Matemáticas BLOQUE I: ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA

2

ESO

edebé

ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA

4

Ecuaciones con dos incógnitas. Sistemas COMPETENCIAS BÁSICAS Competencia matemática • Utilizar ecuaciones y sistemas de ecuaciones

para resolver situaciones de la vida cotidiana. Tratamiento de la información y competencia digital • Emplear recursos digitales para la resolución

gráfica de sistemas de ecuaciones. Competencia para aprender a aprender • Aplicar los conocimientos adquiridos en contex-

tos nuevos para incrementar la propia autonomía.

CONTENIDOS 1. Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas 2. Sistemas de ecuaciones 2.1. Resolución gráfica 2.2. Métodos algebraicos 2.3. Tipos de sistemas 2.4. Representación gráfica de sistemas de ecuaciones con ordenador

3. Aplicación a la resolución de problemas 86

Unidad 4

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PREPARACIÓN DE LA UNIDAD • El sistema de coordenadas cartesianas está formado por dos rectas perpendiculares graduadas, denominadas ejes de coordenadas. • El eje horizontal se llama eje de abscisas y se representa por X. • El eje vertical se denomina eje de ordenadas y se representa por Y. Las entradas de un parque de atracciones cuestan 25 ∑ para los adultos y 9 ∑ para los niños cuya estatura no supera los 120 cm. El aforo del parque en un día determinado ha sido de 2 700 personas y la recaudación de 53100 ∑. — Traduce al lenguaje algebraico: a) El aforo del parque. b) La recaudación. — ¿Es posible expresar algebraicamente la recaudación con una sola incógnita?

• Los ejes de coordenadas dividen el plano en cuatro regiones denominadas cuadrantes. • El punto en que se cortan ambos ejes es el origen de coordenadas, que se representa por O. • En el sistema de coordenadas cartesianas, a cada punto del plano le corresponde un par de números, denominados coordenadas, y viceversa. Ecuaciones con dos incógnitas. Sistemas

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1. Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas En la unidad anterior hemos estudiado las ecuaciones de primer grado con una incógnita. En esta, vamos a ampliar el estudio de las ecuaciones: trataremos las de primer grado con dos incógnitas. Observa cómo procedemos para traducir la siguiente frase al lenguaje algebraico: El triple de un número más otro número es igual a 5. Escogemos las letras con las que representaremos las incógnitas.

x para el primer número y para el segundo número

Traducimos al lenguaje algebraico la primera parte del enunciado.

El triple del primer número: 3x

Traducimos al lenguaje algebraico la segunda parte del enunciado.

El segundo número: y 3x + y = 5

Escribimos la ecuación correspondiente al enunciado completo.

En la ecuación obtenida, 3x + y = 5, aparecen dos incógnitas (x e y) con exponente 1. Es una ecuación de primer grado con dos incógnitas. RECUERDA Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas. Según los valores de las incógnitas, la igualdad puede cumplirse o puede no cumplirse.

Una ecuación es de primer grado con dos incógnitas si, una vez efectuadas las operaciones y reducidos sus términos semejantes, aparecen dos incógnitas cuyo máximo exponente es 1. Veamos si la ecuación anterior, 3x + y = 5, se cumple al dar diferentes valores a x e y. x

y

Primer miembro (3x)

Segundo miembro (y)

¿Se cumple la igualdad?

−1

8

−3

8

Sí

2

4

6

4

No

Observamos que la igualdad solo se verifica para algunos pares de valores de x e y.

ACTIVIDADES

Una solución de la ecuación es cada par de valores numéricos de las incógnitas que hacen cierta la igualdad.

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Así, el par de valores x = −1, y = 8 es una solución de la ecuación anterior.

1.  Redacta un enunciado que pueda expresarse algebraicamente mediante una ecuación de primer grado con dos incógnitas. — Escribe la ecuación que corresponde al enunciado. Unidad 4

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Resolución Para hallar soluciones de una ecuación de primer grado con dos incógnitas procederemos del siguiente modo: PROCEDIMIENTO

EJEMPLO

FÍJATE

Despejamos una de las incógnitas, por ejemplo la y.

Para ello, transponemos el primer término. y = 5 − 3x

Para cada valor arbitrario de x podemos obtener un valor de y.

Asignamos valores cualesquiera a la otra incógnita, x, para calcular, a continuación, los correspondientes a la y.

x

y = 5 − 3x

−2

5 − 3 ⋅ (−2) = 11

−1

5 − 3 ⋅ (−1) = 8

De este modo, podemos construir una tabla de soluciones.

0

5−3⋅0 = 5

1

5 − 3⋅1= 2

2

5 − 3 ⋅ 2 = −1

Como x puede tomar cualquier valor, una ecuación de primer grado con dos incógnitas tiene infinitas soluciones.

Observamos que los pares de valores x = −2, y = 11; x = −1, y = 8; x = 0, y = 5; x = 1, y = 2; x = 2, y = −1 son soluciones de la ecuación.

Y

11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

Representación gráfica de las soluciones Las soluciones de una ecuación de primer grado con dos incógnitas pueden representarse gráficamente en un sistema de coordenadas cartesianas. Para ello, asignamos a cada par de valores x e y que sean solución de la ecuación el punto del plano que tiene estos valores por coordenadas: (x, y). Si pudiéramos obtener todas las soluciones de la ecuación 3 x + y = 5 y las representáramos gráficamente, obtendríamos la recta de la figura de la derecha.

–8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 X –1 –2 –3 –4 –5 –6

La representación gráfica de las soluciones de una ecuación de primer grado con dos incógnitas es una recta.

5.  En la siguiente gráfica hemos representado las soluciones de la ecuación 3 y = 2 x + 5.

«La suma del doble de un número más otro número es igual a 4.»

Y

5 4 3 2 1

— Haz una tabla con cinco soluciones de la ecuación obtenida. A continuación, represéntalas.

