4º ESO – VECTORES y RECTAS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS.

SAGRADO CORAZÓN COPIRRAI_Julio César Abad Martínez-Losa

ARNEDO (LA RIOJA)

VECTORES y RECTAS La geometría analítica, es como se llama esta parte de las matemáticas, trata de explicar todo lo relacionado con las rectas en el plano (en 2.º de bachillerato en la modalidad de Ciencias y Tecnología se estudia la recta en el espacio, tres dimensiones), utilizando ecuaciones, en este caso en dos dimensiones, esto es, dos variables, la “x” y la “y” normalmente. Antes de meternos de lleno en el estudio analítico de la recta en el plano, vamos a recordar y ampliar nuestros conocimientos sobre vectores en el plano. A partir de ahora, damos por hecho que los vectores y las rectas están situadas en el plano (dos dimensiones) y no en el espacio (tres dimensiones). 1.- VECTORES EN EL PLANO  * Un vector fijo AB es un segmento que comienza en A (origen) y termina en B (extremo). Si el vector es el  BA , entonces el origen es B y el extremo es A. Los elementos que determinan un vector son:    .- MÓDULO de AB : Es la longitud del vector AB . Se denota por AB .  .- DIRECCIÓN de AB : Es la dirección de la recta que pasa por A y por B. Todas las paralelas

con ella tienen la misma dirección.  .- SENTIDO de AB : Cada dirección tiene dos sentidos, de A a B o de B a A. 1.1 Coordenadas de un vector  Dado un punto A (x a , ya) y un punto B (x b , yb) se calculan las coordenadas del vector AB , restando las  coordenadas del primer punto a las coordenadas del segundo punto: AB ( xb–xa , yb–ya)  EJEMPLO_ Calcula las coordenadas del vector AB siendo A(3,1) y B(7,4).  Restamos las coordenadas de A a las de B: AB = (7–3 , 4–1) = (4,3)   Cualquier vector u que tenga coordenadas u =(4,3), será un vector

equipolente (mismo módulo, misma dirección y mismo sentido) al VECTOR  FIJO AB , además todos estos vectores forman lo que llamamos VECTOR LIBRE de coordenadas (4,3) y son todos los vectores que tengan esas coordenadas. De todos ellos hay uno especial, aquel cuyo origen se encuentra en el origen de coordenadas O (0,0), ya que ese vector tendrá el extremo en un punto P cuyas coordenadas son  justamente las del vector (4,3), a este vector OP se le llama vector de posición  del punto P. Por ello para distinguir un vector OP de coordenadas (4,3) de un punto P de coordenadas (4,3)

deberemos guiarnos por el contexto que nos marque el enunciado del problema. 2.- OPERACIONES CON VECTORES 2.1 Suma de vectores      * Dados dos vectores u = (ux , uy ) y v = (v x , v y ) se define el vector suma u + v = w = (ux + v x , uy + v y ) .   La suma gráfica se hace poniendo el vector u con origen en O(0,0) y colocando a continuación el vector v     con origen en el extremo del u , el vector suma u + v = w es el vector con origen en O(0,0) y extremo en el extremo  de v .

Una segunda forma de sumar vectores consiste en poner ambos vectores con origen en O(0,0) y trazar el paralelogramo que    u + v = w es forman, el vector la diagonal mayor del     paralelogramo. En este método, la resta u − v o v − u es la diagonal menor en un sentido o en otro. Este método se conoce con el nombre de “Método del paralelogramo”. 1

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  EJEMPLO_ Dados los vectores u = (3,8) y v = (5,− 2) .

Calcula la suma de forma analítica y de forma gráfica. A) De forma analítica:    u + v = w = (3,8) + (5,-2) = (3+5,8-2) = (8,6) B) De forma gráfica:  B1) Colocando el vector u y a continuación el  vector v , imagen izquierda.

B2) Método del paralelogramo, imagen derecha.  El vector w es el vector de posición del punto P. 2.2 Producto de un número real por un vector   * Dado un vector u = (ux , uy ) , el producto de un número real “t” por el vector u se define como un vector

  t ⋅ u que tiene por coordenadas t ⋅ u = (tux , tu y ) .   Si t>1, el vector t ⋅ u tendrá misma dirección, mismo sentido y mayor tamaño que u .   Si 0