PROBLEMAS DE ÁLGEBRA II - 1ER CUATRIMESTRE HTTP://FISICAUNED.WORDPRESS.COM XAVIER AZNAR

Í NDICE Parte 1.

Teoría básica

2

Endomorfismos vectoriales con significado geométrico

3

Diagonalización de matrices

4

Matrices diagonalizables

5

Definiciones que aparecen en exámenes de años anteriores

6

Parte 2. 1. 1.1. 2.

Problemas tipo Problemas tipo

4.

Problemas tipo Problemas tipo

Parte 3. 5. 5.1. 6. 6.1. 7. 7.1. 8. 8.1. 9. 9.1.

12 13

Subespacios vectoriales invariantes

4.1.

7 8

Formas de Jordan de endomorfismos lineales

3.1.

7 7 7

Proyecciones y Simetrías vectoriales

2.1. 3.

Espacios vectoriales y Endomorfismos lineales

Espacios vectoriales y aplicaciones lineales

19 19

Espacio afín y Endomorfismos afines

21

Subespacios afines

21

Problemas tipo

21

Endomorfismos afines

23

Problemas tipo

23

Proyecciones y simetrías afines Problemas tipo

29 34

Homotecias afines y dilataciones Problemas tipo

47 49

Clasificación de endorfismos afines Problemas tipo

57 57

Índice alfabético

79 1

PROBLEMAS DE ÁLGEBRA II - 1ER CUATRIMESTRE HTTP://FISICAUNED.WORDPRESS.COM Parte 1. Teoría básica1

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Definición 1. Aplicación lineal Sean V, W dos espacios vectoriales sobre un cuerpo K. Una función f : V 7→ W se dice que es una aplicación lineal si verifica: 1. Para u, v ∈ V f (u + v) = f (u) + f (v) 2. Para todo u ∈ V y todo escalar α ∈ K f (αu) = αf (u) Propiedades 1. Dada una aplicación f : V 7→ W entre dos espacios vectoriales, se dice que f es lineal si y sólo si f (αu + βv) = αf (u) + βf (v) para todo par de vectores u, v ∈ V y para todo par de escalares K. 2. Si f : V 7→ W es una aplicación lineal, entonces f (0V ) = 0W . Definición 2. Núcleo e imagen Dada una aplicación lineal f : V 7→ V se llama núcleo de f al conjunto de vectores de V ker f = {v ∈ V | f (v) = 0} La imagen de la aplicación f es el conjunto de vectores de W Im f = {w ∈ W | ∃v ∈ V, f (v) = w} = {f (v) |v ∈ V } Propiedades 1. Si f : V 7→ W es una aplicación lineal, entonces ker f

≤

V

Im f

≤

W

2. Si f : V 7→ W es una aplicación lineal, y B = {v1 , . . . , vn } es una base o sistema generador de V se tiene que f (B) = {f (v1 ) , . . . , f (vn )} es un sistema generador de Im f . 1Parte

de los apuntes de esta sección se basan en los de la web del Dpto de Matemática Aplicada y Estadística de la Universidad Politécnica de Cartagena. http://www.dmae.upct.es/~plgomez/archivos %20docencia/teoria2009-10/

2

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Proposición 3. Tipos de aplicaciones lineales. Sea f : V 7→ W una aplicación lineal. Entonces: 1. f es inyectiva si y sólo si ker f = 0 2. f es suprayectiva si y sólo si dim (Im (f )) = dim W . 3. f es biyectiva si y sólo si dim (Im (f )) = dim W y ker f = 0. Proposición 4. Fórmula de las dimensiones Si una aplicación f : V 7→ W es lineal, entonces cumple que dim (ker f ) + dim (Im f ) = dim V Definición 5. Matrices semejantes Dos matrices cuadradas del mismo tamaño A, A0 se dice que son semejantes cuando existe una matriz invertible Q que cumple A0 = Q−1 AQ Dos matrices son semenjantes si y sólo si van asociadas al mismo endomorfismo. E NDOMORFISMOS VECTORIALES CON SIGNIFICADO GEOMÉTRICO Definición 6. Homotecia Sea V un espacio vectorial euclídeo y α ∈ R. Se llama homotecia de razón α a la aplicación lineal hα : V

7→ V

hα (v)

=

αv

∀v ∈ V

Definición 7. Proyección Sea V un espacio vectorial euclídeo y sean B y D subespacios de V tales que V = B ⊕ D . Se llama proyección de base B y dirección D a la aplicación lineal π definida por π:V v

7→ V  π (v) = v = π (v) = 0

v∈B v∈D

Definición 8. Simetría Sea V un espacio vectorial euclídeo y sean B y D subespacios de V tales que V = B ⊕ D . Se llama simetría de base B y dirección D a la aplicación lineal σ definida por σ:V v

7→ V  σ (v) = v = σ (v) = −v 3

v∈B v∈D

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Definición 9. Rotaciones en el plano En R2 se llama giro de ángulo θ ∈ [0, 2π] a la aplicación lineal ρθ : R2 7→ R2 cuya matriz asociada a la base canónica de R2 es ! cos θ − sin θ sin θ

cos θ

D IAGONALIZACIÓN DE MATRICES Definición 10. Autovalores y autovectores Sea A una matriz cuadrada de orden n, λ un escalar del cuerpo y v un vector columna no nulo del espacio vectorial Rn . Si se cumple Av = λv entonces se dirá que λ es un valor propio o autovalor de A y que v es un vector propio o autovector de A. Se dice que λ es el valor propio de A asociado al vector propio v. Sea λ un escalar del cuerpo y M una matriz cuadrada de orden n. Entonces λ es un valor propio de M si y sólo si existe un vector no nulo v ∈ Rn tal que M v = λv. Ahora bien, la igualdad anterior equivale a M v − λv = 0, (M − λid) (v) = 0, lo que significa que v ∈ ker (M − λid). De manera que λ es un valor propio si y sólo si ker (M − λid) 6= 0. Y como dim (ker (M − λid)) = n − rango (M − λid), lo anterior equivale a que rango (M − λid) < n. Finalmente, esta última condición puede traducirse en que |M − λid| = 0. En definitiva obtenemos que λ ∈ R es un valor propio de M ⇐⇒ |M − λid| = 0 Definición 11. Polinomio característico Si M es una matriz cuadrada de orden n se llama polinomio característico de M al polinomio χM (λ) = |M − λid| El polinomio es de grado n y sus raíces son los valores propios de la matriz M . Se llama multiplicidad de λ como valor propio a la multiplicidad que tiene como raíz del polinomio característico. La suma de las multiplicidades de los valores propios de una matriz es, como mucho, igual al grado del polinomio característico (es decir, al tamaño de la matriz). Observación 12. Los valores propios de una matriz triangular (superior o inferior) son los elementos de la diagonal principal. 4

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Proposición. Dos matrices semejantes tienen el mismo polinomio característico. Dos matrices semejantes tienen los mismos valores propios y las mismas multiplicidades. Definición 13. Subespacio propio Dado un valor propio λ de una matriz cuadrada M , llamamos subespacio propio de la matriz M asociada al valor propio λ a Nλ = ker (M − λid) = {v ∈ Kn | (M − λid) (v) = 0} = {v ∈ Kn |M v = λv} El subespacio propio de la matriz M asociado al valor propio λ está formado por todos los vectores propios de la matriz M asociados al valor propio λ, además del vector 0. Propiedades Para cada valor propio λ de una matriz cuadrada M de orden n se tiene: 1. ker (M − λid) 6= 0, es decir, dim (ker (M − λid)) ≥ 1. 2. dim (ker (M − λid)) ≤ m (λ) (multiplicidad del valor λ) 3. dim (ker (M − λid)) = n − rango (M − λid). Propiedad Los vectores propios asociados a distintos valores propios son linealmente independientes, o dicho de otro modo, la suma de los subespacios propios es directa. Esto se traduce en que la unión de bases de cada subespacio propio resulta ser una base de la suma de los subespacios propios.

M ATRICES DIAGONALIZABLES Una matriz cuadrada se dice que es diagonalizable si es semejante a una matriz diagonal. Un endomorfismo Rn es diagonalizable si la matriz asociada respecto de alguna base del espacio es una matriz diagonal. En ambos casos la matriz diagonal se llamará matriz diagonal asociada, y su diagonal principal estará formada por los valores propios de la matriz M (o del endomorfismo f ). Esta matriz no tiene por qué ser única, pues depende del orden que elijamos para los valores propios. Afirmación 14. Un endomorfismo (o una matriz) es diagonalizable si y sólo si existe una base del espacio vectorial formada por vectores propios del endomorfismo (o de la matriz). Cuando tengamos una matriz M diagonalizable, tendremos M = P DP −1 5

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donde D es una matriz diagonal y P es una matriz invertible. A D la llamaremos matriz diagonal semejante a A y a P y a su inversa matrices de paso o matrices de cambio de base. Afirmación 15. Una matriz cuadrada M de orden n con coeficientes sobre el cuerpo R es diagonalizable sobre el cuerpo si y sólo si Rn es la suma (directa) de todos los subespacios propios de la matriz si y sólo si la suma de dichos subespacios propios es n. Por tanto, la base de vectores propios se puede hallar uniendo las bases de cada uno de los subespacios propios de M . Afirmación 16. Sea M una matriz cuadrada de orden n con coeficientes sobre el cuerpo R. Entonces M es diagonalizable sobre el cuerpo si y sólo si se verifican las siguientes condiciones: 1. El polinomio característico χM tiene sólo raíces reales. Esto equivale a que la suma de las multiplicidades de todos los vectores propios de la matriz es n. 2. Para cada valor propio λ de la matriz M se tiene que dim (ker (M − λid)) = m (λ) Observación 17. Si λ es un valor propio de M tal que m (λ) = 1, entonces dim (ker (M − id)) = 1 a consecuencia de 1 ≤ dim (ker (M − λid)) ≤ m (λ) = 1 Afirmación 18. Sea M una matriz cuadrada de orden n con coeficientes sobre el cuero R. Si M posee n valores propios con multiplicidad 1 en R, entonces M es diagonalizable sobre R. D EFINICIONES QUE APARECEN EN EXÁMENES DE AÑOS ANTERIORES Espacio afín: Sistema de referencia afín: Sistema de referencia cartesiano: Afirmación 19. Polinomios mínimos de endomorfismos comunes: Endorfismo nulo: El polinomio mínimo del endorfismo nulo es φf (t) = t Homotecia vectorial: f = λid, λ 6= {0, 1} se caracterizan por el polinomio mínimo φf (t) = t − λ 6

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Simetría vectorial: Un endomorfismo f 6= ±id es simetría vectorial (f 2 = id) si y sólo si su polinomio mínimo es φf (t) = (t + 1)(t − 1) Proyección: Un endormorfismo f 6= 0 es proyección (f 2 = f ) si y sólo si su polinomio mínimo es φf (t) = t(t − 1) Proposición 20. Supuesto Vf descompuesto en suma directa Vf = U1 ⊕· · ·⊕ Ur y denotando fi = fui se tiene: χf φ

= χf1 · · · χfr = m.c.m (φf1 , . . . , φfr )

donde χ y φ indican respectivamente, polinomio característico y polinomio mínimo. Si el polinomio mínimo φf coincide con el polinomio característico χf , entonces f es diagonalizable. Parte 2.

Espacios vectoriales y Endomorfismos lineales 1.

E SPACIOS VECTORIALES Y APLICACIONES LINEALES

Ecuaciones implícitas y paramétricas, sistema generador y base de un espacio vectorial. Dimensión de un espacio vectorial. 1.1.

Problemas tipo. Pendiente!! 2.

P ROYECCIONES Y S IMETRÍAS VECTORIALES

Definición 21. Proyección Una proyeccion π de un espacio vectorial V es un endomorfismo cuya acción consiste en proyectar los vectores de V sobre el subespacio vectorials denominado base de la proyección B, con una determinada dirección correspondiente a un subespacio vectorial D, complementario a B. Asi, sobre los vectores de la base, π se comporta como la identidad: − − π (→ v)=→ v

− ∀→ v ∈ B ⇒ B = Im (π)

→ − y los vectores de la direccion se proyectan por π en el vector 0 → − − π (→ w) = 0

− ∀→ w ∈ D ⇒ D = ker (π)

Como B = Im (π), π 2 = π, es decir, la acción reiterada de una proyección tiene el mismo efecto que la primera transformación. Definición 22. Matriz de Jordan de una proyección La matriz de Jordan de una proyección es una matriz diagonal de ceros y unos de la forma: 7

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

1

0

···

       Jπ =        

0 .. .

1

···

0

···

0 .. .

···

0

···

..

(r)

.

···

···

0 .. . .. .

0 .. . .. .

···

1

0

···

0

0 .. .

0 .. .

··· .

0 .. .

0

0

···

0

..

(s)

0 .. . .. .

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               

donde r es la dimensión de la base y s la dimensión de la direccion. Definición 23. Simetría Una simetría σ de un espacio vectorial V es un endomorfismo que trans− − forma cada vector → v ∈ V en el vector simétrico a → v respecto a una base B y con una direccion determinada D. El subespacio vectorial B es la base de la simetría. La acción de σ deja invariantes los vectores que están en la base − − σ (→ v)=→ v

− ∀→ v ∈ B ⇒ B = Im (σ)

El subespacio vectorial D es la dirección de la simetría y a los vectores de D la accion de σ los transforma en su opuesto − − σ (→ w ) = −→ w

− ∀→ w ∈ D ⇒ D = ker (σ + Id)

donde Id denota la apliación identidad. Definición 24. Matriz de Jordan de una simetría La matriz de Jordan de una simetría es siempre una matriz diagonal de la forma: 

1

0

···

       Jσ =        

0 .. .

1

···

0

0 .. . .. .

···

.

0 .. . .. .

···

···

1

0

···

0

0 .. .

···

···

0 .. .

−1 .. .

··· .

0 .. .

0

···

0

0

···

−1

..

(r)

···

..

(s)

0 .. . .. .

               

donde r es la dimensión de la base y s la dimensión de la dirección. 2.1.

Problemas tipo. 8

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Ejercicio 25. Sea  una base canónica de V3 (R), de dimensión 3. Sean B

:=

(x2 = 0)

D

:=

(x1 = 0, x2 + x3 = 0)

Hallar las matrices de la proyección π y la simetría σ con base B y direccion D.

