C´atedra de Matem´atica

Facultad de Arquitectura Universidad de la Rep´ ublica

Matem´ atica

2013 – Segundo semestre

´ n por partes. Hoja 5 Derivada del producto e integracio Dado que la derivaci´on y la integraci´on pueden verse como operaciones inversas entre s´ı, cada propiedad de la derivaci´on se traducir´a en una propiedad de la integraci´on, y viceversa. Por ejemplo, la linealidad de la integral  b  b  b (αf (x) + βg(x)) dx = α f (x) dx + β g(x) dx a

a

a

est´a ´ıntimamente relacionada con la linealidad (αf + βg) = αf  + βg  . En estas notas discutiremos c´omo la f´ormula (f g) = f  g + f g 

(1)

para la derivada de un producto da lugar a la f´ormula de integraci´on por partes.  b  b  f (x)g (x) dx = f (b)g(b) − f (a)g(a) − f  (x)g(x) dx. a

a

Comenzaremos mostrando la validez de 1.

1.

La derivada del producto de funciones derivables

Δg

f Δg

Δf Δg

g + Δg g

fg

gΔf

f

Δf f + Δf

El ´area total de la figura es (f + Δf )(g + Δg). El dibujo muestra que Δ(f g) = (f + Δf )(g + Δg) − f g = f Δg + gΔf + Δf Δg, 1

de modo que Δ(f g) Δg Δf Δf Δg =f +g + . Δx Δx Δx Δx Es f´acil analizar a qu´e tiende el miembro de la derecha cuando Δx → 0. Tenemos Δf → f  (x). Δx

Δg → g  (x), Δx Por lo tanto

Δf Δf Δg = Δg → 0, Δx Δx porque es el producto de Δf /Δx, que tiende a f  , por Δg, que tiende a 0 Combinando toda esta informaci´on concluimos Δ(f g) → f g + f g Δx cuando Δx → 0, lo que implica que existe la derivada de f g en los puntos x en que f y g son derivables y satisface (1). Otra forma de obtener el mismo resultado es tener en que la derivada nos dice cu´al es la parte lineal del incremento de una funci´on. Para f tenemos f (x + Δx) = f (x) + f  (x)Δx + 1 (Δx)Δx. Para g

g(x + Δx) = g(x) + g  (x)Δx + 2 (Δx)Δx.

Al formar el producto de f (x + Δx) y g(x + Δx) para calcular (f g)(x + Δx) aparece primero un t´ermino f (x)g(x), que es el valor de la funci´on cuando Δx = 0. El t´ermino lineal en Δx es (f  (x)g(x) + f (x)g  (x)) Δx.

(2)

Todos los dem´as t´erminos del producto tienen un factor (Δx)2 , o la combinaci´on de Δx con una expresi´on que tiende a 0 cuando Δx tiende a cero, por lo que son sumandos que se vuelven mucho m´as chicos que Δx cuando Δx → 0, y la parte lineal del incremento de f g es justamente (2), lo que es equivalente a que f  (x)g(x) + f (x)g  (x) es la derivada de f g en x. La discusi´on del p´arrafo anterior hacerse de manera m´as breve, menos rigurosa pero quiz´as m´as sugerente. La idea de que la recta tangente a un curva en un punto es la mejor aproximaci´on del a curva por un objeto lineal, o de que la derivada en x de f nos permite dar una buena descripci´on de c´omo est´a variando f cerca de x, puede escribirse, para Δx chico, como f (x + Δx)  f (x) + f  (x)Δx. Esta expresi´on es una igualdad aproximada, sugiere que f (x + Δx) es esencialmente lo que aparece en el t´ermino de la derecha a menos de un error peque˜ no. Aqu´ı “peque˜ no”debe entenderse en el sentido de que el error se hace mucho m´as chico que Δx cuando Δx → 0. Para g hay una expresi´on an´aloga: g(x + Δx)  g(x) + g  (x)Δx. Combinando ambas en el producto de f (x + Δx) y g(x + Δx) obtenemos (f g)(x + Δx)  f (x)g(x) + (f  (x)g(x) + f (x)g  (x)) Δx + f  (x)g  (x)(Δx)2 .

