Geometría 1/2 Material UA
Material propiedad de sus autores. Ojo tiene errores Magisterio Infantil - Primaria
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Didáctica de la Matemática
Universidad de Alicante
ELEMENTOS GEOMÉTRICOS RECTAS PARALELAS, rectas que están en un mismo plano y no tienen puntos en común.
R1. Dos rectas perpendiculares a una tercera son paralelas entre sí. r1 r3 r1 r2 r2
r1 r2 r1 r2
POSTULADO DE EUCLIDES, por un punto exterior a una recta solo pasa una paralela a esa recta. r”
P
r
BISECTRIZ DE UN ÁNGULO, recta que divide al ángulo en dos ángulos iguales o lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los lados del ángulo Q Q’
P Q P Q’
DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA, segmento perpendicular a la recta r que va desde el punto A hasta la recta r. A
Q
r ÁNGULO, porción del plano determinada por dos semirrectas con el mismo origen.
ÁNGULOS CONSECUTIVOS, dos ángulos que tienen un vértice y un lado común y están en semiplanos diferentes respecto al lado común. ÁNGULOS ADYACENTES,
dos ángulos que comparten el vértice y uno de los lados y la suma de los dos es de 180º. Dos ángulos que además de ser consecutivos suman 180º. Son dos ángulos consecutivos cuyos lados exteriores determinan una recta.
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ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS, dos ángulos cuya suma es un ángulo recto (90º). K y L son complementarios. ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS, dos ángulos cuya suma es dos ángulos rectos (180º). Los ángulos suplementarios no tienen por qué ser adyacentes, pero lo pueden ser. - X e Y son suplementarios. - EFG y GFH son suplementarios ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE, dos ángulos tales que los lados de uno son las semirrectas opuestas de los lados del otro. R2. Los ángulos opuestos por el vértice son iguales. R3. Por un punto exterior a una recta se puede trazar una perpendicular a esa recta y solo una. MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO, recta perpendicular por el punto medio. Lugar geométrico de los puntos que equidistan de los extremos del segmento. r
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ÁNGULOS FORMADOS POR RECTA CORTADAS POR PARALELAS En la figura siguiente dos rectas paralelas están cortadas por una recta secante. Se determinan 8 ángulos. - Los ÁNGULOS ALTERNOS son los ángulos situados a distintos lados de la recta secante: el 1 y el 2; el 3 y el 4; el 5 y el 6; el 7 y el 8. Ángulos son ALTERNOS-INTERNOS si son ángulos alternos situados entre las rectas paralelas: 3, 4, 5 y 6. El 5 y el 4 tienen la misma amplitud El 3 y el 6 tienen la misma amplitud Ángulos son ALTERNOS-EXTERNOS si son ángulos alternos situados fuera de las rectas paralelas: 1, 2, 7 y 8. El 1 y el 8 tienen la misma amplitud El 7 y el 2 tienen la misma amplitud - ÁNGULOS CORRESPONDIENTES son ángulos que están situados a un mismo lado de la secante siendo ambos internos (5 y 3, 6 y 4) o ambos externos (1 y 7¸ 2 y 8) R4. Dos ángulos que tienen sus lados respectivamente paralelos son iguales o suplementarios (2 rectos). SI LOS DOS ÁNGULOS SON AGUDOS (MENORES DE 90º) r1
r3 r2
A
C r4 B
Los ángulos A y B (agudos) están formados por las rectas paralelas entre sí r1r3 y r2r4, mientras que el ángulo C es el comprendido entre las rectas r2 y r3, lo que da lugar a los ángulos congruentes A y B y a los alternos internos A y C. Las rectas paralelas r1r3 están cortadas por la secante común r2 por lo que A y C son ángulos alternos internos (A=C) y congruentes. Las rectas paralelas r2r4 están cortadas por la secante común r3, por lo que C y B son alternos internos (B=C) y congruentes. Por lo tanto A=B.
SI UN ÁNGULO ES AGUDO (MENOR DE 90º) Y EL OTRO OBTUSO (ENTRE 90º Y 180º) r1
r3
Los ángulos A (agudo) y B (obtuso) están formados por las rectas paralelas entre sí r1r3 y r2r4. Las rectas paralelas r1r3 cortadas por la secante común r2 r4 A D forman los ángulos alternos internos A y D, que son E congruentes, AD. Las rectas paralelas r2r4 cortadas por la B secante común r3 forman los ángulos alternos internos D y E, que son congruentes, DE y el ángulo B. A su vez B y A son suplementarios. Como los ángulos alternos internos D y E son congruentes, DE, entonces las rectas r2 y r4 son paralelas. R5. Los segmentos de paralelas comprendidas entre paralelas son iguales. r2
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PROPIEDADES Sea un par de rectas cortadas por una recta transversal Si los ángulos alterno-internos son congruentes entonces las dos rectas son paralelas (si es congruente con ’ entonces r y r’ son paralelas). - Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes. - Los ángulos suplementarios de dos ángulos congruentes, son congruentes. - Los ángulos complementarios de dos ángulos congruentes, son congruentes. - Suma de los ángulos internos de un triángulo: C
s
r A
B
Se traza una paralela a por llamamos s. Las rectas r y s son paralelas y secante formando los ángulos internos y congruentes . Las rectas r y s son paralelas y secante formando los ángulos
el punto C a la que están cortadas por la y , que son alternos están cortadas por la y , que son alternos
internos y congruentes . Los ángulos , y son suplementarios, la suma de todos ellos es 180º . Si y
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ACTIVIDADES SOBRE ÁNGULOS 1 1. En la figura, GH y PQ se cortan determinando cuatro ángulos. y el ángulo a es congruente al c, y Como el b es congruente al d, entonces . Por lo tanto , si despejamos obtenemos y y concluimos que a) Si
mide 52, ¿cuánto mide ?
b) Si -
mide 110, ¿cuánto miden , y ?
por lo tanto
2. Con la práctica deberías ser capaz de estimar la medida de ángulos sin usar el semicírculo. No uses el semicírculo para decidir qué ángulos de los dibujados tienen medidas incluidas en los intervalos indicados: a) 80 < x < 95 C b) 55 < x < 70 A c) 40 < x < 60 A d) 90 < x < 105 B e) 20 < x < 45 D f) 110 < x < 125 B 3. En la figura plana siguiente se tiene que: a) b) c) d) 4. Si la medida de un ángulo es tres veces la medida de su suplemento, ¿cuál es la medida del ángulo?
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5. Completa cada frase con la palabra(s) o símbolo(s) que la hagan cierta: a) significa lo mismo que son congruentes b) Si un ángulo mide 65º el ángulo se llama agudo c) Si un ángulo mide 90º el ángulo se llama recto d) Si un ángulo mide 117º el ángulo se llama obtuso e) Si y , entonces y se llaman ángulos suplementarios f) Si entonces y se llaman ángulos complementarios g) Si ACAB entonces es un ángulo recto h) ACAB significa que las rectas AC y AB son perpendiculares i) Para que dos segmentos sean perpendiculares tienen que verificar: 1 sean coplanarios y 2 formen ángulo de 90º j) Si D es un punto interior de y , entonces y son ángulos complementarios 6. Dada la figura, con el vértice M del ángulo recto sobre AB, y par de: a) Semirrectas perpendiculares, si las hay: b) Ángulos complementarios, si los hay: y , entonces Como , por lo tanto
= 50º, nombrar un
50º
Los ángulos complementarios son aquellos que suman 90º, por lo que y lo son. c) Ángulos congruentes, si los hay: no hay d) Ángulos suplementarios, si los hay: con y con 7. ¿Puede tener complemento un ángulo obtuso? No, porque los ángulos complementarios son los que suman 90º y los ángulos obtusos miden más de 90º 8. ¿Cuál es la medida de un ángulo si la medida de su suplemento es 39º más que el doble de la medida de su complemento? Ángulo: suplemento: + complemento: Comprobación:
Ángulo:
suplemento:
Suplemento: Parcial 1 - Resumen Teoría y Práctica solucionada
complemento:
complemento: Página 6 de 91
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9. La suma de las medidas de un ángulo agudo y un ángulo obtuso es 140º. La suma de dos veces el suplemento del ángulo obtuso y tres veces el complemento del agudo es 340º ¿Cuáles son las medidas de los ángulos? Ángulo agudo: Complemento de : 90º- Ángulo obtuso: Suplemento de : + 90º- Complemento de = Suplemento de = 10.
En la figura siguiente se tiene que ?
y
y
, ¿por qué es
11. Dada la figura, justifica cada una de las siguientes afirmaciones con la definición, o propiedad apropiada. (Las afirmaciones forman una sucesión de pasos dependientes): a) y son ángulos adyacentes y suplementarios, igual que y . Son suplementarios porque la suma de sus ángulos es 180º y son adyacentes porque comparten vértice b) ,y Los ángulos y son suplementarios y adyacentes, al igual que los ángulos . Además el ángulo y son opuestos por el vértice, por lo que son congruentes. c) Dado que y son ángulos opuestos por el vértice son congruentes. Además y son ángulos suplementarios y adyacentes al igual que y . d) Son iguales porque son opuestos por el vértice. e) Son congruentes porque son opuestos por el vértice. 12.
En la figura
. Demostrar que
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ACTIVIDADES SOBRE ÁNGULOS 2 1. Si es suplementario de , suplementario de , y ¿Qué se puede afirmar de ? Cómo podemos expresar este resultado de forma más general.
y
= 2. sea
y
son semirrectas opuestas, y )
,y
. Encontrar
. (Ayuda:
y
x
3. a) Dos rectas distintas secantes ¿cuántos pares de ángulos opuestos por el vértice forman?
Dos rectas secantes forman dos pares de ángulos opuestos por el vértice: con y con
b) Si la medida de cualquier ángulo del apartado a) es 62º ¿cuáles son las medidas de los otros ángulos? Como y son ángulos suplementarios suman 180º, es decir, +=180º. Si =62º entonces 62º+=180º; =180º-62º, por lo tanto =118º c) Si los cuatro ángulos del apartado a) son congruentes ¿cuál es la medida de cada uno de ellos? Si los cuatro ángulos son congruentes, es decir entonces los cuatro ángulos miden lo mismo ====90º 4. En la siguiente figura, tres rectas coplanarias se cortan en un punto. Dado que , encontrar las medidas de . -
y
-
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5. Dadas las semirrectas , y que . Probar que
, siendo C un punto interior de .
, y verificándose
D
Si
C A
B
6. Dada la figura, con Llamamos x a la recta Tenemos que la recta Tenemos que la recta Por lo tanto si
y y que
entonces podemos decir que .
