UNEFA TÁCHIRA FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA Material con fines didácticos Ejercicios Propuestos Productos Notables y Factorización 1-. Descomponer en dos factores las expresiones siguientes: 6

1. 64 + a

2

3

3. 1 - 216m

R. (a - 5)(a + 5a + 25) 3

2

R. (1 - 6m )(1 + 6m + 36m )

3

6

4. 8a + 27b 6

2

2

2

4

R. (2a + 3b )(4a - 6ab + 9b )

9

2

3

4

3

2

6

R. (x - b )(x + b x + b )

3

3

6. 8x - 27y 7. 1 + 343n 8. 1 + a

4

2

2. a - 125

5. x - b

2

R. (4 + a )(16 - 4a + a )

2

2

R. (2x - 3y )(4x + 6x y + 9y )

3

2

R. (1 + 7n )(1 - 7n + 49n )

3

2

R. (1 + a )(1 - a + a ) R. (1 - a )(1 + a + a 2)

9. 1 - a 3 3

10. x + y 3

11. m - n

3

R. (x + y )(x - x y + y )

2

2

3

R. (m - n )(m + mn + n )

2

2

3

R. (a - 1)(a + a + 1)

2

3

R. ( y + 1)( y - y + 1)

3

R. ( y - 1)( y + y + 1)

12. a - 1

2

13. y + 1

2

14. y - 1 3

2

15. 8x - 1

R. (2x - 1)(4x + 2x + 1)

16. 1 - 8x 3

R. (1 - 2x )(1 + 2x + 4x 2)

17. x - 27

3

R. (x - 3)(x + 3x + 9)

2

3

R. (a + 3)(a - 3a + 9)

2

18. a + 27 3

19. 8x + y 3

3

20. 27a - b

2

3

2

3

3

3

2

2

R. (2x + y )(13x - 5x y + y )

3

23. a + (a + 1) 3

2

R. (3a - b )(9a - 3ab + b )

21. 27x - (x - y ) 22. 1 - (a + b )

2

R. (2x + y )(4x - 2x y + y )

2

2

R. (1-a-b )(1+a+b+a +2ab+b ) 3

R. (2a + 1)(a + a + 1)

3

R. (a + 1)(7a - 4a + 1)

24. 8a - (a - 1)

2

2

2-. Factorizar por el método del cubo de un binomio (ordenándolas previamente): 3

2

1. x -3x + 3x + 1 2

4

2. 8 + 12a + 6a + a

R. No es perfecto 6

3. 8x 3 - 36a 2b + 54ab 2 - 27b 3

2

R. (a + 2 )

3

R. (2a - 3b )3

1 Elaborado por Prof. Ing. Leonardo Romero

UNEFA TÁCHIRA FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA Material con fines didácticos 3 2 2 3 4. 27m + 108m n + 144mn + 64n 2