2

Volviendo a utilizar en nuestro c´alculo la idea de despreciar todo lo que se hace mucho m´as chico que Δx cuando Δx → 0 y observando que (Δx)2 tiene esta propiedad, todav´ıa podemos simplificar un poco m´as la u ´ltima expresi´on, a (f g)(x + Δx)  f (x)g(x) + (f  (x)g(x) + f (x)g  (x)) Δx. Reencontramos as´ı que el t´ermino lineal en Δx es (2). Ejemplo 1.1 La f´ormula de la derivada del producto da un procedimiento alternativo para calcular la derivada de un cuadrado. Si tenemos en cuenta que x2 = xx, y que la derivada de x es la funci´on constante 1, entonces d(x2 ) = 1x + x1 = 2x. dx De manera an´aloga, x3 = x2 x. Entonces d(x3 ) = 2xx + x2 1 = 3x2 . dx El procedimiento puede usarse para todas las potencias naturales. Ejercicio 1 Mostrar por inducci´on sobre n que para cualquier valor natural de n se satisface d(xn ) = nxn−1 . dx Ejemplo 1.2 Si f (x) = x sen x entonces

f  (x) = 1 sen x + x cos x = sen x + x cos x.

Ejemplo 1.3 Si f (x) = x log x entonces f  (x) = 1 log x + x

1 = log x + 1. x

Ejercicio * 2 Calcular las derivadas de x cos x,

ex cos x,

x sen(ax),

ex sen x.

Una distribuci´on de carga queda caracterizada por una funci´on ρ(x), que expresa la densidad lineal de carga. Por ejemplo, cuando la carga est´a uniformemente distribuida la funci´on ρ es igual a una constante. El valor de la constante es igual a la carga que soporta cada unidad de longitud de la viga.

3

x l

Si el perfil de carga es triangular, como en el dibujo, entonces ρ(x) = ax, donde a es una constante. La posibilidad de considerar una funcion gen´erica ρ(x) como densidad lineal de carga habilita a modelar una clase muy amplia de situaciones, y hacer estudios te´oricos generales de los modelos. Para la m´ensula empotrada en su extremo derecho y sometida a una carga distribuida con densidad ρ, el valor del cortante en x es  x ρ(t)dt, (3) V (x) = 0

en tanto que el del momento es  M (x) = −

x 0

(x − t)ρ(t)dt.

(4)

Ejercicio 3 Interpretar las f´ormulas (3) y (4). Establecer las analog´ıas adecuadas con los casos en que las cargas est´an concentradas en algunos puntos. Ejercicio * 4 Comprobar, para los casos de cargas distribuidas que ya se han estudiado, que las f´ormulas (3) y (4) arrojan los valores correctos para el cortante y el momento. Ya hemos dado un argumento que justifica la igualdad M  = −V,

(5)

entre la derivada del momento y el opuesto del cortante. El siguiente ejercicio propone una demostraci´on alternativa. Ejercicio 5 Usar la f´ormula de la derivada del producto y el teorema fundamental del c´alculo para mostrar (5) derivando la expresi´on (4). El tipo de f´ormulas para la derivada que obtuvimos en los ejemplos 1.2 y 1.2 habilita a calcular primitivas que no son obvias en una primera aproximaci´on. Lo haremos primero de manera informal en dos ejemplos, y luego discutiremos c´omo esta idea da lugar a un procedimiento sistem´atico. Ejemplo 1.4 El resultado del ejemplo 1.2 permite calcular una primitiva de x cos x. Sabemos que (x sen x) = sen x + x cos x, 4

