4

Los números enteros

Presentación de la unidad

signos), y finalizaremos con el cálculo de expresiones con paréntesis y operaciones combinadas.

• La ampliación del campo numérico, incluyendo los negativos, supone, para los alumnos y las alumnas, una dificultad importante, porque entra en conflicto con su idea anterior de número solo como cantidad tangible. Una prueba de la dificultad de comprensión de esos números nos la da el hecho de que, en Europa, no fueron aceptados hasta el siglo xvi. En algunos países, como Francia e Italia, se les llama números relativos, porque dependen del signo.

• Los contenidos de esta unidad son de dos tipos: – Comprensión de los números enteros y de las leyes que los rigen: • Significado de los números negativos. • Recta numérica. Valor absoluto de un entero. Comparación de números enteros. • Significado de las operaciones y de sus propiedades. – Destreza operatoria:

• La secuencia didáctica comienza por mostrar la necesidad de los números negativos, mediante la cuantificación de situaciones que los demandan y contextualizan: temperaturas (sobre-bajo cero), posiciones de un ascensor (pisos/sótanos), saldos bancarios (haberes/números rojos).

• Suma, resta, multiplicación y división de enteros. • Manejo de expresiones con paréntesis y operaciones combinadas. • Cálculo mental.

• Una vez identificados los números negativos, procederemos a la definición del conjunto de los números enteros (Z), introduciendo su nomenclatura, su estructura (orden) y su representación (recta numérica).

Conocimientos mínimos Al finalizar la unidad, consideramos imprescindible que el alumnado domine los siguientes contenidos:

• A continuación iniciaremos las operaciones, aprendiendo a sumar y a restar números positivos y negativos, y a manejar expresiones con sumas, restas y paréntesis. Seguirá la práctica de la multiplicación y de la división (mecanización de la regla de los

• Elaboración e interpretación de mensajes en los que se utilizan los números enteros para cuantificar o codificar la información.

Esquema de la unidad

EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS sus elementos (los números enteros) sirven para

está formado por

los números naturales (enteros positivos)

el cero

los números opuestos a los naturales (enteros negativos)

tienen

SIGNO

EXPRESAR

RESOLVER PROBLEMAS

mediante

POSICIONES FIJAS

OPERACIONES VARIACIONES

de

VALOR ABSOLUTO SUMA Y RESTA

+

–

|–a| = a

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN

POTENCIACIÓN

RAÍZ CUADRADA

que pueden ser solo de

los que difieren solo en el signo se llaman NÚMEROS OPUESTOS

64

por encima de cero

enteros positivos

aumentos

por debajo de cero

enteros negativos

disminuciones

REGLA DE LOS SIGNOS

enteros no negativos

Adaptación curricular

• Comparación y ordenación de números enteros. • Representación de enteros en la recta numérica. • Realización de las operaciones numéricas con números enteros que impliquen el manejo de: – Jerarquía de las operaciones.

En la parte de “Recursos fotocopiables” se ofrece una adaptación curricular de esta unidad 4 del libro del alumnado, para cuya elaboración se han tenido en cuenta los conocimientos mínimos que aquí se proponen. La lectura inicial servirá para ejercitar la comprensión lectora y para mostrar los dos aspectos que justifican el estudio de las matemáticas: el práctico y el intelectual.

– Supresión de paréntesis. – Regla de los signos.

Anticipación de tareas • Revisar las propiedades de las operaciones con los números naturales. • Recordar la prioridad en las expresiones con paréntesis y operaciones combinadas de números naturales. • Practicar y asegurar el cálculo mental (sumas y restas de números naturales). • Recordar el orden de los números naturales y su representación en la recta numérica.

Los contenidos, si se adaptan a esos mínimos exigibles, o bien no han sufrido cambio alguno o bien se han modificado ligeramente para adecuarlos al posible nivel de los estudiantes a quienes va dirigido. Lo mismo cabe decir de los ejercicios prácticos que se proponen. Si algún contenido supera los mínimos exigibles, o bien se ha suprimido o bien se ha adaptado para ajustarlo a los requisitos exigidos. Finalmente, los ejercicios y problemas con los que finaliza la unidad se han reducido en cantidad y se han modificado o bajado de nivel hasta adaptarse a lo convenido. Lo mismo cabe decir de la autoevaluación.

En la siguiente tabla se recoge una relación de actividades para atender y trabajar el aprendizaje cooperativo, el pensamiento comprensivo, el pensamiento crítico, la interdisciplinariedad, las TIC, el emprendimiento y la resolución de problemas. Unas están propuestas en el libro del alumnado (L.A.), y aquí se hace referencia a ellas indicando la página y la actividad, y otras, como se indica, se sugieren en esta Propuesta Didáctica (P.D.). Una selección de estas sugerencias están marcadas en el libro del alumnado con un icono; aquí se han marcado con (*). APRENDIZAJE COOPERATIVO

PENSAMIENTO COMPRENSIVO (*)

PENSAMIENTO CRÍTICO

Pág. 69. Actividad 9 (*)

Pág. 65. Actividad sugerida en esta P.D.

Pág. 67. Actividades 3, 5, 7, 8 y 9

Pág. 71. Actividad sugerida en esta P.D.

Pág. 69. Actividad 1

Pág. 71. Actividad 1

Pág. 71. Actividades 2, 7 y 14

Pág. 74. Actividad 8 (*)

Pág. 73. Ejercicio resuelto(*)

Pág. 79. Actividades 15 y 16 (*)

Pág. 74. Actividad 15

Pág. 82. Actividades 24 y 28

Pág. 76. Actividad 7

Pág. 83. Actividades 30, 38 y 40

Pág. 77. Ejercicio resuelto

Pág. 84. Actividad “Dados” (*)

Pág. 80. Actividades 5 (*) y 7 Pág. 81. Actividad 18

INTERDISCIPLINARIEDAD

Pág. 66. Actividad sugerida en esta P.D.

TIC

EMPRENDIMIENTO

Pág. 64. Actividad suge- Pág. 80. Actividad 10 rida en esta P.D. (*) Pág. 83. Actividad 38 (*)

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Todos los problemas propuestos en el L.A. están encuadrados en este apartado. Aquí se señalan algunos que tienen especial interés. Pág. 82. Actividad “Aprende a resolver problemas” (*)

Pág. 84. Actividad “Los cuadrados Pág. 83. Actividades 30 (*), 37 (*) y 40 (*) mágicos” (*) Pág. 85. Actividad “Entrénate resolviendo problemas” (*) 65

4

Los números enteros “Si a 9 le añadimos 6 y restamos 7, obtenemos 8”. Esta afirmación la podemos escribir así: 9 + 6 – 7 = 8. Para llegar a una expresión tan sencilla, las matemáticas han tenido que recorrer un largo camino.

Algunos usos de los números con signo ■

VIVIENDA ACADEMIA

La peluquería está en la segunda planta (+2). Las calderas están en el cuarto sótano (–4).

■

OFICINA

Desde el aparcamiento a la vivienda se suben siete plantas (+7).

PELUQUERÍA

Desde la vivienda al aparcamiento se bajan siete plantas (–7).

E

n el siglo III a.†C., los chinos trabajaron con cantidades negativas. Para ello, utilizaban dos conjuntos de varillas, unas rojas para las positivas y otras negras para las negativas.

1

RESTAURANTE

¿Qué botón del ascensor hay que pulsar para subir a la academia?

MODAS

¿A qué planta se llega pulsando el botón (–3)?

GIMNASIO

2

¿Cuánta plantas hay que subir para ir desde el gimnasio hasta el restaurante? ¿Qué número asocias a ese desplazamiento?

APARCAMIENTO

3

¿Qué número asocias a la bajada desde la vivienda hasta el cuarto de calderas?

LAVACOCHES CALDERAS

¿Quién gana y quién pierde? He perdido un billete de 50 €.

He cobrado un trabajo de 70 €.

NURIA

4

T

uvieron que pasar todavía unos mil años, hasta que en el siglo VII, en India, se sistematizara el uso de los números negativos, del cero y de la regla de los signos.

De India, y gracias a los árabes, estos conceptos llegaron a Europa hacia el siglo IX. Sin embargo, hasta el siglo XV no aparecieron los signos + y –; primero, para designar cantidades positivas y negativas, y después, para las operaciones de suma y resta. El signo = se inventó en 1560. Ya ves, lo que tú puedes escribir en unos segundos, a la matemática le costó miles de años.

• La lectura sirve para anunciar y aproximar al alumnado a los contenidos de la unidad. A la vez, muestra algunos trazos del largo camino seguido por la humanidad para conseguir el control y dominio de los números enteros que ahora se presentan como producto acabado. Con ello, además de adquirir una visión histórica del proceso de construcción de estos conocimientos, el estudiante aprenderá a valorar el legado que recibimos del pasado.

Me ha llegado una factura de 120 €.

ROSA

PABLO

JUAN

¿Qué número asocias a cada enunciado?

Recuerda el papel de los paréntesis 15 – 6 · 2 + 1

(15 – 6) · 2 + 1

15 – (6 · 2 + 1)

15 – 12 + 1

9·2+1

15 – (12 + 1)

3+1

18 + 1

15 – 13

4

19

2

5

Comprueba que los resultados de estas expresiones son los que se dan: a) (15 – 6 · 2) + 1 = 4

Al iniciar la unidad

Me han perdonado una deuda de 20 €.

b) (15 – 6) · (2 + 1) = 27

Aprendizaje cooperativo Se sugiere la siguiente actividad: En gran grupo, los estudiantes comentan y resuelven verbalmente las actividades, contrastan opiniones y acuerdan conclusiones. El docente, o un estudiante, hace de moderador.

Soluciones de las actividades 1 Para subir a la academia hay que pulsar el botón 4. Pulsando el botón (–3) se llega al lavacoches.

Cuestiones para detectar ideas previas • En la página 65 se propone una serie de actividades, que remueven contenidos todavía no estructurados, dirigidas a: – Mostrar la utilidad de los números positivos y negativos. – Activar los conocimientos previos de los alumnos. – Establecer conexiones entre lo que se sabe y lo que se va a aprender en la unidad. – Partir de una posición de confianza, al reconocer como próximos y cotidianos los contextos de las actividades. • A lo largo de la unidad, a medida que vayan apareciendo los conceptos y procedimientos que se van a aprender, ya de forma estructurada, el alumnado establecerá relaciones con lo que aquí se ha trabajado.

TIC Se sugiere la siguiente actividad: Busca en Internet: ¿En qué país se empezó a utilizar el signo – para los números negativos? ¿Qué matemático fue el responsable de su introducción? 66

2 Hay que subir dos plantas (+2). 3 –9 4 Nuria: +70

Pablo: –50

Rosa: +20

5 a) (15 – 6 · 2) + 1 = (15 – 12) + 1 = 3 + 1 = 4 b) (15 – 6) · (2 + 1) = 9 · 3 = 27

ANOTACIONES

Juan: –120

1

UNIDAD

Números positivos y negativos

1. Describe tres situaciones en las que se hace necesario

Los números naturales se utilizan para cuantificar multitud de situaciones cotidianas. Sin embargo, a veces no sirven para diferenciar las situaciones opuestas asociadas. En esos casos, es necesaria la utilización de los números negativos. Por ejemplo:

30 °C

• Vivo en el segundo piso ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→

+2 → N.º natural

• Tengo el coche en el segundo sótano ⎯⎯⎯⎯→

–2 → N.º negativo

• El termómetro marca 30 grados ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ +30 → N.º natural • El termómetro marca 30 grados bajo cero ⎯⎯→ –30 → N.º negativo • Los números negativos se escriben precedidos del signo menos: –1, –2, –3, – 4, –5, … • Cuando un número no lleva signo, entendemos que es positivo: 3 = +3

+15 = 15

• Los números negativos, en las operaciones, se escriben entre paréntesis. Así se evita que vayan dos signos seguidos: 5 + (–2) → El número positivo 5 se suma con el negativo –2. (– 4) · (–3) → El número negativo – 4 se multiplica por el negativo –3.

–30 °C

Utilidad de los números positivos y negativos ■

el uso de números negativos.

