3. Ondas sonoras

3. ONDAS SONORAS Algunas de las ondas discutidas en el capítulo anterior están dentro de la categoría de ondas elásticas en las cuales la perturbación del medio, sea ésta una deformación, una presión ó un desplazamiento de un volumen, se propaga con una velocidad que depende de las propiedades elásticas del medio, Estas ondas elásticas son también llamadas ondas sonoras ó sonido. En lenguaje popular, el sonido está relacionado con la sensación auditiva. Siempre que una onda elástica que se propaga a través de un gas, líquido ó sólido alcanza nuestro oído, produce vibraciones en la membrana auditiva y el proceso se conoce como audición. Nuestra sistema nervioso produce sensación auditiva solo para frecuencias comprendidas entre 16-20.000 Hz. Fuera de estos límites, el sonido no es audible, aunque a las ondas elásticas correspondientes se les sigue llamando sonido. La física de las ondas elásticas de frecuencia por encima de 20 KHz se denomina ultrasónica. La ciencia que se ocupa de los métodos de generación, recepción y propagación del sonido se llama acústica. Utilizando el aparato físico-matemático desarrollado en capítulos anteriores para los fenómenos ondulatorios, nos centraremos en éste en el análisis de las ondas sonoras conceptuadas como ondas de presión en un gas.

3.1 Ondas sonoras A continuación estudiaremos las ondas elásticas que se producen en un gas debido a las variaciones de presión. El sonido es el ejemplo más importante de este tipo de ondas. Sean p0 y ρo la presión y la densidad del gas en condiciones de equilibrio, iguales en todo el volumen del mismo. Si la presión del gas se modifica, un volumen elemental Adx, figura 3.1, se pone en movimiento debido a una fuerza neta no nula. En consecuencia la sección A se desplaza una distancia ξ, al coincidir el desplazamiento con la dirección de propagación tendremos ondas longitudinales, y A´ se desplaza ξ´ de modo que el espesor del volumen Figura 3.1. Onda de presión en una columna de elemental después de la deformación es dx+(ξ´-ξ)=dx+dξ de forma análoga al caso gas de las ondas elásticas en una barra. Sin embargo, debido al cambio de volumen, la densidad del gas cambia porque éste es más compresible. La masa del volumen elemental en equilibrio es ρ0Adx y la masa del volumen perturbado es ρA(dx+ξ). El principio de conservación de la masa requiere que ambas masas sean iguales, es decir ρA( dx + dξ ) = ρ 0 Adx

[3.1]

y despejando ρ 3-1

3. Ondas sonoras

ρ=

ρ0 ∂ξ 1+ ∂x

[3.2]

Como en general ∂ξ ∂x es pequeño y utilizando el desarrollo en serie de potencias queda ρ = ρ 0 (1 −

∂ξ ) ∂x

[3.3]

La presión p está relacionada con la densidad ρ por la ecuación de estado

 ρ − ρ0   p = p0 + κ   ρ0 

[3.4]

donde κ recibe el nombre de módulo de compresibilidad. Usando [3.3] para eliminar ρ-ρ0 tenemos p = p0 − κ

∂ξ ∂x

[3.5]

ecuación que relaciona la presión en cualquier punto del gas con la deformación longitudinal en dicho punto. Necesitamos ahora la ecuación de movimiento del 2 volumen elemental; la masa es ρ0Adx y su aceleración ∂ ξ 2 . La fuerza neta ∂t resultante es (p-p´)A=-Adp con lo que la ecuación del movimiento es ∂p ∂ 2ξ = −ρ0 2 ∂x ∂t

[3.6]

que junto a la ecuación [3.5] conducen a ∂ 2ξ κ ∂ 2ξ = ∂t 2 ρ 0 ∂x 2

[3.7]

con lo que el desplazamiento cumple la ecuación de ondas y la velocidad del desplazamiento producido por la perturbación de la presión del gas es igual a

v=

3-2

κ ρ0

[3.8]

