EXPRESIONES RACIONALES a El conjunto de las fracciones b , donde a y b son enteros (0, ±1, ±2, ±3, …) y b ≠ 0, se le conoce como los números racionales.

En matemática, la palabra racional se asocia a expresiones con forma de fracción. Específicamente, a las fracciones donde el numerador y el denominador son polinomios se le llaman expresiones racionales.

Veamos algunos ejemplos. 5x  3 y 2 2 x y

2n 3

 n2 2 5

9 2x  5 x3  x2 x

 4ab 3  8c 3a 2 c  10b

• Entre los polinomios y las expresiones racionales existe una relación semejante a la que existe entre los números enteros y los racionales. • Por ejemplo, hay fracciones que simplifican como enteros. • Las expresiones racionales, donde el denominador es una constante (polinomio de grado cero), se pueden expresar como un polinomio de igual grado que el del numerador.

Por ejemplo 2 x  10 x  6 2 3 2 6  5 x  2x  5 5 3

2

trinomio cúbico

Todo polinomio se puede escribir como una expresión racional. 6 x 2 15x  3 3

8 x 2  20 x  4 4

4 x 2 10 x  2 2

Estas expresiones son equivalentes al polinomio

2 x 2  5x  1

¿Qué queremos hacer con las expresiones racionales? • Básicamente queremos aplicar todo lo que hacemos con las fracciones: » Simplificar » Sumar » Restar » Multiplicar » Dividir

Dominio de una Expresión Racional • Las fracciones no pueden tener denominador 0 (no se puede usar 0 como divisor); lo mismo ocurre con las expresiones racionales. Esto nos obliga a tomar en consideración el valor que se produce en el denominador cuando evaluamos la expresión: En una expresión racional podemos sustituir las variables por cualquier valor excepto por aquellos que producen 0 en el denominador.

• Al conjunto de numerales con que se sustituye la variable en una expresión racional y que producen valores distintos de 0 en el denominador, se le llama el dominio de la expresión. Analicemos la siguiente expresión:

3x  4 x2

Observe que cuando único el denominador es 0 es cuando x = -2.

Formalmente, establecemos x+2≠0 x ≠ -2 Por tanto el dominio de esta expresión es el conjunto de todos los numerales distintos (≠) de -2.

• Esto quiere decir que si un numeral está en el dominio de una expresión racional, entonces podemos estar seguros que al evaluar la expresión con este numeral el denominador será distinto de 0. En la expresión que acabamos de analizar, podemos sustituir x por cualquier numeral excepto -2. Ese dominio lo podemos expresar de la siguiente manera:

Dom

 3x  4     x2 

= {x | x ≠ -2}.

¿Qué hay de

2n  8 7  5n 2

?

Comenzamos estableciendo que 7 – 5n ≠ 0 Lo cual nos indica que -5n ≠ -7

O sea,

n≠

7 5

¿Cuál es el dominio de esta expresión racional ?

Práctica I. • Determine el dominio de cada expresión racional. 5  2n 3 1) 3a  1 2) 3) a5

n  11

4)

4x  3 8

5)

1 9  3p

7)

5r 8  3r

8)

9b  2 12b  4

7 y

6)

x2  4 5x  2

Respuestas

II. Simplificar Expresiones Racionales • Existe una regla llamada la propiedad de las fracciones, la cual nos permite simplificarlas. La propiedad establece que: .

a ac  , c0 b bc

Esta es la forma en que se obtienen fracciones equivalentes a la fracción a

b

• En la otra dirección:

ac a  bc b Es la forma que usamos para simplificar fracciones.

Cuando hay un mismo factor, diferente de cero, en el numerador y en el denominador, se pueden simplificar ambos; solamente podemos “cancelar” factores en común.

A este proceso es al que llamamos simplificación de fracciones.

• Con las expresiones racionales hacemos algo similar cuando factorizamos los polinomios en el numerador y en el denominador, para luego eliminar los factores en común: 1. Factorizar el numerador y denominador 2 2

6a b (a  3b) 4a 5 b 4

6a 3b 2  18a 2b 3 4a 5 b 4

2. Realizar la simplificación

3(a  3b) 2a 3 b 2 Dicha expresión es equivalente a 3a  9b 2a 3 b 2

Simplificar

4 x  12 x2  9

• Solución:

4 x  12 4( x  3)  2 x  9 ( x  3)( x  3) Factorizamos Numerador y denominador

4  x3

Simplificamos asumiendo que el factor x - 3 es diferente de 0

Simplificar

25  y 2 y 2  y  30

• Solución:

25  y (5  y )(5  y )  2 y  y  30 ( y  6)( y  5) 2

 (5  y )( y  5)  ( y  6)( y  5)

5 y  y6

a – b = - (b – a). Esto permite cambiar (5 – y) por – (y – 5).

- a - b = - (b + a). Esto permite cambiar - (5 + y) por - 5 - y.

Práctica II. •

Simplifique completamente las expresiones racionales.

10 x 3 y 5  15 x 2 y 3 1) 20 x 4 y 2

7 x  14 2) 9 x  18

3ax  ax 2 3) 2 x 9

n 3  6n 2 4) n5

r 2  7r  12 5)3r 2  11r  4

x5  x3 6) x3  x 2 Respuestas

Respuestas a la Práctica I 1)El dominio es el conjunto de los números diferentes de 5; ya que estos son los que al sustituir en la variable del denominador nos produce un valor diferente de cero. −∞, 5 ∪ 5, ∞ 2) El dominio es el conjunto de los números diferentes de 11; −∞, 11 ∪ 11, ∞ 3) El dominio es el conjunto de los números diferentes de 7; −∞, 7 ∪ 7, ∞ 4) El dominio es el conjunto de todos los números reales; Nótese que no hay variable que sustituir en el denominador. −∞, ∞ 5) El dominio es el conjunto de los números diferentes de -3; −∞, −3 ∪ −3, ∞ 2

6) El dominio es el conjunto de los números diferentes de 2/5; −∞, 5 ∪ 7) El dominio es el conjunto de los números diferentes de 8/3; −∞,

8 3

8) El dominio es el conjunto de los números diferentes de -1/3; −∞, −

∪ 1 3

2 ,∞ 5 8 ,∞ 3

1 3

∪ − ,∞

Práctica I

Respuestas a la Práctica II 2 y ( 2 xy  3) 1) 4x2

o

2 xy 3  3 y 4x2

o

x3  x x 1

2) 7/9 3)

 ax x3

4) n  6

n3 5) r  3 3r  1 6) x( x 2  1)

x 1

Práctica II