4. Complementos sobre Problemas de Contorno para S.D.O. Lineales

4. Complementos sobre Problemas de Contorno

4.1. Problemas de contorno para s.d.o. lineales. Teorema de alternativa

4. Complementos sobre Problemas de Contorno

4.1. Problemas de contorno. Teorema de alternativa Fijemos A ∈ C 0 ([α, β]; L(RN )) y b ∈ C 0 ([α, β]; RN ), dos funciones definidas en [α, β], B, C ∈ L(RN ), dos matrices cuadradas, y h ∈ RN un vector. Con estos datos, consideremos el problema ( y 0 = A(x)y + b(x) in [α, β], (1) By (α) + Cy (β) = h. Definición Se dice que ϕ es solución del problema de contorno (1) en [α, β] si ϕ ∈ C 1 ([α, β]; RN ) y satisface ϕ0 (x) = A(x)ϕ(x) + b(x) para todo x ∈ [α, β], Bϕ(α) + Cϕ(β) = h.

4. Complementos sobre Problemas de Contorno

4.1. Problemas de contorno. Teorema de alternativa Problema de contorno homogéneo asociado a (1): ( y 0 = A(x)y in [α, β], (2) By (α) + Cy (β) = 0. Problema de contorno homogéneo (2) siempre admite como solución la función nula ϕ ≡ 0. Como también veremos, este problema puede tener soluciones distintas a la función nula y, como consecuencia, en general este problema no tiene unicidad de solución. Así, sea V0 = {ϕ : ϕ ∈ C 1 ([α, β]; RN ) es solución de (2) en [α, β]}. Entonces, es fácil comprobar Ejercicio Demuéstrese que V0 es un subespacio vectorial de C 1 ([α, β]; RN ) (de hecho, V0 es un subespacio vectorial de W0 , con W0 = {ϕ : ϕ ∈ C 1 ([α, β]; RN ) y ϕ0 (x) = A(x)ϕ(x), ∀x ∈ [α, β]}). 4. Complementos sobre Problemas de Contorno

4.1. Problemas de contorno. Teorema de alternativa Proposición Sea F una matriz fundamental en [α, β] asociada al sistema y 0 = A(x)y . Entonces, dim V0 = N − rango (BF (α) + CF (β)). Prueba: · · · Observación 1

El problema de contorno homogéneo (2) admite como única solución la solución nula (unicidad de solución) si y sólo si (3)

2

det [BF (α) + CF (β)] 6= 0.

Si el problema de contorno homogéneo (2) admite una solución no nula, entonces dim V0 ≥ 1 y, por tanto, el problema de contorno homogéneo (2) tiene, en realidad, infinitas soluciones.

Como dijimos antes, estas dos propiedades ponen desobre manifiesto distinto 4. Complementos Problemas deel Contorno

4.1. Problemas de contorno. Teorema de alternativa Teorema Sea F una matriz fundamental en [α, β] asociada a y 0 = A(x)y . Se tiene, 1

El problema de contorno (1) admite solución si y sólo si rango [BF (α) + CF (β)] =   Z β −1 rango BF (α) + CF (β); h − CF (β) F (s)b(s) ds . α

2

El problema (1) admite una única solución ϕb,h para cada b ∈ C 0 ([α, β]; RN ) y h ∈ RN si y sólo si (2) admite como única solución la solución nula, i.e., si y sólo si det(BF (α) + CF (β)) 6= 0.

3

Si el problema de contorno homogéneo (2) admite soluciones no nulas, entonces el problema (1) puede tener o no tener solución para ciertos datos b ∈ C 0 ([α, β]; RN ) y h ∈ RN , pero si tiene una, entonces tiene infinitas. 4. Complementos sobre Problemas de Contorno

4.2. El operador de Green. Núcleo de Green

4. Complementos sobre Problemas de Contorno

4.2. El operador de Green. Núcleo de Green Consideremos A ∈ C 0 ([α, β]; L(RN )) y b ∈ C 0 ([α, β]; RN ), dos funciones definidas en [α, β], y B, C ∈ L(RN ), dos matrices cuadradas. Supondremos además la hipótesis Hipótesis (H1): El problema de contorno homogéneo (2) tiene una única solución, (la solución nula). Como consecuencia, fijados b ∈ C 0 ([α, β]; RN ) y h ∈ RN , el problema de contorno (1) tiene una única solución ϕb,h ∈ C 1 ([α, β]; RN ). Planteamos el nuevo problema: ( y 0 = A(x)y + b(x) in [α, β], (4) By (α) + Cy (β) = 0. Objetivo Estudiar la dependencia de la única solución ϕb de (4) respecto de b (obsérvese que hemos tomado h ≡ 0). 4. Complementos sobre Problemas de Contorno

