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CAP´I TULO
1 Aplicaciones de la integral
3.1 Volumen de solidos ´ Las ideas que dieron origen a la integral en el c´alculo de a´ reas (hacer una partici´on de un intervalo, obtener aproximaci´on del a´ rea, refinar la partici´on, tomar l´ımites, entre otros) pueden ahora aplicarse para calcular el volumen de un so´ lido, teniendo en cuenta ciertas suposiciones generales. Imaginemos un so´ lido B en el espacio cuyo volumen V .B/ deseamos calcular.
Este volumen es una medida de la extensi´on del so´ lido, y al igual que el a´ rea satisface las propiedades:
1. V .B/ 0. 2. V .B1
S
B2 / D V .B1 / C V .B2 /, siempre que B1
T
B2 D Ø.
Un cilindro es un so´ lido que tiene una cara plana que llamaremos base y altura constante h.
canek.azc.uam.mx: 20/ 5/ 2015/ 636
1
2
C´alculo integral
La base tiene exactamente la misma forma que la tapa superior.
El so´ lido que usualmente llamamos cilindro es en realidad un cilindro circular recto. El cilindro como lo acabamos de definir puede tener base de cualquier forma R, en particular cuando R es un pol´ıgono el correspondiente cilindro es un prisma:
Una vez aclarado lo que entendemos por cilindro, enunciamos la propiedad de normalizaci´on del volumen: 3. Si B es un cilindro cuya base es la figura plana R y con altura h, entonces su volumen es V .B/ D A.R/ h; es decir, es el producto del a´ rea de su base por su altura. Observaci´on. La propiedad anterior concuerda con las ideas previamente adquiridas en geometr´ıa, por ejemplo, si el cilindro es un prisma, su volumen se calcula exactamente como el a´ rea de la base por la altura. Para calcular el volumen de so´ lidos que no necesariamente sean cilindros utilizamos un razonamiento parecido al que aplicamos para el c´alculo de a´ reas, basado en rect´angulos; so´ lo que ahora calcularemos bas´andonos en el volumen de cilindros, esto es: Supongamos que para el so´ lido B cuyo volumen queremos calcular hay una l´ınea recta ` de tal forma que podemos hacer cortes del so´ lido B con planos perpendiculares a `, como sucede en las m´aquinas que se usan para rebanar alimentos.
3.1 Volumen de so´ lidos
3
Para que nuestro argumento avance, tenemos que suponer algo m´as: que la l´ınea ` est´a graduada o tiene escala, de manera que podemos hacer un corte perpendicular a ` a cualquier distancia x dentro de cierto rango Œa; b. Suponemos tambi´en que ese corte a la distancia x es una cara plana, digamos R.x/, cuya a´ rea debe ser posible calcular; denotemos dicha a´ rea por A.x/ D a´ rea de R.x/: Con los anteriores supuestos, podemos calcular el volumen de un so´ lido B por medio de los pasos siguientes: F F F
Tomamos una partici´on del intervalo Œa; b, esto es, a D x0 < x1 < x2 < < xn D b. Para cada subintervalo de la partici´on Œxi
1 ; xi
tomamos un punto xi 2 Œxi
Hacemos un corte perpendicular a la l´ınea ` que pase por el punto una regi´on plana del so´ lido cuya a´ rea A.xi / se calcula.
b
1 ; xi .
Este corte nos determina
`
xi
F
xi .
Se construye un cilindro recto cuya a´ rea de la base es A.xi / y la altura es xi D xi
xi
1.
xi
b
F
`
Obtenemos as´ı, una aproximaci´on al volumen del so´ lido mediante la fo´ rmula Vol.B/
n X
A.xi /.xi
xi
i D1
1/ D
n X
A.xi /xi ;
i D1
`
F
La aproximaci´on ser´a mejor a medida que tomamos particiones m´as finas, con n tendiendo a 1 y con xi tendiendo a cero. El m´etodo as´ı esbozado producir´a, en el l´ımite, el volumen del so´ lido: Vol.B/ D
Z
b
A.x/ dx:
a
Ejemplo 3.1.1 Calcular el volumen de una pir´amide de base cuadrada con lado a & altura h.
4
C´alculo integral
H Pongamos en el eje x la l´ınea que une los centros de los cuadrados que forman las secciones transversales de la pir´amide, como se muestra en la siguiente figura: y .h; a2 / b
x
a
`.x/ b
b
h
a
0
b
b
b
b
`.x/
h De esta forma el v´ertice de las caras triangulares de la pir´amide coincide con el origen, y los cortes con planos perpendiculares al eje son todos cuadrados; hay un cuadrado para cada x desde 0 hasta h. El lado de esos cuadrados crece linealmente, desde 0 cuando x D 0 hasta a cuando x D h; por tanto, el lado `.x/ ax , para 0 x h. El a´ rea correspondiente a dicho cuadrado ser´a del cuadrado en el corte por x es `.x/ D h entonces: ax 2 a2 x 2 A.x/ D Œ`.x/2 D D 2 : h h De acuerdo con la discusi´on previa, el volumen de la pir´amide es Z h Z h 2 2 a x a2 x 3 h a2 h3 a2 h V D A.x/ dx D dx D D D ; h2 h2 3 0 h2 3 3 0 0
x
3.1 Volumen de so´ lidos
5
1 del producto del a´ rea de la base por la altura. Vale la pena 3 comentar que esta fo´ rmula ya era conocida por culturas antiguas, como la egipcia.
es decir, el volumen de una pir´amide es
Generalizando el ejemplo anterior, si R es una regi´on plana acotada, llamamos cono sobre R de altura h al so´ lido que resulta de unir todos los puntos de la regi´on con un punto P del espacio, situado a una distancia h del plano que contiene a la regi´on.
Por supuesto, el cono circular recto (que es a lo que comunmente ´ llamamos cono) es un caso particular de lo que acabamos de definir.
Ejemplo 3.1.2 Demostrar que el volumen de cualquier cono sobre una regi´on R de altura h es:
VolD
1 a´ rea.R/ h 3
H Es necesario hacer la siguiente observaci´on: si se interseca el cono sobre la regi´on R de altura h con un plano perpendicular a la base que pase por el v´ertice P el resultado ser´a siempre un tri´angulo de altura h con v´ertice P (ve´ase figura):
6
C´alculo integral Plano vertical que pasa por P .
