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CAP´I TULO
3 Aplicaciones
´ 3.1 Area de una region ´ plana La integral definida de una funci´on f .x/ 0 y continua en un intervalo Œa; b mide el a´ rea bajo la gr´afica de y D f .x/, sobre el eje x y entre las rectas verticales en x D a y x D b. y
y D f .x/
a
Figura A
b
x
Se explica a continuaci´on como hallar el a´ rea de una regi´on comprendida entre las gr´aficas de dos funciones continuas, digamos f .x/ y g.x/ como en la siguiente figura: y
R
y D g.x/ y D f .x/ x
1. canek.azc.uam.mx: 20/ 3/ 2014
1
2
C´alculo integral
Usando la aditividad del a´ rea podemos resolver f´acilmente este problema. En primer lugar hace falta determinar los puntos en donde las curvas y D f .x/ & y D g.x/ se intersecan; supongamos que e´ stos son so´ lo dos puntos, x D a y x D b, las soluciones de la ecuaci´on f .x/ D g.x/. Entonces la regi´on bajo la curva y D f .x/, sobre el eje x y entre las rectas x D a y x D b se puede descomponer como la uni´on de dos regiones que no se traslapan, una de ellas R y la otra es la regi´on bajo y D g.x/, sobre el eje x y entre las verticales x D a y x D b como sigue: y
y
y D g.x/
R
>
y D g.x/
R
y D f .x/
y D f .x/
x a
x a
b
b
En t´erminos de a´ reas, esta descomposici´on se escribe as´ı: Z
a
b
f .x/ dx D A.R/ C
b
Z
g.x/ dx;
a
o equivalentemente si trasponemos la integral de g.x/ al otro lado de la igualdad: A.R/ D
Z
b
Z
f .x/ dx
a
b
g.x/ dx
a
o aun ´ mejor: A.R/ D
Z b a
Œf .x/
(3.1)
g.x/ dx
En esta sencilla fo´ rmula hay que tener cuidado en el orden en que se escriben las funciones en el integrando, siempre se resta la funci´on cuya gr´afica pasa por debajo de la funci´on cuya gr´afica est´a arriba. Otro detalle importante es el de los l´ımites de integraci´on, e´ stos se deben calcular resolviendo la ecuaci´on f .x/ D g.x/. Veamos algunos ejemplos: Ejemplo 3.1.1 Calcular el a´ rea de la regi´on contenida entre las gr´aficas de la par´abola y D x 2 y la recta y D x C 2. H Siempre es recomendable en este y todos los problemas similares comenzar haciendo una gr´afica de las funciones que acotan la regi´on cuya a´ rea deseamos calcular. y
y D x2
y DxC2
x a
2
b
´ 3.1 Area de una regi´on plana
3
Se puede ver en la figura que esta regi´on queda debajo de la recta y sobre la par´abola; una regi´on de este tipo se llama sector parab´olico. En la gr´afica elaborada se aprecia que el a´ rea de la regi´on es: ´ Area D
Z
a
b
.x C 2/dx
Z
a
b
x 2 dx D
Z
a
b
.x C 2
x 2/dx;
pues la recta est´a por encima de la par´abola. Sin embargo necesitamos encontrar los l´ımites de integraci´on a y b, lo que haremos resolviendo la ecuaci´on: f .x/ D g.x/ ) x 2 D x C 2; o equivalentemente, x 2 x 2 D 0, que se puede factorizar como .x 2/.x C 1/ D 0. Las soluciones son entonces x D 2, x D 1. Por consiguiente, el a´ rea se calcula con la integral: 2 Z 2 x x 3 2 ´ Area D Œx C 2 x 2 dx D C 2x D 2 3 1 1 .2/2 .2/3 . 1/2 . 1/3 D C 2.2/ C 2. 1/ D 2 3 2 3 1 1 9 8 1 C2 D8 3 D D 4:5 u2 : D2C4 3 2 3 2 2 2