, probar que y a la recta
.
x
x
entonces
7. Dada la figura con , probar que . Llamamos x a los ángulos Sabemos que y son ángulos suplementarios, por lo tanto Sabemos que y son ángulos suplementarios, por lo tanto, Además y son congruentes Como los ángulos suplementarios de los ángulos congruentes son suplementarios, entonces 8. Dada la figura con Llamamos a los ángulos Llamamos a los ángulos Sabemos que Sabemos que Por lo tanto tenemos que 9. Dados ADFB, y Llamamos a los ángulos Sabemos que los ángulos lo tanto Sabemos que los ángulos Así tenemos que
y
, probar que
, es decir , es decir y que . Probar que
.
, es decir . x
son complementarios, por son complementarios, por lo tanto
x
;
, es decir
10. Siendo MCAB, NDAB y , entonces probar que . Dado que el ángulo está formado por los ángulos complementarios y entonces Dado que el ángulo está formado por los ángulos complementarios e entonces Así y que , por lo tanto
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11. Dada la figura con complementario de y un ángulo recto, probar que Tenemos que , que y que Sabemos que es opuesto por el vértice a por lo que son congruentes, es decir Como , entonces , si lo aplicamos a tenemos que , es decir Si y entonces
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.
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ACTIVIDADES SOBRE ÁNGULOS 3 1. Sin usar el trasportador, ¿qué miden los ángulos en la siguiente figura? Llamamos Como es ángulo suplementario de sabemos que , por lo que , así Como
es ángulo suplementario de , por lo que
sabemos que , así
Como
es ángulo opuesto por el vértice de
Como así Como así Como
es ángulo suplementario de
sabemos que
, por lo que
,
es ángulo suplementario de
sabemos que
, por lo que
,
, por lo que
sabemos que son congruentes
, por lo que
Como la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180º entonces , por tanto Como es ángulo opuesto por el vértice de sabemos que son congruentes
, por lo que
Como Como
es ángulo opuesto por el vértice de
sabemos que son congruentes
es ángulo suplementario de es ángulo suplementario de
sabemos que sabemos que
2. En el diagrama que sigue, las rectas m y n son paralelas. ¿Qué miden los ángulos mencionados? Llamamos s y t a las rectas secantes y y a los ángulos t s = de los que conocemos su medida. Como es ángulo suplementario de sabemos que =
Como es ángulo suplementario de sabemos que Como Como Como Como Como
es ángulo opuesto por el vértice de sabemos que son congruentes es ángulo alterno externo de es ángulo alterno externo de es ángulo alterno interno de es ángulo alterno interno de
son congruentes son congruentes son congruentes son congruentes
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, por lo que
, por lo que , por lo que , por lo que , por lo que
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Como
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es ángulo suplementario de sabemos que
Como es ángulo suplementario de sabemos que
Como es ángulo opuesto por el vértice de sabemos que son congruentes Como es ángulo alterno externo de son congruentes , por lo que Como es ángulo alterno externo de son congruentes , por lo que Como es ángulo alterno interno de son congruentes , por lo que Como es ángulo alterno interno de son congruentes , por lo que
, por lo que
3. Sabes que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º. Proporciona una explicación para ese resultado usando líneas paralelas, más que midiendo directamente los ángulos con un transportador. Usa el diagrama siguiente para apoyar tu explicación Al trazar por el punto A la recta r obtenemos tres ángulos: r , y , que son suplementarios, por lo que Como las rectas r están cortadas por la secante forman los ángulos alternos internos y , que son congruentes , por lo que Como las rectas r están cortadas por la secante forman los ángulos alternos internos e , que son congruentes , por lo que , entonces tenemos que Como 4. Indica lo que miden los ángulos en la siguiente figura sabiendo que las rectas x e y son paralelas t s Llamamos s y t a las rectas secantes y y a los = ángulos de los que conocemos su medida. Como es ángulo suplementario de sabemos que
Como
es ángulo suplementario de sabemos que
Como es ángulo opuesto por el vértice de sabemos que son congruentes Como es ángulo alterno externo de son congruentes , por lo que Como es ángulo alterno externo de son congruentes , por lo que Como es ángulo alterno interno de son congruentes , por lo que Como es ángulo alterno interno de son congruentes , por lo que Como la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180º entonces , por tanto
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=
, por lo que
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Como
es ángulo suplementario de sabemos que
Como
es ángulo suplementario de sabemos que
Como
es ángulo opuesto por el vértice de
sabemos que son congruentes
Como es ángulo alterno externo de son congruentes Como es ángulo alterno externo de son congruentes Como es ángulo alterno interno de son congruentes Como es ángulo alterno interno de son congruentes
, por lo que
, por lo que , por lo que , por lo que , por lo que
5. El triángulo y el trapecio han sido rotados 180º alrededor del punto medio del segmento indicado. Indica lo que valen los ángulos de (a) a (g) en términos de x, y, z, w. r Tenemos que el triángulo que forman las rectas r, s y v al s t u cruzarse dan lugar a los ángulos . Al rotar el triángulo 180º por un punto medio que pasa por la recta r quedan definidas las rectas t y u, siendo ts y vu, que dan lugar a los ángulos . v Como la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180º entonces tenemos que y que Como las rectas v y u son paralelas, vu, y secantes a la recta r dan lugar a los ángulos , que se relacionan: - es alterno interno a , por lo tanto es congruente de , , - es alterno interno a , por lo tanto es congruente de , , Con esto tenemos que como , y entonces . Obtenemos que: , Como entonces Como entonces por lo tanto De esta manera llegamos a la conclusión de que la igualdad inicial se ha convertido en , dado que dichos ángulos valen lo mismo.
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Tenemos que el trapecio formado por las rectas paralelas u y u v, vu, y las secantes r y s que dan lugar a los ángulos . Al rotar el trapecio 180º por un punto medio que pasa por la v recta r queda definida la recta t que da lugar a los ángulos , formando así el paralelogramo XEGW. Como la suma de los ángulos internos de un paralelogramo es 360º entonces tenemos que y que Como las rectas v y u son paralelas, vu, y secantes a la recta r dan lugar a los ángulos , que se relacionan: - es alterno interno a , por lo tanto es congruente de , , , - es alterno interno a , por lo tanto es congruente de , Por otro lado tenemos que como las rectas s y t son paralelas, st, al ser cortadas por: - la recta v forman los ángulos correspondientes y que son iguales - la recta u forman los ángulos correspondientes y que son iguales Con lo que tenemos que si: Podemos concluir que la igualdad inicial se ha convertido en , , y s
r
t
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POLÍGONOS- ELEMENTOS-TEORÍA LÍNEA POLIGONAL, formada por varios segmentos rectilíneos consecutivos de distintas rectas. POLÍGONO, porción del plano limitada por una línea poligonal cerrada cuyos segmentos no se cruzan y sus extremos no se reúsan. Figura plana limitada por segmentos. Su borde puede ser igual a su interior (triángulo) o diferente (circunferencia-círculo) LADO, cada segmento que delimita el polígono VÉRTICE, punto donde concurren dos lados consecutivos concurren. ÁNGULO INTERIOR, el que forman dos lados consecutivos en el interior del polígono ÁNGULO EXTERIOR, el que forma un lado con la prolongación de otro lado consecutivo. POLÍGONO CÓNCAVO, cuando tiene algún ángulo interior mayor de 180º POLÍGONO CONVEXO, cuando tiene todos los ángulos interiores menores de 180º. Si al unir dos puntos interiores cualesquiera, el segmento construido está incluido completamente en el polígono. POLÍGONO REGULAR, tiene todos los lados y ángulos iguales. Nombre de los polígonos según el número de lados. Nº LADOS 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 n
NOMBRE
TRIANGULO CUADRILATERO PENTAGONO HEXAGONO HEPTAGONO OCTOGONO ENEAGONO DECAGONO UNDECAGONO DODECAGONO POLIGONO DE N LADOS
DIAGONAL DE UN POLÍGONO, segmento que une dos vértices no consecutivos. Algunas diagonales desde el vértice J
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ACTIVIDADES SOBRE POLÍGONOS (DEFINICIÓN Y CRITERIOS DE CLASIFICACIÓN) 1. Explica las diferencias. Polígonos A.
A. A.
A.
No polígonos
Diferencia(s)
B.
En la figura A todos los lados son rectos, mientras que la figura B tiene un lado curvo.
B.
En la figura A le llegan a todos los vértices 2 lados, mientras que en la figura B hay un vértice al que le llegan 4 lados.
B.
La figura A está completamente cerrada, mientras que la B no lo está.
B.
En la figura A todos los elementos son coplanarios mientras que en la B no.
2. Todas las figuras que se muestran a continuación son ejemplos de polígono. Determina las características que tienen en común los polígonos.
1. 2. 3. 4.
Son coplanarios Tienen lados con líneas rectas A cada vértice le llegan 2 lados Están cerrados
3. Las siguientes figuras son ejemplos de polígonos y no polígonos. Justificar que una figura es un polígono o no.
Son polígonos las figuras: 1, 2, 4, 5, 6 y 7 No son polígonos las figuras: 3 (tiene un lado curvo), 8 (es circular), 9 (tiene un vértice al que le llegan 4 lados), 10 (no es coplanario), 11 (son curvas) y 12 (no está completamente cerrado) 4. Escribe una definición de polígono. Un polígono es una figura coplanaria completamente cerrada y con lados rectos que forman, al juntarse 2, un vértice.
