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Números racionales e irracionales

Conoce, analiza, aplica...

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Números racionales e irracionales

Cada una dee las lettras mayúsculass y min núsculaas y loss signos dee puntuacióón los podeemos identi tificar con un núm mero dee dos cifr fras mediante un códig go. De este moodo, cualqu uier libro, coomo el Quuijijote, por ejjemplo, podría redu ducirse a una lilista muy larga, a, pero finita, de núm meros. Inclluso las ilusstraciones las podríam mos identificar tam mbién con unaa serie de núm meros, coomo hacen laas cámaras digitales. Si consiiderásem mos el númeroo real deel interrvalo [0,, 1], cuya exxpresión deecimal es un cero, unaa coma, y después la seriee de nú úmeros que rep presenta tan tod das las letras del Quijote, tend ndríamos id dentificadoo este libro con un solo punto. Así pues, podríaamos de decir qu ue, en efecto, “el sa saber no ocu upa lugar”.”.

0

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1. Los conj njunto os numé mérico os 2. Los númer eros dec ecimalles 2.1. Expresi sió ón dec ecimal de núm meros ra racional ale es 2.2 2. 2. Exp presión n decim mal de nú número ros irraci cio onales 3. Fra racció ón gene neratrizz 3..1. Fracc cción ge generatr triiz de un núm mero deci cim ci mal exxacto 3.2. Fra racció ón gene eratriz de un número de decimall periódic ico puro o 3.3. Fra racción n gene era ratriz de e un núm mero de eci cimal pe periódicco mixtto 4. Ope peracion ones con núm meros rac aciionale ac es 4.1.. Sumaa y restaa de núm meros rac aciionaless 4.2. Mul ulttiplicac ación de e números os raciona nales 4.3.. Divisió ón de núm úm meros rac acionale es 4.4 4. 4. Ope eraciones es combi bin nadas 5. Cif ifras siignificat attivas. iv Pr Pre ecisión n y exac actitud 6. Redon ondeo y trunca tr amiento o 7. Not otación n científi ci ficca 8.. Resoluc uciión de uc e problem emas con númer ero os concrret etos

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Conoce, analiza, aplica...

OBSERVA Y DESCUBRE

Recuerda „ Recuerda el sistema métrico decimal respondiendo a estas preguntas: a) ¿Cuántos metros son 1.234,5 kilómetros? b) ¿Cuántos milímetros son 0,34 metros? c) ¿Cuántos milímetros son 0,0061 kilómetros? „ Practica las operaciones con fracciones: a) Calcula: ( 3 – 1 ) · ( 2 + 1) 5 4 3 b) Juan se bebió la mitad de una botella de tres cuartos de litro de agua y su hermana se bebió la cuarta parte de una botella de un litro. ¿Cuánta agua bebieron entre los dos?

2 cm

„ Haz con lápiz y papel las siguientes operaciones con números decimales (luego comprueba los resultados usando la calculadora): a) 2,56 + 278,01 – 75,59 b) 0,0023 · 18,2 c) 58,2 : 0,071 „ Utiliza el teorema de Pitágoras para calcular la longitud de la diagonal de un rectángulo que mide 3 cm de base y 2 cm de altura. 3 cm

Aplica las TIC „ Las calculadoras tienen tres modos de mostrar los números en la pantalla: FIX, SCI y NORM. Busca en tu calculadora cómo se puede cambiar de un modo a otro. Investiga cuál es la diferencia de estos modos de funcionamiento haciendo el tercer ejercicio del apartado anterior.

Mejora tus competencias „ El nonio es un dispositivo que se utiliza para afinar las medidas de una escala. El sistema consiste en una escala principal A, que es la que sirve para medir, dividida en unidades y décimas, y una escala B que mide una unidad de la escala A dividida en nueve partes. Cuando la escala A se hace una medida no exacta, gracias al nonio se puede medir con una precisión más fina. Investiga sobre el tema y aprende a medir usando un calibrador o pie de rey.

0

0

escala fija

escala de nonio

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Conoce, analiza, aplica...

Analiza Una escala es una recta en la que se ha fijado un punto de origen (el 0 de la escala) y se ha determinado una unidad de medida. Las escalas sirven para medir algunas magnitudes físicas. Por ejemplo, la longitud, la temperatura, la intensidad eléctrica, etc.

1. LOS CONJUNTOS NUMÉRICOS Como sabes, en matemáticas se consideran varios conjuntos numéricos. Los números naturales son los que resultan de la operación de contar. ℕ = {0, 1, 2, 3, 4...} Los números enteros son los números naturales con signo (positivo o negativo). ℤ = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3...}

0

1

Los números racionales son las fracciones (con signo positivo o negativo) que resultan de comparar dos números enteros. ℚ = { a , donde a y b son números enteros y b ≠ 0} = { –10 , 1 , 3 , 7 ...} b 3 2 5 4 Para ser más precisos, un número racional es la clase de todas las fracciones equivalentes; o, dicho de otra manera, todas las fracciones equivalentes son distintas representaciones del mismo número racional. Por ejemplo, para el mismo número racional “tres quintos”, tenemos como distintas representaciones todas sus fracciones equivalentes posibles: {..., 3 , 6 , 9 ...} 5 10 15

Recuerda Dos fraccioness son equivvallentes si ell producto de meedios ess iguaal all prooducto de extremos:

a = c ⇔ a·d=b·c b d

Los números reales se identifican con los puntos de una escala. Son el resultado de una medida con una precisión ideal. Los números reales son todos los números decimales, con períodos o sin períodos, con signo positivo o negativo. ℝ = {√2, √ 2, 1 , π, –6, e...} 4 Los números reales que no son racionales (fracciones) son números irracionales. Cada uno de los conjuntos numéricos puede considerarse un subconjunto del siguiente, es decir, los números naturales son un caso particular de los enteros; los números enteros lo son de los racionales; y éstos, de los números reales. ℕ⊂ℤ⊂ℚ⊂ℝ El conjunto de los números reales es un conjunto ordenado. Dados dos números reales, es mayor el que está más a la derecha en su representación en la escala:

EJERCICIOS RESUELTOS 1. ¿Qué númeross están repressentaadoss en n essta t escala?

