producto exterior de 1-formas

derivada exterior

producto exterior y derivada de 1-formas Jana Rodriguez Hertz Cálculo 3 IMERL

9 de junio de 2011

producto exterior de 1-formas introducción

introducción

campo asociado a una 2-forma ω = adydz + bdzdx + cdxdy

derivada exterior

producto exterior de 1-formas introducción

introducción

campo asociado a una 2-forma ω = adydz + bdzdx + cdxdy campo asociado a la 2-forma ω:

derivada exterior

producto exterior de 1-formas

derivada exterior

introducción

introducción

campo asociado a una 2-forma ω = adydz + bdzdx + cdxdy campo asociado a la 2-forma ω: ~ = (a, b, c) Y

producto exterior de 1-formas introducción

observación

prestar atención al orden en que aparecen las 2-formas básicas!!

derivada exterior

producto exterior de 1-formas

derivada exterior

introducción

recordar

recordar que el campo vectorial asociado a una uno forma L = Adx + Bdy + Cdz

producto exterior de 1-formas

derivada exterior

introducción

recordar

recordar que el campo vectorial asociado a una uno forma L = Adx + Bdy + Cdz es ~ = (A, B, C) X

producto exterior de 1-formas definición

producto exterior de 1-formas

producto exterior de 1-formas L1 1-forma asociada al campo X1 = (A1 , B1 , C1 )

derivada exterior

producto exterior de 1-formas definición

producto exterior de 1-formas

producto exterior de 1-formas L1 1-forma asociada al campo X1 = (A1 , B1 , C1 ) L2 1-forma asociada al campo X2 = (A2 , B2 , C2 )

derivada exterior

producto exterior de 1-formas definición

producto exterior de 1-formas

producto exterior de 1-formas L1 1-forma asociada al campo X1 = (A1 , B1 , C1 ) L2 1-forma asociada al campo X2 = (A2 , B2 , C2 ) el producto exterior de L1 y L2 , L1 ∧ L2

derivada exterior

producto exterior de 1-formas definición

producto exterior de 1-formas

producto exterior de 1-formas L1 1-forma asociada al campo X1 = (A1 , B1 , C1 ) L2 1-forma asociada al campo X2 = (A2 , B2 , C2 ) el producto exterior de L1 y L2 , L1 ∧ L2 es la 2-forma asociada al campo X1 ∧ X2

derivada exterior

producto exterior de 1-formas

derivada exterior

definición

producto exterior de 1-formas

producto exterior de 1-formas L1 ∧ L2

producto exterior de 1-formas

derivada exterior

definición

producto exterior de 1-formas

producto exterior de 1-formas dydz dzdx B1 L1 ∧ L2 = A1 A2 B2

dxdy C1 C2



producto exterior de 1-formas propiedades

propiedades

propiedades 1

dx ∧ dx = 0

derivada exterior

producto exterior de 1-formas propiedades

propiedades

propiedades 1

dx ∧ dx = 0

2

dy ∧ dy = 0

derivada exterior

producto exterior de 1-formas propiedades

propiedades

propiedades 1

dx ∧ dx = 0

2

dy ∧ dy = 0

3

dz ∧ dz = 0

derivada exterior

producto exterior de 1-formas propiedades

demostración

ejercicio

derivada exterior

producto exterior de 1-formas propiedades

propiedades

anticonmutatividad dydx = −dxdy

derivada exterior

producto exterior de 1-formas propiedades

propiedades

anticonmutatividad dydx = −dxdy dxdz = −dzdx

derivada exterior

producto exterior de 1-formas propiedades

propiedades

anticonmutatividad dydx = −dxdy dxdz = −dzdx dzdy = −dydz

derivada exterior

producto exterior de 1-formas propiedades

propiedades

anticonmutatividad dydx = −dxdy dxdz = −dzdx dzdy = −dydz en general L1 ∧ L2 = −L2 ∧ L1

derivada exterior

producto exterior de 1-formas propiedades

propiedades

integral del producto exterior de 1-formas L1 1-forma asociada a X1

derivada exterior

producto exterior de 1-formas propiedades

propiedades

integral del producto exterior de 1-formas L1 1-forma asociada a X1 L2 1-forma asociada a X2

derivada exterior

producto exterior de 1-formas

derivada exterior

propiedades

propiedades

integral del producto exterior de 1-formas L1 1-forma asociada a X1 L2 1-forma asociada a X2 la integral de L1 ∧ L2 : ZZ ZZ L1 ∧ L2 = (X1 ∧ X2 ).N dS S

