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5. Integral y Aplicaciones Primitiva de una funci´ on Una funci´ on F es una primitiva de f , en un intervalo I, si F 0 (x) = f (x) para todo x en I. Observaci´ on Sumando a F (x) una constante arbitraria C se obtiene de nuevo una primitiva, ya que la derivada sigue siendo f (x). Entonces toda primitiva G de f debe ser de la forma G(x) = F (x) + C, donde C es una constante. 

La integral indefinida La operaci´ on de hallar todas las primitivas de una funci´on se llama integraci´ on. Z f (x) dx = F (x) + C. R El s´ımbolo es el s´ımbolo integral. La funci´on f que ha de ser integrada es el integrando, y la constante C es llamada constante de integraci´ on. La familia de funciones F (x) + C es la integral indefinida de f . El adjetivo “indefinida” enfatiza que el proceso de integraci´on no produce una funci´ on definida, sino m´as bien todo un conjunto de funciones. Ejemplo La integral indefinida de f (x) = x2 es 31 x3 + C. Lo escribimos de la forma Z 1 x2 dx = x3 + C 3 En la figura 20 est´ an representadas las gr´aficas de la familia de funciones que constituyen la integral 2 indefinida de x . 

Fig.20

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Reglas b´ asicas de integraci´ on R 1. k dx = kx + C (k, una constante) R R 2. cf (x) dx = c f (x) dx (c, una constante) R R R 3. [f (x) ± g(x)] dx = f (x) dx ± g(x) dx Integraci´ on mediante cambio de variable Se sustituye una parte del integrando g(x) por una nueva variable g(x) = u:   Z Z g(x) = u 0 f [g(x)] g (x) dx → → f (u)du. g 0 (x)dx = du Ejemplo Z Calcular I =

√ 3 3x + 1 dx.

Hacemos la sustituci´ on u = 3x + 1 y du = 3 dx, y obtenemos Z Z Z Z √ √ √ 2 3x + 1 (3dx) = u du = u1/2 du = u3/2 + C 3 3x + 1 dx = 3 Reemplazamos u por 3x + 1 y obtenemos Z √ 2 3 3x + 1 dx = (3x + 1)3/2 + C.  3 Integraci´ on por partes Si las funciones u(x) y v(x) Zson continuas y diferenciables en un intervalo [a, b] y sobre este intervalo existe la integral vdu, entonces sobre este mismo intervalo existe tambi´en Z Z Z la integral udv y adem´ as udv = uv − vdu. Ejemplo Z Para calcular Entonces

xex dx, se hace u = x, dv = ex dx, de donde du = dx, v = ex . Z

x

x

xe dx = xe −

Z

ex dx = xex − ex + C. 

La integral definida Sea f una funci´ on definida en [a, b]. Si lim∆x→0 [f (x1 ) ∆x + f (x2 ) ∆x + · · · + f (xn ) ∆x] existe y es u ´nico para cualquier elecci´on de puntos x1 , x2 , . . . , xn en los n subintervalos de [a, b] de anchura igual a ∆x = (b − a)/n, entonces el l´ımite se llama integral definida Rb de f entre a y b y se denota por a f (x) dx. Es decir Z

b

f (x) dx := lim a

∆x→0

X

f (xi )∆x.

i

El n´ umero a es el l´ımite inferior de integraci´ on, y el n´ umero b es el l´ımite superior de integraci´ on.

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Observaciones 1. Una condici´ on suficiente de integrabilidad de una funci´on f en un intervalo [a, b] es que f sea continua en ese intervalo. Tambi´en si f (x) es mon´otona o si es continua a trozos es integrable. 2. La colecci´ on finita de puntos a, x1 , . . . , xn , b recibe el nombre de partici´ on del intervalo [a, b]. En el caso indicado es una equipartici´ on, pues los subintervalos son iguales. 3. La expresi´ on f (x1 ) ∆x + f (x2 ) ∆x + · · · + f (xn ) ∆x recibe el nombre de suma de Riemann de f para la partici´on dada. 4. Si f (x) es una funci´ on no negativa (f (x) ≥ 0 sobre el segmento [a, b]), la integral definida nos proporciona el ´ area de la regi´on plana bajo la curva y = f (x) entre x = a y x = b (figura 21). 