3. Ondas sonoras

γ RT De la teoría cinética de gases se deduce que κ ρ = donde γ es una 0 M constante que depende del gas que para el aire toma un valor de 1.4, R es la constante universal de los gases R=8,314 J/mol.K y M es la masa molar del gas que para el aire vale M=29x10-3 kg/mol. Por tanto la velocidad de propagación de las ondas sonoras únicamente depende de la T absoluta según la ecuación

v=

γRT M

[3.9]

Combinando las ecuaciones [3.5] y [3.6] podemos verificar que la presión p del gas también verifica la ecuación de ondas ∂ 2 p κ ∂2 p = ∂t 2 ρ 0 ∂x 2

[3.10]

Esta es la razón por la cual a las ondas elásticas en un gas se les llama ondas de presión. El sonido es simplemente una onda de presión que a su vez consistente en una onda elástica longitudinal en un gas. La velocidad de propagación del sonido en el aire a 0 ºC es aproximadamente igual a 332 m/s. Un razonamiento análogo al expuesto lleva a que la velocidad de las ondas sonoras en un líquido viene dada por la ecuación [3.11] donde Q es el módulo de compresibilidad del líquido y ρ0 su densidad. En el agua a 0ºC la velocidad de propagación es alrededor de 1500 m/s

v=

Q ρ0

[3.11]

3.1.1 Ondas sonoras armónicas: Una posible solución de las ecuaciones [3.7] ó [3.10] es una onda sonora armónica generada por ejemplo por un diapasón ó por un altavoz que vibra con movimiento armónico simple. La fuente vibrante hace que las moléculas de aire próximas oscilen con MAS alrededor de sus posiciones de equilibrio. Estas moléculas chocan con otras próximas haciéndolas oscilar, y por tanto propagando la onda sonora. El desplazamiento de las moléculas de su posición de equilibrio viene dado por ξ = ξ 0 sen (kx − wt)

[3.12]

Estos desplazamientos se verifican a lo largo de la dirección de movimiento de la onda y dan lugar a variaciones de densidad y presión de aire, compresiones y enrarecimientos, tal y como se muestra en la figura 3.2. Los gráficos muestra como 3-3

3. Ondas sonoras

la presión está desfasada 90º respecto al desplazamiento; allá donde el desplazamiento es cero el cambio de densidad, y por tanto presión, es un máximo ó un mínimo. La onda de presión viene dada, a partir de [3.5] y [3.12], por ∆p = ∆p0 sen ( kx − ωt − π 2 )

[3.13]

donde ∆p representa el cambio de presión y ∆p0 es el valor máximo de este cambio. A partir de las ecuaciones anteriores puede deducirse que el máximo cambio de presión ∆p0, está relacionada con la máxima amplitud de desplazamiento ξ o por la ecuación ∆p 0 = κξ 0 k = ρ 0ωvξ 0

[3.14]

En el lenguaje popular el sonido Figura 3.2. Onda sonora armónica mostrando: está relacionado con la sensación auditiva. a) desplazamiento de las moléculas de aire Siempre que una onda elástica que se respecto al equilibrio, b) y c) posiciones de moléculas antes y con la onda sonora, d) propaga a través de un gas, un líquido ó densidad del aire y e) cambio de presión un sólido alcance nuestro oído, produce proporcional a la densidad vibraciones en la membrana auditiva; estas vibraciones provocan una reacción del nervio auditivo y el proceso se conoce como audición. Nuestro sistema auditivo produce sensación solo para frecuencias comprendidas entre 16 Hz y 20.000 Hz recibiendo el nombre de ultrasonidos por encima de esta frecuencia.

