FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGIA CARRERA DE INGENIERIA CIVIL ANALISIS VECTORIAL Y TENSORIAL SEMESTRE II/2015 PRACTICA # 3 UNIDAD 2 DIFERENCIACION VECTORIAL y OPERADORES DIFERENCIALES

0.1

CURVAS EN R3

1. Si dos partículas se mueven según las funciones r(t) = (t; t2 ; 1) y p(t) = (t; t; 1) , determinar los instantes donde dichas partículas se encuentran . (realize los grá…cos correspondientes ) 2. Si una partícula se mueven según las r(t) = (cospt; sin t; 0) a) determinar los vectores tangentes en los p 2 2 puntos (1; 0; 0) , (0; 1; 0) , ( 1; 0; 0) , (0; 1; 0) , ( 2 ; 2 ; 0) , ( realize los grá…cos correspondientes ) .b) mostrar que el ángulo entre dos vectores tangentes cualesquiera es igual al ángulo formado por los vectores posición de los puntos donde se calculan los vectores tangentes . 3. Determinar la ecuación de la recta tangente a la curva r(t) = (t2 ; t; 0) en el punto : i) (1; 1; 0) , ii) (4; 2; 0) 4. En qué punto se intersectan las rectas tangentes anteriores ? 5. Si r(t) = (t; t2 ; 0) da la posición de una partícula que se mueve en el plano , determinar la ecuación del plano osculador de la curva en el punto (2; 4; 0) . ( NOTA : el plano osculador pasa por el punto dado con vector normal que es perpendicular a r y r , calculados en dicho punto 6. Para la curva r(t) = (cos t; sin t; t) , determinar la ecuación del plano osculador de la curva en el punto : 3 a) (1; 0; ) , b) (0; 1; ) 2 2 7. La curvatura de una curva en un punto se calcula según la fórmula rx r {=

3

r ( mide la variación del ángulo de tangencia por unidad de longitud de arco , cuando dicha longitud tiende a cero . Cuanto mayor es la curvatura en un punto , mayor curveamiento de la curva se da en dicho punto ). Empleando propiedades geométricas , mostrar que la curvatura de una circunferencia es igual a siendo R el radio de la circunferencia .

=

1 R

,

8. Empleando el concepto de curvatura , determinar la curvatura de la grá…ca de y = x2 en el punto (0; 0) . Calcule la longitud de arco desde (0; 0) hasta (0:01; 0:012 ) y la variación del ángulo de tangencia entre dichos puntos . 9. Gra…car la curva r(t) = (t; t2 ; 0) y determinar su curvatura para cada t e indicar el comportamiento de dicho valor a medida que t aumenta . 10. En el ejercicio anterior , determinar la ecuación del círculo osculador en el punto de mayor curvatura . 11. Dada curva r(t) = (R cos t; R sin t; 0) y determinar su curvatura para cada t e indicar el comportamiento de dicho valor a medida que t aumenta . 12. Gra…car la curva r(t) = (t cos t; t sin t; 0) , t

0 ( espiral ) y determinar su curvatura 1

13. La torsión de una curva en un punto se calcula según la fórmula r

r

r

=

2

r

r

( mide la variación del ángulo de la binormal - perpendicular al plano osculador - por unidad de longitud de arco , cuando dicha longitud tiende a cero . Cuanto mayor es la torsión en un punto , se tiene mayor variación del plano osculador , plano que localmente contiene a la curva ; y por tanto mayor torcimiento de la curva ) . Empleando propiedades geométricas , mostrar que la curvatura de una circunferencia es igual a siendo R el radio de la circunferencia .

=

1 R

,

14. Hallar a) vector tangente unitario T , b) normal principal N , c) binormal B, d) curvatura , e) torsión de la curva t3 t3 ; y = t2 ; z = t + x=t 3 3 15. En el ejercicio anterior , determinar las ecuaciones de los planos osculador , normal y recti…cante en el punto ( 3; 9; 12) 16. Veri…car que se cumple !

a =

dv ! v 2 ! T+ N dt

;

=

1

para la curva r(t) = (t; t3 ; 0) en t = 1

0.2

GRADIENTE

1. Calcular la derivada direccional de f (x; y) = x2 + y 2 en el punto (1; 1) en la dirección i) v = (3; 4) , ii) v = (0; 2) , iii) v = ( 3; 0) . En cuál de las direcciones es mayor dicha derivada direccional ? . 2. Siendo = x2 + y 2 , hallar r , jr j . Explicar el signi…cado de los dos resultados encontrados , sabiendo que (x; y) representa la temperatura en el punto (x; y) . Comprobar el signi…cado de jr j en el punto (3; 4) 3. Siendo = 2xz 4 x3 y , hallar r , jr j . Explicar el signi…cado de los dos resultados encontrados , sabiendo que (x; y; z) representa la temperatura en el punto (x; y; z) . Comprobar el signi…cado de jr j en el punto (1; 1; 2) 4. Sea

la función que da la distancia desde un punto cualquiera (x; y; z) a otro punto …jo (a; b; c) . Mostrar !

