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Introducción a la Dinámica de la Atmósfera 2011
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2. Fuerzas fundamentales y aparentes Los movimientos de la atmósfera están governados por las leyes físicas fundamentales de conservación de masa, momento y energía. Para derivar esas ecuaciones es necesario aplicar esos principios a un elemento de volumen de la atmósfera. No obstante, en este capiítulo primero discutiremos la naturaleza de las fuerzas que influyen los movimientos. Las fuerzas pueden ser clasificadas como fuerzas de volumen y fuerzas de superficie. Las fuerzas de volumen actúan en el centro de masa de una parcela de fluído y tienen magnitudes proporcionales a la masa de la parcela (por ej. la gravedad). Las fuerzas de superficie actúan sobre la frontera que separa el elemento de volumen de su entorno (por ej. la fuerza de presión) y su magnitud es independiente de la masa de la parcela. Para movimientos atmosféricos de interés meteorológico las fuerzas mas importantes son la fuerza de presión, la fuerza gravitacional y la fricción. Estas son las fuerzas fundamentales. Si, como es usual, el movimiento es referido a un sistema de coordenadas rotando con la Tierra, la segunda ley de Newton se aplica incluyendo dos fuerzas aparentes: la centrífuga y la de Coriolis. 2.1 Fuerza gradiente de presión Consideremos las fuerzas actuando sobre un elemento de volumen como muestra la figura 2.1
Figura 2.1 – Fuerza de presión actuando sobre un elemento de volumen.
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La fuerza neta en la direccion x es: δFx = p δyδz - (p + δp) δyδz δFx = -δp δy δz Pero
y por lo tanto
Para hallar la aceleración dividimos entre la densidad
Análogamente en las otras direcciones. Por lo tanto la fuerza gradiente de presión total actuando sobre la parcela puede ser expresada como F −1 = ∇p M
2.2 Aceleración gravitatoria La aceleración gravitatoria por unidad de masa es
Fg GM E =g f = 3 r M r
donde G=6.66x1011 m2/kg2 es la constante gravitatoria y ME =5.988x1024 kg es la masa de la Tierra. El vector r está determinado por el centro de la Tierra y la parcela en la atmósfera. En ausencia de rotación las fuerzas gravitacionales mantienen la materia unida formando un cuerpo esférico con el material más denso en el centro. Debido a la Notas: Prof. Marcelo Barreiro
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rotacion, cada parcela de aire está sujeta a una fuerza centrípeta con sentido hacia el eje de rotación. Para aplicar la segunda ley de Newton en un sistema de coordenadas que se mueva con la Tierra es necesario incluir una fuerza aparente: la fuerza centrífuga. La fuerza centrífuga causa una fuerza hacia afuera del eje de rotación distorsionando el equilibrio esférico de forma que el planeta asume una forma achatada en los polos. La fuerza resultante de las fuerzas de gravedad y centrífuga tiene una dirección que apunta a la vertical local (ver figura 2.2), y no hacia el centro de la Tierra. Por simplicidad llamaremos fuerza gravitacional a la resultante de la fuerza gravitatoria y centrífuga g = gf - Ω x (Ω x r) (Notemos que debido a inhomogeneidades en la distribución de rocas y magma la verdadera fuerza gravitacional no está dirigida hacia el centro de la Tierra.) La superficie que se obtiene se llama un geoide y puede ser interpretado como la superficie de un océano en reposo. Esta superficie “virtual” es perpendicular en todo punto a la direccion de la gravedad (neta) y forma una superficie equipotencial, o sea que una parcela moviéndose en esa superficie no sufre cambios en la energía potencial. El valor de la energía potencial por unidad de masa se llama geopotencial y el geoide es por lo tanto una superficie de geopotencial constante.
Figura 2.3 – Fuerza gravitatoria neta resultante de la fuerza gravitatoria y la centrífuga.
