02 Lección

Cuadrado de un Binomio

Estudio Comprende el proceso para para multiplicar un binomio por sí mismo y su representación gráfica. En “Presentación de Contenidos” se repasa cómo se multiplican dos expresiones algebraicas para explicar qué significa “el cuadrado de un binomio”. En “Ejercicios” se resuelven cuadrados de binomios. En “Aplico” juegan con el modelo a resolver ejercicios de este tipo. Cuadrado de un Binomio Debemos recordar que... 1. Para realizar multiplicaciones algebraicas se deben seguir los siguientes pasos: a. Se multiplican los signos (signos iguales se suman, signos diferentes se restan).

b. Se multiplican los coeficientes.

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Un “Binomio al Cuadrado” significa que tenemos un binomio que se multiplica por sí mismo, algunos ejemplos son:

c. Se multiplican las literales.

3

2. La propiedad distributiva de la multiplicación dice: que “cada término de una expresión algebraica multiplica a cada término de la otra expresión algebraica”.

(x+2)(x-3) = 2

(x+2)(x-3) = x -3x+2x-6

2

(x 2+ 5) 2 (2z + 3y) (a+b)2

“Cuadrado de un binomio” es lo mismo que “Binomio al cuadrado” y se refiere a la multiplicación de un binomio por sí mismo.

+ -

2

(x+2)(x-3) = x -x-6 Cuadrado de un Binomio Expliquemos qué es un Binomio al Cuadrado... Un monomio es una expresión compuesta por un término algebraico, algunos ejemplos de monomios son: 2

-2zy 2xz 3 5 4 13z y a

Un binomio se compone de dos términos algebraicos, algunos ejemplos son:

41x y -16a b -11xy -4xz a+b 2

34

2

El resultado que se obtiene al resolver “Binomios al cuadrado” tiene un comportamiento característico que se cumple en todo binomio al cuadrado: “que el cuadrado de la suma de dos números, es igual al cuadrado del primer número, más o menos el doble del producto del primer número multiplicado por el segundo, más el cuadrado del segundo”. Cuando los dos términos del binomio tienen el mismo signo, la regla es la siguiente: “El cuadrado del primer término, más el doble producto del primer término por el segundo, más el cuadrado del segundo término”.

Cuando los dos términos del binomio tienen signos diferentes, la regla es: “El cuadrado del primer término, menos el doble producto del primer término por el segundo, más el cuadrado del segundo término”. Representemos esto en una imagen: 1. Imaginemos una longitud “a” más una longitud “b” que forman la longitud (a + b); 2. Si este binomio (a+b) lo multiplicamos por sí mismo, tenemos un binomio al 2 cuadrado que se representa así: (a+b).

(a+b) a

2

b

a

a

ab

b

ab

b

(a+b)

2

Observa que...el cuadrado de la suma de dos números, es igual al cuadrado del primer número, más el doble del producto del primer número multiplicado por el segundo, más el cuadrado del segundo. El resultado (producto) de un “Binomio al Cuadrado” se llama “Trinomio Cuadrado Perfecto”.

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Otro ejemplo: La siguiente expresión es un binomio porque tiene 2 términos “x” y “3”. Como este binomio se multiplica por sí mismo “ ”, este2 es un binomio al cuadrado:

1. Primero aplicamos la propiedad conmutativa.

2

(x + 3) = (x)(x)+(3)(x)+(3)(x)+(3)(3) 2

2

(x + 3) = x+(3x)+(3x)+9 2. Y después reducimos términos semejantes.