P
La region ´ R est´a en un plano horizontal. R
Por otro lado, las intersecciones del so´ lido que estamos considerando con planos paralelos al plano que contiene a la regi´on R son todas semejantes a la regi´on R: P
R.x/
R.0/ D R
Es decir, el corte a la altura x, con 0 x h, es una regi´on R.x/ semejante a la base R.0/, mientras que R.h/ degenera en el punto P . Ahora bien, ¿c´omo cambia el a´ rea A.x/ de la regi´on R.x/? Llamamos cuerda a cualquier segmento de recta que une dos puntos de la frontera de R. Supongamos que una cuerda tiene longitud `. h
h
b
`.x/
b
x
x
0 `
Queremos calcular la longitud de la cuerda asociada, `.x/, a la altura x. De la figura anterior, por semejanza de tri´angulos: h x `.x/ D D1 ` h Por lo tanto:
x ) `.x/ D ` 1 h
x : h
Cualquier cuerda ` en la base disminuye con la altura a razo´ n de `.x/ D ` 1 Las secciones horizontales del cono R.x/ son semejantes a la base R.0/.
x . h
3.1 Volumen de so´ lidos
7
Una ultima ´ observaci´on: si las dimensiones lineales disminuyen como 1 a´ rea de R.x/ debe disminuir como su cuadrado, es decir:
x a la altura x, entonces el h
x 2 ; h
A.x/ D A.R/ 1
puesto que las a´ reas var´ıan como el cuadrado de las dimensiones lineales. Como constatamos, el volumen del cono sobre R de altura h es V D
Z
0
h
A.R/ 1
x 2 dx D A.R/ h
x ) du D h
uD1
Z
h 0
1 dx ) dx D h
0
u2 . h du/ D A.R/ 1 A.R/ h u3 1 D A.R/ h D : 3 0 3 D A.R/
Z
Z
x 2 dx D h
1
h du:
1 0
hu2 du D
Esto es lo que se deseaba probar.
Ejemplo 3.1.3 Un s´olido tiene como base un c´ırculo de radio r , y todas las intersecciones del s´olido con planos verticales paralelos a una direcci´on fija son rect´angulos con altura igual a la mitad de lo que mide su base. Determinar su volumen. H Tal vez lo m´as dif´ıcil en estos problemas es imaginarse el so´ lido cuyo volumen calcularemos a partir de una descripci´on verbal, como el enunciado de este ejemplo. Para fijar ideas, supongamos que la base del mismo est´a en el plano xy, como un circulo de radio r y centro en el origen. y
r
0
x2 C y2 D r 2
x
r
x
De hecho, visto desde arriba, este c´ırculo es todo lo que ver´ıamos del so´ lido. Supongamos que las intersecciones del so´ lido con planos verticales y paralelos al eje y son los rect´angulos que dice el enunciado. Entonces la l´ınea marcada en la p figura anterior ser´ıa la base de uno de esos rect´angulos; observe que esa l´ınea tiene una longitud `.x/ D 2 r 2 x 2 . Por otro lado, si vemos el so´ lido de perfil desde el eje y o desde el eje x, ver´ıamos algo as´ı:
r r r 0 Vista desde el eje y.
r
r 0 Vista desde el eje x.
8
C´alculo integral
Un bosquejo del so´ lido es
Una vez que visualizamos el so´ lido, para el c´alculo de su volumen podemos elegir el eje x para integrar la funci´on del a´ rea A.x/, donde r x r . Como observamos antes, la base del rect´angulo que resulta al intersecar el so´ lido con el plano vertical paralelo al eje y y que pasa por el punto x es p `.x/ D 2 r 2
x2I
su altura es la mitad de `.x/; por lo tanto, tenemos: p A.x/ D .2 r 2 donde el volumen es Z r Z V D A.x/ dx D r
D 4 r3
r3 3
r
2.r 2 r
p x 2 /. r 2
˛
x 2/ dx D 2 2
8 D r 3: 3
x 2 / D 2.r 2
Z
0
r
.r 2
x 2 /;
x 2 / dx D 4 r 2x
x3 3
r D 0
Observe que en la igualdad ˛ se hizo uso de la paridad del integrando para reducir la integral de r a r al doble de la integral de 0 a r . Ejemplo 3.1.4 Un s´olido tiene base en el sector de par´abola comprendido entre y D x 2 y la recta y D 4, y las intersecciones con planos perpendiculares a la base y paralelos al eje x son cuadrados. Determinar su volumen. H
La base del so´ lido es
y
(-2,4) b
y
b4
b (2,4)
y xD
p y
xD
b 0
x 2
0
2
donde la regi´on se representa como: R D .x; y/
2x2
&
x2 y 4
p
y
x
3.1 Volumen de so´ lidos
9
o bien RD
.x; y/ 0 y 4
&
p p yx y :
Las dos formas de describir la base R del so´ lido son igualmente v´alidas, sin embargo, la segunda es m´as adecuada al prop´osito de calcular el volumen del so´ lido. La l´ınea marcada a la altura y ser´a la base del cuadrado que resulta de cortar al so´ lido con un plano vertical paralelo al eje x, como se muestra:
Si escogemos como eje para calcular el volumen el eje y, vemos que 0 y 4 y el lado del cuadrado en la p base mide `.y/ D 2 y, por lo que su a´ rea es p A.y/ D .2 y/2 D 4y:
El c´alculo del volumen es V D
Z
0
4
A.y/ dy D
Z
4
0
y 2 4 4y dy D 4 D 32u3: 2 0
Ejercicios 3.3.1 Vol u´ menes. Soluciones en la p´agina 52 1. Un so´ lido tiene como base un c´ırculo de radio 5 en el plano xy. Calcular, en cada caso, el volumen del so´ lido si todas sus intersecciones con planos verticales, paralelos a una direcci´on fija son a. Cuadrados. b. Tri´angulos equil´ateros (con base en el plano xy.) c. Rect´angulos de altura 1. 2. La regi´on R del plano entre las curvas y D x 2 3x 2 & y D x 1 es la base de un so´ lido. Calcular, en cada caso, el volumen del so´ lido si todas las intersecciones con planos paralelos al eje y son a. Cuadrados. b. Rect´angulos de altura 1. c. Rect´angulos con per´ımetro 10. p 3. La regi´on R del plano entre las curvas y D x 2 & y D x es la base de un so´ lido. Calcular, en cada caso, el volumen del so´ lido si todas las intersecciones con planos paralelos al eje y son
10
C´alculo integral a. Cuadrados. b. Hipotenusas de tri´angulos rect´angulos iso´ sceles. c. Di´ametros de c´ırculos. &x D es la base de un 2 2 so´ lido. Calcular, en cada caso, el volumen del so´ lido si todas las intersecciones con planos perpendiculares al eje x son
4. La regi´on R del plano entre la curva y D cos x & el eje x entre x D
a. Cuadrados. b. Rect´angulos de per´ımetro 2. c. Di´ametros de semic´ırculos.
