EXPONENETES ENTEROS Y RACIONALES

Los exponentes enteros y racionales (ra´ıces) aparecen en m´ ultiples problemas del ´algebra, en especial en aquellos en donde debes simplificar expresiones algebraicas. Por este motivo es indispensable que las propiedades de los exponentes sean comprendidas en su totalidad para facilitar los c´alculos.

0.1.

Potenciaci´ on y Radicaci´ on

Se define la potenciaci´on y estudiaremos sus propiedades.

0.1.1.

Potencias Enteras

As´ı como a partir de la suma de cantidades iguales se define la multiplicaci´on, b| + b + b{z+ · · · + }b = b · n = n · b, n−veces

a partir del producto de factores iguales podemos definir la poteciaci´on. Definici´ on 0.1 Si b ∈ R y n ∈ Z+ , la n-esima potencia de b es: bn = b| · b ·{zb · · · }b n−veces

En la expresi´on bn , b es la base y n el exponente. Ejemplo 1 Algunos ejemplos 53 = 5 · 5 · 5 = 125 (−2)5 = (−2) · (−2) · (−2) · (−2) · (−2) = −32 ( )3 2 2 2 2·2·2 8 2 = · · = = 3 3 3 3 3·3·3 27 (π)4 = π · π · π · π 1

Exponentes

2

Ejercicio 1 Con base en lo anterior, resuelve: ( )3 −1 1. Escribe la expresi´on como producto. 2 2. Escribe la expresi´on (−5)(−5)(−5)(−5)(−5) como potencia. Observaci´ on 1 Para tener en cuenta 1. Debemos tener cuidado cuando el exponente es 0. Si b ̸= 0, entonces b0 = 1

00 no est´a definida.

Ejercicio 2 Teniendo en cuenta lo anterior, resuelve: √ (−2)0 = ( 2)0 = (1 + (−5) + 4)0 =

a0 =

2. Si b es un n´ umero negativo, entonces: bn es positivo si n es un numero par, bn es negativo si n es un numero impar Ejercicio 3 Teniendo en cuenta lo anterior, resuelve: ( )3 −3 (−2)4 = = 4 (−2)3 =

03 =

A la hora de hacer c´alculos que involucren exponentes es bueno contar con atajos que simplifique el trabajo, para ello, tenemos las siguientes propiedades: Proposici´ on 1 Si n, m ∈ Z+ y a, b ∈ R, entonces: (Ex. 1) am an = an+m . Por ejemplo, x3 · x2 = x5 . (Ex. 2) (am )n = amn . Por ejemplo, (23 )2 = 26 = 64. (Ex. 3) (ab)n = an bn . Por ejemplo, (3x2 )3 = 33 (x2 )3 = 27x6 ( )3 ( a )n a n 2 23 8 (Ex. 4) = n . Por ejemplo, = 3 = b b 5 5 125 Ejercicio 4 Demuestre las propiedades enunciadas anteriormente.

Exponentes

3

Al momento de realizar simplificaci´on de expresiones que involucren exponentes, debe ser claro que existen diversos caminos, unos cortos otros mas largos, seg´ un como se comience a realizar el ejercicios. Lo que importa es que sea el camino que tomes, el resultado debe ser el mismo. Ejercicio 5 Dar ejemplos de operaciones con n´ umeros reales donde se apliquen las propiedades anteriores. Por ejemplo, al calcular el producto(54 )(52 ) verificamos la propiedad (Ex. 1). (54 )(52 ) = (5 · 5 · 5 · 5)(5 · 5) = 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 = 56 Ahora cuando trabajemos con exponentes negativos debemos recordar la siguiente propiedad. Para todo numero real b, 1 b−1 = b Ejemplo 2 La anteriores propiedades permiten calcular por ejemplo 4−3 ( )3 1 13 1 1 −3 (−1)(3) −1 3 4 =4 = (4 ) = = 3 = 3 = 4 4 4 64 Note que en este ejemplo, se emplearon diversas propiedades. Aunque, no es necesario aplicarlas todas, solo puede ser como: 1 4−3 = 64 Bajando la potencia que est´a afectada por el exponente negativo. As´ı, tenemos la siguiente propiedad: Proposici´ on 2 Si n ∈ Z+ y a ∈ R, entonces: (Ex. 5) a−n =

1 2y 4 −3 4 −2 . Por ejemplo, 2x y z = . an x3 z 2

Ejercicio 6 Ahora resuelve: (−2x4 )−3 = 3a

−5

=

(3a)−5 =

(32 x4 y)−2 =

3x−4 = 5y

Las siguientes son propiedades adicionales, las cuales deben ser tratadas como las anteriores. Proposici´ on 3 Mas propiedades (formula dos ejemplos para cada una): (Ex. 6) (a) (b)

am = am−n . Por ejemplo: an

Exponentes

(Ex. 7)

1 a−n

4 = an . Por ejemplo:

