183

3.4 Derivadas de funciones trigonométricas 26. Drenado de un tanque El número de galones de agua que hay en un tanque t minutos después de que éste empezó a vaciarse es Q(t) = 200(30 – t)2. ¿Qué tan rápido salía el agua al transcurrir 10 min? ¿Cuál es la razón promedio a la que el agua sale durante los primeros 10 min? T 27. Drenado de un tanque Para drenar por completo un tanque de almacenamiento se necesitan 12 horas; el fluido del tanque sale al abrir una válvula en su base. La profundidad y del fluido en el tanque t horas después de abrir la válvula está dada por la fórmula y = 6 a1 -

2

t b m. 12

a. Encuentre la razón dyNdt(m/h) a la que el tanque está drenando en el tiempo t. b. ¿En qué momento está descendiendo más rápido el nivel del fluido en el tanque? ¿En qué momento lo hace más despacio? ¿Cuáles son los valores de dyNdt en esos tiempos? c. Grafique juntas y y dyNdt, y discuta el comportamiento de y en relación con los signos y valores de dyNdt.

28. Inflado de un globo El volumen V = s4>3dpr 3 de un globo esférico cambia de acuerdo con su radio. a. ¿A qué razón (pie3Npie) cambia el volumen con respecto al radio cuando r = 2 pies? b. ¿Cuánto crece aproximadamente el volumen cuando el radio cambia de 2 a 2.2 pies? 29. Despegue de un aeroplano Suponga que la distancia recorrida por un aeroplano a lo largo de una pista antes del despegue está dada por D = (10N9)t2, donde D se mide en metros desde el punto de inicio, y t se mide en segundos desde el momento en que se quitan los frenos. El aeroplano despegará en el instante que alcance 200 kmNh. ¿Cuánto tiempo tarda en despegar y qué distancia recorrerá en ese tiempo? 30. Brotes de lava volcánica A pesar de que la erupción del volcán hawaiano Kilauea Iki, en noviembre de 1959, empezó con una línea de brotes de lava a lo largo de la pared del cráter, más tarde la actividad se concentró en un solo orificio ubicado en el piso del cráter. En un momento dado, la lava lanzada desde dicho orificio alcanzó una altura de 1900 pies (un récord mundial). ¿Cuál fue la velocidad de salida de la lava en pies por segundo? ¿En millas por hora? (Sugerencia: Si v0 es la velocidad de salida de una partícula

3.4

de lava, su altura t segundos más tarde será s = y0t – 16t2 pies. Empiece por determinar el tiempo en el que dsNdt = 0. Desprecie la resistencia del aire). T En los ejercicios 31 a 34 se da la función de posición s = f (t) de un objeto que se mueve a lo largo del eje s como una función del tiempo t. Grafique f junto con la función velocidad ystd = ds>dt = ƒ¿std y la función de aceleración astd = d 2s>dt 2 = ƒ–std . Comente el comportamiento del objeto en relación con los signos y valores de y y a. Incluya en su comentario temas como los siguientes: ¿En qué momento el objeto está momentáneamente en reposo? ¿Cuándo se mueve a la izquierda (abajo) o a la derecha (arriba)? ¿Cuándo cambia de dirección? ¿En qué momento aumenta o disminuye su rapidez? ¿Cuándo se mueve a su máxima velocidad? ¿Cuándo lo hace a la mínima? f. ¿Cuándo está más lejos del origen?

a. b. c. d. e.

31. s = 200t - 16t 2, 0 … t … 12.5 (un objeto pesado lanzado verticalmente desde la superficie terrestre, a 200 piesNseg) 32. s = t 2 - 3t + 2, 0 … t … 5 33. s = t 3 - 6t 2 + 7t, 0 … t … 4 34. s = 4 - 7t + 6t 2 - t 3, 0 … t … 4 35. Carrera de caballos pura sangre En un hipódromo un caballo de raza pura realiza una competencia de 10 estadios (un estadio equivale a 220 yardas, aunque usaremos en este ejercicio estadios y segundos como unidades). A medida que el caballo pasa cada marca de estadio (F), un juez registra el tiempo transcurrido (t) desde el inicio de la carrera, con los resultados que se muestran en la tabla: F

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

t

0

20

33

46

59

73

86

100

112

124

135

a. ¿Cuánto tarda el caballo en terminar la carrera? b. ¿Cuál es la rapidez promedio del caballo durante los primeros 5 estadios? c. ¿Cuál es la rapidez aproximada del caballo cuando pasa por la marca de los 3 estadios? d. ¿En qué parte de la carrera el caballo corre más rápido? e. ¿En qué parte de la carrera el caballo acelera más rápido?