p x Ejemplo 3.1.2 Determinar el a´ rea de la regi´on comprendida entre los arcos de las par´abolas y D y y D x, 8 x 0. p H Haciendo la gr´afica de las funciones que rodean a la region podemos notar que y D x es el borde x2 superior y y D es el inferior. 8 y yD
yD
x3 8
p x
x
Buscamos los extremos de integraci´on resolviendo la ecuaci´on: f .x/ D g.x/ )
p x2 x4 D x ) D x ) x 4 D 64xI 8 64
una ra´ız es evidentemente x D 0, y para encontrar otra soluci´on cancelamos x: p 3 x 3 D 64 ) x D 64 D 4: Vemos de este modo que los extremos de integraci´on son 0 y 4, as´ı que el a´ rea se calcula como 3 4 Z 4 p x2 x2 1 x 3 A.R/ D x dx D D 3 8 8 3 0 2 0
2 3 D .4/ 2 3
1 16 .4/3 D 24 3
64 8 D u2 : 24 3
3
4
C´alculo integral
Tanto en la manera como presentamos la fo´ rmula (3.1) para el c´alculo de a´ reas como en los ejemplos previos hemos utilizado funciones cuyas gr´aficas est´an por encima del eje x. Esta no es una condici´on importante en realidad, lo unico ´ que se necesita para aplicar la fo´ rmula (3.1) es tener bien calculados los limites de integraci´on y la posici´on de las gr´aficas de f .x/ y g.x/, cu´al est´a encima y cu´al debajo. Para que el lector aprecie esta observaci´on, supongamos que las gr´aficas de f .x/ y g.x/ se encuentran debajo del eje x: y
a
b
x
y D g.x/
R
y D f .x/
Si trasladamos verticalmente las gr´aficas de ambas funciones, sumando en ambas una constante C suficientemente grande tendr´ıamos la siguiente situaci´on: y
y D g.x/ C C
Q R
y D f .x/ C C
a
x
b
Q sin deformarse y as´ı su a´ rea no cambi´o. Adem´as, La regi´on R se traslad´o ´ıntegramente a R, Z b Q D A.R/ D A.R/ Œ.f .x/ C C / .g.x/ C C / dx D a
D
Z
b
Œf .x/
g.x/ dx:
a
Ejemplo 3.1.3 Determine el a´ rea de la regi´on limitada por el eje x y la par´abola y D x 2
2x.
H La gr´afica de la par´abola se presenta en la figura, la regi´on est´a debajo del eje x y sobre la gr´afica de y D x 2 2x. y
y D x2
2x
x 0
El eje x se puede describir como la gr´afica de y D 0, as´ı que en el integrando tendremos Œ0 y los limites de integraci´on se obtienen resolviendo: x2 4
2x D 0 ) x.x
2/ D 0 ) x D 0
&
x D 2:
.x 2
2x/ dx
´ 3.1 Area de una regi´on plana
5
Con esta informaci´on, el a´ rea que deseamos determinar es: A.R/ D
Z
2
Œ0
.x
2
2x/ dx D
0
D 22
23 D4 3
Z
2 2
.2x
x / dx D x
0
2
8 4 D u2 : 3 3
x 3 2 D 3 0
Generalizando un poco el ejemplo anterior, para cualquier funci´on y D g.x/ 0 en un intervalo Œa; b, el a´ rea bajo el eje x y sobre la gr´afica de y D g.x/ ser´a: y
a
b
x
y D g.x/
A.R/ D
Z
b
Œ0
a
g.x/ dx D
Z
b
g.x/ dx:
a
Esto se puede interpretar tambi´en como Z
a
b
g.x/ dx D A.R/;
de modo que la integral de la funci´on mide un a´ rea con signo, tomando como a´ rea positiva la que est´a sobre el eje x y como a´ rea negativa la que se encuentra bajo el eje x. Ejemplo 3.1.4 Interpretar la integral H
La gr´afica de y D x 3
Z 2
1
.x 3
x/ dx como un a´ rea con signo.