Fig.21

Propiedades de la integral definida Z b Z b Z b 1. [f (x) + g(x)] dx = f (x) dx + g(x) dx a

a b

Z 2.

a

b

Z cf (x) dx = c

f (x) dx

a

a

Z 3. Si f (x) ≥ g(x) en [a, b], entonces

b

Z f (x) dx ≥

a b

Z

Z f (x) dx = −

4. a

b

g(x) dx a

a

f (x) dx b

Z 5. Dados a, b, c, entonces

b

Z f (x) dx =

a

c

Z f (x) dx +

a

b

f (x) dx c

Z b Z b f (x) dx ≤ |f (x)| dx 6. a

a

Teorema del valor medio para integrales Sea f continua en [a, b], entonces existe al menos un n´ umero x∗ ∈ [a, b] tal que Z b f (x) dx = f (x∗ )(b − a) a

En efecto por ser f continua en [a, b] alcanzar´a un valor m´ınimo m y un valor m´aximo M en puntos del intervalo [a, b]. El punto x∗ cumple, pues que m ≤ f (x∗ ) ≤ M (fig 22).

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Fig.22

Observaci´ on Z

b

f (x)dx = µ(b − a).

Si f no es continua en [a, b], a´ un as´ı existir´a un valor µ tal que a

Pero en este caso µ no tiene porqu´e ser la imagen de alg´ un x∗ ∈ [a, b].  Teorema fundamental del C´ alculo Si f es continua en [a, b], entonces Z

b

f (x) dx = F (b) − F (a) a

donde F es una primitiva de f en [a, b]. Ejemplo Z 0

π/2

π/2 cos x dx = sen x = sen π/2 − sen 0 = 1.  0

Aplicaciones geom´ etricas de la integral definida ´ Area entre dos curvas Si f y g son funciones continuas en el intervalo [a, b], y si f (x) ≥ g(x) para todo x del intervalo [a, b], entonces el ´ area de la regi´on encerrada por arriba por y = f (x), por abajo por y = g(x), por la izquierda por la recta x = a, y por la derecha por la recta x = b es Z

b

[f (x) − g(x)] dx

A= a

como se sigue de la figura 24.

Fig.24

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Ejemplo Calcular el ´ area de la regi´ on encerrada entre las curvas y = x2 e y = x + 6 Los puntos en que se cortan las dos gr´aficas han de satisfacer las ecuaciones (ver figura 25), y = x2

y

y =x+6

Esto conduce a x2 = x + 6

o

x2 − x − 6 = 0

o

(x + 2)(x − 3) = 0

de donde x = −2 y x = 3. De manera que el ´area pedida es 3 Z 3 x2 125 x3 [(x + 6) − x2 ] dx = A= + 6x − = . 2 3 6 −2 −2

Fig.25 F´ ormula para el volumen Sea S un s´ olido limitado por dos planos paralelos perpendiculares al eje x en x = a y x = b. Si para cada x del intervalo [a, b] el ´area de la secci´on transversal de S perpendicular al eje x es A(x), entonces el volumen del s´olido es (ver figura 26) Z b V = A(x) dx a

con tal de que A(x) sea integrable.

Fig.26 Si el s´ olido es de revoluci´ on, es decir, est´a generado por la regi´on R debajo de la gr´afica de una funci´ on continua en [a, b] que ha girado una vuelta completa alrededor del eje x (figura 27a), entonces A(x) = π[f (x)]2 como se sigue de la figura 27b. En este caso tenemos para el volumen la expresi´on Z V = a

b

π[f (x)]2 dx

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Fig.27

Ejemplo √ Hallar el volumen del s´ olido que se obtiene cuando la regi´on bajo la curva y = x en el intervalo [1, 4] gira una vuelta completa sobre el eje x. Z V =

b 2

Z

π[f (x)] dx = a

1

4

4 15π πx2 =  πx dx = 2 1 2

F´ ormula para la longitud de un arco de curva Si y = f (x) es una curva suave en el intervalo [a, b] (es decir f 0 es continua en [a, b]), el siguiente esquema “informal” nos da la longitud ds de un trozo “muy peque˜ no” de curva a partir de la conocida longitud ∆s de un segmento.

