que las comparen para ver si son equivalentes; esto dará lugar a conversiones de medidas de superficie.

47

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secuencia 20 b) El siguiente es un decímetro cuadrado (dm2). Divídanlo en centímetros cuadrados.

Propósito de la actividad. Es muy común que aun cuando los alumnos hablan del m² no tengan una idea precisa del tamaño de esta unidad de medida, por ello es importante que construyan 1 m² para que tengan un referente de su tamaño y logren hacer estimaciones sobre resultados correctos o incorrectos.

• ¿A cuántos centímetros cuadrados equivale un decímetro cuadrado?

• ¿A cuántos milímetros cuadrados equivale un decímetro cuadrado?

c) Peguen varias hojas de papel o consigan un pliego de papel grande y tracen y recorten un metro cuadrado (m). Luego divídanlo en decímetros cuadrados.

Respuestas. - Un m2 equivale a 100 dm2. (10 dm por lado). - Un m2 equivale a 10 000 cm2. (100 cm por lado). - Un m2 equivale a 1 000 000 mm2. (1 000 mm por lado).

• ¿A cuántos decímetros cuadrados equivale un metro cuadrado?

• ¿A cuántos centímetros cuadrados equivale un metro cuadrado?

• ¿A cuántos milímetros cuadrados equivale un metro cuadrado? Comenten y comparen sus resultados con sus compañeros.

Sugerencia didáctica. Así como es importante que los alumnos puedan estimar el tamaño de 1 m², también es necesario que lo hagan con una hectárea (ha). Procure que efectivamente se haga la medición del patio de la escuela, pues esta actividad les ayudará a estimar, a partir de un referente cercano, cuál es el tamaño de la hectárea. Además de calcular cuánto le falta al patio para ser 1 ha, pueden también calcular cuántos patios como el de su escuela se necesitan para tener esa superficie.

ii. Un hectómetro cuadrado (1 hm2) es el área de un cuadrado que mide 100 metros de cada lado, también se llama hectárea (ha). a) ¿Cuál es el área en metros cuadrados de una hectárea? 48

Respuesta. 1 ha equivale a 10 000 m2 (100 m por lado).

48

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MATEMÁTICAS

I

Sugerencia didáctica. Tener un referente concreto del tamaño de 1 km² es más difícil; no obstante, los alumnos podrían calcular cuántos patios como el de la escuela se requieren para formar 1 km². También podrían partir de algún referente (como la distancia de la escuela a algún punto de la comunidad) que les permita formarse una idea de un 1 km lineal e imaginarse un cuadrado que mida 1 km por lado.

b) ¿Creen que en el patio de su escuela se pueda trazar una figura plana cuya superficie mida una hectárea? c) Organícense en el grupo para que tracen en el patio una superficie de una hectárea. Si no se puede en el patio, calculen cuánto falta para la hectárea. III. Un kilómetro cuadrado es el área de un cuadrado que mide 1 km o 1 000 m por lado. ¿A cuántas hectáreas equivale un kilómetro cuadrado? IV. Completen la tabla. El área de:

Unidad con la que crees que se debe medir

Un estado

km2

Una tela

Respuesta. 1 km2 equivale a 100 ha.

dm2

1 km2 son 1 000 000 m2. 1 ha son 10 000 m2.

ha

Para terminar El área se mide en unidades cuadradas, por ejemplo: Kilómetros cuadrados (km2) Hectáreas (ha) Metros cuadrados (m2)

Algunas equivalencias entre las unidades de área son:

Entonces, en un km2 caben 100 ha.

1 km2 = 100 ha

1 ha = 10 000 m2

5

1 m2 = 10 000 cm2

Centímetros cuadrados (cm2) Milímetros cuadrados (mm2) Medidas de superficie Las unidades de superficie y sus conversiones son muy útiles para la resolución de algunos problemas prácticos relacionados con el cálculo de áreas de terrenos, extensiones territoriales, etc., de ahí la importancia que tiene conocerlas y comprender su uso.

Para saber más Sobre la superficie de los estados consulten: http://cuentame.inegi.gob.mx [Fecha de consulta: 23 de agosto de 2007]. Instituto Nacional de Estadística Geografía e Informática. 49

Propósitos del video. Conocer diferentes unidades para medir áreas y visualizar sus equivalencias.

Sugerencia didáctica. Pida a una pareja de alumnos que elaboren un cartel con esta información para que se cuelgue en alguna parte del salón. Todos los alumnos pueden copiar en el cuaderno esa información e ilustrar algunas medidas, como el cm2 y el dm2. Asimismo, pueden agregar a sus notas las comparaciones que hicieron del patio de la escuela con algunas medidas de superficie (ha y km2). Si lo considera necesario, puede plantear algunas conversiones como las que se sugieren en seguida, para que los alumnos las resuelvan en el cuaderno:

Completen la tabla haciendo las conversiones necesarias: Estados de la República Mexicana

Superficie en km2

Sonora

184 934 49.41

Morelos Oaxaca Distrito Federal

Superficie en ha

95 364 14.99

49

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s e c u e n c i a 21

Propósito de la sesión. Resolver problemas sencillos de cálculo de porcentajes en los que se deba determinar e interpretar porcentajes menores al 100%. Construir tablas para usar técnicas de proporcionalidad directa en la resolución de cálculo de porcentajes.

Porcentajes En esta secuencia aprenderás a resolver problemas que impliquen el cálculo de porcentajes utilizando de manera adecuada las expresiones fraccionarias o decimales.

Organización del grupo. Se sugiere trabajar en parejas durante toda la sesión. Materiales. Calculadora.

sesión 1

Sugerencia didáctica. La resolución de este problema implica aplicar un porcentaje a una cantidad para obtener otra cantidad; en este caso, se trata de aplicar el 13% a 2 000 000. Se espera que los alumnos tengan ya una noción de porcentaje y que cuenten al menos con un procedimiento para calcularlo; sin embargo, es probable que algunos no lo recuerden. Aclare que 13% quiere decir “13 de cada 100”, y que en este caso se trata de calcular q Q p E p de 2 000 000.

Los porcentajes aparecen en distintos contextos de la vida cotidiana, por ejemplo: se usan para calcular descuentos en la compra de artículos, para saber los intereses que cobra un banco por algún préstamo, para presentar datos estadísticos y para muchas otras cosas más. En la secuencia 7 de tu libro de Matemáticas I, volumen I conociste algunos datos acer­ ca de la población en México; una de las principales fuentes de información la proporcio­ na el INEGI (Instituto Nacional de Estadística, Geografía e Informática). Este instituto se encarga de obtener datos por medio de los censos que realiza. Conocer algunas características de la población ayuda a comprender mejor los proble­ mas que tiene el lugar en el que vives.

Consideremos lo siguiente La población de la República Mexicana es de aproximadamente 110 000 000 habitantes y tiene una extensión territorial de alrededor de 2 000 000 de kilómetros cuadrados. En los datos del INEGI se encontró que el estado de Chihuahua ocupa 13% del territorio nacional.

Posibles procedimientos. Una forma de resolver es aplicar sucesivamente las dos operaciones: primero dividir 2 000 000 entre 100, y después multiplicar ese resultado por 13. Otra forma es mediante el algoritmo de la multiplicación por una fracción que estudiaron en la secuencia 10.

¿Cuál es la extensión territorial (en km2) del estado de Chihuahua? Comparen sus respuestas.

Manos a la obra i. En un equipo de otra escuela dijeron que13% de 2 000 000 es: 2 000 000 km2 × 1.3 = 2 600 000 km2

Respuesta. 260 000 km . 2

a) ¿En qué se equivocaron en el equipo de la otra escuela?

Respuestas. a) El procedimiento no puede ser correcto porque el territorio de Chihuahua sería mayor que todo el territorio nacional. b) Multiplicaron por 1.3, y se debe multiplicar por 0.13.

b) ¿Por qué número debieron multiplicar en la otra escuela?

50

Propósitos de la secuencia Resolver problemas que impliquen el cálculo de porcentajes utilizando de manera adecuada las expresiones fraccionarias o decimales.

Eje Manejo de la información.

Tema

Sesión

Proporcionalidad.

Título y propósitos de la sesión

Recursos

1

México en el INEGI Resolver problemas sencillos de cálculo de porcentajes en los que se deba determinar e interpretar porcentajes menores que 100%. Construir tablas para usar técnicas de proporcionalidad directa en la resolución de cálculo de porcentajes.

2

El IVA Resolver problemas de cálculo de porcentajes mayores que 100%.

Aula de medios “El IVA” (Hoja de cálculo)

3

Miscelánea de porcentajes Resolver problemas que impliquen calcular y comparar porcentajes.

Video Los migrantes Interactivo “Porcentajes”

Antecedentes En la escuela primaria los alumnos resolvieron problemas de porcentaje en los que debían averiguar qué parte es una cantidad de otra; definieron el porcentaje de una cantidad como una fracción de la misma, y exploraron diversas estrategias para calcular porcentajes (por ejemplo, obtener porcentajes a partir de 10% y de 1% de una cantidad). En este grado de la escuela secundaria se continúa con la resolución de problemas de ese tipo haciendo el vínculo, en algunos casos, con el estudio de las ecuaciones de primer grado.

México en el ineGi

Para empezar

Vínculos

Interactivo “Porcentajes”

Español I secuencia 10 La jaula de oro

50

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MATEMÁTICAS

I

Sugerencia didáctica. Es posible que algunos alumnos se percaten de que la respuesta que dio el equipo es equivocada, pero que no puedan identificar por cuál número se debió haber multiplicado. Una vez que hayan expresado sus respuestas enfatice que calcular 13% de 2 000 000 implica multiplicar q Q p E p por 2 000 000, y que esa fracción también puede expresarse como 0.13; por lo tanto, los alumnos de la otra escuela debieron haber multiplicado por 0.13.

Comparen sus respuestas y comenten: ¿Cómo encontraron el número por el cual se deben multiplicar los 2 000 000 de kilóme­ tros cuadrados para obtener 13% de éstos? II. Completen la siguiente tabla para encontrar la extensión territorial que ocupa el estado de Chihuahua. Porcentaje de la extensión territorial

Extensión territorial (km2)

100%

2 000 000

20 000

1%

13%

360 000

Propósito de la actividad. Utilizar tablas para que los alumnos identifiquen y se apoyen en algunas propiedades de la proporcionalidad que les permitan resolver este tipo de problemas.

Tabla 1 Comparen sus tablas y comenten: a) ¿Por qué número hay que dividir los 2 000 000 de kilómetros cuadrados para obtener 1% de la extensión territorial del país? b) ¿Por qué número hay que multiplicar los 2 000 000 de kilómetros cuadrados para obtener 13% de la extensión territorial del país?