S

producto exterior de 1-formas propiedades

demostración

ejercicio

derivada exterior

producto exterior de 1-formas suma de 2-formas

suma de 2-formas

suma de 2-formas ω1 = a1 dydz + b1 dzdx + c1 dxdy

derivada exterior

producto exterior de 1-formas suma de 2-formas

suma de 2-formas

suma de 2-formas ω1 = a1 dydz + b1 dzdx + c1 dxdy ω2 = a2 dydz + b2 dzdx + c2 dxdy

derivada exterior

producto exterior de 1-formas suma de 2-formas

suma de 2-formas

suma de 2-formas ω1 = a1 dydz + b1 dzdx + c1 dxdy ω2 = a2 dydz + b2 dzdx + c2 dxdy suma de ω1 y ω2

derivada exterior

producto exterior de 1-formas

derivada exterior

suma de 2-formas

suma de 2-formas

suma de 2-formas ω1 = a1 dydz + b1 dzdx + c1 dxdy ω2 = a2 dydz + b2 dzdx + c2 dxdy suma de ω1 y ω2

ω1 + ω2 = (a1 + a2 )dydz + (b1 + b2 )dzdx + (c1 + c2 )dxdy

producto exterior de 1-formas suma de 2-formas

propiedad distributiva

propiedad distributiva L1 , L2 , L3 1-formas

derivada exterior

producto exterior de 1-formas

derivada exterior

suma de 2-formas

propiedad distributiva

propiedad distributiva L1 , L2 , L3 1-formas (L1 + L2 ) ∧ L3 = (L1 ∧ L3 ) + (L2 ∧ L3 )

producto exterior de 1-formas

derivada exterior

suma de 2-formas

propiedad distributiva

propiedad distributiva L1 , L2 , L3 1-formas (L1 + L2 ) ∧ L3 = (L1 ∧ L3 ) + (L2 ∧ L3 ) L1 ∧ (L2 + L3 ) = (L1 ∧ L2 ) + (L1 ∧ L3 )

producto exterior de 1-formas ejemplos

ejemplo 1

producto exterior de 1-formas básicas dx ∧ dy = dxdy

derivada exterior

producto exterior de 1-formas ejemplos

ejemplo 1

producto exterior de 1-formas básicas dx ∧ dy = dxdy dy ∧ dz = dydz

derivada exterior

producto exterior de 1-formas ejemplos

ejemplo 1

producto exterior de 1-formas básicas dx ∧ dy = dxdy dy ∧ dz = dydz dz ∧ dx = dzdx

derivada exterior

producto exterior de 1-formas

derivada exterior

ejemplos

ejemplo 1

dydz dzdx 0 dx ∧ dy = 1 0 1

dxdy 0 0



producto exterior de 1-formas

derivada exterior

ejemplos

ejemplo 1

dydz dzdx 0 dx ∧ dy = 1 0 1

dxdy 0 0

= dxdy

producto exterior de 1-formas ejemplos

ejemplo 1

dydz dzdx dxdy 0 0 = dxdy dx ∧ dy = 1 0 1 0 dydz dzdx dxdy 1 0 dy ∧ dz = 0 0 0 1

derivada exterior

producto exterior de 1-formas ejemplos

ejemplo 1

dydz dzdx dxdy 0 0 = dxdy dx ∧ dy = 1 0 1 0 dydz dzdx dxdy 1 0 = dydz dy ∧ dz = 0 0 0 1

derivada exterior

producto exterior de 1-formas ejemplos

ejemplo 1

dydz dzdx dxdy 0 0 = dxdy dx ∧ dy = 1 0 1 0 dydz dzdx dxdy 1 0 = dydz dy ∧ dz = 0 0 0 1 dydz dzdx dxdy 0 1 dz ∧ dx = 0 1 0 0