3

5. 1 + 12a b - 6ab - 8a b 3

R. (3m + 4n )

3

R. No es perfecto

2

6. a + 3a + 3a + 1 2

7. 27 - 27x + 9x - x 2

R. (a + 1) 3

R. (3 - x)

3

8. 1 + 3a - 3a - a

3

3

3

R. (1 - a)

3

3-. Factorar o descomponer en dos factores: 2

1. (5x) + 13(5x) + 42 2

2. x + 2ax - 15a 2

3. a - 4ab - 21b

2

R. (x + 5a)(x - 3a )

2

R. (a - 7b )(a + 3b )

2

4. (x - y ) + 2(x - y ) - 24 2

5. 5 + 4x - x

R. (x 5 + 5)(x 5 - 4)

2

7. m + mn - 56n

2

2

8. x + 7ax - 60a

R. (m + 8n )(m - 7n ) 2

9. (2x )2 - 4(2x ) + 3

R. (2x - 3)(2x - 1) R. (m - n + 8)(m - n - 3) R. (x + 16)(x - 15)

12. 15 + 2y - y 4

2

2

4

4

R. ( y + 3)(5 - y ) 2

13. a b - 2a b - 99 4

2

4

11. x + x - 240

4

2

R. (x + 12a )(x - 5a )

2

10. (m - n ) + 5(m - n ) - 24 8

R. (x - y + 6)(x - y - 4) R. (x + 1)(5 - x )

6. x 10 + x 5 - 20

4

R. (5x + 7)(5x + 6)

2

14. x + 5x + 4

2

2

2

2

R. (a b - 11)(a b + 9) 2

2

3

3

R. (x + 4)(x + 1)

6

3

R. (x - 7)(x + 1)

8

4

R. (x - 10)(x + 8)

15. x - 6x - 7 16. x - 2x - 80 2

4

4

2

R. (x y + 4)(x y - 3)

2

R. (4x - 5)(4x + 3)

17. x y + x y - 12 18. (4x ) - 2(4x ) - 15

4-. Descomponer en dos factores y simplificar, si es posible: 1. (x + y )2 - a 2 2. 4 - (a + 1)

2

R. (x + y + a )(x + y - a ) R. (a + 3) (1 - a )

2 Elaborado por Prof. Ing. Leonardo Romero

UNEFA TÁCHIRA FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA Material con fines didácticos 2 3. 9 - (m + n ) R. (3 + m + n )(3 - m - n ) 2

4. (m - n ) - 16 2

5. (x - y ) - 4z

R. (m - n + 4)(m - n - 4)

2

R. (x - y + 2z )(x - y - 2z )

2

6. (a + 2b ) - 1

R. (a + 2b + 1)(a + 2b - 1)

5-. Factorar o descomponer en dos factores: 2

2

1. x - y

R. (x + y )(x - y )

2

R. (a + 1)(a - 1)

2

R. (a + 2)(a - 2)

2. a - 1 3. a - 4 4. 9 - b

2

R. (3 + b )(3 - b )

5. 1 - 4m

2

R. (1 + 2m )(1 - 2m )

6. 16 - n 2

R. (4 + n )(4 - n )

2

R. (a + 5)(a - 5)

7. a - 25 8. 1 - y

2

R. (1 + y )(1 - y )

2

9. 4a - 9

R. (2a + 3)(2a - 3)

10. 25 - 36x

4

2

11. 1 - 49a b 2

12. 4x - 81y 2

8

13. a b - c

2

2

R. (1 + 7ab )(1 - 7ab )

4

R. (2x + 9y )(2x - 9y )

2

2

2

14. 100 - x y

4

6

3

4

4

2

4

6

6

2

4

2

4

14

-1

6

21. 361x

2

3

2

3

R. (10mn + 13y )(10mn - 13y ) 3

2

3

R. (am n + 12)(am n - 12)

19. 196x y - 225z 20. 1 - 9a b c d

2

R. (5x y + 11)(5x y - 11)

18. a m n - 144 2

3

R. (a 5 + 7b 6)(a 5 - 7b 6)

17. 100m n - 169y 2

4

R. (10 + x y )(10 - x y )

16. 25x y - 121 2

2

R. (ab + c )(ab - c )

15. a 10 - 49b 12 2

2

R. (5 + 6x )(5 - 6x )

8

12

2

2

2

6

R. (14x y + 15z )(14x y - 15z ) 2

3

4

2

3

4

R. (1 + 3ab c d )(1 - 3ab c d ) 7

7

R. (19x + 1)(19x - 1)

3 Elaborado por Prof. Ing. Leonardo Romero

UNEFA TÁCHIRA FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA Material con fines didácticos 22.

1

− 9a

4

a

23. 1 − 24. a

2

R.

