Lección 1. Campo Electrostático en el vacío: Conceptos y resultados fundamentales
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3.3.- Cálculo del campo eléctrico mediante la Ley de Gauss La Ley de Gauss permite calcular de forma sencilla el campo eléctrico cuando trabajamos con distribuciones de carga que presentan una gran simetría. A continuación mostramos algunos ejemplos de este tipo de cálculos. Ejemplo 1. Cálculo del campo creado por una corteza esférica de radio R cargada homogéneamente con una carga total Q. El campo debido a una corteza esférica cargada se calcula fácilmente aplicando el Teorema de Gauss. El primer paso en este tipo de cálculos consiste en analizar cómo es la distribución de carga, para determinar el sentido del vector campo eléctrico cómo será la dependencia de su módulo con las coordenadas. Este análisis nos permitirá seleccionar una superficie arbitraria (superficie gaussiana) para la que nos sea cómodo aplicar el teorema de Gauss. En el caso que nos ocupa, la simetría del problema nos indica dos cosas: 1.- El campo sólo debe depender de la distancia al centro de la esfera (coordenada radial r) ya que tenemos simetría de revolución respecto a cualquier eje. 2.- El campo eléctrico debe estas necesariamente dirigido en sentido radial ya que es el único sentido compatible con la inexistencia de direcciones privilegiadas en el espacio (ya que, como hemos dicho, la esfera tiene simetría de revolución respecto a cualquier eje). Estas dos propiedades de la distribución, nos lleva a seleccionar, para determinar el campo, de la esfera cargada, una superficie gaussiana esférica concéntrica con la distribución. El motivo de es que a la hora de calcular el flujo el vector campo y el vector superficie serán paralelos y además, el módulo del campo será constante en toda la superficie gaussiana y podrá salir fuera de la integral. Otra propiedad de la distribución de carga problema es que nos divide el espacio en dos regiones el interior de la esfera cargada (es decir aque21ºllos puntos del espacio cuya distancia al centro de la esfera sea menor de que R) y el exterior (es decir aquellos puntos del espacio cuya distancia al centro de la esfera sea mayor de que R). Deberemos calcular el campo en las dos regiones para lo cual habremos de seleccionar superficies gaussianas que se adapten a cada región. Comenzaremos calculando el campo en el exterior de la distribución.
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a) Cálculo del campo en el exterior de la distribución (r ≥ R) En la figura se muestra la superficie gaussiana que utilizaremos para aplicar el teorema de gauss, una
superficie
esférica,
concéntrica
con
la
distribución de carga y de radio r ≥ R. Como hemos dicho, la simetría del problema nos lleva a concluir que en todos los puntos de esta superficie el campo es constante de forma que
r E
se cumplirá
Figura para el cálculo de campo en el exterior de una corteza cargada. Extraída de “Física” de P.A. Tipler
r r r r E = Erˆ ; dS = dSrˆ ⇒ E ⋅ dS = E (rˆ ⋅ rˆ )dS = EdS
con lo que
r r Q 2 E ∫S ⋅ dS = ∫S EdS = E ∫S dS = E 4πr = ε 0
[1.42]
De forma que el campo en el exterior de la esfera vendrá dado por:
r E=
Q rˆ; ∀r ≥ R 4πε 0 r 2
[1.43]
b) Cálculo del campo en el interior de la distribución (r < R) Para calcular el campo en el interior de esta distribución de carga utilizamos una superficie gaussiana esférica de radio r