6. Escribe un número para cada movimiento en la recta: A

Por ejemplo, para expresar las lecturas del termómetro de ambiente. 2. Escribe tres elementos más en cada una de las siguien-

tes series numéricas:

0

5

a) La temperatura ha bajado de 21 °C a 18 °C. b) La semana pasada tenía 37 € en la hucha y ahora solo tengo 34 €.

b) 6, 4, 2, 0, –2, … c) 20, 15, 10, 5, 0, …

c) Ha amanecido a dos grados bajo cero y ahora, a mediodía, tenemos 3 °C.

d) –21, –20, –18, –15, –11, …

d) Llegué a casa de los abuelos con 6 € en mi monedero, me dieron la paga y ahora salgo con 16 €.

e) 8, 7, 5, 2, –2, … 3. Asocia un número positivo o negativo a cada uno de

los enunciados siguientes:

8. Cuantifica con un número positivo o negativo cada

situación:

a) Mercedes tiene en el banco 2 500 euros.

a) Carmen vive en la quinta planta.

b) Miguel debe 150 euros. c) El termómetro marca 18 °C.

b) En el tercer sótano está la caldera de la calefacción.

d) El termómetro marca tres grados bajo cero. e) La avioneta vuela a 800 metros sobre el nivel del mar.

c) En la planta baja hay un comercio de ropa.

f ) El submarino navega a 40 metros bajo la superficie.

d) Victoria aparca en el segundo sótano y sube a la peluquería, en el segundo piso.

4. Observa los ejes de coordenadas en el plano cuadricu-

lado. El punto A se define mediante sus coordenadas:

Los números positivos y los números negativos sirven para expresar cantidades o posiciones fijas. Por ejemplo:

A → (+4, +2)

• En un edificio, podemos estar en un piso sobre la calle o en un sótano:

B

e) Mario entra por el portal y baja al gimnasio.

Sexto piso ⎯⎯⎯⎯→ +6

Rosa tiene ciento cincuenta euros. ⎯⎯⎯→ +150 Francisco debe ochenta y cinco euros. ⎯→ –85 Los números positivos y los negativos sirven para expresar variaciones de cantidad. Por ejemplo: • Con el ascensor del edificio puedes subir o bajar a otra planta: Subes del segundo al quinto (tres plantas). ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ +3 Bajas del tercer piso al segundo sótano (cinco plantas). ⎯→ –5 • La temperatura que marca el termómetro sufre variaciones: Hace más calor. El termómetro ha subido cuatro grados. ⎯→ +4 Está refrescando. El termómetro ha bajado seis grados. ⎯→ – 6

15

7. Asocia un número a cada enunciado:

a) 0, 1, –1, 2, –2, …

A

• Nuestro saldo en una cuenta bancaria puede ser positivo o estar en números rojos (negativo):

B 10

f ) El conserje baja en el ascensor desde el último piso al cuarto de calderas.

Segundo sótano ⎯⎯→ –2

■

4

Piensa y practica

C

9.

D

¿Cuáles son las coordenadas de los otros tres vértices del cuadrilátero?

Para trasladar la circunferencia roja y colocar su centro sobre el de la circunferencia azul, definimos este movimiento: Horizontal → +10

Vertical → +5

5. Expresa numéricamente cada enunciado:

Define, de la misma forma, el movimiento que llevaría el centro de la circunferencia verde sobre el centro de la azul.

a) El termómetro ha subido cinco grados. b) El termómetro ha bajado cinco grados. c) He perdido una moneda de 2 €. d) Me he encontrado una moneda de 2 €. e) He gastado 150 € en el supermercado. f ) He cobrado 150 € por un trabajo realizado.

66

Sugerencias • Comenzamos justificando la necesidad de ampliar del conjunto de los números naturales y constatar la utilidad de los nuevos números que se van a aprender: los negativos. Para ello, partiremos de situaciones conocidas por los alumnos y las alumnas, próximas a sus vivencias cotidianas. Los contextos típicos para trabajar con números enteros son temperaturas, balances de cuentas, husos horarios, situaciones por encima y por debajo de un nivel, fechas históricas antes y después de Cristo, etc. • Puesto que lo nuevo que van a aprender son los números negativos, comenzamos por presentar su significado, su notación y la forma de expresar sus diferentes operaciones. Es decir, aprendemos a manejarlos. • Al tratar sobre la utilidad de los números enteros, veremos que sirven para cuantificar dos tipos de situaciones que se interrelacionan, pero que no hay que confundir: – Para expresar posiciones fijas por encima o por debajo de un nivel: la temperatura de un termómetro, el nivel del agua, el saldo de una cuenta... – Para expresar variaciones al alza o a la baja: variaciones de temperatura, movimientos de una cuenta... • Es fácil que el estudiante se encuentre aquí con las primeras dificultades. Por ejemplo: que de una cuenta bancaria se pueda extraer más dinero del que hay; que deber dinero significa “tener de menos”; o que al subir una temperatura el resultado pueda tener menor valor absoluto. Para superar este tipo de bloqueos, se sugiere la manipulación de objetos, la dramatización de situaciones cotidianas y la utilización de esquemas gráficos. • En las actividades 4 y 9 aparece una interesante aplicación de los números enteros, que permite ampliar la capacidad de representación del plano cartesiano, al incorporar las zonas con una o dos coordenadas negativas y los movimientos de puntos: derecha-izquierda, arriba-abajo.

67

Refuerzo y Ampliación Se recomiendan: • Del cuaderno n.º 2 de EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS: Refuerzo: Ejercicio 1 de la pág. 38. Ampliación: Ejercicio 2 de la pág. 38.

Interdisciplinariedad Se sugiere la siguiente actividad: Encontrar y describir varias situaciones relativas a distintas actividades o ramas de la ciencia (medicina, física, economía, estadística…) en las que los números enteros son de utilidad.

Soluciones de “Piensa y practica” 1 Respuesta abierta. 2 a) 3, –3, 4

b) – 4, – 6, – 8

d) – 6, 0, 7

3 a) +2500

c) –5, –10, –15

e) –7, –13, –20 b) –150

c) +18

d) –3

e) +800

f ) – 40

d) +2

e) –150

f ) +150

4 B (–3, +4); C (–5, –2); D (+1, –4) 5 a) +5

b) –5

c) –2

6 A → +7

B → –5

7 a) –3 8 a) +5

b) –3 b) –3

9 Horizontal → +9

c) +5 c) 0

d) +4

d) +10 e) –1

f ) –8

Vertical → –3 67

2

El conjunto de los números enteros

Valor absoluto de un número entero El valor absoluto de un número entero es la longitud del segmento que lo separa del cero en la recta numérica. Se expresa escribiéndolo entre barras:

El conjunto Z NATURALES

NEGATIVOS

El valor absoluto de –7 es 7. → |–7| = 7

Si al conjunto N de los números naturales le añadimos los correspondientes números negativos, obtenemos un nuevo conjunto que se conoce en matemáticas como conjunto de los números enteros y se designa por la letra Z.

El valor absoluto de +4 es 4. → |+4| = 4 |–7| = 7

El conjunto Z de los números enteros está formado por: CERO

NÚMEROS ENTEROS

• Los correspondientes negativos ⎯→ –1, –2, –3, – 4, …

Así se escribe

Z

Ordenación y comparación de números enteros Observa

El conjunto Z no tiene ni principio ni fin. Siempre se pueden encontrar más positivos a la derecha y más negativos a la izquierda.

Los números enteros se representan, ordenados, en la recta numérica:

|a | → valor absoluto de a

Opuesto de un entero El opuesto de un número entero es su simétrico respecto del cero en la recta. Es decir, el que está a la misma distancia del cero, pero del lado contrario. –5

En la recta puedes ver que cualquier número es mayor que otro que esté a su izquierda y menor que otro que esté a su derecha. Por tanto:

Los números 5 y –5 son opuestos el uno del otro.

quier número negativo.

El opuesto de un entero es otro entero del mismo valor absoluto, pero de signo contrario.

0 > –5

• Cualquier número positivo es mayor que cualquier número negativo.

+5 > –5

+5 > –13

• Los números negativos se ordenan al revés que los positivos. Es decir, cuanto En la web

mayor sea la cifra, sin considerar el signo, menor es el número. –1 > –2

Practica ordenando números enteros.

–2 > –7

Piensa y practica

1. Clasifica estos números en un gráfico como el que ves

debajo: –9

–7 > –15

+7

Ejemplo

+1

–1

+45

0 +13

–2

Debo 8 €.

Ni tengo ni debo.

Tengo 8 €.

Tengo 15 €.

ENTEROS

+8

+15

Como puedes ver: • Quien más tiene es la chica que tiene 15 €. • Quien no tiene nada tiene más que los que deben. –20 < –8 < 0 < +8 < +15 • Quien menos tiene es la chica que debe 20 €.

d) –13

a) |– 6| = …

b) |+6| = …

c) |– 2| = …

d) |+9| = …

e) |–11| = …

f ) |+10| = …

8. Dos números enteros opuestos distan en la recta

corresponda.

0

c) +11

7. ¿Qué número entero es opuesto de sí mismo?

2. Representa en la recta y ordena de menor a mayor.

3. Copia en tu cuaderno y coloca los signos < o > según –8

b) –7

6. Completa en tu cuaderno.

NATURALES

–7, +4, –1, +7, +6, – 4, –5, +3, –11

–20

5. Escribe el valor absoluto y el opuesto de cada número:

a) +8

NEGATIVOS

+1 –12 –11 +150

Debo 20 €.

+5 0

• Cualquier número positivo es mayor que el cero, y este es mayor que cual-

+5 > –2

+4 |+4| = 4

El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta al quitarle el signo.

Valor absoluto: • De (+5) → |+5| = 5 • De (–5) → |–5| = 5 Opuesto: • De (+5) → (–5) • De (–5) → (+5)

–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

+5 > 0

0

–7

• Los naturales, que son los positivos → +1, +2, +3, +4, … • El cero ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 0

12 unidades. ¿Qué números son?

9.

¿Verdadero o falso? a) Todos los números enteros son también naturales.

a) (+8) … (+3)

b) (–8) … (+3)

c) (+8) … (–3)

d) (–2) … (–5)

e) (+2) … (–5)

f ) (–2) … (+5)

4. Ordena de menor a mayor.

b) Todos los números naturales son también enteros. c) Un número positivo es siempre mayor que su opuesto.

a) +5, –3, –7, 0, +1, +6, –12, –5

d) Entre dos números enteros, es mayor el que tiene mayor valor absoluto.

b) –6, –3, –9, 0, –1, –5, –12, – 4

e) El valor absoluto de cero es cero.

68

Sugerencias • Reuniendo lo que hasta aquí saben los alumnos y las alumnas sobre números positivos y negativos, se construye ahora el conjunto de los números enteros y se presenta su notación junto a algunos rasgos importantes de su estructura. • La representación de los números enteros en la recta numérica servirá de apoyo para la comparación y para la ordenación del conjunto. Así, a partir de la imagen visual de la recta, los alumnos y las alumnas establecerán que entre dos enteros el mayor queda siempre a la derecha, que este conjunto no tiene principio ni fin, que el conjunto de los naturales está contenido en el de los enteros, etc. • El concepto de valor absoluto nos servirá para definir el de opuesto y para verbalizar la comparación de números positivos y números negativos. Ambos conceptos se reforzarán con la ayuda de la recta numérica: – El valor absoluto de un número se visualizará como la longitud del segmento que lo separa del cero. – La idea de números opuestos se asociará a la imagen de los puntos simétricos respecto al cero; es decir, con el mismo valor absoluto. • La comparación y la ordenación de números positivos y negativos suelen presentar alguna dificultad para los estudiantes, sobre todo cuando el número mayor tiene menor valor absoluto. En estos casos, además de recurrir a la recta numérica, conviene manejar ejemplos concretos, en contextos conocidos, que ayuden a aclarar las ideas: – El que tiene 5 € tiene más que el que debe 10 €. – Tres grados sobre cero (+3 ºC) es una temperatura superior a cinco grados bajo cero (–5 ºC). – La segunda planta de un edificio (+2) está por encima del tercer sótano (–3). 68

4

UNIDAD

69

Refuerzo y Ampliación • Del cuaderno n.º 2 de EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS: Refuerzo: Ejercicios 3 y 4 de la pág. 38. Ampliación: Ejercicios 1 a 6 de la pág. 39.