que r es un vector unitario en la dirección y sentido de AP . 3

1

5. Hallar r jrj , siendo r = (x2 + y 2 + z 2 ) 2 . Explicar el signi…cado del resultado encontrado y comprobarlo para el punto (1; 2; 2) . 6. Demostrar que rf (r) =

0

f (r) r r

7. Siendo r (r) = 2r4 r , hallar (r) . 8. Resolver el ejercicio 49 de la página 78 9. Si (x; y) = 0 representa una curva plana , entonces r (x0 ; y0 ) es un vector perpendicular a dicha curva en el punto (x0 ; y0 ) que le pertenece . Veri…car este resultado para las siguientes curvas ( de…nidas implícitamente ) a) y

x=0

b) y

x2 .

c) xy

9=0

.d) x2 2

y 2 = 25 :e)

x2 16

+

y2 4

=1

10. Sea P un punto cualquiera de la elipse cuyos focos son los puntos A y B. Mostrar que los segmentos AP y BP forman ángulos iguales con la recta tangente a la elipse en el punto P . Nota : La elipse es el conjunto de puntos del plano cuya suma de distancias a los dos focos …jos A y B es constante . ( Ver ejercicio 14 , página 63 ) 11. Si (x; y; z) = 0 representa una super…cie en el espacio , entonces r (x0 ; y0 ; z0 ) es un vector perpendicular a dicha super…cie en el punto (x0 ; y0 ; z0 ) que le pertenece . Los anterior quiere decir que es perpendicular a todos los vectores tangentes de las curvas ubicadas en dicha super…cie y que pasan por el punto P . veri…car este resultado para la super…cie esférica x2 + y 2 + z 2 = 1 , P = (0; 1; 0) y la curva x = 0 , y = cos t , z = sin t 12. Determinar la ecuación del plano tangente al paraboloide z = x2 + y 2 en el punto (1; 2; 5). Dicho plano tangente corta en algún otro punto a la super…cie ?. 13. Se denomina derivada direccional del campo escalar en la dirección del vector v;en el punto (x0 ; y0 ) , designada por Dv (x0 ; y0 ) a h i (x0 ; y0 ) + hv (x0 ; y0 ) Dv (x0 ; y0 ) = lim h!0 h a) Expresar el signi…cado que tiene Dv (x0 ; y0 ) a partir de su de…nición. b) Calcular Dv (x0 ; y0 ), para el caso en que (x; y) = x2 2xy representa la temperatura en el punto (x; y) , v = (3; 4) y (x0 ; y0 ) = (4; 2). c) Ilustrar el signi…cado expresado en a) aplicadoo en el contexto del ejercicio del inciso b). 14. Se puede mostrar que Dv (x0 ; y0 ) = r la igualdad en el ejercicio anterior.

v_ , donde la gradiente de

se calcula en el punto (x0 ; y0 ):Veri…car

15. Para = 2xz 4 x3 y , hallar r v_ , siendo v_ un vector unitario . Tome (x; y; z) = (1; 2; 2) y v = (3; 4; 0) . Explique el signi…cado del valor encontrado . Compruebe ( aproximadamente ) su a…rmación . 16. Para el = 2xz 4 x3 determine la dirección v tal que la variación por unidad de longitud recorrida ( longitud muy pequeña ) a partir de (1; 2; 2) valga 2 17. Se sabe que el gradiente de un campo escalar = (x; y) ( distribución de temperatura ) está dado por r = (2x; y) y que la temperatura en el punto (2; 4) vale 6 . Hallar el valor del campo escalar ( o la temperatura ) en el punto (6; 2) 18. Sea

= (x; y) ( distribución de temperatura ) está de…nido en una lámina rectangular . Mostrar que :

a) si en un punto interior de la lámina se tiene localmente máxima o mínima temperatura , entonces se tiene que cumplir que r en dicho punto debe valer 0 = (0; 0)

b) si en un punto de la frontera de la lámina se tiene localmente máxima temperatura , entonces r debe formar un ángulo mayor o igual a 90 con la frontera ( en dicho punto ) de la lámina rectangular

19. Dado = y x2 (distribución de temperatura ) , determinar los puntos a mayor temperatura y/o menor temperatura ( localmente ) en a) la lámina rectangular de vértices (4; 8) y (12; 8) . b) en el segmento parabólico y

x2 + 4 , y

20

c) en el circulo de centro (0; 4) y radio 4 .