3.3.1
Volumenes ´ de solidos ´ de revolucion ´
Un caso especial de volumen de un so´ lido es el de los so´ lidos de revoluci´on. Estos so´ lidos se obtienen al hacer girar una regi´on plana alrededor de un eje (recta) que est´a en el mismo plano que la regi´on, sin atravesarla: ` R
Õ Ejemplos de este tipo de so´ lidos en la vida cotidiana: vasos, copas, botellas, entre otros, al igual que muchas piezas mec´anicas, tienen forma de so´ lidos de revoluci´on. Los conos y cilindros circulares rectos, las esferas, elipsoides y muchos so´ lidos m´as son de este tipo. Por ejemplo, un toro se genera al girar un c´ırculo alrededor de una recta
El resultado es esta figura que recuerda la forma de una dona o rosquilla. Ahora bien, ¿c´omo se calcula el volumen de un so´ lido de revoluci´on? Empezaremos por un caso sencillo. Consideremos una funci´on f .x/ 0 definida y continua en un intervalo Œa; b y el so´ lido generardo al girar la regi´on bajo la gr´afica de y D f .x/, sobre el eje x y entre las rectas x D a y x D b alrededor del eje x:
3.1 Volumen de so´ lidos
11
y f .x/ y D f .x/
Õ
a
x
b
x
En este caso conviene tomar como eje para el c´alculo del volumen al propio eje x (que es el eje de revoluci´on) y no olvidar que cualquier secci´on transversal obtenida al intersecar al so´ lido con un plano perpendicular al eje x por un punto x entre a, b es un c´ırculo. El a´ rea de ese c´ırculo es A.x/ D Œradio en x2; pero se puede ver por la figura anterior, que el radio en x es f .x/, por lo que A.x/ D Œf .x/2 : As´ı que el volumen del so´ lido de revoluci´on es Volumen D
Z
a
b
A.x/ dx D
Z
b
Œf .x/2 dx:
(3.1)
a
Ejemplo 3.3.5 Calcular el volumen de una esfera de radio r . H Podemos considerar la esfera como el so´ lido de revoluci´on generado al girar el semic´ırculo de radio r con centro en el origen alrededor del eje x:
y x2 C y 2 D r 2 , y 0 ) ) y D f .x/ D
Õ
Como f .x/ D
p r2
x
r
x 2 , entonces A.x/ D Œf .x/2 D
hp r2
x2
i2
D .r 2
x 2 /I
x r
p r2
x2
12
C´alculo integral
el volumen es Z r V .x/ D .r 2
2
x / dx D 2
r
r
Z
.r
2
2
x3 3
2
x / dx D 2 r x
0
Este resultado se conoce desde tiempos antiguos.
r D 2 r 3 0
r3 3
D
4 3 3 r u : 3
Ejemplo 3.3.6 Calcular el volumen de un cilindro y de un cono, ambos circulares rectos, con radio r en la base y altura h, considerados como s´olidos de revoluci´on. H Tanto el cilindro como el cono se generan como so´ lidos de revoluci´on al girar un rect´angulo y un tri´angulo, respectivamente, alrededor del eje x como se muestra en la figura: y y f .x/ D r
0
x
g.x/ D
.h; r /
x
h
r x h
x
0
.h; r /
h
x
Utilizamos la fo´ rmula (3.1) de la p´ag. 11 para el c´alculo del volumen de revoluci´on con f .x/ D r para el r r cilindro as´ı como g.x/ D x para el cono (puesto que y D x es la ecuaci´on de la recta que pasa por los h h puntos .0; 0/ y .h; r /, con lo que se obtiene lo siguiente. Para el cilindro: Volumen D
Z
h 2
Œf .x/ dx D
0
Z
Para el cono: Volumen D
Z
0
h
Œg.x/2 dx D
Z
0
h
0
h
h r dx D r x D r 2h u3 : 2
2
0
Z r 2 r2 h 2 r 2 x3 x D 2 x dx D 2 h h h 3 0
Esto es:
h 2 3 D r h D 1 r 2h u3 : 2 h 3 3 0
1. El volumen del cilindro es el a´ rea de su base ( r 2 ) por la altura h. 2. El volumen del cono es
1 del volumen del cilindro. 3
Como vimos en el ejemplo (3.1.2). Ejemplo 3.3.7 Calcular el volumen delps´olido de revoluci´on obtenido al girar la regi´on comprendida entre la curva y D x 2 , el eje x y la recta vertical x D 2 alrededor de: 1. El eje x. 2. El eje y.
3.1 Volumen de so´ lidos
13
H p La regi´on que gira, tiene dos lados rectos (el eje x y la recta x D 2) y un tercer lado curvo, la par´abola y D x2. y
p
0
x 2
1. Eje de giro o rotaci´on: el eje x. y 2
Õ
p
x
0
2
x
Aplicando la fo´ rmula .3:1/ de la p´ag. 11 para volumenes ´ de revoluci´on y usando f .x/ D x 2: Volumen D
Z
p 2 2
0
Œf .x/ dx D
Z
0
p 2 2 2
.x / dx D
2. Eje de giro o rotaci´on: el eje y.
Z
0
p 2
p p p x 5 2 . 2/5 4 2 x dx D D D : 5 0 5 5 4
y
b.p2; 2/
2
y
b
x p . 2; 0/
0
Õ El so´ lido que se obtiene es un cilindro al que se le ha removido un volumen con forma de paraboloide de revoluci´on.
14
C´alculo integral Podemos calcular el volumen, encontrando primero el volumen del cilindro so´ lido p y rest´andole el volumen del paraboloide que se le ha removido. El cilindro tiene radio en la base 2 y altura 2, por lo que su volumen es p Vcil D . 2/2 .2/ D 4 u3 : Para el volumen del paraboloide removido hay que integrar sobre el eje y desde 0 hasta 2 y el radio a la altura y est´a dado la abscisa x del punto en la par´abola y D x 2 con altura y: y
2
xD
y
xD
p 2
p y
x 0
Õ
p Esto significa que si escribimos x en funci´on de y tendremos x D g.y/ D y. Por lo tanto, la integral que da el volumen del paraboloide es Z 2 Z 2 Z 2 2 y 2 2 p Volp D Œg.y/2 dy D . y/2 dy D y dy D D 2 02 D 2: 2 0 2 0 0 0
El volumen buscado es
Volumen D Vcil
Volp D 4
2 D 2 u3 :
3.3.2
Volumenes ´ de solidos ´ de revolucion. ´ M´etodo de las Arandelas
En los ejemplos considerados hasta el momento, el eje de revoluci´on ha sido una parte de la frontera de la regi´on R que se gira alrededor del eje (figura A), pero ¿que suceder´a si dicho eje est´a separado de la regi´on R al girar? (figura B) ¿C´omo calcular el volumen resultante?
re vo lu c de
`
Õ
`
Ej
e
Õ
io´ n
R
Ej
e
de
re vo lu c
io´ n
R
Figura A
Figura B
Si rotamos la regi´on R alrededor de la recta `, al menos 360 ı, el resultado es un so´ lido de revoluci´on con un hueco o perforaci´on. Para resolver este problema, es preciso: Calcular el volumen del so´ lido exterior. Esto es, el volumen que se forma al rotar la regi´on R.