Observa

B

1

A

2

Solución:

ℝ

A = 1 + 4 = 9 = 1,88 5 5

ℚ ℤ

B = 3 = 0,75 4

EJERCICIOS PROPUESTOS ℕ

12

0

1. Indica a qué conjunto numérico pertenecen los siguientes números y represéntalos en la recta real: a) –8 b) 5/3 c) 4 d) 0 e) –1/2 f) √ √5

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Conoce, analiza, aplica... 2. LOS NÚMEROS DECIMALES

decena

unidad

6

1

0

5

7 millonésima

centena

8

cienmilésima

,

diezmilésima

2

milésima

1

centésima

9

PARTE DECIMAL FRACCIONARIA

décima

PARTE ENTERA

COMA

Se llaman números decimales aquellos que se identifican con el resultado de efectuar una medida. Un número decimal se representa mediante un número natural seguido de una coma y, a la derecha de ésta, una sucesión de cifras decimales. Cada cifra representa un orden de magnitud distinto, según su posición, siguiendo las potencias de 10:

Analiza Para hallar la expresión decimal de una fracción hay que efectuar la división indicada. Por ejemplo:

11 = 1,83333... 6 Observa que, al dividir por 6, en cada división parcial sólo se pueden obtener seis posibles restos: 0, 1, 2, 3, 4 y 5. Por consiguiente, antes de siete pasos, algún resto se repite y, por tanto, en el cociente aparece un período.

...

1

1,

0

5

0 2

0

6

0

1,

8

3

3

3

0 2

0 2

2.1. EXPRESIÓN DECIMAL DE NÚMEROS RACIONALES

Analiza

Las fracciones, que representan un número de partes iguales de la unidad, también se pueden representar por números decimales al dividir numerador y denominador. Al dividir dos números enteros podemos obtener: • Números decimales exactos, si la división nos da un número finito de cifras decimales que no son ceros. Ejemplo: 3 = 0,6 5 • Números decimales periódicos, si la división nos da un número infinito de cifras decimales que se va repitiendo sucesivamente (las cifras que se repiten constituyen el período).

)

)

Hay dos tipos de números decimales periódicos: ƒ Números decimales periódicos puros: aquellos en que el período comienza tras la coma. 224 = 2,2626262626... = 2,26 Ejemplos: 5 = 1,6666666... = 1,6 3 99 ƒ Números decimales periódicos mixtos: aquellos en que el período no empieza justo detrás de la coma y hay un anteperíodo.

Q P M N

B

A

Para dividir el segmento AB en cuatro partes iguales, se traza una recta auxiliar AQ. Sobre ella, partiendo de A, se toman cuatro segmentos iguales usando el compás hasta llegar al punto Q. Se traza la recta QB y luego las paralelas a ella, como se ve en la figura. Estas paralelas dividen el segmento AB en partes iguales.

)

Ejemplo: 3.533 = 3,5686868686... = 3,568 990 Los números decimales con períodos proceden de efectuar la división indicada en una fracción. Esta fracción se llama fracción generatriz.

Basándose en el teorema de Tales, se puede dividir un segmento en partes iguales usando la regla y el compás. Este procedimiento permite construir números racionales en una escala:

Observa Números irracionales:

41

59

2..

.

√2 3,1 =

Un par de ejemplos de números irracionales son los siguientes:

π

También existen números decimales con infinitas cifras decimales que no se pueden representar como una fracción; es decir, sus cifras decimales no presentan períodos. Estos números, por tanto, no pertenecen al conjunto de los números racionales pero sí al de los números reales. Se conocen con el nombre de números irracionales y se representan por medio de la letra 𝕀.

=

1,4

14

21

3..

.

2.2. EXPRESIÓN DECIMAL DE NÚMEROS IRRACIONALES

• La diagonal de un cuadrado cuyo lado mide la unidad es √ √2 = 1,414213562... • La longitud de una circunferencia de diámetro la unidad es π = 3,141592654... Matemáticas 3º ESO - Académicas - Editorial Donostiarra

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Conoce, analiza, aplica... 3. FRACCIÓN GENERATRIZ

Recuerda Lectura de númeross deecim malees: • El número 0,068 repreesentaa 68 miléési-mas. • El número 23,7 sonn 233 uniddades y 7 décimas. • El número 1,85 sonn una uniidad y 85 ceentésimas.

La fracción generatriz es la expresión de un número decimal con períodos en forma de fracción. La fracción generatriz se suele considerar la fracción irreducible, una vez simplificada. Calcular el número decimal a partir de la fracción generatriz es muy sencillo: basta con dividir numerador entre denominador. En cambio, el proceso contrario, calcular la fracción generatriz a partir del número decimal con períodos conlleva un proceso que hay que conocer.

3.1. FRACCIÓN GENERATRIZ DE UN NÚMERO DECIMAL EXACTO Para calcular la fracción generatriz de un número decimal exacto, se coloca en el numerador el número sin la coma y en el denominador un 1 seguido de tantos ceros como cifras tenga la parte decimal. Si es posible, se debe simplificar la fracción obtenida hasta conseguir una fracción irreducible.

EJERCICIOS RESUELTOS 1. Calcula la fracción ge generatriz iz de loos siguie ient n es núm úmeros: a) 0,0668 b) 23,7 c) 1,885 Solución: a) Siguiendo lass indicacioness anteriores, colocamoos en el numeerador el núm mero sin tener en cuenta la comaa; en este caaso, el 68, ya que los cerros a laa izquieerda carecen de vaalor. Y en el deenominador pondríaamos el númeero 1.000, ya que es la unidad seguida de trees ceros (núm mero de cifras deccimalees de 0,068). Así, 68 la fracción seería , perro esta fraccción se pu uede sim mplificaar: 1.000 68 = 17 1.000 250 La fracción geeneratriz de 0,068 es 17 . 2500 b) Procediendo igual que anttes, obtenem mos la fracción 2337 . En n este caso yaa es 10 una fracción irreducible, assí que la fraccción gen neratriz de 23,,7 es 237 . 10 c) Repetimos ell mismo proceeso y simplifificamos: 185 = 37 100 20 La fracción geeneratriz de 1,85 es 37 . 20

EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Calcula la fracción generatriz de estos números decimales: a) 2,37 b) 48,09 c) 0,00247

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Conoce, analiza, aplica... 3.2. FRACCIÓN GENERATRIZ DE UN NÚMERO DECIMAL PERIÓDICO PURO Para calcular la fracción generatriz de un número decimal periódico puro, se multiplica el número por la unidad seguida de tantos ceros como cifras tenga el período y al resultado se le resta el propio número. De este modo se obtiene un número entero sin parte decimal, y solamente queda despejar para obtener la fracción generatriz.