x se presenta en la siguiente figura: y
1 1
2
x
5
6
C´alculo integral
Como se trata de una funci´on impar, la gr´afica es sim´etrica con respecto al origen. Notemos que la parte de la curva en Œ 1; 0 es sim´etrica con la parte en Œ0; 1, as´ı que el a´ rea que encierran junto con el eje x ambos tramos son iguales en magnitud, pero de signo contrario. En realidad, Z
1
.x 3
x/ dx D 0;
1
Z 2
como se puede ver evaluando directamente. Podemos concluir que .x 3 x/ dx tiene el valor del a´ rea 1 bajo la curva y sobre el eje x entre x D 1 y x D 2. Comprobamos esto calculando ambas integrales: Z
2
Z
2
.x 3 1
x/ dx D
x4 4
x2 2
2 4 D2 4 1
x/ dx D
x4 4
x2 2
2 4 D2 4 1
y
1
.x
3
22 2
22 2
. 1/4 4
14 4
12 2
. 1/2 2
D4
D4
2
2
1 4
1 2
1 4
D
1 2
D
9 4
9 : 4
Podemos explotar el ejemplo anterior un poco m´as para introducir una idea sobre lo que se debe hacer cuando hay varias intersecciones entre las curvas que limitan a la regi´on. Ejemplo 3.1.5 Calcular el a´ rea de la regi´on encerrada entre la gr´afica de la funci´on y D x 3 x D 1 hasta x D 2.
x y el eje x, desde
H No hay necesidad de graficar esta vez, pues la gr´afica de la funci´on es la misma del ejemplo anterior. Lo que cambia en el c´alculo y resultado que haremos ahora se debe a que buscamos un a´ rea, no la integral solamente; en el caso presente no se cancelan las a´ reas de 1 a 0 y de 0 a 1, pues la integral es un a´ rea con signo, pero el a´ rea siempre es positiva. Dicho lo anterior, calculamos el a´ rea pedida integrando en tres tramos, como sigue: ´ Area D
Z
0
Œ.x 3 1
x/
0 dx C
Z
0
1
Œ0
.x 3
x/ dx C
Z
2
Œ.x 3
x/
0 dxI
1
El 0 en los integrandos de la fo´ rmula anterior representa al eje x: cuando la funci´on y D x 3 x es > 0, restamos 0, y cuando y D x 3 x < 0 entonces al 0 le restamos la funci´on. Simplificando y haciendo los c´alculos en la fo´ rmula, obtenemos ´ Area D D D
4 4 x 4 x 2 0 x x 2 1 x C C C 4 2 1 4 2 0 4 4 4 4 2 2 . 1/ . 1/ 1 1 2 C C C 4 2 4 2 4 1 1 1 1 16 4 1 C C 4 2 2 4 4 2 4
x 2 2 D 2 1 22 14 12 D 2 4 2 1 3 11 D C2D : 2 4 4
Este resultado difiere del ejemplo anterior en que las a´ reas de los sectores de 1 a 0 y de 0 a 1 en vez de 1 cancelarse se sumaron; n´otese que ambas son iguales a , por la simetr´ıa de la funci´on. 4 Podemos generalizar la idea del ejemplo anterior como sigue: si las funciones y D f .x/, y D g.x/ tienen m´as de 2 intersecciones, entonces el a´ rea limitada por sus gr´aficas se obtiene integrando sobre cada intervalo entre dos cruces de las gr´aficas a f .x/ g.x/ o bien g.x/ f .x/, dependiendo de cu´al de ellas queda por encima y cu´al por debajo en dicho intervalo. Por ejemplo, si tenemos la siguiente gr´afica: 6