1. Hallar la forma de Jordan Jπ de π y Jσ de σ. 2. Hallar una base 0π tal que M0 (π) = Jπ .

Demostración. Para una proyección π (2.1)

π (~v )

= ~v

∀~v ∈ B

B = Im (π)

(2.2)

π (w) ~

=

∀w ~ ∈D

D = ker (π)

0

Para una simetría

∀~v ∈ B

(2.3)

σ (~v )

= ~v

(2.4)

σ (w) ~

= −w ~

B = Im (π)

∀w ~ ∈D

D = ker (σ + Id)

Empezamos obteniendo una base para B y D. x2

=

0

x1

=

α ⇒ B = h(1, 0, 0) , (0, 0, 1)i

x3

=

β

x1

=

0

x2

= −x3 ⇒ D = h(0, 1, −1)i

x3

= α

Ahora vamos a plantear las ecuaciones derivadas de las propiedades de las proyecciones y simetrías para obtener los coeficientes de las matrices M (π) y M (σ). Empezamos con la proyección π   a b c   M (π) =  d e f  g 9

h

i

PROBLEMAS DE ÁLGEBRA II - 1ER CUATRIMESTRE HTTP://FISICAUNED.WORDPRESS.COM Utilizando  a   d g  1   0 0

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la primera propiedad 2.1 con los vectores de la base B:       1 a 1 b c       e f   0  =  d  =  0  ⇒ a = 1, d = 0, g = 0 h i 0 g 0       0 c 0 b c       e f   0  =  f  =  0  ⇒ c = 0, f = 0, i = 1 h

1

i

1

i

Para obtener los tres coeficientes que nos faltan, utilizamos la propiedad de las proyecciones relativa a vectores en la direccion D, 2.2:        0 b 0 1 b 0         0 e 0   1  =  e  =  0  ⇒ b = 0, e = 0, h = 1 0

h 1

h−1

−1

0

De manera que M (π) resulta 



1

0

0

 M (π) =  0

0

0

1

 0  1

Repetimos el proceso para obtener M (σ), utilizando las propiedades de la simetría 2.3 y 2.4:   a b c    d e f  g h i   1 b c    0 e f  0 h i 

1

  0 0

b

0



0

1





 0  0  0  0  1 

a





1

 =  d g  c  =  f

  = 0 0   0   = 0

i

1





b



0

   ⇒ a = 1, d = 0, g = 0    ⇒ c = 0, f = 0, i = 1



      0   1  =  e  =  −1  ⇒ b = 0, e = −1, h = 2 h 1 −1 h−1 1 e

De manera que M (σ) resulta 

1

 M (σ) =  0 0

10

0 −1 2

0



 0  1

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La forma de Jordan de una proyección y una simetría depende sólo de las dimensiones de la base y de la dirección, de manera que:   1 0 0   dim Bπ = 2, dim Dπ = 1 ⇒ Jπ =  0 1 0  0

0

1

0

 dim Bπ = 2, dim Dπ = 1 ⇒ Jσ =  0

1



0

0 0



 0  0 −1

Ahora vamos a buscar los vectores de la base 0 . Las columnas de la matriz de Jordan son las imágenes de los vectores de esa base 0 , de manera que Jπ (e01 )

= e01 ⇒ e01 ∈ Im (he01 , e02 i) = B

Jπ (e02 )

= e02 ⇒ e02 ∈ Im (he01 , e02 i) = B

Jπ (e03 )

= ~0 ⇒ e03 ∈ ker (he03 i) = D

Es decir, los vectores e01 y e02 forman parte de la base de B, por lo que podemos elegir directamente {(1, 0, 0) , (0, 0, 1)}. De la misma manera, e03 forma parte de la dirección D, por lo que elegimos {(0, 1, −1)}. La base 0 = {(1, 0, 0) , (0, 0, 1) , (0, 1, −1)}.  Ejercicio 26. Sea V3 (R) un espacio vectorial de dimensión 3. Sea  una base de V3 (R). Sea B un subespacio de V3 con ecuación B := (x1 + 2x2 + x3 = 0) 1. Hallar la matriz respecto a  de la simetría σ con base B y dirección D tal que 

0





−1



    σ 1  =  0  0 −1 2. Dar las ecuaciones respecto a  de la dirección de σ. Demostración. Sabemos que la simetría σ deja invariantes los vectores de la base B, de manera que σ (~v ) = ~v

∀~v ∈ B. Empezamos buscando una

base de B.

x1 = −2x2 − x3

⇒ x1 = −2α − β x2 = α x3 = β 11

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− − De manera que podemos elegir como vectores de la base → v1 = (−1, 0, 1) , → v2 = → − → − → − → − (−2, 1, 0). Ahora construimos M (σ) y aplicamos σ ( v ) = v , σ ( v ) = v . 





a   d g  a   d

h

e

−1  f  0 1 i  −2 c  f  1

g

h

i

b

c

e

b

     

−2g + h

0

h

i

1

2

2

−1 −a + c     =  −d + f  =  0  ⇒ c = a − 1, d = f, i = g + 1 1 −g + i     −2 −2a + b     =  −2d + e  =  1  ⇒ b = 2a − 2, e = 1 + 2d, h = 2g

Para determinar completamente nos facilita el enunciado:     a b c 0 b     =  d e f  1   e g

1









0

la matriz, utilizamos la información que 



−1



    =  0  ⇒ b = −1, e = 0, h = −1 h −1

0

Resolviendo todas las ecuaciones, obtenemos el valor de todos los coeficientes de la matriz asociada a la simetría:  1  −1 − 21 2   M (σ) =  − 12 0 − 21  1 − 12 −1 2 El siguiente paso es obtener las ecuaciones de la dirección de la simetría. Para ello, utilizamos la propiedad σ (~v ) = −~v   

1 2 − 12 − 12

−1 0 −1

− 21



v1





∀~v ∈ D. −v1



    − 21   v2  =  −v2  1 v3 −v3 2

Resolviendo las ecuaciones obtenemos v1 = v3 y v2 = v1 . Así, la dirección D = h(1, 1, 1)i.

3.



F ORMAS DE J ORDAN DE ENDOMORFISMOS LINEALES

Definición 27. Equivalencia lineal entre dos endomorfismos lineales. Dos endomorfismos linealmente equivalentes tienen el mismo polinomio característico, pero la inversa no es cierta. Es decir, dos endomorfismos con el mismo polinomio característico no tienen porqué ser linealmente equivalentes. El polinomio característico no es un invariante completo para la clasificación de endomorfismos lineales. 12

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Definición 28. El polinomio característico de un endomorfismo f , representado por M (f ) sobre una cierta base  se define como: χf (λ) = det (M − λId) Si el cuerpo K =R los valores propios del endomorfismo deben ser reales. Si obtenemos valores propios λ = α + iβ, entonces la caja asociada al valor propio es de la forma: α

−β

β

α

!

En este caso, no existen autovectores asociados a los autovalores complejo conjugados. Si el cuerpo es K = C, entonces se admiten valores propios imaginarios, con sus correspondientes autovectores asociados. Afirmación 29. El rango de la matriz que representa un endomorfismo es un invariante lineal. Ejemplo 30. Es decir, rg (f − I) = rg (Jf − I). Esto nos permite obtener los valores de  a colocar bajo las cajas de Jordan si conocemos el rango de f − I, por ejemplo. 3.1.

Problemas tipo.

Ejercicio 31. Sea V3 (R) un espacio vectorial con una base  . Sea f un endomorfismo tal que 

1

0

 M (f ) =  −6

3

−2

0

1



 −7  −1

1. Hallar la matriz de Jordan Jf de f . 2. Hallar una base 0 tal que M0 (f ) = Jf Demostración. Empezamos buscando el polinomio característico χf (λ) = det (M − λId) 1−λ χf (λ) = −6 −2

0 3−λ 0


−7 = (3 − λ) 1 + λ2 −1 − λ 1

Buscamos las raíces, que corresponden a los valores propios de f . Tenemos λ = 3 con multiplicidad 1 y λ = ±i, complejos conjugados. Como estamos sobre un cuerpo real, los valores complejos no son aceptables. En 13

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este caso, la caja de Jordan asociada a un valor propio del tipo λ = α + iβ es de la forma α

−β

β

α

!

Así, Jf resulta 

3

0

 Jf =  0

0

0

1

0



 −1  0

El siguiente paso es encontrar los vectores de una base 0 en los que la matriz de f sea la matriz de Jordan. Las columnas de la matriz Jf son las imágenes de los vectores de esta base 0 , por lo que podemos escribir las siguientes ecuaciones 2: f (e01 ) = 3e01

⇒ (f − 3Id) (e01 ) = ~0 ⇒ e01 ∈ ker (f − 3Id)

f (e02 ) = e03


⇒ e03 = f (e02 ) = f (−f (e03 )) = −f 2 (e03 ) ⇒ f 2 + Id (e03 ) = ~0
⇒ e03 ∈ ker f 2 + Id

f (e03 ) = −e02

⇒ e02 = −f (e03 )

Empezamos con el primer vector de la base e01 , e01 ∈ ker (f − 3Id): 

−2

0

 ker (f − 3Id) =  −6

0

−2

0



1



x





0

    −7   y  =  0  −4 z 0

De donde 2x + z = 0 ⇒ z = 0 ⇒ x = 0 Elegimos como e01 = (0, 1, 0) A continuación vamos con e03 , e03 ∈ ker f 2 + Id 

1

 f 2 =  −6

0

1

 

1

0

1






−1

0

    −7  ∗  −6 3 −7  =  −10 9 −2 0 −1 −2 0 −1 0 0     0 0 0 x 0
    2 ker f + Id =  −10 10 −20   y  =  0 3

0

0

0

z

0



 −20  −1   

0

De donde y = x + 2z Elegimos z = 0, x = 1 ⇒ y = 1 y así e03 = (1, 1, 0). 2En realidad deberíamos indicar explícitamente que los vectores de la base 0 son − → ei 0 , pero por simplicidad los escribimos sin la flecha que indica que son un vector.

14

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Ahora sólo nos queda completar la base con e02 = −f (e03 )      −1 1 1 0 1      −  −6 3 −7   1  =  3  −2

0

−1

2

0

 Ejercicio 32. Sea V un espacio vectorial sobre K y  una base de V . Si dim V = 4 y g es un endomorfismo de V con polinomio característi
2 co χg (t) = (t + 2) t2 − 2t + 2 tal que rg (g + 2Id) = 3, hallar la forma de Jordan Jg para g si K = R y K = C. Demostración. Empezamos buscando los valores propios 2

(t + 2) = 0 ⇒ t = −2 es un autovalor con multiplicidad 2. Por otro lado t2 − 2t + 2 = 0 ⇒ t = 1 ± i Tenemos dos valores complejos conjugados. Si K = R no se admiten valores complejos, por lo que la caja asociada a un valor de la forma λ = α + iβ es de la forma: ! α −β β

α

Para λ = −2, rg (g + 2Id) = 3 ⇒ dim (ker (g + 2Id)) = 4 − 3 = 1 < 2 (multiplicidad del valor propio), por lo que la caja de Jordan será de la forma: ! −2 0 1

−2

Así tenemos completamente determinada la forma de Jordan Jg para K=R

 JgK=R

−2

  1 =  0  0

0

0

−2

0

0

1

0

1

0



 0   −1   1

En el caso complejo K = C, los valores propios complejos son aceptables, por lo que la forma de Jordan queda  0 0 −2 0   1 −2 0 0 JgK=C =   0 0 1+i 0  0 0 0 1−i 15

     

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Ejercicio 33. Sea g un endomorfismo de V4 (K) con polinomio característico χg (t) = t2 + 1


2


tal que rg g 2 + Id = 2 . Hallar la forma de Jordan de g para K = R y para K = C. Demostración. Empezamos calculando los autovalores del polinomio característico. Tenemos t = +i con multiplicidad 2 y t = −i con multiplicidad 2. En el caso complejo, todos los autovalores son aceptables, por lo que la forma de la matriz de Jordan Jg (C) será  i 0   1 i Jg (C) =   0 0  0 0

0

0



 0   0   −i

0 −i 2

con i = {0, 1}, i = 1, 2. Para determinar los valores de i utilizamos que el rango es un invariante lineal, de manera que

rg g 2 + Id = rg Jg2 + Id Calculamos Jg2  i 0 0   1 i 0 Jg2 =   0 0 −i  0 0 2

 

i

0

0

   0   ∗  1  0    0 −i 0

i

0

0

−i

0

2

0

0





−1

   0   =  2i1  0    0 −i 0

0

0

−1

0

0

−1

0

−2i2

De manera que  rg

Jg2

0

  2i1 + Id =   0  0




0

0

0

0

0

0

0

 0   = 2 ⇒ 1 , 2 6= 0 0   0

0 −2i2

Y la forma de la matriz de Jordan Jg (C)  i 0   1 i Jg (C) =   0 0  0 0 16

queda 0 0 −i 1

0



 0   0   −i

0



 0   0   −1

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En el caso de K = R, los valores complejos no son aceptables. Tenemos un valor complejo conjugado de multiplicidad 2, λ = ±i. Cada autovalor ! α −β complejo de la forma λ = α+iβ da lugar a una caja de la forma , β α de manera que la forma de Jordan Jg (R) es   0 −1 0 0    1 0 0 0    Jg (R) =    0  0 −1  0 0 1 0 Para determinar el valor de , utilizamos que rg (Jg + Id) = 2 (ya que el rango es un invariante lineal).  0 
 0 rg Jg2 + Id =     0

0

0

0

0

0 

0



 0   = 2 ⇒  6= 0 ⇒  = 1 0 0   0 0

Y la forma de la matriz de Jordan Jg (R) queda:  0 −1 0 0   1 0 0 0 Jg (R) =   0 1 0 −1  0 0 1 0

       4

Ejercicio 34. f un endomorfismo de V4 (R) con χf (t) = (t − 3) y con dim (f − 3Id) = 2. 1. ¿Cuáles son las posibles formas de Jordan que puede tener f ? 2. Determine un invariante que distinga las diferentes formas de Jordan. Demostración. Tenemos un autovalor t = 3 con multiplicidad 4. La forma general de la matriz de Jordan Jf es   3 0 0 0    1 3 0 0   Jf =   0  3 0  2   0 0 3 3 Como la dimension es un invariante lineal y dim (ker (f − 3Id)) = dim (ker (Jf − 3Id)) = 2, tenemos dim (ker (Jf − 3Id)) = 4 − rg (ker (Jf − 3Id)) = 2 ⇒ rg (ker (Jf − 3Id)) = 2 17

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Ahora calculamos  rg (Jf − 3Id)

=



0

0

0

0

  1   0  0

0

0

2

0

0

3

 0  =2⇒ 0   0

⇒ 1 = 0, 2 , 3 6= 0 o

2 = 0, 1 , 3 6= 0

o

3 = 0, 1 , 2 6= 0

Si 1 = 0, 2 , 3 6= 0,  (1)

Jf



3

0

0

0

  0 =  0  0

3

0

1

3

0

1

 0   0   3



3

0

0

0

  1 =  0  0

3

0

0

3

0

1

 0   0   3



3

0

0

0

  1 =  0  0

3

0

1

3

0

0

 0   0   3

Si 2 = 0, 1 , 3 6= 0, (2) Jf



Si 3 = 0, 1 , 2 6= 0, (3) Jf

(1)

Vemos que Jf

(3)

y Jf



son semejantes, ya que sólo tenemos que intercam-

biar el orden de las cajas en la diagonal, por lo que sólo tenemos dos (1)

formas para Jf : Jf

(2)

y Jf , que deben corresponder a dos endomorfismos

f1 y f2 distintos. El siguiente paso es encontrar un invariante que diferencie a estos dos endomorfismos f1 y f2 de V4 (R). f1 y f2 comparten polinomio    característico  (1) (2) (que no es invariante lineal) y tambien rg Jf − 3Id = rg Jf − 3Id = 2.