EJERCICIOS RESUELTOS )

a) 0,7

b) 5,24

La fracción generatriz de un número decimal periódico puro tiene: • Por numerador, la diferencia entre ese número decimal (incluyendo el período y sin la coma) y la parte entera. • Por denominador, un número formado por tantos nueves como cifras tenga el período. )

)

1. Calcula la fracción gen e eratri rizz de d los os siguiien entes nú úme m ros:

Observa

Por ejemplo, la fracción generatriz de 65,82 tiene: • Por numerador: 6.582 – 65 = 6.517

)

Solución: a) Llamamos N a nuestro número: N = 0,7. Comoo sólo ten nemoos una cifra en el período, mulltiplicamos poor 10, y nos queda 100 N = 7,77, de tal forrma que al restarlos queeda: 10 N = 7,7777... – N = 0,7777... 9N=7 Ahora, simplemente se deespeja N de la ecuacióón: 9N N=7⇒N= 7 9 7 Así, la fraccióón generatriz de 0,7 es . 9 b) En este caso,, N = 5,2424224... Se multtiplica el número dadoo por 100 y see le resta el númeero para obtener así un número en ntero: 1000 N = 524,2242424244... – N = 5,2242424244... 99 N = 519 Por tanto, N = 519 = 1733 . 99 33 )

)

• Por denominador: 99

EJERCICIOS PROPUESTOS

)

1. Calcula la fracción generatriz de los siguientes números decimales periódicos puros:

)

a) 4,7

)

b) 5,61 )

c) 200,100 2. Calcula la fracción generatriz de 0,9 y comenta el resultado. ¿Cuál será la fracción generatriz de 6,999999...? 3. Sabiendo que N = 7,22222... y que M = 2,8888..., calcula la fracción generatriz de: a) N b) M c) N + M d) N – M ¿Qué observas?

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Conoce, analiza, aplica... 3.3. FRACCIÓN GENERATRIZ DE UN NÚMERO DECIMAL PERIÓDICO MIXTO

La fracción generatriz de un número decimal periódico mixto tiene: • Por numerador, la diferencia entre ese número decimal (incluyendo el anteperíodo y el período sin la coma) y la parte entera junto con el anteperíodo.

)

• Por denominador, un número formado por tantos nueves como cifras tenga el período y tantos ceros como cifras tenga el anteperíodo. Por ejemplo, la fracción generatriz de 4,383 tiene: • Por numerador: 4.383 – 438 = 3.945 • Por denominador: 900

Para calcular la fracción generatriz de un número decimal periódico mixto, se puede conseguir un número decimal periódico puro multiplicándolo por una potencia de diez adecuada y después se procede como en el caso anterior.

EJERCICIOS RESUELTOS 1. Calcula la fracción ge generatriz iz de loos siguie ient n es núm úmeros: )

Observa

)

1

a) 4,57727

b) 0,00348 48

Solución: a) Observamos que 100 N = 457,272727 es un número deecimall perióódico pu uro. Aplicando a 100N el proceedimiento exxplicado en el ap partad do anteerior teenemos: 100 · 100 N = 45.727,272772727... – 100 N = 457,272772727... 9.900 N = 45.2270 Por tanto, N = 45.270 = 503 . 9.900 110 b) Llamamos N = 0,0034888888 al núm mero dadoo, que ess un númerro decim mal periódico mixxto. Observamos que 10.000N N = 34,888888... es un númeero deecimal periód dico puro. Aplicam mos el métodoo explicado:: 10 · 10.000 N = 348,888888... – 10.000 N = 34,8888888... 90.000 N = 314 Por tanto, N = 314 = 157 . 90.000 45.000

EJERCICIOS PROPUESTOS

a) 0,234

)

)

)

1. Calcula la fracción generatriz de los siguientes números decimales periódicos mixtos: b) 1,2416

c) 0,015

2. Calcula la expresión decimal de las siguientes fracciones: a) 3/4

b) 24/15

d) 37/6

e) 46/3

c) 27/9

3. Calcula la fracción generatriz de los siguientes números decimales: a) 1,76

b) 0,18

c) 0,043

d) 76,7

e)12,106

4. Indica en qué cifra se encuentra el período de los siguientes números y calcula la fracción generatriz:

16

a) 0,7777...

b) 0,915915915...

c) 58,131313...

d) 2,1060606...

e) 7,352222...

f) 4,22111111...

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Conoce, analiza, aplica... 4. OPERACIONES CON NÚMEROS RACIONALES Para operar con números racionales conviene hacerlo utilizando su expresión racional, es decir, en forma de fracción. Recordemos aquí las operaciones con fracciones.

4.1. SUMA Y RESTA DE NÚMEROS RACIONALES

Recuerda En las calculadorres cienttífificas exxisste la posiibi-lidad de operar con fracccioones (numeraador y denominador) utilizaanddo laa tecla a b . c

Para sumar o restar números racionales con el mismo denominador, se suman o se restan los numeradores y se deja el mismo denominador. Ejemplo: 5 + 13 = 18 = 3 24 24 24 4 Para sumar o restar números racionales con distinto denominador, hay que poner común denominador en todas las fracciones utilizando el m.c.m. (mínimo común múltiplo) y a continuación sumar o restar los numeradores. Ejemplo: 3 + 7 = 3 · 9 + 7 · 4 = 55 4 9 36 36

4.2. MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES El producto de dos números racionales es otro número racional que tiene por numerador el producto de los numeradores y por denominador el producto de los denominadores. Ejemplo: 2 · 5 = 2 · 5 = 10 = 5 3 6 3 · 6 18 9

4.3. DIVISIÓN DE NÚMEROS RACIONALES La división de dos números racionales es equivalente a realizar el producto del primer número racional por el inverso del segundo. Ejemplo: 3 : 2 = 3 · 7 = 3 · 7 = 21 5 7 5 2 5 · 2 10

¿Sabías que...? Para hallar la potencia de una fracción se elevan a dicha potencia el numerador y el denominador.

a n = an b bn

Recuerda

4.4. OPERACIONES COMBINADAS Para resolver operaciones combinadas hay que tener en cuenta el orden de prioridad.

Prioridad de laas opperraccioness: a) Paréntesis, desdde dentrro haacia fueraa b) Multiplicaccioness y diivissioonees, de izqquier-da a derechha