derivada exterior

producto exterior de 1-formas ejemplos

ejemplo 1

dydz dzdx dxdy 0 0 = dxdy dx ∧ dy = 1 0 1 0 dydz dzdx dxdy 1 0 = dydz dy ∧ dz = 0 0 0 1 dydz dzdx dxdy 0 1 = dzdx dz ∧ dx = 0 1 0 0

derivada exterior

producto exterior de 1-formas ejemplos

ejemplo 2

ejemplo 2 L = xdx + ydy

derivada exterior

producto exterior de 1-formas ejemplos

ejemplo 2

ejemplo 2 L = xdx + ydy H = zydx + xzdy + xydz

derivada exterior

producto exterior de 1-formas ejemplos

ejemplo 2

ejemplo 2 L = xdx + ydy H = zydx + xzdy + xydz calcular L ∧ H

derivada exterior

producto exterior de 1-formas ejemplos

ejemplo 2

aplicando propiedad distributiva:

derivada exterior

producto exterior de 1-formas ejemplos

ejemplo 2

aplicando propiedad distributiva: L ∧ H = (xdx + ydy ) ∧ (zydx + xzdy + xydz)

derivada exterior

producto exterior de 1-formas ejemplos

ejemplo 2

aplicando propiedad distributiva: L ∧ H = (xdx + ydy ) ∧ (zydx + xzdy + xydz) = (xyzdx ∧ dx) + (x 2 zdx ∧ dy ) + (x 2 ydx ∧ dz)+ +(y 2 zdy ∧ dx) + (xyzdy ∧ dy ) + (xy 2 dy ∧ dz)

derivada exterior

producto exterior de 1-formas ejemplos

ejemplo 2

aplicando propiedad distributiva: L ∧ H = (xdx + ydy ) ∧ (zydx + xzdy + xydz) = (xyzdx ∧ dx) + (x 2 zdx ∧ dy ) + (x 2 ydx ∧ dz)+ +(y 2 zdy ∧ dx) + (xyzdy ∧ dy ) + (xy 2 dy ∧ dz) = 0 + x 2 zdxdy − x 2 ydzdx − y 2 zdxdy + 0 + xy 2 dydz

derivada exterior

producto exterior de 1-formas ejemplos

ejemplo 2

aplicando propiedad distributiva: L ∧ H = (xdx + ydy ) ∧ (zydx + xzdy + xydz) = (xyzdx ∧ dx) + (x 2 zdx ∧ dy ) + (x 2 ydx ∧ dz)+ +(y 2 zdy ∧ dx) + (xyzdy ∧ dy ) + (xy 2 dy ∧ dz) = 0 + x 2 zdxdy − x 2 ydzdx − y 2 zdxdy + 0 + xy 2 dydz L ∧ H = xy 2 dydz − x 2 ydzdx + (x 2 − y 2 )zdxdy

derivada exterior

producto exterior de 1-formas derivada exterior de 0-formas

0-formas

0-forma una 0-forma diferencial

derivada exterior

producto exterior de 1-formas derivada exterior de 0-formas

0-formas

0-forma una 0-forma diferencial es una función C 1

derivada exterior

producto exterior de 1-formas

derivada exterior

derivada exterior de 0-formas

0-formas

0-forma una 0-forma diferencial es una función C 1 f : Ω ⊂ R3 → R

producto exterior de 1-formas derivada exterior de 0-formas

derivada exterior de 0-formas

derivada exterior de 0-formas f 0-forma

derivada exterior

producto exterior de 1-formas derivada exterior de 0-formas

derivada exterior de 0-formas

derivada exterior de 0-formas f 0-forma derivada exterior de f

derivada exterior

producto exterior de 1-formas

derivada exterior

derivada exterior de 0-formas

derivada exterior de 0-formas

derivada exterior de 0-formas f 0-forma derivada exterior de f es la 1-forma: df = fx dx + fy dy + fz dz

producto exterior de 1-formas derivada exterior de 0-formas

derivada exterior de 0-formas

observación f 0-forma

derivada exterior

producto exterior de 1-formas derivada exterior de 0-formas

derivada exterior de 0-formas

observación f 0-forma campo vectorial asociado a la 1-forma df :