´ 3.1 Area de una regi´on plana
7 y
b
y D g.x/
b
y D f .x/
b
x c
a
b
Entonces el a´ rea sombreada es A.R/ D
Z
b
.f .x/
a
g.x// dx C
Z
a
.g.x/
f .x// dx:
c
Por comodidad, para abreviar en la escritura de la fo´ rmula y no dar muchas explicaciones podemos usar la funci´on valor absoluto: recordemos que ( u; si u 0 juj D u; si u < 0 as´ı que al aplicar esta funci´on a la diferencia f .x/ g.x/ se tiene: ( f .x/ g.x/; si f .x/ g.x/ 0 j f .x/ g.x/ j D .f .x/ g.x//; si f .x/ g.x/ < 0 ( f .x/ g.x/; si f .x/ g.x/ D g.x/ f .x/; si f .x/ < g.x/ y as´ı escribiremos la fo´ rmula para el caso en que f .x/ y g.x/ tengan varias intersecciones a1 < a2 < a3 < : : : < an como sigue: y
b b
b
b
b
b y D g.x/
b
y D f .x/ x
a1
a2
a3
´ Area.R/ D
a4 a5
Z
a6
an
an
a1
j f .x/
g.x/ j dx:
La fo´ rmula se ve muy simple, pero la integral del lado derecho se debe partir en una suma de integrales Z a2 Z a3 Z an C CC a1
con el integrando ˙.f .x/
a2
an
1
g.x//, con el signo apropiado. 7
8
C´alculo integral
Ejemplo 3.1.6 Determinar el a´ rea de la regi´on limitada por las gr´aficas de las funciones f .x/ D x 4 H
4x 2
g.x/ D 2x 2
y
8:
La gr´afica de ambas funciones y la regi´on entre ellas se muestra en la figura. y
y D x4
4x 2
y D 2x 2 2 b
p
p 2
2
b
b 2
8
x
b
Las intersecciones de las gr´aficas se determinan resolviendo f .x/ D g.x/, esto es, x4
4x 2 D 2x 2
8 ) x 2.x 2 ) x
2
4/ D 2.x 2 o bien
) x D ˙2
x2 D 2 ) p x D ˙ 2I
o bien
4D0
4/ )
p Los correspondientes valores de las ordenadas son p 0 para x p D ˙2 y 4 cuando x D ˙ 2, es decir, los puntos de intersecci´on de las gr´aficas son . 2; 0/; . 2; 4/; . 2; 4/ y .2; 0/. p p En los intervalos 2 x 2 y 2 x 2 la gr´ a fica de f .x/ queda por debajo de la de g.x/, y en el p p intervalo 2 x 2 sucede lo contrario. En consecuencia, el a´ rea se calcula como ´ Area D
8
D
Z
D
Z
D
Z
D
Z
p
2 2
j f .x/
2
.g.x/ 2
p
p
2
8/
.x
4
Z
Πx C 6x x5 C 2x 3 5
2
p
.f .x/ 2
4x / dx C
8 dx C
8x
p 2
2
2 4
2
f .x// dx C
2
Œ.2x 2
g.x/ j dx D
p 2
2
C
Z
p 2 p
Œx 2
x5 5
Z 4
g.x// dx C
p 2
p 2
Œ.x
4
2
Z
p
2
4x /
2
.2x
6x C 8 dx C 3
2x C 8x
p
2
p
2
.g.x/ 2
Z
C
2
f .x// dx D 8/ dx C
2
p
2
Πx 4 C 6x 2 x5 C 2x 3 5
Z
2
p Œ.2x 2
2
8/
8 dx D 2 8x p D 2
.x 4
4x 2 / dx D
´ 3.1 Area de una regi´on plana ! p p 3 p . 2/5 . 2/5 3 D C 2. 2/ 8. 2/ C 2. 2/ 8. 2/ C 2. 2/ C 8 2 5 5 5 ! ! p p 5 p 3 p 3 p p . 2/ 25 . 2/5 3 2. C 2.2/ 8.2/ C 2. 2/ 2/ C 8. 2/ C 8 2 D 5 5 5 ! ! ! p p p p p p p p p 4 2 32 4 2 4 2 C D 4 2C8 2 16 1 6 C 4 2C8 2 C4 2 8 2 C 5 5 5 5 ! p p p 32 4 2 C 1 6 1 6 C4 2 8 2 D C 5 5 p p p ! p ! p 24 2 32 24 2 24 2 32 24 2 96 2 64 C D : D 5 5 5 5 5 5 5 5 .
p
9
2/5
p
3
p
!