3.2 Intensidad de las ondas sonoras En el capítulo 2 vimos como expresar la densidad de energía del movimiento ondulatorio en función de la amplitud del desplazamiento, ecuación [2.23]. Particularizando para ondas sonoras obtenemos que u=

∆p02 2v 2 ρ 0

[3.15]

y por tanto la intensidad de la onda sonora, que es igual a la densidad de energía multiplicada por la velocidad, será igual a

3-4

3. Ondas sonoras

I=

∆p02 2vρ 0

[3.16]

Recuerdese que por definición, la intensidad es la energía que atraviesa por segundo la unidad de superficie colocada de forma normal a la dirección de propagación y es medida en Wm-2. El producto densidad ρ0 por velocidad de propagación v recibe el nombre de impedancia ó resistencia acústica Z, midiéndose en ohmios acústicos Z = ρ 0v

[3.17]

de tal forma que la ecuación [3.14] queda igual a ξ0 =

∆ p0 ωZ

[3.18]

Evidentemente y según [3.17] la impedancia acústica depende del medio y así, por ejemplo es del orden de 4000 veces mayor en el agua que en el aire. Para una misma excitación ∆p0 recibida, al aumentar Z, la amplitud del desplazamiento ξ 0 se hace menor. 3.2.1 Intensidad de ondas esféricas en un fluido. Consideremos una onda de presión en un fluido homogéneo e isótropo. Observemos como mientras la onda esférica se propaga, figura 3.3, el frente de ondas se extiende continuamente creciendo con r2. Esto sugiere que la amplitud de la onda de presión debe disminuir a medida que la distancia a la fuente aumenta, ya que actúa sobre un área mayor. Este resultado está confirmado experimental y teóricamente y Figura 3.3. Onda de presión esférica arroja, si el fluido es isótropo, para la onda de presión la ecuación p − p0 =

1 f ( r − vt ) r

[3.19]

donde aparece el factor geométrico 1 r , que no aparecía en una onda plana, y que explica que la presión disminuye con la distancia a la fuente. La velocidad de propagación viene dada por la misma expresión obtenida para las ondas planas. Un caso particularmente interesante es el de una onda armónica esférica de presión expresada por 3-5

3. Ondas sonoras

∆p =

∆p0 sen( kr − ωt ) r

[3.20]

La amplitud de la onda de presión es ∆p 0 r y disminuye con la distancia a la fuente. Considerando este hecho calculemos la intensidad de la onda esférica. A partir de la ecuación [3.15] la densidad de energía viene dada por u=

∆p 02 1 ρ 0ω 2ξ 02 = 2 r2 2v 2 ρ 0 r 2

[3.21]

que disminuye con r2 . Este resultado es compatible con la conservación de la energía ya que si la energía que fluye a través de cada superficie esférica debe ser la misma, y el área de la esfera varía con r2 , esto implica que la densidad de energía debe variar con r-2. La intensidad de una onda esférica, promedio de energía que atraviesa la unidad de área en la unidad de tiempo, es igual a ∆p02 P I = vu = = 2 2vρ 0 r 4πr 2

[3.22]

con P = 2π∆p0 ρ v potencia media del foco igual a la energía emitida por el foco 0 2

sonoro por segundo y en todas las direcciones. Es decir, en una onda esférica la intensidad es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia a la fuente, resultado que encuentra muchas aplicaciones tanto en acústica como en óptica. 3.2.2 Absorción de ondas sonoras. Otros factores que motivan la disminución de la intensidad de las ondas sonoras al propagarse por un medio son la disipación de energía en forma de calor debido a la viscosidad del medio, ó la perdida de energía por difusión al aparecer fenómenos de reflexión de ondas en partículas en suspensión en el medio tales como nieve ó lluvia en el aire. Todos estos fenómenos provocan una atenuación de la intensidad de la onda según la ecuación I = I 0 exp( −αx)

[3.23]

donde α recibe el nombre de coeficiente de absorción. Para medios con un coeficiente de viscosidad η, el coeficiente de absorción α depende de la frecuencia f de la onda sonora de la forma 16π 2 f 2η α= 3ρv 3

3-6

[3.24]

3. Ondas sonoras

3.3 Ondas sonoras estacionarias Un tubo de organo es un ejemplo familiar de ondas estacionarias en columnas de aire donde al soplar a través de la boquilla se producen, para ciertas frecuencias naturales de resonancia, ondas sonoras estacionarias debido a la reflexión en el otro extremo. En un tubo de organo abierto, la presión en ambos extremos es igual a la presión atmosférica y no varía. Por tanto, existe un nodo de presión en los dos extremos del tubo que como vimos en el capítulo 2 corresponde a un antinodo de desplazamiento, como se muestra en la figura 3.4.a, al estar ambas ondas desplazadas 90º. Nuestras condiciones de contorno correspondientes a antinodos son ξ=máximo ó ∂ξ ∂x = 0 para x=0 y x=L. Introduciendo estas condiciones en la ecuación de ondas general de una onda armónica estacionaria ξ ( x, t ) = ( Asenkx + B cos kx ) senwt queda ∂ξ = k ( A cos kx − Bsenkx) senwt ∂x