derivada exterior

producto exterior de 1-formas derivada exterior de 0-formas

derivada exterior de 0-formas

observación f 0-forma campo vectorial asociado a la 1-forma df : ∇f

derivada exterior

producto exterior de 1-formas derivada exterior de 1-formas

derivada exterior de 1-formas

derivada exterior de 1-formas L = Adx + Bdy + Cdz 1-forma

derivada exterior

producto exterior de 1-formas derivada exterior de 1-formas

derivada exterior de 1-formas

derivada exterior de 1-formas L = Adx + Bdy + Cdz 1-forma la derivada exterior de L es la 2-forma:

derivada exterior

producto exterior de 1-formas

derivada exterior

derivada exterior de 1-formas

derivada exterior de 1-formas

derivada exterior de 1-formas L = Adx + Bdy + Cdz 1-forma la derivada exterior de L es la 2-forma: dL = dAdx + dBdy + dCdz

producto exterior de 1-formas derivada exterior de 1-formas

proposición

proposición el campo asociado a la 2-forma dL es el rotor del campo asociado a la 1-forma L

derivada exterior

producto exterior de 1-formas derivada exterior de 1-formas

demostración

L = Adx + Bdy + Cdz asociado a X = (A, B, C)

derivada exterior

producto exterior de 1-formas derivada exterior de 1-formas

demostración

L = Adx + Bdy + Cdz asociado a X = (A, B, C) dL = dAdx + dBdy + dCdz

derivada exterior

producto exterior de 1-formas

derivada exterior

derivada exterior de 1-formas

demostración

L = Adx + Bdy + Cdz asociado a X = (A, B, C) dL = dAdx + dBdy + dCdz dL = (Ax dx + Ay dy + Az dz)dx + (Bx dx + By dy + Bz dz)dy + +(Cx dx + Cy dy + Cz dz)dz

producto exterior de 1-formas

derivada exterior

derivada exterior de 1-formas

demostración

L = Adx + Bdy + Cdz asociado a X = (A, B, C) dL = dAdx + dBdy + dCdz dL = (Ax dx + Ay dy + Az dz)dx + (Bx dx + By dy + Bz dz)dy + +(Cx dx + Cy dy + Cz dz)dz dL = −Ay dxdy + Az dzdx + Bx dxdy − Bz dydz − Cx dzdx + Cy dydz

producto exterior de 1-formas

derivada exterior

derivada exterior de 1-formas

demostración

L = Adx + Bdy + Cdz asociado a X = (A, B, C) dL = dAdx + dBdy + dCdz dL = (Ax dx + Ay dy + Az dz)dx + (Bx dx + By dy + Bz dz)dy + +(Cx dx + Cy dy + Cz dz)dz dL = −Ay dxdy + Az dzdx + Bx dxdy − Bz dydz − Cx dzdx + Cy dydz dL = (Cy − Bz )dydz + (Az − Cx )dzdx + (Bx − Ay )dxdy

producto exterior de 1-formas

derivada exterior

derivada exterior de 1-formas

demostración

L = Adx + Bdy + Cdz asociado a X = (A, B, C) dL = dAdx + dBdy + dCdz dL = (Ax dx + Ay dy + Az dz)dx + (Bx dx + By dy + Bz dz)dy + +(Cx dx + Cy dy + Cz dz)dz dL = −Ay dxdy + Az dzdx + Bx dxdy − Bz dydz − Cx dzdx + Cy dydz dL = (Cy − Bz )dydz + (Az − Cx )dzdx + (Bx − Ay )dxdy ⇒ dL asociado a rot X

producto exterior de 1-formas derivada exterior de 1-formas

proposición

proposición f función C 2

derivada exterior

producto exterior de 1-formas

derivada exterior

derivada exterior de 1-formas

proposición

proposición f función C 2 ⇒ d(df ) = 0

producto exterior de 1-formas derivada exterior de 1-formas

demostración

por proposición anterior

derivada exterior

producto exterior de 1-formas derivada exterior de 1-formas

demostración

por proposición anterior el campo vectorial asociado a la 2-forma d(df )