lo que es equivalente a decir que x sen x es una primitiva de sen x + x cos x. Es casi lo que queremos, salvo por el sumando sen x. Pero sen x desaparecer´a del c´alculo si antes de derivar restamos de x sen x una primitiva de sen x, que es algo conocido para nosotros: − cos x. Concluimos as´ı que F (x) = x sen x + cos x (6) deber´ıa ser una primitiva de x cos x, cosa que intentaremos verificar derivando: F  (x) = 1 sen x + x cos x − sen x = x cos x. Al terminar el c´alculo comprobamos que efectivamente tenemos una primitiva de x cos x. Usando un razonamiento parecido a partir del ejemplo 1.3 puede resolverse el siguiente ejercicio. Ejercicio 6 Calcular una primitiva de log x. Ejercicio 7 Para culquier valor de a, hallar primitivas de x cos(ax). Ejercicio 8 Calcular primitivas de ex cos x y ex sen x. Sugerencia: considerar al mismo tiempo las derivadas de ambas funciones, y buscar combinaciones adecuadas de ellas que permitan resolver el problema planteado.

1.1.

La f´ ormula de integraci´ on por partes

Dado que

(f g) = f  g + f g 

podemos despejar

f  g = (f g) − f g  .

Integrando entre a y b obtenemos  b  b  b   f (x)g(x)dx = (f g) (x)dx − f (x)g  (x)dx. a

a

a

La primera integral del miembro de la derecha es de evaluaci´on directa, porque f g es una primitiva del integrando. Resulta entonces  b  b b  f (x)g(x)dx = f g|a − f (x)g  (x)dx. (7) a

a

Esta f´ormula recibe el nombre de integraci´on por partes. Observaci´ on 1.4.1 Integraci´on por partes puede emplearse tambi´en para el c´alculo de primitivas, en la forma    (8) f (x)g(x)dx = f (x)g(x) − f (x)g  (x)dx, que expresa que una primitiva de f  g puede obtenerse restando del producto f g una primitiva de f g  . Ejercicio * 9 Calcular primitivas de las funciones de los ejercicios 6, 7 y 8, aplicando la f´ormula (8). Sugerencia: los c´alculos son esencialmente los mismos que ya se hicieron, pero puestos en el marco de este formalismo. 5

Ejercicio 10 Integraci´on por partes suele emplearse cuando se reconoce que el integrando se puede escribir de manera u ´til como el producto f  g de la derivada f  de una cierta funci´on f , por una segunda funci´on g. Pero f  es tanto la derivada de f como de cualquier otra funci´on f + c, donde c es una constante arbitraria. ¿Qu´e ocurre cuando dejamos variar c? ¿Es posible que al variar c la misma integral produzca una infinidad de resultados diferentes? ¿C´omo afecta la constante c el uso de integraci´on por partes para el c´alculo de primitivas, tal como se describe en la observacion 1.4.1 Ejercicio 11 Calcular la integral



e

x ln (x) dx. 1

A.

1 . 2

B.

e2 − 1 . 4

e2 + 1 C. . 4 D.

3e2 − 1 . 4

Ejercicio 12 Calcular 

1

xex dx.

0

A. -1 B. 1 C. e/2. D. e √

E. 1 + e/2 −

e..

Ejercicio 13 La integral



π 2

x2 sen x dx

0

es igual a π3 1 A. + 24 3



0 π 2

x3 cos x dx. 6

π3 1 B. − 24 3 π2 C. −2 4



π 2

x3 sen x dx.

0



π 2

0

π3 1 D. − − 24 3

x sen x dx.



π 2

x3 cos x dx.

0

Ejercicio 14 Calcular la integral



e

x2 ln (x) dx.

1

A.

1 . 3

B.

2e3 . 9

C.

2e3 + 1 . 9

e3 − 2e + 2. D. 3

Ejercicio 15 La integral



1/2

x sen(πx) dx 0

es igual a: A.

1 − . 2

B. −

1 . 8π

C.

1 . π2

D.

1 . 8π

7