(a) (b) ( a )−n ( b )n (Ex. 8) = . Por ejemplo: b a (a) (b) Ejercicio 7 Demuestra las propiedades de exponenetes enunciadas anteriormente. Ejemplo 3 Se trata de simplificar la expresi´ on y expresar con exponentes positivos: ( )−3 ( −3 2 )2 ( −3 −2 2 )3 ( 5 2 )2 2x2 y −3 x y 3x (y ) y y · = · −3 −2 2 −5 2 −3 3x (y ) xy 2x y xx3 ( ) ( ) 3 2 3y 3 y7 = · 2x3 x2 y 4 x4 ( 3 9 ) ( 14 ) 3y y = · 3 15 12 2x y x8 ( ) ( ) 33 y 14 = · 23 x15 y 3 x8 ( ) 33 y 14 = 23 x15 x8 y 3 33 y 11 = 3 23 2x 27y 11 = 8x23

0.1.2.

Notaci´ on Cient´ıfica (Aplicaci´ on)

Cierta ´areas del conocimiento trabajan con magnitudes muy grandes ( distancia entre estrella) o muy peque˜ nas (como el peso de ciertos elemento en la tabla peri´odica). Para simplificar la escritura y mejorar los c´alculos con esta cantidades se hace uso de los exponentes, en particular de la llamada notaci´on cient´ıfica. Definici´ on 0.2 Un n´ umero real positivo x se dice escrito en notaci´on cient´ıfica si tiene la siguiente forma: a × 10n donde 1 ≤ a < 10 y n un entero positivo.

Exponentes

5

Ejemplo 4 0,5 × 10−5 ´o −0,25 × 105 est´an en notaci´on cient´ıfica. Escribe dos ejemplos de cantidades que est´en en notaci´on cient´ıfica y otros dos que no satisfagan la condici´ on. Otros ejemplos ser´ıan: Un a˜ no luz es aproximadamente 9,408,000,000,000 kil´ ometros. Luego 9,408,000,000,000 = (0, 9408) × (10,000,000,000,000) = 0, 9408 × 1013 El peso de un ´atomo de Plutonio es 0, 0000000000000000000039 gramos. Luego 0, 0000000000000000000039 =

3, 9 = 3, 9 × 10−21 1,000,000,000,000,000,000,000

Puedes observar, lo que ocurre con el punto decimal, que se corre hacia la izquierda o derecha seg´ un sea el exponente. ¿Qu´e concluyes? Ejercicio 8 Con base en lo expuesto anteriormente, resuelve: (I) Escriba los siguientes n´ umeros en notaci´on cient´ıfica: 1. 1045000 =

4. 0,00000000000010 =

2. 0,0000023 =

5. 834570 =

3. 32450000000000 =

6. 405010 =

(II) Escriba los siguientes n´ umeros en forma decimal:

0.1.3.

1. 1,23 × 103 =

3. 9,86 × 106 =

5. 7,5673 × 10−8 =

2. 3,12 × 10−3 =

4. 1,234 × 105 =

6. 9,9 × 1012 =

Exponentes Racionales

Ahora trataremos con exponentes racionales, para ellos definimos primero el concepto de raiz n-esima y luego vemos su relaci´on con los exponentes racionales. Definici´ on 0.3 Si n es un numero entero se define la ra´ız n-esima de un n´ umero real a, la cual √ n es notada por a como √ n a = b si y solo si bn = a Observaci´ on 2 Ojo con la ra´ıces pares Si n es un numero par, bn es un numero positivo, por lo tanto a debe ser un numero positivo. Es decir, las raices pares no admiten valores negativos. Es cierto que para ra´ıces pares, todo numero tiene una positiva y una negativa, aunque √ reservamos la notaci´on n solo para la ra´ız positiva. Ejercicio 9 Teniendo en cuenta los comentarios anteriores, resuelve:

Exponentes √ 64 = √ 3 8= √ 3 −64 =

6 √ x4 = √ 4= √ x16 =

√

−81 = √ 3 −8x−6 = √ 9x4 y −10 =

Cabe anotar, que toda ra´ız, se puede escribir como una potencia con exponente racional. Es decir, √ 1 an = n a y los c´alculos realizados con radicales, exigen una cambio a exponente racional (en su mayor´ıa) los cuales obedecen las leyes de los exponentes enteros antes mencionadas. √ m Ejemplo 5 Para verificar que n am = a n , procedemos: √ 1 1 m n am = (am ) n = am. n = a n Por lo tanto,

√ n

m

am = a n

Ejercicio 10 Convierte en exponente racional y viceversa: √ 8 1 5 x8 = x 5 4x− 2 = √ √ 3 5 7 3x 7 = 3 x3 x−8 =

−100

−1 2

(−100)

