LEY DE GAUSS 5.1 INTRODUCCION. El campo eléctrico producido por objetos cargados estáticos puede obtenerse por dos procedimientos equivalentes: mediante la ley de Coulomb o mediante la ley de Gauss, ley debida a Karl Friedrich Gauss (1777-1855) físico y matemático alemán que hizo muchas aportaciones a la física tanto teórica como experimental. En los dos capítulos anteriores se describió la ley de Coulomb y el potencial eléctrico, en este se presenta la ley de Gauss. La ley de Coulomb es una forma simple y directa de expresar la fuerza eléctrica . Por otro lado, la ley de Gauss es más sutil, más elegante y, a veces, más útil. La ley de Gauss requiere una sofisticación matemática mayor que la ley de Coulomb; pero, como recompensa, usándola se adquiere un conocimiento más profundo de la interacción eléctrica. La ley de Gauss se puede aplicar para evaluar el campo eléctrico si la distribución de carga es suficientemente simétrica. Como se vera más adelante, si el campo eléctrico se conoce, la ley de Gauss se puede utilizar para calcular la carga que lo produce. 5.5 EL FLUJO. La palabra flujo se deriva del latín fluxus, y éste de fluere, que significa fluir. Este concepto proviene de la teoría de fluidos, donde el flujo significa la rapidez con que un fluido pasa a través de una superficie imaginaria. Imaginémonos un tubo  que conduce agua a velocidad constante v ver figura 5.1. El volumen de agua que pasa por cualquier sección transversal A0 del tubo, por unidad de tiempo es:  A0 v dt dV    A0 v dt dt

figura 5.1 El mismo volumen sale de la superficie diagonal en el extremo del tubo. El flujo  de salida se debe a la componente de velocidad v . n . dV     Av . n  A v cos  A0 v dt Esta ultima ecuación se define como el flujo del campo de velocidades, denotado como   v  Av . n

5.1

El flujo de un campo vectorial involucra : (i) al campo; y (ii) a una superficie para la cual el flujo es evaluado. La superficie se representa mediante un vector   superficie dado como A  An . Para una superficie plana el vector superficie A tendrá un modulo A igual al área de la superficie, y como dirección un vector normal a la superficie. El vector superficie presenta una ambigüedad en su definición, ya que existen dos direcciones perpendiculares, una opuesta a la otra. Esto se puede resolver fácilmente cuando la superficie es cerrada. Por superficie cerrada se entiende como aquella superficie que encierra un volumen, como  en la misma figura 5.1. Siguiendo la costumbre, se escoge la dirección de A siempre saliendo hacia afuera del volumen encerrado. Esto significa que en la figura 5.1 la dirección en la cara de la derecha apunta como en ella se muestra, para la superficie de la izquierda apunta en la dirección contraria al campo de velocidades y para la otra superficie (cilíndrica) apunta saliendo en la dirección radial. 5.3 FLUJO ELECTRICO. Al igual que el flujo del campo de velocidades, el flujo para un campo eléctrico para una superficie plana A se define como:     E  AE . n  E . A 2

5.2

-1

Sus unidades según la ecuación 5.2 son N-m -C y dado que es un producto escalar, se trata de una magnitud escalar. El producto escalar tiene en cuenta la orientación de la superficie con respecto a la dirección del campo como se ve en la figura 4.2.

Figura 5.2

  En la figura 5.2 se observa que el flujo en (a) es positivo pues E y A son   paralelos, el flujo en (b) es negativo pues E y A son antiparalelos, el flujo en ( c)   es cero pues E y A son perpendiculares entre si y el flujo en (d) es EAcos menor que el generado en (a). El caso anterior tiene en cuenta campos uniformes y superficies planas. Cuando la superficie está curvada, como en la figura 5.3, o cuando el campo eléctrico varia de punto a punto de la superficie, el flujo se obtiene dividiendo la superficie en pequeños elementos de superficie, tan pequeños que se puedan considerar como planos, para que el campo eléctrico no varíe a lo largo de cada una de ellas.

figura 5.3 El flujo a través de la superficie total es la suma de las contribuciones individuales de flujo a través de cada una de los elementos de superficie. Si se hace tender al limite en donde cada elemento tiende a cero, el número de elementos tiende a infinito, la suma se convierte en una integral de superficie.     E  lim E   A Ai  0  i i  i



  E  dA 

Superficie

  E   ndA

5.3

sup erficie

Si la superficie es cerrada, la integral de superficie se indica usando el símbolo de integral cerrada y la ecuación de flujo eléctrico 5.3 queda:    E   E  ndA