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5. Fíjate en los polígonos siguientes:
¿Puedes agrupar a algunos de ellos que se parezcan en algo? ¿Qué criterio has seguido? ¿Puedes agruparlos de otra forma? ¿Qué criterio has seguido? Según el número de lados (vértices) - Triángulos: 2, 6 y 11 - Cuadriláteros: 1, 3, 7, 8 y 11 - Pentágono: 9 - Hexágono: 4 y 10 - Dodecágono: 5 Según la congruencia de los lados (misma medida de los lados): - Lados congruentes: 2, 4, 5, 8, 10, 11 y 12 - Lados no congruentes: 1, 3, 6, 7 y 9 Según la congruencia de los ángulos: - Todos los ángulos congruentes: 1, 2, 4, 5, 8, 11 y 12 - Todos los ángulos no congruentes: 3, 6, 7, 9 y 10 Según el paralelismo de los lados: - Sin lados paralelos: 2, 6, 9 y 11 - Con lados paralelos: Todos los lados paralelos: 1, 3, 4, 5, 8, 10 y 12 Algún lado paralelo: 7 6. Fíjate en los polígonos siguientes:
¿Puedes agrupar a algunos de ellos que se parezcan en algo? ¿Qué criterio has seguido? Polígonos cóncavos (con algún ángulo interno >180º): 1, 3 y 4 Polígonos convexos (con ángulos internos 180º (cóncavo): 6 - Ningún ángulo interno > 180º (convexo): resto de polígonos Según la congruencia de los lados - Todos los lados congruentes: 2, 10 - Al menos dos lados congruentes: 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 14, 15 - Sin lados congruentes: 1, 6, 12, 13 Según la congruencia de las diagonales - Las dos diagonales congruentes: 2, 3, 5, 8, 9, 10, 11, 15 - Ninguna diagonal congruente: 1, 4, 6, 7, 12, 13, 14 Según los ángulos de las diagonales - Todos los ángulos de las diagonales congruentes: 2, 4, 6, 7, 10, 14 - Todos los ángulos de las diagonales congruentes 2 a 2: 1, 3, 5, 8, 9, 11, 12, 15 - Ningún ángulo congruente: 13 Parcial 1º: Teoría y Práctica
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ACTIVIDAD: EL CASO DE MACARENA El CASO DE MACARENA. Examinando relaciones entre figuras Macarena es una profesora de 5º de E. Primaria que ha estado trabajando con sus alumnos durante el tercer trimestre del curso el contenido geométrico relativo a los cuadriláteros y su clasificación. Previamente a las actividades de clasificación de cuadriláteros –es decir actividades centradas en el estudio de relaciones geométricas- había estado recordando las definiciones de algunos cuadriláteros –cuadrado, rectángulo, rombo, romboide, trapecio, trapezoide-. Los conceptos geométricos usados fueron: - paralelismo de lados - congruencia de lados (igualdad de longitudes) - congruencia de ángulos (igualdad de medidas) Como una tarea de evaluación Macarena pidió a sus alumnos que formaran grupos y dibujaran un diagrama de árbol para representar las relaciones existentes entre los diferentes tipos de cuadriláteros. Después de un rato recogió las siguientes respuestas del grupo de Andrés y de Julia. A. GRUPO DE ANDRÉS Cuadriláteros Sin lados paralelos
EXCLUSIVA
Trapezoides
Con sólo 2 lados paralelos
Con lados paralelos 2 a 2
Trapecios
Paralelogramos Todos los lados congruentes
Sólo lados congruentes 2 a 2
Romboides INCLUSIVA
Rombos
Todos los ángulos congruentes
Rectángulos
Cuadrados
B. GRUPO de JULIA Cuadriláteros Sin lados paralelos
EXCLUSIVA
Trapezoides
Con sólo 2 lados paralelos
Trapecios
Con lados paralelos 2 a 2
Paralelogramos
Sólo 2 ángulos congruentes
Romboides
INCLUSIVA
Todos los ángulos congruentes
Rectángulos
Todos los lados congruentes
Rombos
Cuadrados
- Tarea 1. Caso de Macarena.
Para cada diagrama explica las relaciones que aparecen entre los conceptos. Grupo de Andrés: 1º según paralelismo de lados, 2º según congruencia de lados y 3º según congruencia de ángulos. Grupo de Julia: 1º según paralelismo de lados, 2º según congruencia de ángulos y 3º según congruencia de lados.
Parcial 1º: Teoría y Práctica
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Para cada diagrama indica las definiciones de los conceptos implicados. Grupo de Andrés: Cuadrilátero. Polígono de 4 lados Trapezoide. Cuadrilátero sin lados paralelos. Trapecio. Cuadrilátero con sólo 2 lados paralelos. Paralelogramo. Cuadrilátero con todos los lados paralelos 2 a 2. Romboide. Paralelogramo con sólo lados congruentes 2 a 2. Rectángulo. Romboide con todos los ángulos congruentes. Rombo. Paralelogramo con todos los lados congruentes. Cuadrado. Rombo con todos los ángulos congruentes. Grupo de Julia: Cuadrilátero. Polígono de 4 lados Trapezoide. Cuadrilátero sin lados paralelos. Trapecio. Cuadrilátero con sólo 2 lados paralelos. Paralelogramo. Cuadrilátero con todos los lados paralelos 2 a 2. Romboide. Paralelogramo con sólo 2 ángulos congruentes. Rombo. Romboide con todos los lados congruentes. Rectángulo. Paralelogramo con todos los ángulos congruentes. Cuadrado. Rectángulo con todos los lados congruentes. ¿Qué clasificación prefieres? ¿Por qué? - Tarea 2. Caso de Macarena. Representa una clasificación alternativa para los cuadriláteros e indica: I. las relaciones que se establecen entre ellos, y II. las definiciones de los cuadriláteros utilizados. Compara la clasificación realizada con la de otros compañeros/as. ¿Qué propiedades geométricas se han utilizado en las distintas clasificaciones? - Paralelismo de los lados - Congruencia de lados - Congruencia de ángulos Justifica si las clasificaciones realizadas son inclusivas o disjuntas. La parte referente a paralelismo de lados es disjunta ya que los elementos sólo pertenecen a un grupo, mientras que en lo referente a congruencia de lados y congruencia de ángulos es inclusiva, ya que hay elementos que pertenecen a dos categorías al mismo tiempo.
Parcial 1º: Teoría y Práctica
Resumen y soluciones
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ACTIVIDAD: CARACTERÍSTICAS DE LOS CUADRILÁTEROS PROPIEDADES DE: ÁNGULOS Al menos un par de ángulos suplementarios consecutivos
ROMBOIDE
RECTÁNGULO
ROMBO
CUADRADO
Ángulos de la base congruentes Al menos un par de ángulos congruentes opuestos Dos pares de ángulos congruentes opuestos
Todos los ángulos congruentes LADOS Al menos un par de lados paralelos Dos pares de lados paralelos Al menos un par de lados congruentes opuestos Dos pares de lados congruentes opuestos Todos los lados congruentes
DIAGONALES Al menos una diagonal biseca a la otra Ambas diagonales se bisecan Diagonales congruentes
Diagonales perpendiculares SIMETRÍAS Al menos un eje de simetría que no es una diagonal Dos ejes de simetría que no son diagonales Las dos diagonales son ejes de simetría
Simetría rotacional + 90º Simetría rotacional de 180º
Parcial 1º: Teoría y Práctica
Resumen y soluciones
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RESUMEN ¿Qué propiedades parecen ser comunes a los cuatro cuadriláteros (romboide, rectángulo, cuadrado y rombo)? - Ángulos: Al menos un par de ángulos suplementarios consecutivos Al menos un par de ángulos congruentes opuestos Dos pares de ángulos congruentes opuestos - Lados: Al menos un par de lados paralelos Dos pares de lados paralelos Al menos un par de lados congruentes opuestos Dos pares de lados congruentes opuestos - Diagonales: Al menos una diagonal biseca a la otra Ambas diagonales se bisecan ¿Existe alguna propiedad que solo la cumpla un tipo de cuadrilátero? - Simetría: Simetría rotacional 90º cuadrados ¿Qué propiedades tienen en común los cuadrados y los rombos? - Ángulos: Al menos un par de ángulos suplementarios consecutivos Al menos un par de ángulos congruentes opuestos Dos pares de ángulos congruentes opuestos - Lados: Al menos un par de lados paralelos Dos pares de lados paralelos Al menos un par de lados congruentes opuestos Dos pares de lados congruentes opuestos Todos los lados congruentes - Diagonales: Al menos una diagonal biseca a la otra Ambas diagonales se bisecan Diagonales perpendiculares - Simetrías: Las dos diagonales son ejes de simetría Simetría rotacional de 180º
Parcial 1º: Teoría y Práctica
Resumen y soluciones
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Dibuja un diagrama de Venn que muestre las relaciones entre los romboides, los rectángulos, los rombos y los cuadrados
PARALELOGRAMOS Congruencia de lados
Congruencia de ángulos
PARALELOGRAMOS
Congruencia de ángulos
Congruencia de lados
Parcial 1º: Teoría y Práctica
Resumen y soluciones
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ACTIVIDAD A veces se suele definir un trapecio como “un cuadrilátero con al menos un par de lados opuestos paralelos” a. Representa un diagrama para mostrar la clasificación de los cuadriláteros considerando esta definición Cuadriláteros Sin lados paralelos
Trapezoides
Con al menos 2 lados paralelos
Trapecios Con lados paralelos 2 a 2
Paralelogramos Todos los lados congruentes
Sólo lados congruentes 2 a 2
Romboides
Rombos
Todos los ángulos congruentes
Rectángulos
Cuadrados
b. Algunos libros de texto suelen definir trapecio como “cuadrilátero con exactamente un par de lados opuestos paralelos”. Representa un diagrama para mostrar la clasificación de los cuadriláteros considerando esta definición e indica que es lo que cambia en relación a la respuesta del apartado a. Cuadriláteros Sin lados paralelos
Trapezoides
Con sólo 2 lados paralelos
Trapecios
Con lados paralelos 2 a 2
Paralelogramos
Sólo lados congruentes 2 a 2
Romboides
Todos los lados congruentes
Rombos
Todos los ángulos congruentes
Rectángulos
Parcial 1º: Teoría y Práctica
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Cuadrados
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ACTIVIDAD FINAL Dibuja un ejemplo, en el caso en que sea posible, de cada una de las figuras que se describen a continuación. En el caso en que no sea posible, indica por qué. 1. Un trapecio con al menos un ángulo recto 2. Un hexágono con dos lados perpendiculares
1
2
3
3. Un pentágono con dos lados paralelos 4
4. Un cuadrilátero regular 5. Un cuadrilátero con los ángulos iguales pero que no sea equilátero 6. Un paralelogramo que tenga exactamente un ángulo recto
Si es un paralelogramo por lo menos tendrá los ángulos congruentes 2 a 2
5
7. Un trapecio isósceles (un trapecio que tiene ángulos de igual tamaño a continuación de los
lados paralelos) 8. Un triangulo rectángulo isósceles
7
8
9. Un triangulo rectángulo equilátero
Un triángulo es rectángulo cuando uno de sus ángulos mide 90º y es equilátero si tiene los tres ángulos congruentes. Si se tratara de un triángulo rectángulo equilátero la suma de sus tres ángulos internos sería 270º. Por lo que no es posible, ya que la suma de los ángulos internos de un triángulo es de 180º. 10. Un rombo que es también un rectángulo 11. Un triángulo isósceles con todos los lados iguales
10
11
12
12. Un hexágono equilátero que no sea regular 13. Un pentágono regular que no sea equilátero
Un polígono regular tiene todos los lados iguales, al igual que un polígono equilátero, por lo que no puede ser regular y no ser equilátero
Parcial 1º: Teoría y Práctica
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ÁNGULOS EN LOS POLÍGONOS- ELEMENTOS-TEORÍA En un polígono convexo en cada vértice hay un ángulo interior y dos ángulos exteriores Los dos ángulos exteriores son iguales por ser opuestos por el vértice. En cada vértice el ángulo interior y el ángulo exterior son suplementarios (suman 180º). La suma de los ángulos interiores de un polígono convexo sigue una regularidad en función del número de lados. El proceso que se sigue para identificar la fórmula se apoya en un proceso de triangulación (formar triángulos) Nº de lados
Suma de los ángulos interiores
3
180º
4
2×180º
5
3× 180º
…n
(n-2) × 180º
Parcial 1º: Teoría y Práctica
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Polígono
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ACTIVIDADES INTRODUCTORIAS Completa la siguiente tabla Polígono
Triángulo
Cuadriláter o Pentágono
Nº de lados
Suma de los Diagonales desde Nº de triángulos Nº de diagonales ángulos internos 1 vértice desde un vértice
3
180º×1=180º
0
4
180º×2=360º
1
5
180º×3=540º
2
6
180º×4=720º
3
7
180º×5=900º
4
n
180×(n-2)
n-3
0
n-ágono
2
2
3
5
4
9
Hexágono
Heptágono
1
14 2(n-3)+(n-1)+(n5)+…+1
5
(n-2)
Averigua a) Polígono con 12 diagonales de un vértice. Justifica tu respuesta. Partimos de la fórmula que relaciona el número de diagonales de un vértice con el número de lados: D=L-3 L=D+3. Si D=3, entonces L=3+3 L=6 b) Polígono con la suma de sus ángulos internos igual a 1620º. Justifica tu respuesta. Partimos de la fórmula que relaciona la suma de los ángulos interiores y el número de lados: SUMA=180º×(N-2) 1620º=180º×(n-2);
Parcial 1º: Teoría y Práctica
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; 9=n-2 n=11
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Ejercicio extra Dada la figura: a) Hallar el valor de - Identificamos los siguientes datos de la figura: los ángulos , , , , , , , , , , , , y las rectas r, s, t1 y t2. - Como es ángulo opuesto por el vértice , al ángulo b de 40º entonces - Como es ángulo opuesto por el vértice al ángulo a de 60º entonces , - Tenemos un triángulo formado por los ángulos internos , y a, con a=60º. Sabemos que la suma de suma de los ángulos internos de un triángulo es 180º, entonces , es decir, ; - Como es ángulo opuesto por el vértice al ángulo a y entonces , - Tenemos un triángulo formado por los ángulos internos , y c, con c=70º. Sabemos que la suma de suma de los ángulos internos de un triángulo es 180º, entonces , es decir, ; entonces x y - Como es ángulo opuesto por el vértice al ángulo formado por son congruentes, . Como y d=10º entonces b) Comprobar si r y s son rectas paralelas - Tenemos las rectas r y s cortadas por la secante t1 que forman los ángulos que identificamos como b, , , y - Al cortarse las rectas secantes r, t1 y t2 forman un triángulo cuyos ángulos internos son , y d+ . Sabemos que la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180º, por lo que . Como y , entonces , - Cuando dos rectas paralelas son cortadas por una secante cumple que sus ángulos alternos internos son congruentes, por lo tanto y deberían serlo, pero y , por lo tanto r y s no son paralelas.