Soluciones de “Piensa y practica” 1 Negativos: –9, –1, –2, –12, –11 Naturales: +1, +45, +7, +13, +9, +150 Enteros no negativos y no naturales: 0

2 –11 < –7 < –5 < – 4 < –1 < +3 < +4 < +6 < +7 3 a) (+8) > (+3) d) (–2) > (–5)

b) (– 8) < (+3)

c) (+8) > (–3)

e) (+2) > (–5)

f ) (–2) < (+5)

4 a) –12 < –7 < –5 < –3 < 0 < +1 < +5 < +6 b) –12 < –9 < – 6 < –5 < – 4 < –3 < –1 < 0

5 a) |+8| = 8; opuesto de (+8) = – 8 b) |–7| = 7; opuesto de (–7) = +7 c) |+11| = 11; opuesto de (+11) = –11 d) |–13| = 13; opuesto de (–13) = +13

6 a) 6 b) 6 c) 2 d) 9 e) 11 f  ) 10 7 El cero. 8 6 y – 6 9 a) F

b) V

c) V

d) F

e) V

3

4

UNIDAD

Sumas y restas de números enteros

Piensa y practica

1. Escribe cada enunciado junto a la expresión que le

Empecemos aprendiendo a resolver las expresiones más sencillas, que son las que no tienen paréntesis.

Sumas y restas de dos números ■

Los dos números llevan el mismo signo • Si me dan 5 y me dan 3, gano 8. ⎯⎯⎯⎯→ 5 + 3 = +8

• Se pone el mismo signo que tenían los números.

d) Si me quitan 5 y me quitan 7, … → –5 – 7 = …

Para resolver estas expresiones, puedes actuar de dos formas diferentes.

Puedes ir operando, paso a paso, en el orden en que aparecen los números en la expresión.

0 –7 +4 – 7 = –3

En la web

Practica la suma y la resta de números positivos y negativos.

–

O puedes sumar los positivos por un lado y los negativos por otro. Después, se restan los resultados.

7

+

6

–

3

2

–

7

+

6

–

3

–5

+

6

–

3

2

+

6

–

7

–

3

+1

–

3

8

– 10

–2

–2

Ejercicio resuelto a) 8 – 2 – 10 – 5 + 3 =

6 – 10 – 5 + 3 = – 4 – 5 + 3 = –9 + 3 = – 6

h) –8 – 7

i) –12 – 4

b) – 6 + 19 – 15 + 23 – 12 =

b) 3 – 7

c) 6 – 10

d) –2 + 7

e) –15 + 5

f ) –11 + 8

g) 7 – 12

h) 11 – 4

i) –18 + 10

b) – 8 + 7

c) –5 – 1

d) 8 + 2

e) 10 – 12

f ) –16 + 20

g) 11 + 21

h) –13 – 12

i) –18 + 11

f ) –5 – 3 – 4

b) 6 – 7 + 4 – 3

c) 5 + 8 – 9 – 6

d) – 4 – 9 + 6 + 2

e) –3 – 5 + 7 + 7

f )–4 – 8 – 2 – 5

• – 4 + 6 – 8 + 7 = 6 + 7 – 4 – 8 = 13 – 12 = 1 a) 5 + 7 – 2 – 4

b) 2 – 6 + 4 – 9

c) 9 – 6 – 7 + 2

d) – 4 – 5 + 3 + 8

e) – 8 + 2 – 7 + 6

f ) –1 + 5 + 6 – 7

12. Copia en tu cuaderno y completa.

a) 2 – 7 – 5 + 8 =

–5+8=

b) 15 – 21 + 13 – 10 =

a) 51 – 28

b) –32 + 49

c) –22 – 36

d) 18 + 27

e) –92 + 49

f ) – 62 – 31

7. Copia en tu cuaderno sustituyendo cada punto por

un número.

+8=

+ 13 – 10 = –6–

– 10 =

=

–

=

13. Resuelve.

a) 6 – 9 – 7 – 5 + 2 + 11 b) 15 + 18 – 11 – 7 – 21 + 27

6. Obtén el resultado de las expresiones siguientes:

c) –9 + 12 – 16 + 25 – 18 – 4 d) – 44 – 16 + 8 + 33 + 23 – 5 e) –3 – 17 – 21 – 9 – 17 + 57 14. Escribe una expresión para los movimientos refleja-

dos en cada recta numérica, y resuélvela:

8 – 11 + 7 – 5

8 – 11 + 7 – 5

+ 7 – 11 –

–3 +

–

a)

PARTIDA

0

– +

–

19 + 23 – 6 – 15 – 12 = 42 – 33 = 9

c) 5 – 9 + 8

e) –11 – 4 + 8

c) – 6 + 11 – 8 + 4 = 11 +

a) 6 – 7

13 – 15 + 23 – 12 = –2 + 23 – 12 = 21 – 12 = 9

b) 12 – 4 – 6

d) –13 + 6 + 4

11. Opera agrupando por signos, como en el ejemplo.

a) 9 – 5

8 + 3 – 2 – 10 – 5 = 11 – 17 = – 6

En la web

Practica la suma y la resta de números enteros.

g) 8 + 7

a) 9 – 2 – 3

a) 2 – 4 – 5 + 8

5. Calcula.

Vamos a calcular 2 – 7 + 6 – 3:

2

f ) –5 – 9

f ) –4 – 3 – 2

• 7 – 5 – 8 – 4 = 2 – 8 – 4 = – 6 – 4 = –10

van signos diferentes en cada caso.

Sumas y restas de más de dos números

+4

c) 10 + 7

e) – 4 – 6

c) 9 – 3 + 5

e) –10 – 3 + 8

10. Resuelve paso a paso, igual que en el modelo resuelto.

4. Opera, teniendo en cuenta que los dos números lle-

Ejemplo

–3

b) 4 + 8

d) – 6 – 2

b) 15 – 9 – 6

d) –2 + 2 + 7

• –12 + 19 – 14 = 19 – 12 – 14 = 19 – 26 = –7

nen el mismo signo en cada caso. a) 6 + 5

a) 10 – 3 – 5

9. Opera como en el ejemplo.

3. Calcula, teniendo en cuenta que ambos números tie-

Los dos números tienen distinto signo

• Se pone el signo del que tiene mayor valor absoluto.

–7 + 4 = –3

+25 – 28 = –3 → Pierdo 3.

c) Si me quitan 9 y me dan 2, … → –9 + 2 = …

• Se restan los valores absolutos.

+4

+15 + 12 = +27 → Gano 27.

b) Si me dan 5 y me quitan 9, pierdo … → +5 – 9 = …

Cuando los dos números llevan distinto signo:

0

–15 – 12 = –27 → Pierdo 27.

• Se suman los valores absolutos.

• Si me dan 5 y me quitan 8, pierdo 3. ⎯⎯⎯→ +5 – 8 = –3

–7 –3

–25 + 28 = +3 → Gano 3.

a) Si me dan 4 y me dan 8, gano 12. → +4 + 8 = …

• Si me quitan 3 y me dan 10, gano 7. ⎯⎯⎯→ –3 + 10 = +7

El orden no cuenta mientras cada número conserve su signo:

• – 6 + 8 – 10 +13 = +2 – 10 + 13 = –8 + 13 = +5

a) Gano 15 y gano 12. b) Gano 25 y gasto 28. c) Gasto 25 y gano 28. d) Gasto 15 y gasto 12.

Cuando los dos números llevan el mismo signo:

■

8. Resuelve como en el ejemplo.

2. Copia en tu cuaderno y completa.

• Si me quitan 4 y me quitan 8, pierdo 12. ⎯→ – 4 – 8 = –12

Ten en cuenta

corresponde.

b)

–

LLEGADA PARTIDA

–

LLEGADA

0

70

Sugerencias

71

Soluciones de “Piensa y practica”

• Iniciamos aquí la introducción de la suma y de la resta de números enteros. Conscientes de la dificultad que entraña todo lo nuevo y de que gran parte del alumnado no ha adquirido aún plenamente el pensamiento abstracto, administraremos cuidadosamente la secuencia de aprendizaje en pasos breves, y recurriremos constantemente a contextos conocidos y a soportes gráficos que ayuden a superar los bloqueos.

1 a) +15 + 12 = +27 → Gano 27.

• Comenzamos proponiendo operaciones aditivas de dos números (solo dos), sin paréntesis, y aseguraremos la superación de todos los casos posibles: los dos números positivos, los dos negativos, el primero positivo y el segundo negativo, el primero de mayor valor absoluto, etc.

3 a) +11

Como apoyo contextual, tomamos las situaciones “me dan/me quitan”, y como apoyo gráfico, la recta numérica. • En el siguiente paso abordamos expresiones con sumas y restas de más de dos números y afianzamos todo lo aprendido.

Refuerzo y Ampliación • Del cuaderno n.º 2 de EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS: Refuerzo: Ejercicios 1 y 2 de la pág. 40. Ampliación: Ejercicios 3, 4 y 5 de la pág. 41.

Aprendizaje cooperativo Se sugiere la siguiente metodología orientada al aprendizaje cooperativo: • Los estudiantes se distribuyen en parejas o tríos.

c) –25 + 28 = +3 → Gano 3.

b) +25 – 28 = –3 → Pierdo 3. d) –15 – 12 = –27 → Pierdo 27.

2 a) +4 + 8 = +12


b) +5 – 9 = –4

c) –9 + 2 = –7

d) –5 – 7 = –12 b) +12

c) +17

d) – 8

g) +15

h) –15

i ) –16

4 a) +4

b) – 4

c) – 4

d) +5

f ) –3

g) –5

h) +7

i ) – 8

5 a) –1

b) –1

c) – 6

d) +10

f ) +4

g) +32

h) –25

i ) –7

f ) –14

e) –10

e) –10

e) –2

6 a) +23 b) +17 c) –58 d) +45 e) –  43 f  ) –93 7 El resultado es –1. 8 a) +2

b) 0

c) +11

d) +7

e) –5

f ) –9

9 a) +4 b) +2 c) +4 d) –3 e) –7 f  ) –12 10 a) +1

b) 0

c) –2

d) –5

e) +6

f ) –19

11 a) +6 b) –9 c) –2 d) +2 e) –7 f  ) +3 12 a) 2 – 7 – 5 + 8 = –5 – 5 + 8 = –10 + 8 = –2 b) 15 – 21 + 13 – 10 = – 6 + 13 – 10 = 7 – 10 = –3 c) – 6 + 11 – 8 + 4 = 11 + 4 – 6 – 8 = 15 – 14 = 1

• Resuelven una serie de expresiones individualmente y, después, contrastan las soluciones y los procesos.

13 a) 2

• Si hay discrepancias, deben descubrir los errores.

14 a) 0 + 11 + 4 – 7 – 3 = 5

b) 21

c) –10

d) 1

e) 10

b) –13 + 5 – 3 + 10 – 3 = – 4 69

4 Sumas y restas con paréntesis

UNIDAD

Sumas y restas dentro de paréntesis El paréntesis empaqueta, en un solo bloque, todo lo que va en él. Por eso, el signo que lo precede afecta a todos los sumandos (o restandos) que haya en el interior. Se dan dos casos.

Ya sabes que los números enteros, en las operaciones, se suelen escribir entre paréntesis. Ahora vas a aprender a suprimir esos paréntesis en las expresiones con sumas y restas. Así, se reducen a lo que ya sabes. Se presentan cuatro casos: ■ SUMAR UN NÚMERO POSITIVO

■ SUMAR UN NÚMERO NEGATIVO

Ingreso un talón de 5 €.

Me llega una factura de 5 €.

■ PARÉNTESIS PRECEDIDO DE SIGNO POSITIVO

me dan (+5) +(5 – 8 + 6) *me dan (– 8)4 → +(+5) + (–8) + (+6) = 5 – 8 + 6 me dan (+6)

FACTURA

TALÓN 5€

Gano. Tengo cinco euros MÁS.

Atendiendo a los dos signos, de fuera y dentro del paréntesis: • Si son iguales, el resultado es positivo.

