Ley de Gauss
Objetivo: • Hasta ahora, hemos considerado cargas puntuales ¿Cómo podemos tratar distribuciones más complicadas, por ejemplo, el campo de un alambre cargado, una esfera cargada, o un anillo cargado? • Hay dos métodos: Método 1: Divide la distribución en elementos infinitesimales dE e intégralos para obtener el campo eléctrico total Método 2: Si hay alguna simetría especial de la distribución, utiliza la ley de Gauss para obtener el campo

Ley de Gauss El flujo eléctrico a través de una superficie cerrada es proporcional a la carga neta encerrada por la superficie 17-ene-13

Tema VIII. Electrostática

Primero definimos el concepto de flujo

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Flujo de agua
Imaginemos que ponemos un anillo de área A perpendicular a una corriente de agua que mana con velocidad v
El producto del área por la velocidad, Av, da el volumen de agua que pasa a través del anillo por unidad de tiempo • Las unidades son m3/s


Si se inclina el anillo un ángulo θ, entonces el área proyectada es Acos θ, y el volumen de agua por unidad de tiempo que fluye a través del anillo es Av cos θ.

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Flujo eléctrico (1)
A la cantidad de agua que fluye a través del anillo, la llamamos flujo de agua Flux Φ = Av cosθ
Podemos hacer una analogía con las líneas de un campo eléctrico constante y una corriente fluida de agua

r E

θ A


El flujo eléctrico es la densidad de líneas de campo que atraviesan un área A

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Flujo eléctrico (2)
Consideremos un campo eléctrico constante E que pasa a través de un área dada dA: dΦ=E•dA=EdAcos θ El ángulo θ es el ángulo entre el vector de campo eléctrico y el vector área La densidad de vectores de campo eléctrico que pasan a través de un área dada A se llama flujo eléctrico

Φ = EAcosθ = E• A 17-ene-13

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Surfaces and Normal Vectors For a given surface, we define r the normal vector A, which points normal to the surface and has length A

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Flujo eléctrico para una superficie cerrada
Supongamos un campo eléctrico y una superficie cerrada, en lugar de la superficie abierta asociada con nuestra analogía del anillo En este caso de superficie cerrada, el flujo total eléctrico a través de la superficie viene dado por una integral sobre la r r superficie cerrada Φ = ∫∫ E ⋅ dA Los vectores dA siempre señalan hacia afuera de la superficie cerrada

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Ley de Gauss (1)
(named for German mathematician and scientist Johann Carl Friedrich Gauss, 1777-1855) states
Vamos a imaginar que tenemos una caja en forma de cubo Se supone que esta caja se construye de un material que no afecta a los campos eléctricos Si llevamos una carga positiva a cualquier superficie de la caja, la carga no siente fuerza

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Ley de Gauss (2)
Ahora ponemos una carga positiva dentro de la caja y llevamos una carga de prueba positiva hasta la superficie de la caja La carga de prueba positiva siente una fuerza hacia fuera debido a la carga positiva dentro del cubo Ahora ponemos una carga negativa dentro de la caja y llevamos la carga de prueba positiva hasta la superficie de la caja La carga de prueba positiva siente una fuerza hacia dentro debido a la carga negativa dentro del cubo Las líneas de campo eléctrico parecen salir de la caja que contiene la carga positiva y entrar en la caja que contiene la carga negativa 17-ene-13

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Ley de Gauss (3)
Ahora imaginemos una caja vacía en un campo eléctrico uniforme Si llevamos la carga de prueba positiva hasta el lado 1 lado, siente una fuerza hacia dentro y si llevamos la carga de prueba positiva hasta el lado 2, siente una fuerza hacia fuera El campo eléctrico es paralelo a los otros cuatro lados, por lo que la carga de prueba positiva no siente ninguna fuerza cuando es llevado hasta esos lados Cuando había una carga dentro de la caja, las líneas de campo eléctrico parecían fluir hacia dentro o hacia afuera de la caja Cuando no hay ninguna carga en la caja, el flujo neto de campo eléctrico entrando en la caja es el mismo que el flujo neto saliendo de la caja 17-ene-13

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Ley de Gauss (4)
Formulación: el flujo del campo eléctrico a través de S es proporcional a la carga neta encerrada por S

Φ=

q

ε0

∫∫

r r q E ⋅ dA =

ε0


Φ es el flujo eléctrico neto y
q es la carga dentro de una superficie cerrada S • Llamamos a esta superficie superficie Gaussiana • Esta superficie puede ser nuestra caja • Esta superficie puede ser cualquier superficie cerrada