Parcial 1º: Teoría y Práctica
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ACTIVIDADES SOBRE ÁNGULOS DE POLÍGONOS 1. ¿Cuánto mide la suma de los ángulos interiores de un polígono convexo en función del número de lados? Polígono Triángulo Cuadrilátero Pentágono
Nº de lados
Nº de triángulos desde el vértice
Suma de los ángulos
3
1
180º
4
2
360º
5
3
540º
Hexágono …
6
4
720º
…
…
…
n-ágono
N
N-2
180×(N-2)
2. Justifica que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º. C s
r A
B
Se traza una paralela a por llamamos s. Las rectas r y s son paralelas y secante formando los ángulos . internos y congruentes Las rectas r y s son paralelas y secante formando los ángulos
el punto C a la que están cortadas por la y , que son alternos están cortadas por la y , que son alternos
internos y congruentes . Los ángulos , y son suplementarios, la suma de todos ellos es 180º . Si y
3. Encontrar lo que miden los ángulos (interiores y exteriores) en cada uno de los siguientes pentágonos - Como el ángulo a es suplementario a un ángulo de 90º entonces a+90º=180º, por lo tanto a=180º-90º a=90º - Como el ángulo b es suplementario a un ángulo de 113º entonces b+113º=180º, por lo tanto b=180º-113º b=67º - Como el ángulo c es suplementario a un ángulo de 119º entonces c+119º=180º, por lo tanto c=180º-119º c=61º - Como el ángulo de 96º es suplementario al ángulo d entonces 96º+d=180º, por lo tanto d=180º-96º d=84º - Como la figura es un pentágono la suma de sus ángulos internos es 180·(N-2)=540º, por lo tanto 540º=90º+113º+119º+96º+e e=540º-186º-232º=540º-418º e=122º - Como el ángulo e es suplementario del ángulo f entonces e+f=180º, como e=122º tenemos que 122º+f=180º, por lo tanto f=180º-122º f=58º
Parcial 1º: Teoría y Práctica
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- Como el ángulo m es suplementario a un ángulo de 118º entonces m+118º=180º, por lo tanto m=180º-118º m=62º - Como el ángulo g es suplementario a un ángulo de 108º entonces g+108º=180º, por lo tanto g=180º-108º g=72º - Como el ángulo h es suplementario a un ángulo de 121º entonces h+121º=180º, por lo tanto h=180º-121º h=59º - Como el ángulo i es suplementario a un ángulo de 128º entonces 128º+i=180º, por lo tanto i=180º-128º i=52º - Como la figura es un pentágono la suma de sus ángulos internos es 180·(N-2)=540º, por lo tanto 540º=118º+72º+121º+128º+j j=540º-190º-249º=540º-439º j=101º - Como el ángulo k es suplementario del ángulo j entonces k+j=180º, como j=101º tenemos que 101º+k=180º, por lo tanto k=180º-101º k=79º 4. Encontrar lo que miden los ángulos (interiores y exteriores) en cada uno de los siguientes cuadriláteros - Como el ángulo e es suplementario a un ángulo de 90º entonces e+90º=180º, por lo tanto e=180º-90º e=90º - Como el ángulo a es suplementario a un ángulo de 85º entonces a+85º=180º, por lo tanto a=180º-85º a=95º - Como el ángulo b es suplementario a un ángulo de 78º entonces b+78º=180º, por lo tanto b=180º-78º b=102º - Como la figura es un cuadrilátero la suma de sus ángulos internos es 180·(N-2)=360º, por lo tanto 360º=90º+85º+78º+c c=360º-175º-78º=360º-253º c=107º - Como el ángulo c es suplementario del ángulo d entonces c+d=180º, como c=107º tenemos que 107º+d=180º, por lo tanto d=180º-107º d=73º - Como el ángulo f es suplementario a un ángulo de 50º entonces f+50º=180º, por lo tanto f=180º-50º a=130º - Como el ángulo i es suplementario a un ángulo de 109º entonces i+109º=180º, por lo tanto i=180º-109º b=71º - Como el ángulo j es suplementario a un ángulo de 52º entonces j+52º=180º, por lo tanto j=180º-52º j=128º - Como la figura es un cuadrilátero la suma de sus ángulos internos es 180·(N-2)=360º, por lo tanto 360º=130º+109º+52º+g g=360º-109º-182º=360º-291º g=69º - Como el ángulo g es suplementario del ángulo h entonces g+h=180º, como g=69º tenemos que 69º+h=180º, por lo tanto h=180º-69º h=111º
Parcial 1º: Teoría y Práctica
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5. Encontrar lo que miden los ángulos en cada uno de los siguientes polígonos - Como el ángulo y es suplementario a un ángulo de 38º entonces y+38º=180º, por lo tanto y=180º-38º y=142º - Como la figura es un triángulo la suma de sus ángulos internos es 180º, por lo tanto 180º=70º+38º+x x=180º-108º x=72º - Como el ángulo n es suplementario a un ángulo de 68º entonces n+68º=180º, por lo tanto n=180º-68º n=112º - Como la figura es un triángulo la suma de sus ángulos internos es 180º, por lo tanto 180º=32º+112º+p p=180º-144º p=36º - Como el ángulo p es suplementario del ángulo q entonces p+q=180º, como p=36º tenemos que 36º+q=180º, por lo tanto q=180º-36º q=144º - Como el ángulo s es suplementario a un ángulo de 105º entonces s+105º=180º, por lo tanto s=180º-105º s=75º - Como la figura es un cuadrilátero la suma de sus ángulos internos es 360º, por lo tanto 360º=90º+100º+75º+r r=360º-190º75º=360º-265º r=95º 6. ¿Cuál es la suma de los ángulos interiores del siguiente polígono? La estrella está formada por 4 triángulos. La suma de los ángulos internos del triángulo es 180º, por lo tanto la suma de los ángulos internos de la estrella es 4×180º=720º 7. Un compañero tuyo dijo que la suma de los ángulos interiores del octágono del dibujo suman 1440º. Si lo que ha dicho está bien, explica como lo ha conseguido. Si lo que dice está mal, explica cual es su error. El octógono del dibujo está formado por 8 triángulos. La suma de los ángulos internos de un triángulo es 180º, por lo tanto la suma de los ángulos internos de este octógono es 8×180º=1440º
Parcial 1º: Teoría y Práctica
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ÁREAS DE FIGURAS GEOMÉTRICAS. SIGNIFICADO DE ÁREA. - La medida del área da lugar a unidades de superficie m2, como unidad fundamental del SI, se utiliza para la medida de figuras planas. - En los paralelogramos el área se calcula: A=b×h, donde h es la distancia entre dos rectas paralelas Como el paralelogramo está formado por dos pares de rectas paralelas trazamos dos rectas perpendiculares interiores desde h cada uno de los vértices de las bases. Obtenemos un b
y
x h y
x
y
rectángulo de base x y altura h y dos triángulos de altura h y base y cada uno. Por lo que podemos deducir que el área del paralelogramo es A=(x+y)×h. Si tenemos en cuenta que b=x+y entonces tenemos que A=b×h.
Como el rectángulo es una forma de paralelogramo tenemos que su área es A=b×h.
l l
h
Como el cuadrado cumple la propiedad de que tiene los cuatro ángulos y los cuatro lados congruentes entonces tenemos que la base b y la altura h tienen el mismo valor l. Por lo tanto tenemos que el área es A=b×h=l×l A=l2.
b
Como el rombo cumple que sus diagonales son perpendiculares podemos trazar dos paralelas a cada una de las diagonales para formar un rectángulo. De lo que obtenemos que D=h y d=b y que la nueva figura está formada por 8 triángulos, por lo que su área es A=b×h=D×d. Pero como el rombo está formado por la mitad de los triángulos que forman la nueva figura entonces
h
tenemos que el área del rombo es b
- En un triángulo el área se calcula:
Si tenemos un triángulo de base b y altura h y lo giramos obtenemos un paralelogramo de idéntica base e idéntica altura. Como el área del paralelogramo es A=b×h y éste está formado por dos triángulos obtenemos que el área del triángulo es
.