2



-b

a  5 

a 5

R. 1 + 1 −  

25

2n

1  1   + 3a  − 3a  2  2 

2n

n

n

n

n

R. (a + b )(a - b )

6 -. Factorar: 1. 6x 2 - 6 - 5x

R. (3x + 2)(2x - 3)

2

2. 12m - 13m - 35

R. (3m - 7)(4m + 5)

2

3. 20y + y - 1

R. (4y + 1)(5y - 1)

2

4. 8a - 14a - 15

R. (2a - 5)(4a + 3)

2

5. 7x - 44x - 35

R. (7x + 5)(x - 7)

2

6. 16m + 15m - 15

R. (3m + 5)(5m - 3)

2

7. 2a + 5a + 2

R. (2a + 1)(a + 2)

2

R. (3x - 4)(4x + 3)

2

R. (3x + 2)(4x - 3)

8. 12x - 7x - 12 9. 12x - x - 6 2

10. 4a + 15a + 9 11. 3 + 11a + 10a

R. (4a + 3)(a + 3) 2

R. (2a + 1)(5a + 3)

2

R. (2x - 1)(x + 2)

2

R. (3x + 1)(x - 2)

2

R. (2x + 1)(3x + 2)

2

R. (5x - 2)(x + 3)

12. 2x + 3x - 2 13. 3x - 5x - 2 14. 6x + 7x + 2 15. 5x + 13x - 6

7-. Factorizar: 1. 12 - 7x - 10x 4

2. 5 + 7x - 6x 2

2

R. (2x + 3)(4 - 5x )

8

3. 6a - ax - 15x

4

2

R. (3a - 5x )(2a + 3x )

2

4. 21x - 29x y - 72y 2

5. 6m - 13am - 15a 4

2

2

7. 30a - 13ab - 3b 3

8. 7x - 33x - 10

2

R. (3x - 8y )(7x + 9y )

2

R. (m - 3a )(6m + 5a ) 2

6. 14x - 45x - 14

6

4

R. (2x + 1)(5 - 3x )

2

R. (2x - 7)(7x + 2) 2

R. (6a + b )(5a - 3b ) 3

3

R. (7x + 2)(x - 5)

4 Elaborado por Prof. Ing. Leonardo Romero

UNEFA TÁCHIRA FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA Material con fines didácticos 2 9. 30 + 13a - 3a R. (3a + 5)(6 - a ) 4

2

2

2

10. 6x + 5x - 6

R. (3x - 2)(2x + 3)

11. 5x 6 + 4x 3 - 12

R. (x 3 + 2)(5x 3 - 6)

12. 10x 8 + 29x 4 + 10

R. (2x 4 + 5)(5x 4 + 2)

2

2

13. 6a x + 5ax - 21 2

R. (3ax + 7)(2ax - 3)

2

14. 20x y + 9x y - 20 2

15. 15x - ax - 2a

R. (4x y + 5)(5x y - 4)

2

R. (5x - 2a )(3x + a )

8-. Factorar o descomponer en dos factores las siguientes expresiones: 2

1. a - 2ab + b

2

2

2. a + 2ab + b

R. (a - b )

2

R. (a + b )

2

3. x - 2x + 1

R. (x + 1)

4

4. y + 1 + 2y

2

R. (a - 5)

2

2

4

2 2

2

2

9. 36 + 12m + m 3

R. (1 - 7a ) 4

2

2

R. (m + 6)

6

2

3 2

R. (1 - a )

4

11. a + 18a + 81 3

2

R. (4 + 5x )

8. 1 + 49a - 14a

6

2

R. (3 - x )

7. 16 + 40x + 25x

8

2

2

2

10. 1 - 2a + a

2

R. ( y + 1 )

5. a - 10a + 25 6. 9 - 6x + x

2

3

12. a - 2a b + b

4

2

3

3 2

R. (a + 9)

6

R. (a - b )

13. 4x 2 - 12x y + 9y 2

R. (2x - 3y )2

14. 9b 2 - 30a 2b + 25a 2

R. (3b - 5a 2)2

15. 1 + 14x 2y + 49x 4y 2

R. (1 + 7x 2y )2

16. 1 + a

10

6

- 2a

5

5 2

R. (1 - a ) 3

2

17. 49m - 70am + 25a n

4

3

2 2

R. (7m - 5an )

5 Elaborado por Prof. Ing. Leonardo Romero

UNEFA TÁCHIRA FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA Material con fines didácticos 9-. Factorar o descomponer en dos factores las expresiones siguientes: 2