Por lo general, elegimos una superficie cerrada que posee simetrías relacionadas con el problema que estamos tratando de estudiar 17-ene-13

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La ley de Gauss y la ley de Coulomb son equivalentes (1)
Vamos a obtener la ley de Coulomb a partir de la Ley de Gauss Partimos de una carga puntual q Construimos una superficie esférica con radio r alrededor de esta carga
Esta es nuestra superficie Gaussiana

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La ley de Gauss y la ley de Coulomb (2)
El campo eléctrico de una carga puntual es radial y, por lo tanto, es perpendicular a la superficie gaussiana en todo punto


El campo eléctrico tiene la misma magnitud en cualquier punto de la superficie

∫∫

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r r E ⋅ dA =

∫∫ EdA = E∫∫∫∫dAdA = ε0 q r r E ⋅ dA = ε q 0 ∫∫ Tema VIII. Electrostática

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La ley de Gauss y la ley de Coulomb(3)
Ahora nos queda una integral simple en una superficie esférica

A=

2 dA = 4 π r ∫∫


Según la ley de Gauss

ε 0 E (4π r 2 )= q


Lo cual da

q

q E= = 2 4πε 0 r 4πε 0 r 2

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1

⇒

q E=k 2 r

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Apantallamiento (blindaje) blindaje)
Una interesante aplicación de la ley de Gauss:
El campo eléctrico en el interior de un conductor cargado es cero
Piensa en ello físicamente ... Los electrones de conducción se mueven en respuesta a cualquier campo eléctrico Así, el exceso de carga se moverá a la superficie del conductor Así que para cualquier superficie gaussiana en el interior del conductor – que no encierra ninguna carga - el flujo es 0 Esto implica que el campo eléctrico es cero dentro del conductor

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Apantallamiento:: Ilustración Apantallamiento
Sea un conductor hueco. Añadimos carga al conductor La carga se moverá hacia la superficie externa. Podemos definir una superficie gaussiana que encierra carga cero
El flujo es 0
El campo eléctrico dentro del conductor es cero!

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Ley de Gauss para diferentes distribuciones de carga
Hemos aplicado la ley de Gauss a una carga puntual y obtuvimos la ley de Coulomb Ahora echemos un vistazo a distribuciones más complicadas de carga pero con alguna simetría y calculemos el campo eléctrico resultante Vamos a utilizar una "densidad de carga" para describir la distribución de la carga Esta densidad de carga será diferente dependiendo de la geometría Symbol

λ σ ρ

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Name Charge per length Charge per area Charge per volume

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Unit C/m C/m2 C/m3 56

Simetría cilíndrica (1)
Calculamos el campo eléctrico creado por un hilo conductor largo con densidad lineal de carga λ utilizando la Ley de Gauss

∫∫

r r q E ⋅ dA =

ε0


Comenzamos suponiendo una superficie gaussiana en forma de cilindro recto con un radio r y longitud L. El eje del cilindro se superpone al alambre. 17-ene-13

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Simetría cilíndrica (2)
Por simetría podemos ver que el campo eléctrico, se extiende radialmente desde el alambre
Cómo? • Si rotamos el alambre a lo largo de su eje, el campo eléctrico debería verse igual • Simetría cilíndrica

• Si imaginamos un alambre muy largo, El campo eléctrico no puede ser diferente en un punto si se desliza el alambre, según su eje Simetría traslacional


Así, nuestra suposición de un cilindro recto como una superficie gaussiana es perfectamente adecuada para el cálculo del campo eléctrico usando la ley de Gauss

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Simetría cilíndrica (3)
El flujo eléctrico a través de los extremos del cilindro es cero debido a que el campo eléctrico es siempre paralelo a los extremos
El campo eléctrico es siempre perpendicular a la pared del r r cilindro, de manera que

Φ=

∫∫ E ⋅ dA = EA = E ( 2π rL )

= q / ε0 = λL / ε0

(Gauss)


… y el campo es

λ 2k λ E= = 2πε 0 r r
En cualquier punto de la superficie lateral del cilindro (que constituye la superficie gaussiana) 17-ene-13

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Simetría plana (1)
Supongamos que tenemos una hoja infinita no conductora de carga positiva

σ
La densidad de carga es, en este caso, la carga por unidad de área, σ
De la simetría, podemos ver que el campo eléctrico será perpendicular a la superficie de la lámina

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Simetría plana (2) Para calcular el campo eléctrico usando la ley de Gauss, se asume una superficie Gaussiana en la forma de un cilindro recto con sección transversal A y altura 2r, que corta la superficie cargada con su eje colocado normal a ella Debido a que E es perpendicular al plano en todo punto, el campo eléctrico será paralelo a la pared lateral del cilindro y perpendicular a las bases del r r cilindro. Φ = ∫∫ E ⋅ dA = EA + EA Usando la ley de Gauss