Respuestas. a) Hay que dividir entre 100. b) Hay que multiplicar por 0.13 o por q Q p E p .

III. Completen la siguiente tabla para saber el porcentaje que representan del total de la extensión territorial del país algunos estados de la República Mexicana. Territorio que ocupa (km2)

Nombre del estado

Porcentaje que representa del total del territorio nacional

Aguascalientes

1%

20 000

Tamaulipas

9%

180 000

Oaxaca

5%

100 000 Tabla 2 51

Sugerencia didáctica. Lea junto con los alumnos la información de la tabla y pregúnteles en qué consiste la actividad. Recuérdeles que la cantidad que representa el 100% del territorio nacional es 2 000 000 km2. De acuerdo con lo que hicieron en la actividad anterior, pregunte al grupo: ¿Por cuánto deben multiplicar en cada uno de los casos para obtener el territorio

que ocupa cada estado? Si nota que los alumnos aún tienen dificultades para resolver esta actividad, pueden completar la tabla en grupo. También puede hacerles notar que a partir de la obtención del 1% del territorio nacional (Aguascalientes), puede calcularse lo que corresponde al resto de los estados.

Sugerencia didáctica. Reproduzca la tabla en el pizarrón y enfatice lo siguiente: - En la columna que representa el porcentaje, para pasar de 100% a 1% se divide entre 100. Por ello, en la columna correspondiente a la extensión territorial, 2 000 000 también deben dividirse entre 100 para obtener lo que corresponde a 1%. - En la columna que representa el porcentaje, para pasar de 1% a 13% se multiplica por 13. Por ello, en la columna de la extensión territorial debe multiplicarse 20 000 km (1%) por 13, para obtener lo que corresponde a 13%. - Dividir entre 100 y luego ultiplicar por 13, es lo mismo que multiplicar por q Q p E p o por 0.13.

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2

s e c ue n c ia 21

A lo que llegamos

Sugerencia didáctica.

El porcentaje se puede calcular de varias maneras. Por ejemplo, para calcular 18% de la extensión territorial del país se pueden hacer las siguientes multiplicaciones:

A partir del ejemplo que aquí se da, destaque lo siguiente: - Un porcentaje puede interpretarse como “x de cada 100” (18 de cada 100, 20 de cada 100, etc.). - Para calcular el porcentaje de una cantidad se multiplica esa cantidad por el porcentaje expresado con una fracción (en la que el denominador es 100) o con un número decimal (centésimos). - Otra forma de calcular el porcentaje es apoyándose en una tabla en la que se calcula lo que corresponde al 1%; esto se obtiene dividiendo entre 100 la cantidad que corresponde al 100%. Una vez que se ha obtenido el 1%, se multiplica esa cantidad por el porcentaje buscado (en el caso del ejemplo es por 18). Hacer esas 2 operaciones es lo mismo que multiplicar por la fracción decimal o por el número decimal expresados en centésimos.

• 2 000 000 km2 ×

También se puede completar la siguiente tabla: Porcentaje de la extensión territorial

Posibles procedimientos. Es probable que los alumnos no conozcan una forma sistemática de resolver este tipo de problemas, por lo que pueden hacer una estimación y luego irse aproximando al resultado poco a poco. Por ejemplo, si suponen que es alrededor de 10% y hacen el cálculo aplicando ese porcentaje, obtendrán la cantidad de 11 000 000, que es cercana a 8 800 000. A partir de ahí pueden probar con otros porcentajes menores hasta llegar a 8%, que es el porcentaje correcto. No es necesario que espere a que todo el grupo termine ni que lo resuelvan correctamente, pues la misma lección ofrece de inmediato un procedimiento de resolución; lo importante es que los alumnos tengan la oportunidad de enfrentarse al problema.

Extensión territorial (en km2)

100 %

2 000 000

1%

20 000

18 %

360 000

×H , G $ G

÷ 100 × 18

iV. En los datos del INEGI se encontró que el Distrito Federal tiene aproximadamente 8 800 000 habitantes. Del total de la población del país, ¿cuál es el porcentaje que representa el Distrito Federal? Para encontrar el porcentaje de habitantes que tiene el Distrito Federal respecto del total de la población del país, pueden usar un diagrama como el siguiente:

110 000 000

×

____________

Número buscado

8 800 000

=

Número de habitantes Número buscado del paîs Luego hagan la siguiente división

Propósito de la actividad. Se trata de determinar el porcentaje que representa una cantidad con respecto a otra. Los alumnos deberán averiguar qué porcentaje representan 8 800 000 habitantes si el 100% son 110 000 000 habitantes. Sugerencia didáctica. Antes de que los alumnos resuelvan, pídales que hagan una estimación: ¿Será 50%? ¿Será más o menos 50%?

= 360 000 km2, o bien

H,G$G

• 2 000 000 km2 × 0.18 = 360 000 km2

Número de habitantes del Distrito Federal

=

HH$$G+G+G+G+G+GG=

Finalmente, escriban el número que obtuvieron como una fracción con denominador 100. Número buscado

= HG G

Comparen sus respuestas. 52

Sugerencia didáctica. Aproveche este momento de comparación de respuestas, para hacer algunas precisiones sobre el procedimiento que se sugiere. Reproduzca en el pizarrón el diagrama y plantee a los alumnos las siguientes preguntas: ¿Cuál es la operación que nos permite encontrar el número buscado? ¿Cuál es la operación inversa de la multiplicación? Una vez que los alumnos hayan identificado esa operación (lo estudiaron en la secuencia 18), señale que en este tipo de problemas, en los que se trata de determinar qué porcentaje representa una cantidad, el número buscado es una fracción con denominador 100 o un número decimal.

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MATEMÁTICAS

I

A lo que llegamos Para saber el porcentaje que representan los 8 800 000 habitantes que hay en el Distrito Federal respecto del total de la población, se puede hacer lo siguiente: Dividir 8 800 000 entre 110 000 000

HH$$G+G+G+G+G+GG



= 0.08 = H $ G G

Entonces 8 800 000 habitantes representan 8% de los 110 000 000 de habitantes que hay en el país. V. Completen la siguiente tabla para saber qué porcentaje representa el número de ha­ bitantes de los estados que en ella aparecen: Nombre del estado

Número de habitantes Porcentaje que representa que tiene respecto del total de la población

Sonora

2 200 000

Distrito Federal

8 800 000

Jalisco

6 600 000

2% 8%

6%

Tabla 3

el iVA

sesión 2

Para empezar

Propósito de la sesión. Resolver problemas de cálculo de porcentajes mayores al 100%.

En México se deben pagar impuestos al gobierno por algunos de los servicios y productos que se consumen. Por ejemplo, por el teléfono y la gasolina se paga el Impuesto al Valor Agregado (IVA), que es 15% del valor del producto o servicio. El total a pagar por un producto con IVA es: el precio del producto más 15% del precio. Completen la siguiente tabla para calcular el total a pagar por algunos productos. Producto

Integrar al portafolios. Si identifica que los alumnos tienen dificultades para resolver este problema, revise nuevamente con ellos el procedimiento que se describe en el último apartado A lo que llegamos de esta sesión. Además, cuando se haga la revisión colectiva de los resultados, usted puede plantear preguntas como las siguientes: ¿Qué número multiplicado por 110 000 000 da 2 200 000? ¿Qué número multiplicado por 110 000 000 da 6 600 000? Los alumnos deben concluir que ese número es el porcentaje que encontraron pero expresado con una fracción o con un número decimal.

Precio del producto sin IVA (en pesos)

IVA a cobrarse (en pesos)

Cantidad total a pagar por el producto con IVA (en pesos)

2 100

315

2 415

500

75

575

15 100

115

45 300

345

Organización de grupo. Se sugiere que los alumnos trabajen en parejas durante toda la sesión.

Tabla 1 53

Propósito del interactivo. Resolver problemas que impliquen el cálculo de porcentajes.

Sugerencia didáctica. En los dos primeros renglones se trata de aplicar un porcentaje a una cantidad para obtener otra cantidad. Puede recomendar a los alumnos que revisen nuevamente el primer apartado A lo que llegamos de la sesión anterior (deben multiplicar el precio del producto sin IVA por q Q p T p o por 0.15).

En los dos renglones siguientes se trata de que a partir de una cantidad que representa un porcentaje (el 15%), se calcule la cantidad que representa el 100%. Es probable que los alumnos tengan mayores dificultades para este último tipo de problemas. Permita que intenten resolverlos aun cuando no logren completar toda la tabla.

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sec u enc i a 21

Sugerencia didáctica. Reproduzca la tabla en el pizarrón para hacer el siguiente análisis con los alumnos: - En la primera columna, para pasar de 15% a 1%, dividimos entre 15; por lo tanto, en la segunda columna también debemos dividir $45 entre 15. Obtenemos $3. - Para pasar de 1% a 100% en la primera columna, multiplicamos por 100. De la misma manera, en la segunda columna multiplicamos $3 por 100, y obtenemos $300, que es el precio del taladro sin IVA.

a) Completen la siguiente tabla para encontrar el precio del taladro: Porcentaje

Cantidad correspondiente al porcentaje

15%

$45

1%

$3 $300

100%

Tabla 2 Comparen sus resultados y comenten: ¿Por qué el 100% del precio del taladro es el precio del taladro? b) En su cuaderno hagan una tabla como la anterior para encontrar el precio de la licua­ dora.

Cuando se conoce un porcentaje del precio de un producto, se puede encontrar el precio o el 100% usando tablas. Por ejemplo, si se sabe que 17% del precio de una radiograbadora son $85.00, se completa la siguiente tabla: Porcentaje

Cantidad correspondiente al porcentaje

17 %

Propósito de la pregunta. Que los alumnos se familiaricen con el hecho de que una cantidad representa el 100% de sí misma, esto les permitirá darle sentido a los porcentajes mayores de 100.

$ 85.00

1%

$ 5.00

100 %

$ 500.00

Entonces, el precio de la radiograbadora es de $500.00. Éste es 100% del precio.

Consideremos lo siguiente

Sugerencia didáctica. Una vez que los alumnos hayan comparado y corregido sus respuestas, haga un análisis similar al que se sugiere para el caso del taladro:

La ilustración que se muestra es una copia de un recibo telefónico en la que faltan algunas de las cantidades que se cobraron.