4.2. El operador de Green. Núcleo de Green Consideremos el conjunto X := {ϕ : ϕ ∈ C 1 ([α, β]; RN ) y Bϕ(α) + Cϕ(β) = 0}. Ejercicio Consideremos la norma kϕk1 := max |ϕ(x)| + max |ϕ0 (x)|, x∈[α,β]

x∈[α,β]

∀ϕ ∈ C 1 ([α, β]; RN ).

Pruébese que X es un s.v. de C 1 ([α, β]; RN ) y que (X , k · k1 ) es un espacio de Banach.

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4.2. El operador de Green. Núcleo de Green Está claro que la única solución ϕb del problema de contorno (4) satisface ϕb ∈ X . Esto permite introducir la siguiente definición: Definición Supongamos que se satisface la hipótesis (H1). Se denomina operador de Green asociado al problema de contorno (4) a la aplicación G : b ∈ C 0 ([α, β]; RN ) 7−→ G(b) := ϕb ∈ X , donde ϕb es la solución de (4) asociada a b. Objetivo Dar una expresión explícita de la solución ϕb de (4) asociada a b ∈ C 0 ([α, β]; RN ) respecto de b, es decir, dar una expresión del operador de Green. 4. Complementos sobre Problemas de Contorno

4.2. El operador de Green. Núcleo de Green Definición Supongamos (H1) y sea F ∈ C 1 ([α, β]; L(RN )) una m. f. asociada a y 0 = A(x)y . Se denomina núcleo o función de Green asociada a (4) a la función vectorial G : [α, β] × [α, β] −→ L(RN ) dada por G(x, s) =

( F (x)J(s)

si α ≤ x ≤ s ≤ β,

F (x) J(s) + F −1 (s)




si α ≤ s < x ≤ β,

donde J es la función matricial dada por J(s) = − [BF (α) + CF (β)]−1 CF (β)F −1 (s),

∀s ∈ [α, β].

Ejercicio En las condiciones de la definición, demuestra que J(s) está bien definida, para cualquier s ∈ [α, β]. Además, la función G(·, ·) no depende de la m. f. F elegida. 4. Complementos sobre Problemas de Contorno

4.2. El operador de Green. Núcleo de Green Teorema Supongamos (H1) y sea F ∈ C 1 ([α, β]; L(RN )) una matriz fundamental asociada a y 0 = A(x)y . Entonces, la única solución ϕb del problema de contorno (4) asociada a la función b ∈ C 0 ([α, β]; RN ), es decir, G(b) está dada por Z

β

G(b)(x) ≡ ϕb (x) =

G(x, s)b(s) ds,

∀x ∈ [α, β],

α

donde G es la función introducida en la Definición 5.

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4.2. El operador de Green. Núcleo de Green Teorema Supongamos que se satisface (H1). Entonces, el operador de Green G es un operador lineal, continuo y biyectivo entre C 0 ([α, β]; RN ) y X , i.e., G ∈ L(C 0 ([α, β]; RN ); X ). De hecho, también G −1 ∈ L(X ; C 0 ([α, β]; RN )). Prueba: · · · Observación Como se ha visto en la demostración del resultado, la prueba de la continuidad del operador G −1 es directa. Sin embargo, para la prueba de la continuidad de G hemos recurrido a la expresión de G(b) proporcionada por el núcleo de Green. Sin embargo, la continuidad de G puede ser obtenida como consecuencia de la de G −1 sin más que aplicar un resultado clásico de Análisis Funcional: El Teorema del inverso de Banach.