+ (+) 4→+ – (–)

Al quitar un paréntesis precedido del signo +, los signos de los sumandos (restandos) interiores quedan como estaban.

+(–5) = –5

Para sumar un número entero, se quita el paréntesis y se deja el signo propio del número. +(+a) = +a

+(– a) = – a

■ RESTAR UN NÚMERO POSITIVO

■ RESTAR UN NÚMERO NEGATIVO

Entrego un talón de 5 €.

Me perdonan una factura de 5 €.

■ PARÉNTESIS PRECEDIDO DE SIGNO NEGATIVO

En la web

Rellena los cuadrados mágicos.

TALÓN 5€

5€

Pierdo. Tengo cinco euros MENOS.

Gano. Tengo cinco euros MÁS.

–(+5) = –5

–(–5) = +5

Al quitar un paréntesis precedido del signo –, cada uno de los signos de los sumandos (restandos) interiores se cambia por su opuesto.

Ejercicio resuelto Resolver la expresión siguiente: 15 – [12 – (6 – 11) + (3 – 9)]

Para restar un número entero, se quita el paréntesis y se le pone al número el signo contrario al que tenía. –(+a) = – a

me quitan (+5) –(5 – 8 + 6) *me quitan (– 8)4 → –(+5) – (–8) – (+6) = –5 + 8 – 6 me quitan (+6) Los signos finales son los contrarios a los que había dentro del paréntesis.

FACT URA

• Si son distintos, el resultado es negativo.

+ (–) 4→– – (+)

Los signos finales son los que tenían los sumandos dentro del paréntesis.

5€

Pierdo. Tengo cinco euros MENOS.

+(+5) = +5 Ten en cuenta

–(– a) = +a

Podemos operar de dos formas: a) Operar dentro de los paréntesis, em- b) Quitar paréntesis, empezando por pezando por los más pequeños. los más pequeños, y después operar. 15 – [12 – (6 – 11) + (3 – 9)]

15 – [12 – (6 – 11) + (3 – 9)]

15 – [12 – (–5) + (–6)]

15 – [12 – 6 + 11 + 3 – 9]

15 – [12 + 5 – 6]

15 – 12 + 6 – 11 – 3 + 9

15 – 11

15 + 6 + 9 – 12 – 11 – 3

4

30 – 26

Ejercicio resuelto a) 7 + (+3) = 7 + 3 = 10

b) 7 + (–9) = 7 – 9 = –2

c) 12 – (+4) = 12 – 4 = 8

d) 12 – (– 4) = 12 + 4 = 16

e) (–9) + (–11) = –9 – 11 = –20

f ) (–14) – (–8) = –14 + 8 = – 6

Piensa y practica

4 Piensa y practica

1. Quita paréntesis.

2. Opera y comprueba los resultados.

3. Quita paréntesis, calcula, y comprueba el resultado.

4. Resuelve por dos métodos diferentes.

a) +(–1)

b) –(+4)

c) +(+8)

a) +(+8) – (+5)

b) –(+6) – (–2)

a) +(5 + 3)

b) –(–6 – 3)

c) –(8 + 15)

a) 5 – (9 – 3)

b) 7 + (2 – 8)

d) –(+7)

e) +(–10)

f ) –(– 6)

c) +(–2) + (– 6)

d) +(+7) – (–3)

d) –(–2 – 4)

e) +(9 – 7 – 2)

f ) –(1 – 8 + 3)

c) 12 + (–3 + 10)

d) 15 – (8 + 11)

g) +(–11)

h) –(–13)

i) +(–15)

e) +(–9) – (+2)

f ) –(+6) + (+4)

g) –(– 6 + 5 – 7)

h) –(7 – 5 + 4)

i) –(–3 – 1 – 4)

e) +(9 – 10) – 2

f ) –(7 + 4) + 14

j) –(+16)

k) +(–9)

l) –(–7)

Soluciones: a) 3; b) –4; c) –8; d) 10; e) –11; f ) –2

g) (5 + 8) – (7 + 6)

h) (16 – 9) – (10 – 7)

Soluciones: a) 8; b) 9; c) –23; d) 6; e) 0; f) 4; g) 8; h) –6; i) 8

72

73

Sugerencias

Refuerzo y Ampliación

• El uso del paréntesis permite expresar con propiedad las sumas y las restas de números enteros. Los alumnos y las alumnas aprenderán a suprimir los paréntesis, reduciendo las expresiones a otras como las que han manejado en el epígrafe anterior. • Empezamos suprimiendo paréntesis que contienen en su interior un solo número. Un contexto apropiado para facilitar este paso consiste en tomar cada número entero como un movimiento de una cuenta bancaria, en la que pueden entrar (+) o salir (–) talones (+) o deudas (–). El recurso permite dramatizar todos los casos de suma y resta de enteros. Por ejemplo, si en la cuenta se anula, “sale”, una deuda de 5 €, la cuenta “gana” 5 €: – (–5) = +5 • Otro contexto que suele resultar eficaz consiste en representar las sumas y las restas mediante los movimientos de una ficha sobre una escalera: los números enteros se asocian a los escalones (posiciones fijas) y a los movimientos (variaciones de posición). Así, podemos expresar de forma manipulativa los distintos casos de suma y resta (añadir/suprimir) de números positivos y negativos (subidas/bajadas). Por ejemplo, si la ficha está en el escalón –7 y sube 4 escalones, termina en el escalón –3: (–7) + (+4) = –7 + 4 = –3 • Una vez analizados y comprendidos todos los casos mencionados, con las ayudas indicadas, iremos abandonando paulatinamente los contextos de apoyo y sustituyéndolos por automatismos para el cálculo rápido y el manejo eficaz de las expresiones aditivas. • Finalmente, tras la práctica reiterada del cálculo de sumas y restas, haremos notar que toda resta puede considerarse como una suma del opuesto. Esto nos permite prescindir de la resta y hablar solo de suma de enteros. • Una vez más, conviene insistir en la necesidad de asegurar los conceptos antes de pasar a los automatismos del cálculo. 70

4

Se recomiendan: • Del cuaderno n.º 2 de EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS: Refuerzo: Ejercicios 6 y 7 de la pág. 42. Ampliación: Ejercicio 8 de la pág. 43.

Soluciones de “Piensa y practica” 1 a) –1 g) –11

b) – 4

c) +8

d) –7

e) –10

f ) +6

h) +13

i ) –15

j ) –16

k) –9

l ) +7

2 a) +(+8) – (+5) = 8 – 5 = +3

b) – (+6) – (–2) = – 6 + 2 = – 4

c) +(–2) + (– 6) = –2 – 6 = – 8

d) +(+7) – (–3) = +7 + 3 = +10

e) +(–9) – (+2) = –9 – 2 = –11

f ) – (+6) + (+4) = – 6 + 4 = –2

3 a) 5 + 3 = 8


b) +6 + 3 = 9

c) – 8 – 15 = –23

d) +2 + 4 = 6

e) 9 – 7 – 2 = 0

f ) –1 + 8 – 3 = 4

g) +6 – 5 + 7 = 8

h) –7 + 5 – 4 = – 6

i ) +3 + 1 + 4 = 8

4 a) 5 – (+6) = 5 – 6 = –1; 5 – 9 + 3 = 8 – 9 = –1 b) 7 + (– 6) = 7 – 6 = 1; 7 + 2 – 8 = 9 – 8 = 1 c) 12 + (+7) = 12 + 7 = 19; 12 – 3 + 10 = 22 – 3 = 19 d) 15 – (+19) = 15 – 19 = – 4; 15 – 8 – 11 = 15 – 19 = – 4 e) 9 – 10 – 2 = 9 – 12 = –3; +(–1) – 2 = –1 – 2 = –3 f ) –(+11) + 14 = –11 + 14 = 3; –7 – 4 + 14 = –11 + 14 = 3 g) (+13) – (+13) = 13 – 13 = 0; 5 + 8 – 7 – 6 = 13 – 13 = 0 h) (+7) – (+3) = 7 – 3 = 4; 16 – 9 – 10 + 7 = 23 – 19 = 4

Piensa y practica

5. Quita los paréntesis.

a) +(+2)

12. Calcula, quitando primero los paréntesis, como en

b) +(–8)

c) –(+ 4)

d) –(–9)

6. Quita el paréntesis y calcula igual que en el ejemplo.

• –16 – (–5) = –16 + 5 = –11 a) 12 + (+4)

b) 10 – (+8)

c) 15 – (–6)

d) 10 – (+16)

e) –2 + (+8)

f ) –3 – (–5)

7. Opera, como en el ejemplo, suprimiendo paréntesis.

• –(+14) – (–12) = –14 + 12 = –2

8.

b) (2 + 6) + (5 – 8)

c) (5 – 9) + (2 – 12)

d) (7 + 3) – (5 + 4)

e) (8 – 12) – (2 – 5)

f ) (10 – 7) – (–2 – 6)

g) –(8 + 4) + (5 – 9)

h) –(6 – 2) – (7 – 9)

b) +(–5) + (–3)

c) +(–6) – (+8)

d) –(–7) + (–10)

• (5 – 12) – (8 – 6) = (–7) – (2) = –7 – 2 = –9

e) –(–3) – (–5)

f ) –(–2) – (+6)

g) +(–7) – (–3)

h) –(–5) + (+4)

i) +(–12) + (+10)

j) –(+6) – (+8)

14. Calcula como en el ejemplo:

• 4 – [5 – (8 + 3)] = 4 – [5 – (11)] = = 4 – [5 – 11] = 4 – [– 6] = 4 + 6 = 10

b) La suma de un número positivo y otro negativo es un número negativo. c) El resultado de restar dos números negativos puede ser mayor que cero.

a) 6 + [5 + (7 + 2)]

b) 8 + [4 – (3 + 5)]

c) 10 – [6 + (2 + 7)]

d) 15 – [2 – (6 – 10)]

e) 15 – [10 – (8 + 4)]

f ) 12 – [7 – (2 – 10)]

g) (–6 ) + [5 + (2 – 12)]

h) (–7) – [3 – (4 – 9)]

quitando primero el paréntesis. a) 12 + (+3 – 5)

[8 – 11] – [3 + (–2)]

(–3) – (1) –3 – 1

18

a) 4 + (9 – 7)

b) 15 – (2 – 9)

c) 11 – (–6 + 3)

d) 10 – (–7 – 5)

e) 13 + (–8 + 2)

f ) 17 + (–5 – 9)

g) 8 + (–8 + 8)

h) 9 – (–3 – 10)

11. Repite los ejercicios de la

actividad anterior, operando en primer lugar dentro del paréntesis, como se hace en el modelo.

+7 € +7 €

–5 €

FACTURA –5 €

18

(–5) + (–5) + (–5) + (–5) = –5 –5 –5 – 5 = – 20

FACTURA

(+4) · (–5) = –20

(+4) · ( –5) = –20

–5 €

■ PRODUCTO DE UN NÚMERO NEGATIVO POR OTRO POSITIVO

INGRESO INGRESO INGRESO A

N

U

O AD UL AN

L A

D

O AD UL AN

Restamos tres veces (+7):

+7 €

–(+7) – (+7) – (+7) = –7 – 7 – 7 = –21

+7 €

O

(–3) · (+7) = –21

+7 €

FACTURA FACTURA

ANU

FACTURA

O A D U L A N –5 €

LA D

O

ANU

LA D

O

ANU

LA D

(–3) · (+7) = –21 O

■ PRODUCTO DE DOS NÚMEROS NEGATIVOS

Restamos cuatro veces (–5):

–5 €

–5 €

–(–5) – (–5) – (–5) – (–5) = 5 +5 +5 +5 = 20

–5 €

(–4) · (–5) = +20

(– 4) · (–5) = +20 Para automatizar la multiplicación de enteros, aplica la siguiente regla, que te permite obtener el signo del producto sin necesidad de pararte a reflexionar.

En la web

Practica la regla de los signos.

REGLA DE LOS SIGNOS

Al multiplicar dos números enteros: • Si los dos factores tienen el mismo signo, el resultado (+) · (+) = +

–4

final es positivo.