Cantidad correspondiente al porcentaje 15%

$15

1%

$1

100%

$100

- Para pasar de 15% a 1% en la primera columna, se divide entre 15; de la misma manera, en la segunda columna se divide $15 entre 15, y se obtiene $1. - Para pasar de 1% a 100%, se multiplica por 100 en la primera columna. Por lo tanto, en la segunda columna también se multiplica $1 por 100. - Enfatice que el 100% de una cantidad puede interpretarse como 100 partes de 100.

54

4 Sugerencia didáctica. Antes de que las parejas resuelvan el problema inicial, invite a los alumnos a leer el recibo que se les presenta. Pueden comentar a qué se refieren algunos de los conceptos que aparecen en el recibo, como renta, larga distancia internacional, etcétera. Esto les permitirá tener una idea más clara sobre el contexto del problema que se está trabajando, lo que a su vez les ayudará a tener un mayor control sobre sus procedimientos y resultados.

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I

MATEMÁTICAS

Posibles procedimientos. Es muy probable que los alumnos tengan dificultades al resolver este problema, pues es la primera vez que enfrentan una situación en la que el total representa más de 100%. Una forma de determinar el subtotal del mes es por ensayo y error: estimar una cantidad, obtener el 15% de ella, sumar la cantidad más su 15% y ver si se obtiene 2 300. Si no es así, pueden ir aumentando o disminuyendo la cantidad que estimaron inicialmente hasta dar con la correcta. Un posible error es que calculen el 15% de 2 300, que es el total a pagar. Permita que exploren el problema y que lo resuelvan con los procedimientos que ellos decidan; posteriormente, en el apartado Manos a la obra podrán conocer formas correctas de resolver el problema.

El subtotal del mes es el costo del servicio telefónico. En el recibo telefónico de la ilustra­ ción anterior aparece la cantidad total a pagar, pero no cuánto se está pagando de IVA. Respondan las siguientes preguntas: a) ¿Cuánto dinero se está cobrando por el IVA en el recibo telefónico de la ilustración? b) ¿Cuánto es el subtotal del mes? Comparen sus respuestas.

Manos a la obra I. Un equipo de otra escuela hizo lo siguiente para responder las preguntas anteriores: Total a pagar con IVA ($2 300)

= subtotal del mes + 15% del subtotal del mes = = 115% del subtotal del mes.

Luego hicieron la siguiente tabla para encontrar el subtotal del mes y el IVA. Compléten­ la ustedes: Porcentaje

Cantidad correspondiente al porcentaje (en pesos)

115%

2 300

1%

20 Éste es el subtotal del mes

100%

15%

Éste es el IVA que se pagó

Comenten en grupo lo siguiente a) ¿Ustedes usaron algún procedimiento parecido?

Respuesta. a) $300. b) $2 000 (restando el subtotal a 2 300 se encuentra el IVA).

b) ¿Es cierto que el total a pagar es igual a 115% del subtotal del mes? Verifiquen los resultados de la tabla con los que ustedes obtuvieron.

II. Si de larga distancia nacional se está cobrando en total $230.00 incluyendo el IVA, ¿cuánto es de larga distancia nacional sin IVA?

55

Sugerencia didáctica. Reproduzca la tabla en el pizarrón para que alguna pareja pueda registrar en ella sus respuestas; pida a esa pareja que explique cómo encontraron los resultados. Una vez que todo el grupo esté de acuerdo con las respuestas, comenten los incisos a) y b). Es importante que a los alumnos les quede claro que efectivamente el total a pagar es igual que 115% del subtotal del mes, porque ese porcentaje resulta de sumar 100% del precio más 15% del IVA.

Propósito de la actividad. Que los alumnos conozcan un procedimiento de solución que se basa en la elaboración de tablas y en algunas propiedades de la proporcionalidad. Sugerencia didáctica. Invite a los alumnos a resolver el problema utilizando la tabla de la manera en que se mostró en el problema anterior.

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Respuestas. a) $500. Se divide 575 entre 115 para obtener el 1%, luego se multiplica por 100. b) $250. Integrar al portafolios. Si advierte que los alumnos tienen dificultades para completar la tabla, analice junto con ellos cada uno de los casos para que identifiquen cuál es el dato que se desconoce y qué es lo que tienen que hacer: aplicar un porcentaje a una cantidad (primer renglón de la tabla), determinar qué porcentaje representa una cantidad con respecto a otra (segundo renglón) y determinar la base de un porcentaje (tercer renglón). Según sea la manera en que se utiliza el porcentaje en cada caso, revise con ellos nuevamente el apartado A lo que llegamos de esta sesión y de la sesión 1. Sugiérales también que elaboren tablas para resolver aquellos casos que les resulten más difíciles. Respuestas. - Para el caso de la plancha, 10% de 150 son $15. Se resta 150 – 15, el precio es $135. - Para el tostador, la diferencia entre el precio original y el precio con descuento es de $45, y 45 es el 15% de 300. - Para la lavadora, el precio original es de $423.07. El precio con el descuento es el 78% del precio original.

sec u enc i a 21

A lo que llegamos Como habrás notado en los problemas de esta sesión, no todos los porcentajes son menores a 100. En la vida diaria encontramos porcentajes mayores que 100%. Por ejemplo, cuando se paga un producto o servicio que tiene el impuesto del IVA, en realidad se está pagando el 115% del precio original del producto.

Lo que aprendimos 1. En su cuaderno resuelvan los siguientes problemas. a) Pedro compró una chamarra y le cobraron $575.00. Este precio ya tiene el IVA incluido. ¿Cuál es el precio de la chamarra sin el IVA? b) El precio de un pantalón es de $287.50 ya con el IVA incluido. ¿Cuál es el precio del pantalón sin el IVA? 2. Los productos de la siguiente tabla tienen distintos porcentajes de descuento. Com­ pleten la tabla.

Producto

Precio original del producto (pesos)

Descuento

150

10%

300

255

22%

sesión 3

Precio con el descuento (pesos)

330

MisceláneA de porcentAjes

Para empezar Los migrantes

Una fuente importante de dinero que ingresa a México son las remesas. Las remesas son el dinero que envían los migrantes mexicanos a sus familiares o amigos y provienen principalmente de los Estados Unidos de América. En la secuencia 10, La jaula de oro, del libro de Español I, volumen II estudiarás algunos de los aspectos de los migrantes mexicanos que viven en los Estados Unidos de América. 56

Propósito de la sesión. Resolver problemas que impliquen calcular y comparar porcentajes.

Propósito del video. Practicar el cálculo de porcentajes en la solución de problemas.

Organización del grupo. Se sugiere que entre todos analicen la información que se presenta al principio de la sesión, y que posteriormente resuelvan organizados en parejas.

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8/25/07 3:04:21 PM

MATEMÁTICAS

I

Sugerencia didáctica. Una vez que los alumnos hayan leído la información que se presenta en el cartel y antes de que resuelvan el problema, motívelos para que comenten si tienen algún familiar que envíe dinero desde los Estados Unidos a México, o si saben algo sobre los servicios de las compañías que se mencionan o de otras.

Lo que aprendimos 1. Pedro es un migrante mexicano que vive en los Estados Unidos. Quiere mandar dine­ ro a sus familiares y encontró la siguiente información en un cartel: Existe una gran cantidad de opciones para realizar envíos de dinero de Estados Unidos a México. Como el costo y las características del envío varían según la empresa que utilices, es muy importante comparar opciones antes de enviar tu dinero. Es común que los envíos de dinero se hagan por cantidades fijas de 300 dólares. En la tabla de abajo se compara la cantidad de dinero que entregan en México algunas de las principa­ les empresas al enviar 300 dólares desde Estados Unidos. Envíos de 300 dólares Pesos entregados en México por

Nombre de la empresa

300 dólares enviados desde EUA

Northwestern Union

3 299.40

Cash Gram

3 291.32

Commission Express

3 290.84

Cash­check

3 213.52

Notas: 1. La cotización de referencia, al 25 de octubre de 2004, es de $11.70, es decir, 1 dólar equivale a $11.70. 2. Como las condiciones y costos de cada empresa varían, se recomienda consultar direc­ tamente con las instituciones de su preferencia. 3. Los envíos están estandarizados en 300 usd por envío, es decir, hay que enviar exacta­ mente esta cantidad de dinero en cada envío.

Para calcular cuánto le cobra Northwestern Union por el envío, Pedro hizo lo siguiente: 300 dólares × $11.70 = $3 510

$3 510 – $3 299.40 = $2 10.60 Contesten: a) ¿Qué porcentaje del dinero enviado cobra esta empresa? 57

Sugerencia didáctica. Solicite a los alumnos que traten de resolver el problema en sus cuadernos; anímelos para que algunos de ellos comenten sus procedimientos y resultados con todo el grupo. Invite a los demás alumnos a que participen dando opiniones o sugerencias sobre los procedimientos y resultados que presenten sus compañeros a todo el grupo. Respuesta. Se divide la comisión entre el total de dinero: 210.60 entre 3 510. Obtenemos 0.06, que es el 6%.

57

MAT1 B3 S21 maestro.indd 57

8/25/07 3:04:24 PM

Sugerencia didáctica. Una vez que haya acuerdos sobre el resultado del problema anterior y que se haya compartido al menos un procedimiento de resolución con todo el grupo, solicite a los alumnos que completen la tabla. Posteriormente puede preguntar: ¿Cuál es la opción que mejor conviene a Pedro? ¿Por qué?

sec u enc i a 21 b) Completen la siguiente tabla para determinar el porcentaje del dinero enviado que cobran estas empresas.

Respuesta. Northwestern Union: 6% (primero se resta 3 510 menos los pesos recibidos, y la cantidad obtenida se divide entre 3 510).

Nombre de la empresa

Pesos recibidos por 300 dólares

Porcentaje que cobra la empresa

Northwestern Union

3 299.40

6%

Cash Gram

3 291.32

6.23%

Commission Express

3 290.84

6.24%

Cash-check

3 213.52

8.44%

c) ¿Cuál es la empresa que cobra menor porcentaje?

Propósito del interactivo. Resolver problemas que impliquen el cálculo de porcentajes.

2. Un productor de piñas vende su cosecha al distribuidor en $0.75 el kilogramo. En el supermercado se venden en $4.50 el kilogramo. a) Si el kilogramo de piña se hubiera vendido en el super­

Respuestas.

mercado al doble de su precio original (es decir, a $1.50), ¿en qué porcentaje se habría incrementado el

a) Se incrementaría el 100%.

precio del kilogramo de piñas?

b) Se incrementaría el 200%. Posibles errores. Algunos alumnos podrían responder que en el inciso a) aumenta 200% y que en el inciso b) aumenta 300%.

b) Si el kilogramo de piña se hubiera vendido en el super­ mercado al triple de su precio original (es decir, a $2.25), ¿en qué porcentaje se habría incrementado el precio del kilogramo de piñas?