Entonces la longitud L del arco de curva sobre [a, b] viene dada por s  2 Z b Z bp dy L= 1+ dx = 1 + [f 0 (x)]2 dx dx a a Ejemplo √ Hallar la longitud del arco de curva y = x3/2 desde (1, 1) hasta (2, 2 2). En este caso dy 3 = x1/2 dx 2 y dado que la curva se extiende de x = 1 a x = 2 la longitud vendr´a dada por Z 2r 9 L= 1 + x dx 4 1

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Para evaluar la integral hacemos el cambio de variable 9 u = 1 + x, 4

du =

9 dx 4

con este cambio los l´ımites de integraci´on (x = 1, x = 2) pasan a ser (u = 13/4, u = 22/4): L=

4 9

Z

22/4

u1/2 du =

13/4

22/4 8 3/2 ≈ 2, 09  u 27 13/4

Integraci´ on num´ erica: Regla de Simpson Si no es posible encontrar una primitiva elemental de f , entonces la integral b

Z

f (x) dx a

no puede evaluarse mediante el teorema fundamental del c´alculo. En tales casos, el valor de la integral puede aproximarse por distintos procedimientos, siendo la Regla de Simpson uno de los m´ as utilizados por su sencillez y precisi´on. Supongamos conocida una tabla de n + 1 puntos (xi , yi ) (siendo n par), de la gr´afica de una funci´ on f : x y

x0 y0

x1 y1

x2 y2

··· ···

xn yn

Tomando como extremos del intervalo x0 = a y xn = b, la Regla de Simpson establece que   Z b b−a f (x) dx ≈ [y0 + 4y1 + 2y2 + 4y3 + 2y4 + · · · + 2yn−2 + 4yn−1 + yn ] 3n a Ejemplo A continuaci´ on se aproxima la integral Z 1

2

1 dx x

mediante la regla de Simpson usando n = 10 subdivisiones. De esta forma los subintervalos tienen una anchura b−a 2−1 h≡ = = 0, 1 n 10 De manera que h b−a 1 = = 3 3n 30 A partir de la siguiente tabla

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se sigue que Z 1

2

1 1 dx ≈ (20, 7945) = 0, 69315 x 30

N´ otese que en este caso la funci´ on integrando admite una primitiva inmediata Z 2 2 1 dx = ln |x| = ln 2 = 0, 693147 1 1 x La comparaci´ on de ambos resultados da una idea de la bondad del m´etodo. 

Integraci´ on de ecuaciones diferenciales Una ecuaci´ on diferencial de primer orden es una relaci´on entre una variable x, una funci´on y(x) y su derivada y 0 (x) y 0 (x) = f (x, y). Por ejemplo las siguientes expresiones constituyen ecuaciones diferenciales de primer orden y 0 = y,

y 0 = 2y − 3y 2 ,

y0 =

x y

Resolver (o integrar) la ecuaci´ on diferencial es obtener todas las funciones y(x) tales que la satisfacen, esto es, tales que y 0 (x) = f (x, y(x)). Normalmente, resulta f´ acil verificar si la funci´on y = y(x) es una posible soluci´on de la ecuaci´ on diferencial. Basta calcular la derivada de y(x) y demostrar que cuando y(x) y la funci´ on derivada y 0 (x) se sustituyen en la ecuaci´on, la reducen a una identidad en x. Es inmediato comprobar que y = ex y y = 2ex son soluciones de la ecuaci´ on y 0 = y. En realidad cualquier funci´ on de la forma y = cex , donde c es una constante arbitraria satisface la ecuaci´ on. A esta familia de funciones que depende de una constante se la conoce como integral general de la ecuaci´ on.

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El estudio de muchos fen´ omenos naturales (en Biolog´ıa, Qu´ımica, Econom´ıa, etc.) conduce a ecuaciones diferenciales de primer orden. Ejemplo La velocidad de desintegraci´ on de una sustancia radiactiva es proporcional a la cantidad de sustancia presente. Designando por x(t) la cantidad de sustancia en un instante dado la ecuaci´on diferencial que rige este proceso es: x0 (t) = −kx(t)

k > 0. 

Ecuaciones con variables separables Se llaman as´ı las ecuaciones que pueden llevarse a la forma A(y) dy = B(x) dx siendo su soluci´ on

Z

Z A(y) dy =

B(x) dx + c,

es decir el problema se reduce al c´ alculo de primitivas que ya conocemos. Ejemplo Consideremos las tres ecuaciones siguientes: y 0 = k,

y 0 = f (x),

y 0 = ky.

En el primer caso dy =k dx

Z −→

dy = k dx

−→

Z dy =

−→

k dx + c

y(x) = kx + c.