[8 – (+11)] – [3 + (–7 + 5)] = [8 – 11] – [3 + (–2 )] =

(–) · (–) = +

• Si los dos factores tienen distinto signo, el resultado (+) · (–) = –

final es negativo.

(–) · (+) = –

Para multiplicar tres o más números enteros, tendremos en cuenta las propiedades de la multiplicación:

a) (2 – 10) + [5 – (8 + 2)]

13 + 5

Sumamos cuatro veces (–5):

FACTURA –5 €

16. Calcula.

13 – (–5)

(+3) · (+7) = +21 ■ PRODUCTO DE UN NÚMERO POSITIVO POR OTRO NEGATIVO

FACTURA

= [–3] – [3 – 2] = (–3) – (1) = –3 – 1 = – 4

• 13 – (+4 – 9)

(+7) + (+7) + (+7) = 7 + 7 + 7 = +21

INGRESO

(+3) · (+7) = +21

[–3] – [3 – 2]

22 – 4

10. Quita primero el paréntesis y, después, calcula.

Sumamos tres veces (+7):

INGRESO

FACTURA

[8 – (+11)] – [3 + (–7 + 5)]

13 – 4 + 9

c) 8 – (–5 + 13)

+7 €

Operar: [8 – (+11)] – [3 + (–7 + 5)]

• 13 – (+4 – 9)

b) 14 – (+12 – 10)

■ PRODUCTO DE DOS NÚMEROS POSITIVOS

INGRESO

15. Ejercicio resuelto

d) Restar un número, positivo o negativo, es lo mismo que sumar su opuesto. 9. Resuelve, como en el modelo,

Ya sabes que multiplicar es hacer una suma repetida de sumandos iguales. Teniendo esto en cuenta, multiplicaremos números enteros igual que multiplicamos números naturales, solo que ahora tendremos que atender a los signos.

13. Repite los ejercicios de la actividad anterior, operan-

a) +(+7) + (+6)

a) La suma de dos números positivos es mayor que cero.

Multiplicación de números enteros

• (5 – 12) – (8 – 6) = 5 – 12 – 8 + 6 = 11 – 20 = –9 a) (7 – 4) + (9 – 5)

4

Multiplicación y división de números enteros

el ejemplo.

do en primer lugar dentro de los paréntesis, como se hace en este ejemplo:

¿Verdadero o falso?

5

UNIDAD

• Conmutativa: Cambiar el orden de los factores no influye en el resultado.

b) (12 – 3) – [1 – (2 – 6)]

• Asociativa: La forma en que se agrupen los factores no cambia el resultado.

c) [9 – (+5)] + [7 + (–10)] d) [10 – (–2)] – [5 – (+12)]

(–3) · (+5) · (–2)

e) [8 – (6 + 4)] – (5 – 7) f ) [1 + (6 – 9)] – (8 – 12)

=

(–3) · (+5) · (–2)

=

(–2) · (–3) · (+5)

(–15) · (–2)

(–3) · (–10)

(+6) · (+5)

+30

+30

+30

74

75

Sugerencias • En los ejercicios 9 y 15 de la página 74, se incluyen modelos, con desarrollos en árbol, para ayudar a resolver expresiones con operaciones combinadas. Los alumnos y las alumnas pueden imitar estos ejemplos y posteriormente describir mediante igualdades, en horizontal, el desarrollo paso a paso. • Para introducir la multiplicación en la página 75, empezaremos apoyándonos en un concepto básico que ya conocen los estudiantes: multiplicar es realizar una suma de sumandos iguales. A pesar de que los ejemplos empiezan a complicarse, nos parece que la imagen de la cuenta bancaria resuelve bien los cuatro casos en que clasificamos los productos de enteros atendiendo a las distintas combinaciones de los signos. • El apoyo del contexto nos servirá para justificar los primeros ejemplos y resolver las primeras dudas. A partir de aquí, procuraremos que la práctica sucesiva de numerosos ejercicios lleve al descubrimiento de reglas de simplificación del procedimiento, que se concretarán finalmente en la “regla de los signos”. Este es en realidad el aprendizaje práctico que contiene el epígrafe. • Haremos ver a los alumnos y a las alumnas la necesidad de memorizar y automatizar la aplicación de dicha regla.

Soluciones de “Piensa y practica” 5 a) 2

Se recomiendan: • Del cuaderno n.º 2 de EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS: Refuerzo: Ejercicio 1 de la pág. 44.

Ejercicio 1, apartados a), b) y c) de la pág. 45.



Ejercicio 2, apartados a), b) y e) de la pág. 46.

c) – 4

d) 9

6 a) 16

b) 2

c) 21

d) – 6

e) 6

f ) 2

7 a) 13 f ) – 4

8 a) V

b) – 8

c) –14

d) –3

e) 8

g) – 4

h) 9

i ) –2

j ) –14

b) F

c) V

d) V

9 a) 10 b) 12 c) 0 10 a) 6

b) 22

c) 14

d) 22

e) 7 f  ) 3 g) 8 h) 22

11 a) 6

b) 22

c) 14

d) 22

e) 7 f  ) 3 g) 8 h) 22

12 a) 7 e) –1

13 a) 7

Refuerzo y Ampliación

b) – 8

e) –1

14 a) 20 e) 17

16 a) –13 d) 19

b) 5

c) –14

d) 1

f ) 11

g) –16

h) –2

b) 5

c) –14

d) 1

f ) 11

g) –16

h) –2

b) 4

c) –5

d) 9

f ) –3

g) –11

h) –15

b) 4

c) 1

e) 0

f ) 2 71

División de números enteros Igual que en la multiplicación, lo único nuevo que necesitas aprender para dividir enteros es la forma de calcular el signo del cociente.

6

Operaciones combinadas En las expresiones con números enteros, igual que con las de números naturales, hemos de tener en cuenta el orden de prioridad de las operaciones.

Basándonos en las relaciones entre ambas operaciones, vemos que:

20 – (9 – 12) · (+4)

(+4) · (+5) = +20 → (+20) : (+4) = +5 → Más entre más, más. (– 4) · (–5) = +20 → (+20) : (– 4) = –5 → Más entre menos, menos. (+4) · (–5) = –20

Ten en cuenta El cociente de dos números enteros no siempre es entero. Por ejemplo: (+20) : (–7) → No tiene solución entera.

20 – (–3) · (+4)

(–20) : (+4) = –5 → Menos entre más, menos.

20 – (–12)

(–20) : (–5) = +4 → Menos entre menos, más.

20 + 12

Z (+) : (+) = + ] SIGNOS 2 (–) : (–) = + La regla de los signos para la división ] IGUALES [ coincide con la del producto. (+) : (–) = – ] SIGNOS ] DIFERENTES 2 (–) : (+) = – \

• (+24) : (–8) = –3

• (–16) : (+2) = –8

• (– 44) : (–11) = +4

• Recorre el camino operando con enteros. • Practica las operaciones combinadas.

Practica multiplicando y dividiendo números enteros.

(+24) : (+3)

(–4) : (–2)

+8

+2

• Después, a las multiplicaciones y a las divisiones. • Por último, a las sumas y a las restas.

Como norma general, en las expresiones más complejas iremos paso a paso, resolviendo primero los paréntesis interiores, más pequeños, y obteniendo en cada paso una expresión más simple.

Ejercicio resuelto

18 – (–2) · [(+15) : (–3)]

a) [8 – (–6)] : (+7) + (–9)

18 – (–2) · (–5)

18 – 10

b) 18 – (–2) · [(+15) : (8 – 11)] = 18 – (–2) · [(+15) : (–3)] = = 18 – (–2) · (–5) = 18 – (+10) = 18 – 10 = 8

8

Piensa y practica

5. Calcula.

a) 3 · (–2)

b) –5 · (+3)

c) – 4 · (– 6)

a) (+3) · (–5) · (+2)

b) (– 4) · (–1) · (+6)

d) (– 4) · (+7)

e) (+2) · (+6)

f ) (–5) · (–7)

c) (–2) · (–7) · (–2)

d) (+5) · (– 4) · (–3)

g) (+3) · (–8)

h) (–9) · (–3)

i) (– 6) · (+4)

2. Copia en tu cuaderno y completa.

a) (–6) ·

= –18

b) (+8) ·

c) (–7) ·

= +35

d) (+15) ·

= –24 = +60

6. Opera, sin olvidar el papel de los paréntesis.

a) [(+80) : (–8)] : (–5)

b) [(–70) : (–2)] : (–7)

c) (+50) : [(–30) : (+6)]

d) (– 40) : [(+24) : (+3)]

b) (+20) : (–10)

c) (–12) : (–4)

d) (– 4) : (+3)

e) (–15) : (–3)

f ) (–1) : (+6)

g) (+42) : (–7)

h) (+38) : (+8)

i) (–36) : (+9)

4. Escribe.

[(–12) · (+5)] : (+10) = = (–60) : (+10) = –6

(–60) : (+10)

4. Calcula como en el ejercicio resuelto anterior.

Calcula. a) 5 · (– 4) + 2 · (–3)

a) (–3) · [(–2) + (– 4)]

b) 20 : (–5) – 8 : (+2)

c) (+6) : [(+5) – (+7)]

d) (–20) : [(– 6) – (–2)]

c) 2 · (–8) – 3 · (–7) – 4 · (+3)

e) [(–8) + (+7)] · (–3)

f ) [(–9) + (–3)] : (+6)

d) 6 : (+2) + 5 · (–3) – 12 : (– 4)

–6 8. Opera como en el ejercicio resuelto anterior.

a) Tres divisiones de enteros cuyo cociente sea entero.

a) [(+6) · (– 4)] : (–3)

b) [(–15) · (–2)] : (+6)

b) Tres divisiones de enteros cuyo cociente no sea entero.

c) (–5) · [(+12) : (–3)]

d) [(–5) · (+12)] : (–3)

b) (+4) · [(–5) + (+2)]

5. Ejercicio resuelto

18 – (–4) · [2 – (+6)] = 18 – (– 4) · [2 – 6] = = 18 – (– 4) · [– 4] = 18 – (+16) = 18 – 16 = 2

a) (–8) · (+2) + (–5) · (–3)

[(–12) · (+5)] : (+10)

a) (–8) : (+2)

1.

2. Opera.

7. Ejercicio resuelto

3. Calcula el cociente entero, si existe.

b) 18 – (–2) · [(+15) : (8 – 11)]

a) [8 – (–6)] : (+7) + (–9) = (8 + 6) : (+7) + (–9) = (+14) : (+7) + (–9) = = 2 – 9 = –7

18 – (+10)

Piensa y practica

1. Calcula estos productos:

Sumamos.

• Primero, a los paréntesis.

18 – (–2) · [(+15) : (8 – 11)]

(+24) : [(–6) : (–2)] ≠ [(+24) : (–6)] : (–2)

En la web

Quitamos el paréntesis.

20 – (9 – 12) · (+4) = = 20 – (–3) · (+4) = = 20 – (–12) = = 20 + 12 = 32

En las expresiones con números enteros hemos de atender:

En la web

La división de números enteros no es asociativa. Observa:

Resolvemos el paréntesis. Multiplicamos.

32

Ejemplos • (+15) : (+3) = +5

b) (+40) : (–8) – (–30) : (+6)

6. Opera como en el ejercicio resuelto anterior.

c) (–2) · (–9) + (–24) : (–3) – (– 6) · (– 4)

a) 19 – (–3) · [5 – (+8)]

d) (+27) : (6 – 9) – (11 – 8) · (–5) – (– 6) · (–2)

b) 12 + (–5) · [8 + (–9)]

3. Ejercicio resuelto

c) 12 – [(8 + 5) – (–7)] : (–5)

(–2) · [(–5) + (–4)] =

d) 10 – (+20) : [(4 + 3) + (5 – 8)]

= (–2) · [–5 – 4] = (–2) · [–9] = 18

e) (–2) · [(5 – 7) · (–3)] – (6 – 8)

76

77

4 Solución abierta.

Sugerencias • Partiendo de las relaciones ya conocidas entre la multiplicación y la división exacta, conduciremos a los estudiantes a descubrir los procedimientos para la división de números enteros. Para ello, se propone la siguiente secuencia: – Recordar las relaciones entre multiplicación y división de naturales: 5 · 8 = 40;

40 : 5 = 8;

40 : 8 = 5

– Transferir la relación anterior al producto y al cociente de enteros: (–5) · (+8) = –40;

(–40) : (+8) = –5;

(–40) : (–5) = +8

– Observar el signo del cociente en numerosos ejemplos; detectar regularidades; concretar reglas para la obtención del signo. – Constatar que la regla de los signos para el cociente coincide con la del producto. – Practicar reiteradamente para fijar el procedimiento.