18

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Pero si calculamos  rg





(1) Jf

(2)

rg Jf

− 3Id

− 3Id

2

2



0

0

0

0

  0 =   0  0  0   0 =   0  0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

 0  =1 0   0  0  0  =0 0   0

Por lo que el invariante lineal que distingue a los endomorfismos f1 y f2 2

de V4 (R) es el rg (f − 3Id) . 4.



S UBESPACIOS VECTORIALES INVARIANTES

Teorema 35. Si H es un hiperplano de ecuación u1 x1 + · · · + u4 x4 = 0, H es invariante por f1 si y sólo si (u1 , · · · , u4 ) es autovector de J1t . Definición 36. J y J t tienen el mismo polinomio característico, por lo que también tienen los mismos autovalores. 4.1.

Problemas tipo.

Ejercicio 37. Sea  una base del espacio vectorial V3 (R). Sea f un endomorfismo tal que 

3

0

 M (f )) =  0

0

0

1

0



 −1  0

Calcular las ecuaciones de los subespacios invariantes por f en la base . Demostración. La matriz M (f ) ya tiene forma de Jordan para el valor propio real λ = 3 y para los valores complejo conjugados λ = ±i. Como sólo tiene un valor único real simple, f tiene una recta invariante generada por el autovalor asociado al autovalor λ = 3. r := (x2 = 0, x3 = 0) = ker (f − 3id) El número de hiperplanos invariantes -que en V3 (R) son planos- coincide con el número de rectas invariantes, de manera que f sólo tiene un plano invariante asociado a λ = ±i.
U := (x1 = 0) = ker f 2 + id  19

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Ejercicio 38. Sea  base de un espacio vectorial V4 (R) de dimensión 4. Sea f un endomorfismo tal que 

−2

  1 M (f ) =   0  0

0

0

−2

0

0

1

0

−1

0



 0   −1   1

Dar las ecuaciones de los planos invariantes por f en la base . Demostración. La matriz M (f ) ya tiene forma de Jordan, compuesta por cajas de orden 2. " C1

= "

C2

=

−2

0

1

−2

1

−1

−1

1

#

#

Cada una de estas cajas corresponde a un plano invariante por f .

U1 U2

2

:=

(x3 = 0, x4 = 0) = ker (f + 2id)  
2 := (x1 = 0, x2 = 0) = ker (id − λ) + id = ker f 2 − 2f + 2id 

Ejercicio 39. Sea f un endomorfismo de  −1 0   1 −1 M (f ) =   0 0  0 0

V4 (R) donde en la base   0 0  0 0   0 −2   −2 0

Calcular las ecuaciones de los subespacios invariantes por f en la base . Demostración. Vemos que M (f ) ya que tiene la forma canónica de Jordan en forma de cajas de orden 2. " C1

= "

C2

=

−1

0

1

−1

0

−2

−2

0

#

#

De la forma de la caja C1 vemos que tenemos un valor propio λ = −1. ! −1 0 rg (ker (f |C1 + id)) = rg = 1 ⇒ dim (ker (f |C1 + id)) = 2 − 1 = 1 1 −1 20

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Tenemos una recta invariante generada por el autovector asociado al autovalor λ = −1. ker (f |C1 + id) =

−1

0

1

−1

! ⇒ x1 = 0

De manera que la recta invariante es r := (x1 = 0, x3 = 0, x4 = 0) No tenemos más rectas invariantes. Cada caja de orden 2 corresponde a un plano invariante por f . 2

C1

→ U1 := (x3 = 0, x4 = 0) = ker (f + id)

C2


→ U2 := (x1 = 0, x2 = 0) = ker f 2 + 4id

Los hiperplanos invariantes coinciden con el número de rectas invariantes, de manera que tenemos un hiperplano invariante. Este hiperplano está formado por la recta invariante r := (x1 = 0, x3 = 0, x4 = 0) y el plano invariante U2 , por lo que las ecuaciones del hiperplano es H := (x1 = 0) 

Parte 3.

Espacio afín y Endomorfismos afines

Un espacio afín X tiene asociado, de forma natural, un espacio vectorial → − → − X . El espacio vectorial X representa el espacio de las direcciones de X. Un endomorfismo afín f de X tiene asociado un enfomorfismo lineal → − → − f que actúa en el espacio vectorial X . La matriz del endorfismo afín f contiene, como submatriz, la representación matricial del endomorfismo → − lineal f : ! 1 0 → − a f

5. 5.1.

S UBESPACIOS AFINES

Problemas tipo.

Ejercicio 40. Sea  un sistema de referencia cartesiano de un espacio real de dimensión 3 A3 (R) .Sean M, N y R subespacios afines con ecuaciones 21

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respecto a  M

:=

(x1 = 0, x2 − x3 = −1)

N

:=

(x1 = 2)

R

:=

(x2 − x3 = −1)   1    2   P =  0    1

Calcular las ecuaciones y la dimensión del subespacio afín de A3 (R) generado por todas las rectas que pasan por P y cortan M y N . Demostración. Primero observamos que M ∩ N = ∅ y que P ∈ N , lo que significa que las rectas que pasan por P ya cortan N . Así que el problema se reduce a encontrar las rectas que pasan por P y que cortan M . Como M es una recta y P ∈ / M , el subespacio afín que buscamos será el plano Π que contiene la recta M y el punto P . Si Π es un plano, su dimensión será 2 dim Π = 2 −−→ − → Podemos escribir Π como Π = P + P Q + M , donde Q ∈ M es un pun− → to cualquiera de la recta y M es el vector director de la recta M . Como − → M := (x1 = 0, x2 − x3 = −1) tenemos que M := (x1 = 0, x2 − x3 = 0) y podemos tomar como vector director de la recta − → M=

* 0 + 1 1

Ahora, seleccionamos un punto cualquiera de M , como por ejemplo   1    0   Q=  0    1 −−→ y calculamos P Q 

1





1

    0  −−→    2 PQ =   0 − 0    1 1 22

    −2   = 0     0

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Así completamos la descripción del plano Π       1 0 −2    2        Π=  + λ 0  + µ 1   0  1 0 1 La ecuación de Π es Π := (x3 − x2 = 1)  Ejercicio 41. Sean R1 y R2 dos rectas distintas de A3 (R), el espacio afín real de dimensión 3. Demostrar que R1 y R2 son paralelas si y sólo si R1 y R2 son coplanarias y disjuntas. Demostración. Tenemos que demostrar que  R , R Coplanarias 1 2 R1 k R2 ⇐⇒ R ∩ R = ∅ (Disjuntas) 1 2 Suponemos que R1 k R2 . En este caso, las dos tienen la misma dirección → − R . Es decir, que podemos escribir cada recta como → − R1 = p 1 + R → − R2 = p 2 + R donde p1 ∈ / R2 , p2 ∈ / R1 (pues R1 6= R2 ). Así, tienen que ser disjuntas. Si no lo fueran, existiría un q ∈ R1 ∩ R2 , por lo que podríamos escribir → − R1 = q + R = R2 ⇒ R1 = R2 Pero hemos quedado en que R1 6= R2 , por lo que llegamos a contradicción ⇒ R1 , R2 son disjuntas. Ahora vamos que la afirmación de que si R1 k R2 , entonces son coplanarias. Para demostrar que R1 y R2 están en el mismo plano, construimos el → − → plano a partir del vector dirección de las rectas, R y del vector − p− 1 p2 , donde R1 3 p1 ∈ / R2 y R2 3 p2 ∈ / R1 , como antes. De manera que el plano afín Π que contiene las dos rectas R1 y R2 y que demuestra que son coplanarias es (ver figura 5.1):

− → → Π = p2 + − p− 1 p2 + R  6.

6.1.

E NDOMORFISMOS AFINES

Problemas tipo. 23

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F IGURA 5.1.

Ejercicio 42. Sea  un sistema de referencia cartesiano de un espacio real afín A3 (R) de dimensión 3. Sea M un subespacio afín con ecuaciones respecto a  M := (x1 + x2 = 1) Hallar la matriz del endorfismo f que satisface: 1. M es invariante por f . 

 0   2. La restricción de f a M es una traslación del vector  0  1     1 1      1   0     3. f   1 = 0      0 0

Demostración. Sabemos que la restricción de f a M es una traslación de − vector → v . Entonces, la aplicación lineal asociada se comporta como la identidad en el espacio vectorial −−→ → − f |M = id − → − → El subespacio M tiene ecuaciones implícitas M := (x1 + x2 = 0) por lo que se trata de un plano vectorial generado por     * 1 0 + − →     M :=  −1  ,  0  0 1 24

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→ − → − − − Sea A la matriz de la aplicación lineal f . Como f (→ v) = → v

− → − ∀→ v ∈ M,

tenemos que 



a

d

d

g

 A= b

e

c

f

 h  i



g

1

 h   −1 0 f i  a d g 0    b e h  0 c f i 1

  b c 

e



a  A= b

a−1 b+1

c

c



a



     

1





a−d

    =  −1  =  b − e  c−f 0     0 g     =  0 = h  1 

i 1

0

0

  α  0  ⇒ M (f ) =   β  1 γ

a

a−1

b

b+1

c

c

0





0



 0   0   1

Si tomamos un punto p ∈ M 

1



   1   p=  0    0 Entonces 

1

0

0

  α → − f (p) = p+ v =   β  γ

a

a−1

b

b+1

c

c α+a

0



1





1

      0   1  =  α + a    0   0   β+b 1 0 γ+c =

1→α=1−a

β+b =

0 → β = −b

γ+c =

1→γ =1−c

Para determinar completamente M (f ) utilizamos     1 1      1   0     f  1 = 0      0 0

25





1



 



1

0       1     1 = + 0  =    0   0     1 0 1

     

PROBLEMAS DE ÁLGEBRA II - 1ER CUATRIMESTRE HTTP://FISICAUNED.WORDPRESS.COM 

1

  1−a   −b  1−c

0

0

a

a−1

b

b+1

c

c

0







1

1

      0   1  =  0    0  1    0 0 0 1 a

=

b

= −1





XAVIER AZNAR 1

    1−a+a+a−1 =   −b + b + b + 1   1−c+c+c

     

0

c = −1 Con lo que, finalmente 

1

0

0

  1 M (f ) =   1  2

0

−1

−1 −1

0



 0   0 0   −1 1 

Ejercicio 43. Sea  un sistema de referencia cartesiano de un espacio real afín A3 (R) de dimensión 3. Sea R un subespacio afín con ecuaciones respecto a  R := (x2 − x3 = −1) Calcular la matriz respecto a  de un endomorfismo afín f que deja invariante R tal que la restricción   de f   1 0     0     → −  = vector v =  1  y tal que f     0   1 0

sobre  R es una traslación con 1  0   0   2

Demostración. Buscamos los vectores que generan el subespacio afín R := (x2 − x3 = 0). * R=



 +      0 , 1  1 0 1

 

0

0

0

La matriz M (f ) es de la forma 

1

  α M (f ) =   β  γ 26

→ − f

0

     

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Empezamos utilizando que el endomorfismo f deja invariante el subespacio R 



a

d

g

  b c  1   0

e

 h  i  g  h  i

0

f d e f





1





a



   = b  c    d+g    = e+h  f +i 1

=

 0  0  0  1  1

1

=

  0 0  0   1

d

−d

Es decir, de momento tenemos 

1

→ −  f = 0

 1−e  1−f

e

0



f

→ − − Ahora elegimos un punto del subespacio R ya que f |R = τ→ v , de manera que



1

0

0

  α   β  γ

1

d

0

e

0

f

− f |R (p) = p + → v     1  0   0    → −   R3p= v = 1    0  1 1        0 1 1 1    0         −d   0   0     0  = + 1 = 1 1−e   0   0   1 1−f 1 1 2 α

= d

β

= e

γ

=

1+f

De momento M (f ) 

1

0

0

  M (f ) =   

d

1

d

e

0

e

1+f

0

f

27

0



   1−e   1−f −d





1

    α−d =   β+1−e   γ+1−f

     

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1





    0     Finalmente utilizamos f   0 =    0   1 1 0 0 0      d 1 d −d   0    e 0 e 1 −e   0  0 1+f 0 f 1−f

1

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

 0   0   2  

1





1

      0   d = =   0   e     1+f 2

d =

0

e

=

0

f

=

1

     

Así que al final hemos determinado completamente la forma de M (f )   1 0 0 0    0 1 0 0    M (f ) =    0 0 0 1  2 0 1 0  Ejercicio 44. Sea  un sistema de referencia cartesiano del espacio afín real A3 (R) de dimensión 3. Sea f el endomorfismo afín con matriz   1 0 0 0    2 1 1 −1    M (f ) =    2 0 2 −1  2 0 1 0 Demostrar que existe una familia de planos paralelos Πk sobre los que − f actúa como una traslación τ→ v . Calcular dicha familia de planos Πk y los → − vectores v . k

Demostración. La restricción de f a los planos Πk los deja invariantes, es decir que −−→ → −−→ → −−→ − − −  − → − → → f |Πk = id ⇒ f |Πk Πk = Πk ⇒ f |Πk − id Πk = 0 − → Es decir, que el subespacio vectorial por los planos paralelos Πk −−→ formado → − está contenido o es igual al ker f |Πk − id −−→ → − − → Πk ⊆ ker f |Πk − id 28

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−−→ → − Así, vamos a calcular ker f |Πk − id 







 0 −−→ →  −  ker f |Πk − id =  0

1

−1

1

0

1

    −1   y  =  0  ⇒ y − z = 0 0 z −1

x

0

Ahora buscamos los vectores que generan este subespacio vectorial     * 1 0 + −−→ →  −     ker f |Πk − id =  0 , 1  0 − → Πk

:=

1

(y − z = 0)

Por lo que los planos afines son Πk := (y − z = k) Si ahora elegimos un punto pk ∈ Πk , sabemos que el endorfismo actúa − como una traslación de vector → v . Los puntos de Πk son de la forma   1    α    Πk 3 pk =    β  β−k De manera que



1

0

0

  2   2  2

1

1

0

2

0

1

0



  −1    −1    0

− f (pk ) = pk + → v   1 1     2+α+β−β+k α  =   2 + 2β − β + k β    β−k 2+β+k



1



    =    

α

  → +−  vk 



β β−k

Así que 

2+k



  → − vk =  2 + k  2+k 

7.