EJERCICIOS RESUELTOS 1. Realiza las si siguienttes e opeera r cion nes coon n fracc c ioone n s: a)

1 + 3 · 25 2 –5 5 4 3

b b)

c) Sumas y resstas, de izzquieerdda a dereecha

1 1+ 1 2

Solución: a) 1 + 3 · 25 – 5 = 19 · 10 = 19 · 10 = 19 5 4 3 20 3 20 · 3 6

b)

1 = 1 = 2 3 3 1+ 1 2 2

EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Realiza las siguientes operaciones combinadas con números racionales: a) 2 + 9 – 3 : 2 + 1 · 5 3 4 8 5 4 3

b) 1 + 3 · 4 : 10 6 7 5 3

c) 3 – 2 : 1 + 7 · 1 – 8 11 5 3 4 8 5

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Observa Los números concretos que representan medidas carecen de sentido si no se expresan junto con una unidad de medida. En física se manejan varios sistemas de unidades. El más importante es el Sistema Internacional, que se basa en el metro (longitud), el kilogramo (masa) y el segundo (tiempo).

5. CIFRAS SIGNIFICATIVAS. PRECISIÓN Y EXACTITUD En un número decimal, los ceros a la izquierda y los ceros a la derecha no son significativos. En un número decimal, se llaman cifras significativas las que son distintas de 0 y los ceros intercalados entre las cifras distintas de 0. Por ejemplo, el número 0,002703 tiene cuatro cifras significativas, que son las cuatro últimas. La cantidad de cifras significativas de un número decimal define su exactitud. Si un número decimal representa una medida aproximada, la precisión de dicho número decimal es el orden de magnitud de su última cifra decimal significativa.

Analiza Para resolver problemas en los que los datos son números hay que tener en cuenta: • Las unidades de medida utilizadas • Si los resultados son razonables

Aunque matemáticamente el número 37,0 es igual que 37, en la práctica no son lo mismo. En efecto, cuando los números son resultados de una medida, no es equivalente decir que algo mide 37 unidades que decir que mide 37 unidades y 0 décimas. En el primer caso se indica que se ha efectuado la medida con precisión de unidades; en el segundo, en cambio, la medida se ha efectuado con precisión de décimas, aunque el resultado haya sido 0. En este contexto se considera que ese 0 es una cifra significativa. Vamos a ver la diferencia entre precisión y exactitudd con un ejemplo sencillo. Supongamos que se mide la distancia de la Tierra al Sol y se obtiene que es de 149.597.871 km, y que se mide la distancia de Madrid a Ávila y el resultado es de 110,3 km. La primera medida tiene una exactitud muy grande (nueve cifras significativas), bastante superior a la segunda medida (cuatro cifras significativas). Sin embargo, la primera tiene precisión de kilómetros y la segunda tiene precisión de décimas de kilómetros (hectómetros).

Observa A la hora de operar con números decimales (por ejemplo, al hallar una media), el resultado puede dar un gran número de decimales. Sin embargo, no tiene ningún sentido trabajar con todas las cifras decimales obtenidas. Lo habitual es expresar el resultado con una exactitud semejante a la de los datos de partida. El criterio que se suele tomar es el siguiente: al operar con números decimales, el resultado debe darse con la exactitud del dato menos exacto.

EJERCICIOS RESUELTOS 1. Indica el número ro de cifr fras sig ignifica cativa vas y la pre r cisión de las siguientes cantidades: a) 45,070 b) 0,00 007088 c)) 3.270 70 Solución: a) El número 455,070 tiene cuaatro cifras siignificativvas y su precissión ess de cen ntésimas. b) El número 0,000708 tiene trres cifras sig gnificativaas y su precisióón es de cien nmilésimas. c) El número 3.2270 tiene tres cifras signifificativas y su preccisión es de decenaas.

EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Indica el número de cifras significativas de los siguientes números decimales: a) 5,067

b) 0,00065

c) 23,460

d) 0,0506

e) 203,040

d) 9,1405

e) 0,0034

2. Indica la precisión de las siguientes medidas: a) 43,65

b) 3,489

c) 230

3. Efectúa las operaciones siguientes y da el resultado con la exactitud más razonable: a) 3,4 · 1.200 18

b) 5,8 : 0,003

c) 0,207 · 12

d) 9,81 : 5

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Conoce, analiza, aplica... 6. REDONDEO Y TRUNCAMIENTO A la hora de aplicar los criterios de precisión vistos anteriormente surge un problema: ¿cómo “cortamos”, y por dónde, las cifras decimales de un número? Hay dos procesos que responden a estas preguntas: el redondeo y el truncamiento.

Analiza ¿Tu calculadora trunca o redondea?

Redondear consiste en buscar el número de la precisión requerida que más se aproxima (por exceso o por defecto) al número dado. Truncar consiste en cortar sin más la serie decimal a partir de la precisión requerida. Cuando se expresa un número real con una aproximación, se comete un error. El error absoluto es el valor absoluto de la diferencia entre el valor real y el valor aproximado: error absoluto = | valor real – valor aproximado | El error relativo (en tanto por uno) es el cociente entre el error absoluto y el valor aproximado: error relativo = error absoluto valor aproximado

EJERCICIOS RESUELTOS 1. Trunca y red e ondea a las miléési simass lo los sigu guientess números racionales: 7 1 a) b) 9 3

Cada vez que se trunca o se redondea se comete un error. Por eso en los procesos de cálculo rigurosos conviene no redondear los resultados intermedios sino que es mejor esperar al resultado final.

)

Solución: a) 7 = 0,7777777... = 0,7 9 Si truncamoss, obtenemos el número 0,777. Si redondeeamoss, el nú úmero obtenido es 0,778. b) 1 = 0,333333... = 0,3 3 En este casoo obtenemos el mismo número truncand do quee redoondean ndo, 0,333, ya quee la cifra siguieente en la qu ue nos ten nemos que fijaar paraa el redondeo es menoor que 5.

Observa

)

Observa Para resolver problemas en los que se hacen operaciones con números, es conveniente estimar aproximadamente el orden de magnitud de los resultados y ver si éstos son razonables en el contexto planteado en el problema.