N´otese que los c´alculos anteriores pudieron haberse simplificado de haber usado la paridad y simetr´ıa de las gr´aficas. En realidad habr´ıa bastado con calcular Z p2 Z 2 a´ rea D 2 Œx 4 6x 2 C 8 dx C 2 p Œ x 4 C 6x 2 8 dx: 0
2
para obtener el mismo resultado. Ejercicios 3.1.1 1. Determinar el a´ rea delimitada por la gr´afica de las funciones f .x/ D 4x.1 2. Determinar el a´ rea delimitada por la gr´afica de las funciones f .x/ D 3.x
x/ y g.x/ D 4x 1/.x
2/.x
4.
3/ y el eje x.
3. Determinar el a´ rea delimitada por la gr´afica de las funciones f .x/ D x 3 y g.x/ D x. 4. Determinar el a´ rea delimitada por la gr´afica de las funciones f .x/ D j x j y g.x/ D 5. Determinar el a´ rea delimitada por la gr´afica de las funciones f .x/ D x 3
x2 . 2 3
4x y g.x/ D x 2 .
6. Determinar el a´ rea delimitada por la gr´afica de las funciones g.x/ D sen 2x y h.x/ D sen x en el intervalo Œ0; 2 7. Calcular el a´ rea de la regi´on delimitada por la gr´afica de la curva y D e x y las rectas y D 10 & x D 0. 8. Calcular el a´ rea de la regi´on delimitada por la gr´afica de las curvas y D e x & y D e 9. Encontrar el a´ rea de la regi´on delimitada por la gr´afica de la curva y D xe x D 1. 10. Realice el bosquejo de la regi´on delimitada por las curvas y D cos.x/ & y D 2 Œ0; 2 . Calcular el a´ rea de dicha regi´on.
x2
x
y la recta y D 4.
y las rectas y D 0 & cos.x/ en el intervalo
11. En el plano se representa el bosquejo de la gr´afica de la funci´on impar f .x/. El a´ rea de todas las regiones sombreadas es de 16u2 . y
2
2
7 x
7
2
2
9
10
C´alculo integral Calcular: Z 2 f .x/ dx a. b.
Z
c.
7 7
d.
f .x/ dx 7
Z Z
7
e.
f .x/ dx 2 0
2
Z
f .x/ dx
0
f.
f .x/ dx 7
Z
7
f .x/ dx
0
12. Considerar el bosquejo de la gr´afica de la funci´on par h.x/ que se muestra a continuaci´on: y
x 10
4
2
10
Obtener las siguientes integrales si: Z a.
Z
10 10
h.x/ dx D 28
10
c.
h.x/ dx
0
b.
Z
10
d.
h.x/ dx
4
Z Z
&
Z
0 4
h.x/ dx D 6:
10
e.
h.x/ dx 4 4
Z
4
h.x/ dx 10
h.x/ dx 4
13. Dado el bosquejo de la gr´afica de la funci´on por partes g.x/: g.x/
x 7
5
3
5
8
10
Considerar que: Z Calcular:
10
5 3
g.x/ dx D 4;
Z
0
3
g.x/ dx D 9
&
Z
10 7
g.x/ dx D 45:
´ 3.1 Area de una regi´on plana
a. b.
Z Z
11
3
c.
g.x/ dx 7 5
Z
5
8
d.
g.x/ dx 3
Z
5
Z
e.
g.x/ dx
0
3 7
g.x/ dx C
Z
8
g.x/ dx C
Z
10
g.x/ dx
5
g.x/ dx
10
14. Considerar el bosquejo de la gr´afica de la funci´on impar por partes h.x/ que se muestra a continuaci´on. h.x/
c
a
b
x a
c
b
Obtener: a. b. c.