- En un trapecio el área se calcula: Tenemos un trapecio de altura h y cuyas bases, paralelas entre sí, son b y B. Si lo hacemos girar sobre un punto medio obtenemos un paralelogramo cuya B base es B+b y cuya altura es h, por lo que obtenemos que el área del paralelogramo es: A=b×h=(B+b)×h. Como el paralelogramo está formado por dos b
trapecios entonces el área del trapecio es:
Parcial 1º: Teoría y Práctica
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- De la circunferencia se puede calcular la longitud: L=2r y el área: A=πr2 La transformación tridimensional de la circunferencia es la esfera, de la cual podemos O
r
hallar su área: A=4r2 y su volumen, que es el volumen del cilindro circunscrito en ella:
- El perímetro de un polígono se calcula sumando la medida de sus lados. En el caso de los triángulos rectángulos hay que aplicar el Teorema de Pitágoras. Tenemos un triángulo rectángulo formado por el cateto 1 lo llamamos a y el cateto 2 lo llamamos b. El Teorema de Pitágoras dice que la hipotenusa al cuadrado es igual que la suma de sus catetos al cuadrado, es decir: h2=a2+b2
- Geoplanos rectos, cada cuadrado mide 1cm2, es una u2 o um2.
Parcial 1º: Teoría y Práctica
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MEDIDA DE FIGURAS GEOMÉTRICAS- ACTIVIDADES - Utilizando como unidad el cuadrado más pequeño determinado por los puntos, mide el área de cada figura y explica el proceso seguido
indica lo que
a) El primer paso es triangulizar o rectangularizar
1. 2. 2
1
3. 3
b) El primer paso es triangulizar o rectangularizar 1.
1
2.
3
2 4
5
3. 4. 5.
2
1 4
3 5
c) El primer paso es triangulizar y rectangularizar
1. 2. 3.
4. 5. 1 de área - En un geoplano, construye un triángulo que tenga área mínima. Construye otro triángulo el doble que el anterior. Construye un triángulo de perímetro el doble que el inicial. Justifica tus respuestas. 2
1
3
1.
2. 3. Necesitamos un triángulo que sea
, es decir
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x
1
1 x x
2
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Justificación: Llamamos x a la hipotenusa del triángulo cuyos catetos miden 1cm cada uno, por lo tanto su perímetro es Si queremos hallar un triángulo cuyo perímetro sea el doble de este sabemos que tiene que medir , ya que el nuevo triángulo contiene dos triángulos cuyo perímetro es el inicial, es decir, el doble que el inicial. Por lo tanto el nuevo perímetro:
2
- En un geoplano, construye el cuadrado de área mínima. Construye otro cuadrado de área el doble que el anterior. Construye un cuadrado de perímetro doble que el inicial. Justifica tus respuestas. 1. 1
3
2. 2
3. Necesitamos un cuadrado que sea
, por lo tanto: . Como sabemos que el perímetro vale 8 entonces podemos decir que 8=4×LL=2. El cuadrado que buscamos tiene
de lado 2cm. 4. Construye un triángulo con un lado horizontal. Desplazando sólo el tercer vértice, tal como aparece en el dibujo, se pueden obtener nuevos triángulos. Señala la altura de cada uno de estos triángulos. ¿Tienen alguna característica común todos los triángulos así obtenidos?
Todos los triángulos tienen el mismo área,
, ya que su altura siempre es 5cm y su base
3cm. 5. ¿Importa donde se mida la altura de un trapecio o un paralelogramo para calcular su área? Explícalo. No, porque tanto el trapecio como el paralelogramo está formado por al menos dos rectas paralelas, con lo cual, la distancia entre ambas, o altura, siempre será la misma, desde cualquier punto de las rectas.
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6. ¿Por qué se dice que el área de un rombo también se puede calcular mediante la fórmula , siendo D la diagonal mayor y d la diagonal menor? Porque si trazamos dos rectas paralelas a la diagonal mayor, D, y otras dos paralelas por la diagonal menor, d, que pasen por los vértices opuestos obtendríamos un rectángulo. Por lo tanto se podría calcular aplicando la fórmula , pero como el área del rombo es la mitad que la del rectángulo entonces tendríamos que
. Si tenemos en cuenta que en la base del
rectángulo coincide con la diagonal mayor del rombo, y que la altura del rectángulo es congruente con la diagonal menor del rombo entonces tenemos que
.
7. Justifica la fórmula de calcula el área de un pentágono regular /hexágono regular La altura del pentágono son sus apotemas, Ap, y sus bases son sus lados, l. Como el perímetro se calcula sumando todos los lados del polígono entonces, . Como el pentágono se puede descomponer en 5 triángulos cuya altura es la apotema del pentágono entonces podemos decir que Ap
l
,
como la base del pentágono coincide con el lado y la altura con la apotema, entonces
La altura del hexágono son sus apotemas, Ap, y sus bases son sus lados, l. Como el perímetro se calcula sumando todos los lados del polígono entonces, . Como el hexágono se puede descomponer en 6 triángulos cuya altura es la apotema del hexágono entonces podemos decir que
, Ap
como la base del hexágono coincide con el lado y la altura con la apotema, entonces
l
8. Dado un triángulo como el de la figura, ¿qué transformaciones debes hacer para construir un rectángulo de igual área? Explica cómo lo harías. B Dado el triángulo de ángulos : 1.- Trazamos una recta paralela a su base por el vértice B y dos rectas 6 7 2 3 perpendiculares a la base, una por el vértice A y otra por el vértice C 5 8 para formar un rectángulo donde quede inscrito el triángulo dado. 4 1 h 2.- Trazamos la altura del triángulo por el vértice B A C b 3.- Trazamos una recta paralela a la base que sea el eje de simetría del rectángulo donde se inscribe el triángulo ABC, con lo cual el rectángulo queda dividido en 8 partes. 4.- De las partes que hemos obtenido de la división observamos que 16, 25, 38, 47, por lo que el área del triángulo es la misma que la de la mitad del rectángulo que lo contiene.
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9. En el parque de tu ciudad se ha construido un reciento como te muestra la siguiente figura en el que se quieren plantar flores. A este reciento se le va a poner una valla alrededor para que nadie estropee las flores. Necesitan conocer la cantidad de abono que se precisa para plantar las flores y la de la valla. Ayúdales a resolver este problema. Como el parque tiene forma de hexágono irregular para conocer el área T1 que ocupa y poder comprar la cantidad justa de abono y de valla hemos T2 de proceder a triangularizar el polígono. Una vez dividido el polígono obtenemos 4 triángulos, de los cuáles hallaremos el área de cada uno y T3 las sumaremos para obtener la del hexágono irregular. Por lo tanto T4 tenemos que 10.
¿Cómo calcularías el área del siguiente terreno? Describe el proceso seguido.
GEOPLANO, recurso didáctico para trabajar figuras geométricas planas, en particular los polígonos. Tablero, de madera o de plástico, sobre el que se ha marcado una trama (cuadrado o isométrica) y con un clavo o punta en cada vértice que sobresale uno o dos centímetros. Sobre esta base se colocan gomas elásticas, que se sujetan en los clavos, formando las formas geométricas que se deseen.
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TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS Los movimientos o isometrías del plano, transformaciones geométricas planas que mantienen la distancia (tamaño) y los ángulos (forma). Hay de tres tipos: traslaciones, giros y simetrías. Ejemplo que NO es movimiento o isometría: la homotecia, porque conserva los ángulos pero no las formas, tanto si es de ampliación como de disminución.
O
Traslación, transformación determinada por un vector. Una traslación de vector es una transformación que se asigna a cualquier punto P del plano otro punto P’ de manera que Se dice que P’ es la imagen de P por la traslación de vector ū, lo que se denota por El vector puede ser libre o hallarse entre dos puntos. y
O
x
y
B
A
O
x
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Ejemplo: A’
C’ D’
B
A
F’ C F
B’
E’
D E
Característica:
Operaciones con vectores: a) Forma analítica: Suma Resta
b) Gráficamente (Ley del paralelogramo)
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Ejercicio extra:
a) Representa A, B, C en los ejes cartesianos.
B’ C’
b) Si
, representa
y calcula las imágenes.
B’’ A’
C’’
c) Si B
, representa
e indica las imágenes
A’’ F
C
A
d) ¿Hay alguna traslación de F a Sí, y su relación es
? ¿Cuál?
Observamos que la coordenada de y que su imagen es . Por lo que concluimos que A se ha desplazado 5 unidades hacia la derecha y 4 hacia arriba, lo mismo que ocurre con los puntos , y , . Con lo que deducimos que el vector de traslación del triángulo ABC es
Rotación, se expresa como
. Ejemplo:
.
Composición de traslaciones, si hacemos la traslación según un vector de una figura trasladada por un vector esto equivale a hacer una traslación cuyo vector de traslación es respecto de la figura inicial. Giro, transformación que se caracteriza por tener su origen en el punto O (cero, centro de rotación) y un ángulo de giro a o que asigna a cualquier punto P del plano otro punto P’, de forma que y . El giro se describe como . Si el ángulo es negativo el avance de P a P’ es en el sentido de las agujas del reloj. Para girar una figura se ha de unir el punto O con el punto P a girar y luego girar la recta un ángulo trasladando la distancia OP. Se señala el punto , donde P’ es el giro de centro O y ángulo del punto P. Ejemplo: a) Girar de O, 30º P.
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b) B
C
D
E F
A
A’ O B’
D’
F’ E’
C’
Simetrías axiales especulares, transformaciones determinadas por un eje de simetría, recta r, que asigna a cualquier punto P del plano otro punto P’, de manera que PP’ es perpendicular a r y . Es decir P’ es la imagen de P respecto de r si r es la mediatriz del segmento PP’, .
Ejemplo: r A C D
A’
B
B’ E
E’
C’ D’
53
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Universidad de Alicante r
Ejercicio: Dado y las rectas r y s: a) Representa b) Representa A c) ¿Hay alguna simetría de F a ? ¿Cuál? No hay simetrías porque la composición de dos simetrías no es otra simetría d) ¿Hay alguna otra isometría de F a ? ¿Cuál? Sí hay isometrías, la del giro
B
B’
F
A’
C
C’ s O C’’
A’’
B’’
Ejercicios: a) rs a.1) Representa a.2) Representa r A
F
s F’
A’
A’’
F’’
F C D
B
B’ E
E’
C’
C’’
D’
D’’
B’’ E’’
a.3) ¿Hay alguna simetría de F a ? ¿Cuál? No hay simetrías porque la composición de dos simetrías no es otra simetría a.4) ¿Hay alguna otra isometría de F a ? ¿Cuál? Sí hay isometrías, una traslación b) rs b.1) Representa b.2) Representa b.3) ¿Hay alguna simetría de F a ? ¿Cuál? No hay simetrías porque la composición de dos simetrías no es otra simetría b.4) ¿Hay alguna otra isometría de F a ? ¿Cuál? Sí hay isometrías, la del giro
A
F
F
F’
B
A’ B’ C’
C D
E
E’
D’
O E’’
D’’ C’’ B’’
F’’
A’’
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Simetría central, equivale a un giro de 180º y necesita un punto O, origen del giro. No posee eje de simetría, sino centro de simetría. Por lo que una simetría central de centro O es una transformación que asigna a cualquier punto P del plano otro punto P’, por lo que O pertenece a la recta que pasa por P y P’ y . Se caracteriza por Ejemplo:
Figuras simétricas, son las que coinciden con ellas mismas cuando se aplica una simetría axial, a cuyo se le llama eje de simetría, que puede ser más de uno. El punto de intersección de los ejes de simetría es el centro de simetría.