3. Representa gráficamente las soluciones de estas ecuaciones: a) 2 y = 3 x + 4

b) 2(x + 1) = y + 3

4. Halla las soluciones de la ecuación 3 x − 2 (y − 3) = 5 para estos valores: y = −1 ; y =

1 ; y =2 2

ACTIVIDADES

2. Traduce al lenguaje algebraico el siguiente enunciado:



–8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 X –1 –2 –3 –4

Señala tres puntos de la recta y comprueba que sus coordenadas corresponden a soluciones de la ecuación. Ecuaciones con dos incógnitas. Sistemas

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2.  Sistemas de ecuaciones Puede darse el caso de que dos ecuaciones deban cumplirse al mismo tiempo. Lee el siguiente enunciado: La suma de dos números es igual a 5. Además, al restar 4 al doble del primer número, obtenemos el segundo. Nos hacen falta dos ecuaciones para traducirlo al lenguaje algebraico.

La suma de dos números es igual a 5.

x+y =5 2x − 4 = y

El doble del primero menos 4 es igual al segundo.

Estas dos ecuaciones que deben cumplirse a la vez constituyen un sistema de ecuaciones. Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones que deben verificarse simultáneamente. Un sistema de ecuaciones se escribe agrupando las ecuaciones que lo forman con una llave. x + y = 5   2 x − 4 = y  Acabamos de ver que una ecuación de primer grado con dos incógnitas tiene infinitas soluciones, pero debemos determinar cuántos valores de las incógnitas verifican simultáneamente las ecuaciones. Cada par de valores x e y que verifica simultáneamente todas las ecuaciones de un sistema es una solución del sistema. Del mismo modo que dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones, dos sistemas de ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones. Así, los sistemas de ecuaciones: 2 x − y = 6   3 x + 3 y = 18

5 x + 2 y = 24   11x + 5 y = 54 

ACTIVIDADES

son equivalentes puesto que tienen las mismas soluciones.

90

6. Expresa el siguiente enunciado mediante un sistema de ecuaciones: «La edad de un hijo es cuatro veces menor que la de su padre y hace seis años era siete veces menor».

7. Comprueba si el par de valores (−7, −5) es una solución del siguiente sistema de ecuaciones. 3x − 4 y = 7

  7 x + 8 y = −105 Unidad 4

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2.1. Resolución gráfica Resolver un sistema de ecuaciones consiste en hallar los valores de las incógnitas que verifiquen a la vez todas las ecuaciones.

@ Si accedes a la página http://youtu.be/ fJ__PcO46Uw, podrás visualizar un vídeo en el que se resuelve gráficamente un sistema de ecuaciones.

La resolución gráfica de un sistema de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas consiste en representar las rectas correspondientes a las soluciones de cada una de las ecuaciones del sistema. Los puntos comunes a ambas rectas nos proporcionarán las soluciones del sistema.

EJEMPLO 1

Sepamos ahora cómo resolver gráficamente el sistema planteado en la página anterior. Halla gráficamente la solución del siguiente sistema:

Y

8 7 6 5 4 3 2 1

x + y = 5   2 x − 4 = y  — En primer lugar, despejamos y en la primera ecuación. En la segunda ecuación no es necesario hacerlo. y = 5 − x   y = 2 x − 4  — Construimos una tabla de soluciones de cada ecuación asignando valores arbitrarios a x y calculando los correspondientes a la y.



x

Primera ecuación y = 5 − x

x

Segunda ecuación y = 2x − 4

−3

5 − (−3) = 8

−2

2 · (−2) − 4 = −8

−1

5 − (−1) = 6

0

2 · 0 − 4 = −4

1

5−1=4

1

2 · 1 − 4 = −2

3

5−3=2

4

2·4−4=4

— Representamos gráficamente las soluciones de cada una de las ecuaciones en un sistema de coordenadas cartesianas.

de los siguientes sistemas:



a) 2 x − 3 y = 1  x + 2 y = 11

b) 2 x + 3 y = 11  x − 2 y = 2 

— Escribe la solución de cada sistema y compruébalas.

–10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X –1 –2 –3 –4 –5 –6 –7 –8

— Las dos rectas se cortan en el punto (3, 2), por lo que x = 3, y = 2 es la solución del sistema. — Comprobamos el resultado obtenido. Para ello, sustituimos los valores hallados en las dos ecuaciones y verificamos que se cumplen.

Primera ecuación

Segunda ecuación



x + y = 5

2x − 4 = y



3 + 2 = 5

2·3−4=2



5 = 5

2=2

ACTIVIDADES

8. Representa gráficamente las soluciones de las ecuaciones

x

9. Resuelve gráficamente estos sistemas: a) 2 x − y = 0  x + 3 y = 7 

b) 3 x + 2 y = 18   −2 x − 6 y = −12

— Comprueba las soluciones. — ¿Se trata de dos sistemas equivalentes? Ecuaciones con dos incógnitas. Sistemas

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2.2. Métodos algebraicos La resolución gráfica de sistemas puede ser imprecisa en caso de que las soluciones no sean números enteros. Así, para resolver sistemas, se utilizan habitualmente los denominados métodos algebraicos: método de sustitución, método de igualación y método de reducción.

Método de sustitución Para resolver un sistema de ecuaciones por el método de sustitución, en primer lugar despejamos una de las incógnitas en una de las ecuaciones y sustituimos la expresión obtenida en la otra ecuación. Veamos el proceso de resolución de un sistema por este método.

Ejemplo :

PROCEDIMIENTO Despejamos x en la primera ecuación.

x =

Sustituimos la x de la segunda ecuación por la expresión obtenida.

3 x − 2 y = −11   2 x − 5 y = −11 

−11 + 2 y 3

 −11 + 2 y  2⋅  − 5 y = −11 3  −22 + 4 y − 5 y = −11 3

Resolvemos la ecuación resultante, que es una ecuación de primer grado con una incógnita.

 −22 + 4 y  3⋅ − 5 y  = 3 ⋅ (−11)   3 −22 + 4 y − 15 y = −33 4 y − 15 y = −33 + 22 − 11y = −11 y =1

Sustituimos el valor de y hallado en la expresión donde aparece despejada x.

x = =

ACTIVIDADES

Escribimos la solución del sistema.