0.3

DIVERGENCIA - ROTACIONAL

1. Dado el campo de velocidades de un líquido en el plano : i) bosquejar el campo dibujando el vector velocidad en algunos puntos del plano . ii) calcular la divergencia del campo de velocidades e indicar en su grá…co anterior dos curvas respectivamente donde la divergencia sea constante .

3

a) V (x; y) = xi + yj b) V (x; y) = 3i c) V (x; y) = yj d) V (x; y) = rn r , para n = 3 , 2 , 1 ,

1. r=

p x2 + y 2 ) , r =(x; y) :

2. En base al signi…cado de la divergencia , para cada uno de los casos del ejercicio 1; determinar los puntos del plano donde se tiene fuente , sumidero o ninguno de ellos . 3. Dado el campo de velocidades en el espacio V (x; y; z) = x2 i + y 2 j + z 2 k , determinar los puntos del espacio donde se tiene fuente , sumidero o ninguno de ellos . 4. Dado el campo de velocidades en el espacio V (x; y; z) = xi + yj + zk , cuál es el signi…cado físico del valor de su divergencia en cada uno de los puntos del espacio ? 5. Dado el campo de velocidades V (x; y; z) = 3k , calcular la cantidad de ‡uído que está ingresando y la que está saliendo por unidad de tiempo en el paralelepípedo determinado por los puntos (4; 0; 0) , (4; 6; 0) , (0; 6; 0) , (0; 0; 0) , (4; 0; 10) , (4; 6; 10) , (0; 6; 10) , (0; 0; 10) . 6. Dado el campo de velocidades V (x; y; z) = 3zk , calcular la cantidad de ‡uído que se está creando en el interior del paralelepípedo del ejercicio anterior . 7. De…nir un campo de velocidades en el espacio donde el valor máximo ( mínimo ) de la divergencia se de en el punto (4; 4; 0) 8. Dado el campo de velocidades V (x; y; z) = xi + yj + zk , y dado el recinto cúbico con centro en el origen y lado 2h (h t 0 ), calcular la cantidad de líquido que está saliendo del recinto manos el que está ingresando por unidad de tiempo ( ‡ujo total ) y comparar con el valor de la divergencia del campo en el origen . 9. Dado un campo escalar , su gradiente es un campo vectorial ; y de dicho campo vectorial se puede obtener su divergencia . Así también : dado un campo vectorial se puede obtener su divergencia que es un campo escalar ; y de dicho campo se puede obtener su gradiente . a) Calcular div(grad (x; y; z) ) , siendo (x; y; z) = x2 + y 2 + z 2 b) Calcular grad( div V) si V (x; y; z) = x2 i + y 2 j + z 2 k 10. Qué signi…cado se puede asignar al valor encontrado en el inciso b) del ejercicio anterior si V es un campo de velocidades ? . 11. Dado el campo de fuerzas el plano : i) bosquejar el campo dibujando el vector correspondiente en algunos puntos del plano . ii) calcular el rotacional del campo e indicar los puntos donde el rotacional es el vector nulo . a) F (x; y) = xi + yj b) F (x; y) =

yi + xj

c) F (x; y) = yj d) F (x; y) = rn r , para n = 2 ,

1. r=

p x2 + y 2 ) , r =(x; y) :

12. En base al signi…cado del rotacional, para cada uno de los casos del ejercicio 1; determinar los puntos donde una partícula estará sometida a una rotación , señalar el sentido de la rotación . 13. Calcular la circulación del campo vectorial F (x; y) = yi+xj sobre el cuadrado de vértices ( h; h) ;siendo h un valor muy pequeño ( h t 0 ) : Como el campo es variable , considere que es constante sobre cada lado del cuadrado con un valor igual al que toma en el punto medio de cada lado respectivamente . Calcule el límite del cociente de dicha circulación sobre el área del cuadrado cuando h t 0 y compare ese valor con el valor del rotacional en el centro del cuadrado . 4

14. Dado el campo vectorial F (x; y; z) = (xz 3 ; 2x2 yz; 2yz 4 ), calcular el rotacional de F en el punto (1; 1; 1). Si se coloca una partícula plana circular en el punto indicado , cuál es el comportamiento de dicha partícula ? . 15. En relación al ejercicio anterior , cuál es el signi…cado de los vectores componentes del rotacional encontrado ; es decir , de (rot(F ) i)i , (rotF j)j , (rotF k)k :? . ! v ) . Explicar el 16. Siendo ! v = ! ! r ; donde ! ! es un vector constante , demostrar que ! ! = 21 rot( ! ! signi…cado del resultado encontrado en un contexto físico : v es el evctor velocidad tangencial , ! ! es el vector velocidad angular , y ! r es el vector posición de la partícula respectto de un origen ubicado en la recta direccional o dirección de ! !.

5