2.4 Números complejos

83 Relaciones temperatura-latitud La tabla siguiente contiene promedios de temperaturas anuales para los hemisferios norte y sur a varias latitudes.

Latitud

Hemisf. N.

Hemisf. S.

85°

8°F

5°F

75°

13°F

10°F

65°

30°F

27°F

55°

41°F

42°F

45°

57°F

53°F

35°

68°F

65°F

25°

78°F

73°F

15°

80°F

78°F

5°

79°F

79°F

2.4 Números complejos

95

(a) ¿Cuál de las siguientes ecuaciones predice en forma más precisa el promedio de temperatura anual en el Hemisferio Sur a una latitud L? (1) T 1  1.09L  96.01 (2) T 2  0.011L2  0.126L  81.45 (b) Aproxime el promedio de temperatura anual en el Hemisferio Sur a 50° grados de latitud.

Se requiere de números complejos para hallar soluciones de ecuaciones que no se pueden resolver usando sólo el conjunto ⺢ de números reales. La tabla siguiente ilustra varias ecuaciones cuadráticas sencillas y los tipos de números necesarios para soluciones. Ecuación 2

x x2 x2 x2

9  94 5  9

Soluciones

Tipo de números requeridos

3, 3 3 3 2 , 2 25,  25 ?

Enteros Números racionales Números irracionales Números complejos

Las soluciones de las primeras tres ecuaciones de la tabla están en ⺢, pero, como los cuadrados de números reales nunca son negativos, ⺢ no contiene las soluciones de x 2  9. Para resolver esta ecuación, necesitamos el sistema de números complejos ⺓, que contiene tanto a ⺢ como números cuyos cuadrados sean negativos. Empecemos por introducir la unidad imaginaria, denotada por i, que tiene las siguientes propiedades. Propiedades de i

i  21,

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i 2  1

96

CAPÍTULO 2 ECUACIONES Y DESIGUALDADES

Debido a que su cuadrado es negativo, la letra i no representa un número real. Es una nueva entidad matemática que hará posible que obtengamos ⺓. Puesto que i, junto con ⺢, debe estar contenida en ⺓, debemos considerar productos de la forma bi para un número real b y también expresiones de la forma a  bi para números reales a y b. La tabla siguiente da definiciones que usaremos. Terminología

Definición

Número complejo Número imaginario Número imaginario puro Igualdad

a  bi, donde a y b son números reales e i2  1 a  bi con b 苷 0 bi con b 苷 0 a  bi  c  di si y sólo si a  c y b  d

Suma Producto

a  bi  c  di  a  c  b  di a  bi c  di  ac  bd   ad  bci

Ejemplo(s) 3, 2  i, 2i 3  2i, 4i 4i, 23 i, i x  yi  3  4i si y sólo si x3yy4 vea ejemplo 1(a) vea ejemplo 1(b)

Nótese que los números imaginarios puros son un subconjunto de los números imaginarios y los números imaginarios son un subconjunto de los números complejos. Usamos la frase número complejo no real indistintamente con número imaginario. No es necesario aprender de memoria las definiciones de adición y multiplicación de números complejos dadas en la tabla precedente. En lugar de eso, podemos tratar todos los símbolos como que tienen propiedades de números reales, con exactamente una excepción: Sustituimos i2 por 1. Así, para el producto a  bic  di simplemente usamos las leyes distributivas y el hecho de que bidi  bdi 2  bd1  bd. EJEMPLO 1

Adición y multiplicación de números complejos

Exprese en la forma a  bi, donde a y b son números reales: (a) 3  4i  2  5i (b) 3  4i2  5i SOLUCIÓN

(a) 3  4i  2  5i  3  2  4  5i  5  9i (b) 3  4i2  5i  3  4i2  3  4i5i  6  8i  15i  20i2  6  23i  201  14  23i

L

El conjunto ⺢ de números reales puede identificarse con el conjunto de números complejos de la forma a  0i. También es cómodo para denotar el número complejo 0  i por bi. Así, a  0i  0  bi  a  0  0  bi  a  bi. En consecuencia, podemos considerar a  bi como la suma de dos números complejos a y bi (es decir, a  0i y 0  bi). Para el número complejo a  bi, decimos que a es la parte real y b es la parte imaginaria.