3.1 Volumen de so´ lidos
15
Calcular el volumen del so´ lido interior. Es decir, el volumen del hueco, considerado como un so´ lido que se remueve del so´ lido exterior. Entonces, al girar la regi´on R alrededor del eje `: Volumen del so´ lido generado por R D volumen exterior
volumen interior:
Para darle una forma m´as concisa a la igualdad anterior, suponemos que la recta ` es el eje x y adem´as que la regi´on R se puede describir como sigue: R consta de los puntos .x; y/; con a x b; y con g.x/ y f .x/I R D .x; y/ 2 R2 a x b & g.x/ y f .x/ :
Por lo tanto, la regi´on R se encuentra definida como la porci´on del plano xy entre las gr´aficas de dos funciones, f .x/ la funci´on que define la regi´on exterior as´ı como g.x/ la funci´on que define la regi´on interior con respecto al eje de revoluci´on `. f .x/
R
Ej
e
de
re vo lu c
io´ n
g.x/
Õ
a
x
b
` D eje x
Figura C
Entonces, continuando con el razonamiento, el volumen V del so´ lido generado por R al girar alrededor del eje x, es Z b Z b Z b V D Œf .x/2 dx Œg.x/2 dx D Œf .x/2 g.x/2 dx: a
a
a
Una manera alternativa de obtener esta fo´ rmula es considerar el mismo so´ lido de la figura C, teniendo secciones transversales perpendiculares al eje de rotaci´on cuya forma es la de un disco perforado o arandela, es decir, la regi´on comprendida entre dos c´ırculos conc´entricos cuyos radios son re D radio exterior y ri D radio interior: re ri
El a´ rea de dicha figura es re2
ri2 D .re2
ri2/:
Para cada x en el intervalo Œa; b, la arandela obtenida al hacer el corte transversal por x tiene radios re D f .x/ & ri D g.x/, de modo que su a´ rea ser´a: A.x/ D Œ.f .x//2
.g.x//2 :
16
C´alculo integral
El volumen de revoluci´on se obtendr´a de la siguiente manera: V D
Z
a
b
A.x/ dx D
Z
b
Œ.f .x//2
.g.x//2 dx:
a
Veamos algunos ejemplos de aplicaci´on de este m´etodo. Ejemplo 3.3.8 Determinar el volumen del p s´olido de revoluci´on generado al rotar alrededor del eje x, la regi´on R comprendida entre f .x/ D 4 & g.x/ D 2 x desde x D 0 hasta x D 4. y f .x/
g.x/
Õ
0
x
x
4
H El intervalo de integraci´on para obtener el volumen es Œ0; 4 y las funciones para calcular los radios p exterior e interior del corte transversal en x son f .x/ D 4 & g.x/ D 2 x, respectivamente; as´ı que el volumen se calcula: Z b Z 4 Z 4 p V D Œ.f .x//2 .g.x//2 dx D Œ42 .2 x/2 dx D Œ16 4x dx D a 0 0 4 2 D .16x 2x / D .64 32/ D 32 u3 : 0
Ejemplo 3.3.9 Determinar el volumen de una esfera de radio R a la que se practica una perforaci´on cil´ındrica, de radio r < R, a lo largo del di´ametro. y yD
p R2
x2
yDr
Õ
x
x
3.1 Volumen de so´ lidos
17
H Podemos imaginar a la esfera con la perforaci´on indicada, como el so´ lido generado al girar la regi´on sombreadap en la figura alrededor del eje x. Es claro, para cualquier secci´on transversal, que el radio exterior es f .x/ D R2 x 2 y que el radio interior es g.x/ D r , que debe p cumplir r < R. Hace falta calcular los l´ımites de integraci´on. Para ello baste notar que el semic´ırculo y D R2 x 2 y la recta horizontal y D r se intersecan cuando: p p R2 x 2 D r ) x 2 D R2 r 2 ) x D ˙ R2 r 2 : p p As´ı tenemos que los l´ımites de integraci´on son R2 r 2 & R2 r 2 ; el volumen buscado es: V D
Z
p
R2 r 2
p
D 2
R2 r 2 Z pR2 r 2
.R
2
x 2/2
r
2
D 2 .R 4 2 .R 3
p r / R2
2
2
r
2
i
dx D 2
x / dx D 2 .R p . R2
r2
r 2/3 3
p
Z
2
0
"
D
hp . R2
0
2
#
3
r 2/ 2 :
R2 r 2
hp . R2 x3 3
2
r /x
D 2 .R
2
x 2 /2
p R2 0
3 r 2/ 2
r2
i r 2 dx D
D 3
.R2
r 2/ 2 3
D
Ejemplo 3.3.10 Sea R la regi´on del plano limitada por la recta y 2x D 0 y la par´abola x 2 m´etodo de Arandelas para calcular el volumen del s´olido obtenido al rotar R alrededor de
H
1. y D 0.
3. y D 5.
5. y D 1.
2. x D 0.
4. x D 3.
6. x D 1.
y D 0. Utilice el
Calculamos las intersecciones entra la recta `.x/ D 2x & la par´abola p.x/ D x 2 . `.x/ D p.x/ ) 2x D x 2 ) x 2
2x D 0 ) x.x
2/ D 0 ) x D 0 & x D 2:
Los puntos de intersecci´on en el plano son P1 D .0; 0/ P2 D .2; 4/: Pintamos la regi´on R en el plano:
y
b 2,4) y D 2x
b
y D x2
x
.0; 0)
1. Eje de rotaci´on y D 0.
Para calcular el a´ rea de la arandela se requiere medir la longitud de los radios desde el eje de rotaci´on y D 0 hasta las gr´aficas de las funciones que definen la regi´on: a. El radio exterior re D `.x/
0 D `.x/ D 2x.
18
C´alculo integral 0 D p.x/ D x 2 .
b. El radio interior ri D p.x/
y
b 2,4)
re
yD0
ri
b
Õ
x
.0; 0/
Por lo tanto, el volumen del so´ lido de revoluci´on de la regi´on R se calcula como sigue: VR D
Z
2
0
D
Z
.re /2 2
4x 2
0
2. Eje de rotaci´on x D 0.
.ri /2 dx D
Z
2
.2x/2
.x 2 /2 dx D 0 64 4 3 1 5 2 4 x C x x dx D D 15 : 3 5 0
Para poder aplicar el m´etodo de las arandelas se requiere medir la longitud de los radios exterior e interior de la frontera de la regi´on que rota alrededor del eje x D 0. Estos radios son perpendiculares al eje de rotaci´on. En nuestro caso, el eje de rotaci´on es el eje y. Por lo tanto las funciones que definen la regi´on deben de tener variable independiente y, es decir, de la forma x D g.y/. Ahora es f´acil despejar la variable x de las ecuaciones y obtener expl´ıcitamente las funciones inversas. Veamos: 1 y D i `.y/I 2 p p.x/ D y D x 2 ) x D y D ip.y/: `.x/ D y D 2x ) x D
La funci´on i `.y/ es la inversa de la funci´on `.x/ es decir i `Œ`.x/ D x & `Œi `.y/ D y, como se puede comprobar haciendo la composicion de funciones. Lo mismo sucede con la otra funci´on p.x/ y su inversa ip.y/. R se encuentra entre las gr´aficas de i `.y/ & ip.y/ en el intervalo Œ0; 4 y
b 2,4) re
ri
b .0; 0/
x
Õx D 0 Para calcular ahora el a´ rea de la arandela se requiere medir los radios del eje de rotaci´on x D 0 a las gr´aficas de las funciones que definen la regi´on: a. El radio exterior re D ip.y/
0D
1 p y D y2.