Una figura es simétrica si tiene, por lo menos, un eje de simetría. Si tiene más de un eje de simetría hay un centro de simetría (punto de corte de los ejes). Si al girar una figura se queda igual es un giro invariante, que se caracteriza por tener un centro de giro O y un ángulo de giro .
Ejemplo: Rectángulo: 2 ejes de simetría, 1 centro de simetría e invariantes:
Cuadrado: 4 ejes de simetría, 1 centro de simetría e invariantes:
Cruz: 4 ejes de simetría, 1 centro de simetría e invariantes:
Luna: 1 eje de simetría, ningún centro de simetría y no es invariante Composición o producto de movimientos, realización consecutiva de dos movimientos, por ejemplo giro y traslación.
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ISOMETRÍAS: TRASLACIONES, GIROS Y SIMETRÍAS 1.- ¿Cuál de las siguientes letras de nuestro abecedario no tiene ningún eje de simetría? a) C b) M c) A d) R e) X 2.- Los triángulos 2, 3, 4 y 5 han sido obtenidos a partir del triángulo 1. ¿Cuál de ellos corresponde al simétrico del triángulo 1? a) Triángulo 2 es una traslación b) Triángulo 3 simetría axial con centro en L c) Triángulo 4 es un giro d) Triángulo 5 simetría central e) Ninguno 3.- ¿Cuántos ejes de simetría tiene la figura siguiente? a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 4.- ¿Qué figura muestra todo los ejes de simetrías de un rectángulo?:
a)
c)
b)
d)
e) Ninguna anteriores
de
las
5.- Al trasladar el triángulo de vértices A(-1,5), B(2,0) y C(3,1), según el vector de traslación (4,1), el vértice homólogo correspondiente a B’ es: d) (6,1) a) (3,6) b) (2,1)
e) (7,2)
c) (6,0)
6.- Una circunferencia tiene como centro el punto (3,5). Si el vector de traslación de este punto es (-5, 1), ¿Cuál es el centro de la circunferencia trasladada? a) (-2,6) b) (8,6) c) (-2,4)
d) (-15,5) e) (8,4)
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TRASLACIONES 1.- ¿Cuál es el transformado del cuadrilátero ABCD mediante la traslación definida por el vector dado en la figura? ¿Cuál es el vector de la traslación?
2.- Usando la cuadricula y los ejes cartesianos a) Una traslación en el plano viene definida por el vector Hallar la imagen por dicha traslación de los puntos A(2, 3), B(-2, -1), C(2, -3)
b) Una traslación en el plano viene definida por el vector Hallar la imagen por dicha traslación del punto A(2,3), B(-2, -1), C(2, -3)
c) Si el punto A (2,1) tiene como trasladado al punto A’ (4,0). Indica cuál es el vector de la traslación
Primer Parcial: Teoría y Práctica
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3.-
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a) Considera la figura F (en negro). Indica en cada caso el vector de la traslación que transforma la figura F en las figuras 1,2,…6.
b) Aplica una traslación de vector a la figura 1. 4.- En una traslación mediante el vector , el punto A(2,3) se transforma en A’(1,2). Dibuja en los ejes de coordenadas los transformados de las siguientes figuras Circunferencia de centro (0,0) y radio r=2
Triangulo ABC cuyos vértices son los puntos A(-1, -1), B(4, 0) y C(1,2)
Cuadrilátero de vértices A(-1,2), B(1,4), C(4,1) y D(2,0)
Primer Parcial: Teoría y Práctica
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5.- Indica cuál es el vector de traslación en los siguientes casos: a) Si el triangulo original es ABC b) Si el triángulo original es A'B'C'
a) Si el circulo original es el que tiene centro A b) Si el círculo original es el que tiene centro C
Primer Parcial: Teoría y Práctica
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SIMETRÍAS 6.- Señala los ejes de simetría en cada una de las figuras siguientes.
1.
2.
3.
2 ejes de simetría
2 ejes de simetría
No tiene ejes de simetría
4.
5.
1 eje de simetría
Infinitos ejes de simetría
7.- En la cuadrícula de abajo hay una figura que llamamos F y tres rectas remarcadas (1, 2 y 3) que servirán como ejes de simetría: a) Aplica la simetría de eje 1 a la figura F, obtienes así la figura F1. Dibújala en la cuadrícula. b) Aplica a la nueva figura F1 una simetría de eje 3, obtienes otra figura, F2. Dibújala en la cuadrícula. c) Aplica a la figura F2 una simetría de eje 2, obtienes la figura F3. Dibújala en la cuadrícula. d) ¿Podrías transformar F en F2 utilizando una sola isometría? Si es así, indica de qué tipo es y los elementos que la definen. F se podría transformar en F2 mediante una simetría central definida por el punto de origen O y el ángulo de giro 180º, . e) ¿Hay alguna isometría para transformar directamente la figura F1 en la figura F3? Indica de qué tipo es y los elementos que la definen. F1 se podría transformar en F3 mediante una simetría central definida por el punto de origen O2 y el ángulo de giro 180º, . 8.- Razona en qué casos una composición de simetrías axiales es una simetría central. - Dos simetrías axiales se transforman en una central cuando sus ejes son perpendiculares. - Dos simetrías axiales forman una traslación cuando sus ejes son paralelos.
Primer Parcial: Teoría y Práctica
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GIROS 9.- Usando la cuadricula y los ejes cartesianos a) Un giro en el plano viene definido por el punto O (2,3) y el ángulo de giro α = 90º Hallar la imagen por dicho giro de los puntos A(2,4), B(-2, -1), C(2, -3)
b) Un giro en el plano viene definida por el punto O(2,-3) y el ángulo de giro α = 45º Hallar la imagen por dicho giro de los puntos A(2,3), B(-2, -1), C(2, -3)
c) Si el punto A (2,0) tiene como imagen por un giro al punto A’ (0,2). Indica cuál es el centro y el ángulo de dicho giro El punto/centro de giro estaría en la mediatriz, pero el ángulo de giro no se sabe, por lo que no se puede saber el centro.
Primer Parcial: Teoría y Práctica
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10.- La figura F se ha transformado en las figuras 1 y 2 mediante giros de centro O. a) Averigua los correspondientes ángulos de giro, explicando el procedimiento seguido. Los ángulos de giro son en ambos casos de 90º. A este resultado se ha llegado hallando la mediatriz de la del segmento que une un punto con el suyo trasladado. b) Aplica a la figura F un giro de centro O y ángulo 180º.
11.- En un giro de centro O y ángulo α, el punto A(3,3) se transforma en A’(1,3). Dibuja en los ejes de coordenadas los transformados de las siguientes figuras (No se puede hacer, falta el ángulo de giro) Circunferencia de centro (0,0) y radio r=2 Triangulo ABC cuyos vértices son los puntos A(-1, -1), B(4, 0) y C(1,2) Cuadrilátero de vértices A(-1,2), B(1,4), C(4,1) y D(2,0)
Primer Parcial: Teoría y Práctica
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12.- En las siguientes figuras, indicar el centro y los ángulos de giro α que transforman a cada una de ellas en sí mismas. FIGURA BASE GIROS Cuadrado
90º , 180º , 270º
Hexágono
60º , 120º , 180º , 240º , 300º
Octógono
45º , 90º , 135º , 180º , 225º , 270º , 315º
Hexágono
60º , 120º , 180º , 240º , 300º
Cuadrado
90º , 180º , 270º
Dodecágono
30º , 60º , 90º , 120º , 150º , 180º , 210º , 240º , 270º , 300º , 330º
(polígono de 12 lados)
Primer Parcial: Teoría y Práctica
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TRASLACIONES, SIMETRÍAS Y GIROS 13.- La figura 1 se transforma en cada una de las figuras 2, 3 y 4 por una isometría. Indica qué tipo de transformación corresponde a cada una de ellas indicando además los elementos que la definen. - De la figura1 a la figura 2 hay una A E simetría axial respecto del eje E.
O
- De la figura 1 a la figura 3 hay una traslación determinada por el entre los puntos A y vector . - De la figura 1 a la figura 4 hay un giro determinado por el punto de origen O y un ángulo de giro =90º.
14.- Partiendo de la figura que aparece sobre la trama, dibuja las figuras que se irían obteniendo al aplicar sucesivamente cada una de las transformaciones geométricas que se indican. 1º Una simetría axial de eje e. 2º Un giro de 180º con centro en A. 3º Una traslación de vector (–1, 3).
15.- Dado un cuadrado, llama O a su centro. ¿Qué giros con centro en O dejan invariante el cuadrado? ¿Qué simetrías axiales dejan invariante la figura? El cuadrado tiene 3 giros que lo dejan invariante: 90º, 180º y 270º El cuadrado tiene cuatro simetrías axiales, una en cada lado, que dejan invariante a la figura
Primer Parcial: Teoría y Práctica
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16.- Se dice que una transformación T’ es inversa de otra T cuando compuesta con ella da lugar a la identidad. Encuentra la transformación inversa en cada uno de los siguientes apartados: a) Una traslación de vector t(-6,2)
b) Un giro de centro O(0,0) y ángulo α=-60º
’=60º =-60º
c) Una simetría de eje la recta y=x
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17.- La composición de transformaciones no cumple la propiedad conmutativa. Sin embargo si las transformaciones son de ciertos tipos, sí se cumple la propiedad conmutativa. Justifica en cuáles de los siguientes casos es así y en cuáles no: a) Composición de dos traslaciones
b) Composición de dos giros del mismo centro
c) Composición de dos simetrías axiales
d) Composición de una traslación y un giro
Primer Parcial: Teoría y Práctica
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CUBRIMIENTOS DEL PLANO Cubrimiento del plano (embaldosar o teselar), recubrir el plano con figuras que se repiten de modo que al unirlas se recubre completamente el plano y la intersección de dos figuras es vacía (sin huecos). Destacan: el friso, cubrimiento de la región del plano limitada por dos rectas paralelas y el mosaico, cubrimiento de todo el plano. Ejemplos: 1.-
Cubrimientos del plano con polígonos regulares:
60º 120º 180º
270º
300º
¿Con qué tipo de isometría se cubre todo el plano?