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2.4 Números complejos

EJEMPLO 2

97

Igualdad de números complejos

Encuentre los valores de x y y, donde x y y son números reales: 2x  4  9i  8  3yi SOLUCIÓN Empezamos por igualar las partes reales y las partes imaginarias de cada lado de la ecuación:

2x  4  8

y

9  3y

Como 2x  4  8, 2x  12 y x  6. Como 9  3y, y  3. Los valores de x y y que hacen iguales los números complejos son x6

y

y  3.

L

Con números complejos, ahora podemos resolver una ecuación como x 2  9. Específicamente, como 3i3i  32i 2  91  9, vemos que una solución es 3i y otra es 3i. En la tabla siguiente definimos la diferencia de números complejos y multiplicación de un número complejo por un número real.

Terminología

Definición

Diferencia a  bi  c  di  a  c  b  d i Multiplicación por un número real k ka  bi  ka  kbi

Si nos piden escribir una expresión de la forma a  bi, la forma a  di es aceptable, porque a  di  a  di. EJEMPLO 3

Operaciones con números complejos

Exprese en la forma a  bi, donde a y b son números reales: (a) 42  5i  3  4i (b) 4  3i2  i (c) i3  2i2 (d) i 51 (e) i13 SOLUCIÓN

(a) (b) (c) (d)

42  5i  3  4i  8  20i  3  4i  5  24i 4  3i2  i  8  6i  4i  3i 2  11  2i i3  2i2  i9  12i  4i 2  i5  12i  5i  12i 2  12  5i Tomando potencias sucesivas de i, obtenemos i 1  i, i 2  1, i 3  i, i 4  1,

y entonces el ciclo se inicia otra vez i5  i,

i6  i2  1,

y así sucesivamente.

En particular, i 51  i 48i 3  i 412i 3  112i 3  1i  i.

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(continúa)

98

CAPÍTULO 2 ECUACIONES Y DESIGUALDADES

(e) En general, multiplique ia por i b, donde a  b  a  3 y b es un múltiplo de 4 (para que i b  1). Para i13, escoja b  16. i13  i16  i 3  i

L

El siguiente concepto tiene importantes usos al trabajar con números complejos.

Si z  a  bi es un número complejo, entonces su conjugado, denotado por z, es a  bi.

Definición del conjugado de un número complejo

Como a  bi  a  bi, se deduce que el conjugado de a  bi es a  bi  a  bi. Por lo tanto, a  bi y a  bi son conjugados uno del otro. Algunas propiedades de conjugados se dan en los ejercicios 57-62. ILUSTRACIÓN

Conjugados Número complejo

Conjugado

5  7i 5  7i 4i 3

5  7i 5  7i 4i 3

TI-83/4 Plus Operaciones con números complejos

TI-86

Primero, cambie al modo complejo. 䉮 (6 veces)

MODE

ENTER

䉯

La i está en la tecla del punto decimal. (

4 (



3

2nd

5



2

i

5 2nd i

4 2nd

i

MATH

䉯



7 2nd

51 䉯 i

) )

 ENTER

Se introducen números complejos en la forma (real, imaginaria). (

4 ) (

ENTER 1

2

ENTER

(

(



3

ENTER 0

2nd )

)

5

,

,

1

5

,

)

51

conj(F1)

CPLX 7

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)

ENTER

ENTER

,

4

2.4 Números complejos

99

0i

En la TI-83/4 Plus, nótese que la segunda respuesta es equivalente a 0  i. Sabemos esto del ejemplo 3(d), donde vimos que la parte real de una potencia de i debe ser 0, 1 o 1. El lector debe estar alerta de estas pequeñas inconsistencias.

Las siguientes dos propiedades son consecuencias de las definiciones de la suma y producto de números complejos.