1. a + ab + ax + bx

R. (a + b )(a + x )

2. am - bm + an - bn

R. (a - b )(m + n )

3. ax - 2bx - 2ay + 4by

R. (x - 2y )(a - 2b )

2

2

2

2

2

4. a x - 3bx + a y - 3by

2

2

5. 3m - 2n - 2nx 4 + 3mx 4 2

2

2

2

R. (x + a )(x + 1)

2

2

7. 4a - 1 - a + 4a 2

2

2

2

8. x + x - x y - y

R. (a + 1)(4a - 1)

2

2

R. (x - y )(1 - x ) 2

9. 3abx - 2y - 2x + 3aby 2

2

R. (1 - x 4)(3m - 2n )

6. x - a + x - a x 3

2

R. (a - 3b )(x + y )

2

2

2

R. (3ab - 2)(x + y )

2

2

10. 3a - b + 2b x - 6ax

R. (1 + 2x )(3a - b )

11. 4a 3x - 4a 2b + 3bm - 3amx

R. (ax - b )(4a 2 - 3m )

12. 6ax + 3a + 1 + 2x

R. (2x + 1)(3a + 1)

3

2

R. (3x - 1)(x - 3a )

2

2

2

R. (a - 3b )(2x - 5y )

13. 3x - 9ax - x + 3a

2

14. 2a x - 5a y + 15by - 6bx 2

2

2

2

15. 2x y + 2xz + y z + x y

3

2

2

R. (2x + y )(x y + z )

16. 6m - 9n + 21nx - 14mx

R. (2m - 3n )(3 - 7x )

17. n 2x - 5a 2y 2 - n 2y 2 + 5a 2x

R. (5a 2 + n 2)(x - y 2)

10-. Factorar o descomponer en dos factores estas expresiones: 1. a (x + 1) + b (x + 1)

R. (x + 1)(a + b )

2. a (a + 1) + 3(a + 1)

R. (a + 1)(a + 3)

3. 2(x - 1) + y (x - 1)

R. (x - 1)( y + 2)

4. m (a - b ) + (a - b )n

R. (a - b )(m + n )

5. 2x (n - 1) + - 3y (n - 1)

R. (n - 1)(2x - 3y )

6. a (n + 2) + n + 2

R. (n + 2)(a + 1)

7. x (a + 1) - a - 1

R. (a + 1)(x - 1)

6 Elaborado por Prof. Ing. Leonardo Romero

UNEFA TÁCHIRA FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA Material con fines didácticos 2 2 8. a + 1 - b (a + 1)

R. (a + 1)(1 - b )

9. 3x (x - 2) - 2y (x - 2)

R. (x - 2)(3x - 2y )

10. 1 - x + 2a (1 - x )

R. (1 - x )(1 + 2a )

11. 4x (m - n ) + n - m

R. (m + n )(4x - 1)

12. - m - n + x (m + n )

R. (m + n )(x - 1)

13. a 3(a - b + 1) - b 2(a - b + 1)

R. (a - b + 1)(a 3 - b 2)

2

2

2

2

14. 4m (a + x - 1) + 3n (x - 1 + a )

R. (a + x - 1)(4m + 3n )

15. x (2a + b + c ) - 2a - b - c

R. (2a + b + c )(x - 1)

16. (x + y )(n + 1) - 3(n + 1)

R. (n + 1)(x + y - 3)

17. (x + 1)(x - 2) + 3y (x - 2)

R. (x - 2)(x + 3y + 1)

18. (a + 3)(a + 1) - 4(a + 1)

R. (a + 1)(a - 1)

11-. Factorar o descomponer en dos factores estas expresiones: 2

1. 5m + 15m

3

2

R. 5m (1 + 3m )

2. ab - bc

R. b (a - c )

2

2

2

3. x y + x z

R. x ( y + z )

2

4. 2a x + 6ax

2

R. 2ax (a + 3x )

2

5. 8m - 12mn 3

R. 4m (2m - 3n )

2

6. 9a x - 18ax 3

3

2

2

2

7. 15c d + 60c d 2

3

8. 35m n - 70m 9. abc + abc 2

3

2

2

R. abc (1 + c ) 2

2

4

2

2

R. a (a + a + 1)

2

2

12. 4x - 8x + 2

R. 2(2x - 4x + 1)

2

13. 15y + 20y - 5y 2

2

R. 12x y (2z - 3x y ) 2

11. a + a + a

3

3

R. 35m (n - 2m )

2

2

3

2

R. 15c d (c + 4d )

3

10. 24z x y - 36x y 3

2

R. 9ax (a - 2x )

14. a - a x + ax

2

2

R. 5y (3y + 4y - 1) 2

2

R. a (a - ax + a )

7 Elaborado por Prof. Ing. Leonardo Romero

UNEFA TÁCHIRA FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA Material con fines didácticos 2 2 15. 2a x + 2ax - 3ax 3