[3.25]

Haciendo x=0 y x=L ∂ξ ( x = 0) = kAsenωt = 0 ∂x ∂ξ ( x = L) = −kBsenkLsenwt = 0 ∂x

∀t,

implica que A=0

∀t,

implica kL=nπ

y por tanto llegamos a λ=

2L n

[3.26]

y las frecuencias de las ondas estacionarias fn =

v ν  = n  = f 1 ,2 f 1 ,3 f 1 ,... λ  2L 

[3.27]

y por tanto las frecuencias posibles comprenden todos los armónicos correspondientes al tono fundamental de frecuencia f 1 = v 2 L . En la figura 3.4.a se muestran en líneas de trazos la distribución de amplitud para los tres primeros armónicos.

3-7

3. Ondas sonoras

Analicemos ahora el caso de un tubo de organo con el extremo opuesto al de la boquilla cerrado, figura 3.4.b. Ahora en el extremo cerrado debemos tener un nodo en el desplazamiento, ξ=0 para x=L. Aplicando estas condiciones de contorno obtenemos ξ ( L, t ) = B cos kLsenwt = 0

kL = ( 2n + 1)

∀t,

y esto implica coskL=0, es decir

π 4L (pasando a longitud de onda) λ = 2 2n + 1

[3.28]

con la frecuencia correspondiente f = ( 2n + 1)

v = f 1 ,3 f 1 ,5 f 1 ,.... 4L

[3.29]

Los modos de vibración son ahora los armónicos impares de fundamental v f 1 = 4 L . Por tanto, para longitudes iguales, la frecuencia fundamental de un tubo cerrado es la mitad de la de un tubo abierto.

(a)

(b)

Figura 3.4.a) Onda de desplazamiento estacionaria en una columna de aire abierta en uno de sus extremos. b) Onda de desplazamiento estacionaria en una columna de aire cerrada 3-8

3. Ondas sonoras

En general, los instrumentos musicales son mucho más complicados que un simple tubo. Esto provoca que , cuando por ejemplo un oboe y un clarinete tocan la misma nota, por ejemplo Sol, suenen de forma muy diferente. Ambas notas tienen el mismo tono, que es una sensación fisiológica de la altura de la nota, muy correlacionada con su frecuencia. Sin embargo, las notas difieren en lo que se denomina cualidad del tono ó timbre. La razón fundamental para la diferencia del timbre es que, aunque el oboe y el clarinete están produciendo vibraciones con la Figura 3.5. Ondas de presión para un diapasón, misma frecuencia fundamental, cada uno clarinete y oboe, todos con la misma frecuencia de ellos está también produciendo fundamental, 440 Hz, y la misma intensidad armónicos cuyas intensidades relativas aproximada dependen del instrumento y de la forma en que se toque. En la figura 3.5 se muestran los gráficos de las variaciones de presión en función del tiempo para un diapasón, un clarinete y un oboe que tocan la misma nota. La forma de onda para un diapasón es prácticamente una onda sinusoidal pura, lo cual no ocurre para los instrumentos. Las formas de onda pueden analizarse descomponiéndolas en los armónicos. Dicho análisis recibe el nombre de análisis armónico ó de Fourier. La figura 3.6 muestra una representación de las intensidades relativas de los armónicos de las formas de onda de la figura 3.5.