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−11 + 2 y −11 + 2 ⋅ 1 = = 3 3

−11 + 2 − 9 = = −3 3 3 x = −3, y = 1

10. Resuelve los siguientes sistemas por el método de sustitución: a) 5 x − 8 y = −13  2 x − 3y = −4 

b) 5 x − y = −3   −2 x + y = 0 

11. Resuelve el siguiente sistema por el método de sustitución y por el método gráfico. Comprueba que obtienes la misma solución. 2 y − 3x = 7   y − 2 x = 2  Unidad 4

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Método de igualación Este método consiste en despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones e igualar las expresiones obtenidas. Observa el procedimiento que seguimos para resolver un sistema por el método de igualación.

PROCEDIMIENTO

Ejemplo :

Despejamos x en las dos ecuaciones.

3 x − 2 y = −11 ⇒ x =

−11 + 2 y 3

2 x − 5 y = −11 ⇒ x =

−11 + 5 y 2

Igualamos las expresiones obtenidas.

Resolvemos la ecuación resultante, que es una ecuación de primer grado con una incógnita.

3 x − 2 y = −11   2 x − 5 y = −11 

−11 + 2 y −11 + 5 y = 3 2  −11 + 5 y   −11 + 2 y  6⋅   = 6 ⋅   3 2 2 ⋅ ( −11 + 2 y ) = 3 ⋅ ( −11 + 5 y ) − 22 + 4 y = −33 + 15 y 4 y − 15 y = −33 + 22 − 11y = −11 y =1

Sustituimos el valor de y hallado en cualquiera de las dos expresiones en que aparece despejada x.

x = =

Escribimos la solución del sistema.

−11 + 2 y −11 + 2 ⋅ 1 = = 3 3

−11 + 2 − 9 = = −3 3 3 x = −3, y = 1

ACTIVIDADES

12. Resuelve los siguientes sistemas por el método de igualación: a)

y − x = 3   2 y + 3 x = 16 

b) 2 y − 3 x = 6   y + x = 8 

13. Resuelve este sistema gráficamente y por el método de igualación. Comprueba que obtienes el mismo resultado. 2 x − 3 y = 1   x + 2 y = 11 

14. Resuelve este sistema por los métodos de igualación y de sustitución: 2 x + 2 y = 8   3 x + 2 y = 11  Ecuaciones con dos incógnitas. Sistemas

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@ Si accedes a la página http://www.va denumeros.es/tercero/sistemasde ecuaciones.htm, encontrarás ejemplos de aplicación de los distintos métodos algebraicos de resolución de ecuaciones, así como una aplicación para comprobar las soluciones de un sistema.

Método de reducción Para resolver un sistema de ecuaciones por el método de reducción, multiplicaremos cada ecuación por el número adecuado y así, al sumar las dos ecuaciones resultantes, obtendremos una ecuación con una sola incógnita. Fíjate en el proceso de resolución de un sistema por el método de reducción.

PROCEDIMIENTO Multiplicamos la primera ecuación por 2 y la segunda ecuación por −3. De este modo, los coeficientes de la x en las dos ecuaciones serán números opuestos. Sumamos miembro a miembro las dos ecuaciones y despejamos la y.

Ejemplo :

3 x − 2 y = −11   2 x − 5 y = −11  ⋅2

3 x − 2 y = −11  → 6 x − 4 y = −22 ⋅( −3 )

2 x − 5 y = −11  → −6 x + 15 y = 33 6 x − 4 y = −22 − 6 x + 15 y = 33 11y = 11 ⇒ y = 1

Para hallar el valor de x podemos sustituir en cualquiera de las ecuaciones iniciales el valor de y hallado y, a continuación, despejar x. También podemos hallar el valor de x utilizando de nuevo el mismo método para eliminar las y. Para ello, multiplicamos la primera ecuación por 5 y la segunda por −2. Sumamos, miembro a miembro, las dos ecuaciones y despejamos la x.

·5

3 x − 2 y = −11  → 15 x − 10 y = −55 ·( − 2 )

2 x − 5 y = −11  → −4 x + 10 y = 22

15 x − 10 y = − 55 − 4 x + 10 y = 22 11x

ACTIVIDADES

Escribimos la solución del sistema.

94

= − 33 ⇒ x = − 3 x = −3, y = 1

15. Resuelve estos sistemas por el método de reducción: a)

x + y = 4   2 x + 4 y = 10

b)

x − 4 y = 2  2 x − 5 y = 7 

16. Resuelve el siguiente sistema gráficamente y por el método de reducción. Comprueba que obtienes el mismo resultado. 2 x + 2 y = 6   3 x + 4 y = 12 Unidad 4

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x − 2y + 3 = 0   −y − 4x = 2 — En primer lugar, despejamos x en las dos ecuaciones. x = 2y − 3 −y − 2 x = 4 — Igualamos las expresiones obtenidas. −y − 2 4 — Resolvemos la ecuación resultante, de primer grado con una incógnita. 2y − 3 =

4 ⋅ ( 2 y − 3) = − y − 2 8 y − 12 = − y − 2 8 y + y = −2 + 12 9 y = 10 → y =

10 9

— Sustituimos el valor de y en una de las expresiones en que aparece despejada la x. x = 2⋅

20 27 7 10 −3= − =− 9 9 9 9

Resuelve el siguiente sistema por el método de reducción: 3x − 3y = 0   2x − y = 1  — En primer lugar, multiplicamos la segunda ecuación por −3. 2x − y = 1 → −6x + 3y = −3 Así, hemos obtenido un sistema en el que los coeficientes de la y en las dos ecuaciones son números opuestos. 3 x − 3 y = 0   −6 x + 3 y = −3  — Sumamos, miembro a miembro, las dos ecuaciones. 3x − 3y = 0 −6 x + 3 y = −3 −3 x

= −3 → x =

−3 =1 −3

— Sustituimos el valor de x en una de las ecuaciones iniciales y despejamos la y. 2·1−y=1 y=2·1−1=1

— La solución del sistema es: 7 10 x =− , y = 9 9 — Comprobamos el resultado sustituyendo los valores obtenidos en una de las ecuaciones. −y − 4x = 2 −

EJEMPLO 3

EJEMPLO 2

Resuelve el siguiente sistema por el método de igualación:

10  7  18 − 4 ⋅ −  = =2  9 9 9

— La solución del sistema es: x = 1, y = 1 — Comprobamos el resultado sustituyendo los valores obtenidos en una de las ecuaciones. 3x − 3y = 0 → 3 · 1 − 3 · 1 = 0

ACTIVIDADES

17.  Resuelve los siguientes sistemas por los tres métodos descritos. ¿Cuál de ellos resulta más apropiado en cada caso? a) x + 4 y = 7   x − y = −3

b)

 1 x + 2 y = −7   4   1 −3 x + y = −14   2 Ecuaciones con dos incógnitas. Sistemas

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@ Si accedes a la página http://recurso stic.educacion.es/descartes/web/ma teriales_didacticos/sistemas_ecua ciones_afm/unidad_didactica1.htm, encontrarás una aplicación para representar gráficamente y clasificar sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas.