2. Redondea a millares las siguientes cantidades. ¿Cu Cuán á tas cifrass significati tiva v s tienen los números redondeados? a) 663.729 b) 563.902 c) 36.1233 d) 34.7990 Solución: a) 664.000 (tress cifras significcativas)

b) 564.000 (trees cifraas sign nificativvas)

c) 36.000 (dos cifras significativas)

d) 35.0000 (dos cifrass signifificativaas)

EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Trunca y redondea hasta la centésima las siguientes cantidades: a) 27,8421

b) 3,745002

c) 321,25

2. Trunca y redondea hasta la milésima las siguientes cantidades: a) 87,9497

b) 3,0555

c) 2,999999

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Conoce, analiza, aplica...

Observa En la notación científica, la potencia de 10 representa el orden de magnitud de la primera cifra significativa. Por ejemplo: a) 566,7 = 5,667 centenas = 5,667 · 102 b) 0,00632 = 6,32 milésimas = 6,32 · 10–3

Recuerda Potencias de 10

7. NOTACIÓN CIENTÍFICA Es frecuente tener que usar cantidades muy grandes y también cantidades muy pequeñas. Estas cantidades son muy difíciles de expresar y de manejar a la hora de operar, y por eso, para simplificar la representación de estos números, utilizamos la notación científica, que consiste en expresar las cantidades utilizando potencias de 10 con exponente entero. En la notación científica, los números se expresan como el producto de dos partes. En la primera se recogen las cifras significativas, y en la segunda, la potencia de diez que representa el orden de magnitud de la primera cifra significativa. Ejemplos: a) 0,0000673 = 6,73 · 10–5 (el orden de magnitud de la cifra 6 es de cienmilésimas, 10–5) b) 8.340.000 = 8,34 · 106 (el orden de magnitud de la cifra 8 es de millones, 106) Dado un número N, representarlo en notación científica es escribirlo en la forma N = a · 10n, donde 1 ≤ a < 10 y n es un número entero.

106 = un millón 105 = cien miil 104 = diez miil 103 = mil 102 = cien 101 = diez 100 = unidadd 10–1 = décim ma 10–2 = centéssima 10–3 = milésima

EJERCICIOS RESUELTOS 1. Escribe en notación ci cien e tífica las siguien ente tes cantid dad ades: a 186.000 a) b) 0,0001 0123 2 c) 0,2866 d) 703 03,1 , 3 Solución: a) Para expresar un número grande en notación científicca, se pone una cooma detrás de la primera cifra y se cuentan las cifras que queedan por dettrás de esa coma; ese nú úmero será el exponente de la poteencia dee 10.

10–4 = diezm milésim ma

186.000 = 1,86 · 105

10–5 = cienm milésim ma

b) Para expresarr un número pequeño en notación n científica, se pone una cooma detrás de la primera cifra distinta de 0 y se cuenta el númeero de ceros que hay a la izquiierda de esa cifra; ese núm mero con n signo negatiivo serrá el exxponente de la potencia de 100.

10–6 = millonnésim ma

0,000123 = 1,23 · 10–4 c) Se procede ig gual que en ell apartado b: 0,286 = 2,86 · 100–1

¿Sabías que...? Las calculadoras científicas tienen tres modos diferentes de mostrar los números en la pantalla: • FIX (notación de coma fija). Es la forma que se usa corrientemente para mostrar los números. • SCI (notación científica). Se muestran en la pantalla los números en notación científica. En la parte central de la pantalla aparecen las cifras significativas y a la derecha, con cifras más pequeñas, la potencia de 10. Al escribir los números en notación científica, se usa la tecla EXP para introducir el exponente de 10. • NORM (notación normal). En este modo, generalmente se utiliza la notación de coma fija, pero si los números son muy grandes o muy pequeños, se pasa automáticamente a la notación científica.

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d) Se procede ig gual que en ell apartado a: 703,13 = 7,03133 · 102 2. Opera: a) 6.250.000 · 0,00012

00 · 2.000.000 b) 45.000 30.0000

Solución: a) En primer lug gar, ponemos los númeross en notacción cien ntífica. A con ntinuacción operamos con los númeross por un ladoo y con las potenccias dee 10 poor otro.. 6.250.000 · 0,,00012 = 6,25 · 106 · 1,2 · 10–4 = (6,225 · 1,2) · (106 · 10–4) = 7,5 · 102 b) Seguimos loss mismos pasoos que en el apartadoo anterioor: 45.000 · 2.0000.000 = 4,5 · 104 · 2 · 106 = 4,5 · 2 · 104 · 106 = 3 · 104++6–4 = 3 · 106 30.0000 3 · 104 3 104

EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Escribe en notación científica las siguientes cantidades: a) 34.000.000

b) 0,00654

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Conoce, analiza, aplica... 8. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON NÚMEROS CONCRETOS La técnica, el comercio y la vida en general plantean multitud de problemas que se resuelven haciendo uso de números. Los números concretos son los resultados de una medida y deben ir acompañados de la correspondiente unidad.

EJERCICIOS RESUELTOS 1. Una em empresa de art rtes e gráfifica cass desea en encuadernaar 1. 1 920 libros en el menor tiempo pos osib ible. Un talleer de d encua uade d rnacióón ha h ce el trab abaj ajo en 32 días; otro, en 96 días; y un ter ercer taller, en n 48 días. Tr Trab a ajandoo los o tres talller eres e a la vez, ¿en cuánto toss días lo harán y cu c ántos libros os encuade dern r ará cada da taller? Solución: En un día, el prim mer taller enccuaderna 1.9920 / 32 = 60 libroos. En un día, el seg gundo taller encuaderna 1.920 / 966 = 20 lib bros. En un día, el terccer taller encu uaderna 1.9220 / 48 = 40 libros.

Recuerda Para hacer probblem mass: 1º Lee y copiaa el enuunciaado con atencióón para compreendeerlo bieen. Si es necesario,, haz un esquuema o un dibujoo. 2º Distingue loos daatos de las incógnnittas y busca una reelacióón enntre unos y otrass. 3º Desarrolla el prooblem ma conn ordden, indi-cando en caada paso qué ess loo que estáás calculando. 4º Da la solucción utiilizzando laas unidaddes adecuadas. 5º Revisa los reesultaadoos,, viendoo si son razoonables o noo. Reevissa el proocesoo seguiddo y mira si el probblem ma se puuede haacer de otra maneraa. Com mpruueba la soluución.