En el segundo caso dy = f (x) dx

Z −→

dy = f (x) dx

−→

Z dy =

Z f (x) dx + c.

−→

y(x) =

f (x) dx + c

En el tercer caso dy = ky dx

−→

dy y

Z = k dx

−→

dy = y

Z k dx+c

−→

ln |y| = kx+c

−→

y(x) = Cekx . 

Algunas aplicaciones 1. Decaimiento radiactivo Se sabe que la vida media (el tiempo que tarda una cantidad de una sustancia radiactiva en reducirse a la mitad) del is´ otopo 14 C del carbono es de 5750 a˜ nos. Calcular el valor de la constante de desintegraci´ on k asociada. La ecuaci´ on que rige ese proceso de descomposici´on es x0 (t) = −kx(t), k > 0 cuya soluci´on es x(t) = Ce−kt . En ella aparece la constante de desintegraci´on k inherente al problema y la constante C que proviene de la integraci´on de la ecuaci´on de primer orden. Esta constante de integraci´ on tiene el siguiente significado: si en el instante inicial t = 0 hay una cantidad x0 de sustancia tendr´a que cumplirse que x0 = x(0) = Ce−k·0 = C,

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as´ı pues C es la cantidad inicial de sustancia x0 . Podemos escribir la soluci´on de la ecuaci´on de decaimiento radiactivo en la forma x(t) = x0 e−kt . Para calcular la constante k para el media es 5750 a˜ nos, es decir, x0 = x0 e−5750k 2

14 C

basta tener en cuenta el dato de que su vida

e5750k = 2

−→

−→

k=

ln 2 ≈ 1, 2 · 10−4 . 5750

Conocida esta constante k, si se quiere averiguar la edad de un objeto arqueol´ogico que contiene, por ejemplo, el 65, 6% de su 14 C inicial tenemos que −4 t

0, 656x0 = x0 e−1,2·10

−→

t=

ln(0, 656) ≈ 3497 a˜ nos. −1, 2 · 10−4

2. Crecimiento poblacional En la naturaleza cuando una poblaci´on de individuos es peque˜ na y tiene comida y espacio suficiente, la velocidad de crecimiento de la poblaci´on es proporcional a su tama˜ no. Pero al ir creciendo la poblaci´ on sus componentes compiten por el espacio y por la comida. Hay estudios que indican que el crecimiento de la poblaci´on debe ser corregido por un factor proporcional al cuadrado de la poblaci´on. Esto conduce a un modelo b´asico en ecolog´ıa, la ecuci´ on log´ıstica de Verhulst para el crecimiento de poblaciones: dx = kx(a − x) dt donde x = x(t) es la poblaci´ on en un tiempo t y k (constante de crecimiento) y a son constantes positivas. La poblaci´ on inicial es x0 = x(0), y suponemos x0 < a. Podemos resolver la ecuaci´ on por separaci´ on de variables y utilizar la descomposici´on en fracciones simples  Z Z Z  Z dx dx 1/a 1/a = kdt −→ = kdt −→ + dx = kdt x(a − x) x(a − x) x a−x de donde

x = kat + C. ln a − x

Y aplicando exponenciales

x = Aekat . a−x Si hacemos t = 0 obtenemos el valor de la constante de integraci´on A A=

x0 a − x0

y llevando este valor a la expresi´ on anterior y despejando x(t) se llega finalmente a x(t) =

ax0 . x0 + (a − x0 )e−kat

Vemos a partir de esta soluci´ on que x(t) es una funci´on estrictamente creciente para t ≥ 0 y lim x(t) = a. t→+∞

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Consecuentemente, a representa la poblaci´on m´axima, nunca alcanzada.

Ejercicios 1 Calcular las siguientes integrales Z Z Z dx ex , x2 ex dx, dx. x x+1 e +1 2 Hallar el ´ area de un c´ırculo de radio a. 3 Hallar la longitud de una circunferencia de radio a. 4 Hallar el volumen de una esfera de radio a. Z 1/3 sen x 5 Calcular aproximadamente la integral dx. x 0 6 Demostrar que la ecuaci´ on diferencial dy y =2 dx x

(x 6= 0)

es satisfecha por la funci´ on y = Cx2 , donde C es una constante. 7 Integrar la ecuaci´ on y 0 = ay + b.