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4.2. El operador de Green. Núcleo de Green Observación Consideremos el problema de contorno para la e.d.o. de orden n:  n) y = a1 (x)y n−1) + · · · + an−1 (x)y 0 + an (x)y + b(x) en [α, β],     n      X j−1) j−1)  c y (α) + d y (β) = h1 ,  1j 1j   j=1

.. ..   . .    n    X  j−1) j−1)   c nj y (α) + d nj y (β) = hn ,   j=1

con ai , b ∈ C 0 ([α, β]), c ij , d ij ∈ R (1 ≤ i, j ≤ n) y hi ∈ R (1 ≤ i ≤ n) dados. Si hacemos el cambio y 1 = y , y 2 = y 0 , ..., y n = y n−1) , llevamos (de manera equivalente) este problema a un problema como (1): Los resultados de ∃ y/o ! de solución dados para (1) pueden ser probados para el anterior problema de contorno. 4. Complementos sobre Problemas de Contorno

4.3. El problema de contorno para una e.d.o. lineal de segundo orden

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4.3. Problema de contorno para e.d.o. lineales orden 2 Estudiaremos el problema de contorno para una e.d.o. lineal de segundo orden escrita en forma autoadjunta y con condiciones de contorno separadas. Para ello, consideramos el problema de contorno  0 0   (p(x)y ) + q(x)y = b(x) en [α, β], (5) c 1 y (α) + d 1 y 0 (α) = 0,   c 2 y (β) + d 2 y 0 (β) = 0, donde b ∈ C 0 ([α, β]) y donde supondremos que los datos p, q, c i y d i , i = 1, 2, satisfacen ( p ∈ C 1 ([α, β]), p(x) > 0 ∀x ∈ [α, β], q ∈ C 0 ([α, β]) y (6) c i , d i ∈ R, c 2i + d 2i 6= 0, i = 1, 2.

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4.3. Problema de contorno para e.d.o. lineales orden 2 Observación Es fácil comprobar que la e.d.o. en (5) (p y q satisfaciendo (6)) puede ser escrita de manera equivalente como (7)

e y 00 = a1 (x)y 0 + a2 (x)y + b(x)

e = b/p ∈ C 0 ([α, β]). para ciertos coeficientes a1 , a2 ∈ C 0 ([α, β]) y b También el recíproco es cierto. Efectivamente, · · · Ejercicio Pruébese la segunda parte de la Observación. Hipótesis (H2): El problema de contorno homogéneo asociado a (5) tiene una única solución, la solución nula.

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4.3. Problema de contorno para e.d.o. lineales orden 2 Siguiendo la Sección 4.2 podemos introducir los correspondientes operador y núcleo de Green para el problema (5). En particular, el núcleo de Green asociado a (5) es una función g : [α, β] × [α, β] −→ R tal que Z β g(x, s)b(s) ds, ∀x ∈ [α, β], ϕb (x) = α

siendo ϕb ∈ C 2 ([α, β]) la única solución de (5) asociada a b ∈ C 0 ([α, β]) (hemos usado la hipótesis (H2)). Objetivo Nuestro próximo objetivo va a ser dar un procedimiento para el cálculo directo del núcleo de Green asociado a (5). Lo haremos mediante las dos siguientes proposiciones.

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4.3. Problema de contorno para e.d.o. lineales orden 2 Proposición Supongamos que se satisfacen las hipótesis (6) y (H2). Entonces, existen dos soluciones ϕ1 , ϕ2 ∈ C 2 ([α, β]) de la e.d.o homogénea (p(x)y 0 )0 + q(x)y = 0 en [α, β], tales que i) c 1 ϕ1 (α) + d 1 ϕ01 (α) = 0, ii) c 2 ϕ2 (β) + d 2 ϕ02 (β) = 0, iii) p(x)(ϕ1 (x)ϕ02 (x) − ϕ01 (x)ϕ2 (x)) = 1

∀x ∈ [α, β].

Prueba: · · · Observación De la prueba anterior deducimos que las funciones construidas {ϕ1 , ϕ2 } forman un sistema fundamental asociado a la e.d.o. homogénea (p(x)y 0 )0 + q(x)y = 0 en [α, β].

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4.3. Problema de contorno para e.d.o. lineales orden 2 Teorema Supongamos que se satisfacen las hipótesis (6) y (H2) y sean ϕ1 y ϕ2 las funciones construidas en la Proposición 8. Consideremos la función g : [α, β] × [α, β] −→ R dada por g(x, s) =

( ϕ1 (x)ϕ2 (s) si α ≤ x ≤ s ≤ β, ϕ1 (s)ϕ2 (x) si α ≤ s < x ≤ β.

Entonces, la función g(·, ·) es el núcleo de Green asociado al problema de contorno (5), es decir, si b ∈ C 0 ([α, β]), la única solución ϕb ∈ C 2 ([α, β]) de (5) está dada por Z

β

g(x, s)b(s) ds,

ϕb (x) =

∀x ∈ [α, β].