Por consiguientee, en un día, loos tres tallerres trabajaando a laa vez encuadernan n un total de 60 + 200 + 40 = 120 libros. Y, por tanto, tendrán el trabajjo preparadoo en 1.920 / 120 = 16 días. En esos 16 días, el primer talleer encuaderrnará 960 libros; el segu undo, 320 libros; y el tercero, 6400 libros.

EJERCICIOS PROPUESTOS 1. ¿Cuántas botellas de 1/5 de litro son equivalentes a 60 botellas de 1/3 de litro? 2. ¿Cuánto costará un viaje de 256 kilómetros por carretera, si el consumo del coche es de 9,6 litros cada 100 km y el precio de la gasolina es en ese momento de 1,24 euros el litro? 3. La cabeza de un taladro gira a una velocidad de 350 r.p.m. (revoluciones por minuto) y taladra una chapa de 12/3 centímetros en 28 segundos. ¿Cuál es el avance? (El avance de un taladro se define como la distancia que profundiza en una vuelta.) Expresa el resultado en centímetros y en pulgadas, sabiendo que una pulgada es igual a 2,54 cm. 4. La velocidad del sonido es de 340 metros por segundo. ¿Cuál es la velocidad del sonido expresada en kilómetros por hora?

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Ejercicios y problemas para reforzar

1. Escribe tres números naturales, tres enteros no naturales, tres racionales no enteros y tres reales no racionales. √15 ; 2π; –0,6; 23 ; √3 √ . 2. En una escala, representa los siguientes números y después ordénalos de menor a mayor: – √ 7 2 3. Calcula la expresión decimal de los siguientes números racionales: 100 1 a) 24 b) 58 c) 20 d) 6 e) 2 f) 2.000 4 3 7 5 4. Halla la fracción generatriz de los siguientes números decimales con períodos (no olvides simplificar el resultado). a) 1,4 b) 0,976 c) 9,43 d) 0,0035 e) 0,4444... f) 0,0616161... g) 12,3333... h) 1,565656...

i) 37,45787878....

j) 88,8832323232...

5. Resuelve las siguientes operaciones de números racionales y simplifica el resultado: a) 3 + (4 – 5 ) b) 2 · 1 : 5 c) 3 : ( 5 + 9 ) d) 1 · ( 7 – 2 ) : 5 6 3 6 9 5 8 4 4 3 5 9

e) 4 + 1 · ( 1 + 3) 5 2

6. Copia la siguiente tabla en tu cuaderno y complétala: Redondeo

Truncamiento

Número A la centésima A la diezmilésima A la centésima A la diezmilésima 8,745697 3,456739 2,123974

R C S E NO

UÍ Q A IBIR

5,439802 7. Escribe en notación científica las siguientes cantidades: a) 340.000.000 b) 567.000 c) 0,4672 d) 0,00546 f) 0,000000001 g) 1.670.000 h) 300 i) 0,002

e) 1.000.000.000 j) 23.456

8. Opera con las siguientes expresiones en notación científica: a) 3 · 104 · 1,4 · 105 b) 5,23 · 10–6 · 2 · 103 d) 4,64 · 103 : 5,6 · 10–7 e) 4,5 · 102 · 6,1 · 10–4 : 1,5 · 10–8

c) 3,4 · 10–2 : 1,7 · 109 f) (4,8 · 106)2

9. Resuelve las siguientes operaciones y expresa el resultado en notación científica con dos cifras significativas. Antes de hacerlo, estima el resultado mentalmente. 5 37,5 · 60,6 · 200 a) 3,1416 · 1,25 · 50 b) c) 1,75 · 10 · 800.000 2,5 · 303 · 0,2 0,005 · 4,5 0,8 · 2,75 · 3 10. Halla el valor de las siguientes expresiones utilizando la calculadora. Redondea el resultado para darlo con cuatro cifras significativas. a)

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(0,47 + 3,21)2 · 3,5 4,2 · (1 + 34 ) 100

0,63 b) ( 3 · 0,857 + ) · ( 8 : 3 + 0,56) 5 99 4 3 +1 5

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Ejercicios y problemas para ampliar 1. Hace dos días, David se comió una cuarta parte de un pastel; al día siguiente, dos quintas partes de lo que quedaba; y al tercer día, un tercio del resto. a) ¿Qué porción del pastel se comió David el segundo día? ¿Y el tercero? b) ¿Qué fracción del total se comió?

)

)

)

)

)

)

)

)

2. Realiza las siguientes operaciones combinadas: b) 3,45 – 2 : 5 c) 3 · 2,7 – 0,51 d) 2,35 · 1,93 – 7 e) 6 + 0,045 : 5,6 a) 3 + 1,2 – 0,8 5 5 7 6 8 12 3. Alba destina un tercio de su salario a los gastos domésticos y dos séptimas partes a la comida. ¿Qué parte le queda? Si cobra 1.200 euros, ¿cuántos euros gasta en cada cosa? 4. Realiza las siguientes operaciones y redondea el resultado final a la centésima: a) 2,345 + 1,87 – 4,321 b) 1,098 · 3,005 c) 5,03 – 1,23 · 6,77 d) 5,4 : 0,18 + 2,456 · 3

e) (5,3 – 0,456) · 0,9

5. Un campesino vende las tres cuartas partes de lo que cosecha a los comercios de su pueblo y las tres quintas partes de lo que le queda en el mercado del sábado. Si le sobran 15 kg para el consumo propio, ¿qué cantidad ha recogido? 6. Utilizando la siguiente tabla de equivalencias, calcula y redondea a la centésima el coste en euros de cada uno de los artículos: a) Un trozo de tarta que en Inglaterra cuesta 3 libras b) Un suéter que en Estados Unidos cuesta 40 dólares c) Una comida que en Japón cuesta 1.500 yenes d) Una bebida que en Turquía cuesta 10 liras e) Un regalo que en Tailandia cuesta 300 bahts f) Una cámara de fotos que en la China cuesta 2.000 yuanes

1 euro equivale a... 0,79 libras esterlinas 1,26 dólares americanos 135,68 yenes japoneses 2,89 liras turcas 41,04 bahts tailandeses 7,75 yuanes chinos

7. Un camión transporta 5 millones de bolígrafos en cajas de 200 bolígrafos. ¿Cuántas cajas transporta? Las tiendas compran las cajas de bolígrafos a 60 euros y luego venden cada bolígrafo a 50 céntimos de euro. ¿Qué beneficio sacan por cada caja de bolígrafos comprada? Contesta las preguntas planteadas anteriormente usando la notación científica. 8. Calcula el valor de la siguiente expresión (antes de hacerlo, estima el resultado mentalmente): 0,000002 √ 0,001 ·500 Expresa el resultado en notación científica. 9. La masa de un átomo de hidrógeno es de 1,67 · 10–18 gramos. ¿Cuántos átomos hay en un kilogramo de hidrógeno? 1 10. El consumo de un coche de importación es de 3 2 galones de gasolina cada 100 millas. Expresa el consumo en litros de gasolina cada 100 kilómetros, teniendo en cuenta que 1 galón son 3,78 litros y 1 milla son 1,61 kilómetros.

