3º ESO E – UNIDAD 8.- ECUACIONES. SISTEMAS DE ECUACIONES PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ

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1.- Concepto de ecuación. Reglas de equivalencia

Concepto de ecuación Una ecuación es una igualdad en la que aparecen números, letras y operaciones entre ellos. A las letras les llamamos incógnitas. Por ejemplo, x + 2 = 5 y x2 – 5x + 6 = 0 son ecuaciones de incógnita x. Resolver una ecuación es averiguar lo que tiene que valer la incógnita para que se cumpla la igualdad. Por ejemplo, la solución de la ecuación x + 2 = 9 es x = 7, pues para x = 7 se cumple la igualdad Ecuaciones compatibles: Son las que tienen solución. Si son ciertas para cualquier valor de la incógnita se llaman identidades. Por ejemplo, x + 2 = 2 + x es una identidad pues se cumple para todos los valores de la x Ecuaciones incompatibles: Son las que no tienen solución. Por ejemplo, x + 3 = x es incompatible Ejercicio 1 Resuelve por tanteo las siguientes ecuaciones y di si son compatibles o incompatibles: a) 3x = 729

b)

c) x3 = 0

x = 15

d) x5 = –32

e) x(x +1) = 132

f) 5x = –25

Ejercicio 2 ¿Cuánto debe valer “m” para que x = –2 sea solución de la ecuación 3x2 + x + m = 0?

Hacer ejercicio 1, de la ficha Reglas de equivalencia Son unas reglas que sirven para resolver ecuaciones. Con ellas pasamos de una ecuación a otra equivalente (con las mismas soluciones) más sencilla de resolver. Para resolver ecuaciones se usan principalmente dos reglas: 1ª) Se pasan los términos de un miembro a otro cambiándoles de signo. 2ª) Lo que multiplica a la incógnita pasa dividiendo al otro miembro de la ecuación y lo que divide pasa multiplicando. V V´  , despeja T T T´ x d)  2  6 3

Ejercicio 3 Aplica las reglas de equivalencia para despejar la incógnita: a) b) 3(x + y) – 2(y – z) = 0, despeja y

c) an = a1 + (n – 1)d, despeja d

Hacer ejercicio 2, de la ficha

2.- Ecuaciones de primer grado Son ecuaciones donde la incógnita está elevada a 1.

Ejemplos: 3x + 2 = 5

3(–2x + 1) + 5(x + 3) = 7 – (x + 3)

x 5(x -1) x+5 =73 6 4

Ejercicio 4 Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado: a) 3(2x – 1) – 5(x + 3) + 2(–x + 5) = 7 – (–x + 19 + 2x) b)

x 3 3( 2x  1) 3x  1  2( 3x  2)   3(2  x)  12 4 8

Hacer ejercicio 3, de la ficha

3.- Ecuaciones de 2º grado Concepto de ecuación de 2º grado Son ecuaciones donde la incógnita está elevada al cuadrado. Una ecuación es de 2º grado se puede escribir de la forma: ax2 + bx + c = 0 , con a ≠ 0. Ecuaciones de 2º grado completas Son aquellas en las que aparecen los 3 términos: el de x 2, el de x y el término independiente Para resolver este tipo de ecuaciones podemos usar la fórmula x 

 b  b 2  4ac 2a

La expresión D = b2 – 4ac se llama discriminante de la ecuación. Si D > 0 la ecuación tiene 2 soluciones, porque la raíz cuadrada nos da un nº positivo Si D = 0 la ecuación tiene 1 solución (doble), porque la raíz cuadrada nos da cero Si D < 0 la ecuación no tiene solución, porque no existe la raíz cuadrada de un número negativo Ejercicio 5 Resuelve las siguientes ecuaciones de 2º grado completas indicando primero el número de soluciones: a) 2x2 – 2 = –3x b) 120x – 40 = 90x2 c) x2 + x + 1 = 0 d) 3x2 = x + 5

Hacer ejercicio 4, de la ficha Ecuaciones de 2º grado incompletas Son aquellas en las que falta el término de la x, el término independiente o ambos - Si falta el término de la x, se resuelven despejando x2 y luego hallando la raíz cuadrada. Si nos da la raíz cuadrada de un número negativo, entonces la ecuación no tiene solución. Ejercicio 6 Resuelve las siguientes ecuaciones de 2º grado sin término en x: a) 81 – 4x2 = 0 b) – 36+ 25x2 = 0 c) –7x2 – 28 = 0 d) 5x2 – 3 = 0

e) –2x2 = 0

- Si falta el término independiente se resuelven sacando factor común x. Después igualamos a 0 cada factor y despejamos x Ejercicio 7 Resuelve las siguientes ecuaciones de 2º grado sin término independiente: a) 3x – 8x2 = 0 b) 7x2 + x = 0 c) x – 5x2 = 0 d) x = –x2

Hacer ejercicio 5, de la ficha Ejercicio 8 Despeja la letra que se indica en cada fórmula: a) E = E0 +

Ejercicio 9 La fórmula E =

1 mv2 , despeja v 2

b) F =

a2 b  2c , despeja a 3

m v2 sirve para calcular la energía de un objeto de masa “m” kg 2

y velocidad “v “ m/sg. Despeja v y después calcula la velocidad que lleva un objeto de 3 kg y cuya energía es 6 Newton.