Derivadas de funciones trigonométricas Muchos de los fenómenos de los que requerimos información muestran un comportamiento más o menos periódico (campos electromagnéticos, ritmos cardiacos, mareas, clima). Las derivadas de senos y cosenos juegan un papel clave en la descripción de cambios periódicos. En esta sección se mostrará cómo derivar las seis funciones trigonométricas básicas.

Derivada de la función seno Para calcular la derivada de f(x) = sen x, para x medido en radianes, combinamos los límites del ejemplo 5a y del teorema 7 de la sección 2.4, con la identidad para la suma de ángulos: sen sx + hd = sen x cos h + cos x sen h .

184

Capítulo 3: Derivadas

Si ƒsxd = sen x , entonces ƒ¿sxd = lím

h:0

ƒsx + hd - ƒsxd h

sen sx + hd - sen x h h:0

= lím = lím

h:0

ssen x cos h + cos x sen hd - sen x h

Definición de derivada Identidad del seno para la suma de ángulos

sen x scos h - 1d + cos x sen h h h:0

= lím

= lím asen x # h:0

= sen x # lím

h:0

cos h - 1 sen h b + lím acos x # b h h h:0

cos h - 1 sen h + cos x # lím h h:0 h

= sen x # 0 + cos x # 1

Ejemplo 5(a) y teorema 7, sección 2.4

= cos x.

La derivada de la función seno es la función coseno: d ssen xd = cos x . dx

EJEMPLO 1

Derivadas que involucran el seno

(a) y = x2 - sen x: dy d = 2x A sen x B dx dx = 2x - cos x .

Regla de la diferencia

(b) y = x2 sen x: dy d = x2 A sen x B + 2x sen x dx dx

Regla del producto

= x2 cos x + 2x sen x. (c) y =

sen x x : d x# A sen x B - sen x # 1 dy dx = dx x2 =

x cos x - sen x . x2

Derivada de la función coseno Con la ayuda de la fórmula de la suma de ángulos para el coseno, cos sx + hd = cos x cos h - sen x sen h ,

Regla del cociente

3.4 Derivadas de funciones trigonométricas

185

tenemos cos sx + hd - cos x d scos xd = lím dx h h:0

y y ! cos x

1

y'

scos x cos h - sen x sen hd - cos x h h:0

x

= lím

y' ! sen x

= lím

0 1

Identidad de la suma de ángulos para el coseno

cos x scos h - 1d - sen x sen h h h:0

1 0 1

Definición de derivada

x

= lím cos x #

cos h - 1 sen h - lím sen x # h h h:0

= cos x # lím

cos h - 1 sen h - sen x # lím h h:0 h

h:0

FIGURA 3.23 La curva y¿ = - sen x como la gráfica de las pendientes de las tangentes a la curva y = cos x .

h:0

= cos x # 0 - sen x # 1 Ejemplo 5(a) y teorema 7, sección 2.4

= - sen x .

La derivada de la función coseno es el negativo de la función seno: d scos xd = - sen x dx

La figura 3.23 muestra una manera de ver este resultado. EJEMPLO 2

Derivadas que involucran el coseno

(a) y = 5x + cos x: dy d d = s5xd + A cos x B dx dx dx

Regla de la suma

= 5 - sen x. (b) y = sen x cos x : dy d d = sen x A cos x B + cos x dx A sen x B dx dx

Regla del producto

= sen xs - sen xd + cos xscos xd = cos2 x - sen2 x. (c) y =

cos x : 1 - sen x d d A 1 - sen x B dx A cos x B - cos x dx A 1 - sen x B dy = dx s1 - sen xd2 s1 - sen xds -sen xd - cos xs0 - cos xd s1 - sen xd2 1 - sen x = s1 - sen xd2 1 . = 1 - sen x

Regla del cociente

=

sen2 x + cos2 x = 1

186

Capítulo 3: Derivadas

Movimiento armónico simple El movimiento que describe un objeto bamboleándose libremente hacia arriba y hacia abajo, en el extremo de un resorte o una cuerda elástica, es un ejemplo de movimiento armónico simple. El ejemplo siguiente describe un caso en donde no hay fuerzas opuestas como la fricción o la flotación que desaceleren el movimiento.