VOCABULARIO La actividad que inicias en esta primera unidad didáctica tendrá continuidad en todas las unidades del libro. Se pretende que elabores un diccionario personal de vocabulario matemático en tu cuaderno o fichero Word, ordenando las palabras alfabéticamente y explicando su significado. Te ayudará a afianzar los conceptos más importantes de cada unidad y a ampliar la terminología matemática. • • • • • • •

cifras significativas error absoluto error relativo escala exactitud fracción generatriz jerarquía de las operaciones

• • • • • • •

notación científica números decimales números decimales periódicos mixtos números decimales periódicos puros números enteros números irracionales números naturales

• • • • •

números racionales números reales precisión redondear truncar

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Aplicaciones TIC CALCULADORAS CIENTÍFICAS

En esta unidad vas a aprender a usar otra función de tu calculadora. Como has visto a lo largo de la unidad, los números que tienen muchos ceros se pueden simplificar bastante utilizando la notación científica. Tu calculadora también tiene esta función. Busca la tecla EXP (o ×10x , según el modelo de calculadora). Suele estar entre · y Ans . Vamos a ver con un ejemplo cómo introducir en la calculadora un número en notación científica. Imagina que quieres introducir en notación científica el siguiente número: 2,83 · 104. Tienes que teclear el número 2,83, luego pulsar la tecla indicada anteriormente ( EXP o ×10x ) y por último escribir el exponente del 10, que en nuestro caso es 4. Es decir, la secuencia que has de seguir es 2 · 8 3 EXP 4 (o bien 2 · 8 3 ×10x 4 ). Pulsando la tecla = aparecerá el número en la pantalla.

Si el número que quieres introducir tiene exponente negativo, debes proceder de la misma manera. Por ejemplo, para 1,569 · 10–8 tendrás que teclear la secuencia siguiente: 1 · 5 6 9 EXP – 8 (o bien 1 · 5 6 9 ×10x – 8 ).) Para operar con números en notación científica no hay que hacer nada especial. Se hace igual que con el resto de los números.

PRÁCTICAS Realiza las siguientes operaciones con números expresados en notación científica utilizando la calculadora: a) 3 · 104 · 1,4 · 10–5 b) 5,23 · 10–6 · 2 · 103 c) 3,4 · 10–2 : 1,7 · 109 d) 4,64 · 103 : 5,6 · 10–7 e) 4,5 · 102 · 6,1 · 10–4 : 1,5 · 10–8

OPERAR CON FRACCIONES USANDO LA CALCULADORA Como seguramente sabes, en la calculadora se pueden hacer operaciones con fracciones, expresadas con su nub merador y denominador. Para ello se usa la tecla a c (o , según el modelo de calculadora). b Veamos un ejemplo. Para escribir 65 se sigue esta secuencia en la calculadora: 6 a c 5 . También se pueden introducir fracciones como números mixtos. Por ejemplo, el número mixto 4 2 se introduce 3 así: b 4 a c 2 a bc 3 Una vez introducidos así los datos de una operación, los resultados también se obtienen en modo de fracción. La opción por defecto es dar la fracción en forma de número mixto, pero si se quiere leer como fracción irreducible basta elegir la segunda opción: SHIFT a bc .

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Aplicaciones TIC En la pantalla se usa como raya de fracción el símbolo .

Las calculadoras científicas más avanzadas tienen un editor de pantalla que permite ver las fracciones en su forma habitual. En estas calculadoras, con la tecla SÙD se puede pasar de forma de fracción a forma decimal y viceversa.

EJERCICIOS Usa la calculadora para efectuar las siguientes operaciones con fracciones: a) 5 – 3 7 5

b) 1 + 2 2

c) 3 – 1 · 4 + 1 2 5 5

EL NÚMERO PI EN LA WEB Todos sabemos que pi (π) es un número con muchas cifras decimales sin períodos (se trata de un número irracional). Muchos matemáticos, desde Arquímedes, se han preocupado de hallar cada vez más decimales de este número. Hoy en día, gracias a los ordenadores, se pueden conocer millones y millones de cifras del número pi. Cabría pensar que, si el número pi es una larguísima cadena de cifras que aparentemente no siguen ningún patrón, posiblemente aparecerá en él, tarde o temprano, cualquier subcadena de números. Por ejemplo, me puedo preguntar si las cifras de la fecha de mi cumpleaños, o las de mi número de móvil, estarán dentro del número pi. y puedes encontrar respuesta a esas preguntas, ya que permite buscar cualEn The Pi-Search Page (www.angio.net/pi/piquery) quier cadena de números dentro de las cifras del número pi. Por ejemplo, 55 aparece por primera vez en el número pi a partir de la posición 130. También ofrece interesantes informaciones sobre este fascinante número.

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Aplica tus conocimientos

Como se ha indicado ya a lo largo del tema, la notación científica es una forma sencilla de expresar números muy grandes. Uno de los campos en que más se utiliza es la astronomía, ya que las distancias que se miden en esta ciencia son enormes. Te proponemos a continuación algunos ejercicios relacionados con la astronomía para que practiques con la notación científica y aprendas más sobre dicha disciplina.