Hacer ejercicios 6 y 7, de la ficha y ejercicio 30 del libro

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4.- Ecuaciones reducibles Ecuaciones con operaciones Son ecuaciones donde vienen operaciones. Para resolverlas se hacen primero las operaciones y luego se resuelve la ecuación que resulte. Ejercicio 10 Resuelve las siguientes ecuaciones haciendo primero las operaciones: a) 2(x – 1)(x + 3) = 24

b) 2x(x + 1) – (6 + x) = (x + 3)(x – 2)

c) (2x – 3)(x – 1) – 2(x – 5)2 = 10 + (3x + 2)(3x – 2)

Hacer ejercicio 8, de la ficha Ecuaciones factorizadas Son ecuaciones que vienen expresadas como el producto de factores igual a cero Para resolver este tipo de ecuaciones se iguala a cero cada factor y luego se resuelven las ecuaciones que resulten Ejercicio 11 Resuelve las siguientes ecuaciones factorizadas: a) –5x(3x + 1) = 0 b) (x2 – 36)(3x – x2) = 0

Hacer ejercicio 9, de la ficha Ecuaciones de grado superior a 2 Son aquellas de la forma p(x) = 0, siendo p(x) un polinomio de grado mayor que 2. Para resolverlas se factoriza el polinomio, quedando entonces una ecuación factorizada. Luego, se resuelve la ecuación factorizada Ejercicio 12 Resuelve las siguientes ecuaciones: a) x4 + x3 – 2x2 = 0

b) 2x4 – 5x3 – 5x2 + 5x + 4 = 0

Hacer ejercicio 10, de la ficha

5.- Sistemas de ecuaciones Ecuaciones lineales con dos incógnitas Una ecuación lineal con dos incógnitas es aquella que se puede escribir de la forma ax + by = c. Por ejemplo, 2x + 3y = –6 es una ecuación lineal con dos incógnitas. Una solución de la ecuación es una pareja de valores, uno para la “x” y otro para la “y”, que cumpla la ecuación. Sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas 2x  5y   4

Es un conjunto de 2 o más ecuaciones lineales. Ejemplo:  x  3y  9 

Una solución de un sistema es una pareja de valores, uno para la “x” y otro para la “y”, que cumple las dos ecuaciones a la vez Ejercicio 13 Calcula el valor de m y n para que x = 3, y = –2 sea solución del sistema de 5x  3y  m 2x  7y  n

ecuaciones: 

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

´ c



c

 

y ´ b x ´ a



Dado un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas 

y b x a

Clasificación de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas lo podemos clasificar



según el número de soluciones en:

´ b b

≠

´ a a

- Sistema compatible determinado (S.C.D.): Es el que tiene una única solución. Este caso se da cuando se obtiene un valor de “x” y otro valor de “y”

En este caso se cumple

=

´ c c = ´ b b

´ a a

- Sistema compatible indeterminado (S.C.I.): Es el que tiene infinitas soluciones. Este caso se da cuando se llega a una identidad del tipo 0 = 0

En este caso se cumple

En este caso se cumple



´ cc

=

´ bb

a´ a

- Sistema incompatible (S.I.): Es el que no tiene solución. En este caso, se llega a una contradicción. Por ejemplo, 0 = 3

Ejercicio 14 Clasifica los siguientes sistemas: 2x  3y  18 5x  2y  7

a) 

 x  2y  1  2x  4y  5

b) 

3x  9y   12 2x  6y  8

c) 

10x  5y   20  2x  y  4

d) 

Hacer ejercicio 11, de la ficha Métodos algebraicos para resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas Método de sustitución: Consiste en despejar una incógnita en una ecuación y sustituirla en la otra ecuación. De esta forma se llega a una ecuación con una incógnita. Método de igualación: Consiste en despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones y luego igualar las expresiones obtenidas. De esta forma se llega a una ecuación con una incógnita. Método de reducción: Consiste en buscar otro sistema equivalente, o sea con las mismas soluciones, en el que los coeficientes de una de las incógnitas sean números opuestos. Esto se consigue multiplicando las ecuaciones por números adecuados. Después se suman las ecuaciones, llegándose así a una ecuación con una incógnita y 1 x 6   Ejercicio 15 Resuelve y clasifica el sistema de ecuaciones  3 2 5x  4(y  1)   2

Hacer ejercicio 12, de la ficha y ejercicios 96 y 97 del libro Página 4

5.- Problemas con ecuaciones y sistemas Ejercicio 16 Una señora sale de compras y se gasta en el supermercado las lleva; después se gasta las

2 partes de lo que 5

3 partes de lo que le queda en un reloj y le sobran 15 €. 4

¿Con cuánto dinero salió de casa?

Ejercicio 17 Hace 5 años un padre tenía el cuádruplo de la edad de su hijo y dentro de 15 años tendrá el doble. Halla la edad actual del padre y del hijo. Ejercicio 18 Un jardín tiene forma de triángulo rectángulo de 26 m de hipotenusa. El cateto menor mide 14 m menos que el mayor. Determina el perímetro y superficie del jardín.

Ejercicio 19 Un camión sale de Granada a Madrid a una velocidad de 75 km/h. A la misma hora sale de Madrid a Granada un coche a una velocidad media de 100 km/h. Si la distancia entre Madrid y Granada es de 420 km, calcula el tiempo que tardan en cruzarse y la distancia del punto de encuentro a cada una de las ciudades. (Suponemos que la velocidad fuese siempre la misma).

Ejercicio 20 En un instituto hay 90 personas entre profesores y profesoras. A una reunión ha asistido el 70% de los profesores y el 30% de las profesoras, siendo en total 47 personas. ¿Cuántos profesores y profesoras hay en el instituto?

Ejercicio 21 Un comerciante mezcla aceite de 1,10 €/litro con otro aceite de 0,80 €/litro para conseguir 6 litros de aceite a un precio de 0,90 €/litro. ¿Cuántos litros de aceite ha mezclado de cada tipo?

Hacer ejercicios del 13 al 20, de la ficha y 108 y 116 del libro

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