2.3.  Tipos de sistemas Ya hemos visto que las soluciones de un sistema de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas están determinadas por los puntos que tengan en común las rectas obtenidas al representar gráficamente las soluciones de cada ecuación. Según las soluciones, los sistemas se clasifican en: compatibles determinados, compatibles indeterminados e incompatibles.

Sistema compatible determinado Observa la representación gráfica del siguiente sistema: Y

7 6 5 4 3 2 1

3 x + y = 6   2x − y = 4   Las dos rectas son secantes: tienen un único punto en común. Las dos rectas se cortan en el punto (2, 0): el sistema tiene una única solución, el par de valores formado por x = 2 e y = 0.

–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 –1 –2 –3 –4 –5 –6 –7

1 2 3 4 5 6 7 8X

Un sistema compatible determinado es aquel que tiene una única solución y cuya representación gráfica corresponde a dos rectas secantes.

Sistema compatible indeterminado Fíjate ahora en la representación gráfica de este otro sistema: Y

  −2 x + y = −3   2x − y = 3

Las dos rectas son coincientes: tienen todos los puntos comunes. Todas las soluciones de una ecuación lo son también de la otra. El sistema tiene infinitas soluciones.

7 6 5 4 3 2 1

–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 X –1 –2 –3 –4 –5 –6 –7

Un sistema compatible indeterminado es aquel que tiene infinitas soluciones y cuya representación gráfica corresponde a dos rectas coincidentes.

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Sistema incompatible Finalmente, veamos la representación gráfica de este sistema: Y

y − 5x = 2 2 y − 10 x = −6

7 6 5 4 3 2 1

    

Las dos rectas son paralelas: no tienen ningún punto en común. El sistema no tiene solución.

–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 X –1 –2 –3 –4 –5 –6 –7

EJEMPLO 4

Un sistema incompatible es aquel que no tiene solución y cuya representación gráfica corresponde a dos rectas paralelas.

Resuelve y clasifica el siguiente sistema de ecuaciones. Comprueba que la solución algebraica y la gráfica coinciden. 

3 x + 2 y = 9  x − y = 3  — Resolvemos el sistema por el método de reducción: multiplicamos la segunda ecuación por 2 para obtener coeficientes opuestos de las y. Y

8

3x + 2y = 9 2x − 2y = 6 5x

7 6 5 4

15 = 15 → x = =3 5

3 2 1 0 4 3 2 1 1

X 1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11

2

— S ustituimos el valor de x en una de las ecuaciones iniciales y despejamos la y.

3 4

3 − y = 3 → y = 3 − 3 = 0

5 6 7

La solución del sistema es x = 3, y = 0. El sistema tiene una única solución: se trata de un sistema compatible determinado. Su representación gráfica corresponde a dos rectas secantes que se cortan en el punto (3, 0). 

ACTIVIDADES

18. Resuelve, por el método que prefieras, los sistemas de ecuaciones del apartado 2.3. Comprueba que la solución algebraica coincide con la solución gráfica.

19. Resuelve algebraicamente estos sistemas y clasifícalos en compatibles determinados, compatibles indeterminados o incompatibles: a) 2 x − y = 2   3 x + y = 8 

b ) 2 x + y = −3   x − y = −3 

c)

x + y = 2   3 x + 3 y = − 6 

d)

2 x + y = 6   2 x + y = − 2  Ecuaciones con dos incógnitas. Sistemas

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2.4. Representación gráfica de sistemas de ecuaciones con ordenador Podemos representar gráficamente sistemas de ecuaciones con el programa Geogebra. La representación nos permitirá clasificarlos según sus soluciones. Veamos cómo representar este sistema: 2x − y = 6   2 x + y = 10 — En la ventana inferior de entrada de expresiones algebraicas de Geogebra escribimos la primera ecuación del sistema, 2 x − y = 6. Al pulsar «Intro», obtenemos la recta correspondiente a la representación gráfica de sus soluciones. — A continuación, introducimos en la ventana algebraica la segunda ecuación del sistema, 2 x + y = 10 y pulsamos «Intro» para obtener la recta que representa las soluciones de dicha ecuación. — Una vez representado el sistema de ecuaciones, podemos clasificarlo observando las posiciones relativas de las dos rectas obtenidas. En el ejemplo anterior, tenemos dos rectas secantes. Se trata, pues, de un sistema compatible determinado. Siguiendo el procedimiento descrito anteriormente, representamos gráficamente este otro sistema: 2 x + y = 5   2 x + y = 4 

ACTIVIDADES

A la izquierda podemos ver la representación gráfica de las dos ecuaciones del sistema. Puesto que las rectas obtenidas son paralelas, dicho sistema es incompatible.

20. Utiliza un programa informático de representación gráfica para comprobar los resultados obtenidos en la actividad 19. 21. Resuelve, por el método que prefieras, los siguientes sistemas de ecuaciones y represéntalos gráficamente con un programa informático: a) 3 x + 3 y = 6  x + y = 3

b ) 3 x + y = 6  2 x + y = 3

c) 2 x + 5 y = 12  5 y + 2 x = 10

— ¿Se puede inferir alguna relación entre la representación gráfica de un sistema de ecuaciones y sus soluciones?

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Unidad 4

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3. Aplicación a la resolución de problemas En la unidad anterior hemos visto el procedimiento que debemos seguir para resolver problemas mediante una ecuación de primer grado con una incógnita.