Figura 3.6. Intensidades relativas de los armónicos de las formas de onda de la figura anterior 3-9

3. Ondas sonoras

3.3.1 Ondas sonoras estacionarias en una caja. Analicemos ahora el caso de una onda sonora confinada en una caja rectangular de dimensiones Lx , Ly y Lz . Sabemos que la presión del aire dentro de la caja debe cumplir la ecuación de ondas

r ∂ 2 p (r , t ) r 2 2 = v ∇ p ( r , t) ∂t 2

[3.30]

y que las condiciones de contorno impuestas por el problema obligan a que el desplazamientos en las paredes de la caja sean cero, es decir, dado el desfase de π/2 entre desplazamiento y presión, los cambios de presión en las paredes deben ser máximos

∂p ∂x

x =0 x = Lx

∂p ∂y

=0

y =0 y = Ly

∂p ∂z

=0

z= 0 z = Lz

=0

[3.31]

Con estas condiciones de contorno, la solución a la ecuación de ondas en forma de onda sonora armónica estacionaria toma la forma

 n π   nyπ r p(r ,t ) = Ae−iωt cos x x  cos  Lx   Ly

 nπ  y  cos z z    Lz 

[3.32]

r con nx , ny y nz números enteros y donde las componentes del vector de ondas k son

r  n π n y π n zπ k = x , ,  L L Lz x y 

   

[3.33]

Utilizando la relación que liga frecuencia con vector de ondas, ω=vk, llegamos a que las frecuentas f permitidas dentro de la caja son aquella que cumplen la ecuación v f (n x , n y , nz ) = 2

 nx  L  x

2

  ny   nz  +   +   L    y   Lz 2

  

2

[3.34]

De nuevo llegamos a una ecuación que muestra que son solo posibles ciertas frecuencias de oscilación de las ondas sonoras dentro de la caja, denominadas frecuencias na turales de oscilación, y que dependen básicamente de las dimensiones de la caja y que están caracterizadas por tres números enteros (nx , ny , nz ). También se observa como estas frecuencias permitidas no son múltiplos unas

3-10

3. Ondas sonoras

de otras. El hecho de que las frecuencias naturales está n relacionadas armónicamente no es cierta en tres dimensiones. Las condiciones de contorno dadas por [3.31] consideran que la caja es perfectamente rígida, hecho que no se cumple en las cavidades reales donde es posible un cierto desplazamiento de las partículas de la pared respecto a su posición de equilibrio y caracterizado por un término de amortiguamiento. Este hecho conlleva un cierto relajamiento en las posibles frecuencias dentro de la caja que a continuación pasamos a estimar. Consideremos la existencia en la caja de una fuerza externa F0cosωt que provoca ondas sonoras armónicas, por ejemplo un altavoz, y que las paredes no son perfectamente rígidas existiendo un témino de disipación de energía. Si las paredes fuesen perfectamente rígidas, solo cuando la frecuencia de la fuerza externa coincidiese con una de las frecuencia naturales de la caja tendríamos resonancia y la onda sonora podría propagarse. Sin embargo, en las paredes de la caja y debido a esta fuerza externa, la presión responderá a un movimiento oscilatorio armónico con un término de amortiguamiento dado por la ecuación diferencial.

d2 p dp m 2 +b + ω02 p = F0 cos(wt ) dt dt

[3.35]

Este problema ya lo hemos tratado en el capítulo 1 y sabemos que en este caso tenemos una oscilación armónica forzada amortiguada con una solución en el estado estacionario dada por

F0 p(t ) =

[(ω

2

m

− ω 0 ) + 4γ ω 2 2

2

2

]

1

sen( wt + β )

[3.36]

2

Cada vez que el altavoz emita con una frecuencia ω coincidente con una de las frecuencias naturales ω0 tendremos resonancia en la caja y el sonido se propagará. Por otro lado, y dada la no rigidez de las paredes, en un intervalo alrededor de la frecuencia de resonancia es posible la existencia de ondas sonoras con una amplitud que decae según nos alejamos de la resonancia. Este intervalo viene caracterizado por la anchura ∆ω a mitad del pico de resonancia, situado en ω0 , y cumpliéndose que

ω0 =Q ∆ω [3.37]