Propiedades de conjugados

Ejemplos

a  bi  a  bi  2a a  bi a  bi  a2  b2

4  3i  4  3i  4  4  2  4 4  3i 4  3i  42  3i2  42  32i 2  42  32

Nótese que la suma y el producto de un número complejo y su conjugado son números reales. Los conjugados son útiles para hallar el inverso multiplicativo de a  bi, 1a  bi o para simplificar el cociente de dos números complejos. Como se ilustra en el ejemplo siguiente, podemos considerar estos tipos de simplificaciones simplemente como racionalizar el denominador, puesto que estamos multiplicando el cociente por el conjugado del denominador dividido por sí mismo. EJEMPLO 4

Cocientes de números complejos

Exprese en la forma a + bi, donde a y b son números reales: (a)

1 9  2i

(b)

7i 3  5i

SOLUCIÓN

(a)

1 1 9  2i 9  2i 9 2      i 9  2i 9  2i 9  2i 81  4 85 85

(b)

7i 7  i 3  5i 21  35i  3i  5i2    3  5i 3  5i 3  5i 9  25 

26  32i 13 16   i 34 17 17

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L

100

CAPÍTULO 2 ECUACIONES Y DESIGUALDADES

Si p es un número real positivo, entonces la ecuación x2  p tiene soluciones en ⺓. Una solución es 2p i, porque

 2p i 2  2p 2i2  p1  p. Del mismo modo,  2p i también es una solución. La definición de 2r de la tabla siguiente está motivada por  2r i 2  r para r 0. Cuando use esta definición, tenga cuidado de no escribir 2ri cuando 2r i sea lo que se pretende.

Terminología Raíz cuadrada principal 2 r por r 0

Definición

Ejemplos

2r  2r i

29  29 i  3i 25  25 i 21  21 i  i

TI-83/4 Plus Operaciones con números complejos

TI-86

No olvide cambiar al modo complejo. ( (

7 3

MATH 2nd

2



2nd



i

5 2nd

1 9

)



i

)

ENTER

ENTER )

(

7

,

(

3

,

2nd ENTER

)



5

)

ENTER

MATH

MORE 2nd

1

2

MISC(F5)

Frac(F1) 9

ENTER

ENTER

El signo de radical debe usarse con precaución cuando el radicando sea negativo. Por ejemplo, la fórmula 2a 2b  2ab, que se cumple para números reales positivos, no es verdadera cuando a y b son negativos los dos, como se ve en seguida:



23 23  23 i

 23 i    23 2i 2  31  3

Pero

233  29  3.

Por tanto,

23 23 苷 233.

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2.4 Números complejos

101

Si sólo uno de a o b es negativo, entonces 2a 2b  2ab. En general, no aplicaremos leyes de radicales si los radicandos son negativos. En lugar de ello, cambiaremos la forma de radicales antes de efectuar alguna operación, como se ilustra en el ejemplo siguiente.

EJEMPLO 5

Trabajo con raíces cuadradas de números negativos

Exprese en la forma a  bi, donde a y b son números reales:

 5  29  1  24  SOLUCIÓN

Primero usamos la definición 2r  2r i, y luego simplifi-

camos:

 5  29  1  24    5  29 i  1  24 i   5  3i1  2i  5  10i  3i  6i 2  5  13i  6  1  13i

L

En la sección 2.3 indicamos que si el discriminante b2  4ac de la ecuación cuadrática ax 2  bx  c  0 es negativo, entonces no hay raíces reales de la ecuación. De hecho, las soluciones de la ecuación son dos números imaginarios. Además, las soluciones son conjugadas entre sí, como se ve en el ejemplo siguiente.

EJEMPLO 6

Una ecuación cuadrática con soluciones complejas

Resuelva la ecuación 5x 2  2x  1  0. SOLUCIÓN

Si aplicamos la fórmula cuadrática con a  5, b  2, y c  1,

vemos que x 

2  222  451 25 2  216 2  4i 1  2i 1 2      i. 10 10 5 5 5

Por tanto, las soluciones de la ecuación son  51  52 i y  51  52 i. EJEMPLO 7

L

Una ecuación con soluciones complejas

Resuelva la ecuación x 3  1  0. Diferencia de dos cubos: a  b  a  ba  ab  b  3

3

2

2

SOLUCIÓN Usando la fórmula de factorización de la diferencia de dos cubos con a  x y b  1, escribimos x 3  1  0 como

x  1x 2  x  1  0.