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La distorsión causada por la fuerza centrífuga es muy pequeña: el radio terrestre es de 6378 km en el ecuador y 6351 km en los polos. Por lo tanto la Tierra puede considerarse como una esfera en la mayoria de los problemas meteorológicos. 2.3 Fuerza de Fricción Todo fluído real está sujeto a una fricción interna entre las partículas que lo forman (viscocidad molecular) que causa una resistencia a fluir. La derivación del termino de fricción es análogo al de la fuerza de presión. Consideremos la figura 2.4 donde consideramos un elemento diferencial de volumen de lados dxdy. τyy(x,y) τxy(x,y) τyx(x,y) dy
τxx(x-dx,y) τxx(x,y) τyx(x-dx,y) τxy(x,y-dy) τyy(x,y-dy) dx
Figura 2.4 – Esfuerzos sobre un elemento de volumen bidimensional. Por ejemplo, xy indica el esfuerzo realizado en la dirección x por un cortante de la velocidad según x en la dirección y. El esfuerzo neto aplicado al elemento de volumen en la direccion x es xy x , y dx− xy x , y−dy dx xx x , y dy− xx x−dx , y dy
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donde el esfuerzo τ depende de la naturaleza del fluido. Notar que τ xy(x,y) y τyx(x,y) tienen direcciones diferentes pero la misma amplitud: si estos esfuerzos no tuvieran la misma magnitud el elemento de volumen infinitesimal estaría sujeto a un torque que no podría ser balanceado por un torque interno. Entonces, dividiendo entre dxdy el esfuerzo neto en la direccion x se puede escribir como ∂ x y ∂ x x . ∂y ∂x Para un fluido newtoniano los esfuerzos viscosos son proporcionales a los gradientes de velocidad (figura 2.5). Si el fluído es incompresible podemos escribir
donde μ es el coeficiente de viscocidad dinamica. Notar que los esfuerzos xy , xz , yz son términos de deformación por esfuerzo de corte vistos en la sección 1.2.2.
Figura 2.5 – Relación entre esfuerzo y gradiente de velocidades para un fluido newtoniano Para la atmósfera μ se puede considerar constante y podemos simplificar las Notas: Prof. Marcelo Barreiro
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que tiene un valor empírico de 1.46 x 10-5 m2/s en la atmósfera, y obtenemos las siguientes expresiones para las componentes de fricción por unidad de masa en las tres coordenadas expresiones anteriores. Se define el coeficiente de viscocidad cinemática
=
∂2 u ∂2 u ∂2 u 2 2 2 ∂x ∂ y ∂z ∂2 v ∂2 v ∂2 v Fry = 2 2 2 ∂x ∂ y ∂z ∂2 w ∂ 2 w ∂2 w Frx = 2 2 2 ∂x ∂y ∂z F rx=
En la tropósfera es tan pequeña que la viscosidad molecular es despreciable excepto en una capa de unos milímetros justo arriba de la superficie de la Tierra donde el cortante vertical es muy grande. En las cercanías de la superficie las moléculas chocan contra ella y le transfieren momento. Moléculas mas alejadas colisionan con las moléculas que chocaron con la superficie transfiriendo el cambio de momento al interior del fluído. Esta trasnferencia de momento por viscosidad molecular es muy ineficiente ya que las moléculas viajan micrómetros entre colisiones (figura 2.6)
Figura 2.6 - Moléculas colisionan con la superficie y entre ellas transfiriendo el momento del fluído a la superficie, disminuyendo la velocidad el flujo. Por encima de esta capa cercana a la superficie el momento es transferido fundamentalmente por los movimientos turbulentos. El efecto de los movimientos turbulentos puede visualizarse considerando al fluído como compuesto de torbellinos que se mueven y transfieren momento hacia o desde la superficie en forma análoga a las moléculas en la viscocidad molecular. Es posible definir una longitud de mezcla que es el camino promedio que recorre un torbellino antes de mezclarse con el entorno y Notas: Prof. Marcelo Barreiro
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transferir momento. Con este ajuste los efectos dispativos de la turbulencia de pequeña escala puede ser representado definiendo una viscocidad turbulenta K. 2.4 Fuerza de Coriolis Supongamos que se le da un impulso hacia el este a una parcela de aire y que la fricción es despreciable. En esas circunstancias la parcela se mueve más rápido que la Tierra por lo que la fuerza centrífuga actuando sobre la parcela es u 2 R R Fcen= R=2 R2 u u2 2 R R R donde u/R es el cambio incremental en la velocidad angular debido al impulso inicial. El primer término es la fuerza centrífuga, incluída en la gravedad efectiva. Los otros términos son fuerzas que van en la dirección de R (perpendicular al eje de rotación). Para escalas sinópticas u