P ROYECCIONES Y SIMETRÍAS AFINES

Definición 45. Sea  un sistema de referencia cartesiano y τ~v una trasla  v1   − − ción de vector → v , donde → v =  v2  . v3 29

PROBLEMAS DE ÁLGEBRA II - 1ER CUATRIMESTRE HTTP://FISICAUNED.WORDPRESS.COM − La matriz de la traslación τ→ v en la base  1 0   v1 1  − M (τ→ v)=  v2 0 v3 0

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− , M (τ→ v ) es de la forma  0 0  0 0   1 0   0 1

Endomorfismos afínmente equivalentes Dos endomorfismos afines f1 y f2 de un espacio afín X son afínmente equivalentes si son conjugados por una transformación afín g de X. Es decir, si existe g transformación afín de X tal que f1 = g · f2 · g −1 Dos endomorfismos afínmente equivalentes admiten representaciones matriciales cartesianas iguales, respecto a sistemas de referencia cartesianos adecuadamente elegidos (y lo mismo recíprocamente). Es decir: Proposición 46. Sea  un sistema de referencia cartesiano en el espacio afín X. Dos endomorfismos afines de X, f y f 0 son afínmente equivalentes si y sólo si existe 0 , sistema de referencia cartesiano de X tal que M (f ) = M0 (f 0 ) ! 0 Dos matrices A y A son afínmente equivalentes si existe P = p P~ − → de forma que A0 = P −1 · A · P . En particular, también se tiene que A0 = −−−1 → → − → − P · A · P , por lo que la semejanza afín de las matrices A y A0 implica la ~yA ~0. semejanza lineal de A y A0 y la de A 0

1

Todo endomorfismo afín f de X admite una representación matricial respecto a algún sistema de referencia cartesiano =(e0 ,~) de la forma ! 1 0 J= 0 J~   donde J~ = M~ f~ es una matriz de Jordan. El origen e0 de  es un punto fijo para f , y ~ es una base de Jordan para f~. Se denomina a  sistema de referencia cartesiano de Jordan para f . Corolario 47. Para todo endomorfismo afín f de X existe un sistema de referencia cartesiano  = (e0 , e~1 , . . . , e~n ) respecto al cual la matriz de f es de 30

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la forma  J=

C

0

0

J0

!

1

0

···

0



  1 donde C =    0

1 ..

··· .. .

0 .. .

   es una caja de Jordan  

0

0

1

1

.

C es una caja de Jordan de orden r ≥ 1 y J 0 es una matriz de Jordan. Para el caso r = 1 se tiene C = (1), y f es endorfismo con puntos fijos. Desde el punto de vista de la equivalencia lineal es indiferente el orden en el que se distribuyan las cajas de Jordan de J, pero esto no sucede exactamente así respecto a la equivalencia afín. Concretamente, el orden r de la caja C = C (r) que ocupa el vértice superior izquierdo de la matriz J es decisivo para determinar la clase de equivalencia afín de f . Ejemplo 48. Sean f y f 0 endomorfismos de un espacio afín de dimensión igual a dos. Supóngase que hemos encontrado sistemas de referen  cia cartesianos = (e0 , e~1 , e~2 ) y 0 = e0 , e~0 , e~0 de forma que las matrices 0

1

2

M (f ) = J, M0 (f 0 ) = J 0 son las siguientes:    1 0 0 1    0 J = 1 1 0  J = 0 0 0 1 0



0

0

1

 0  1

1

Estas matrices de Jordan son semejantes desde el punto de vista lineal, ya que se obtiene una de otra por permutación de cajas. Sin embargo, los endomorfismos afines f y f 0 no son afínmente equivalentes, ya que f 0 tiene a e00 como punto fijo y f carece de ellos. Las ecuaciones del subespacio de puntos fijos de f en las coordenadas cartesianas inducidas por  son:       1 1 1       J  x1  =  x1  =  1 + x1  x2

x2

x2

que son claramente incompatibles. Proposición 49. Si f es un endormorfismo afín de X que admite respecto a cierto sistema de referencia cartesiano  una matriz  1 0 ···   !  1 1 ···  .. . . C (r) 0 .. . . J= con C (r) =  .  0 J1  .  0 0 ..  0 0 ··· 31

0

0

0 .. .

0 .. .

1 1



       0   1

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y J1 matriz de Jordan, el orden r de la caja C (r) viene determinado por    k  ˆ (7.1) r = δ (f ) = m´ın k ∈ N : X ∩ ker fˆ − id 6= ∅ Demostración. Sea H = C (r) − id (r). Por ejemplo,    0 0 0 0 0 0     0  1 0 0 0 0     2   H =  0 1 0 0 0  H =  1     0  0 0 1 0 0 

para r = 5 tenemos  0 0 0 0  0 0 0 0   0 0 0 0    1 0 0 0  0 0 1 0 0 0 0 0 1 0     0 0 0 0 0 0 0 0 0 0      0 0 0 0 0   0 0 0 0 0      4    H3 =   0 0 0 0 0  H = 0 0 0 0 0       1 0 0 0 0   0 0 0 0 0  0 1 0 0 0 1 0 0 0 0  k  5 ˆ ˆ Finalmente H = 0. Las ecuaciones de ker f − id en las coordenadas lineales xi inducidas por  en X son de la forma ! ! ! Hk 0 x0 0 = ~0 0 J1k ~x y para k < r aparece la ecuación x0 = 0 que resulta incompatible con la ecuación de x0 = 1 de X. Así:  k  ˆ ker fˆ − id ∩X =∅

si k < r

Justamente cuando k = r, H k = 0 y en el sistema de ecuaciones anterior no interviene la variable x0 . Si añadimos ahora la ecuación x0 = 1 el sistema resultante es compatible, y por tanto:  k  ˆ ker fˆ − id ∩ X 6= ∅  Proposición 50. La aplicación δ definida en 7.1 es un invariante en la clasificación afín de endomorfismos. Corolario 51. Dos matrices cartesianas de Jordan de orden n ! ! C (r) 0 C (r0 ) 0 0 J= J = 0 J1 0 J10 son afínmente semejantes si y sólo si r = r0 y J10 puede obtenerse a partir de J1 por permutación de cajas. 32

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Observación 52. Procedimiento general para encontrar la matriz de una simetría (o proyección) afín 1. Empezamos buscando la simetría (o proyección) vectorial ~σ (o ~π ) asociada con la simetría (o proyección) Dn oE Dn afín oE σ (o π) ~ ~ ~ a) Obtenemos los vectores bi , di que generan la base B ~ de la simetría ~σ (o proyección ~π ) y la dirección D b) Utilizamos las propiedades de la simetría (o proyección) para obtener los coeficientes de la matriz M (~σ ) (o M (~π )) planteando las ecuaciones: 1) Para los vectores de la base de la simetría (o proyección):     M (~σ ) b~i = b~i      a d g bi,1 bi,1      ~  b e h   bi,2  =  bi,2  i = 1, .., dim B c

f

i

bi,3

bi,3

2) Para los vectores de la dirección de: a 0 ) Simetría



a   b c

  M (~σ ) d~i   di,1 g   h   di,2  di,3 i

d e f

  = − d~i   di,1   ~ = −  di,2  i = 1, .., dim D di,3

b0 ) Proyección



a   b c

d e f

  M (~π ) d~i =   di,1 g   h   di,2  = i di,3

  ~0   0   ~  0  i = 1, .., dim D 0

~ + dim D ~ ecuaciones, obtenemos los 9 coec) Resolviendo las dim B ficientes de la matriz M (~σ ) (o M (~π )). d) Tanto la simetría como la proyección dejan invariante el punto de la base, de manera que podemos obtener los coeficientes α, β, γ de la matriz de la simetria σ (o proyección π) afín    1 0 0 0 0 0 1 0     α   α  M (π) =  M (σ) =    β  β M (~ σ ) M (~π )     γ γ 33

     

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Elegimos un punto de la base de la simetría σ (o proyección π ) afín.



1



   p1  ∈B  p=  p 2   p3 1) Planteamos las ecuaciones



1

0

  α   β  γ

0 M (~σ |~π )

M (σ|π) p   0 1     p1     p   2  p3

=

=

p 

1



   p1     p   2  p3

(donde M (σ|π) es la matriz de la simetría afín σ o de la proyección afín π, según el caso). 2) Resolviendo las tres ecuaciones obtenemos los valores de α, β, γ y determinamos completamente M (σ) (o M (π)). 7.1.

Problemas tipo.

Ejercicio 53. Sea  =

n o e0 , e~01 , e~02 , e~03 un sistema de referencia cartesiano

del espacio afín real de dimensión 3 A3 (R). Sea M el subespacio afín de ecuaciones respecto de  M := (x1 = 0, x2 = 0) ~ := (x3 = 0). y N el subespacio vectorial de ecuación N ~. 1. Hallar la matriz de la simetría afín con base M y dirección N   1   2. Sea τ~v la traslación de vector ~v =  1 . Hallar la forma de Jordan 0 Jh de la composición h1 = τ~v · σ. 3. Hallar 0 tal que M0 (h1 ) = Jh1 4. Si h2 = σ · τ~v , estudiar si h1 y h2 son afínmente equivalentes. Demostración. Empezamos buscando la simetría vectorial ~σ asociada a σ. ~ := (x1 = 0, x2 = 0) Buscamos el vector que generan la base M   * 0 +   ~ M :=  0  = he~3 i 1 34

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~ := (x3 = 0) Buscamos los vectores que generan la dirección N     * 1 0 +    ~ :=  0  ,  1  N  = he~1 , e~2 i 0

0

Sabemos que una simetría deja invariantes los vectores de la base e invierte los de la dirección, por lo que ~σ (e~3 )

=

~σ (e~1 )

= −e~1

~σ (e~2 )

= −e~2

De manera que la matriz de M (~σ ) es  −1  M (~σ ) =  0 0

e~3

0 −1 0

0



 0  1

El siguiente paso es obtener los coeficientes  1 0 0   α −1 0 M (σ) =   β 0 −1  γ 0 0

de M (σ)  0  0   0   1

Buscamos un punto perteneciente a la base afín de la simetría, que quedará invariante   por ella. Observamos que el origen 1    0   e0 =   0  ∈ M , de manera que α = β = γ = 0   0  1 0 0 0   0 −1 0 0 M (σ) =   0 0 −1 0  0 0 0 1

del sistema de referencia

     

En el segundo apartado vamos a hallar la forma de Jordan Jh de la   1   composición h1 = τ~v · σ, donde ~v =  1 . 0

35

PROBLEMAS DE ÁLGEBRA II - 1ER CUATRIMESTRE HTTP://FISICAUNED.WORDPRESS.COM La matriz de una traslación M (τ~v ) es  1 0   1 1 M (τ~v ) =   1 0  0 0

0

0

 0   0   1

0

Así que la composición h1 = τ~v · σ es   1 0 0 1 0 0 0    1 1 0 0   0 −1 0  h1 =   1 0 1 0   0 0 −1   0 0 0 0 0 0 1



0 1

0

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



1

   0  = 1  0    1 0 1



0

0

0

−1

0

0

−1

0

0

 0   0   1

Observamos que la aplicación vectorial h~1 ya tiene forma de Jordan, por lo que sólo nos queda determinar si h1 tiene puntos fijos.



1

  1   1  0



0

0

0

−1

0

0

−1

0

0

  0    0   1

h1 (p) = p   1 1    p1   =  p1  p  p2   2 p3 p3 1 − p1 1 − p2 p3

De manera que h1 tiene puntos fijos  1  1  2 p=  1  2 c

     

1 2 1 = p2 ⇒ p2 = 2 = p3

= p1 ⇒ p1 =

de la forma      

c∈R

Es decir, h1 tiene una recta de puntos fijos, por lo que su matriz de Jordan es

 Jh1

1

  0 =  0  0



0

0

0

−1

0

0

−1

0

0

 0   0   1

n o En el tercer apartado vamos a encontrar una base 0 = e00 , e~01 , e~02 , e~03 tal que M0 (h1 ) = Jh1 . Las columnas de la matriz de Jordan son las imágenes 36

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de los vectores de la base 0 , de manera que Jh1 (e00 ) = e00 Es decir, e00 es un punto fijo. Hemos visto que los puntos fijos son de la forma    p=  

1 1 2 1 2

     

c∈R

c por lo que elegimos c = 0    e00 =   

1 1 2 1 2

     

0 Para el resto de vectores del sistema de referencia  − →0 ) = −− →0 ⇒ − →0 ∈ ker J~ + → Jh1 (− e1,2 e1,2 e1,2 id ⇒ x3 = 0 h1 −→0 −→ → −0 → −0 De manera que para  e1,2 podemos elegir e1,2 . Finalmente, Jh1 ( e3 ) = e3 ⇒ −→ → − − − → − e3 0 = → e3 . e3 0 ∈ ker Jh1 − id ⇒ x1 = x2 = 0. Es decir, que podemos elegir → Finalmente,

     1          1   − → − → − 0 2  →   =  1  , e1 , e2 , e3      2        0

En el último apartado h2 = σ · τ~v . Vamos a demostrar que h1 y h2 son afínmente equivalentes. Para que dos aplicaciones sean afínmente equivalentes, debe existir g tal que h1 = g · h2 · g −1 . En este caso podemos utilizar g = σ, como vemos h1 = σ · h2 · σ −1 = σ · (σ · τ~v ) · σ −1 = σ 2 · τ~v · σ −1

(7.2)

Pero ahora, por las propiedades de la simetría σ 2 = id ⇒ σ = σ −1 de manera que 7.2 queda h1 = τ~v · σ que es precisamente la definición de h1 . También podríamos haber utilizado g = τ~v
h1 = τ~v · h2 · τ~v−1 = τ~v · (σ · τ~v ) · τ~v−1 = τ~v · σ · τ~v · τ~v−1 = τ~v · σ 37

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Lo que demuestra de nuevo que h1 y h2 son afínmente equivalentes.



Ejercicio 54. Sea  un sistema de referencia cartesiano de un espacio afín real de dimensión 3 A3 (R). Sean R y S los subespacios afines de ecuaciones respecto a  R

:=

(x2 = 2, x3 = 0)

S

:=

(x1 + x3 = 1, x2 = 2)

1. Hallar la matriz de la simetría afín σ − − − h→ e1 + → e2 + → e3 i.  1  2. Sea τa la traslación del vector  1 + a

con base R + S y dirección   , donde a ∈ R. Determinar

1−a la matriz canónica de Jordan de τa · σ en función de a. 3. Si a = 0, hallar un sistema de referencia cartesiano 0 tal que la matriz de Jordan de τ0 sea M0 (τ0 · σ).