5

0

5

Posición en reposo

EJEMPLO 3

Posición en t 0

Un objeto que cuelga de un resorte (figura 3.24) se estira 5 unidades desde su posición de reposo y se suelta en el tiempo t = 0 para que se mueva hacia arriba y hacia abajo. Su posición en cualquier tiempo t posterior es

Movimiento en un resorte

s

s = 5 cos t.

FIGURA 3.24 Un cuerpo que cuelga del extremo de un resorte y después se desplaza, oscila hacia arriba y hacia abajo de la posición de reposo. Su movimiento está descrito por funciones trigonométricas (ejemplo 3).

¿Cuáles son su velocidad y su aceleración en el tiempo t? Solución

s = 5 cos t ds d y = = Velocidad: s5 cos td = - 5 sen t dt dt dy d a = = s - 5 sen td = - 5 cos t. Aceleración: dt dt Observe todo lo que podemos aprender de estas ecuaciones: Posición:

s, y y

0 2

5 sen t

5 cos t

s

3 2

2

5 2

1.

Conforme pasa el tiempo, el cuerpo se mueve hacia abajo y hacia arriba entre s = –5 y s = 5 en el eje s. La amplitud del movimiento es 5. El periodo del movimiento es 2p.

2.

La velocidad y = - 5 sen t alcanza su mayor magnitud, 5, cuando cos t = 0, como muestran las gráficas de la figura 3.25. Ahora bien, la rapidez del cuerpo, ƒ y ƒ = 5 ƒ sen t ƒ , es mayor cuando cos t = 0, esto es, cuando s = 0 (la posición de reposo). La rapidez del cuerpo es cero cuando sen t = 0. Esto ocurre cuando s = 5 cos t = ; 5 , en los extremos del intervalo del movimiento.

3.

El valor de la aceleración siempre es exactamente el opuesto del valor de posición. Cuando el cuerpo está arriba de la posición de reposo, la gravedad lo tira hacia abajo. Cuando el cuerpo está debajo de la posición de reposo, el resorte lo jala hacia arriba.

4.

La aceleración, a = –5 cos t, es cero solamente en la posición de reposo, donde cos t = 0 y la fuerza de la gravedad y la fuerza del resorte se compensan entre ellas. Cuando el cuerpo está en cualquier otro lado, las dos fuerzas son desiguales y la aceleración no es cero. La aceleración alcanza su máxima magnitud en los puntos más alejados de la posición de reposo, donde cos t = ; 1 .

t

FIGURA 3.25 Las gráficas de la posición y la velocidad del cuerpo del ejemplo 3.

Tenemos que

EJEMPLO 4

Sacudida

En el caso del movimiento armónico simple del ejemplo 3, la sacudida es j =

da d = s - 5 cos td = 5 sen t. dt dt

La sacudida alcanza su magnitud más grande cuando sen t = ; 1 , no en los extremos del desplazamiento, sino en la posición de reposo, donde la aceleración cambia de dirección y de signo.

Derivadas de las demás funciones trigonométricas básicas Como sen x y cos x son funciones diferenciables de x, las funciones relacionadas sen x tan x = cos x ,

cos x cot x = sen x ,

1 sec x = cos x

y

1 csc x = sen x

3.4 Derivadas de funciones trigonométricas

187

son diferenciables en todo valor de x en el que estén definidas. Sus derivadas, calculadas a partir de la regla del cociente, están dadas por las fórmulas siguientes. Observe el signo negativo en las fórmulas de las cofunciones.

Derivadas de las demás funciones trigonométricas d stan xd = sec2 x dx d ssec xd = sec x tan x dx d scot xd = - csc2 x dx d scsc xd = - csc x cot x dx

Para mostrar los cálculos típicos, obtendremos la derivada de la función tangente. Las demás derivadas se dejan para el ejercicio 50. EJEMPLO 5 Encontrar d(tan x)> dx. Solución

d d sen x A tan x B = dx a cos x b = dx

cos x

d d A sen x B - sen x dx A cos x B dx cos2 x

Regla del cociente

cos x cos x - sen x s -sen xd cos2 x cos2 x + sen2 x = cos2 x =

=

1 = sec2 x cos2 x

EJEMPLO 6 Encontrar y– si y = sec x. Solución

y = sec x y¿ = sec x tan x y– =

d ssec x tan xd dx

= sec x

d d A tan x B + tan x dx A sec x B dx

= sec x ssec2 xd + tan xssec x tan xd = sec3 x + sec x tan2 x

Regla del producto