5

16. x + x - x

7

3

2

2

18. 34ax + 51a y - 68ay

2

2

R. a (a + b )

2

R. b (1 + b )

2

21. x + x

R. x (x + 1)

22. 3a - a 2

2

2

R. a (3a - 1)

4

3

R. x (1 - 4x )

24. 96-48 m n 2

2

2

2

2

2

2

2

3

2

2

2

4

3

27. a - 3a + 8a - 4a 5

15

-x

12

2

2

2

2

2

2

3

2

+ 2x - 3x

4

2

R. a (a - 3a + 8a - 4)

3

9

2

R. a c (b - x + y ) R. x (1 - x + x - x )

28. 25x - 10x + 15x - 5x 29. x

2

4

26. x - x + x - x

7

3

R. 48(2 - mn + 3n )

25. a b c –a c x +a c y

6

2

R. 17a (2x + 3ay - 4ay )

2

23. x + x

4

R. 14x 2 ( y 2 - 2x + 4x 2)

19. a + ab

3

2

R. x (1 + x - x )

17. 14x 2y 2 - 28x 3 + 56x 4

20. b + b

R. ax (2a + 2x - 3)

2

2

5

3

R.5x (5x - 2x + 3x - 1)

6

6

9

6

3

R. x (x - x + 2x - 3)

12-. Resolver:

1.

3 2 2 2  a − b  5 4 

2.

 2x 3 y  −   5   3

2

9 4 3 2 2 4 4 a − a b + b 16 5 25

R.

4 2 4 9 2 x − xy + y 9 5 25

2

3.

(3x

4.

5 3 3 2  x + xy  5 6 

5.

 a3 4a 2    +  8  7 b  

4

R.

− 5 xy 3

)

2

R.

8 5 3 2 6 9 x − 30 x y + 25 x y

R.

25 6 9 2 4 x + x4 y2 + x y 36 25

R.

1 6 a 5 16a 4 a + + 64 7b 49b 2

2

2

8 Elaborado por Prof. Ing. Leonardo Romero

UNEFA TÁCHIRA FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA Material con fines didácticos 6.

(a b

7.

 3 2x 4    −  2x 3  

2 3

− a5

)

R. a 4 b 6 − 2a 7 b 3 + a 10

2

2

R.

(7x − 8x y ) (a + 7b )

R. a 10 + 14a 5 b 4 + 49b 8

4 2

5

9.

R. 49 x10 − 112 x 8 y 4 + 64 x 6 y 8

3 4 2

5

8.

9 4x8 3 − + 2 x 9 4x 2

13-. Desarrollar: 3

3

1.

(2a + 3b )

2.

2  1  a + b2  3  2

3.

 2a 2 5   − 3  5 2b  

4.

(4a – 3b )

5.

 3 2 4 2  a − b  5  4

6.

 4 3x   4x −   y 3  

7.

(5x + 6y )

8.

 3a 4b 2    +  2b 5  

9.

(4x – 3x y )

3

4

8a 6 6a 4 15a 2 125 − + − 125 5b 3 2b 6 8b 9

27 6 27 4 2 36 2 4 64 6 a − a b + a b − b 64 20 25 125

3

R. 64 x 12 −

144 x 9 y3

+

108 x 6 y6

−

27 x 3 y9

R.125 x 6 + 450 x 4 y 3 + 540 x 2 y 6 + 216 y 9

3

R.

27a 3 8b

3

+

27a 2 72ab 3 64b 6 + + 5 25 125

2 3

R. 64 x 9 − 144 x 7 y 2 + 108 x 5 y 4 − 27 x 3 y 6

2 3 3

R. 343a12 − 735a10b 3 + 525a8b 6 − 125a 6b 9

11.

(a + 9a x )

12.

(8x – 7x y )

13.

(3a b – 5a b )

5

2

R.

R.