EJEMPLO 5

El procedimiento para resolver problemas mediante un sistema de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas es muy parecido. Fíjate en el siguiente ejemplo: Un número consta de dos cifras que suman 9. Dicho número supera en 9 unidades al que resulta de invertir el orden de sus cifras. ¿De qué número se trata? • Lectura atenta del enunciado. Lee de nuevo el problema y expresa el enunciado con tus palabras. • Elección de las incógnitas. Representamos por x la primera cifra y por y la segunda. • Planteamiento del sistema. Traducimos al lenguaje algebraico cada una de las condiciones.

— Las dos cifras suman 9.

x+y=9



— El número es igual al que resulta de invertir el orden de sus cifras más 9. Como x es la cifra de las decenas e y la de las unidades, el número será 10 x + y. Y el que resulta de invertir el orden de sus cifras será 10 y + x. Por lo tanto, la segunda condición se traduce en: 10 x + y = 10 y + x + 9 9x− 9y = 9 x−y=1

— El enunciado del problema se traduce en el sistema: x + y = 9  x − y = 1

• Resolución del sistema. Resolvemos el sistema por el método de reducción. x+y =9 x −y =1 2x = 10 → x = 5 x+ y =9 → y =9− x =9−5= 4 • Respuesta. El número que nos piden es el 54.

ACTIVIDADES

• Comprobación. La suma de las dos cifras es 9 y se cumple 54 = 45 + 9.

22. Tres libros y dos rotuladores cuestan 25 ∑. Dos rotuladores y un libro cuestan 9 ∑. Calcula el precio de un libro y el de un rotulador.

23. Determina las medidas de los lados de un triángulo isósceles de 50 cm de perímetro sabiendo que el lado desigual mide 5 cm más que cada uno de los lados iguales. Ecuaciones con dos incógnitas. Sistemas

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99

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RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS ESTRATEGIA: Elección correcta de la incógnita Cuando, en el planteamiento de un problema, tenemos más de una posibilidad para decidir cuál o cuáles serán sus incógnitas, la elección apropiada de estas puede simplificar en gran medida la resolución. El triple de la edad actual de un niño más 6 años es igual a la mitad de la edad actual de su padre. Dentro de 4 años la edad del padre será el quíntuplo de la edad del niño. ¿Qué edad tendrán ambos dentro de 6 años?

Comprensión del enunciado

Ejecución del plan de resolución

— Lee de nuevo el enunciado.

— Resolvemos el segundo sistema de ecuaciones por el método de reducción.

— Anota qué es lo que buscas y los datos de que dispones.

6 x + 12 = y   5 x + 16 = y 

Planificación de la resolución

6 x − y = −12   5 x − y = −16 

− 6 x + y = 12

Para calcular las dos edades, debemos plantear un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas.

5 x − y = −16

— Si elegimos como incógnitas las edades dentro de 6 años, obtenemos el siguiente sistema.

−x

= −4



x = edad del niño dentro de 6 años





y = edad del padre dentro de 6 años

Actualmente, el niño tiene 4 años y dentro de 6 años tendrá 4 + 6 = 10 años.

y − 6 2   5 ⋅ ( x − 2) = y − 2  3 ⋅ ( x − 6) + 6 =

— Y, si escogemos como incógnitas las edades actuales, obtenemos este otro sistema de ecuaciones. x = edad actual del niño y = edad actual del padre    5 ⋅ ( x + 4 ) = y + 4  3x + 6 =

y 2

— Es evidente que la resolución del segundo sistema resultará más sencilla que la del primero.

x = 4

y = 5 x + 16 = 5 · 4 + 16 = 36

Actualmente, el padre tiene 36 años y dentro de 6 años tendrá 36 + 6 = 42 años.

Revisión del resultado y proceso seguido Para comprobar que la solución obtenida es correcta, sustituiremos los valores hallados de las incógnitas en cada una de las ecuaciones del sistema inicial y verificaremos que se cumplen.

36  3⋅4 + 6 = 2  5 ⋅ ( x + 4 ) = y + 4  5 ⋅ ( 4 + 4 ) = 36 + 3x + 6 =

y 2

   4 

100 Unidad 4

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ACTIVIDADES

24.  Aplica la estrategia descrita para resolver el siguiente problema: La edad de un hijo es cuatro veces menor que la de su padre y hace 6 años era siete veces menor. ¿Qué edad tendrán ambos dentro de 3 años?

SÍNTESIS ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS

si deben verificarse simultáneamente

1

2

SISTEMAS DE ECUACIONES

se clasifican en

•  Compatible determinado •  Compatible indeterminado • Incompatible

obtenemos las soluciones mediante

Resolución gráfica

Resolución algebraica

por los métodos de

3

• Sustitución • Igualación • Reducción

4

1 Una ecuación de primer grado con dos incógnitas es

3 Según el número de soluciones, los sistemas se clasifican

una ecuación en la que aparecen dos incógnitas con exponente 1.

en: • Sistema compatible determinado. Tiene una única solución. • Sistema compatible indeterminado. Tiene infinitas soluciones. • Sistema incompatible. No tiene solución.



 na solución de la ecuación es cada par de valores U numéricos de las incógnitas que hacen cierta la igualdad.



 na ecuación de primer grado con dos incógnitas tiene U infinitas soluciones y la representación gráfica de sus soluciones es una recta.



4 La resolución algebraica de un sistema de dos ecua-

2 Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuacio-

nes que deben verificarse simultáneamente.  Cada par de valores x e y que verifica simultáneamente todas las ecuaciones de un sistema es una solución del sistema.



ciones de primer grado con dos incógnitas se basa en obtener una ecuación de primer grado con una incógnita a partir del sistema de ecuaciones. Se utilizan tres métodos: • Método de sustitución. • Método de igualación. • Método de reducción.

Ecuaciones con dos incógnitas. Sistemas

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ACTIVIDADES

4

Ecuaciones de primer grado con dos incógnitas

31. Completa el sistema

25. Expresa mediante una ecuación de primer grado con dos

escogiendo entre una de estas ecuaciones:

R

incógnitas cada una de las siguientes frases:

a) Hemos comprado una libreta y un bolígrafo, y hemos pagado 8 ∑. b) Al comprar 6 botellas de agua y 5 panecillos nos han cobrado 7 ∑. c)  El perímetro de un rectángulo es 60 cm.