Demostración. a) Empezamos estudiando la posición relativa de las dos rectas R y S. Elegimos un punto de cada recta:   1    x1    pR =    2  0



1



  pS =   

x1

    

2 1 − x1



1



   1   De manera que vemos que existe un punto común p =   2  ∈ R ∩ S. Es   0 decir, las rectas R y S se cortan en un punto. De manera que R + S es un plano afín que contiene las dos rectas R y S. En este caso, podemos describir el plano R + S como ~ +S ~ R+S =p+R   * 1 +  ~ =  R  0  0

* ~= S 38



 +    0  −1 1

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Por lo que 

1



    1 1    1       R+S =  2  + λ 0  + µ 0    −1 0 0 Los puntos q ∈ R + S serán de la forma    1 1     x1   1 + λ + µ   q=  x = 2  2   −µ x3

     

⇒

x2 = 2

R+S

:=

(x2 = 2)

El primer paso para obtener la matriz de simetría afín σ será obtener la ~ +S ~ y dirección D ~ = matriz de la simetría vectorial ~σ asociada, con base R → − → − → − he , e , e i 1

2

3

~ +S ~ := (x2 = 0) R De las propiedades de la simetría sabemos que σ (e~b ) = e~b (deja invariantes − − ~ +S ~ de ecuciones (x2 = 0), los vectores de la base) . Como → e1 , → e3 ∈ R − σ (→ e1 ) − σ (→ e ) 3

− = → e1 − = → e 3

En cuanto a los vectores de la dirección − − − − − − σ (→ e1 + → e2 + → e3 ) = −→ e1 − → e2 − → e3 De manera que tenemos − − − σ (→ e1 + → e2 + → e3 )

− − − − − − σ (→ e1 ) + σ (→ e2 ) + σ (→ e3 ) = → e1 + → e3 + σ (→ e2 ) ⇒ → − → − → − → − ⇒ σ ( e2 ) = −2 e1 − e2 − 2 e3 =

Con lo que la matriz de la simetría vectorial   1 −2 0   ~σ =  0 −1 0  0 −2 1 El siguiente paso implica seleccionar un punto de la base del espacio afín base de la simetría σ (que quedará invariante) para poder determinar los

39

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coeficientes α, β, γ 

1   α M (σ) =   β  γ

 0  0   0   1

0 0 1 −2 0

−1

0

−2

Elegimos un punto cualquiera de R + S,   1    1   p=  2    0     1 1 0 0 0      α 1 −2 0   1        β 0 −1 0   2  =      0 γ 0 −2 1

1







1

   1  = α−3  2    β−2 γ−4 0

    

Con lo que obtenemos α = 4, β = 4, γ = 4 Y la matriz de la simetría afín M (σ)  1   4 M (σ) =   4  4

0

0

1

−2

0

−1

0

−2

0



 0   0   1 

Demostración. b) La matriz de la traslación τa es 

1

0

0

0



   1 1 0 0   τa =   1+a 0 1 0    1−a 0 0 1 con lo que M (τa · σ)  1   1 M (τa · σ) =   1+a  1−a

será 0

0

1

0

0 0

0



1

  0   4  1 0   4 0 1 4

0

0

1 −2 0 −1 0 −2

0





1

0

   0  1 = 5   0   5+a 0 1 5−a 0

0

0



 0   −1 0   −2 1

−2

Vemos que la parte vectorial de M (τa · σ) coincide con M (σ) independientemente del valor de a. Como sabemos que la matriz de Jordan de 40

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una simetría vectorial J~σ es de la forma (base de dimensión 2, dirección de dimensión 1): 

1

0

− →  Jσ =  0

1

0

0

0



 0  −1

− → − − Así, J (→ τa · → σ ) = Jσ . Nos falta determinar si τa · σ tiene puntos fijos (necesitamos un punto para  1 0   5 1   5+a 0  5−a 0

construir la parte afín):    1 1 0 0        −2 0   x1   x1 =  −1 0    x2   x2 x3 x3 −2 1

    ⇒ x2 = 5 , a = 0  2 

En función del valor de a, tendremos dos tipos de formas canónicas de Jordan: 1. a = 0 ⇒Significa que tenemos puntos fijos ⇒Tenemos una simetría afín:

 Ja=0

1

0

0

  0 =  0  0

1

0

0

1

0

0

2. a 6= 0 ⇒Tenemos una simetría  1   1 Ja6=0 =   0  0

0



 0   0   −1

afín con desplazamiento:  0 0 0  1 0 0   0 1 0   0 0 −1 

Demostración. c) Ahora vamos a buscar un sistema de referencia 0 tal que la matriz de Jordan (para el caso a = 0) coincida  1   0 Ja=0 =   0  0

con M (τ0 · σ).  0 0 0  1 0 0   0 1 0   0 0 −1

Las columnas de la matriz de Jordan son las imágenes de los vectores de este sistema de referencia, de manera que J (e00 ) = e00 41

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Elegimos como e00 un punto fijo, cuya forma hemos determinado en el apartado anterior x2

=

e00

=

5 , (a = 0) 2   1    0     5   2  0

Para los vectores       →0 ⇒ − →0 ∈ ker − − ~ = ker → ~ J e~01,2 = − e1,2 e1,2 τ0→ σ − id σ − id  → − − − − − J (→ e3 ) = −→ e3 ⇒ → e3 0 ∈ ker → σ + id 

1





0



  − ~ ker → σ − id

  −0 →   − − ⇒ x2 = 0 ⇒ → e1 0 = → e1 =  0  , → e2 = − e3 =  0  0 1   1  → −   → − → − 0 ker σ + id ⇒ x1 = x2 = x3 ⇒ e3 =  1  1 Finalmente, el sistema de   1      0 0 =    25     0 Podríamos comprobar que  1   0 P =  5  2 0

referencia 0 en     1 0      , 0 , 0   0 1

el que M0 (τ0 σ) = J es       1      , 1     1  

funciona mediante:  0 0 0  1 0 1   P −1 M (τ0 σ) P = J 0 0 1   0 0 1 

Ejercicio 55. Sea  un sistema de referencia cartesiano de un espacio afín real de dimensión 3 A3 (R). Sean M y N los subespacios afines de ecuaciones respecto a  M

:=

(x3 = 0)

N

:=

(2x1 + x3 = 2, x2 = 0) 42

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1. Hallar la matriz respecto a  de la simetría afín σ con base N y ~. dirección M 2. Hallar la matriz respecto a  de la proyección afín π con base M y ~. dirección N

Demostración. a) Empezamos calculando la matriz de la simetría vectorial ~σ asociada a σ ~ := (2x1 + x3 = 0, x2 = 0) y dirección M ~ := (x3 = 0). con base N       * 1 * + 0 + 1      ~ =  0 , 1  ~ :=  0  M N  −2 

d

g

 Sea ~σ =  b

e

c

f

 h  i 

a   b c

d e f

0



a



0



1



  σ 0  −2   g 1   h  0  i −2

=

a

=

1 − 2g

b

=

2h



2i − 2

1 − 2g

d

 

2h

e

2i − 2

f



1



−2 =

1

h =

0

i

−1

 =  0 0  1  =  0

  σ 0  0   g 1   h  0  i −2 g



   0  −2     1 a − 2g      0  =  b − 2h  −2 c − 2i

=

c =



1

= 1 43

   



  =

1 + 2g



2h

 

2i − 2

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

−1

  0 0

d e f

0





  −1 0  0   −1

  σ 1  = 0   0 −1   0  1  =

d =

   



d



   = e  f 0

0

1

0

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0

e

= −1

f

=

0

De manera que ~σ 

−1

 ~σ =  0

0 −1

0

0

−1



 0  1

Ahora utilizamos un punto de la base de σ (que quedará invariante por la acción de σ) para completar la matriz M (σ).   1    1   N 3p=  0    0       1 1 1 1 0 0 0        α −1 0 −1   1   1   α − 1        β 0 −1 0   0  =  0  =  β       γ 0 γ 0 0 1 0

     

De manera que α=2 β=0 γ=0 Y finalmente



1

  2 M (σ) =   0  0

0

0

−1

0

0

−1

0

0

0



 −1   0   1 

Demostración. b) Para encontrar la matriz de la proyección afín π con base M y direc~ procederemos de manera análoga al apartado anterior. Empezamos ción N − buscando las proyección vectorial → π asociada a π. 44

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La proyección deja invariante los vectores de la base, por lo que podemos escribir: 1



  → − π 0  0   1 g   h  0  0 i

 =  0 0  1  =  0

 





0



 =  1 0  0  =  1

 





a

d

  b c

e



f

0

d

  1 0

e f

0





1



  → − π 1  0   g 0   h  1  i 0





a



    =  b  ⇒ a = 1, b = 0, c = 0 c 0





a



    =  b  ⇒ d = 0, e = 1, f = 0 0 c

La proyección envía los vectores de la dirección a ~0     0 1     → − π 0  =  0  −2 





0

0

g

  1 0

1

  h  0  = i −2

0

1

0 

0





1 − 2g



1      0  =  −2h  ⇒ g = , h = 0, i = 0 2 0 −2i

De manera que M (~π ) es 



0

0

1 2

 M (~π ) =  1

1

0

0

 0  0

Para obtener la matriz de la proyección afín π, elegimos un punto de la base M := (x3 = 0). Por ejemplo, el origen,   1    0   p=  0 ∈M   0

45

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De manera que 

1

0

0

0

  0 M (π) =   0  0

0

0

1 2

1

1

0

0



   0   0 

Ejercicio 56. Sea  un sistema de referencia cartesiano de un espacio afín real de dimensión 3 A3 (R). Sea P el subespacio afíne de ecuación respecto a P := (x1 + x3 = 1) Hallar la proyección afín π con base P y dirección ~ := (x1 = 0, x2 + 2x3 = 0) D Demostración. Empezamos buscando la proyección vectorial ~π asociada a π. Buscamos los vectores que generan la base P (y que quedarán invariantes bajo la acción de ~π ): P~ : P~

=

(x1 + x3  * 1  :=  0 −1

= 0) → x3 = −x1    0 +    , 1  0

  * + 0   ~ =  2  Buscamos el vector que genera la dirección D −1 Utilizandos las propiedades de la proyección, escribimos:        a d g 1 1 a−g         b e h  0  =  0  =  b − h  c 

a   b c

f d e f

−1   a−1 0   b  1  c+1 0 i

−1 c−i    0 d     =  1  =  e  ⇒ d = 0, e = 1, f = 0 0 f 

Finalmente:        a 0 a−1 0 0 −a + 1        b   2  =  0  =  2 − b  ⇒ a = 1, b = 2, c = −1  b 1 c 0 c+1 −1 0 −c − 1 46

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De manera que M (~π ) 



1

0

0

 M (~π ) =  2

1

 2  0

−1

0

Ahora elegimos un punto de la base P para completar la matriz de la proyección afín π. Elegimos 

1



   1  ∈P  p=   0  0 De manera que  1 0 0   α 1 0   β 2 1  γ −1 0

0



1





1

      0   1  =  1    2  0    0 0 0 0







1

    α+1 =   β+2   γ−1

   ⇒ α = 0, β = −2, γ = 1  

Con lo que, finalmente 

1

  0 M (π) =   −2  −1

0

1

 0   1 2   0 0

2 −1

0



0

0



8.

H OMOTECIAS AFINES Y DILATACIONES

Definición 57. En un espacio afín X, una homotecia h = h (c, λ) afín de centro c y razón λ, con λ 6= 0, 1, actúa dejando únicamente el centro fijo y manteniendo invariantes las direcciones, produciendo, de manera uniforme desde el centro, una extensión (si |λ| > 1) o una contracción (si |λ| < 1) en función de la razón λ (ver figura 8.1). Formalmente la acción de h (c, λ) sobre cada punto x del espacio afín X se expresa por → = c + λ (x − c) h (c, λ) (x) = c + λ (− cx) por lo que h (c) = c es el único punto fijo de la homotecia h y la transfor→ − mación lineal asociada es ~h = λ id. Definición 58. Matriz asociada a una homotecia h. 47

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F IGURA 8.1. Homotecia h (c, λ) de centro c y razón λ > 1.

La matriz asociada una homotecia M (h) es de la forma:   1 0 0 0    c1 λ 0 0   M (h) =   c 0 λ 0   2  c3 0 0 λ Definición 59. Matriz de Jordan de una homotecia h La matriz de Jordan Jh de una homotecia es de la forma ! 1 0 Jh = 0 λId pues la homotecia siempre tiene un punto fijo, el centro de la homotecia y la transformación lineal asociada tiene forma de matriz diagonal λId. El conjunto formado por las homotecias y las traslaciones de X se denomina grupo de las dilataciones de X. Definición 60. Matriz de Jordan de una dilatación d La matriz de Jordan Jd de una dilatación d, si tiene un punto fijo (y λ 6= 1) es 

1

0

0



  0 Jd =   0  0

λ

0

0

λ

0

0

 0   0   λ

48

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Proposición 61. La composición de una homotecia h (c, λ) y una traslación τ~v también es una homotecia (ver ejercicio 65) h1

= h (c, λ) · τ~v ⇒

λ1 = λ

h2

= τ~v · h (c, λ) ⇒

λ2 = λ

λ ~v λ−1 ~v c2 = c − λ−1 c1 = c −

Para demostrar que h es homotecia afín debemos verificar que: ~ 1. ~h = λid 2. Existe un único punto c ∈ X tal que h (c) = c

Proposición 62. Un endomorfismo afín d es una dilatación si y sólo si transforma una recta en otra paralela (ver ejercicio 68)

8.1.

Problemas tipo.

Ejercicio 63. Sea A3 (R) el espacio afín real de dimensión 3 y  un sistema de referencia  cartesiano. Calcula  1    2   con centro c=  0  y tal que   1  1   1 h  1  1

la matriz respecto a  de la homotecia h





1



     −1  =    3     1

Determina la razón λ.