=

−1 2

=

Proposici´ on 4 Expresamos las propiedades en notaci´on racional (hacer un an´alisis de cada una como en el ejemplo anterior). √ √ √ √ √ m n n a.b = n a. n b am = ( n a) , (a > 0). √ √ na √ n n a √ = n an = a, (n par) b b √ √ √ √ n n m a = n.m a an = |a|, (n impar) Ejercicio 11 Con base en la proposici´ on anterior: 1. Demuestra las propiedades enunciadas. 2. Escribe dos ejemplos para cada una de las propiedades. Ejemplo 6 De los exponenetes racionales, tenemos: √ √ √ √ √ √ 1. Al simplificar 8x2 yz 3 · yzw queda 8x2 yz 3 · yzw = 8x2 y 2 z 4 w = 2xyz 2 2w. √ √ √ √ √ √ 3 3 3 3 3 2. Al simplificar 4ab4 · 16a2 queda 4ab4 · 16a2 = 64a3 b4 = 4ab 3 b √ 3. ¿Qu´e resulta de simplificar 4 80x4 y −13 z 15 ?

Exponentes

0.1.4.

7

Racionalizaci´ on (aplicaci´ on)

Con frecuencia es u ´til eliminar del denominador expresiones correspondientes a raices. Este proceso se denomina racionalizaci´on y el procedimiento consiste en multiplicar tanto en numerador como denominador por una cantidad conveniente para eliminar del denominador la ra´ız. √ Si el denominador es de la forma a, entonces multiplicamos el numerador y el denominador por √ a obteniendo una fracci´on equivalente a la inicial teniendo el denominador sin radical. Ejemplo 7

√ √ √ −5 −5. 3 −5. 3 −5. 3 √ =√ √ = √ = 3 3 3. 3 9 √ Ahora si en el denominador se tiene una expresi´ on de la forma n am donde m < n y a > 0, debemos √ multiplicar numerador y denominador por n an−m puesto que √ √ √ √ n n n am . an−m = am+n−m = n an = a Ejemplo 8

√ √ √ 4 4 4 1 33 27 1. 33 √ √ = = = √ 4 4 4 4·3 12 4. 3 4. 3. 33

Existen otros casos de racionalizaci´on, los cuales no contemplamos en este momento por no tener las herramientas suficientes para abordarla. Ejercicio 12 Racionalizar las siguientes fracciones 1 √ 7 a2

√ 2x 2 √ 4 36x2 y 5

y √ 3 3x2

1 √ 2

Ejercicio 13 Simplifique empleando las leyes vistas en clase: 1. (−3)4 = 2. (5 + (−5))0 = −4

3. 3

=

4. −20 = 0

5. x1 = ( )3 −3 6. = 2 7.

4 = 2−3

8. π 0 =

9.

5 · 3−2 = 4 · 2−3

16.

xy −4 = y −9

17.

x2 x7 y 7 = x−3 y 10

18.

2x−3 x3 y = 7y −3

10. x3 x−2 x−7 = 11. 2−3 x4 · 2 = 12. 2x3 y −2 = 13.

23 = 22

x4 14. 8 = x 15.

3−4 = 4 · 37

19. (x−2 )5 = 20.

(2a2 )3 = (4ab)−2

21.

(x−2 )−5 = (x2 )4 (z 2 )−3

Exponentes

8 (

(a3 )8 22. = a(b4 )5

30.

23.

(x−2 )5 = (x2 y 3 z)−3

31.

24.

(3a4 )6 = (7b−1 a)2

32.

(2m−2 n3 )−2 25. = (3mP 2 )−4

33.

)2 w2 s3 w−5 = y −2 ( )−2 2 = 5 ( )−3 2xy = 3 ( )−3 3x−2 y 3 = 4(x2 )−3 y −5

( 40. ( 41. ( 42. 43.

34. (−100)1/2 =

(2xy)3 (2−2 x−3 )−2 26. ÷ = (x−2 )−3 3x

35. −100

( )2 x = 27. y

1/2

44.

= 45.

36. 82/3 =

37. 717/2 = ( )−2 ( ) 23 2x 64 28. = 38. = yz 27 ( −2 )−2 ( ) 45 3x 1 = 29. = 39. −3 2y 32 [ 3 ]2 x (x2 )3 1. Al operar y simplificar ÷ queda: 4 x (x3 )2 1 a) x8 c) x3 b) 8 x 2. El resultado de simplificar la expresi´on a)

27 5y

b)

5y 8 27x4

46. 47. 48.

40x3 y 2 27xy × 2 2 es 2 2 25x y 8x y 27x8 c) 5y 2

256 x12

) −3 4 =

27t3 8 1

) 23 = 3

x 5 y 10

)−10

= 1 y2 √ √ 25. 49 = √ √ 7 −2. 7 −4 = √ 7ab2 √ = √ 49a. 7b4 √ a3 .b6 = c9 √√ 3 a6 .b24 .c−12 = )2 (√ 6 9 27a = x

−2 5

d)

1 x4

d)

27y 2 5

Elaborado por: Jaime Andr´es Casta˜ no Perea. [email protected]