Como te puedes imaginar, la distancia entre la Tierra y cualquier otro cuerpo celeste es de un número de kilómetros de un orden de magnitud tan elevado que hace muy incómodo poder trabajar con él. Por eso los astrónomos decidieron crear una nueva unidad de medida que facilitase estos cálculos. La unidad de medida que eligieron fue la distancia de la Tierra al Sol y la llamaron unidad astronómica. Así, pues, se llama unidad astronómica (UA) a la distancia media entre la Tierra y el Sol, distancia que, por definición, es igual a 149.597.870.700 metros. Conocido este dato, responde en tu cuaderno las siguientes cuestiones: 1. Escribe esa cantidad en notación científica con tres cifras significativas. Luego pásala a kilómetros: 1 UA = ... m = ... km 2. En la siguiente tabla se encuentran recogidas las distancias de cada uno de los planetas del Sistema Solar al Sol. Copia la tabla en tu cuaderno y complétala utilizando la calculadora científica. Da el resultado con tres cifras significativas. Planeta Mercurio Venus Tierra Marte Júpiter Saturno Urano Neptuno 26

Distancia (km) 5,79 · 107 1,08 · 108 1,50 · 108 2,28 · 108 7,79 · 108 1,43 · 109 2,87 · 109 4,50 · 109

Distancia (UA)

1

NO

C ES

R

I IB

R

Í U AQ

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Aplica tus conocimientos 3. Ayudándote de la tabla anterior y de la calculadora, indica las distancias entre las órbitas de los siguientes planetas: a) Mercurio y Neptuno b) Urano y Marte c) Júpiter y Saturno d) La Tierra y Venus e) La Tierra y Marte f) Venus y Urano

4. Imagina ahora que estás construyendo una maqueta del Sistema Solar. ¿A qué distancia de Neptuno deberías colocar el Sol para que tu maqueta fuese a escala, si has puesto la Tierra a 30 cm del Sol?

Sol

Tierra

Neptuno

30 cm xm 5. Busca información en Internet o en alguna enciclopedia para contestar las siguientes preguntas: a) ¿Cuál es el radio del planeta Tierra? b) ¿Cuántos habitantes tiene nuestro planeta? c) ¿Cómo se calcula la superficie de una esfera si se conoce su radio? 6. Calcula, con los datos que acabas de buscar: a) La superficie de la Tierra b) La superficie correspondiente a tierra firme (una cuarta parte de la superficie total de la Tierra) c) La superficie habitable de la Tierra (ten en cuenta que, de toda la superficie de la Tierra, solamente es habitable un 70%, aproximadamente, ya que deben descontarse los círculos polares, las cumbres inaccesibles, los desiertos extremos, etc.) d) La parte de la superficie habitable de la Tierra que corresponde a cada uno de sus habitantes. Expresa el resultado en hectáreas. Luego comentad en clase el resultado que habéis obtenido.

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Mapa conceptual

Números ra aciionales e irraccionales Conjuntos num méricoss

Naturralees

Enteeros

Clasees de fraccion nes equivalenttes

Racion nalees

See represeentaan con n....

Son n...

Númerross decimaless con perío odoss

Reaalees

See represeentaan con n....

Númerross decim maless

See aproxim man n con n....

Exacto os Periód diccos puros Truncam mien nto o

Periód diccos mixtoss

Redon ndeo o

See expreesan an con n....

Notaciión cienttífi fica

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Números racionales e irracionales

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Autoevaluación DE CONCEPTOS DE CONCEPTOS

DE COMPETENCIAS

1. Indica si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones: a) Todo número entero es racional. b) Todo número racional es natural. c) Todo número natural es entero. d) Todo número racional se puede expresar en forma de fracción. e) Todo número decimal periódico es racional. 2. La representación gráfica del número racional 7 es... 4 0

a) A

A

B

1

b) B

C

2

c) C

D

d) D

3

E

4

e) E

3. ¿Cuál de las siguientes expresiones es exactamente igual a 1 ? 9 a) 3–2 b) 1,9 c) 2 – 3 d) 0,111 3 8 e) Ninguna de las anteriores. 4. El número 0,0625 es la expresión decimal de... a) 625 b) 1 c) 1 d) 1 60 16 25 100 e) Ninguno de los anteriores.

1. Antonio alquila una furgoneta. La compañía de alquiler le cobra 60 euros por día, además de lo que gaste en gasolina. La furgoneta gasta 1 litro de gasolina cada 12,5 km. La gasolina cuesta 135 céntimos de euro por litro. El lunes, Antonio alquila la furgoneta y conduce de La Coruña a Oviedo. El martes conduce de Oviedo a Madrid. El miércoles conduce de vuelta a La Coruña desde Madrid y devuelve la furgoneta. Antonio usa la siguiente tabla informativa de distancias y estima que el total del alquiler y la gasolina le puede costar un total de 350 euros. La Coruña 591 286 642

Madrid 446 453

Oviedo 382

San Sebastián

Calcula el total del gasto. ¿Se ha aproximado bien Antonio al coste? ¿Qué error ha cometido?

2

5. El resultado de la operación 1,333... + 12,5858... es igual a... 1.376 a) 1.420 b) 9 c) 1.416 d) 1.378 99 9 99 e) Ninguno de los anteriores. 6. ¿Cuál de los siguientes números es igual a mil setenta y tres millonésimas? a) 0,173 · 10–6 b) 1,73 · 10–3 c) 0,001073 d) 0,01073 e) Ninguno de los anteriores.

2. Si ABCD es un cuadrado y E y F son los puntos medios de los lados AB y BC, C respectivamente, ¿qué fracción del cuadrado ocupa la zona anaranjada? A

E

B

F

7. ¿Cuál es el valor de la expresión 0,001 · 0,000002 ? 500 a) 4 · 10–8 b) 4 · 10–11 c) 4 · 10–13 d) 4 · 10–12 e) Ninguna de las anteriores. 8. ¿Cuál de las siguientes series está correctamente ordenada? a) –0,1 < –0,01 < 10–3 < √2 √ < 5 < |√3 √ |< 5 3 7 5 5 –3 b) –0,1 < –0,01 < 10 < √2 √ < < < |√3 √ | 3 7 c) –0,1 < 0,1 < 10–3 < √2 √ < 5 < 5 < |√3 √ | 3 7 d) –0,1 < –0,01 < 10–3 < √2 √ < 5 < 5 < |√3 √ | 7 3 e) Todas las series anteriores son incorrectas.

D

C

3. En el diagrama de la figura se ha representado el resultado obtenido por el partido X en un congreso de 225 diputados. ¿Cuántos diputados obtuvo ese partido?

X 32º

Matemáticas 3º ESO - Académicas - Editorial Donostiarra

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