120º
240º
Por giro y por simetría axial (especular) podemos conseguir cubrir todo el plano, pero por traslación no se puede conseguir.
2.- Cubrimiento del plano con polígonos irregulares: ¿Con qué tipo de isometría se cubre todo el plano
180º
Podemos cubrir todo el plano con cualquier tipo de paralelogramos por traslación y por simetría axial (especular).
180º
Primer Parcial: Teoría y Práctica
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El plano se puede cubrir totalmente con pentágonos irregulares combinando la traslación y la simetría axial (especular). 180º
Se puede cubrir todo el plano con triángulos irregulares mediante simetría especular, pero no con giros o traslaciones.
180º
1.- ¿Qué isometrías dan lugar a los siguientes frisos y mosaicos? Traslación
Traslación Láminas de Escher Traslación Simetría central
Traslación Traslación Giro 120º Giro 240º
Traslación Simetría central
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2.- ¿Se puede cubrir el plano con cualquier polígono regular? Justifica tu respuesta. No se puede cubrir todo el plano con cualquier polígono regular.
108º 108º
108º
Primer Parcial: Teoría y Práctica
Ejemplo el pentágono. La suma de sus ángulos internos es 540º por lo que cada uno de sus ángulos internos mide 108º. Entonces sólo podríamos repetir la figura el resultado de dividir el total de los ángulos internos del pentágono, 540º, entre lo que mide cada uno de los ángulos internos, 108º, . Con lo cual sólo podríamos repetir la figura 3 veces y nos quedaría un hueco sin cubrir.
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POLIEDROS Poliedro, cuerpo geométrico sólido limitado por planos cuya superficie está compuesta de polígonos planos. Ángulo diedro (o diedro), cada una de las regiones en que se divide el espacio cuando dos planos se cortan. Siempre se coge el de menor valor Si son tres planos se llama triedro
Recta perpendicular a la arista
ELEMENTOS (CARACTERÍSTICAS) DE UN POLIEDRO
Caras, superficies planas que se cortan mutuamente determinando los polígonos que lo limitan. Aristas, intersecciones de dos caras de un poliedro, su número es variable según el poliedro. Vértices, intersección de tres o más aristas de un poliedro, su número varía según el poliedro. Diagonal del poliedro, segmento que une dos vértices que no pertenecen a la misma cara, también puede ser de la cara. Orden del vértice, número de aristas que concurren en un mismo vértice en un poliedro.
Primer Parcial: Teoría y Práctica
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CLASIFICACIÓN DE LOS POLIEDROS Poliedros convexos y cóncavos Poliedro convexo, si el plano que contiene a cada cara deja todo el poliedro en el mismo semiespacio. De otro modo el poliedro es cóncavo.
Convexo cóncavo Poliedro regular o sólido platónico, poliedro cuyas caras son polígonos regulares iguales entre sí y que en cada vértice concurren el mismo número de caras. Sólo existen cinco poliedros regulares:
Tetraedro
Cubo
Octaedro
Dodecaedro
Icosaedro
Cubo o hexaedro regular, formado por 6 cuadrados. Tetraedro formado por 4 triángulos equiláteros. Octaedro formado por 8 triángulos equiláteros. Dodecaedro formado por 12 pentágonos regulares. Icosaedro formado por 20 triángulos equiláteros.
Ejemplos de poliedros irregulares:
Fómula de Euler, verifica siempre, en los poliedros convexos, que el número de caras más el número de vértices es igual al número de aristas más dos: . Esta propiedad se verifica en los poliedros regulares observando los cuerpos físicos. Poliedro Tetraedro Hexaedro (cubo) Octaedro Dodecaedro Icosaedro
Nº caras 4 6 8 12 20
Nº aristas 6 12 12 30 30
Nº vértices 4 8 6 20 12
Fórmula de Euler 4+4=6+2 6 + 8 = 12 + 2 8 + 6 = 12 + 2 12 + 20 = 30 + 2 20 + 12 = 30 + 2
Ejemplo: Representa un polígono convexo con 6 caras, 4 vértices y 10 aristas. C+V= A+2 6+4=10+2 1012 Como no se cumple la fórmula de Euler no se puede representar el polígono.
Primer Parcial: Teoría y Práctica
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En la tabla hay dos parejas de poliedros regulares que tienen el mismo número de aristas y además el número de las caras de uno de ellos coincide con el número de vértices del otro y viceversa. Estos son los poliedros duales: hexaedro-octaedro y dodecaedro-icosaedro, si unimos los centros de las caras de uno de ellos obtenemos el dual. Poliedros duales
Prisma, poliedro limitado por dos caras planas, paralelas e iguales (bases) y por tantos paralelogramos como lados tenga la base. Pueden ser rectos cuando sus aristas laterales son perpendiculares a las bases u oblicuos en caso contrario. La forma geométrica de las bases define el nombre del prisma, si la base es un triángulo, el prisma es triangular; si es un cuadrado, cuadrangular,…
Prisma hexagonal recto
Prisma triangular recto
Prisma cuadrangular recto
Prisma hexagonal oblicuo
Prisma pentagonal recto
Prisma rectangular recto
Prisma cuadrangular oblicuo
Primer Parcial: Teoría y Práctica
prisma triangular recto
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Prisma regular, prisma recto cuyas bases son polígonos regulares.
Prisma cóncavo recto no regular Las caras laterales de cualquier prisma son paralelogramos, pero las bases pueden o no serlo. Si las bases también son paralelogramos se llama paralelepípedo, un caso particular de prisma. Son paralelepípedos el cubo (sus bases son cuadrados), el ortoedro (sus bases son rectángulos) y el romboedro (sus bases son romboides). Prisma convexo rectangular recto Prisma convexo cuadrangular oblicuo Pirámide, poliedro cuya base es un polígono cualquiera (que da nombre a la pirámide: triangular, cuadrangular, pentagonal,…) y sus caras son triángulos que se juntan en un punto llamado cúspide. Pueden ser rectas, si el centro del polígono de la base coincide con el pie de la altura de la pirámide o todos sus triángulos son congruentes, u oblicua, si no coincide.
Pirámide cuadrangular recta
Pirámide hexagonal recta
Pirámide rectangular oblicua
Pirámide pentagonal no regular
Pirámide pentagonal recta
Pirámide cuadrangular regular
Pirámide regular, pirámide recta cuya base es un polígono regular y sus caras laterales son triángulos isósceles iguales. Tronco de pirámide, si obtiene cortando una pirámide con un plano. Puede ser recto si el plano es paralelo a la base u oblicuo, si el plano no es paralelo a la base. Sus caras laterales son trapecios que serán isósceles iguales cuando sea regular y sus bases son polígonos semejantes.
Primer Parcial: Teoría y Práctica
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CUERPOS DE REVOLUCIÓN Y CUERPOS REDONDOS Los cuerpos de revolución se obtienen al hacer girar una figura plana alrededor de una recta, eje de revolución. Su superficie exterior se llama superficie de revolución. Los cuerpos de revolución tienen al menos una cara curva y se llaman cuerpos redondos: cilindro, cono y esfera. Generatriz
El cilindro se obtiene al girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados, el cono al girar un triángulo rectángulo alrededor de un cateto y la esfera al girar una circunferencia alrededor de su diámetro. Los cuerpos de revolución no son poliedros porque no están formados por polígonos.
Primer Parcial: Teoría y Práctica
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ACTIVIDADES POLIEDROS Y CUERPOS REDONDOS 1.- CLASIFICAR. Clasifica los siguientes objetos de tres dimensiones indicando el criterio de clasificación. Poliedros Cuerpos de revolución Pirámide cuadrangular recta
3
1
Esfera
2 Pirámide cuadrangular oblicua
Cilindro 4
Prisma hexagonal recto
5
6 7
12
13 14
Prisma triangular recto
8
Prisma rectangular recto 9 Prisma hexagonal recto
10
Poliedro regular cubo
11
15
16
18 19
Esfera Cono
Pirámide triangular
17
Cono
Poliedro regular cubo
20
Cilindro Cilindro Cilindro
Cono
Figura compuesta por un prisma hexagonal regular y un cono Prisma rectangular recto
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2.- RECONOCER Y CLASIFICAR. Clasifica los siguientes cuerpos de tres dimensiones indicando el criterio de clasificación. Indica el nombre más específico para cada uno de ellos (Criterios: Poliedro (regular, irregular, cóncavo, convexo); Prisma (oblicuo, recto, nombre en función de la base, regular, paralelepípedo); Pirámide (recta, oblicua, en función de la base, regular) Tetraedro Cubo Octaedro Dodecaedro Icosaedro
Regular
Poliedro
No regular
Convexo Cóncavo
Pirámide Prisma
Tipo de base Regular/no regular Recto/oblicuo
Cilindro Cono Esfera Semiesfera
Cuerpos de revolución
Nota: el paralelepípedo es la caja de zapatos El quesito no es ni poliedro ni cuerpo de revolución.
Poliedro no regular cóncavo, prisma hexagonal no regular recto
Poliedro no regular cóncavo, prisma hexagonal no regular recto
Poliedro no regular convexo, prisma rectangular no regular recto (paralelepípedo) Poliedro no regular convexo, pirámide triangular no regular oblicua Poliedro no regular convexo, prisma triangular regular recto Poliedro no regular convexo, prisma rectangular no regular recto (paralelepípedo) Poliedro no regular cóncavo, prisma heptagonal no regular recto Poliedro no regular convexo, prisma hexagonal regular recto Primer Parcial: Teoría y Práctica
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Poliedro no regular convexo, pirámide hexagonal regular recta Poliedro no regular convexo
Poliedro regular cubo
Cuerpo de revolución cilindro
Poliedro no regular convexo
Cuerpo de revolución cono
Cuerpo de revolución esfera
Poliedro no regular convexo, prisma pentagonal regular recto Poliedro no regular convexo, prisma hexagonal regular recto Poliedro no regular cóncavo, prisma hexagonal no regular recto
Poliedro no regular convexo
Poliedro no regular convexo, prisma cuadrangular regular oblicuo
Poliedro no regular convexo, pirámide pentagonal regular recta
Poliedro no regular convexo, prisma triangular regular recto 3.- Explica razonadamente si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones. a. El número de aristas de un poliedro que concurren en un vértice es como mínimo 4. Falso, el mínimo son tres, ya que los poliedros prismas únicamente tienen 3 aristas que confluyan en un mismo vértice. b. En cada vértice de un poliedro concurren siempre el mismo número de aristas. Verdadero, porque el vértice es el punto donde se cruzan como mínimo 3 planos y por lo tanto en un poliedro como mínimo cada vértice estará formado por el cruce de 3 planos. c. Hay poliedros con tres caras. Falso, porque el poliedro más simple es el tetraedro que tiene 4 caras. Primer Parcial: Teoría y Práctica
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d. Todos los poliedros de cinco caras tienen 8 aristas y 5 vértices. Falso, porque los poliedros de 5 caras pueden estar formados por: - 2 triángulos y 3 paralelogramos, con lo cual las aristas serían 9 y los vértices 6 - 4 triángulos y 1 paralelogramo, con lo que las aristas serían 8 y los vértices 5 e. El número mínimo de caras que concurren en un vértice es 3. Verdadero, porque para formar un vértice es necesario que como mínimo se corten tres aristas, lo que ocurre en el tetraedro. f. El cilindro es un poliedro. Falso, es un cuerpo de revolución 4.- ¿Todas las caras de un poliedro han de ser iguales? Si se trata de un poliedro regular sí. 5.- ¿Incluirías los prismas regulares entre los poliedros regulares? No, porque los poliedros regulares tienen todas sus caras congruentes mientras que los prismas regulares tienen diferentes sus bases. 6.- ¿Es una pirámide un poliedro regular? No, porque un poliedro regular tiene todas sus caras iguales mientras que una pirámide cuenta con una bases cuyo polígono es diferente al de sus caras. 7.- Establece en cuáles de los cuerpos geométricos representados puedes encontrar ángulos poliedros.