58

Usted puede ayudarles aclarando lo siguiente: - En el inciso a), la diferencia entre el precio original (0.75) y el precio final (1.50) es de 0.75. Esta diferencia representa el 100% del precio original, por lo tanto, el porcentaje de incremento es de 100%. - En el inciso b), la diferencia entre el precio original (0.75) y el precio final (2.25) es de 1.50. Esta diferencia es el 200% del precio original, por lo tanto, el porcentaje es de 200%.

58

MAT1 B3 S21 maestro.indd 58

8/25/07 3:04:27 PM

MATEMÁTICAS

I

Completen la siguiente tabla para encontrar el porcentaje en que se incrementará el precio de las piñas. Precio al que el supermercado vende el kilogramo de piña

Porcentaje de incremento en el precio respecto al precio original

$1.50

100%

$3.00

300%

$4.50

500%

Respuestas. $4.90. Porque el 350% de 1.40 es 4.90.

3. Un productor de melones vendió su cosecha al distribuidor en $1.40 el kilo­

a) $250. Porque si 27.50 es el 11%, el 1% es 2.50. El 100% es 250.

gramo. El distribuidor vendió el kilogramo de melón en $350% de su precio original. ¿En cuánto se vendió el kilogramo? a) Si 11% del precio de un aparato telefónico es $27.50, ¿cuál es el precio

b) $150. Porque 37.50 es el 25%, el 1% es 1.5. El 100% es 150.

del aparato telefónico? b) Si 25% del precio de un libro es $37.50, ¿cuál es el precio del libro?

Para saber más Sobre la población, las extensiones territoriales y algunas otras características de los estados de la República consulta: http://www.inegi.gob.mx [Fecha de consulta: 28 de julio de 2006]. Instituto Nacional de Estadística Geografía e Informática. Sobre los envíos de dinero de los Estados Unidos de América a la República Mexicana consulta: http://www.condusef.gob.mx [Fecha de consulta: 23 de agosto de 2007]. Ruta: Información sobre otros sectores centros cambiarios. Comisión Nacional para la Protección y Defensa de los Usuarios de Servicios Financieros. (Condusef). Debes tomar en cuenta la comisión y el tipo de cambio que cada compañía te ofrece; mientras más elevada sea la comisión y más bajo el tipo de cambio, menor será la cantidad de dinero que reciban los beneficiarios. 59

59

MAT1 B3 S21 maestro.indd 59

8/25/07 3:04:30 PM

secuencia 22

Propósito de la sesión. Reconocer las ventajas de presentar información en tablas.

Tablas de frecuencia

Organización del grupo. Trabajar en parejas durante toda la sesión intercalando momentos para comparar resultados y comentar conclusiones de manera grupal.

En esta secuencia interpretarán y comunicarán información mediante la lectura, descripción y construcción de tablas de frecuencia absoluta y relativa. sesión 1

Material. Calculadora.

Para presentar un número pequeño de datos basta con enunciarlos o enumerarlos ordenadamente. Por ejemplo, las calificaciones de un alumno en los 5 bimestres de Matemáticas son: 10.0, 9.0, 9.0, 8.0, 8.0. Sin embargo, cuando el número de datos es grande, conviene recurrir a una tabla de frecuencias para poder hacer un análisis más completo o para tener una idea más clara de la información obtenida.

Consideremos lo siguiente

Propósito de la actividad. La intención es hacer sentir a los alumnos la conveniencia de organizar los datos para analizarlos. Aunque desde la escuela primaria los alumnos han utilizado, elaborado y completado tablas, quizá no recurran a ellas para responder las preguntas de los incisos a), b) y c). Acérquese a las parejas mientras trabajan para conocer qué estrategias utilizan.

Los alumnos de primer grado de una escuela secundaria participaron en una competencia de atletismo. A continuación se presentan los tiempos, en segundos, que hicieron 30 alumnos en la carrera de 1 000 metros y el grupo al que pertenece cada uno. 320 (1°C) 330 (1°A)

300 (1°C) 320 (1°A)

340 (1°B) 330 (1°C)

300 (1°B)

320 (1°A)

350 (1°C)

330 (1°B)

340 (1°C)

340 (1°B)

330 (1°B)

340 (1°A)

340 (1°C)

320 (1°A)

320 (1°A)

340 (1°A)

320 (1°C)

360 (1°A)

300 (1°B)

330 (1°B)

360 (1°C)

340 (1°B)

350 (1°C)

340 (1°A)

c) ¿Cuál es el tiempo en el que se registró el mayor número de alumnos que terminaron la competencia? d) Considerando los resultados por grupo, ¿en cuál hubo más alumnos que terminaron antes de 340 segundos? 60

Propósitos de la secuencia Interpretar y comunicar información mediante la lectura, descripción y construcción de tablas de frecuencia absoluta y relativa.

Sesión Título y propósitos de la sesión

Recursos

Vínculos

Video Un recorrido por el origen de la estadística Aula de medios “¿Quién llegó primero?” (Hoja de cálculo)

1

¿Quién llegó primero? Reconocer las ventajas de presentar información en tablas.

2

Tabla de frecuencia relativa Elaborar e interpretar tablas de frecuencia relativa.

Aula de medios “Tabla de frecuencia relativa” (Hoja de cálculo)

3

La tabla representa… Resolver problemas mediante la elaboración e interpretación de tablas de frecuencia absoluta y relativa, expresada como fracción, decimal o porcentaje.

Aula de medios “La tabla representa…” (Hoja de cálculo)

Antecedentes Durante la escuela primaria los alumnos han organizado y analizado la información contenida en tablas, ahora se espera que aborden otros aspectos, como la frecuencia relativa y absoluta expresada de distintas maneras.

330 (1°A) 360 (1°B)

b) ¿Qué diferencia de tiempo hay entre el primero y el último lugar de la carrera?

Tema Representación de la información.

350 (1°B) 340 (1°C)

a) ¿Cuánto tiempo registró el ganador de la carrera?

Respuestas. a) Hubo tres alumnos empatados en el primer lugar que hicieron la carrera en 300 segundos. b) 60 segundos. c) 340 segundos; 9 alumnos hicieron ese tiempo. d) En 1º A. Hay 6 alumnos que terminaron antes de 340 segundos (hubo 5 en 1º B y 4 en 1º C).

Manejo de la información.

Para empezar

Un recorrido por el origen de la estadística

Propósito del video. Conocer el origen y la importancia de la estadística. Identificar situaciones en las cuales es necesario organizar y representar la información.

Eje

¿Quién llegó primero?

Geografía I Secuencia 7

60

MAT1 B3 S22 maestro.indd 60

8/25/07 3:04:49 PM

MATEMÁTICAS

I

Comenten qué grupo consideran que tuvo mejor desempeño en la competencia y por qué. Además, digan cómo organizaron los datos para responder las preguntas. ¿A cuántos minutos equivale el tiempo registrado por el primer lugar?

Manos a la obra I. Una forma de organizar y presentar los resultados de la competencia es mediante una tabla de frecuencias. Contesten las siguientes preguntas para construirla. a) ¿A qué se refieren los datos que aparecen en el listado anterior?

b) ¿Cuántos grupos participaron en la competencia? Recuerden que: el La frecuencia es es número de vec da que aparece ca valor.

c) ¿Cuáles fueron esos grupos? d) ¿Cuántos tiempos diferentes se registraron en la competencia? e) ¿Cuáles fueron esos tiempos? f) Completen la siguiente tabla de frecuencias.

Tabla de frecuencias del tiempo realizado en la carrera de 1 000 metros por grupo

Grupos 1° A

Tiempos Conteo

300

340

1° B

Frecuencia

Conteo

1° C

Frecuencia

Total

Conteo

Frecuencia

II

2

Propósito de la actividad. Se pretende que los alumnos analicen los datos para valorar qué grupo tuvo un mejor desempeño, lo cual puede variar dependiendo de qué criterios utilicen. Por ejemplo, en 1º B hay 2 alumnos que quedaron en primer lugar, sin embargo, en 1º A hay más alumnos que terminaron la competencia antes de 340 segundos. Invite a los alumnos a que justifiquen sus respuestas. Propósito de la actividad. Con estas preguntas se pretende que el alumno vaya identificando los elementos que entran en juego en la elaboración de la tabla (qué tipo de datos se están organizando, cuántos son, etc.).

0

Ill

3

9

350 3

61

61

MAT1 B3 S22 maestro.indd 61

8/25/07 3:04:52 PM

Sugerencia didáctica. Comenten las respuestas del inciso e). Es importante que se den cuenta de que un conjunto de datos se puede analizar mirándolo desde distintos ángulos, por ejemplo, ver los resultados por grupo o ver los de todos los grupos.

secuencia 22 ii. Usen la información que proporciona la tabla para contestar las siguientes preguntas. a) ¿Cuál fue el mejor tiempo que se registró en el grupo 1° A en la carrera? ¿A cuántos minutos corresponde ese tiempo? b) ¿Cuántos alumnos de 1° A hicieron menos de 340 segundos? c) ¿Cuántos alumnos de 1° A llegaron a la meta en 330 segundos? d) ¿Cuántos del 1° B?

Respuestas. a) Fue de 320 segundos, que son 5 minutos y 20 segundos. b) 6 alumnos. c) 2 alumnos. d) 3 del 1º B y 1 del 1º C. e) Fue 340 segundos (9 alumnos llegaron en ese tiempo). Sólo en 1º A es más frecuente otro tiempo: 320 segundos.

¿Y cuántos del 1° C?

e) Considerando los resultados de los tres grupos, ¿cuál es el tiempo registrado en que más alumnos llegaron juntos a la meta?

Compara ese

tiempo con el más frecuente por grupo, ¿en qué caso o casos fue diferente?

iii. Consideren las siguientes afirmaciones y marquen el cuadro de la “V” si es verdadera o el de la “F” si es falsa, a partir de la información que proporciona la tabla de frecuencias. V F

F

• En el grupo de 1° B hubo más alumnos que hicieron 330 que 340 segundos. • Hay más alumnos de 1° C que de 1° A que hicieron menos de 320 segundos. • En total, hay más alumnos que lograron llegar en primer lugar que en último lugar.