Refuerzo y Ampliación

2 a) (+3) 3 a) – 4

c) –28

d) +60

6 a) +2

b) –5

c) –10

d) –5

8 a) +8

b) +5

c) +20

d) +20

Sugerencias • Se recuerda la prioridad de las operaciones y los paréntesis en las expresiones con operaciones combinadas de números enteros y se sugieren distintos procedimientos prácticos para la simplificación y el cálculo. • Es importante que los alumnos y las alumnas comprueben que, en la resolución de expresiones complejas con números enteros, no existe un camino único y que, para superar la inseguridad inicial, resulta imprescindible la realización de numerosos ejercicios.

• Del cuaderno n.º 2 de EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS: Refuerzo: Ejercicio 8 de la pág. 43.

Soluciones de “Piensa y practica” f ) 35

b) +24

Se recomiendan:

Refuerzo: Ejercicios 2, 3 y 4 de la pág. 44.

1 a) – 6

5 a) –30

Refuerzo y Ampliación

• Del cuaderno n.º 2 de EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS:

72

4

UNIDAD

b) –15

c) 24

d) –28

g) –24

h) 27

i ) –24

b) (–3)

c) (–5)

e) 12

d) (+4)

b) –2

c) 3

d) No entero.

e) 5

f ) No entero.

g) – 6

h) No entero.

i ) – 4

Soluciones de “Piensa y practica” 9 a) –26

b) – 8

c) –7

d) –9

10 a)

–1 b) 0

c) 2

d) – 6

4 a) +18 6 a) +10

b) –12 b) +17

c) –3 c) +16

d) +5

e) +3 d) +5

f ) –2 e) –10

7

4

UNIDAD

Potencias y raíces de números enteros

Piensa y practica

1. Calcula.

Una potencia es una forma abreviada de expresar una multiplicación de factores iguales. Ahora aplicaremos este concepto a los números enteros.

Potencias de números positivos

Recuerda a · a · a · … · a = an n veces

EXPONENTE BASE

Una potencia de base positiva es siempre un número positivo. (+3)2

= (+3) · (+3) = +9

(+5)3

= (+5) · (+5) · (+5) = +125

Potencias de números negativos Al multiplicar reiteradamente un número negativo por sí mismo, vamos obteniendo, alternativamente, resultados positivos y negativos. Observa: Ten en cuenta (a · b)n = a n · b n (a : b)n = a n : b n a m · a n = a m+n a m : a n = a m–n (a m)n = a m · n a 0 = 1, para a ≠ 0

EXPONENTE PAR

EXPONENTE IMPAR

(–2)0

(–2)1

= +1

= –2

(–2)2 = (–2) · (–2) = +4

(–2)3 = (–2) · (–2) · (–2) = – 8

(–2)4 = (–2) · (–2) · (–2) · (–2) = +16

(–2)5 = (–2) · (–2) · (–2) · (–2) · (–2) = = –32

es positivo.

En la web

Observa ejemplos de las propiedades de las potencias de enteros.

• Si el exponente es impar, el resul-

tado es negativo.

b) (–2)6

c) (–5)3

a) [(–2)4 · (–2)6] : (+2)8

b) [(+3)4 · (–3)3] : (–3)6

d) (+3)4

e) (–3)4

f ) (+6)2

c) (+5)8 : [(–5)2 · (–5)4]

d) (–7)7 : [(–7)4 · (–7)3]

g) (+10)5

h) (–10)5

i) (–4)3

10. Escribe las dos soluciones enteras, si existen.

2. Calcula mentalmente.

a) (–1)28

b) (–1)29

c) (–1)30

d) (–1)31

3. Escribe con todas sus cifras.

a) (–10)3

b) (+10)0

c) (–10)2

d) (–10)4

e) (+10)6

f ) (–10)6

(– a)número impar

→ resultado positivo → resultado negativo

• (–3)2 = (–3) · (–3) = +9

Recuerda

a) (–2)4

b) –24

e) –23

f ) (+2)3

g) (–5)2

h) –52

i) (+5)2

j) (–3)3

k) –33

l) (+3)3

c)

(+2)4

d) (–2)3

Cuando manejábamos números naturales: a = b ↔ b2 = a

• +16 → (+4)2 = +16, y también, (– 4)2 = +16. Por tanto, +16 tiene dos raíces cuadradas, +4 y – 4. Sin embargo, por convenio, la expresión +16 se refiere a la raíz positiva: +16 = +4. Y de igual forma: – +16 = – 4.

¡Atención!

• –16 → No existe, ya que el cuadrado de un número nunca es negativo.

a) (5 + 3)2

b) (2 – 4)3

c) (2 – 3)4

52 + 32

23 – 43

24 – 34

6. Observa los ejemplos y calcula aplicando estas propie-

dades: am · bm = (a · b) m y a m : b m = (a : b) m

a) (–2)5 · (+5)5

b) (+4)3 · (–5)3

c) (–6)4 : (+3)4

d) (–5)7 : (+5)7

• +15 → No tiene solución entera. negativa, que no siempre son números enteros.

• Un número entero negativo no tiene raíz cuadrada.

i) (+100)

(±4)2 = 16 (no llega) → +4 < 20 < +5 (±5)2 = 25 (se pasa) → –5 < 20 < – 4

e) (–15)4 : (–5)4

f ) (+32)5 : (–16)5

a) (+10)

b) (–12)

c) (+ 70)

d) (– 55)

e) (+ 72)

f ) (–110)

36 + 64 = 100 = 10 36 + 64 = 6 + 8 = 14

→ 36 + 64 ≠ 36 + 64

14. Calcula, si existen, y observa las diferencias.

a) 16 + 9 y 16 + 9 b) 100 – 36 y 100 – 36 c) 16 – 25 y 16 – 25 15. ¿Verdadero o falso?

a) Si elevas un número impar a una potencia, el resultado es negativo. b) Si elevas un número positivo a una potencia impar, el resultado es positivo.

Recordar que a m : a n = a m – n y calcular. (–7)5 : (–7)3 = (–7)5 – 3 = (–7)2 = +49

c) La raíz cuadrada de un número que no sea cuadrado perfecto, no es entera.

(–5)7 : (+5)4 = –[(+5)7 : (+5)4] = –[(+5)7 – 4] = = –[(+5)3] = –[+125] = –125

d) La raíz cuadrada de un número negativo existe si el número es par, y no existe si es impar.

8. Calcula como en el ejercicio resuelto anterior.

• Un número entero positivo tiene dos raíces cuadradas, una positiva y otra

h) (– 81)

13. Ejercicio resuelto

7. Ejercicio resuelto

x 2 = –16 → Imposible.

+ 25 = +5 – + 25 = –5

f ) (– 49)

g) (+ 64)

12. Resuelve, si es que existen soluciones.

• (–12)6 : (–6)6 = [(–12) : (–6)]6 = (+2)6 = +64

Teniendo en cuenta que ahora manejamos números enteros, observa estos ejemplos:

c) (+ 4)

e) (+ 36)

Las dos raíces cuadradas de 20 están comprendidas, una, entre 4 y 5, y la otra, entre –5 y – 4.

• –32 = –(3 · 3) = –9

• (–5)3 · (–2)3 = [(–5) · (–2)]3 = (+10)3 = +1 000

Raíz cuadrada de un número entero

b) (–1)

d) (– 4)

20 →

4. Calcula como en los ejemplos y observa las diferencias.

• (3 – 4)3 = (–1)3 = –1; 33 – 43 = 27 – 64 = –37

(– a)número par

a) (+1)

11. Ejercicio resuelto

5. Calcula como en el ejemplo y observa la diferencia.

Al elevar un número negativo a una potencia: • Si el exponente es par, el resultado

9. Resuelve.

a) (+2)5

a) (– 4)8 : (– 4)5

b) (+6)7 : (+6)5

c) (+3)10 : (–3)6

d) (–8)5 : (+8)3

e) (–15)4 : (+15)4

f ) (+12)3 : (–12)2

16.

Razona si es cierta la siguiente afirmación: Si elevas un número entero al cuadrado y después haces su raíz cuadrada, obtienes el mismo resultado que si haces primero su raíz cuadrada y luego elevas al cuadrado.

78

79

Sugerencias • Para calcular potencias de números enteros, recordamos el concepto que ya conocen los alumnos y las alumnas con los números naturales (producto de factores iguales), y lo aplicamos para el producto de números positivos y negativos (regla de los signos). Nos hemos de preocupar, como aprendizaje nuevo, del signo de las potencias de base negativa. • Tras la repetición de varios ejercicios, guiados paso a paso a partir del producto, los estudiantes observarán la regla que da el signo de las potencias de base negativa, dependiendo de la paridad del exponente. • Para la raíz cuadrada, nos apoyaremos en la potencia de exponente 2 (el cuadrado). Y puesto que no hay forma de obtener un número negativo al elevar al cuadrado, se concluye que la raíz cuadrada de los números negativos no existe.

4 a) +16

b) –16

c) +16

d) – 8

e) – 8

f ) +8

g) +25

h) –25

i ) +25

j ) –27

k) –27

l ) +27

5 a) 82 = 64; 25 + 9 = 34 b) (–2)3 = –8; 8 – 64 = –56 c) (–1)4 = 1; 16 – 81 = – 65

6 a) (–10)5 = –100 000 c) (–2)4 = 16

d) (–1)7 = –1

e) (+3)4 = 81

f ) (–2)5 = –32

8 a) (– 4)3 = – 64 d) – 82 = – 64

9 a) 4

Refuerzo y Ampliación • Del cuaderno n.º 2 de EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS: Refuerzo: Ejercicios 1, 2, 3 y 4 de la pág. 47.

Soluciones de “Piensa y practica” 1 a) +32 b) +64 c) –125 d) +81 e) +81 f  ) +36 g) +100 000

2 a) +1 3 a) –1 000 d) 10 000

h) –100 000 b) –1

i ) – 64 c) +1

d) –1

b) +1

c) 100

e) 1 000 000

f) 1 000 000

b) (+6)2 = +36

c) 34 = 81

e) 150 = 1

f ) 121 = 12

b) –3

10 a) +1 y –1

Se recomiendan:

b) (–20)3 = –8 000

c) 25

d) 1

b) Sin solución.

c) +2 y –2

d) Sin solución.

e) +6 y – 6

f ) Sin solución.

g) +8 y – 8

h) Sin solución.

i ) +10 y –10

12 a) +3 < 10 < +4; – 4 < 10 < –3

b) Sin solución.

c) +8 < 70 < +9; –9 < 70 < – 8

d) Sin solución.

e) +8 < 72 < +9; –9 < 72 < – 8

f ) Sin solución.

14 a) 25 = 5; 4 + 3 = 7 b) 64 = 8; 10 – 6 = 4 c) –9 → No tiene solución; 4 – 5 = –1

15 a) F

b) V

c) V

d) F

16 Es falso, porque si el número es negativo, no podemos hallar su raíz cuadrada. 73

UNIDAD

Ejercicios y problemas El conjunto Z. Orden y representación 1.

7.

Escribe un número entero para cada movimiento en la recta: A

Expresa con la notación de los números enteros, como se hace en el ejemplo:

ANTERIOR

NÚMERO

8.

SIGUIENTE

+5

+ (– 6)

+1

(–7) –

–7 3.

a) +5 y –5

b) –10 y –2

9.

– (+5)

= –4

– (– 4)

= +3

b) –7, –2, 0, –1, –5, –9

10.

c) – 4, 0, +6, –8, +3, –5 ¿Verdadero o falso?