}

x+y =3 ... ... = ...

2 x + 2 y = 6      x + y = 5      x − y = 1 de forma que el sistema formado sea: a) compatible determinado b) compatible indeterminado c) incompatible

d) La edad de un padre es superior en 27 años a la de su hijo.

26. Representa en unos ejes de coordenadas las soluciones de la ecuación 3 x + y = 1.

27. Halla tres soluciones para la ecuación siguiente y compruébalas. 3 x − 2 (y − 3) = 5

32. Resuelve gráficamente: a)

x + y = 0  x − y = 2

b) 2 x − 8 y = −2  2 x + y = 16 

2x − y = 5   x − y = 2 d) x + 2 y = 4   2 x − 3 y = 1

c)

33. Resuelve estos sistemas de ecuaciones, represéntalos gráficamente e indica cuáles de ellos son indeterminados y cuáles son incompatibles.

Sistemas de ecuaciones 28. Indica si son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones: R a) x = 3, y = 2 es solución de la ecuación 2 x + y = 4.

b) x = 10, y = 2 es solución de la ecuación x + 3 y = 10. c) x = 0, y = 3 no es solución del sistema

d) x = 5, y = 1 es solución del sistema

29. El sistema de ecuaciones solución x = 3, y = 2.

x+y =3   2 x − y = 5 

x−y =4   2 x + y = 11

a x + 4 y = 14   tiene por 5x − b y = 9 

a) 3 x − 2 y = 26   3 x − 2 y = −26

c) 3 x − y = 12  x + 3 y = 14 

b) 2 x + 2 y = 8   3 x + 3 y = 12

d)

2 x + y = 5  3x − 5y = 1

34. Resuelve los siguientes sistemas por el método de sustitución: a) 3 x − 2 y = 5   2 x − 3 y = 15 x − 4 y = 2 b)  2 x − 5y = 7 

c) 7 x + 8 y = −23  5x − 3y = 1  d) 4 x − 3 y = −11  −x + y = 5 

Halla los valores de a y de b.

30. Representa gráficamente los siguientes sistemas de ecuaciones y clasifícalos en compatibles determinados, compatibles indeterminados e incompatibles. a)

x + y = 8  x − y = 2

c)

x+ y =5  2 x + 2 y = 10

b)

x + y = 8  2 x + 2 y = 8

d)

x + y = 5  3 x + 2 y = 12



35. Resuelve los siguientes sistemas por el método de igualación: a) 2 x + 7 y = 14   x − 2y = 4  b)

2 x − 3y = 1   −5 x + 2 y = −19

c) 3 x + 4 y = 24   − x + y = −1 d) 4 x + 5 y = 24   2 x − 2 y = − 6

102 Unidad 4

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36. Resuelve estos sistemas de ecuaciones y represéntalos gráficamente: a)

x + y −1= 2x − 4y + 2 =

c)

0  0 

b) − x − 3 y + 5 = 0   x + y = 2 

d)

4x − 2 = −y    3 y = 6 x − 1 2  5x − y = 2   8 x = −6 y 

b)

2 x − y = 10   2 x + 3 y = −6

c) −2 x + 4 y = 2   2 x − 8 y = −22 d) 3 ⋅ ( x − 5) + y = −11   3 x − 2 y = −26

38. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones y clasifícalos en compatibles determinados, compatibles indeterminados o incompatibles. a) 2 x + 3 y − 1 = 0   15 5x = − y + 3 = 0   2



b ) − 4 y + x = 16   1 2= x  2

c) 3 x − 5 y = 3    18 18 x− = 6y  5 5  d) x − 2 y = 8   1  5 x = −2 ⋅  y −   2 

39. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones por los métodos de igualación, sustitución y reducción. ¿Qué método es el más adecuado para resolver este sistema?  4 x − 3 y = 5  1 x + y = 3 2 

40. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de sustitución, sustituyendo primero la x y después la y. Justifica en cada caso cuál de las dos incógnitas es mejor sustituir. a)

b)

1  3x = −x + y  2   x − y = −2   2

 4 4 − x + = y + 1  3 5  2 3 7 2 x+ = y 3 4 2 

41. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de igualación. ¿Cuál de las incógnitas resulta más fácil igualar en cada uno de estos dos casos? a)

1 4 x−y =  2 5  1 1 1 − x + y − = 0  4 2 3

de ecuaciones: 4,5 Y

b)

 2x − 5 = 3y   3  1 1 x − y − 7 = 0  3 4

Y

1,6

4

1,2

3,5

0,8

3

0,4

2,5

–1,6 –1,2 – 0,8 – 0,4 0 – 0,4

2

37. Resuelve los siguientes sistemas por el método de reducción: a) 3 x + 2 y = 12  2x − y = 1 

42. Relaciona estas gráficas con sus correspondientes sistemas

1,5

0,4 0,8 1,2 1,6

– 0,8

1

–1,2

0,5

–1,6

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

X

1

2 Y

6,9 Y

1,6

5,6

1,2

4,9

0,8

4,2

0,4

3,5 –1,6 –1,2 –0,8 –0,4 0

2,8 2,1

X

–1,2

0,7 0

0,4 0,8 1,2 1,6 – 0,4 – 0,8

1,4

0,7 1,4 2,1 2,8 3,5 4,2 4,9 5,6

–1,6

X

3

4

y − 3x  2   1 1 1 − x = − y 2 12 6  1 2 b) + y = − x + 2y −  3 3 2 y = −2 x + 2  a)

X

1=

c)

y + x = 4  1 y = 2x +  3

d) y − 2 x = 1    y 1 − = x 3 3 

43. Dada la ecuación siguiente, plantea otras tres ecuaciones tales que la solución del sistema que forman con ella sea x = 1 e y = −1: −2 x + 3y = −5

44. Halla las soluciones de los tres sistemas formados por la ecua-

ción 2 x + y − 3 = 0 y las ecuaciones y − x = 0 , y − x = 1 y y − x = 2 . Representa gráficamente cada uno de los sistemas y describe las diferencias entre las rectas obtenidas.