V F

A lo que llegamos Una tabla de frecuencias es una forma de resumir datos. En ella se presentan en orden creciente los valores observados, así como sus respectivas frecuencias. El organizar los datos en una tabla de frecuencias permite contar con una visión global e inmediata del comportamiento de la situación que se analiza. Por ejemplo, en la tabla se observa fácilmente cuántos alumnos lograron el primer lugar y a qué grupo pertenecen, lo cual no ocurre con el listado de números. La suma de las frecuencias absolutas siempre es igual que el total de los datos considerados, es decir, que la población, en este caso los 30 alumnos que participaron en la competencia. 62

62

MAT1 B3 S22 maestro.indd 62

8/25/07 3:04:54 PM

MATEMÁTICAS

I

Sugerencia didáctica. Es posible organizar los datos de diferentes maneras (en la secuencia 8 los alumnos aprendieron esto) y encontrar las distintas relaciones que se dan entre ellos. En esta situación los alumnos están organizando datos cualitativos (de cualidad): si la persona es hombre o mujer; y cuantitativos (de cantidad): qué edad tiene. Sugiera a los alumnos que lean las preguntas de los incisos a) al f) para decidir de qué manera les conviene organizar la información.

Lo que aprendimos La edad y el sexo de un grupo de personas que se encuentran en una reunión son los siguientes: 38 (M)

8 (M)

68 (H)

17 (H)

11 (M)

33 (H)

15 (M)

45 (H)

10 (H)

57 (H)

27 (M)

23 (M)

20 (H)

45 (H)

20 (M)

25 (M)

40 (H)

8 (M)

23 (H)

49 (M)

33 (H)

27 (H)

48 (H)

10 (H)

28 (M)

31 (M)

36 (M)

5 (H)

39 (H)

45 (M)

45 (H)

23 (H)

45 (M)

8 (H)

48 (M)

20 (M)

33 (M)

22 (H)

55 (M)

33 (H)

45 (H)

40 (H)

52 (M)

15 (M)

5 (H)

65 (M)

3 (M)

15 (H)

15 (M)

8 (M)

a) En su cuaderno, organicen los datos en una tabla de frecuencias. Decidan cuál información va en las columnas y cuál en los renglones. Pónganle el título a la tabla y a cada una de las columnas.

Respuestas. b) 50 personas. c) Igual, 25 hombres y 25 mujeres. d) 45 años. Hay 6 personas con esa edad. e) 11 personas de 20 a 29 años, 6 mujeres y 5 hombres. f) 18 personas eran mujeres y tenían menos de 40 años.

b) ¿Cuántas personas asistieron a la reunión? c) ¿Qué hubo más, hombres o mujeres? d) De las personas que asistieron, ¿cuál fue la edad más frecuente? e) ¿Cuántas personas del grupo tenían de 20 a 29 años?

Y de ese gru-

po de edades, ¿qué hubo más, hombres o mujeres? f) ¿Cuántas personas eran mujeres y tenían menos de 40 años?

63

63

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8/25/07 3:04:56 PM

Propósito de la sesión. Elaborar e interpretar tablas de frecuencia relativa.

secuencia 22 sesión 2

Para empezar

En la sesión anterior construiste la tabla de frecuencias de la siguiente situación.

Organización del grupo. Forme parejas de alumnos para las dos primeras partes de la sesión y equipos para la tercera. La última se sugiere que la resuelvan de manera individual. Sugerencia didáctica. Comente con los alumnos la información de las tablas. Los datos están organizados por género y por intervalos de edad: se cuenta a todas los hombres (o mujeres) que tienen de 0 a 9 años y el resultado se pone en la columna de frecuencia. Se va haciendo lo mismo con las que tienen de 10 a 19, de 20 a 29, etcétera. La columna de “frecuencia relativa” está dividida en 2 para expresarla con una fracción y con un número decimal. La fracción puede leerse así: “3 de cada 25 hombres tienen entre 0 y 9 años”. Diga a los alumnos que pueden utilizar la calculadora para encontrar la expresión decimal de la frecuencia relativa. La columna de “porcentaje” puede interpretarse como: “del total de hombres, el 12% tienen entre 0 y 9 años”. Puede preguntar a los alumnos: si el total de hombres fuera 100 y el 12% tuvieran entre 0 y 9 años ¿cuál sería la frecuencia?, ¿cuál sería la frecuencia relativa?

Tabla de frecuencias relaTivas

La edad y el sexo de un grupo de personas que se encuentran en una reunión son las siguientes: 38 (M)

8 (M)

68 (H)

17 (H)

11 (M)

33 (H)

15 (M)

45 (H)

10 (H)

57 (H)

27 (M)

23 (M)

20 (H)

45 (H)

20 (M)

25 (M)

40 (H)

8 (M)

23 (H)

49 (M)

33 (H)

27 (H)

48 (H)

10 (H)

28 (M)

31 (M)

36 (M)

5 (H)

39 (H)

45 (M)

45 (H)

23 (H)

45 (M)

8 (H)

48 (M)

20 (M)

33 (M)

22 (H)

55 (M)

33 (H)

45 (H)

40 (H)

52 (M)

15 (M)

5 (H)

65 (M)

3 (M)

15 (H)

15 (M)

8 (M)

Sin embargo, esta información se puede presentar de otra manera, en la que las edades se agrupan en intervalos y se dan las frecuencias absoluta y relativa y el porcentaje de cada intervalo.

Consideremos lo siguiente En las siguientes tablas faltan algunos datos, realicen los cálculos necesarios y completen: Hombres edad (años)

frecuencia

frecuencia relativa fracción

decimal

Porcentaje

0-9

3

JK

12%

10-19

4

J- K

16%

20-29

5

J/ K

30-39

4

J- K

16%

40-49

7

J0K

28%

50-59

1

J,K

60-69

1

J,K

Total

25

2 N K/

0.20

0.04

20%

4% 4%

1

100%

64

64

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8/25/07 3:04:59 PM

MATEMÁTICAS

I

2

Mujeres Edad (años)

0-9

Frecuencia

4 4

Frecuencia relativa Fracción

wRt

Decimal

0.16 0.16

16%

6

4

0.24

24%

30-39

wRt wYt wRt

40-49



4 2

0.16 J- K



0.08

16%

50-59 60-69

1 J,K 25   

0.04 1

10-19 20-29

Total

wWt

0.16

Sugerencia didáctica. Es conveniente hacer notar a los alumnos la relación entre la columna de “Frecuencia relativa” y la de “Porcentaje”. Puede hacerles preguntas como: ¿De qué manera obtuvieron los datos de la columna “Porcentaje”?, ¿en qué se parecen a los de la columna “Frecuencia relativa”?

Porcentaje

16 %



16% 8%

4%

Integrar al portafolios. Cuando terminen de resolver la sesión 2 pida a los alumnos una copia de esta tabla llena y de las respuestas a las preguntas de los incisos a) al d). Analícelas para ver si han comprendido la diferencia entre la frecuencia absoluta y la relativa, y sobre su expresión como porcentaje. Si lo considera necesario, repasen la sesión.

100 %

a) ¿Cuántas personas son menores de 20 años? b) ¿Qué significa que la frecuencia relativa de hombres entre 20 y 29 años sea

J"K?

c) De las mujeres que asistieron a la reunión, ¿qué porcentaje tiene entre 30 y 39 años de edad? d) ¿Qué porcentaje de hombres y mujeres tiene 50 años o más? Comparen sus respuestas.

Manos a la obra I. Usen la información que proporcionan las tablas para contestar las siguientes preguntas.

Recuerden que: cuencia entre el Si divides la fre observaciones, de al tot ro me nú . cuencia relativa obtienes la fre

a) ¿Cuántos intervalos de edades se formaron? b) ¿Cuántos hombres hay en la reunión?

¿Y cuántas mujeres?

c) ¿Cuántos de los hombres que están en la reunión tienen entre 40 y 49 años de edad? d) ¿Qué parte del total de hombres tiene entre 40 y 49 años de edad? e) Uno de los valores de la tabla es J"K , ¿qué representa el número 5? ¿Y el 25? 65

Propósito de la actividad. Con las preguntas de los incisos a) al j) se pretende que los alumnos le den sentido a la frecuencia relativa (su significado y obtención), así como a las diferentes formas en que se puede expresar (como porcentaje, fracción o decimal).

Respuestas. a) 7 intervalos. b) 25 hombres y 25 mujeres. c) Hay 7 hombres. d) 7 de 25 o w U t  . e) El 5 es el número de personas cuyas edades se encuentran en cierto intervalo, y el 25 es el número del total de personas.

65

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8/25/07 3:05:02 PM

Respuestas. f)

secuencia 22

A lo que llegamos A la fracciónJ"K se le llama frecuencia relativa e indica la parte del

wRt 

g) Es también la frecuencia relativa. Quiere decir que del total (que es igual a 1), hay 0.16 mujeres que tienen entre 40 y 49 años. h) Cuando las relaciones entre los datos se expresan en forma de porcentaje, el total es igual a 100%. El porcentaje de mujeres que tienen entre 40 y 49 años de edad es 16%. i) Suman 1. j) En las 4 mujeres de 40 a 49 años, porque el número 4 en ese caso es la frecuencia; en cambio, en el otro caso se refiere al porcentaje, y en este ejemplo (el de las personas que asistieron a una reunión) 4% equivale a una sola mujer. Sugerencia didáctica. Cuando revisen sus respuestas deténgase un poco en el inciso g). Para algunos alumnos no es evidente que w R t y 0.16 son el mismo número. Propósito de la actividad. Se pretende que los alumnos se den cuenta de los diferentes tipos de análisis que pueden hacerse al reorganizar la información.

total de la población que tiene un mismo atributo o característica.

f) De las mujeres que había en la reunión, ¿cuál es la frecuencia relativa de las que tienen entre 30 y 39 años de edad? g) La frecuencia relativa de mujeres que tienen entre 40 y 49 años es J!K. Esta fracción expresada como decimal es 0.16, ¿qué significa este decimal en esta situación? h) ¿De qué manera expresarían como porcentaje la frecuencia relativa 0.16? i) ¿Cuánto suman las frecuencias relativas correspondientes a las mujeres que asistieron a la reunión? j) ¿En dónde hay más mujeres, en 4% de las mujeres de 60 a 69 años o en las 4 mujeres de 40 a 49?

A lo que llegamos La frecuencia relativa también puede expresarse en forma de número decimal y porcentaje. ii. Utilicen la información que presentan las dos tablas anteriores para completar la siguiente tabla que agrupa todos los resultados. Total hombres y mujeres Edad (años)

Frecuencia

0-9



7

10-19



8

20-29



11

30-39



8

40-49



11

50-59



3

60-69



2

Total

50

Frecuencia relativa Fracción

tUp tIp Qt Qp tIp Qt Qp tEp tWp Tt Pp

Decimal

Porcentaje

0.14

14%

0.16

16%

0.22

22%

0.16

16%

0.22

22%

0.06

6%

0.04

4%

1

100%

66 66

66

MAT1 B3 S22 maestro.indd 66

8/25/07 3:05:06 PM

MATEMÁTICAS

I

Respuestas. a) 16% en total.

a) ¿Qué porcentaje de personas que tienen entre 30 y 39 años de edad fueron a la reunión?

b) Es igual, 4 hombres y 4 mujeres. Esta información la buscamos en las tablas anteriores, en las que se separó a hombres y mujeres.

b) De las personas de entre 30 y 39 años de edad que había en la reunión, ¿son más hombres o más mujeres?