3.1 Volumen de so´ lidos
19
b. El radio interior ri D i `.y/
0D
1 y. 2
Por lo tanto, el volumen del so´ lido de revoluci´on de la regi´on R se calcula como sigue: 2 # Z 4 Z 4 " 1 p 2 2 2 VR D .re / .ri / dy D . y/ y dy D 2 0 0 Z 4 1 2 1 2 1 3 4 8 D y y dy D y y D 3 : 4 2 12 0 0
3. Eje de rotaci´on y D 5.
Para calcular el a´ rea de la arandela se requiere medir la longitud de los radios desde el eje de rotaci´on y D 5 hasta las gr´aficas de las funciones que definen la regi´on: a. El radio interior ri D 5
b. El radio exterior re D 5
p.x/ D 5
2x. x2.
`.x/ D 5
y yD5
Õ
ri
b .2; 4/
re
b
x
.0; 0/
Por lo tanto, el volumen del so´ lido de revoluci´on de la regi´on R se calcula como sigue: Z 2 Z 2 .5 x 2 /2 .5 2x/2 dx D VR D .re /2 .ri /2 dx D 0 0 Z 2 136 14 3 1 5 2 x C x D 20x 14x 2 C x 4 dx D 10x 2 D 15 : 3 5 0 0
4. Eje de rotaci´on x D 3.
y
b .2; 4/
ri
re
b .0; 0/
x
Õx D 3 Para calcular ahora el a´ rea de la arandela se requiere medir la longitud de los radios desde el eje de rotaci´on x D 3 hasta las gr´aficas de las funciones que definen la regi´on:
20
C´alculo integral a. El radio interior ri D 3
ip.y/ D 3
b. El radio exterior re D 3
i `.y/ D 3
p y. 1 y. 2
Por lo tanto, el volumen del so´ lido de revoluci´on de la regi´on R se calcula como sigue: # 2 Z 4 Z 4 " 1 p y .3 VR D .re /2 .ri /2 dy D 3 y/2 dy D 2 0 0 Z 4 3 1 2 16 1 3 4 p 2 dy D 4y 2 2y C y D : D 6 y 4y C y 4 12 3 0 0
5. Eje de rotaci´on y D 1.
Para calcular el a´ rea de la arandela se requiere medir la longitud de los radios desde el eje de rotaci´on y D 1 hasta las gr´aficas de las funciones que definen la regi´on: a. El radio interior ri D p.x/
b. El radio exterior re D `.x/
. 1/ D x 2 C 1.
. 1/ D `.x/ C 1 D 2x C 1. y
b .2; 4/
re ri
b .0; 0/
x
Õ yD
1
Por lo tanto, el volumen del so´ lido de revoluci´on de la regi´on R se calcula como sigue: VR D
Z
2 0
D 6. Eje de rotaci´on x D
Z
.re /2
0
2
.ri /2 dx D
4x C 2x
2
x
4
Z
2 0
.2x C 1/2
2 dx D 2x 2 C x 3 3
1. y
b .2; 4/ re
ri
b .0; 0/ xD
1
Õ
x
.x 2 C 1/2 dx D 1 5 2 104 x D 15 : 5 0
3.1 Volumen de so´ lidos
21
Para calcular ahora el a´ rea de la arandela se requiere medir la longitud de los radios desde el eje de rotaci´on x D 1 hasta las gr´aficas de las funciones que definen la regi´on: p a. El radio exterior re D ip.y/ . 1/ D y C 1. b. El radio interior ri D i `.y/
. 1/ D 12 y C 1.
Por lo tanto, el volumen del so´ lido de revoluci´on de la regi´on R se calcula como sigue: 2 # Z 4 Z 4 " 2 1 p 2 2 VR D .re / .ri / dy D yC1 yC1 dy D 2 0 0 Z 4 1 2 4 3 1 3 4 16 p y dy D y2 y D : D 2 y 4 3 12 3 0 0
Ejemplo 3.3.11 El s´olido de revoluci´on generado al girar un c´ırculo de radio r alrededor de una recta en su mismo plano situada a una distancia R r del centro del c´ırculo se llama toro. Determinar el volumen de dicho s´olido. H Para fijar notaci´on e ideas, podemos suponer que el c´ırculo de radio r tiene su centro en el eje y, y que se gira alrededor del eje x. y
b
R
Õ
x
x
b
Por lo tanto el centro estar´a en .0; R/ y la ecuaci´on del c´ırculo ser´a .x de donde .y
0/2 C .y
R/2 D r 2
R/2 D r 2 ;
x2 ) y D R ˙
p
r2
x2:
Se toma el signo positivo para describir el semic´ırculo superior y el negativo para el inferior. En la figura se describe c´omo se ver´ıa un corte transversal del so´ lido p al nivel x, para x entre r & r . Es claropque el radio exterior de la arandela que resulta es f .x/ D R C r 2 x 2 y el radio interior es g.x/ D R r 2 x 2 , de modo que el volumen buscado es Z r Z rh i p p 2 2 V D .f .x// .g.x// dx D .R C r 2 x 2 /2 .R r 2 x 2 /2 dx D r r Z r p D 2 4R r 2 x 2 dx: 0
22
C´alculo integral
Para resolver esta integral, utilizamos sustituci´on trigonom´etrica: x D r sen ) dx D r cos & r 2
x2 D r 2
r 2 sen2 D r 2 1
sen2 D r 2 cos2 ;
tomando en cuenta que el intervalo de integraci´on es, 0 6 x 6 r con el cambio de variable se convierte en 0 6 6 , en donde el cos es no negativo, tenemos: 2 V D 2
Z
r
p 4R r 2
x2
0
D 8R r
2
Z
0
2
dx D 8R
Z
0
2
Z p r 2 cos2 r cos d D 8R r 2
1 sen 2 2 .1 C cos 2/ d D 4 Rr C 2 2
Por lo tanto el volumen del toro es
V D 2 2r 2 R:
2 0
cos2 d D
2 d D 4Rr 2 0
2
D 2 2r 2 R:
Ejemplo 3.3.12 Sea R la regi´on del plano limitada por las rectas y D 2x 3, 7x y C 9 D 0 & 4x y C 2 D 0. Usando el m´etodo de Arandelas, calcular el volumen del s´olido obtenido al rotar R alrededor de los siguientes ejes:
H
1. y D 0.
3. y D 1.
5. y D 8.
2. x D 0.
4. x D 2.
6. x D 4.
Calculamos las intersecciones de las rectas `1 .x/ D 2x
3, `2 .x/ D 7x C 9, `3 .x/ D 4x C 2.
4 1 ) y D `1 .x/ D : 3 3 5 4 `1 .x/ D `3 .x/ ) 2x 3 D 4x C 2 ) 6x D 5 ) x D ) y D `1 .x/ D : 6 3 22 7 `2 .x/ D `3 .x/ ) 7x C 9 D 4x C 2 ) 3x D 7 ) x D ) y D `2 .x/ D : 3 3 `1 .x/ D `2 .x/ )
2x
3 D 7x C 9 ) 9x D 12 ) x D
Los puntos de intersecci´on en el plano son 5 4 1 P12 D ; ; P13 D ; 3 3 6 Dibujamos la regi´on R en el plano: 4 3
;
P23 D
5 6
b
1 3
`1
b 2x
y 7 3
`1 .x/ D y D
4 3
4 3
3;
`2 .x/ D y D 7x C 9; `2
`3 .x/ D y D 4x C 2.