45. Determina los valores de a y b para que este sistema de ecuaciones sea compatible determinado, compatible indeterminado e incompatible. y + ax − 1 = 0 −y + 2x − b = 0

  

Ecuaciones con dos incógnitas. Sistemas

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ACTIVIDADES

4 46. Relaciona cada una de estas gráficas de sistemas de ecuaciones con su correspondiente clasificación:

nes siguientes:

Y

4

3

3

2

2

1 –4

–2

–1

— Está comprendido entre 300 y 350.

Y

4

–3

— La suma de la cifra de las unidades con la de las decenas es 8.

1

0

1

–1

2

3

4

X

–4

50. Halla un número de tres cifras que cumpla todas las condicio-

–3

–2

–1

0

1

–1

–2

–2

–3

–3

–4

–4

1

2

3

4

X

— La cifra de las unidades es el triple de la cifra de las decenas.

51. Al final de un juego, uno de los participantes ha obtenido el doble de puntos que el otro. Si el participante que ha obtenido más puntos le diera 3 puntos al otro, los dos tendrían la misma cantidad de puntos. ¿Cuántos puntos ha obtenido cada uno de ellos?

2

52. En un concurso de televisión se reparte una cierta cantidad 4

4

3

3

2

2

1 –4

–3

–2 1

0 –1

de dinero a partes iguales entre los finalistas. Si cada uno de ellos recibiera 250 ∑, sobrarían 50 ∑ y si cada uno recibiera 270 ∑, faltarían 10 ∑. ¿Cuál es la cantidad de dinero que se da y cuál es el número de finalistas?

Y

Y

1 1

2

3

4

X

–4

–3

–2

–1

–2

0 –1

2

3

4

X

–2

–3

–3

–4

–4

3

1

4

a) Un sistema incompatible y dos sistemas compatibles determinados. b) Tres sistemas compatibles determinados. c) Tres sistemas incompatibles. d) Tres sistemas compatibles: uno indeterminado y dos determinados.

Problemas 47. El precio de las entradas de un circo es de 8 ∑ para los adultos y 5 ∑ para los niños. Si en el circo hay 600 personas y han recaudado 4 500 ∑, ¿cuántos adultos y cuántos niños hay?

48. En un albergue hay dos tipos de habitaciones: de 6 camas y de 8 camas. Si el número total de habitaciones del albergue es 12 y el de camas es 86, halla cuántas habitaciones de cada clase hay en el albergue.

49. En la preparación de un juego debemos colocar unas bolas dentro de unas cajas. Si colocamos 5 bolas en cada caja, nos sobran 2 bolas; pero si decidimos colocar 6 bolas en cada caja, observamos que nos falta 1 bola. ¿Cuántas bolas y cuántas cajas tenemos?

53. Juan compra 35 camisas a 30 ∑ cada una y Óscar compra 40 camisas al mismo precio. Al venderlas, el precio de las camisas de Juan es superior en 5 ∑ al precio al que las vende Óscar. Halla el precio de venta establecido por cada uno de ellos si después de vender todas las camisas han obtenido el mismo beneficio.

54. Dada esta ecuación: 2 x + 3 y = 4. Calcula los valores de y correspondientes a los siguientes valores de x: − 4, −1, 2 y 5. A continuación, entra en la página web: http://recurso stic. educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Re solucion_grafica_sistemas_ecuaciones/Resolu cion_gra fica_sistemas.htm, resuelve esta actividad gráficamente y comprueba que los resultados coinciden con los que has obtenido en la resolución algebraica.

55. Halla un par de números tales que la suma de la mitad del primero y un cuarto del segundo sea igual al segundo incrementado en una unidad, y que el segundo sea el primero incrementado en una unidad. a) Plantéalo y resuélvelo como un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas. b) Plantéalo y resuélvelo como un sistema de una ecuación y una incógnita.

56. Marta tiene 3 años más que su amigo Pedro. La suma de la edad de Marta y la de su padre es 61 años. Si dentro de 4 años Pedro tendrá la mitad de la edad del padre de Marta, ¿qué edades tienen Marta, su padre y Pedro?

104 Unidad 4

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Más a fondo

63. Determina el valor de a para que estos dos sistemas de ecua-

A

ciones tengan la misma solución y halla el valor de esta:

57. Halla el valor de a en cada uno de estos sistemas de modo

6 x − 3 y = 6  2ax + ay = 3 

que sean compatibles indeterminados. x + y = 5   2 x + a y = 10

a)

c)

2 x + 3 y = 10   2a x + 15 y = 50

b) 3 x + 6 y = 12  x + 2 y = a 

x + y = −1  x − 2y = 3 

64. Dada la ecuación −a x + y = 2: a) Para tres valores diferentes de a, representa gráficamente las rectas resultantes en una sola gráfica. Observa y describe cómo cambia la recta en función de los valores de a.

58. El valor de x de una de las soluciones del sistema x+y =9   es el doble del valor de y. ¿De qué solución se 2 x + 2 y = 18 trata?

59. Juan ha participado en tres pruebas de natación y sabemos que: — En la tercera prueba ha conseguido 2 puntos más que en la primera. — La media aritmética de las puntuaciones obtenidas en la primera y en la segunda prueba es de 50.

b) Halla los valores de a para que la recta se corte con la recta y = 10. c)¿Cuáles deben ser los valores de a para que se corte con la recta y = 10 en el punto x = 1, y = 10? Representa gráficamente las dos rectas y comprueba que se cortan en dicho punto.

65. Comprueba si la resolución del siguiente sistema de ecuaciones está bien desarrollada y, en caso contrario, localiza los errores y resuélvelo correctamente.  1 − 3y −x  2    ( − x + 3)  1 ⋅ ( x − 3 y ) = −1 +  2 2 x − 2y + 1 =

— La media aritmética de las puntuaciones obtenidas en las tres pruebas es 49. Halla la puntuación que ha conseguido en cada una de las pruebas.

⇒

60. La suma de los radios de las circunferencias que limitan una  1 3 − y − x 2 2  ⇒ 1 3 1 3 x − y = −1 − x +  2 2 2 2

corona circular es 15 cm. Halla sus longitudes si estas difieren en 10π cm.