¿En qué tablas encuentran esta

información? c) ¿Cuál es la suma de frecuencias relativas de hombres y mujeres que asistieron a la reunión?

c) 1

d) En total, ¿cuántas personas menores de 20 años asistieron a la reunión?

d) 15 personas, que representan 30%.

¿Qué porcentaje representan?

A lo llegamos

Sugerencia didáctica. Lean juntos esta información y pida a los alumnos que la copien en sus cuadernos.

Cuando se trata de presentar información estadística, las tablas que generalmente se utilizan son de frecuencias relativas con porcentaje. La frecuencia relativa de un valor observado es el cociente entre su frecuencia y el total de observaciones realizadas. El porcentaje de veces que aparece un determinado valor observado se obtiene multiplicando su frecuencia relativa por 100. La suma de las frecuencias absolutas es igual al total de los datos u observaciones. La suma de las frecuencias relativas es igual a 1. La suma de los porcentajes es igual a 100.

Lo que aprendimos Completa la tabla de frecuencias relativas y de porcentaje para los datos de la carrera de 1 000 metros, presentada en la sesión 1 de esta secuencia. Tiempo registrado en segundos

Frecuencia

300

3

320

6

330

6

340

9

350

3

360

3

Total

30

Frecuencia relativa Fracción



eEp eYp eYp eOp eEp eEp Ee Pp



Decimal

0. 1 0. 2 0. 2 0. 3 0. 1 0. 1 1

Porcentaje %

10% 20% 20% 30% 10% 10% 100% 67

67

MAT1 B3 S22 maestro.indd 67

8/25/07 3:05:09 PM

Respuestas. a) El 30% sería equivalente a 9 corredores, por lo tanto, corresponde a 340 segundos. 0.1 como frecuencia relativa quiere decir que una décima parte de los corredores registró cierto tiempo (o 10%). La décima parte del total de corredores (30) es 3, así que corresponde a los que hicieron 300, 350 y 360 segundos. 0.3 como frecuencia relativa puede expresarse también como 30%, lo que equivale a 9 corredores (340 segundos).    significa que 3 de los 30 corredores registraron cierto tiempo, así que corresponde a 300, 350 y 360 segundos. Puede expresarse también como 0.1 o como 10%. b)     c) 10% (10 de 30)

secuencia 22 a) ¿A qué tiempo registrado corresponden cada una de las siguientes frecuencias relativas?

Organización del grupo. La sesión se trabaja en parejas, con momentos de intercambio grupal.

0.3

0.1

i Q p T ). 97

97

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8/25/07 3:07:12 PM

Propósito de la sesión. Calcular las probabilidades de diversos eventos y distinguir entre ellos cuál es más probable que ocurra, cuál es menos probable y cuáles tienen la misma probabilidad de ocurrir.

secuencia 24 sesión 4

comParación de Probabilidades ii

Para empezar

Cuando has participado en un juego de azar, ¿alguna vez te ha tocado elegir las reglas que rigen el juego? En esta sesión calcularás las probabilidades de diversos eventos y distinguirás cuál es más probable que ocurra, cuál es menos probable y cuáles tienen la misma probabilidad de ocurrir.

Consideremos lo siguiente

Organización del grupo. Se sugieren actividades individuales, en parejas y en equipos.

Para realizar el siguiente juego se necesitan 4 bolsas no transparentes, 6 canicas rojas y 6 canicas verdes. Hay que distribuir las canicas en las cuatro bolsas como se indica en la figura.

Sugerencia didáctica. Si no tienen a la mano canicas pueden sustituirlas por papeles de colores o blancos con el nombre del color escrito.

Bolsa 3

Bolsa 1

3 Bolsa 4

Propósito de las preguntas. Es muy importante que los alumnos contesten las preguntas antes de realizar el experimento. Se pretende que al responderlas hagan uso de lo que han aprendido sobre la probabilidad clásica, sin embargo, puede ser que en un primer momento no se den cuenta de que es igualmente probable obtener una canica roja en la bolsa 1 y en la 3. Respuestas. En la bolsa 1 la probabilidad es wQ , y en la 3 es rW , es decir, de ambas es igualmente probable extraer una canica roja. Es mejor elegir la bolsa 2 porque ahí la probabilidad es eW y es mayor que en cualquiera de los otros casos.

Bolsa 2

El juego se realiza de la siguiente manera: cada integrante elige una de las cuatro bolsas y extrae, sin mirar, una canica; anota el color que sale. Después regresa la canica a la bolsa y repite hasta tener 20 extracciones. Gana quien haya sacado más veces una canica roja de la bolsa que eligió. Antes de empezar a jugar contesten: ¿Qué creen que sea más probable, extraer una canica roja de la bolsa 1 o de la bolsa 3?

¿Qué bolsas elegirían? ¿Por qué? Comparen sus respuestas.

98

98

MAT1 B3 S24 maestro.indd 98

8/25/07 3:07:16 PM

MATEMÁTICAS

I

Manos a la obra I. Realicen el juego. Usen el siguiente casillero para anotar la letra r si sale roja y la v si sale verde. Repitan el experimento 20 veces para llenar los casilleros. Recuerden, gana quien haya sacado más veces una canica roja.

Bolsa núm._____________ Resultado en cada extracción

1ª

2ª

3ª

4ª

5ª

6ª

7ª

8ª

9ª

10ª 11ª 12ª 13ª 14ª 15ª 16ª 17ª 18ª 19ª 20ª

a) Utilicen la siguiente tabla para registrar los resultados que obtuvieron al realizar este juego. Resultados de 20 extracciones en la bolsa ____________

Color de la canica

Frecuencia Número de veces que sale una canica

Roja (r) Verde (v)

Probabilidad frecuencial

P (r) = _____________________

P (v) = _____________________

b) Analicen los resultados obtenidos por todos los integrantes de su equipo. ¿Quién ganó? c) ¿Qué número de bolsa utilizó? d) ¿Cuál es la probabilidad frecuencial de sacar una canica roja en esa bolsa? e) Consideren los resultados del equipo, ¿qué color de canica salió más veces?

II. Reúnan los resultados del grupo en la siguiente tabla y después marquen con “X” si es verdadero (V) o falso (F) en el cuadrito correspondiente.

99

99

MAT1 B3 S24 maestro.indd 99

8/25/07 3:07:19 PM

secuencia 24 Total de canicas de color rojo Equipo

Bolsa 1

Bolsa 2

Bolsa 3

Bolsa 4

1 2 3 4 5

Respuestas. Considerando la probabilidad clásica: a) F, en la 2 la probabilidad es mientras que en la 1 es wQ.. b) V, en la 1 la probabilidad es la 4 es eQ . c) V, porque

eW

6 7 8 9 10 Total de canicas de color rojo (Frecuencia) Probabilidad frecuencial de sacar una canica roja

Sugerencia didáctica. Para responder estos incisos los alumnos deben considerar los resultados de los experimentos que reunieron en la tabla anterior. Cuando hayan terminado, anote en el pizarrón los incisos y contéstenlos considerando ahora la probabilidad clásica. Comparen ambas respuestas y comenten sus diferencias y coincidencias (si las hubo).

Fracción Decimal %

V

F

a) Es más probable extraer una canica roja de la bolsa 1 que de la bolsa 2.

,

eW

b) Es más probable extraer una canica roja de la bolsa 1 que de la bolsa 4. c) Es más probable extraer una canica roja de la bolsa 2 que de la bolsa 4.

wQ

y en

d) Es más probable extraer una canica roja de la bolsa 1 que de la bolsa 3. e) Es más probable extraer una canica roja de la bolsa 2 que de la bolsa 3.

> eQ  .

d) F, son igualmente probables. e) V, porque

eW

> wQ. .

100

100

MAT1 B3 S24 maestro.indd 100

8/25/07 3:07:22 PM

MATEMÁTICAS

I

Respuestas. La probabilidad clásica en cada bolsa es:

III. Contesta las siguientes preguntas: a) ¿Cuál es la probabilidad clásica de sacar una canica roja de cada bolsa? Bolsa 1

Bolsa 2

Bolsa 3

Bolsa 4

P (sacar una canica roja) =

P (sacar una canica roja) =

P (sacar una canica roja) =

P (sacar una canica roja) =

número total de canicas rojas en la bolsa 1 número de canicas en la bolsa 1

número total de canicas rojas en la bolsa 2 número de canicas en la bolsa 2

número total de canicas rojas en la bolsa 3 número de canicas en la bolsa 3

Bolsa 1 y bolsa 3: wQ.  Bolsa 2: eW. 

=

Bolsa 4: eQ. 

=

Sugerencia didáctica. Es posible que en la bolsa 3 algunos alumnos escriban rW . Señale que, como wQ y son equivalentes, la probabilidad en ambas bolsas es la misma.

=

número total de canicas rojas en la bolsa 4 = número de canicas en la bolsa 4

b) De acuerdo con estos cálculos, para ganar el juego, ¿qué bolsa debes elegir?

rW

Sugerencia didáctica. Cuando contesten estas preguntas, pida a los alumnos que revisen lo que respondieron en el apartado Consideremos lo siguiente y que corrijan si es necesario.

c) ¿Por qué? d) Pregúntale a alguno de tus compañeros qué bolsa eligió. e) ¿En qué bolsas existe la misma probabilidad de sacar una canica roja? f) ¿Por qué?

A lo que llegamos La comparación de probabilidades permite determinar cuál es la mejor opción que se puede elegir, ya sea en un juego o en otro tipo de situaciones. Así, por ejemplo, en el juego anterior podemos determinar la probabilidad clásica de sacar una canica roja de cada bolsa y elegir la bolsa que más nos convenga. La probabilidad clásica proporciona una información de lo que puede suceder, mientras que la probabilidad frecuencial indica lo que sucedió al realizar el juego.

Para saber más Consulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula: Bosch, Carlos y Claudia Gómez. Una ventana a la incertidumbre. México: SEP/Santillana, Libros del Rincón, 2003. Sobre información para conocer otros juegos de azar consulta: http://www.acanomas.com/Biblioteca.php [Fecha de consulta: 23 de agosto 2007].