α

Prueba: · · · 4. Complementos sobre Problemas de Contorno

4.4. El problema de Sturm-Liouville

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4.4. El problema de Sturm-Liouville En esta sección estudiaremos el llamado problema de Sturm-Liouville. Se trata de un problema de autovalores asociado a una e.d.o. lineal escrita en forma autoadjunta y con condiciones de contorno separadas. Para describirlo, consideremos el problema  0 0   (p(x)y ) + q(x)y = −λy en [α, β], (8) c 1 y (α) + d 1 y 0 (α) = 0,   c 2 y (β) + d 2 y 0 (β) = 0, donde α, β ∈ R, con α < β, y donde p, q, c i y d i (i = 1, 2) están dados y satisfacen (6). En (8) λ ∈ R es un parámetro a determinar. Definición Se dice que λ ∈ R es un autovalor (o valor propio) del problema de Sturm-Liouville (8) si existe ϕλ ∈ C 2 ([α, β]), no idénticamente nula, solución de (8). En este caso se dice que la solución ϕλ de (8) es una autofunción (o función propia) del problema de Sturm-Liouville (8) asociada al autovalor λ. 4. Complementos sobre Problemas de Contorno

4.4. El problema de Sturm-Liouville Proposición Bajo las hipótesis (6), sea λ ∈ R un autovalor del problema de Sturm-Liouville (8). Consideremos el conjunto Vλ = {ϕ : ϕ ∈ C 2 ([α, β]) es solución de (8)}. Entonces, Vλ es un subespacio vectorial de C 2 ([α, β]) y dim Vλ = 1. Prueba: · · · Ejercicio Pruébese que Vλ es un subespacio vectorial de C 2 ([α, β]).

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4.4. El problema de Sturm-Liouville Observación 1

En la prueba de la Proposición 11 sólo hemos utilizado la hipótesis: c 2i + d 2i 6= 0 , i = 1, 2. Por tanto, el resultado sigue siendo válido para e.d.o. que no están escritas en forma autoadjunta.

2

La propiedad de los autovalores de (8) enunciada en la Proposición 11 puede ser reinterpretada diciendo que los autovalores del problema de Sturm-Liouville son simples: si ϕ1 y ϕ2 son autofunciones asociadas al autovalor λ ∈ R del problema (8), entonces, existe c ∈ R tal que ϕ2 (x) = cϕ1 (x),

∀x ∈ [α, β].

En particular que, dado un autovalor λ ∈ R, el problema (8) tiene una única autofunción asociada ϕλ con norma 1 en L2 (α, β), i.e., Z

β

|ϕλ (x)|2 dx = 1.

α 4. Complementos sobre Problemas de Contorno

4.4. El problema de Sturm-Liouville Proposición Bajo las hipótesis (6), sean λ1 , λ2 ∈ R dos autovalores del problema (8) tal que λ1 6= λ2 . Entonces, si ϕ1 y ϕ2 son dos autofunciones de (8) asociadas, respectivamente, a λ1 y a λ2 , se tiene que ϕ1 es ortogonal a ϕ2 en L2 (α, β), es decir, Z

β

ϕ1 (x)ϕ2 (x) dx = 0. α

Prueba: · · · Existencia No vamos a tratar el problema de existencia de autovalores y autofunciones del problema de Sturm-Liouville (8). Enunciaremos (sin prueba) un resultado de existencia que es consecuencia del denominado Teorema de Hilbert-Schmidt. 4. Complementos sobre Problemas de Contorno

4.4. El problema de Sturm-Liouville Teorema Supongamos la hipótesis (6). Entonces, el conjunto Λ de los autovalores del problema (8) forma una sucesión estrictamente creciente de R: Λ = {λn }n≥1 , satisfaciendo λ1 < λ2 < · · · < λn < λn+1 < · · · , con lim λn = ∞. Además, el conjunto de autofunciones normalizadas B := {ϕn = ϕλn }n≥1 forma una base de Hilbert de L2 (α, β), es decir, B es una familia ortonormal de L2 (α, β) tal que u=

∞ X

(u, ϕn )L2 (α,β) ϕn ,

∀u ∈ L2 (α, β),

n=1

siendo la serie convergente en L2 (α, β). En la igualdad anterior hemos Rβ seguido la notación (ϕ, ψ)L2 (α,β) = α ϕ(x)ψ(x) dx, ∀ϕ, ψ ∈ L2 (α, β). 4. Complementos sobre Problemas de Contorno