R `3
b
22 3
x
7 ; 3
22 3
3.1 Volumen de so´ lidos
23
1. Eje de rotaci´on y D 0. La regi´on R se divide en dos subregiones R1 & R2 . Ve´ase la siguiente figura. a. R1 se encuentra entre las gr´aficas de las rectas `2 .x/ y `3 .x/ en el intervalo b. R2 se encuentra entre las gr´aficas de las rectas `1 x/ y `3 .x/ en el intervalo y
yD0
7 3
Õ
4 3
7 ; 3 4 ; 3
4 . 3 5 . 6
5 6
x
b `1
b
R2
`2
R1 `3
b
El a´ rea de las arandelas, para cada regi´on, se calcula usando las distancias entre el eje de rotaci´on y D 0 y las gr´aficas de las funciones que definen las regiones: a. El radio exterior re D 0
`3 .x/ D `3 .x/ D .4x C 2/ D 4x
2, en ambas regiones.
b. El radio interior ri D 0
`2 .x/ D `2 .x/ D .7x C 9/ D 7x
9, en la regi´on R1 .
c. El radio interior ri D 0
`1 .x/ D `1 .x/ D . 2x
3/ D 2x C 3, en la regi´on R2 .
Por lo tanto, el volumen del so´ lido de revoluci´on de la regi´on R1 se calcula como sigue: VR1 D
Z
D
4 3
.re /2
7 3
Z
4 3
2
.ri /
dx D
11 7 C 10x C 3x
7 3
2
4 3
Z
7 3
. 4x
2/2
9/2 dx D
. 7x
dx D 11 7x C 5x C x 2
3
4 3 7 3
D 11:
El volumen del so´ lido de revoluci´on de la regi´on R2 es: VR2 D
Z
D
5 6 4 3
Z
.re /2 5 6
4 3
2
.ri /
dx D
5 C 4x C 12x
2
Z
5 6 4 3
. 4x
dx D
El volumen del so´ lido de revoluci´on solicitado es
2/2
.2x C 3/2 dx D
5x C 2x C 4x 2
3
5 27 Vol.R/ D Vol.R1 / C Vol.R2 / D 11 C D : 2 2
5 6 4 3
D
5 : 2
24
C´alculo integral 2. Eje de rotaci´on x D 0.
Para poder aplicar el m´etodo de las Arandelas se requiere medir los radios exterior e interior de las fronteras de la regi´on que rota alrededor del eje x D 0. Estos radios son perpendiculares al eje de rotaci´on. En nuestro caso, el eje de rotaci´on es el eje y. Por lo tanto las funciones que definen la regi´on deben de tener variable independiente y, es decir, de la forma x D g.y/. En este caso es f´acil despejar la variable x de las ecuaciones de las rectas y obtener expl´ıcitamente las funciones inversas. Veamos: `1 .x/ D y D 2x
3 ) xD
1 .y C 3/ D i `1 .y/I 2
1 .y 7 1 `3 .x/ D y D 4x C 2 ) x D .y 4 `2 .x/ D y D 7x C 9 ) x D
9/ D i `2 .y/I 2/ D i `3 .y/:
Las funci´on i `1 .y/ es la inversa de la funci´on `1 .x/, es decir, i `1 Œ`1 .x/ D x & `1 Œi `1 .y/ D y, como se puede comprobar haciendo la composicion de funciones. Lo mismo sucede con las otras dos funciones y sus funciones inversas correspondientes. La regi´on R se divide en dos subregiones R1 & R2 . 4 1 ; . 3 3 22 4 b. R2 se encuentra entre las gr´aficas de las rectas i `2 .y/ e i `3 .y/ en el intervalo ; . 3 3 a. R1 se encuentra entre las gr´aficas de las rectas i `2 .y/ e i `3 .y/ en el intervalo
y
b R2
1 3
i `1
b
x
4 3
R1 i `2 i `3
b
22 3
Õ
xD0
El a´ rea de las arandelas se calcula usando las distancias entre el eje de rotaci´on x D 0 y las gr´aficas de las funciones que definen las regiones: a. El radio exterior re D 0
b. El radio interior ri D 0 c. El radio interior ri D 0
i `2 .y/ D i `2 .y/ D
i `3 .y/ D i `1 .y/ D
i `3 .y/ D i `1 .y/ D
1 9/ en ambas regiones. 7 .y 1 .y 2/ en la regi´on R1 . 4 1 .y C 3/ D 21 .y C 3/ en la 2
regi´on R2 .
Por lo tanto, el volumen del so´ lido de revoluci´on de la regi´on R1 se calcula como sigue: 2 # Z 4 Z 4 " 3 3 1 1 2 2 2 VR1 D .re / .ri / dy D .y 9/ .y 2/ dy D 22 22 7 4 3
D
Z
3
4 3
22 3
1 784
1 100 C 92y C 33y
2
1 dy D 784
1 100y C 46y C 11y 2
3
4 3
22 3
D
585 : 98
3.1 Volumen de so´ lidos
25
El volumen del so´ lido de revoluci´on de la regi´on R2 es Z 1 Z 1 " 3 3 1 2 2 VR2 D .re / .ri / dx D .y 4 4 7 3
D
Z
2 9/
3
1 3
4 3
2 # 1 .y C 3/ dy D 2 1 3
3 3 39 C 122y C 15y 2 dy D 39y C 61y 2 C 5y 3 196 196
4 3
D
153 : 196
El volumen del so´ lido de revoluci´on solicitado es
Vol.R/ D Vol.R1 / C Vol.R2 / D
585 153 27 C D : 98 196 4
3. Eje de rotaci´on y D 1. El razonamiento es semejante al del inciso 1., p´ag. 23. Lo que cambia es el eje de rotaci´on y el c´alculo de los radios. y yD1
Õ 7 3
4 3
5 6
x
b `1 b
R2
`2
R1 `3
b
El a´ rea de las arandelas se calcula usando las distancias entre el eje de rotaci´on y D 1 y las gr´aficas de las funciones que definen las regiones: a. El radio exterior re D 1 `3 .x/ D 1 .4x C 2/ D 4x 1 en ambas regiones. b. El radio interior ri D 1 `2 .x/ D 1 .7x C 9/ D 7x 8 en la regi´on R1 . c. El radio interior ri D 1 `1 .x/ D 1 . 2x 3/ D 2x C 4 en la regi´on R2 . Por lo tanto, el volumen del so´ lido de revoluci´on de la regi´on R1 se calcula como sigue: VR1 D
4 3
Z
D
7 3
Z
Œre 4 3
2
Œri
63
7 3
2
dx D
104x
33x
4 3
Z
2
7 3
Π4x
12
Π7x
82 dx D 4 3
dx D 63x C 52x C 11x 2
3
7 3
D 14:
El volumen del so´ lido de revoluci´on de la regi´on R2 es VR2 D
Z
D
5 6 4 3
Z
Œre 5 6 4 3
2
15
Œri
2
dx D
8x C 12x
2
Z
5 6 4 3
Π4x
dx D
15x
12
Œ2x C 42 dx
4x C 4x 2
3
5 6 4 3
D 4:
26
C´alculo integral El volumen del so´ lido de revoluci´on solicitado es Vol.R/ D Vol.R1 / C Vol.R2 / D 14 C 4 D 18: 4. Eje de rotaci´on x D 2.