101

101

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8/25/07 3:07:25 PM

              

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

                                                                                                      102 MAT1 B4 S25maestro.indd     

                     

                     

                     

                     

                     

                     

                     

                     

                     

                     

                     

                     

                     

                     

                     

                     

                     

                     

                     

                     

                     

                     

                     

                     

                     

                     

                     

                     

                     

                     

                     

                                        8/25/07   

       

       

       

       

       

       

                                                              PM 3:07:43   

                     

                     

                     

BLOQUE   4

                                                                                                                                                                                                                                                                                                               

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

       

                     

                     

                     

                                                                                                                                                                MAT1  B4S25maestro.indd   103        

                     

                     

                     

                     

                     

                     

                     

                     

                     

                     

                     

                     

                     

                     

                     

                     

                     

                     

                     

                     

                     

                     

                     

                     

                     

                     

                     

                     

                     

                     

                     

                                        8/25/07   

3:07:45 PM

Propósito de la sesión. Conocer e identificar los números con signo.

secuencia 25

Números con signo

Organización del grupo. La sesión se trabaja en parejas, con algunos momentos de intercambio grupal.

En esta secuencia plantearás y resolverás problemas que impliquen la utilización de números con signo.

1 Propósito de la actividad. La intención es que los alumnos empleen cualquier recurso que les parezca útil para comunicar las ubicaciones de los objetos. La dificultad radica en que hay objetos que están bajo el nivel del mar a la misma distancia de otros que están sobre el nivel del mar (por ejemplo, el buzo y la gaviota), por lo que escribir en el mensaje sólo el número no es suficiente para diferenciarlos. Los alumnos se verán en la necesidad de escribir alguna marca que logre diferenciar entre lo que se encuentra sobre el nivel del mar y lo que está bajo el mismo. Acepte cualquier tipo de mensaje que cumpla con las condiciones planteadas (no usar palabras, dibujos ni flechas), incluso aquellos en los que aparecieran los signos + y –, pero no los exija. Sugerencia didáctica. Oriente la discusión hacia la comparación de los recursos empleados para comunicar la ubicación de los objetos. Aunque varios tipos de mensaje hayan podido ser interpretados correctamente, pregunte al grupo cuál les parece más claro, cuál podría crear confusiones y por qué.

sEsióN 1

Consideremos lo siguiente Para jugar necesitan organizarse en parejas: • Todos observen con cuidado la siguiente ilustración. • Cada pareja escoge cuatro objetos de los que ahí aparecen. • Cada pareja envía un mensaje por escrito a otra pareja indicando la ubicación de los cuatro objetos que eligieron. Pero hay una condición: en el mensaje NO SE VALE ESCRIBIR PALABRAS NI HACER DIBUJOS O FLECHAS. • La pareja que recibe el mensaje debe interpretarlo para saber cuáles fueron los objetos que sus compañeros eligieron. Cuando los hayan encontrado, los anotan en el mensaje y lo regresan a la pareja que lo envió. • Cuando terminen, revisen si la otra pareja interpretó correctamente. Si hubo equivocaciones, deben encontrar en dónde estuvo la falla y corregirla. Anoten en el pizarrón las distintas maneras que utilizaron para identificar los objetos, decidan cuáles fueron las más adecuadas, o aquellas que les gustaron más, y escriban por qué.

104

Propósitos de la secuencia Plantear y resolver problemas que impliquen la utilización de números con signo.

Sentido numérico y pensamiento algebraico.

Significado y uso de los números.

Antecedentes En la escuela primaria los alumnos conocieron los números naturales, los fraccionarios y los decimales. En esta secuencia se introducen los números enteros, que por sus características permiten resolver problemas que no tendrían solución con los naturales.

Para empezar

Existen situaciones donde además de utilizar los números naturales se requieren otros números, por ejemplo: al calcular los gastos y las ganancias de una tienda, en un termómetro ambiental, en la línea del tiempo, en metros sobre y bajo el nivel del mar, etcétera.

Eje Tema

NivEL dEL mar

Sesión

Título y propósitos de la sesión

1

Nivel del mar Conocer e identificar los números con signo.

2

Distancia y orden Obtener la distancia entre dos números con signo, ordenarlos y compararlos.

3

Valor absoluto y simétricos Ubicar números con signo en la recta numérica, obtener su valor absoluto e identificar sus simétricos.

Recursos

Vínculos

Video Temperaturas ambientales

Geografía de México y el mundo Secuencia 4

Interactivo “Temperaturas”

104

MAT1 B4 S25 maestro.indd 104

8/25/07 3:07:50 PM

MATEMÁTICAS

I

700 m 600 m

80 m 50 m

2m

2m

700 m

50 m

600 m

60 m

80 m 700 m

50 m

2m 2m

50 m

80 m

700 m

10 5

105

MAT1 B4 S25 maestro.indd 105

8/25/07 3:07:53 PM

Propósito de la actividad. Los alumnos utilizarán signos no convencionales para diferenciar entre lo que se encuentra sobre el nivel del mar y bajo éste.

secuencia 25

Manos a la obra i. En otra telesecundaria, una de las parejas elaboró un mensaje que fue correctamente interpretado por otra pareja. Fíjense cómo hicieron: Pareja que elaboró el mensaje.

Objetos que elegimos:

Creemos que es el:

700 m

Avión

600 m

Nubes

0m

**2 m **50 m

Pareja que recibió el mensaje.

Barco Pez amarillo Buzo

a) Utilicen ese mismo sistema y completen la siguiente tabla. Ubicación

Dibujo Gaviotas

80 m Barco

2m Peces

Respuestas. - Los que están sobre el nivel del mar con una carita. - Los que están bajo el nivel del mar con dos asteriscos. - El barco lo ubicó a 0 m, es decir, al nivel del mar.

**700 m b) El barco está ubicado al nivel del mar. También hay objetos sobre el nivel del mar (como las nubes) y bajo el nivel del mar (como el submarino). • ¿Cómo representó esta pareja a los objetos que están ubicados sobre el nivel del mar? • ¿Cómo representó esta pareja a los objetos que están ubicados bajo el nivel del mar? • ¿A cuántos metros ubicaron el barco? Comparen estos mensajes con los mensajes que ustedes elaboraron. ¿Cuáles le parecen más claros y por qué? Como vieron, hay distintas maneras de comunicar la ubicación de los objetos, sin embargo, es posible que algunas personas no sepan qué es lo que se quiere decir en un mensaje. Por ello, en matemáticas se representa el nivel del mar con el cero, lo que está sobre el nivel del mar con signo positivo “+” y lo que está bajo el nivel del mar con signo negativo “– “. 106

106

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8/25/07 3:07:56 PM

MATEMÁTICAS II. Completen la siguiente tabla usando los signos + y –, según corresponda: Objeto

Ubicación

Algas marinas a 20 m bajo el nivel del mar

− 20 m

I

2 Propósito de la actividad. Ahora se pretende que los alumnos empleen los signos convencionales (+ y –) para diferenciar entre lo que se encuentra sobre el nivel del mar y bajo éste.

Una lancha sobre el nivel del mar Un delfín que salta 5 m sobre el nivel del mar

Posibles dificultades. Anteriormente, los alumnos utilizaron los signos + y – para denotar una operación (la suma o la resta), y ahora adquieren otro significado que se añade al que ellos ya sabían. Cuando en esta secuencia se escribe +20 no significa que hay que hacer una suma, sino que el 20 es un número positivo (que está del lado derecho de la recta con respecto al 0, o en este ejemplo, que está sobre el nivel del mar). Comente con los alumnos esta cuestión.

Un tiburón que nada a 5 m bajo el nivel del mar Una roca que sobresale 20 m sobre el nivel del mar

+ 20 m

III. En matemáticas se usa la recta numérica para ubicar a los números positivos, negativos y al cero. Primero, determinen el lugar del cero (como lo hicieron en la secuencia 2), después los números con signo + se ubican a la derecha del cero y los números con signo - se ubican a la izquierda del cero. Localicen en la siguiente recta numérica los objetos que se mencionan en la tabla del inciso c). Fíjense que cada división vale 5 unidades.

−10 m

0

+15 m

A lo que llegamos

Respuestas. Lancha 0 m. Delfín +5 m. Tiburón –5 m.

Los números que has utilizado en esta sesión se llaman: números con signo. Pueden ser positivos o negativos, y para diferenciarlos se representan de la siguiente manera: Números positivos: se ubican a la derecha del cero en la recta numérica y se escriben anteponiéndoles un signo +; por ejemplo, el 5 positivo se escribe +5. En el caso de los objetos de la ilustración, los números positivos se utilizan para designar a todo lo que se encuentra arriba del nivel del mar.

0 +100

+1 200 +1 300

107

3 Sugerencia didáctica. Lean la información del recuadro en voz alta. Cuando terminen, pregunte a los alumnos si conocen algún otro caso en el que se utilicen los números con signo. Comente con los alumnos que el signo + se pone para resaltar que el número es positivo y diferenciarlo de uno negativo, pero que dependiendo del contexto, los números positivos también se escriben sin el signo.

Propósito de la actividad. Los alumnos han trabajado hasta ahora con la recta numérica para ubicar números naturales, fracciones y decimales. En esta actividad, en la que la recta considera también los números negativos, se espera que utilicen lo que han aprendido con los naturales para ubicar estos nuevos números. Sugerencia didáctica. Dibuje la recta en el pizarrón y pida a los alumnos que comenten cómo ubicaron los objetos. Haga notar que, a la derecha del cero están los números positivos, y que mientras más a la derecha se encuentre un número, será mayor. Los números negativos están a la izquierda del cero, y mientras más a la izquierda se encuentre un número, será menor. Por eso –22 < –5.

107

MAT1 B4 S25 maestro.indd 107

8/25/07 3:07:59 PM

secuencia 25 Números negativos: se ubican a la izquierda del cero en la recta numérica y se escriben anteponiéndoles un signo −, por ejemplo, el 7 negativo se escribe −7. En el caso de los objetos de la ilustración, los números negativos se utilizan para designar a todo lo que se encuentra por debajo del nivel del mar. −1 500

Propósito de la sesión. Obtener la distancia entre 2 números con signo, ordenarlos y compararlos.