(7a – 5a b )

4

1 3 1 2 2 2 4 8 6 a + a b + ab + b 8 2 3 27

3

10.

8

3

R. 64a 3 − 144a 2b 2 + 108ab 4 − 27b 6

3 3

3

2

R. 3

2 3

2

2

R. 8a + 36a b + 54ab + 27b

4 3

2

4 3

3

2 3

R. a 24 + 27a 21x 4 + 243a 18 x 8 + 729a 15 x 12

R. 512 x 12 − 1344 x 10 y 4 + 1176 x 8 y 8 − 343 x 6 y 12

R. 27a 6b 3 − 135a 7b 4 + 225a 8b 5 − 125a 9b 6

9 Elaborado por Prof. Ing. Leonardo Romero

UNEFA TÁCHIRA FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA Material con fines didácticos 14-. Desarrollar: 6

6

1.

(a + 2b )

2.

a 3  −  3 b

3.

(2m - 3n )

4.

(1 - x )

5.

(x + y )

6.

1  1 −  x 

7.

(3 - y )

8.

 2 m2   −  m 2  

6

R.

2

3 5

R. x

12

R. 1 −

7 7

3

3

2

4

5

8

3

6

8

+ 6x

10

R.

3

8

12

+ 70x

6

7

−

224 m

4

+

14

– 56x

20

9

9

2

+ 28x 4

21

– 2835y

12

24

– 8x 2

+ 6x y

12

28

15

– 243n +x

+y

15

32

18

+ 945y

28

– 189y

35

+ 21y

42

–y

49

168 35 5 21 8 7 11 m 14 − 70m 2 + m − m + m − m 2 8 32 128

R.16384 − 7168 x 5 + 1344 x 10 − 140 x 15 +

R.

16

6

7

5

6

10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 + − + 4 − 5 + 6 − 7 + 8 − 9 + 10 x x2 x3 x x x x x x x

128 m

4

y + 15x y + 20x y + 15x y

7

7

6

– 240m n + 720m n – 1080m n + 810m n

R. 2187 – 5103y + 5103y

1 2   x + y3  2 

10.

10

4

3 6

5  4 − x   4  

2

R. 1 – 8x + 28x – 56x

10

9.

4

1 6 2a 5 5a 4 20a 3 135a 2 486a 729 a − + − + − 5 + 6 729 27b 3b 2 b3 b4 b b

R. 32m

4 8

2

5

R. a + 12a b + 60a b + 160a b + 240a b + 192ab + 64b

35 20 21 25 7 1 x − x + x 30 − x 35 4 64 1024 16384

1 10 5 8 3 5 6 6 5 4 9 5 2 12 x + x y + x y + x y + x y + y 15 32 16 4 2 2

15-. Descomponer por evaluación: 4

3

2

1. x - 4x + 3x + 4x - 4 2

R. (x - 1)(x + 1)(x - 2) 4

3

2

2. x - 2x - 13x + 14x + 24 R. (x + 1)(x - 2)(x + 3)(x - 4) 4

2

3. a - 15a - 10a + 24 R. (a - 1)(a + 2)(a + 3)(a - 4) 3

2

4-. x + x - x - 1 R. (x - 1)(x + 1) 3

2

2

5. x - 4x + x + 6 R. (x + 1)(x - 2)(x - 3) 3

2

6. a - 3a - 4a + 12 R. (a - 2)(a + 2)(a - 3)

4

3

8. x + 6x + 3x + 140 2

R. (x + 4)(x + 5)(x - 3x + 7) 3

2

9. a + a - 13a - 28 2

R. (a - 4)(a + 5a + 7) 3

2

10. x + 2x + x + 2 2

R. (x + 2)(x + 1) 3

11. n - 7n + 6 R. (n - 1)(n - 2)(n + 3) 3

2

12. x - 6x + 32 R. (x + 2)(x - 4)2 4

2

13. n - 27n - 14n + 120 R. (n - 2)(n + 3)(n + 4)(n - 5)

3

7. m - 12m + 16 2

R. (m - 2) (m + 4)

10

Elaborado por Prof. Ing. Leonardo Romero

UNEFA TÁCHIRA FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA Material con fines didácticos

11

Elaborado por Prof. Ing. Leonardo Romero