Z
Z0
c
h.x/ dx C a
h.x/ dx C
c a
Z
Z
h.x/ dx
0
a
Zb a
Z
h.x/ dx C
d.
h.x/ dx.
e.
h.x/ dx C
Z
Z
c
h.x/ dx C
a
c
h.x/ dx.
b 0
a
b
Z
b
Z
h.x/ dx C
b
a
Z
c
h.x/ dx. a
Z
b
c
h.x/ dx C
Z
c
h.x/ dx. b
h.x/ dx.
0
15. g.x/
4
4
x
3
El bosquejo presentado es de la gr´afica de la funci´on impar g.x/. El a´ rea de la regi´on sombreada es de 18u2 . Calcular las siguientes integrales: a.
Z
0
g.x/ dx 4
b.
Z
0
4
g.x/ dx
c.
Z
4
g.x/ dx 4
d.
Z
4
g.x/ dx
0
16. 11
12
C´alculo integral g.x/
3
x
El plano muestra el bosquejo de la gr´afica de la funci´on impar f .x/. El a´ rea de la regi´on sombreada es de 18u2 . Calcular las siguientes integrales: a.
Z
3
b.
f .x/ dx
0
3
Z
c.
f .x/ dx
0
Z
3
d.
f .x/ dx 3
Z
0
f .x/ dx 3
17. En el plano se presenta el bosquejo de la gr´afica de la funci´on g.x/. El a´ rea de todas las regiones sombreadas es de 13u2. g.x/ 3
2
4
6
x
5
3
Calcular: Z 5 a. g.x/ dx
c.
0
b.
Z
4
6
g.x/ dx
d.
Z Z
2
6
g.x/ dx
e.
5 6
Z
2
g.x/ dx
g.
0
g.x/ dx
f.
Z
Z
4
g.x/ dx
0
2
g.x/ dx 5
h.
Z
5
g.x/ dx
4
18. En el siguiente plano se muestra el bosquejo de la gr´afica de la funci´on par h.x/. El a´ rea de la regi´on sombreada es de 16. C 2/u2 . 12
´ 3.1 Area de una regi´on plana
13 g.x/ 4
8
4
4
8
x
4
Obtener el resultado de las siguientes integrales: a.
Z
8
d.
h.x/ dx
4
b. c.
Z
4
e.
h.x/ dx 4 4
Z
f.
h.x/ dx
0
Z Z Z
4
g.
h.x/ dx 8 8
Z
4
h.x/ dx
0
h.
h.x/ dx 8 8
i.
h.x/ dx 4
Z Z
8
h.x/ dx 4 8
h.x/ dx
0
19. El a´ rea de las regiones sombreadas es de 15u2 y . 3; 2/ b
x 5
3
1
3
5
6
Obtener el resultado de las siguientes integrales: a. b.
Z Z
1
c.
g.x/ dx 5 5
Z
6
e.
g.x/ dx
1
d.
g.x/ dx
3
Z
1
f.
g.x/ dx
1
Z Z
5
g.x/ dx 3 6
g.x/ dx 5
20. Considerando la gr´afica de la semi-circunferencia c.x/, calcular las siguientes integrales y 10
a.
Z
10
c.x/ dx 2
b.
Z
b2
x
6
c.x/ dx 2
c.
Z
6
10
c.x/ dx
d.
Z
6
c.x/ dx 10
21. Considerando el bosquejo de la gr´afica de una circunferencia f .x/ con un radio de 4u, 13
14
C´alculo integral f .x/
b
x
3
calcular las siguientes integrales: a.
14
Z
3
f .x/ dx 1
b.
Z
7
f .x/ dx 1
c.
Z
3
7
f .x/ dx
d.
Z
7
3
f .x/ dx