El razonamiento es semejante al del inciso 2, p. 24. Lo que cambia es el eje de rotaci´on y el c´alculo de los radios. y
b R2
x
1 3
i `1
b
4 3
R1 i `2 i `3
b
22 3
Õ
xD2
El a´ rea de las arandelas se calcula usando las distancias del eje de rotaci´on x D 2 a las gr´aficas de las funciones que definen las regiones: a. El radio exterior re D 2
i `2 .y/ D 2
b. El radio interior ri D 2
i `3 .y/ D 2
c. El radio interior ri D 2
i `1 .y/ D 2
1 23 1 .y 9/ D y C , en ambas regiones. 7 7 7 1 5 1 .y 2/ D y C , en la regi´on R1 . 4 4 2 1 7 1 .y C 3/ D y C , en la regi´on R2 . 2 2 2
Por lo tanto, el volumen del so´ lido de revoluci´on de la regi´on R1 se calcula como sigue: VR1 D
4 3
Z
.re /2
22 3
D
Z
4 3
22 3
2
.ri /
dy D
1 3 564 C 244y 784
Z
4 3
22 3
33y
2
"
1 23 yC 7 7
2
1 5 yC 4 2
1 dy D 3 564y C 122y 2 784
El volumen del so´ lido de revoluci´on de la regi´on R2 es VR2 D
Z
D
1 3 4 3
Z
.re /2 1 3
4 3
.ri /2 dy D
Z
1 3 4 3
"
15 19 C 58y C 3y 2 dy D 196
El volumen del so´ lido de revoluci´on solicitado es Vol.R/ D Vol.R1 / C Vol.R2 / D
1 23 yC 7 7
2
2 #
dy D 4 3
11y 3
1 7 yC 2 2
2 #
15 2 3 19y C 29y C y 196 1 341 405 63 C D : 98 196 4
22 3
1 3 4 3
D
1 341 : 98
dy D D
405 : 196
3.1 Volumen de so´ lidos
27
5. Eje de rotaci´on y D 8. El razonamiento es semejante al del inciso 1., p´ag. 23. Lo que cambia es el eje de rotaci´on y el c´alculo de los radios. y
7 3
4 3
5 6
b
b
R2
`2
x
`1
R1 `3
b
Õ
yD
8
El a´ rea de las arandelas se calcula usando las distancias del eje de rotaci´on y D las funciones que definen las regiones:
8 a las gr´aficas de
a. El radio interior ri D `3 .x/
. 8/ D .4x C 2/ C 8 D 4x C 10, en ambas regiones.
b. El radio exterior re D `2 .x/
. 8/ D .7x C 9/ C 8 D 7x C 17, en la regi´on R1 .
c. El radio exterior re D `1 .x/
. 8/ D . 2x
3/ C 8 D 2x C 5, en la regi´on R2 .
Por lo tanto, el volumen del so´ lido de revoluci´on de la regi´on R1 se calcula como sigue: VR1 D
Z
D
4 3
.re /2
7 3
Z
4 3
7 3
.ri /2 dx D
Z
4 3 7 3
.7x C 17/2
.4x C 10/2 dx D
189 C 158x C 33x 2 dx D 189x C 79x 2 C 11x 3
4 3 7 3
D 13:
El volumen del so´ lido de revoluci´on de la regi´on R2 es VR2 D
Z
D
5 6
.re /2
4 3
Z
5 6
4 3
75
.ri /2 dx D 100x
12x
2
Z
5 6 4 3
. 2x C 5/2
dx D
El volumen del so´ lido de revoluci´on solicitado es
75x C 50x C 4x
Vol.R/ D Vol.R1 / C Vol.R2 / D 13 C 6. Eje de rotaci´on x D
.4x C 10/2 dx D 2
3
5 6 4 3
D
19 : 2
19 45 D : 2 2
5.
El razonamiento es semejante al del inciso 2., p´ag. 24. Lo que cambia es el eje de rotaci´on y el c´alculo de los radios.
28
C´alculo integral y
b R2
x
1 3
i `1
b
4 3
R1 i `2 i `3
b xD
4
22 3
Õ
El a´ rea de las arandelas se calcula usando las distancias entre el eje de rotaci´on x D de las funciones que definen las regiones: a. El radio interior ri D i `2 .y/
4 y las gr´aficas
1 19 1 .y 9/ C 4 D y C , en ambas regiones. 7 7 7 1 7 1 . 4/ D .y 2/ C 4 D y C , en la regi´on R1 . 4 4 2 1 5 1 . 4/ D .y C 3/ C 4 D y C , en la regi´on R2 . 2 2 2
. 4/ D
b. El radio exterior re D i `3 .y/ c. El radio exterior re D i `1 .y/
Por lo tanto, el volumen del so´ lido de revoluci´on de la regi´on R1 se calcula como sigue:
VR1 D
Z
D
4 3
2
.re /
22 3
Z
4 3
2
.ri /
dy D
Z
4 3 22 3
"
1 7 yC 4 2
2
1 19 yC 7 7
2 #
dy D
1 1 3 828 C 764y C 33y 3 dy D 3 828y C 382y C 11y 2 784 784
22 3
4 3 22 3
D
927 : 98
El volumen del so´ lido de revoluci´on de la regi´on R2 es
VR2 D
Z
D
1 3 4 3
Z
.re /2 1 3
4 3
3 196
.ri /2 dy D 73
Z
214y C 15y
1 3 4 3 2
"
1 5 yC 2 2
3 dy D 196
El volumen del so´ lido de revoluci´on solicitado es Vol.R/ D Vol.R1 / C Vol.R2 / D
2 73y
1 19 yC 7 7
2 #
dy D
107y C 5y 2
3
1 3 4 3
D
351 : 196
927 351 45 C D : 98 196 4
Ejemplo 3.3.13 Un vaso tiene la forma de cono truncado al que se le ha extra´ıdo un paraboloide de revoluci´on como se muestra en la figura.
3.1 Volumen de so´ lidos
29 y
x
Ô Calcular el volumen del material necesario para fabricar el vaso. H El so´ lido se obtiene al girar alrededor del eje y, la regi´on del primer cuadrante comprendida entre los ejes coordenados, la recta y D 10x 20 y la par´abola y D x 2 C 1. y
.3; 10/
y D 10
y D x2 C 1
20
x
Ô La regi´on sombreada genera el volumen del vaso. Una r´apida inspecci´on da como resultado que la recta y D 10x 20 y la par´abola y D x 2 C 1 se intersecan en el punto .3; 10/: ( p p 10 ˙ 16 3I 10 ˙ . 10/2 4.21/ 2 2 D D5˙2 D x C 1 D 10x 20 ) x 10x C 21 D 0 ) x D 2 2 7: Tomamos el primer valor de x; para dicho valor x D 3 tenemos y D 10 en ambos casos. Podemos calcular el volumen buscado con el m´etodo de las Arandelas, pero como ahora el eje de revoluci´on es el vertical, tendremos que integrar con respecto a y desde 0 hasta 10. Tambi´en tenemos que tomar en cuenta que las secciones transversales del so´ lido difieren a distintas alturas. Si 0 y 1, la secci´on es un c´ırculo. Si 1 y 10, la secci´on es una arandela. Los radios correspondientes se obtienen escribiendo las ecuaciones de la recta y par´abola para x en funci´on de y: 1 20 ) 10x D y C 20 ) x D yC2 10 p y D x2 C 1 ) x2 D y 1 ) x D y 1 y D 10x
As´ı resulta que
para la recta, para la par´abola.