Demostración. Por las propiedades de la homotecia sabemos que su matriz es de la forma



1

0

0

  α λ 0 M (h) =   β 0 λ  γ 0 0 49

0



 0   0   λ

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→ − donde λ es la razón y ~h = λ id. Como la homotecia deja el centro invariante, h (c) = c 



1





1

0

0

0

  α   β  γ

λ

0

0

λ

0

0

    0   2    0  0   1 λ





1



1

    2   α + 2λ   =   0 = β    γ+λ 1

2

= α − 2λ

0

= β

1

= γ−λ

    

De manera que 

1

  2 − 2λ M (h) =   0  γ−λ

0

λ

 0   λ 0   0 λ   1    1  =  1    1

0 0 

  Y ahora, gracias al conocimiento de que h    la razón 

1

  2 − 2λ   0  1−λ



1





0



0

0



1

0

0

0

λ

0

0

λ

0

0

      0   1  =  2 − λ    0   1   λ 1 1 λ

Con lo que hemos determinado M (h)  1 0 0 0   −4 3 0 0 M (h) =   0 0 3 0  −2 0 0 3

1



 −1   determinamos 3   1 1



    −1     3  ⇒ λ = 3   1

      

Ejercicio 64. Sea A3 (R) el espacio afín real de dimensión 3 y  un sistema de referencia cartesiano. Sea h la homotecia  1 0 0   1 3 0 M (h) =   0 0 3  1 0 0 50

afín que verifica:  0  0   0   3

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Hallar la matriz de Jordan Jh para h y un sistema de referencia 0 tal que M0 (h) = Jh .

Demostración. La matriz de Jordan de una homotecia Jh es de la forma ! 1 0 Jh = 0 λId ya que la homotecia siempre tiene un punto fijo, el centro de la homotecia. En nuestro caso, la forma de la matriz  1 0   0 3 Jh =   0 0  0 0

de Jordan Jh es  0 0  0 0   3 0   0 3

Ahora vamos a buscar un sistema de referencia cartesiano 0 = {e00 , e~i , i = 1, 2, 3} tal que M0 = Jh Empezamos buscando el nuevo origen del sistema de referencia 0





1

0

0

0

  1   0  1

3

0

0

3

0

0

  0    0   3

h (e00 ) = e00   1 1    1 + 3x1 x1   =   3x x2  2   x3 1 + 3x1





1



     x1  1 1 =    x  ⇒ x1 = − 2 , x2 = 0, x3 = − 2   2  x3

− → − − − − − − Como ~h = λId podemos utilizar los vectores → e1 0 = → e1 , → e2 0 = → e2 y → e3 0 = → e3 de manera que           1     1 0 0      1   −      0 2     =  , , , 0 1 0             0     0 0 1    −1 2 

Ejercicio 65. En el espacio afín X sea h un homotecia afín de centro c y razón λ 6= 0, 1. Sea τ~v la traslación de vector ~v 6= 0. 1. Probar que las composiciones h1

=

h · τ~v

h2

=

τ~v · h

son homotecias afines de razón λ. 51

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2. Si c1 y c2 son los centros de h1 y h2 comprobar que satisfacen c1 c2

λ~v λ−1 ~v = c− λ−1 = c−

Concluir que si ~v 6= ~0 se cumple que h1 6= h2 .

Demostración. Para demostrar que h es una homotecia afín debemos com → − ~ probar que para la aplicación vectorial asociada h (x) = λ id (x) existe un único c ∈ X tal que h (c) = c. Por definición de homotecia → = c + λ (x − c) h (x) = h (c, λ) (x) = c + λ (− cx) Luego h1 (x) = (h · τ~v ) (x) = h (x + ~v ) = c + λ (x + ~v − c) Ahora tomamos un y ∈ X, y 6= x → h~1 (− xy)

h1 (y) − h1 (x) = c + λ (y + ~v − c) − (c + λ (x + ~v − c)) = − → ⇒ h~ = λ→ = λ (y − x) = λ (− xy) id 1

=

Medianteh1 (x) = x buscamos el punto invariante de la homotecia h1 (su centro).

x = h1 (x) = (h · τ~v ) (x) = h (x + ~v ) = c + λ (x + ~v − c) = c + λx + λ~v − λc Aislamos x para obtener el punto invariante de la homotecia h1 x − λx

=

c + λ~v − λc

x (1 − λ)

=

(1 − λ) c + λ~v λ~v (λ 6= 1) c− λ−1

x =

Por tanto, hemos comprobado que h1 = h · τ~v es una homotecia de razón λ y centro c1 = c −

λ~ v λ−1 .

Seguimos los mismos pasos para comprobar el caso de la homotecia h2 = τ~v · h

→ − Primero probamos que ~h2 = λ id h2 (x) = (τ~v · h) (x) = τ~v (c + λ (x − c)) = c + λ (x − c) + ~v 52

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Elegimos un y ∈ X, y 6= x → h2 (− xy)

= h2 (y − x) = h2 (y) − h2 (x) = = c + λ (y − c) + ~v − (c + λ (x − c) + ~v ) = − → ⇒ h~ = λ→ = λ (y − x) = λ− xy id 2

Ahora, vamos a buscar su centro, es decir, que existe un único punto x ∈ X tal que h2 (x) = x. x x − λx x

= h2 (x) = (τ~v · h) (x) = c + λ (x − c) + ~v = c (1 − λ) + ~v ~v = c− (λ 6= 1) λ−1

Es decir, que h2 es una homotecia de razón λ y centro c2 = c −

~ v λ−1 .



Ejercicio 66. Sea  = {0; e~1 , e~2 , e~3 } un sistema de referencia cartesiano del espacio afín real de dimensión 3 A3 (R)



1



   1   1. Calcular la matriz de dilatación d con centro c =   0  y razón   1     1 1      1   1     λ = 2 tal que d   0  =  2 .     1 0 2. Expresar d como composición de una homotecia afín con centro en el origen O y una traslación.

Demostración. 1) La dilatación es de razón λ = 2 de manera  1 0 0   α 2 0 M (d) =   β 0 2  γ 0 0 53

que M (d) es  0  0   0   2

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1



   1   Utilizamos que sabemos cómo actúa sobre   0    1       1 1 1 1 0 0 0        α 2 0 0  1   1   α + 2        β 0 2 0  0  =  2  =  β       γ+2 0 1 γ 0 0 2 1

= α + 2 → α = −1

2

= β

0

= γ + 2 → γ = −2

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     

De manera que 

1

  −1 M (d) =   2  −2

0

0

0



 0   0 2 0   0 0 2 2

0



Demostración. 2)

→ − Si descomponemos d = τ~v · h, donde h es una homotecia afín d~ = ~h = 2 id,

de manera que h tiene razón λ = 2. Como h deja fijo el origen O   1 0 0 0    0 2 0 0    M (h) =    0 0 2 0  0 0 0 2     1 0 0 0 1      −1 1 0 0   −1      M (τ~v ) =   ~v =  2   2 0 1 0    −2 0 0 1 −2 

Ejercicio 67. Sea  un sistema de referencia cartesiano del espacio afín real de dimensión 3 A3 (R). 54

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1. Hallar la matriz de la dilatación d de A3 (R) que transforma P1 en Q1 y P2 en Q2  P1

P2

1





1



   0   Q1 =   2    1   1    0   Q2 =   1    1

   1   =   0    0   1    1   =   2    0

2. Hallar la transformación canónica de Jordan de d. Demostración. 1) Si d transforma P1 en Q1 y P2 en Q2 usamos esta información para determinar λ, α, β y γ. 



1   −λ   2  1 Así,

0

0

  α λ 0 M (d) =   β 0 λ  γ 0 0    1 1 0 0 0     1   0 λ 0 0    =     0 λ 0   0   2 1 0 0 0 λ

1

  α   β  γ



1

0

0

λ

0

0 0

λ 0



0   0    0   λ

1 1 2 0

α

= −λ

β

=

0



 0   0   λ  

1

    α+λ =   β   γ

     

2

γ 

= 1     1 1        0   λ−λ  1 = =    1   2 + 2λ  ⇒ λ = − 2      1 1 

1

 1  2 M (d) =   2  1

0

0

− 12

0

0

− 21

0

0

0



 0   0   − 12 

55

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Demostración. 2) Como la dilatación d tiene un punto fijo (y λ 6= 1), la matriz de Jordan Jd es



1

0

  0 − 12 Jd =   0 0  0 0

0 0 − 21 0

0



 0   0   1 −2 

Ejercicio 68. Demostrar que un enfomorfismo afín es una dilatación si y sólo si transforma cada recta en otra paralela. Demostración. Para demostrar esta afirmación debemos demostrar: 1. Si d es dilatación ⇒ d transforma cada recta en una recta paralela. 2. Si g transforma cada recta en otra paralela ⇒ g es una dilatación. Si d es una dilatación, entonces transforma una recta en otra paralela. → − Por definición, d~ = λ id ⇒ ∀~v , d~ (~v ) = λ~v , es decir, la dirección de la recta h~v i queda invariante ⇒ d transforma una recta en otra recta paralela. En cuanto a la segunda implicación, suponemos que g (R) es paralela a R⇒ ~g (~v ) = λ~v ~v para un autovalor λ~v asociado a ~v . Tenemos que demostrar que λ~v es independiente de ~v . Vamos a mirar qué casos pueden darse: 1. Si w ~ = α~v (es múltiplo de ~v ) ~g (w) ~ ~g (α~v )

= λw~ w ~ = α~g (~v ) = αλ~v ~v = λ~v (α~v ) = λ~v w ~

De manera que λw~ = λ~v = λ siempre que ~v y w ~ sean linealmente dependientes. 2. Si ~v y w ~ son linealmente independientes: ~g (~v + w) ~ ~g (~v ) + ~g (w) ~

= λ~v+w~ (~v + w) ~ = λ~v+w~ ~v + λ~v+w~ w ~ = λ~v ~v + λw~ w ~

Como ~v y w ~ son linealmente independientes, de la igualdad se deduce que λ~v+w~ = λ~v = λw~ = λ → − Por lo que hemos demostrado que λ no depende de ~v , ~g = λ id y por tanto, g es una dilatación.

 56

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C LASIFICACIÓN DE ENDORFISMOS AFINES

El problema de clasificación de endomorfismos afines es análogo al de clasificación de endomorfismos lineales (de hecho, es un caso particular). La teoría de invariantes lineales y el teorema de Jordan constituyen las herramientas básicas para el problema de la clasificación. ~ es invariante por f si verifica Proposición 69. Un subespacio afín U = p+ U ~ es un subespacio vectorial invariante por f~. 1. U ~. 2. ~v = f (p) − p tal que ~v ∈ U Teorema 70. Teorema de clasificación afín para simetrías afines (Ejercicio 9.2) Dos simetrías afines σ y σ 0 cuyas bases son B y B 0 respectivamente, son afínmente equivalentes si y sólo si dim B = dim B 0 . Teorema 71. Teorema de clasificación afín para proyecciones afines (Ejercicio 9.2) Dos proyecciones afines π y π 0 cuyas bases son B y B 0 respectivamente, son afínmente equivalentes si y sólo si dim B = dim B 0 . Teorema 72. Teorema de clasificación afín de dilataciones (Ejercicio 9.4) Dos dilataciones f1 y f2 son afínmente equivalentes si y sólo si f1 y f2 son traslaciones, o bien f1 y f2 son homotecias con la misma razón. Teorema 73. Teorema de clasificación afín para deformaciones (Ejercicio 9.6) Sean f1 y f2 dos deformaciones afines con bases B1 y B2 y razones ρ1 y ρ2 respectivamente. Entonces f1 y f2 son afínmente equivalentes si y sólo si dim B1 = dim B2 y ρ1 = ρ2 . Teorema 74. Teorema de clasificación afín para las deformaciones con deslizamiento (Ejercicio 9.16) Sean f y f 0 dos deformaciones afines con deslizamiento, con bases B y B 0 y razones ρ1 y ρ2 respectivamente. Entonces, f 0 y f 0 son afínmente equivalentes si y sólo si dim B = dim B 0 y ρ1 = ρ2 . 9.1.

Problemas tipo. Tenemos dos problemas tipo en este apartado: Tipo 1: Tenemos la forma que toma la matriz M (f ) que representa a un endomorfismo f con respecto a un sistema de referencia cartesiano . Se nos pide: 1. Hallar la forma canónica de Jordan Jf de f 57

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a) El primer paso es averiguar si f tiene puntos fijos. Para ello nos preguntamos ¿f (p) = p?, donde p ∈ A3 (R) es un punto cualquiera de la forma p = (1, a, b, c). 

1

 0 1) Si f tiene puntos fijos, entonces Jf es Jf =   .. . 



0

···

Jf~ .. .

 · · · .  .. .

1

0

···



  1 Jf~ · · ·  2) Si f no tiene puntos fijos, entonces Jf es Jf =    .. .. . . . . . b) El resto de la matriz de Jordan Jf de f es la forma canónica → − de Jordan para la aplicación lineal asociada f al endomorfismo afín f . Por tanto hallamos la forma canónica de Jf~ → − calculando el polinomio característico χ ~ (λ) = det f~ − λ id , f

etc. 2. Hallar un sistema de referencia 0 en el que M0 (f ) = Jf a) Las columnas de la forma de Jordan Jf son la imagen de los vectores del sistema de referencia 0 por f de manera que podemos escribir, para cada columna:   1 0 0 0    ε λ1 0 0    Jf =    0 1 λ2 0  0 0 2 λ 3 f (O0 ) =   f e~01 =

O0 + εe~01

(ε = {0, 1})

λ1 e~01 + 1 e~02

(1 = {0, 1})

.. . 3. Hallar las ecuaciones respecto a 0 de los subespacios afines invariantes por f . Usaremos la proposición 69 para encontrarlos. a) Primero buscamos los subespacios invariantes vectoriales por f~. b) Tomamos un punto A3 3 p = (1, a, b, c) cualquiera y construimos ~v = f (p) − p. n o n o ~ , donde X ~ es el conjunto de los c) Comprobamos si ~v ∈ X ~ entonsubespacios vectoriales invariantes por f~. Si ~v ∈ X, ~ es un espacio invariante por f . ces X = p|X~ + X 58

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Tipo 2: Dado un polinomio característico χf (λ) y las condiciones que verifica el endomorfismo afín f , hallar la forma canónica de Jordan Jf de f . Las condiciones que verifica f son del tipo: f no tiene puntos fijos, f no tiene rectas invariante y deja al menos un plano invariante, etc. Ejercicio 75. (Ejercicio Tipo 1) En el espacio afín tridimensional A (R) se considera el sistema de referncia cartesiano  = {O; e~1 , e~2 , e~3 }. Sea f un endomorfismo cuya matriz respecto a  viene dada por: 



1

0

0

0

  0 M (f ) =   1  0

1

1

0 0

1 0

 1   0   1

1. Calcular la matriz de Jordan Jf de f . 2. Hallar el sistema de referencia 0 de A3 tal que M0 (f ) = Jf . 3. Determinar las ecuaciones respecto a 0 de los subespacio afines invariantes por f . Demostración. 1) Para buscar la matriz de Jordan Jf empezamos buscando puntos fijos.