61. Determina el valor de a en cada uno de los sistemas de ecua-

x − 2y + 1 = ⇒

ciones siguientes para que sean compatibles determinados. a)

2 y = ax + 10   − y + 3 x + 5 = 0 

c)

a y + x −1= 3 − 4 y + 3x − 3 =

 0  0 

 3 1 y + 1 + = 0 2 2    1 1 3 1  x+ x− y =  2 2 2 2

x + x − 2y + ⇒

b) y = 2ax − 3   5 x − 2 y = 15 

62. Determina los valores de a y b para que este sistema de ecuaciones sea compatible indeterminado. ay − x + 1 = 2 x + 3by + 10   −2 y − ax + 5 = −bx + 2  

⇒

  1 3 1 3 y + = 0 2 x − y + = 0 2 2 2 2   ⇒ ⇒   ⇒   3 1 −2 x + 3 y − 1 = 0  x− y+ =0   2 2 5 1 ⇒− y+ =0⇒ y =5 2 2 −2 x + 3 ⋅ 5 − 1 = 0 ⇒ x = 7 2x −

Ecuaciones con dos incógnitas. Sistemas

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ACTIVIDADES

COMPETENCIAS BÁSICAS 1. En un parque zoológico, el cuidador de dos crías de lince, Lina y Linbe, ha descubierto que los cachorros se han comido los 100 g de pienso que contenía una caja. Para determinar cuál de los dos cachorros ha comido más pienso los pesa: Lina pesa 4,8 kg y Linbe, 3,9 kg. Precisamente los había pesado justo antes de que se comieran el pienso y recuerda que el peso de Lina era cuatro quintos del de Linbe. a) Para unificar las unidades, expresa la masa del pienso en unidades del S.I. b) Indica las incógnitas del problema y plantea el sistema de ecuaciones. c) ¿Cuál de las dos crías ha comido más pienso? d) ¿Cuánto pesaban Lina y Linbe antes de vaciar la caja?

2. La abuela de Paula va a comprar 5 tarrinas de helado y 10 briks de zumo, que le cuestan 27,50 €. La madre de Paula va a la misma tienda y compra 2 tarrinas de helado y 5 briks de zumo; paga con un billete de 20 € y le devuelven 7,50 €. a) Plantea un sistema de ecuaciones y calcula cuánto cuestan una tarrina de helado y un brik de zumo. b) Entra en la página http://www.quickmath.com/webMathematica3/quickmath/graphs/equations/advanced.jsp, efectúa la representación gráfica de las ecuaciones y comprueba que la solución del sistema corresponde al punto de corte de las dos rectas representadas.

3. INVESTIGA @ En el año 2010, la Conferencia Internacional de Supercomputación (ISC’10) celebró su vigesimoquinto aniversario y también  el centenario del nacimiento de Konrad Zuse, creador de la primera computadora electrónica programable, la Z3. Dicha conferencia tuvo lugar en Hamburgo con una asistencia de más de 140 expositores y más de 45 países, y se presentaron las mejores soluciones sobre computación de alto rendimiento, redes y almacenamiento, muchas de las cuales funcionan con GNU/ Linux. El proyecto TOP500 es un ranking de las 500 supercomputadoras más poderosas del mundo y cada año publica una nueva lista en la Conferencia Internacional de Supercomputación. Con la ayuda de los siguientes enlaces, responde a las preguntas planteadas: http://planetared.com/2010/06/cuales-son-los-ordenadores-mas-potentes-del-mundo/ http://es.wikipedia.org/wiki/Operaciones_de_punto_flotante_por_segundo http://es.wikipedia.org/wiki/Supercomputadora http://es.wikipedia.org/wiki/Konrad_Zuse http://www.top500.org/lists/2010/06 a) ¿Qué es una supercomputadora o superordenador? ¿Cuándo aparecieron las primeras? ¿Qué compañía las diseñó? b) ¿Qué características tenía la Z3? c) ¿Qué son las operaciones de punto flotante por segundo, FLOPS? Escribe sus múltiplos. d) Escribe cuáles son los cinco primeros equipos del ranking de supercomputación. Indica dónde se encuentran y qué empresas los fabrican. e) ¿En qué puesto del ranking está situada España? ¿Cuál es el superordenador más potente de España? ¿Dónde está ubicado?

106 Unidad 4

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balas.

5 En un juego hay unas fichas rotuladas con letras de valor desconocido y otras rotuladas con números. Halla el valor de la ficha rotulada con la letra x y el de la ficha rotulada con la letra y si se verifican las siguientes relaciones:

3 x − 2(y − 3) = 5

2 Escribe tres ecuaciones que tengan como solución x = −2, y = 3. Efectúa la comprobación.

3 Resuelve gráficamente los siguientes sistemas de ecuaciones: a)

2 x + y = 5  4 x − 2 y = 6

b) x − y = 2   x − 3 y = −6

+

x

+

x

y

–

x

=

2

=

y

+

y

6 La diferencia entre las áreas de dos rectángulos de bases

4 Resuelve algebraicamente estos sistemas de ecuaciones y represéntalos gráficamente: a) 2 x + 5 y = 20   x − y = 10

x

EVALUACIÓN

1 Halla tres soluciones de la ecuación siguiente y comprué-

5 m y 3 m es 24 m2 y la diferencia entre sus alturas es 4 m. Halla las alturas de dichos rectángulos.

7 La suma de dos números es 70. Si al mayor le restamos el

b) x + y = 1   y − x = −13

doble del menor, obtenemos 10. Halla estos dos números.

Demuestra tu ingenio El frasco de agua de colonia En una botica hay cinco frascos herméticos de cristal. Se sabe que cada uno contiene un líquido distinto. Con la única información de los rótulos, ¿sabrías deducir qué frasco contiene el agua de colonia?

CONTIENE AGUA O ALCOHOL

CONTIENE AGUA O COLONIA

CONTIENE AMONICO O ACETONA

CONTIENE ALCOHOL O AGUA

CONTIENE ACETONA O COLONIA

x

6

El rombo

2 y

z

5

1

En este rombo, los números de los círculos mayores corresponden a la suma numérica de los círculos menores adyacentes. ¿Qué valores pueden tomar x, y, z y t?

t

Ecuaciones con dos incógnitas. Sistemas

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