–15

c) (–5) – (+4) · (–3) – (–8) d) 14 – (+5) · (– 4) + (– 6) · (+3) + (–8) 20.

d) –8 – 7 + 2 + 9 – 10 + 18

b) (– 8) + [(+7) – (– 4) + (–5)]

Quita paréntesis y opera.

d) [(+6) – (– 8)] – [(– 4) – (–10)] e) [(2 – 8) + (5 – 7)] – [(–9 + 6) – (–5 + 7)]

17.

a) (+3) – (+8) D

21.

Z

+15

b) (– 4) · (6 – 10)

c) (–5) · (2 – 9)

d) 16 : (1 – 5)

e) (–35) : (9 – 2)

f ) (5 + 7) : (– 4)

Opera estas expresiones: b) 60 : (8 – 14) + 12 c) (9 – 13 – 6 + 9) · (5 – 11 + 7 – 4)

a) (–18) : [(+6) · (–3)]

[(–18) : (+6)] · (–3)

d) (6 + 2 – 9 – 15) : (7 – 12 + 3 – 6)

b) (+54) : [(– 6) : (+3)]

[(+54) : (– 6)] : (+3)

e) –(8 + 3 – 10) · [(5 – 7) : (13 – 15)] 22.

Observa el ejemplo y resuelve.

Ejercicio resuelto (+12) – (+2) · [(–3) – (–8)] = = (+12) – (+2) · [–3 + 8] = (+12) – (+2) · [+5] =

= 30 – 28 – 7 + 4 = 34 – 35 = –1

c) (–7) – (–7) – (+7)

a) 3 · (3 – 5)

a) 35 + 7 · (6 – 11)

Opera como en el ejemplo y compara lo obtenido.

• 6 · 5 – 4 · 7 – 28 : 4 + 36 : 9 =

b) (–9) + (–6)

Calcula como en el ejemplo. • (– 4) · (2 – 7) = (– 4) · (–5) = +20

c) (+9) – [(+3) – (3 – 12) – (+8)]

Tiramos los dos dados que ves a continuación y sumamos los resultados obtenidos:

Escribe todos los resultados diferentes que se pueden obtener y pon un ejemplo en cada caso. 11.

X

b) (–8) · (+2) – (+5) · (– 4)

Calcula. a) (5 – 7) – [(–3) + (– 6)]

Resuelve como en el ejercicio resuelto anterior. a) (–2) · (–5) + (+4) · (–3)

[(+48) : (–6)] · (+4) = [–8] · (+4) = –32

+8

V

19.

Ejercicio resuelto

• (+48) : [(–6) · (+4)] = (+48) : [–24] = –2

¿Qué número corresponde a cada letra?

U

= 30 – 35 = –5

c) –3 – 5 + 2 – 1 – 7 + 4

16.

e) El opuesto de la suma de dos números es igual a la suma de sus opuestos.

C

= (+12) – (–18) – (+35) = 12 + 18 – 35 =

c) 12 – (7 + 11 – 14 – 8)

Multiplicación y división

d) La suma de un número y su opuesto es cero.

0

b) 10 + (8 – 15 + 2 – 6)

= [2 – 12] – [(– 4) – (+5)] = [–10] – [– 4 – 5] =

15.

c) Dos números enteros distintos nunca tienen el mismo valor absoluto.

B

(–3) · (–4) – (+2) · (–9) – (–7) · (–5) =

= [–10] – [ –9] = –10 + 9 = –1

b) El opuesto de (–7) está a la derecha del cero.

A

–5

Calcula. a) (4 + 8) – (3 – 9)

[(+2) + (–12)] – [(3 – 7) – (7 – 2)] =

Calcula.

a) En la recta numérica, ningún número a la izquierda del cero, tiene de valor absoluto 5.

6.

14.

– (–7)

b) 6 – 8 – 6 + 5 + 4 – 6

Ordena de menor a mayor.

30 – 35

d) (6 – 12 + 2) – (11 – 4 + 2 – 5)

a) 13 – 9 + 5 – 7

c) –8 y 0

a) +6, +2, 0, +4, –7, +3

5.

(–7) +

– (+8)

Escribe, en cada caso, todos los números enteros comprendidos entre:

4.

13.

(–3) +

12 + 18 – 35

= 11 + 8 + 6 – 5 – 3 = 25 – 8 = 17

Copia en tu cuaderno, calcula mentalmente y completa.

–3

(+12) – (–18) – (+35)

= 11 – (8 – 14) = 11 – (–6) = 11 + 6 = 17

Suma y resta

Copia en tu cuaderno y completa.

(–3) · (–4) – (+2) · (–9) – (–7) · (–5)

• 11 – (5 – 8 – 6 + 3) = 11 – 5 + 8 + 6 – 3 =

K

c) Mi hermano me perdona los 10 € que me prestó.

Ejercicio resuelto Calcular: (–3) · (– 4) – (+2) · (–9) – (–7) · (–5)

Podemos operar antes o después de quitar paréntesis:

N

a) Cobro 155 € por un trabajo realizado.

18.

• 11 – (5 – 8 – 6 + 3) = 11 – (5 + 3 – 8 – 6) =

M

b) Le pago a Juana los 10 euros que le debía.

Ejercicio resuelto Calcular: 11 – (5 – 8 – 6 + 3)

C

• Me llega una factura de 84 €. → +(–84) = –84

2.

12.

B

= (+12) – (+10) = 12 – 10 = +2

a) 2 · 7 – 3 · 4 – 2 · 3 23.

Calcula.

d) (–11) + (+8) – (–6)

b) 30 : 6 – 42 : 7 – 27 : 9

e) (+15) – (–12) – (+11) + (–16)

c) 3 · 5 – 4 · 6 + 5 · 4 – 6 · 5

a) (–3) · [(–9) – (–7)]

b) 28 : [(– 4) + (–3)]

f ) (–3) – (–2) – (+4) + (–7) + (+8)

d) 5 · 4 – 28 : 4 – 3 · 3

c) [(–9) – (+6)] : (–5)

d) (–11) – (–2) · [15 – (+11)]

80

81

9 a) +2

Soluciones de “Ejercicios y problemas” b) –(+10) = –10

11 a) –5

c) –(–10) = +10

13 a) +18

d) +4

b) –15

c) –7

b) –1

15 a) +7

d) +3

e) 0

c) +16

f ) – 4 d) – 8

número

siguiente

+4

+5

+6

– 4

–3

–2

–1

0

+1

17 a) – 4

b) – 4

c) –19

d) +4

–7

– 6

–5

19 a) –2

b) +4

c) +15

d) +8

20 a) – 6

b) –9 < –7 < –5 < –2 < –1 < 0

ANOTACIONES

c) –8 < –5 < – 4 < 0 < +3 < +6

6 A = – 8 U = –25

c) F

d) V

e) V

B = –2

C = +4

D = +10

V = 0

X = +20

Z = +30

7 A = +4 M = –3 _ (–3) + (–1) b (+ 2) + (– 6) bb ` = –4 (–7) – (–3) b (+ 4) – (+ 8) bb a

b) +16

23 a) +6

4 a) –7 < 0 < +2 < +3 < +4 < +6

b) V

c) +5

B = –5

C = +7

N = +5

K = – 8 _ (–7) + (+ 10) b (+ 8) – (+ 5) bb ` =+ 3 (–1) – (– 4) b (– 4) – (–7) bb a

d) +8

e) –3

b) –27; –3

21 a) 0

c) – 8, –7, – 6, –5, – 4, –3, –2, –1, 0

5 a) F

b) –2

16 a) +1; +9

b) –10, –9, – 8, –7, – 6, –5, – 4, –3, –2

74

c) –10

anterior

3 a) –5, – 4, –3, –2, –1, 0, +1, +2, +3, +4, +5

8

b) –5

10 Se pueden obtener todos los números comprendidos entre –5 y +5.

1 a) +(+155) = +155

2

4

b) +2 b) – 4

c) +35

d) – 4

c) +3

e) –5 d) +2

c) +3

f ) –3 e) –1

d) –3

UNIDAD

Ejercicios y problemas 24.

27.

Opera.

Calcula, usando las propiedades de las potencias.

a) (+5) – (–18) : [(+9) – (+15)]

a) (–5)4 · (–2)4

b) (– 4)4 · (–5)4

b) (– 4) · [(– 6) – (–8)] – (+3) · [(–11) + (+7)]

c) (–18)3 : (– 6)3

d) (+35)3 : (–7)3

c) [(+5) – (+2)] : [(–8) + (–3) – (–10)]

e) [(–5)3]2 : (–5)5

f ) [(+8)4]3 : (–8)10

Resuelve problemas 30.

Después de 12 tiradas, Laura lleva seis puntos negativos. ¿Cuántos lleva Abel?

d) 8 + (4 – 9 + 7) · 2 + 4 · (3 – 8 + 4) e) 4 · [(+5) + (–7)] – (–3) · [7 – (+3)]

28.

f ) (–3) · (+11) – [(– 6) + (–8) – (–2)] · (+2) g) (–6) · [(–7) + (+3) – (7 + 6 – 14)] – (+7) · (+3)

Potencias y raíces 25.

Halla las potencias siguientes: a) (–1)7

26.

b) (– 4)4

c) (–9)2

d) (–10)7

e) (–3)5

Opera estas expresiones: a) (+12)3 : (–12)3

b) (–8)9 : (–8)8

c) [(–5)4 · (–5)3] : (+5)5

d) (–6)7 : [(+6)2 · (+6)3]

e) [(–2)7 : (–2)4] : (–2)3

f ) (–2)7 : [(–2)4 : (–2)3]

29.

Calcula.

37.

Abel y Laura juegan tirando al aire una moneda. Cada vez que sale cara, Abel gana cuatro puntos y Laura pierde dos. Y si sale cruz, al revés.

31.

En una industria de congelados, la nave de envasado está a 12 °C, y el interior del almacén frigorífico, a 15 °C bajo cero. ¿Cuál es la diferencia de temperatura entre la nave y la cámara?

32.

Un día de invierno amaneció a dos grados bajo cero. A las doce del mediodía, la temperatura había subido 8 grados, y hasta las cinco de la tarde subió 3 grados más. Desde las cinco a medianoche bajó 5 grados, y de medianoche al alba bajó 6 grados más. ¿A qué temperatura amaneció el segundo día?

Halla, si existe, el resultado exacto o aproximado. a) (+121)

b) (–121)

c) (+225)

a) (–3)3

b) (+3)3

c) –33

d) (+250)

e) (– 250)

f ) (+400)

d) (–3)4

e) (+3)4

f ) –34

g) (– 900)

h) (+1000)

i) (+10 000)

33.

Un depósito se abastece de agua mediante un grifo que se abre cada día, automáticamente, durante un cuarto de hora, y aporta un caudal de 15 litros por minuto. Después, se conecta, durante hora y media, a un sistema de riego que demanda un caudal de 3 litros por minuto. a) Calcula cuánta agua gana o pierde el depósito al día. b) Calcula la cantidad de agua que debe contener hoy, al iniciar el día, para que el riego se mantenga durante un mes.

Problemas “+” 38.

Andrea, con sus tres pesas, puede apartar cualquier cantidad exacta de kilos siempre que sea menor que 12.

Un buzo se encuentra en la plataforma base a 6 m sobre el nivel del mar y realiza estos desplazamientos: a) Baja 20 metros para dejar material.

Aprende a resolver problemas

b) Baja 12 metros más para hacer una soldadura.

Raquel y Antonio juegan tirando un dado. Si sale más de tres, Raquel anota cinco puntos y Antonio se quita cuatro, y en caso contrario, al revés. Después de diez tiradas, Raquel lleva 23 puntos. ¿Cuántos lleva Antonio?

c) Sube 8 metros para reparar una tubería.

¿De cuántos kilos es cada una de las pesas de Andrea?

d) Finalmente, vuelve a subir a la plataforma.

39.

¿Cuánto ha subido en su último desplazamiento?

Comprueba que has entendido el enunciado. ¿Cuántas veces han tirado? Teniendo en cuenta lo que te preguntan, ¿realmente importa en qué casos gana uno y en cuáles gana el otro? Piensa en el camino que vas a seguir para resolver el problema. ¿Qué necesitas saber? Quizá te convenga comenzar calculando cuántos puntos suman entre los dos en una tirada.