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(continúa)

102

CAPÍTULO 2 ECUACIONES Y DESIGUALDADES

Igualando a cero cada factor y resolviendo las ecuaciones resultantes, obtenemos las soluciones 1,

1  21  4 1  23 i  2 2

o bien, lo que es equivalente, 1,



1 23  i, 2 2



1 23  i. 2 2

Como el número 1 se denomina número real unitario y la ecuación dada puede escribirse como x 3  1, a estas tres soluciones se les llama raíces cúbicas de la unidad.

L

En la sección 1.3 mencionamos que x 2  1 es irreducible sobre los números reales pero, si factorizamos sobre los números complejos, entonces x 2  1 se puede factorizar como sigue: x 2  1  x  ix  i

2.4

Ejercicios

Ejer. 1-34: Escriba la expresión en la forma a ⴙ bi, donde a y b son números reales. 1 5  2i  3  6i

2 5  7i  4  9i

3 7  6i  11  3i

4 3  8i  2  3i

5 3  5i2  7i

6 2  6i8  i

7 1  3i2  5i

8 8  2i7  3i

9 5  2i2

10 6  7i2

11 i3  4i2

12 i2  7i2

13 3  4i3  4i

14 4  9i4  9i

15 (a) i43

(b) i20

16 (a) i 92

(b) i33

17 (a) i73

(b) i46

18 (a) i66

(b) i55

19

3 2  4i

20

5 2  7i

21

1  7i 6  2i

22

2  9i 3  i

23

4  6i 2  7i

24

3  2i 5  2i

25

4  2i 5i

26

2  6i 3i

27 2  5i3

28 3  2i3

29  2  24  3  216  30  3  225  8  236  31 33

4  281 7  264 236 249 216

32 34

5  2121 1  225 225 216 281

Ejer. 35-38: Encuentre los valores de x y y, donde x y y son números reales. 35 4  x  2yi  x  2i 37 2x  y  16i  10  4yi 38 8  3x  yi  2x  4i

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36 x  y  3i  7  yi

2.5 Otros tipos de ecuaciones

Ejer. 39-56: Encuentre las soluciones de la ecuación.

53 4x 4  25x 2  36  0

54 27x 4  21x 2  4  0

39 x  6x  13  0

40 x  2x  26  0

41 x  4x  13  0

42 x  8x  17  0

43 x  5x  20  0

44 x  3x  6  0

45 4x  x  3  0

46 3x  x  5  0

57 z  w  z  w

58 z  w  z  w

47 x 3  125  0

48 x 3  27  0

59 z  w  z  w

60 zw  zw

2

2

2

2

2

55 x 3  3x 2  4x  0

2

56 8x 3  12x 2  2x  3  0

2

Ejer. 57-62: Verifique la propiedad.

2

49 27x 3  x  53

61 z  z si y sólo si z es real.

50 16x 4  x  44

62 z 2   z 2

51 x 4  256

103

52 x 4  81

2.5 Otros tipos de ecuaciones

Las ecuaciones consideradas en secciones previas son inadecuadas para muchos problemas. Por ejemplo, en aplicaciones a veces es necesario considerar potencias x k con k 2. Algunas ecuaciones comprenden valores absolutos o radicales. En esta sección damos ejemplos de ecuaciones de estos tipos que se pueden resolver usando métodos elementales. EJEMPLO 1

Resolver una ecuación que contenga un valor absoluto

Resuelva la ecuación x  5  3. SOLUCIÓN Si a y b son números reales con b 0, entonces a  b si y sólo si a  b o a  b. Por tanto, si x  5  3, entonces

x53

o bien

x  5  3.

Despejar la x nos da x538

o bien

x  5  3  2.

Entonces, la ecuación dada tiene dos soluciones, 8 y 2.

L

Para una ecuación como 2 x  5  3  11, primero aislamos la expresión de valor absoluto al restar 3 y dividir entre 2 para obtener x  5 

11  3  4, 2

y luego continuamos como en el ejemplo 1.

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