= q / ε0 = σ A / ε0

(Gauss)

…así para un plano infinito no conductor uniformemente con densidad de carga σ es

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cargado

σ E= 2ε 0 61

Simetría plana, plana, Conductor (1)
Sea una placa fina conductora infinita (placa de metal) con carga positiva


La "densidad de carga", en este caso también es la carga por unidad de área, σ, pero en ambas superficies;
Hay igual densidad de carga a ambos lados
De la simetría, podemos ver que el campo eléctrico será perpendicular a la superficie de la lámina
Dentro el campo es nulo. 17-ene-13

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Simetría plana, plana, Conductor (2)
Para calcular el campo eléctrico usando la ley de Gauss, se elige una superficie gaussiana en forma de cilindro recto con sección transversal A y longitud L, que corta el plano perpendicularmente El campo en el interior del conductor es cero de modo que la base interior del cilindro no contribuye a la integral A
Debido a que E es perpendicular al plano en todo punto, E será paralelo a la superficie lateral del cilindro y perpendicular a la base del cilindro que está fuera del conductor. σA
Usando la ley de Gauss EA = σ
… por lo que el campo eléctrico ε0 E = de un plano conductor infinito con densidad ε0 superficial de carga σ es Tema VIII. Electrostática 17-ene-13

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Comparación (1)
Plano infinito de carga


Placa conductora

σ E= 2ε 0

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σ E= ε0

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Comparación (2)

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Simetría esférica: esférica: capa (1)
Campo eléctrico creado por una capa esférica cargada uniformemente .
La carga total es q y el radio rS , es la capa grisácea.
Consideramos dos regiones fuera y dentro y en cada una definimos una superficie esférica gaussiana concéntrica con la que está cargada • fuera r > rS , gaussiana azul • dentro r < rS , gaussiana roja

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Simetría esférica : capa (2)
Empezamos con la superficie gaussiana fuera de la capa esférica de carga, r > rS superficie esférica azul
Con argumentos de simetría, conocemos que E será radial • Si rotamos la esfera, E no va a cambiar • Simetría esférica


Aplicando Gauss

Flux =

∫∫

r r E ⋅ dA = E ( 4π r 2 )

= q / ε0

(Gauss)


… y la magnitud del campo E es

1

q E= 2 4πε 0 r 17-ene-13

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Simetría esférica : capa (3)
Consideremos ahora la superficie gaussiana dentro de la capa esférica cargada r < rS superficie esférica roja
La carga encerrada es cero, así que

Flux = EA = 0


Y por tanto

E=0

en cualquier punto interior.
Resultado: E, fuera, es el mismo que si la carga está en el centro y es puntual E, dentro, es cero

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Simetría esférica : capa (4)
La carga que hay en S1 crea en P un campo E igual y opuesto al que crea la carga contenida en S2. En el interior de la corteza el campo E=0

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Simetría esférica : esfera (1)
Campo creado por una distribución uniforme de carga volúmica en una esfera esfera..
Assume that we have a solid sphere of charge Q with radius R with constant charge density per unit volume ρ
Consideramos dos regiones fuera y dentro y en cada una definimos una superficie esférica gaussiana concéntrica con la esfera cargada R

• r2 > R • r1 < R

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(outside) (inside)

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Simetría esférica : esfera (2)
Let’s start with a Gaussian surface with r1 < R
Con argumentos de simetría, conocemos que E será radial y perpendicular a la superficie gaussiana.
La ley de Gauss da

∫∫

 4 3  volume ρ  π r1  r r q 3   2 E ⋅ dA = E ( 4π r1 ) = = area

ε0

ε0

R


Y E dentro es

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ρ r1 Einside = 3ε 0 Tema VIII. Electrostática

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Simetría esférica : esfera (3) Einside

ρ r1 = 3ε 0

R

En términos de la carga total Q …

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Einside

Q r1 =4 3 π R 3ε 0 3

Einside

Qr1 kQr1 = = 3 3 4πε 0 R R Tema VIII. Electrostática

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Simetría esférica : esfera (4)
Now consider a Gaussian surface with radius r2 > R
Otra vez, con argumentos de simetría, conocemos que E será radial y perpendicular a la superficie gaussiana.

total charge


La ley de Gauss da

∫∫

4 3 ρ π R   r r Q area 2 3   E ⋅ dA = E ( 4π r2 ) = =


Y E fuera es

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ε0

Eoutside

ε0

R

kQ = 2 r2

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