— Está bien, no parece complicado: Gane quien gane, en una tirada uno consigue cinco puntos (+5) y el otro pierde cuatro → (– 4): (+5) + (– 4) = 5 – 4 = 1

Entonces, ¿cuántos puntos sumarán entre los dos después de 10 tiradas?

— Después de 2 tiradas, entre los dos suman: 1 + 1 = 2 puntos Después de 3 tiradas, entre los dos suman: 1 + 1 + 1 = 3 puntos Y después de 10 tiradas: 1 + 1 + 1 + … + 1 = 10 puntos

Con lo que acabas de descubrir y sabiendo que Raquel lleva 23 puntos después de 10 tiradas…

— A ver… Después de 10 tiradas, la suma de los puntos que llevan entre los dos es 10, luego: puntos de raquel + puntos de antonio = 10 23 + puntos de antonio = 10 puntos de antonio = 10 – 23 = –13 Solución: Después de 10 tiradas, Antonio lleva –13 puntos.

34.

Alejandro Magno nació en 356 a. C. y murió en 323 a. C. ¿A qué edad murió? ¿Cuántos años hace?

35.

Cicerón y Séneca fueron ciudadanos de Roma, cultos, buenos oradores y metidos en política, lo que a ambos les costó la vida. Sin embargo, vivieron en distinta época:

Dos agricultores acuerdan construir, de forma solidaria, un pozo que esté a la misma distancia de cada uno de sus respectivos pilones de riego. Escribe las coordenadas de cada uno de los pilones y las del lugar donde se construirá el pozo. PILÓN 1

• Cicerón nació en el año 106 a. C. y vivió 63 años. • Séneca nació 47 años después de la muerte de Cicerón y vivió 61 años. ¿En qué año murió Séneca? 36.

Una estación de montaña emite este resumen de la evolución de sus finanzas a lo largo de un año:

PILÓN 2

40.

marzo-junio: Pérdidas de 5 675 €/mes. julio-agosto: Ganancias de 4 280 €/mes. septiembre-noviembre: Pérdidas de 3 240 €/mes.

Representa y reflexiona. a) Dibuja unos ejes de coordenadas. b) Representa los puntos A(2, 2) y B(–6, 2). c) Los puntos A y B son vértices de un cuadrado. Dibuja el cuadrado.

diciembre-febrero: Ganancias de 9 720 €/mes.

d) Escribe las coordenadas de los otros dos vértices y las coordenadas del centro.

¿Cuál fue el balance final del año?

nota: Intenta encontrar las tres soluciones posibles.

82

83

29 a) +11 y–11

Aprende a resolver problemas En este apartado, mediante el seguimiento de un ejemplo, se pretende ofrecer a los estudiantes modelos, estrategias y pautas para resolver problemas. A saber: – Detenerse en la comprensión del enunciado.

– Describir el proceso. Explicar el significado de cada operación y del dato que se obtiene con ella. – Presentar la solución. Sin embargo, en este caso, si el profesorado lo considera oportuno, podrían cubrirse, además, otros objetivos, dejando para el final el análisis del proceso que propone la página. Podemos dejar que los alumnos y las alumnas ataquen el problema con sus propios recursos. Y seguramente, lo abordarán de la forma más natural: recurriendo al tanteo (pueden trabajar en pequeño grupo). Incluso podemos sugerir ese camino. Una vez resuelto, se puede revisar, en gran grupo, el proceso seguido en la página, mucho más formal, explotando otros aprendizajes.

25 a) –1

c) –3

d) 8

b) 256

d) –10 000 000

26 a) –27

b) 27

27 a) 10 000 28 a) –1

e) 4

f ) –9

g) –3

e) No tiene solución.

f ) +20 y –20

g) No tiene solución.

h) +31 < 1000 < +32; –32 < 1000 < –31

30 Abel lleva 30 puntos. 31 La diferencia es de 27 grados. 32 Amaneció a dos grados bajo cero. 33 En el último desplazamiento sube 24 metros. 34 Murió a los 33 años. Para calcular cuántos años hace que murió Alejandro Magno, se suman 323 años al año actual.

35 Séneca murió en el año 65. 36 En el año ganó 5 300 €. 37 a) El depósito pierde 45 litros al día. b) El depósito debe contener 1 350 litros a día de hoy.

39 Pilón 1: (– 4, 2) Pozo: (3, –2)

d) 81

e) 81

f ) – 81

b) 160 000 c) 27

d) –125

e) –5

f ) 64

b) – 8

d) –36

e) 1

f ) 64

c) –25

d) +15 < 250 < +16; –16 < 250 < –15

Pilón 2: (10, – 6)

c) 81

e) –243 c) –27

c) +15 y –15

38 Las pesas de Andrea son de 1 kg, 3 kg y 7 kg.

Soluciones de “Ejercicios y problemas” b) 4

b) No tiene solución.

i ) +100 y –100

– Reflexionar sobre el proceso. Decidir los datos y pasos intermedios necesarios para llegar a la solución.

24 a) 2

4

40 Hay tres posibles soluciones: – Cuadrado I: C(– 6, – 6); D(2, – 6); Centro (–2, –2) – Cuadrado II: C’(– 6, 10); D’(2, 10); Centro (–2, 6) – Cuadrado III: C”(–2, 6); D’’(–2, –2); Centro (–2, 2) 75

Taller de matemáticas emprender

Entrénate resolviendo problemas

aprender Lee e infórmate

Tantea, ponte ejemplos…

Los cuadrados mágicos

• En un examen de 20 preguntas, por cada pregunta acertada dan 3 puntos y por cada

La mente humana, además de utilizar los números como herramienta para el desarrollo científico y tecnológico, ha ideado múltiples formas de jugar con ellos. Un ejemplo son los cuadrados mágicos, que consisten en distribuciones cuadradas de números ordenados, de forma que la suma de los elementos de cualquier fila, columna o diagonal es siempre la misma. Los cuadrados mágicos han aparecido desde tiempos remotos, en las más diversas culturas. Observa, por ejemplo, el cuadrado chino de la derecha, el más antiguo que se conoce, de dimensiones 3 × 3.

pregunta fallada (equivocada o no contestada) quitan 2. ¿Cuántas preguntas ha acertado un alumno que ha obtenido un resultado de 20 puntos?

• Dispones de:

— Una balanza con dos platillos, A y B. — Tres pesas: una de 1 kg, otra de 3 kg y otra de 5 kg. — Un saco de patatas.

4 9 2 3 5 7 8 1 6

CÓMO PESAR

Busca todas las cantidades de patatas que podrías pesar, con una sola pesada, usando la balanza y una, dos o las tres pesas.

el –4 y el +4.

Copia la tabla en tu cuaderno y recoge en ella tus resultados.

Ayuda: ¿Cuánto valdrá la suma de cada línea? ? ? ?

? ? ?

? ? ?

Autoevaluación

×2

9

6

7 12

b) 3 – 8 + 1

c) –5 – 7 + 4 + 2

d) 10 – 12 + 15 – 9 – 7

7. Opera.

–3

4 26

+1/2

–0,2

+37

0,7 –51

+5

0

+15,3

18 12 14 24

1 –2 –1 4

d) Todos los números positivos son enteros.

–4 7 40 1 –2 31

3

0

Gano si suman 1.

Y yo, si suman 2.

19 10 13 28 4 37 34 –5

¿Cuál de los dos tiene más posibilidades de ganar? Explica por qué.

b) (–2) · (6 – 8)

a) 42

b) –42

c) (–4)2

d) 23

e) –23

f ) (–2)3

11. Averigua el resultado en cada caso:

4. Representa estos números en una recta numérica:

a) + 49

(+3), (–4), (+1), (–6), (–1), (+5), (–5)

7 22 25 16

f ) (–20) : [(+12) : (–3)]

10. Calcula.

e) Cualquier número entero es mayor que cero.

6 –7

c) (–1) · (+3) · (–5)

c) (–3) · (+5) – [(8 – 12) – (5 – 2)]

b) Todos los números naturales son enteros. c) Algunos números negativos son enteros.

8 30 28 2

a) 4 · 5 – 2 · 8 – 3 · 2

a) Todos los números enteros son naturales.

8 –5 –6 5

b) (–3) · (–4)

9. Resuelve.

3. ¿Verdadero o falso?

–3 2

d) 20 – [(15 – 9) – (7 + 3)]

d) 15 : (–3) e) (–18) : (–6)

–538

10 20 22 16

b) (+2) – (–3) + (–5)

c) (–8) – (5 – 9) a) 5 · (–2)

1 000

–7/2

a) (–7) + (+4) 8. Resuelve.

2. ¿Cuáles de los siguientes números son enteros?:

4 15 14 1 32 6

Resoluciones de estos ejercicios.

a) 4 – 9

f ) La fiebre le ha bajado de 39 °C a 37 °C.

–8

1 kg

b) Adela ha recibido 6 euros de paga.

2 13

5 10 11 8

B

a) Jorge ha gastado 35 euros en el supermercado.

e) La temperatura ha subido de –2 °C a 2 °C.

Sara y Abel tiran dos dados idénticos.

3 kg

En la web

d) Mi casa está en la cuarta planta.

Observa la ilustración, comprueba que todos los cuadrados son mágicos y describe cómo se han obtenido.

PESAS EN

6. Calcula.

Exprésate Dados

A

1. Escribe un número entero para cada enunciado:

c) Hace frío. Estamos a dos grados bajo cero.

Nuevos cuadrados mágicos

PESAS EN

1 kg 2 kg 3 kg 4 kg 5 kg …

Por ejemplo: para pesar dos kilos de patatas puedes colocar la pesa de 3 kg en el platillo A, y la de 1 kg, en el platillo B.

• Construye un cuadrado mágico de 3 × 3 con los números enteros comprendidos entre

16 3

c) (–2) 6

b) –25

12. Averigua el resultado en cada caso:

5. Ordena de menor a mayor.

a) (–3)5 : (–3)4

(+4), (–3), (+5), (–5), (+1), (–6), (+2), (–1)

b) [(+2)5 · (–2)5] : (–2)8

84

Lee e infórmate

85

Entrénate resolviendo problemas

Los cuadrados mágicos

Tantea, ponte ejemplos

A partir de lo aprendido aquí, se pueden generalizar diferentes formas de obtener cuadrados mágicos partiendo de uno dado:

Soluciones

– Al sumar o restar una cantidad constante a todos los elementos de un cuadrado mágico, se obtiene otro cuadrado con las mismas propiedades. – Al sumar, elemento a elemento, dos cuadrados mágicos, se obtiene otro cuadrado también mágico.

• Ha contestado bien a 12 preguntas. • Respuesta abierta (se puede obtener cualquier cantidad entera de kilogramos comprendida entre 1 kg y 9 kg, ambas incluidas).

Soluciones de la autoevaluación

Soluciones

1 a) –35 b) +6 c) –2 d) +4 e) +4 f  ) –2

• Restando 5 a cada número del cuadrado que aparece en la página, se obtiene el cuadrado mágico pedido.

2 –3; +5; 0; 1 000; +37; –51; –538 3 a) F

Exprésate

4

–6 –5 –4 9 9 9

b) V –1 9

Con esta actividad se pretende que el alumnado siga observando regularidades numéricas, que utilice su conocimientos de operativa con números enteros y que sea capaz de expresar por escrito los logros conseguidos.

c) V +1 9

Nuevos cuadrados mágicos

+3 9

d) F

e) F

+5 9

0

5 – 6 < –5 < –3 < –1 < +1 < +2 < +4 < +5 6 a) –5

b) – 4

c) – 6

d) –3

Soluciones

7 a) –3

b) 0

c) – 4

d) 24

El cuadrado naranja se ha obtenido sumando el cuadrado azul y el cuadrado verde.

8 a) –10

Dados Soluciones

76

4

UNIDAD

b) +12

9 a) –2 10 a) 16

Sara gana en 4 de los casos posibles, y Abel, en 3.

11 a) –7 y +7

Por tanto, tiene más posibilidades de ganar Sara.

12 a) –3

c) +15

d) –5

b) +4 b) –16

c) 16

e) +3

f ) +5

c) –8 d) 8

b) No tiene solución. b) – 4

e) –8 c) – 8 y +8

f ) – 8

ANOTACIONES

77