1

0

0

0

  0   1  0

1

1

1

0

1

0

0

0

1

f (p) = p ?    1 1     a   a + b + c     b  =  1 + b    c c

     

Vemos que obtenemos b = b + 1, lo que es una contradicción, por lo que f no tiene puntos fijos. De esta forma, sabemos que Jf es de la forma   1 0 0 0    1    Jf =   Jf~  0  0 Ahora vamos a buscar la matriz de Jordan de la parte lineal Jf~. Empezamos determinando el polinomio característico χf (λ) 1−λ 1 1 3 χf (λ) = 0 1−λ 0 = (1 − λ) 0 0 1−λ 59

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Tenemos un valor propio λ = 1 con multiplicidad 3, por lo que la forma de Jf~ es 



1

0

0

 Jf~ =  1

1

0

2

 0  1

  → −  Para determinar los valores de 1 y 2 calculamos dim ker f~ − id = 3−    → − rg ker f~ − id  0   → −  ~ rg ker f − id = 0 

 1  0 =1 0

1 0

0 0  → − ker f~ − id := (y + z = 0) 

  → −  Como dim ker f~ − id = 2 (6= 3) alguno de los i debe ser igual a 1. Tenemos dos posibilidades: 



1

0

0

 J~1 =  1 0

1

 0  1

0





1

0

0

 J~2 =  0 0

1

 0  1

1

Aunque estas dos formas son linealmente equivalentes (reordenando las cajas), como Jf no tiene puntos fijos, las formas afines de J1 y J2 ni tienen porqué ser afínmente equivalentes.   1 0 0 0    1 1 0 0   J1 =   0 1 1 0    0 0 0 1





1

0

0

0

  1 J2 =   0  0

1

0

0

1

0

1

 0   0   1

Tenemos que diferenciar cuál de las dos formas es la que corresponde a nuestro endorfismo. Para ello, utilizaremos el rango, que es un invariante.   0 0 0 0      0 0 0 0  2   ⇒ rg ker (J1 − id)2 = 1 ker (J1 − id) =    1 0 0 0  0 0 0 0   0 0 0 0      0 0 0 0  2  ⇒ rg ker (J2 − id)2 = 0 ker (J2 − id) =   0 0 0 0    0 0 0 0

60

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Vemos que, efectivamente, J1 y J2 no son afínmente equivalentes. Para determinar cuál corresponde a el endomorfismo de nuestro enunciado: 



0

0

0

0

  0 2 ker (M (f ) − id) =   1  0

0

0

0

0

0

0

   0   ⇒ rg ker (M (f ) − id)2 = 1  0  0

Con lo que vemos que Jf = J1 . 



1

0

0

0

  1 Jf =   0  0

1

0

1

1

0

0

 0   0   1 

Demostración. 2) Ahora vamos a buscar un sistema cartesiano de referncia 0 en el que M0 (f )) = Jf . Las columnas de Jf son las imágenes por f de 0 , de manera que podemos escribir: f (O0 )

=

O0 + e~01 → e~01 = (f − id) (O0 ) →  → −    → − 2  ~0   ~ → − 3 → ~0 = f~ − id e~02 = f~ − id e1 = f − id (O0 ) ⇒ 3

  f~ e~01

  f~ e~02   f~ e~03

2

⇒ O0 ∈ ker (M (f ) − id) − ker (M (f ) − id) − ker (M (f ) − id)   → −   → −    → − 2  ~0  = e~01 + e~02 → e~02 = f~ − id e~01 → ~0 = f~ − id e~02 = f~ − id e1   → − ⇒ e~01 ∈ ker f~ − id   → −   → − = e~02 → ~0 = f~ − id e~02 ⇒ e~02 ∈ ker f~ − id   → −   → − = e~03 → ~0 = f~ − id e~03 ⇒ e~03 ∈ ker f~ − id

Para el origen O0 tenemos 



0

0

0

0

  0 3 ker (M (f ) − id) =   0  0 61

0

0

0

0

0

0

 0   0   0

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Es decir, que podemos elegir cualquier punto como origen ⇒ elegimos O0 = (1, 0, 0, 0). Ahora, e~01 = (f − id) (O0 )      1 0 0 0 0 0     0 0 1 1  0      =  1  e~01 =   1 0 0 0  0     0 0 0 0 0 0      1 0 0 1 1     → −      0 0 ~ ~ ~ e2 = f − id e1 =  0 0 0   1  =  0  0 0 0 0 0   → − Y finalmente, e~03 = ker f~ − id (pero independiente de e~02 )  0  → −  ker f~ − id =  0 

1

1



x





0



    0  y  =  0  ⇒ y + z = 0 0 z 0 0 0      0     1     Podemos elegir, por ejemplo  0  ,  1  . Como e~3 0 debe ser lineal    0 −1 mente independiente de e~0 , elegimos 0

2



0



  e~3 =  1  −1 Y el sistema de referencia 0 resulta           1        1 0 0     0       0    =  , 1 , 0 , 1        0   0 0 −1      0 

Demostración. 3) Para determinar las ecuaciones respecto a 0 de los subespacios afines invariantes por f conviene recordar la caracterización de los subespacios afines invariantes: ~ es invariante por f si: U =p+U ~ es subespacio invariante por f~. 1. U ~ , donde p es un punto cualquiera. 2. f (p) − p = ~v ∈ U 62

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Al pedir las ecuaciones respecto a 0 debemos trabajar con la matriz M0 (f ) = Jf . Empezamos por calcular los subespacios invariantes por   1 0 0   Jf~ =  1 1 0  0

0

1

Rectas invariantes Lasrectas invariantes se obtiene al calcular los subes→ − ~ pacios ker f − λ id asociados a cada autovalor λ. En nuestro caso, sólo tenemos un valor propio, λ = 1      0 0 0 x 0   → −      ~ ker f − id =  1 0 0  y  =  0  0 0 0 z 0   → − → ker f~ − id := (x = 0) ~ := (x = 0) Por tanto, todas las rectas contenidas en el plano Π son rectas vectoriales invariantes. ~ := (x = 0). Como esPlanos invariantes De momento, tenemos el plano Π tamos en dimensión 3, el número de hiperplanos -planos- invariantes coincide con el de rectas invariantes. Como tenemos infinitas rectas, también tenemos infinitos planos invariantes. Para calcular las ecuaciones de estos planos, utilizamos H := (u1 x + u2 y + u3 z = 0) es hiperplano invariante por f~ ⇐⇒ (u1 , u2 , u3 ) autovector de f~t      u1 u1 1 1 0      Jft~ =  0 1 0   u2  =  u2  ⇒ u1 + u2 = u1 ⇒ u2 = 0 0

0

1

u3

u3

Tenemos un haz de planos invariantes de la forma Hα,β := (αx + βz = 0)

α, β ∈ R

~ := (x = 0) = Hα,0 El caso Π

El siguiente paso es obtener los subespacios afines invariantes. ~ será invariante por f cuando su Una recta afín invariante R = p + R ~ sea invariante por f~ y ~v = f (p) − p ∈ R. ~ Pero recta de vectores asociada R   1   ~ := (x = 0), acabamos de ver que si p ∈ A3 (R), entonces ~v =  a  ⇒ ~v ∈ /Π 0 de manera que no tenemos rectas afines invariantes. 63

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Como en el caso de las rectas, vemos que ~v ∈ Hα,β ⇐⇒ α = 0, de manera que los planos afines invariantes serán los que  tengan  como dirección 1    a  , se cumple que  el plano H0,β := (z = 0). Para cualquier punto p =    b  c ~ es un plano afín invariante por f si H =p+H       1 0 +  * 1   0        H=  +  0 , 1   0  0 0 c (Los planos afines invariantes son paralelos al plano z = 0)



Ejercicio 76. (Ejercicio tipo 2) Hallar la matriz de Jordan Jf de un endomorfismo afín f de A3 (R) tal  → − 4 ~ que χf (t) = (t − 1) , rg f − id = 1 y f deja invariante al menos una recta y no tiene puntos fijos.

4

Demostración. Del polinomio característico χf (t) = (t − 1) observamos que el endorfismo sólo tiene un valor propio, λ = 1, con multiplicidad 4. Además, el endorfismo no tiene puntos fijos, por lo que la forma de Jordan será



1   1 Jf =   0  0

0 1

0 0

1

1

0

2

 0  0   0   1

con i ={0, 1}, (i = 1, 2). Para averiguar el valor de los i utilizamos   → − → − rg f~ − id = 1 = rg J f~ − id 

 0  → −  rg J f~ − id =  1

0

0

0

0

2

 0 =1 0



Por lo que uno de los dos i = 1. Tenemos dos opciones:     1 0 0 1 0 0     J~1 = 1 1 0 J~2 = 0 1 0 0

0

1

0 64

1

1

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Para determinar cuál es la forma correspondiente al endomorfismo del enunciado, utilizamos la información de que deja al menos una recta invariante. Las rectas invariantes están asociadas a los subespacios de los valores → − ~ propios, ker f − id  0  ~ ker J~1 − id = 1

0

0

0





0

    0 x     0 y  = 0 := (x = 0) 0 z 0 0

Es decir, que tenemos un plano de rectas invariantes.   ~ ? ~v = f (p) − p ∈ ker J~1 − id   1   a  Consideramos un punto cualquiera p =   b  ∈ A3   c        1 1 1 0 0 0 1        1 1 0 0 a a   ~       = ∈ / ker J − − id ~v = f (p) − p =  a   ~ 1     0 1 1 0  b   b  0 c c 0 0 0 1 Es decir, que no tenemos rectas afines invariantes para el endorfismo representado por J1 , por lo que J1 no puede ser la forma del endomorfismo que buscamos. Repetiremos el proceso para J2 como comprobación.   1 0 0 0   1 1 0 0   J2 =   0 0 1 0 0 0 1 1      0 1 0 x 0   → −      ker J~2 − id = 0 0 0 y  = 0 := (y = 0) 0 0 0 z 0 En este caso,  1  1 ~v = f (p) − p =  0  0

0

0

1

0

0

1

0

1

      1 1     1      0 → −   a − a =  ∈ ker J − id 0   ~ 2     0  b b b 1 c c 0

65

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Por lo que sí tenemos al menos una recta invariante; de hecho, lo son todas las que tengan como vector dirección   1   ~v = 0 b ∈ R b Es decir, que las rectas afines invariantes serán de la forma      1 1     a     Ra,c =   + 0    b  b c Por lo tanto, la forma de Jordan del endorfismo que buscamos es   1 0 0 0   1 1 0 0   = J2 Jf =   0 0 1 0 0 0 1 1 

Ejercicio 77.

Sea  un sistema de referencia cartesiano de un espacio real afín A3 (R) de dimensión 3. Sea f el endorfismo afín  1 0  1 2 M (f ) =  0 0  0 0

de matriz respcto a   0 0  0 0  2 0  1 2

Hallar los subespacios afines invariantes por f respecto a .

Demostración. Vemos que M (f ) ya tiene forma de matriz de Jordan. Del aspecto que tiene deducimos que f no tiene puntos fijos y que tenemos un único valor propio λ = 2 con multiplicidad 3.   0 0 0      → − → −    =3−1=2 rg ker f~ − 2 id = rg 0 0 0 = 1 ⇒ dim ker f~ − 2 id 0 1 0 66

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Como las columnas de M (f ) = Jf son las imágenes de los vectores de e~i del sistema de referencia, tenemos f~ (e~1 )

=

 → − 2e~1 → e~1 ∈ ker f~ − 2 id

f~ (e~2 )

=

2e~1 + e~2

f~ (e~3 )

=

 → − 2e~3 → e~3 ∈ ker f~ − 2 id

Vemos que e~1 y e~3 son autovectores de valor propio λ = 2, por lo que cada uno de ellos genera una recta invariante por f~. La combinación de estos vectores propios también da lugar a un plano vectorial invariante → − ~ ~ ~ ~ Π = he~1 , e~3 i. Es decir, toda recta R ⊂ Π = ker f − 2 id es invariante por f~. ~ no tenemos más autovectores, por lo que no tenemos Fuera del plano Π más rectas vectoriales invariantes. Ahora vamos a buscar los planos vectoriales invariantes. Como estamos en dimensión 3, los hiperplanos invariantes son planos, por lo que tenemos tantos como rectas invariantes. Para calcularlos, buscamos los vectores propios de f~t . f~ y f~t tienen el mismo polinomio característico, por lo que también tienen los mismos valores propios,λt = 2 con multiplicidad 3. Los autovecto  α  → −   ~ t res de f son vectores ~u = β  ∈ ker f~t − 2 id γ 

    0 α 0      0 0 1 β  = 0 ⇒ γ = 0 0 0 0 γ 0     * 1 0 +   → −     ker f~t − 2 id := (γ = 0) = 0 , 1 0

0

0

0

Es decir: no tenemos puntos fijos. Tenemos todas las rectas conteni → − ~ das en el plano ker f − 2 id := (y = 0) = H0,β y el haz de planos Hα,β := (z = 0) = (αx + βy = 0). Ahora buscamos los subespacios invariantes afines. El primer paso es comprobar si el endorfismo f tiene puntos invariantes: f (p) = p?