2

2

(x + 3) = x+6x+9 Entonces, la representación gráfica de este binomio al cuadrado es ésta:

(x+3) x

x (x+3)

3

3

2

x

3x

x

3x

9

3

x

3 (x+3)

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(x+3)

Ejercicio Recuerda que la regla del binomio al cuadrado dice: Cuando los dos términos del binomio tienen el mismo signo: “El cuadrado del primer término, más el doble producto del primer término por el segundo, más el cuadrado del segundo término”. Y cuando los dos términos del binomio tienen signos diferentes: “El cuadrado del primer término, menos el doble producto del primer término por el segundo, más el cuadrado del segundo término”. También recuerda que el producto (el resultado) de un “Binomio al Cuadrado” se llama “Trinomio Cuadrado Perfecto”. Resuelve los siguientes binomios al cuadrado o encuentra el trinomio cuadrado perfecto de cada una de las siguientes expresiones algebraicas. 2

a2 + 2a + 1

2

b2 + 4b + 4

1. (a + 1) = 2. (b + 2) =

c2 - 6c + 9

2

3. (c - 3) = 2

x2 + 8x + 16

2

y2 + 10y + 25

4. (x + 4) = 5. (y + 5) =

z2 - 12z + 36

2

6. (z - 6) = 2

4x2 + 12xy + 9y2

2

16a2 - 16ab + 4b2

7. (2x + 3y) = 8. (4a - 2b) = 2

25m2 + 70mn + 49n2

2

36p2 - 108pq + 81q2

9. (5m + 7n) = 10. (6p - 9q) =

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Aplico Equipo de 2 integrantes Materiales necesarios: Recortables de la lección. Cinta adhesiva.

listado 6

1

6

22

6

4

4

7

2

6

4

2

2

4

10

En el modelo presentan el binomio que el maestro indica, ellos lo resuelven, buscan el producto (resultado), y presentan en el modelo el “trinomio cuadrado perfecto” que corresponda. Reglas:

10 minutos para el armado del modelo. 5 minutos para pegar los recortables. Descarga las láminas de armado de la plataforma en línea *Modelo Terminado

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Contesta El modelo se compone de: 1 disco de “Binomios al Cuadrado”. 1 disco de “Trionomios Cuadrados Perfectos”. 1 manivela que mueve el disco de “Binomios al Cuadrado”. 1 manivela que mueve el disco de “Trinomios Cuadrados Perfectos”. 1 Signo igual.

Disco Trinomios

Disco Binomios

Signo Igual

Manivelas Hay que aclarar que los recortables deben quedar pegados sobre los materiales k´nex. ¿Cómo se usa el modelo? - El maestro dice una letra y cada equipo mueve “la manivela de los binomios al cuadrado” hasta quedar el binomio que corresponda al lado del signo igual. - En su libro resuelven esa expresión algebraica. - Una vez resuelto, buscan en el otro disco el trinomio cuadrado perfecto que corresponde y moviendo la manivela lo ubican hasta quedar al lado del signo igual. - Después llaman al maestro para mostrarle cómo han quedado acomodados los discos. - El maestro confirma que los discos estén colocados correctamente. - A los primeros 5 equipos que hayan resuelto correctamente un ejercicio se les otorga 10 puntos.

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Ejemplo: Supongamos que el maestro dice: “Letra H” 1. El equipo mueve con la manivela el disco de los binomios al cuadrado con la manivela hasta que la letra “H” quede al lado del signo igual.

2. Cada integrante del equipo resuelve este binomio al cuadrado.

3. El equipo mueve el disco de los “trinomios cuadrados perfectos” hasta que el resultado quede al lado del signo igual.

4. Una vez que cada integrante del equipo tenga contestado en su libro la tabla de cada ejercicio y que hayan acomodado los discos en el lugar y en la posición que corresponden, indican al maestro que han terminado el ejercicio. 5. A cada uno de los primeros 5 equipos que resuelvan correctamente cada ejercicio, el les maestro otorgará 10 puntos.

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A fin de garantizar el éxito en esta actividad convendrá anotar los resultados que vaya obteniendo cada equipo en un lugar visible a todos.