−1 200

−500

−300

−100 0 +100

+1 200 +1 300

El cero se escribe sin signo (no se le pone + ni –). En la ilustración, todo lo que se encuentra en el nivel del mar se dice que está a 0 metros. sEsióN 2

Organización del grupo. Al igual que en la sesión anterior, el trabajo es en parejas, con espacios para comentarios grupales.

distaNcia y OrdEN

Para empezar Temperaturas ambientales

Los termómetros ambientales, como el de la ilustración, miden tanto temperaturas sobre cero o temperaturas positivas, como temperaturas bajo cero o temperaturas negativas. Las temperaturas bajo cero se distinguen porque se escriben anteponiéndoles el signo “–“. En la secuencia 4 La Tierra: un planeta con vida de tu libro de Geografía de México y del mundo, volumen I estudiaste las diversas características que definen el clima, como la variación de la temperatura. En el desierto, la variación de la temperatura determina las condiciones climáticas extremas que lo caracterizan: en un mismo día puede haber temperaturas máximas de 40 °C y temperaturas mínimas de 2 °C. En este caso hay una variación de 38 °C. En contraste, las zonas tropicales tienen variaciones de temperatura muy pequeñas: en promedio, las temperaturas máximas pueden ser de 20 °C y las mínimas de 10 °C. La variación de la temperatura es entonces de 10 °C, porque hay 10 grados entre 20 °C y 10 °C. La variación de la temperatura es un factor que influye tanto en la conservación del equilibrio biológico como en la salud y el bienestar de los seres humanos. Grandes variaciones de temperatura pueden ocasionar la extinción de plantas y animales o la pérdida de las cosechas en el campo.

Consideremos lo siguiente El 4 de noviembre del 2005, el Servicio Meteorológico Nacional publicó un aviso de heladas que se esperaban en distintas ciudades para ese día.

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Ciudad

Estado

Temperatura máxima (ºC)

Las Vigas de Ramírez

Puebla

26.5

Temperatura mínima (ºC)

1.0

El Saladillo

Zacatecas

22.0

-5.0

Tepatitlán

México

23.5

-4.0

Balcón del Diablo

Puebla

26.5

2.5

Tabla 1

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MATEMÁTICAS

I

Propósito del interactivo. Introducir la idea de resta de números con signo, como la variación de la temperatura.

Con estos datos, contesten las siguientes preguntas (si lo necesitan, se pueden auxiliar del termómetro de la derecha): a) ¿De cuánto se esperaba la variación de temperatura en Las Vigas de Ramírez?

Posibles dificultades. En la comparación de temperaturas negativas y positivas los signos pueden ser motivo de confusión. - Podría ocurrir que los alumnos dijeran que entre 22 °C y −5 °C hay una variación de 17 °C (porque 22 – 5 = 17). - También es posible que algunos alumnos piensen que −3 °C es menor que −12 °C porque los comparan como si fueran números naturales (3 < 12). Permítales utilizar los procedimientos que les parezcan convenientes para responder las preguntas y cerciórese de que más adelante expliquen lo que hicieron, pero si se equivocan no los corrija en este punto, más adelante tendrán oportunidad de rectificar sus errores.

b) ¿De cuánto se esperaba la variación de temperatura en Tepatitlán? c) ¿Cuál de las temperaturas máximas que se esperaban en Las Vigas de Ramírez y Tepatitlán es mayor? d) ¿Cuál de las temperaturas mínimas que se esperaban en Tepatitlán y Las Vigas de Ramírez es menor? Comparen sus resultados y comenten sus procedimientos.

Manos a la obra I. En una escuela obtuvieron los siguientes resultados: • En el equipo 1 dijeron que la variación que se esperaba en Tepatitlán es de 19.5 °C, porque 23.5 − 4 = 19.5. • En el equipo 2 utilizaron el termómetro ambiental para localizar las temperaturas y dijeron que la variación es de 27.5 °C, porque es el número de grados que hay entre ambas temperaturas. a) En el termómetro de la derecha ubiquen las temperaturas 23 °C y −4 °C. b) Cuenten los grados que hay de −4 °C a 0 °C. Hay

grados.

c) Cuenten los grados que hay de 0 °C a 23.5 °C. Hay

grados.

d) ¿Cuántos grados hay de −4 ºC hasta 23.5 ºC? e) ¿De cuánto es la variación de temperatura que se esperaba en Tepatitlán?

f) ¿Cuál de los dos equipos obtuvo la variación correcta? II. Usando el mismo termómetro, contesten las siguientes preguntas: a) La temperatura máxima de una ciudad es de 18 °C y la temperatura mí-

nima de −2 °C. ¿De cuánto es la variación de temperatura en esa ciudad?

b) La temperatura mínima de otra ciudad es de −8 °C. Si se sabe que la va-

riación de temperatura es de 12 °C, ¿cuál es la temperatura máxima de dicha ciudad?

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Propósito de las preguntas. Se pretende que los alumnos calculen la variación entre dos temperaturas, una positiva y una negativa, como el número de grados que hay que recorrer para llegar de una a la otra. Para corregir un error que muchos alumnos cometen (que consiste en restarle a una de las temperaturas la otra), se les pide que primero calculen cuántos grados hay desde una de las temperaturas hasta el cero, y del cero a la otra temperatura.

Respuestas. a) La máxima es de 26.5, la mínima es de 1. La variación es de 25.5 °C. b) La máxima es de 23.5 °C, la mínima es de −4. La variación es de 27.5 °C. c) La temperatura de Las Vigas de Ramírez (26.5 °C) es mayor que la de Tepatitlán (23.5 °C). d) La temperatura de Tepatitlán es menor, porque −4 < 1 (hace más frío a −4 °C que a 1 °C).

Respuestas. a) 20 °C. De −2 a 0 hay 2 °C, y de 0 a 18 hay 18 °C. Se suma 2 + 18. b) 4 °C. Sabemos que la variación es de 12 °C y que hay 8 grados de − 8 a 0.

Respuestas. b) 4 °C. c) 23.5 °C. d) 27.5 °C. e) De 27.5 °C. f) El equipo 2. 109

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Posibles dificultades. En esta actividad las 2 temperaturas que se comparan son negativas, lo que puede hacer pensar a algunos alumnos que la diferencia entre ellas será también un número negativo (por ejemplo, que la variación entre la máxima y la mínima en Anchorage es de −7 °C). Comente con los alumnos que en estas actividades sólo se pregunta cuántos grados hay entre las 2 temperaturas, no se pregunta si la segunda temperatura subió o bajó con respecto a la primera. Sugerencia didáctica. Es importante que los alumnos se den cuenta de que para hallar la variación entre 2 temperaturas se deben contar todos los grados que hay entre ellas. Si las temperaturas que se comparan son una positiva y otra negativa, el conteo va a pasar por el cero. Si cree que los alumnos lo necesitan, ponga ejercicios similares, por ejemplo: Encontrar la variación de temperatura entre: 6 °C y −2 °C −12 °C y −4 °C −9 °C y 1 °C 28 °C y 0 °C 24 °C y 7 °C Pídales que ubiquen las temperaturas en un termómetro ambiental o en una recta numérica para encontrar el segmento que representa la distancia entre ambas.

secuencia 25 iii. En otros países se han registrado las siguientes temperaturas: Ciudad

Estado

Temperatura máxima (ºC)

Temperatura mínima (ºC)

Anchorage

Alaska (Estados Unidos de América)

−6.0

−13.0

Armstrong

Ontario (Canadá)

−1.0

−9.0

a) En el termómetro de la izquierda, localicen las temperaturas máxima y mínima de Anchorage. b) ¿Cuántos grados hay de −6 °C a −13 °C? c) ¿De cuántos grados es la variación de temperatura en Anchorage? d) En el mismo termómetro, localicen las temperaturas máxima y mínima de Armstrong. e) ¿Cuántos grados hay de −1 °C a −9 °C? f) ¿De cuántos grados es la variación de temperatura en Armstrong?

A lo que llegamos • La variación de temperatura es el número de grados que hay entre ambas temperaturas. Por ejemplo, en el termómetro de la izquierda: Ajocucar

Máxima

Mínima

Diferencia

29.0

−2.5

31.5

• La variación de temperatura también la podemos ver como la distancia que hay entre dos números en una recta numérica horizontal. Por ejemplo: entre el −4 y el 8 hay una distancia de 12, como lo muestra la ilustración. 12

−4 −3 −2 −1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8

Es decir, la distancia entre dos números es la longitud del segmento que los une.

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MATEMÁTICAS

I

IV. De las temperaturas mínimas de Tepatitlán y Las Vigas de Ramírez dos alumnos dicen lo siguiente: • Dulce dice que Las Vigas de Ramírez tiene la menor temperatura, porque 1 es menor que 4. • Consuelo dice que Tepatitlán tiene la menor temperatura, porque −4 °C está abajo de 1°C. a) ¿Quién creen que tiene la razón? b) En el termómetro de la derecha ubiquen las temperaturas 12 °C y 2 °C. c) ¿Cuál de las dos es menor? La temperatura 2 °C está debajo de 12 °C y es la menor de ellas. d) En el mismo termómetro, ubiquen las temperaturas mínimas de Las Vigas de Ramírez y Tepatitlán. e) ¿Cuál de las dos temperaturas está debajo de la otra? f) ¿Cuál de las dos es menor? Comparen sus respuestas.

A lo que llegamos • Al comparar dos temperaturas en un termómetro, siempre es mayor aquella que está más arriba. Por ejemplo: a) 22 °C es mayor que 3 °C. b) 2 °C es mayor que −10 °C. c) −5 °C es mayor que −35 °C.

Respuestas. a) Consuelo tiene razón. Otra manera de verlo es preguntarse a qué temperatura hace más frío: a 1 °C o a −4 °C. c) 2 °C e) −4 °C está por debajo. f) −4 °C es menor.

• Al comparar dos temperaturas en la recta numérica, siempre es mayor aquella que está más a la derecha. Por ejemplo: a) +9 es mayor que +2. −15

b) +5 es mayor que −10. −10

−3

c) −3 es mayor que −15. 0

+2

+5

+9 111

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Propósito de la pregunta. Ahora ya no se habla de comparar temperaturas sino números. Se pretende que el alumno pueda aplicar los conocimientos que adquirió con los termómetros y las rectas para comparar cualquier par de números con signo. Integrar al portafolios. Que los alumnos le entreguen en una hoja aparte los resultados que obtuvieron en los números 1 y 2. Respuestas. 1. a) 16 b) 16 c) 8 d) 18 2. a) 6 b) 8 c) 4 3. a) Mayor que > b) Menor que < c) Mayor que >

secuencia 25

Lo que aprendimos 1. ¿Qué distancia hay entre los siguientes pares de números? a) −6 y +10

c) −9 y −1

d) −15 y +3

2. ¿Que distancias hay entre... a) −6 y 0?

b) 0 y +8?

c) −4 y 0?

3. Escriban mayor que (>) o menor que (