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2. SISTEMAS Y CÓDIGOS DE NUMERACIÓN Un Sistema de numeración es un conjunto de símbolos empleados para representar información numérica. El alfabeto o conjunto de símbolos que disponemos depende de la Base de dicho sistema de numeración. SISTEMA BINARIO

(0,1)

SISTEMA DECIMAL

(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)

SISTEMA OCTAL

(0,1,2,3,4,5,6,7)

SISTEMA HEXADECIMAL (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F) Cualquier número tiene su representación en una base b de la forma (XnXn-1...X1X0)b, cuyo valor numérico es: (N)b = Xn*bn + Xn-1*bn-1 +...+ X1*b1 + X0*b0

CONVERSIÓN DE BASES MÉTODO POLINÓMICO Expresa el número de la base fuente como un polinomio Se evalúa dicho polinomio según la aritmética de la base destino La parte decimal se trata igual que la entera salvo que los exponentes de las bases son negativos (N)b = Xn*bn + … + X0*b0 + … + X-q*b-q = n Xi*bi Útil cuando la base destino sea la decimal

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MÉTIDO ITERATIVO La parte entera se divide por b El resto es el dígito menos significativo Se repite con el cociente

X n*b n + … + X 1*b 1 + X 0*b 0

X n*b

n-1

/b + … + X 1*b 0 + X 0*b -1 X0

X n*b n-1 + … + X 1*b 0 La parte decimal se multiplica por b La parte entera de la multiplicación es el dígito más significativo Se repite con la parte decimal Útil si la base fuente es la decimal

X -1 *b -1 + X -2*b -2 + … + X -q*b -q

X -1 *b

0

*b + X -2*b + … + X -q*b 1-q -1

X -1 X -2*b -1 + … + X -q*b 1-q

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CONVERSIÓN DE BINARIO A OCTAL (HEXADECIMAL) Y VICEVERSA 8 = 23 (16 = 24) 11 5 2 1 0

2 2 2 2 2

1 1 0 1

Base Binaria Octal Hexadecimal

11

8

3

1 0

8 8

1

0

0 1

1

0 B

11

16

0

16

1 3

1

En el Sistema binario de numeración (0,1) • Cada dígito se denomina bit • Un código de 4 símbolos o bits se denomina Nibble • Un código de 8 símbolos o bits se denomina Byte • Dos bytes, 16 bits son una palabra o Word • Cuatro bytes, 32 bits son una palabra doble o Double-Word • Ocho bytes, 64 bits son una Quadruple-Word • MSB: Most Significative Bit, bit más significativo • LSB: Least Significative Bit, bit menos significativo

B

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CÓDIGOS CODIFICACIÓN es la relación biunívoca entre el alfabeto fuente y el alfabeto destino. CÓDIGOS CON PESO (PONDERADOS) son códigos de la forma Xn*Wn + Xn-1*Wn-1 + … + X1*W1 Representado por Xn Xn-1 … X1 y el Vector peso Wn Wn-1 … W1 CÓDIGOS AUTOCOMPLEMENTANTES son código cuyas palabras correspondientes a D y 9-D tienen los 1´s cambiados por 0´s y viceversa. 0011 PARA 0 1100 PARA 9 CÓDIGOS PROGRESIVOS códigos en los que las combinaciones correspondientes a números decimales consecutivos son adyacentes, es decir, se diferencian solo en un bit CÓDIGOS PROGRESIVOS CÍCLICOS son códigos progresivos en los que la última combinación es adyacente a la primera. Decimal Binario Jhonson GRAY 0 0000 00000 0000 1 0001 00001 0001 2 0010 00011 0011 3 0011 00111 0010 4 0100 01111 0110 5 0101 11111 0111 6 0110 11110 0101 7 0111 11100 0100 8 1000 11000 1100 9 1001 10000 1101 10 1010 1111 11 1011 1110 12 1100 1010 13 1101 1011 14 1110 1001 15 1111 1000

DISTANCIA DE HAMMING es el número de dígitos en que difieren dos palabras de código

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CÓDIGOS BCD.- Decimal Codificado en Binario EJEMPLOS DE CÓDIGOS BCD

DÍGITO DECIMAL 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Natural 8 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1

4 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0

2 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0

Exceso 3 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

0 0 0 0 0 1 1 1 1 1

0 1 1 1 1 0 0 0 0 1

1 0 0 1 1 0 0 1 1 0

Aiken 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0

2 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1

4 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1

2 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1

5421 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

5 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1

4 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

2 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0

1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0

Códigos Alfanuméricos, como el ASCII (American Standard Code for Information Interchange), ejemplo con 6 bits

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CÓDIGOS DETECTORES DE ERRORES SON CÓDIGOS CON INFORMACIÓN SOBRE LA POSIBILIDAD DE UN ERROR ADICIÓN DE BIT DE PARIDAD A UN CÓDIGO NO DETECTOR 2-out-of-5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 0 0 0 0 0 1 1 1 1

0 0 0 1 1 1 0 0 0 1

0 1 1 0 0 1 0 0 1 0

1 0 1 0 1 0 0 1 0 0

1 1 0 1 0 0 1 0 0 0

5 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1

0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0

Biquinario 4 3 2 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0

1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0

0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0

b3 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1

Binario con paridad b2 b1 b0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1

p 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0

CUALQUIER CÓDIGO DE DETECCIÓN DE FALLO EN UN SOLO BIT DEBE TENER AL MENOS UNA DISTANCIA DE DOS ENTRE CUALESQUIERA DOS PALABRA DE CÓDIGO. LAS PALABRAS CON UNA DISTANCIA MÍNIMA DE DOS SE PUEDEN USAR COMO CÓDIGOS DE DETECCIÓN DE ERROR EN UN BIT.

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CÓDIGOS CORRECTORES DE ERRORES SE AÑADEN VARIOS BITS DE PARIDAD (O CHEQUEO) TAL QUE EL ERROR EN UN BIT DETERMINADO DA UNA COMBINACIÓN ÚNICA DE LOS BITS DE PARIDAD. CON K BITS DE PARIDAD, UN CÓDIGO CORRECTOR DE ERROR PUEDE TENER COMO MÁXIMO UNA PALABRA DE 2K-1 BITS LA CONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE PARA QUE CUALQUIER CONJUNTO DE PALABRAS BINARIAS SEA UN CÓDIGO CORRECTOR DE UN ERROR EN UN SOLO BIT, ES QUE LA DISTANCIA MÍNIMA ENTRE ELLAS SEA DE TRES.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

C1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0

C2 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0

M3 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1

C4 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1

M5 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0

M6 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0

M7 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1