Comenzamos los ejercicios: Ejercicio 1: El maestro dice la letra... “Ñ”

Disco 1

Disco 2 - No.15

(2+x)

= (2) +2(2)(x)+(x)

2

2

= 4+4x+x2

2

Ejercicio 2: El maestro dice la letra... “B”

Disco 2

Disco 2 - No.11

(3x-5y)

2

= (3x) -2(3x)(5y)+(5y) 2

= 9x2-30xy+25y2

2

Ejercicio 3: El maestro dice la letra... “J”

Disco 1

Disco 1 - No.7

(x+y)

= (x) +2(x)(y)+(y)

2

2

= x2+2xy+y2

2

Ejercicio 4: El maestro dice la letra... “O”

Disco 1

Disco 2 - No.17

(x-y)

= (x) -2(x)(y)+(y)

2

2

= x2-2xy+y2

2

Ejercicio 5: El maestro dice la letra... “C”

Disco 1

Disco 2 - No.20

(2x+y)2

= (2x)2+2(2x)(y)+(y)2

= 4x2+4xy+y2

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Ejercicio 6: El maestro dice la letra... “E”

Disco 2

Disco 2 - No.20

(2x+7y)

2

= (2x) +2(2x)(7y)+(y) 2

= 4x2+28xy+49y2

2

Ejercicio 7: El maestro dice la letra... “S”

Disco 2

Disco 1 - No.8

(3x+y)2

= (3x)2+2(3x)(y)+(y)2

= 9x2+6xy+y2

Ejercicio 8: El maestro dice la letra... “R”

Disco 1

Disco 1 - No.2

(2x-3y)

2

= (2x) -2(2x)(3y)+(3y) 2

= 4x2-12xy+9y2

2

Ejercicio 9: El maestro dice la letra... “F”

Disco 1

Disco 1 - No.10

(x+1)

2

= (x) +2(2x)(1)+(1) 2

= x2+2x+1

2

Ejercicio 10: El maestro dice la letra... “M”

Disco 1

Disco 2 - No.13

(x-6)

2

42

= (x) -2(x)(6)+(6) 2

2

= x2-12x+36

Ejercicio 11: El maestro dice la letra... “K”

Disco 2

Disco 1 - No.5

(x+9)

= (x) +2(x)(9)+(9)

2

2

= x2+18x+81

2

Ejercicio 12: El maestro dice la letra... “I”

Disco 2

Disco 2 - No.19

(3x-1)2

= (3x)2-2(3x)(1)+(1)2

= 9x2-6x+1

Ejercicio 13: El maestro dice la letra... “P”

Disco 2

Disco 1 - No.3

(x+5)2

= (x)2+2(x)(5)+(5)2

= x2+10x+25

Ejercicio 14: El maestro dice la letra... “D”

Disco 1

Disco 1 - No.6

(6x-5y)

2

= (6x) -2(6x)(5y)+(5y) 2

= 36x2-60xy+25y2

2

Ejercicio 15: El maestro dice la letra... “N”

Disco 2

Disco 2 - No.12

(2x-1)

2

= (2x) -2(2x)(1)+(1) 2

2

= 4x2-4x+1

43

Ejercicio 16: El maestro dice la letra... “Q”

Disco 1

Disco 2 - No.18

(4x-3y)

= (4x) -2(4x)(3y)+(3y)

2

2

= 16x2-24xy+9y2

2

Ejercicio 17: El maestro dice la letra... “H”

Disco 1

Disco 1 - No.9

(x+2)

= (x) +2(x)(2)+(2)

2

2

= x2+4x+4

2

Ejercicio 18: El maestro dice la letra... “G”

Disco 2

Disco 2 - No.16

(9x2-7y2)2

= (9x2)2-2(9x2)(7y2)+(7y2)2

= 81x4-126x2y2+49y4

Ejercicio 19: El maestro dice la letra... “L”

Disco 2

Disco 1 - No.4

(8x y+7xy z ) 2

6 2 2

= (8x y) +2(8x y)(7xy z )+(7xy z ) 2

2

2

6 2

6 2 2

= 64x4y2+112x3y7z2+49x2y12z4

Ejercicio 20: El maestro dice la letra... “A”

Disco 2

(15x2y-3xy2z6)2

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Disco 2 - No.14

= (15x2y)2-2(15x2y)(3xy2z)+(3x2z6)2

= 225x4y2-90x3y3z6+9x4z12