derivada exterior

producto exterior de 1-formas

derivada exterior

derivada exterior de 1-formas

demostración

por proposición anterior el campo vectorial asociado a la 2-forma d(df ) es el rotor del campo vectorial asociado a la 1-forma df

producto exterior de 1-formas

derivada exterior

derivada exterior de 1-formas

demostración

por proposición anterior el campo vectorial asociado a la 2-forma d(df ) es el rotor del campo vectorial asociado a la 1-forma df pero el campo asociado a df es ∇f

producto exterior de 1-formas

derivada exterior

derivada exterior de 1-formas

demostración

por proposición anterior el campo vectorial asociado a la 2-forma d(df ) es el rotor del campo vectorial asociado a la 1-forma df pero el campo asociado a df es ∇f ⇒ campo asociado a d(df ) es

producto exterior de 1-formas

derivada exterior

derivada exterior de 1-formas

demostración

por proposición anterior el campo vectorial asociado a la 2-forma d(df ) es el rotor del campo vectorial asociado a la 1-forma df pero el campo asociado a df es ∇f ⇒ campo asociado a d(df ) es rot(∇f ) ≡ ~0

producto exterior de 1-formas

derivada exterior

derivada exterior de 1-formas

demostración

por proposición anterior el campo vectorial asociado a la 2-forma d(df ) es el rotor del campo vectorial asociado a la 1-forma df pero el campo asociado a df es ∇f ⇒ campo asociado a d(df ) es √ rot(∇f ) ≡ ~0

producto exterior de 1-formas ejemplos

ejemplo 3

ejemplo 3 calcular la derivada exterior de la 1-forma:

derivada exterior

producto exterior de 1-formas

derivada exterior

ejemplos

ejemplo 3

ejemplo 3 calcular la derivada exterior de la 1-forma: L = xdx + ydy + zdz

producto exterior de 1-formas ejemplos

ejemplo 3

L = xdx + ydy + zdz

derivada exterior

producto exterior de 1-formas ejemplos

ejemplo 3

L = xdx + ydy + zdz campo asociado a L es X = (x, y , z)

derivada exterior

producto exterior de 1-formas ejemplos

ejemplo 3

L = xdx + ydy + zdz campo asociado a L es X = (x, y , z) calculamos rot X

derivada exterior

producto exterior de 1-formas ejemplos

ejemplo 3

L = xdx + ydy + zdz campo asociado a L es X = (x, y , z) calculamos rot X i j k rot X = ∂x ∂y ∂z = (0, 0, 0) x y z

derivada exterior

producto exterior de 1-formas ejemplos

ejemplo 3

L = xdx + ydy + zdz campo asociado a L es X = (x, y , z) calculamos rot X i j k rot X = ∂x ∂y ∂z = (0, 0, 0) x y z ⇒ dL = 0

derivada exterior

producto exterior de 1-formas ejemplos

otra forma de verlo

otra forma de calcular dL

derivada exterior

producto exterior de 1-formas ejemplos

otra forma de verlo

otra forma de calcular dL X = (A, B, C) campo asociado a L

derivada exterior

producto exterior de 1-formas ejemplos

otra forma de verlo

otra forma de calcular dL X = (A, B, C) campo asociado a L dydz dzdx dxdy ∂y ∂z ⇒ dL = ∂x A B C

derivada exterior

producto exterior de 1-formas ejemplos

ejemplo 4

ejemplo 4 calcular dL

derivada exterior

producto exterior de 1-formas ejemplos

ejemplo 4

ejemplo 4 calcular dL si L = −yzdx + xydy + yzdz

derivada exterior

producto exterior de 1-formas ejemplos

ejemplo 4

L = −yzdx + xydy + yzdz

derivada exterior

producto exterior de 1-formas

derivada exterior

ejemplos

ejemplo 4

L = −yzdx + xydy + yzdz dydz dzdx dxdy ∂y ∂z dL = ∂x −yz xy yz



producto exterior de 1-formas ejemplos

ejemplo 4

L = −yzdx + xydy + yzdz dydz dzdx dxdy ∂y ∂z dL = ∂x −yz xy yz dL = zdydz − ydzdx + (y − z)dxdy

derivada exterior