67

PROBLEMAS DE ÁLGEBRA II - 1ER CUATRIMESTRE HTTP://FISICAUNED.WORDPRESS.COM  1  1  0  0

0

0

2

0

0

2

0

1

1 + 2a

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    1 1         0  a = 1 + 2a     0  b   2b   b + 2c c 2 0

=

2 → a = −1

2b =

b→b=0

b + 2c =

c→c=0

De manera que sólo tenemos un punto fijo   1   −1  p= 0   0 ~ para todo subespacio Como p es un punto fijo, si ~v = f (p) − p = ~0 ∈ U ~ ~ vectorial invariante U por f . Es decir, en este caso, todos los subespacios vectoriales invariantes también son subespacios afines invariantes por f .   1   −1  Punto fijo: p =  0   0 Rectas: Todas las contenidas en el plano Π := (x = 0) que pasan por p Planos: El haz de planos que contiene la recta R = p + he~3 i  Ejercicio 78. (Ejercicio Tipo 1) Sea  un sistema de referencia cartesiano del espacio afín real A3 (R) de dimensión 3. Sa f el endomorfismo afín con matriz respecto a    1 0 0 0   2 −1 0 −1  M (f ) =  0 0 1 0    4 0 0 −1 1. Hallar la forma canónica de Jordan Jf de f . 2. Hallar un sistema de referencia 0 tal que M0 (f ) = Jf . 3. Hallar todas las ecuaciones respecto de 0 de los subespacios afines invariantes por f . Demostración. 1) 68

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Para calcular la forma de Jordan Jf de f , primero buscamos si f tiene puntos fijos. ¿f (p) = p?  1  2  0  4

    1 1         −1 0 −1  a = 2 − a − c      b 0 1 0  b   4−c c 0 0 −1 0

a

0

0

=

2−a−c→a=0

b = b c =

4−c→c=2

Es decir, que tiene una recta de puntos de la forma   1   0  p= b b ∈ R   2     1   * 0 + 0    R= 0 + 1   0 2 Ahora calculamos la matriz de Jordan Jf~ asociada a la aplicación lineal f~. Su polinomio característico es −1 − λ   → − χf~ (λ) = det M f~ − λ id = 0 0

2 0 = (1 − λ) (1 + λ) −1 − λ −1

0 1−λ 0

Tenemos dos valores propios, λ = 1 con multiplicidad 1 y λ = −1 con multiplicidad 2. Así tenemos que  1  Jf~ = 0 0

0 −1 

0



 0 −1

donde  = {0, 1}. Para determinar su valor, utilizamos el rango   → − → − rg f~ + id = 2 = rg Jf~ − id ⇒  = 1

69

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La forma de Jordan para f es  1  0 Jf =  0  0

0

0

1

0

0

−1

0

1

0



 0  0  −1 

Demostración. 2) n o Ahora buscamos 0 = O0 ; e~01 , e~02 , e~03 tal que M0 (f ) = Jf .   1   0  Como p =  0 es un punto fijo, lo podemos seleccionar como origen del   2 nuevo sistema de referencia   1    0  O0 =  0   2 Para el resto del sistema, escribimos utilizando Jf    → − (9.1) = e~01 → e~01 ∈ ker f~ − id Jf~ e~01    → −   (9.2) Jf~ e~02 = −e~02 + e~3 → e~03 = f~ + id e~02   → − 2 → − (9.3) ⇒ e~02 ∈ ker f~ + id − ker f~ + id    − ~ 0 → e~0 ∈ ker f~ + → Jf~ e~03 = −e id 3 3 Empezamos calculando e~01 a partir de 9.1      0 −2 0 −1 x   → −      ~ ker f − id =  0 0 0  y  = 0 ⇒ x = 0, z = 0 0

0 −2

z   0   0 ~ e1 = 1 0 70

0

PROBLEMAS DE ÁLGEBRA II - 1ER CUATRIMESTRE HTTP://FISICAUNED.WORDPRESS.COM Ahora vamos a por e~02 a partir de 9.3   0 0 0 0 −1   → − 2   ~ ker f + id = 0 2 0  0 2

 → − ker f~ + id =

0  0  0

0

0

0

0 2

  0 0 −1   0  → 0 4 0 0 0 0 0 0     0 x −1     0  y  = 0 ⇒ z = 0, y 0

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    0 x 0     0 y  = 0 ⇒ y = 0 0 z 0

=0

0

z

  → − 2 → − Como e~02 ∈ ker f~ + id − ker f~ + id , por lo que   0   e~02 = 0 1 Y finalmente, por 9.2,  0    → −  0 0 ~ ~ ~ e3 = f + id e2 = 0

0

0

0



2

    −1 0 −1     0  0 =  0  0 1 0

El sistema 0 en el que M0 (f ) = Jf resulta           1     0  −1  0   0       0    =   , 1 , 0 ,  0   0     0   1 0   2 

Demostración. 3) 9.4.c PENDIENTE!!!



Ejercicio 79. (Ejercicio Tipo 1) Sea  un sistema de referencia cartesiano de un espacio afín real de dimensión 3, A3 (R). Sea f el endomorfismo afín cuya matriz respecto a  viene dada por:   1 0 0 0    0 −2 0 0    M (f ) =    3 −4 0 −1  −2 −2 1 2 1. Hallar la matriz de Jordan Jf de f . 2. Hallar un sistema de referencia 0 de A3 (R) tal que M0 (f ) = Jf 71

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3. Hallar las ecuaciones respecto a 0 de los subespacios afines invariantes por f .

Demostración. 1) Para encontrar la matriz de Jordan Jf de un endomorfismo afín primero debemos averiguar si tiene puntos fijos. Para ello, nos preguntamos ¿f (p) = p?, donde p ∈ A3  1 0 0   0 −2 0 f (p) =   3 −4 0  −2 −2 1

es un punto cualquier p = (1, a, b, c)      1 1 0           −2a 0  =  a  =        3 − 4a − c −1   b     −2 − 2a + b + 2c c 2 −2a

1



 a   b   c

= a⇒a=0

3−c = b⇒c=3−b −2 + b + 2c = c ⇒ c = 2 − b Como vemos, llegamos a una contradicción, lo que significa que f no tiene puntos fijos. Esto nos indica que la forma de Jf es   1 0 0 0    1    Jf =    0  0 Ahora buscamos la forma canónica de f~, Jf~. Empezamos calculando el → − polinomio característico χf~ (t) = det f~ − t id −2 − t 0 χf~ (t) = −4 −t −2 1

−1 = 2−t 0

=

(2 − t) t (2 + t) − (2 + t) = (2 + t) [(t (2 − t)) − 1] =
2 (2 + t) 2t − t2 − 1 = − (2 + t) (t − 1)

Obtenemos dos valores propios t = −2 y t = 1 (con multiplicidad 2). De manera que la forma canónica para Jf~ es de la forma:   1 0 0   Jf~ =   1 0  0 0 72

−2

PROBLEMAS DE ÁLGEBRA II - 1ER CUATRIMESTRE HTTP://FISICAUNED.WORDPRESS.COM   → −  Como rg ker f~ − id = 2 tenemos  1   1 Jf =   0  0

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que  = 1, de manera que, finalmente:  0 0 0  1 0 0   1 1 0   0 0 −2 

Demostración. 2) Ahora buscamos un sistema de referencia 0 =

n o O0 , e~01 , e~02 , e~03 en el que

M0 (f ) = Jf . Las columnas de la matriz de Jordan Jf son las imágenes de 0 por f , de manera que podemos plantear: f (O0 ) = O0 + e~01 ⇒ e~01 = (f − id) (O0 )    → −   f e~01 = e~01 + e~02 ⇒ e~02 = f~ − id e~01    → − f e~02 = e~02 ⇒ e~02 ∈ ker f~ − id    → − f e~03 = −2e~03 ⇒ e~03 ∈ ker f~ + 2 id

(9.4) (9.5) (9.6) (9.7)

De las ecuaciones 9.6 y 9.5 vemos que   → − 2 → − (9.8) e~01 ∈ ker f~ − id − ker f~ − id Podemos obtener e~01 a través de la ecuación  9.4 o de 9.8. → − 0 ~ Empezamos buscando e ∈ ker f~ + 2 id : 3



0 → −  ~ ker f + 2 id =  −4 

−2

0

0



x





0



    −1   y  =  0  ⇒ z = 0, y = 2x 0 1 2 z   1   0 ~ e3 =  2  2

0 73

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  → − 2 → − Ahora e~01 ∈ ker f~ − id − ker f~ − id :  → − = ker f~ − id 

 → − 2 ker f~ − id

=

−3

  −4 −2  9   18

0



0

−1

 −1   −1 1  x 0 0  0 2  y

x





  y = z   0   = 0

0



 0  ⇒ x = 0, y + z = 0 0    ⇒ x = 0, y = 0, z = 0

0 z −2 0  → − Como vemos, ker f~ − id no nos proporciona información sobre e~01 . Uti4



lizaremos la segunda vía de la que disponemos en este caso, a través de 9.4: 

1

   0 → − 0 0 ~ ~ e1 = f − id (O ) =   3  −2

0

0

−3

0

−4

−1

−2

1



0

    a −3a  0       b  =  3 − 4a − b − c  −1   c −2 − 2a + b + c 1

De manera que tenemos



Demostración. 3) Como tenemos que encontrar los subespacios invariantes con ecuaciones respecto a 0 utilizamos la matriz Jf :  1 0 0 0   1 1 0 0 Jf =   0 1 1 0  0 0 0 −2

     

Empezamos buscando las rectas vectoriales invariantes (asociadas a los autovalores λ = 1 y λ = −2.  0 0   → − − →  ~ R1 = ker J − id =  1 0 0

0

0



x





0



− →     0   y  =  0  → x = 0 = z ⇒ R1 = −3 z 0

  * 0 +    1  0 74

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     0 x 3 0 0  → − − → − →      ~ R2 = ker J + 2 id =  1 3 0   y  =  0  → x = 0 = y ⇒ R2 = 0 z 0 0 0   * 0 +    0  1 Ahora buscamos los planos invariantes. Como estamos en dimensión 3, 

los planos son hiperplanos, y su número coincide con el de rectas invariantes, es decir, dos. El primer plano invariante es el que contiene las dos rectas vectoriales invariantes que acabamos de encontrar:     * 0 0 + − →     Π1 =  1  ,  0  := (x = 0) 1 0  "  El otro plano vectorial invariante es el que se obtiene de la caja 

1

0

1

1

00 que corresponde a     * 1 0 + − →     Π2 := (z = 0) =  0  ,  1  0 0 A continuación buscamos los invariantes afines. De la forma de Jf de f vemos que no hay puntos fijos (el 1 indicado con flechas), por lo que no los buscamos.  1 0   1 ← Jf =   ↑  0

0



1   1+a → − v = f (p) − p =   a+b  −2c

1

     

→ − f

 Sea p un punto cualquiera de

0



   a    A3 , p =    b  c      1    1   a    −    b = a     −3c c 75

a, c ∈ R

#

 0   −2

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− → − → ~ 1 y z 6=0 en el caso de Vemos que ~v ∈ / R1 , R2 (ya que x 6= 0 en el caso de R ~ 2 ). R

− → − → Por el mismo motivo, ~v ∈ / Π1 . Finalmente, vemos que ~v ∈ Π2 ⇐⇒ c = 0,

de manera que tenemos un  1   a Π := (z = 0) =   b  0

plano afín invariante por f        1 0 +  * 1    − a  →        +Π 2 =  +  0 , 1    b   0 0 0 

Ejercicio 80. Sea  un sistema de referencia cartesiano del espacio afín A3 (R). Sea f el endomorfismo afín de  1   −3 M (f ) =   1  3

matriz respecto a :  0 0 0  −4 0 4   6 1 −3   −1 0 0 2

con polinomio característico χf~ (t) = (1 − t) (t + 2) . 1. Hallar la forma canónica de Jordan Jf de f . 2. Si 0 es un sistema de referencia tal que M0 (f ) = Jf , hallar las ecuaciones respecto a 0 de los subespacios afines invariantes por f.

Demostración. 1) El primer paso para encontrar la forma canónica Jf es averiguar si f tiene puntos fijos. 

1

  −3   1  3

0

0

−4

0

6 −1

0



1





1





1

          4    a  =  a  =  −3 − 4a + 4c      1 −3   b   b    1 + 6a + b − 3c 0 0 c c 3−a 9a

=

9→a=1

−1

=

9a − 9 → a = 8/9

c =

3−a 76

     

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XAVIER AZNAR

Llegamos a contradicción, lo que significa que f no tiene puntos fijos y por tanto, Jf es de la forma 

1

0

0

  1 Jf =    0

Jf~ .. .

··· .. .

0

     

0 De la forma del polinomio característico χf~ (t) observamos que tenemos dos valores propios, t = 1 y t = −2 (con multiplicidad 2), de manera que   1 0 0   Jf~ =  0 −2 0  0

−2



con  = {0, 1}. Para determinar  utilizamos que el rango es un invariante, de manera que  −2   →  −  ~ rg M f − id = rg  6 

−1

0

4







3

0

0

  3 −3  = 2 =  0 0 2 0

0

 0 ⇒=1 0



Así que, finalmente, 

1

0

0

  1 Jf =   0  0

1

0

0 0

−2 1

0



 0   0   −2 

Demostración. 2) Ahora buscamos las ecuaciones respecto a 0 de los subespacios invariantes respecto a f . Como queremos las ecuaciones respecto a 0 , utilizamos M0 (f ) = Jf . Empezamos buscando las rectas invariantes asociadas a los valores propios de f~.  → − → − ker f − id :

=

− → R1

:=

0

0

0



x

−3





0



    0  y  =  0  1 −3 z 0   * 1 +   (y = 0, z = 0) :=  0 

  0 0

0 77

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 → − → − ker f + 2 id :

=

−−→ R−2

:=

3

0

0



x

XAVIER AZNAR





0



    0  y  =  0  0 z 1 0   * 0 +   (x = 0, y = 0) :=  0 

  0 0

0

1 En cuanto a los planos invariantes vectoriales invariantes, como estamos en dimensión tres, los planos son hiperplanos, y por tanto, su número coincide con el de rectas invariantes.

− → −−→ El primer plano es el que contiene las rectas invariantes R1 y R−2 , es

decir     * 1 0 + − →     Π1 := (y = 0) :=  0  ,  0  0 1 → − El segundo plano lo obtenemos a partir de los autovectores de f t . Si H := (u1 x + u2 y + u3 z = 0) es invariante por f~, entonces (u1 , u2 , u3 ) es un → − autovector de f t .      1 0 0 u1 u1       0 −2 1   u2  =  u2  0

0

−2

u3

u1

= u1

−2u2 + u3

u3

= u2 ⇒ u2 = 0

−2u3

= u3 ⇒ u3 = 0 − → De manera que el plano invariante Π2 := (1, 0, 0) := (x = 0)

78



Í NDICE ALFABÉTICO Aplicación lineal, 2

Simetría, 3, 8

Aplicación lineal biyectiva, 3

Simetría afín, 33

Aplicación lineal inyectiva, 3

Subespacio afín invariante, 57

Aplicación lineal suprayectiva, 3

Subespacio propio, 5

Autovalor, 4 Teorema de clasificación afín de

Autovector, 4

dilataciones, 57 Teorema de clasificación afín para

Endomorfismos afínmente equivalentes,

deformaciones, 57

30

Teorema de clasificación afín para las

Equivalencia lineal entre dos

deformaciones con deslizamiento, 57

endomorfismos lineales, 12

Teorema de clasificación afín para proyecciones afines, 57

Homotecia, 3

Teorema de clasificación afín para

Homotecia afin, 47

simetrías afines, 57 Imagen, 2 Valor propio, 4 Vector propio, 4

Matrices semejantes, 3 Matriz asociada a una homotecia, 47 Matriz de Jordan de una dilatación, 48 Matriz de Jordan de una homotecia, 48 Matriz de Jordan de una proyección, 7 Matriz de Jordan de una simetría, 8 Matriz de una traslación, 29 Matriz diagonalizable, 5 multiplicidad, 4 Núcleo, 2 Polinomio característico, 4, 7, 13 Polinomio mínimo, 7 Polinomio mínimo de un endorfismo nulo, 6 Polinomio mínimo de una homotecia vectorial, 6 Polinomio mínimo de una proyección, 7 Polinomio mínimo de una simetría vectorial, 7 Procedimiento general para encontrar la matriz de una simetría (o proyección) afín, 33 Proyección, 3, 7 Proyección afín, 33 Rango, 13 Rotaciones en el plano, 4 79