5.4

s

El flujo total puede ser positivo, negativo o cero. Cuando es positivo, el flujo sale de la superficie y cuando es negativo, entra a la superficie. Es bueno anotar que la superficie cerrada para la cual se calcula el flujo es generalmente imaginaria o hipotética, que se conoce como superficie gaussiana. Ejemplo. 1 Determinar el flujo eléctrico que pasa a través de una caja cubica de lado a en un campo eléctrico uniforme E  E u x figura 5.4.  Como E y n son vectores constantes en cualquier lado, se calcula el flujo eléctrico a través de cada superficie y el resultado final es la suma de las seis integrales de superficie. El campo eléctrico en las caras z=y=0 y z=y=a es  perpendicular a los vectores        n  u y , n  u y , n  uz y n  uz . En esas caras, E  n  0 , siendo el flujo a través

de ellas igual a cero. Como los vectores normales apuntan hacia afuera del cubo, n  u x para la cara en x=a y n  u x en x=0. El flujo en la cara x=a es:    a  ( E  n)a 2  E  u x a 2  Ea 2

El flujo que pasa a través de la cara x=0 es

   0  ( E  n)a 2  E  ( u x )a 2   Ea 2

figura 5.4 Por lo tanto el flujo neto que pasa a través del cubo es: 

   E  ndA s

a

  0  Ea 2  (  Ea 2 )  0

5.5 LEY DE GAUSS. En esta sección se describe una relación general entre el flujo eléctrico neto a través de una superficie cerrada y la carga encerrada por la superficie. Se considera en primer lugar el campo creado por una carga puntual positiva q, como en la figura 5.5 (a), donde la carga está rodeada por una superficie cerrada  de forma arbitraria. En cada punto de la superficie, el campo E esta dirigido q radialmente hacia afuera, a partir de la carga q, y su magnitud es E  Ke 2 . r En los puntos de un área dA suficientemente pequeña de la superficie puede admitirse que el campo tiene magnitud y dirección constantes. En la figura 5.5(a)  E . n  E n que es la componente normal a la superficie, y es igual a E cos . El producto de En por el área dA es ( E cos ) dA  Ke q

dA cos r2

En la figura 5.5 (b), que es una ampliación de la figura 5.5(a), se observa que el producto dAcos es la proyección del área dA sobre un plano perpendicular a r, y dA cos que el cociente es igual al ángulo sólido d subtendido desde la carga q r2 por el área dA.

figura 5.5 Por lo tanto, ( E cos ) dA  Ke q

dA cos  Ke qd r2

5.5

En la figura 5.5 ( c) se hace pasar por el punto p una esfera de radio r de tal manera que, el ángulo sólido total subtendido debe ser el mismo que el de la figura 5.5 (a). Por lo tanto si se integra a ambos lados la ecuación 5.5 por una integral cerrada, el termino de la derecha

 d  4

.

Entonces, 

 E cos dA   E  n dA K q  d s

e

s



  4 K q  E  ndA e

s

5.6

La ecuación 5.6 establece que la integral de superficie es proporcional a la carga neta encerrada q, independientemente de la forma o tamaño de la superficie y de la posición de la carga q en el interior de aquella. Si se tienen varias cargas q1, q2, q3, …… dentro de la superficie arbitraria, el flujo eléctrico será la suma de los flujos producidos por cada carga. Haciendo 1 Ke  y q N   qi la ley de Gauss se puede formular como: 4 0 i

 q   N .  E   E  ndA s

0

5.7

5.5 APLICACIÓN DE LA LEY DE GAUSS. La ley de Gauss es útil para la obtención del campo eléctrico producido por distribuciones de carga que posean una alta simetría. Si la distribución de carga es muy simétrica, algunas características del campo como lo es su dirección se

pueden dar mediante una simple inspección de la simetría, sin necesidad de realizar cálculo alguno. En estos casos se puede: (a) seleccionar una superficie gaussiana que esté en consonancia con la simetría de la distribución de carga; (b)  determinar el flujo de dicha superficie en función del  campo eléctrico E ; y ( c) resolver la ecuación 5.7 para obtener el campo E . El primer paso es el más importante. Debe escogerse una superficie gaussiana para la que se pueda determinar el flujo eléctrico de forma inmediata. Estos pasos se ilustran con los ejemplo siguientes: Ejemplo 2. Una esfera aislante de radio a tiene una densidad de carga uniforme  y una carga positiva total Q. Hallar el campo eléctrico en r>a y ra el campo eléctrico es el creado por la carga total positiva Q, representado en la figura 5.6 a). Por razón de simetría, el campo es radial en todo punto y su valor será el mismo en todos los puntos situados a la misma distancia r del centro de la distribución. Por lo tanto, si se elige como superficie gaussiana una esfera concéntrica de radio r, en cualquier punto de ella E n=E=constante. Se tiene así:

 q   N  E   E  ndA

0

s

 Q   E n A  4 r 2 E   E   E  ndA

0

s

de donde E

Q 4  0 r 2

El campo eléctrico fuera de la esfera es idéntico al que produce una carga puntual Q en el centro de la esfera. Igual que en el ítem anterior, E es radial y su valor depende únicamente de la distancia desde el centro de la esfera. Por lo tanto, se utiliza superficies gaussianas esféricas con el mismo centro de la distribución. Para obtener el campo dentro de la distribución de carga, se toma r