Con ángulos poliedros:
Sin ángulos poliedros: 8.- En la figura siguiente tienes pintado un poliedro. En él se indican algunos elementos característicos: a) ¿Cuántas caras, vértices y aristas tiene este poliedro? 4 caras, 4 vértices y 6 aristas b) ¿Cuántas caras, como mínimo deben concurrir en un vértice? 3 caras c) ¿cuál es el menor número de caras que puede tener un poliedro? 4 caras
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9.- En los poliedros de la figura, cuenta el número de caras, vértices y aristas y escríbelos en la tabla, ¿encuentras alguna relación entre C, V y A? Fórmula Euler Poliedro Nº de caras (C) Nº de vértices (V) Nº de aristas (A) C+V=A+2
(1)
(2)
(3)
(4)
5
5
8
5+5=8+2 10=10
7
10
15
7+10=15+2 17=17
12
10
16
12+10=16+2 2218
10
13
22
10+13=22+2 2324
10.- Dibuja un prisma hexagonal recto y un prisma cuadrangular oblicuo.
Prisma hexagonal recto
Prisma cuadrangular oblicuo
11.- Dibuja una pirámide pentagonal recta y una pirámide hexagonal oblicua regular.
Pirámide pentagonal recta No se puede dibujar una pirámide hexagonal oblicua regular porque si es oblicua significa que los triángulos isósceles que forman sus lados no son iguales, condición para que sea regular. 12.- Si tomamos dos pirámides de bases iguales y las unimos de forma que ajusten completamente sus bases, obtenemos un poliedro llamado bipirámide. ¿Puede ser una bipirámide un sólido platónico? ¿Cuál? Si las dos pirámides son de base cuadrangular entonces estamos hablando del octaedro, uno de los 5 sólidos platónicos.
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ÁREAS DE CUERPOS GEOMÉTRICOS ÁREA DE UN CUERPO GEOMÉTRICO, suma de las áreas de sus caras. ÁREA LATERAL O TOTAL,
suma de las áreas de las figuras de su desarrollo plano.
ÁREA DEL PRISMA REGULAR. El prisma regular tiene como caras laterales rectángulos iguales y como base un polígono. En el desarrollo se ve que el está formado por rectángulos cuyas bases son el P del polígono de la base y de altura la altura del prisma: í
El A de los polígonos regulares de las bases es: es la suma del
El
y de los 2 polígonos regulares de las bases:
ÁREA DE LA PIRÁMIDE REGULAR. La pirámide regular tiene como caras laterales triángulos isósceles iguales. El
es la suma de las áreas de los triángulos de las caras laterales:
El
Apotema de la pirámide (altura)
Apotema de la pirámide (altura)
a
Apotema de la base
l
ÁREA DEL TRONCO DE PIRÁMIDE REGULAR. El tronco de pirámide regular tiene como caras laterales trapecios iguales. El es suma de las áreas de los trapecios iguales de sus caras: El se obtiene sumando al menor:
Primer Parcial: Teoría y Práctica
el
de la base mayor y el de la base
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ÁREA DEL CILINDRO RECTO, su á
ÁREA DEL CONO RECTO, su
se obtiene sumando al
se obtiene sumando al
ÁREA DEL TRONCO DE CONO RECTO, su (2 círculos)
(rectángulo) el
(sector circular) el
se obtiene sumando al
(círculo)
(círculo).
el
ÁREA DE LA SUPERFICIE ESFÉRICA, su A es 4 veces la del círculo máximo.
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VOLÚMENES DE CUERPOS GEOMÉTRICOS VOLUMEN DEL ORTOEDRO, se calcula multiplicando el largo, por el ancho por el alto: Ortoedro=paralelepípedo=prisma rectangular VOLUMEN DEL CUBO, es un caso particular de ortoedro donde coinciden las tres dimensiones, por lo que: VOLUMEN DE UN PRISMA, se calcula multiblicando el VOLUMEN DE UNA PIRÁMIDE, es
del
por la altura:
que tiene la
misma área de la base e igual altura. VOLUMEN DEL CILINDRO, es igual al
por la altura.
VOLUMEN DEL CONO, es igual a
VOLUMEN DE LA ESFERA El es igual a del
del
por la altura.
cuyo diámetro de la base coincide con el
diámetro de la semiesfera.
El
es igual a
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s del número por el cubo del radio:
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ÁREA
VOLUMEN
Prisma regular
Pirámide regular
Tronco de pirámide regular
Cilindro
Cono recto
Tronco de cono recto
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ÁREA
VOLUMEN
Semiesfera
Ortoedro
Cubo EJERCICIOS EXTRA: 1. Representa un cono de 4cm de altura y 6cm de diámetro. Indica su área y su volumen. Como el diámetro es 6cm el radio es 3cm Para hallar la generatriz, g, tenemos que aplicar el teorema de Pitágoras, por lo que g
h=4cm
=5cm
r d=6cm
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2. Representa un cilindro de 4cm de altura y 6cm de diámetro. Indica su área y su volumen. Como el diámetro es 6cm el radio es 3cm h=4cm
d=6cm
r
3. Queremos comprar un iglú de plástico sólido de 10cm de radio: a) Calcula el volumen que ocupa b) Calcula el área total del iglú
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ACTIVIDADES POLIEDROS Y CUERPOS REDONDOS: SUPERFICIES Y VOLÚMENES 1. En la imagen de abajo aparece una caja de infusiones y su desarrollo, con las solapas incluidas y las medidas en centímetros.
a) Calcula la superficie de cartón necesaria para hacer una caja. 7,3 6
×2
7,3 12
2 12 6
2 5
3
6
4
12 1
2 7,3 1,3 6,5
1
b) Calcula el volumen de la caja.
6 12
7,3
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2. La foto muestra un envase de plástico que contiene bombones. La tapa es de plástico trasparente. Se han tomado las siguientes medidas: altura 3,5 cm; lado de la base 8 cm; radio de la base 10,5 cm.
a) Calcula la superficie del plástico trasparente de la tapa. 8
Para averiguar lo que mide la apotema aplicamos el teorema de Pitágoras:
10,5=
b) Calcula el volumen de la caja
3,5
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Vert.=
3. Se ha proyectado una torre de la forma y dimensiones que muestra la figura. El tejado es una pirámide hexagonal. ¿Cuántas tejas se necesitarán para cubrir el tejado si cada teja cubre aproximadamente de superficie? Ap. Para saber el valor de la apotema lateral (altura) tenemos que aplicar el teorema de Pitágoras , que en este caso sería: l=6m
º
Nº tejas 2669,83
¿Qué volumen de aire puede contener la pirámide del tejado? Si tenemos en cuenta que la base de la pirámide es regular entonces aplicamos el teorema de Pitágoras, , para averiguar la altura de la pirámide h, teniendo en cuenta que . Por lo tanto
4. Se quiere fabricar un envase de hojalata de forma cilíndrica que contenga líquido, de base 6,5cm.
de
a) Calcular la altura que debe tener el cilindro. La base mide 6,5cm, por lo que éste es su diámetro y el radio es 3,25cm. El V del cilindro es , sabemos que por lo que b) Dibujar su desarrollo. d=6,5
1
=3,25
c) Calcular la cantidad total de hojalata de su superficie. La , como el
entonces
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Ejercicios de repaso: 1) Dada la figura F realiza sucesivamente: a) Simetría de eje e para obtener b) Giro de 120º y centro en O para obtener c) Traslación según vector para obtener
2) Calcula los puntos notables y defínelos. Ortocentro
Circuncentro
Baricentro Incentro
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- Baricentro, punto donde se cruzan las tres alturas, que son las rectas perpendiculares a cada lado que pasa por el vértice opuesto. - Ortocentro, punto donde se cruzan las tres medianas, que son las rectas que van desde el punto medio de cada lado hasta el vértice opuesto. - Circuncentro, punto donde se cruzan las tres mediatrices, que son las rectas que son perpendiculares a cada uno de los lados por su punto medio, además son el centro de la circunferencia circunscrita. - Incentro, punto donde se cruzan las tres bisectrices del vértice, que son las rectas que pasan por cada uno de los vértices dividiendo sus ángulos en dos ángulos congruentes, además es el centro de la circunferencia inscrita. 3) Representa un polígono sin diagonales regular
- Polígono, porción del plano limitada por una línea poligonal cerrada.
- Regular, polígono con todos los lados y ángulos internos congruentes.
4) Triángulo en el que coincida la mediana y la mediatriz
- Triángulo, polígono de 3 lados.
5) Trapecio con diagonales congruentes - Trapecio, polígono con dos lados paralelos y otros dos no. - Diagonal, segmento que une dos vértices no consecutivos. 6) Pentágono sin diagonales No existe, ya que el único polígono que no tiene diagonales es el triángulo. Pentágono, polígono de 5 lados
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7) Sabemos que
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, que
es la bisectriz de y que - Identificamos los ángulos , , , , y B formados por la intersección de los segmentos C y con las rectas . - Como los ángulos x, , y son suplementarios entonces . E Sabemos que x=60º y que , por lo A x=60º tanto . - Como los ángulos y forman parte de , la F bisectriz del ángulo , sabemos que ambos son congruentes, , por lo que si el ángulo entonces el ángulo . - Como los ángulos y forman parte de , entonces . Si entonces . - Como los ángulos , y son suplementarios entonces . Sabemos que , entonces . - Como es ángulo alterno interno de entonces son congruentes, , por lo tanto . - Como es ángulo alterno interno de entonces son congruentes, , por lo tanto . - Como la recta y los segmentos y forman un triángulo y la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180º, entonces . Sabemos que y que , entonces . - Como y son suplementarios entonces . Sabemos que , por lo tanto .
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