∆ω = 2γ

3-11

3. Ondas sonoras

3.4 Propagación del sonido Las ondas sonoras pueden reflejarse y refractarse siguiendo las leyes generales que ya vimos en el capítulo anterior y dando lugar a fenómenos curiosos al propagarse en la atmósfera debidos al hecho de que el aire no está en reposo, ni su temperatura es constante. En otras palabras, el aire no puede considerarse un medio homogeneo. Todos estos fenómenos se explican teniendo en cuenta la ley de la refracción que pone de manifiesto que los rayos sonoros se curvan siempre hacia el medio en que es menor la velocidad de propagación. Fijemos la atención primeramente en lo que sucede cuando una onda sonora marcha a favor ó en contra del viento. Cabe pensar en un simple arrastre de las ondas sonoras por el viento, pero generalmente el efecto sobre el alcance del sonido es mucho más considerable de lo que el arrastre puede justificar. Ello se debe a que la velocidad del viento, en general, aumenta con la altura, y por consiguiente, si la onda avanza a favor de viento, figura 3.7.a, resulta que el rayo sonoro, normal a las superficies de onda esféricas, se curva hacia abajo adquiriendo una trayectoria descendente y aumentando su alcance. Un efecto contrario ocurre cuando la onda sonora va contra el viento, figura 3.7.b. Por otro lado, hemos demostrado que la velocidad de la onda sonora aumenta proporcionalmente a la raiz cuadrada de la temperatura. Por lo tanto, en la atmósfera donde, en general, la temperatura va disminuyendo con la altura ocurrira lo mismo con la velocidad de propagación del sonido y los rayos sonoros se desviarán ordinariamente hacia capas altas, figura 3.7.c. Los rayos sonoros ascendentes pueden encontrar inversiones térmicas, figura 3.7.d, en cuyo caso invierten su curvatura siendo devueltos hacia el suelo y justificando la existencia de amplias zonas de silencio entre el foco y el observador.

Figura 3.7. Refracción de una onda sonora propagándose en la atmósfera en diferentes situaciones: a) y b) a favor y en contra del viento, c) y d) con diferentes situaciones térmicas

3-12

3. Ondas sonoras

Al incidir la onda sonora sobre la superficie de limitación de dos medios vimos en el capítulo anterior como parte de la onda será reflejada y parte transmitida. El conocido fenómeno del eco es fácilmente explicado aplicando la reflexión de las ondas sonoras en las superficies de separación de medios. Debe tenerse en cuenta que el oido no separa sonidos recibidos con intervalos inferiores a 0,1 segundo, de modo que la mínima distancia a que debe estar colocado un obstáculo para dar lugar a la percepción del eco es l 2 ≈ vt = 333.0,1 y l ≈ 17m . En cuanto a la energía transmitida de la onda sonora, y siguiendo el razonamiento descrito en el apartado 2.9, los coeficientes de tranmisión y reflexión al incidir la onda sobre la superficie de separación de dos medios de impedancia acústica Z1 y Z2 vienen dados, para incidencia normal, por las ecuaciones T=

2 Z1 Z1 + Z 2

Z − Z2 R= 1 Z1 + Z 2

[3.38]

Debe recordarse que estos coeficientes relacionaban la amplitud incidente con la transmitida y la reflejada. Generalmente estamos más interesados en analizar las intensidades transmitidas y reflejadas que las amplitudes. Esto lleva a la definición de los factores de transmisión t, razón de la intensidad transmitida e incidente y reflexión r, razón de la intensidad reflejada e incidente, como t=

It Ii

I r= r Ii

[3.39]

Recordando que la intensidad se relaciona con la densidad de energía y amplitud según I = uv = 1 2 ρω 2 vξ 02 podemos escribir los factores de transmisión t y reflexión r en función de las impedancias acústicas de los medios Z1 y Z2 como

4s (1 + s) 2 4s r =1− (1 + s ) 2 t=

[3.40]

donde s es la razón de impedancias s = Z 2 Z . Por tanto si s es casí igual a la unidad 1 (Z2≈Z1), la energía incidente pasa casi integramente al segundo medio, mientras que 3-13

3. Ondas sonoras

si s es muy grande (Z2>>Z1) ó muy pequeño (Z2