30
C´alculo integral 1 Si 0 y 1, el radio del c´ırculo es x D y C 2; entonces la funci´on del a´ rea de la secci´on transversal 10 es 2 1 yC2 : A.y/ D 10 1 .y C 2/, mientras que el radio interior es Si 1 y 10, el radio exterior de la arandela es re D 10 p ri D y 1; de aqu´ı que el a´ rea de la arandela ser´a " # 2 2 2 p 1 y 4y 2 2 yC2 C C 4 .y 1/ D A.y/ D .re ri / D y 1 D 10 100 10 1 2 6 D y yC5 : 100 10
Con estas consideraciones, el volumen deseado es 2 Z 10 Z 1 Z 10 1 2 6 1 Volumen D A.y/ dy D yC2 dy C y y C 5 dy D 10 100 10 0 0 1 Z 1 Z 10 D .y C 20/2 dy C .y 2 60y C 500/ dy D 100 0 100 1 3 10 y .y C 20/3 1 2 D D C 30y C 500y 100 3 100 3 0 1 3 3 10 1 3 3 2 D .21 20 / C 30 10 C 500 10 30 C 500 D 300 100 3 3 1 000 1 D 1261 C 3 000 C 5 000 C 30 500 D 300 100 3 3 D 1261 C 1 863 D 22:83: 300 100 Por lo anterior el volumen del material necesario para fabricar el vaso es 22:83 71:733 u3 .
Ejercicios 3.3.2 Vol u´ menes. Soluciones en la p´agina 52 1. Sea R la regi´on del plano limitada por la par´abola y D x 2 y la recta x 2y 3 D 0. Calcular el volumen del so´ lido que se obtiene al rotar la regi´on alrededor de los siguientes ejes: a. y D 0.
b. x D 0.
c. y D
2.
d. x D 2.
e. y D 15. f. x D 5.
2. Sea R la regi´on del plano limitada por la par´abola y 2 D 4x y la recta x y D 0. Calcular el volumen del so´ lido que se obtiene al rotar la regi´on alrededor de los siguientes ejes: a. y D 0.
b. x D 0.
c. y D
1.
d. x D 1.
e. y D 6. f. x D 6.
3. Sea R la regi´on del plano limitada por el tri´angulo con v´ertices .1; 0/, .2; 1/, .1; 1/. Calcular el volumen del so´ lido que se obtiene al rotar la regi´on alrededor de los siguientes ejes:
3.1 Volumen de so´ lidos a. y D 0.
b. x D 0.
31 c. y D
2.
d. x D 2.
e. y D 3. f. x D 3.
4. Sea R la regi´on limitada por el eje x y la gr´afica de la funci´on y D sen x con x 2 Œ0; 2 . Calcular el volumen del so´ lido que se obtiene al rotar la regi´on R alrededor de los siguientes ejes: a. y D 1. b. y D 3. 5. Sea R la regi´on acotada por las gr´aficas de la funciones y D sen x, y D 1 C sen x, la recta x D 0 & la recta x D . Calcular el volumen del so´ lido que se obtiene al rotar la regi´on R alrededor de los siguientes ejes: a. y D 0. b. y D 1. c. y D 4. 6. Sea R la regi´on acotada por las gr´aficas de la funciones y D sen x, y D 2 sen x donde x 2 Œ ; 0. Calcular el volumen del so´ lido que se obtiene al rotar la regi´on R alrededor de los siguientes ejes: a. y D 3. b. y D 3. 7. Sea R la regi´on acotada por la gr´afica de la funci´on y D ln x, la recta x D 1, la recta x D e y el eje x. Calcular el volumen del so´ lido que se obtiene al rotar la regi´on R de los siguientes ejes: a. y D 0.
b. x D 0.
c. y D 3.
d. x D 3.
e. y D 2. f. x D 2.
8. Sea R la regi´on acotada por la gr´afica de la funci´on y D arcsen x, recta y D volumen del so´ lido que se obtiene al rotar la regi´on R de los siguientes ejes:
y el eje y. Calcular el 2
a. x D 0. b. x D
1.
c. x D 3.
3.3.3
Volumenes ´ de solidos ´ de revolucion. ´ M´etodo de Cascarones Cil´ındricos
El m´etodo que presentamos ahora parte de un principio diferente para calcular un volumen de revoluci´on. Vamos a considerar el so´ lido como si estuviera formado por hojas o capas cil´ındricas muy delgadas. 1. Se grafica la curva y se determina la regi´on que rota alrededor del eje y. En este caso, el dominio de esta curva es Œ0; b.
32
C´alculo integral
y
y D f .x/
x 0
b
2. El so´ lido de revoluci´on se obtiene al rotar la regi´on.
y
y D f .x/
0
b
3. Para calcular el volumen del so´ lido es preciso lo siguiente:
F
Se hace una partici´on del intervalo Œ0; b que define la regi´on que rota, esto es a D x0 < x1 < x2 < : : : < xi
F
F
1
< xi < : : : < xn D b:
Para cada subintervalo de la partici´on, Œxi 1 ; xi , tomamos el punto medio xi 2 Œxi mos el rect´angulo de altura f .xi / y base xi D xi xi 1 . Al rotar este rect´angulo alrededor del eje y, como se ve en la figura,
1 ; xi .
Construi-
x
3.1 Volumen de so´ lidos
33
y
y D f .x/
0
xi
1
xi
b
x
obtenemos un cascar´on cilindrico.
F
Para calcular el volumen de este cascar´on cil´ındrico restamos del volumen del cilindro exterior con radio xi el volumen del cilindro interior con radio xi [ambos cilindros con altura f .xi /.
Ve
F
Vi D .xi /2 f .xi /
2 1 / f .xi /
D Œ.xi /2
.xi
2 1 / f .xi /
D .xi C xi 1/ D .xi xi 1/.xi C xi 1 /f .xi / D 2.xi xi 1 / f .xi / D 2 .xi C xi D 2 xi f .xi /i x: i x D xi xi 1I xi D 2
1/
.
El volumen del so´ lido de revoluci´on B se aproxima sumando los volumenes ´ de los cascarones cil´ındricos as´ı contru´ıdos:
V.B/
F
.xi
n X i Di
2 xi f .xi /i x D 2
n X
xi f .xi /i x:
i Di
La aproximaci´on ser´a mejor a medida que tomamos particiones m´as finas, con n tendiendo a 1 y a la vez xi tendiendo a cero. El volumen del so´ lido es
Vol.B/ D 2
Z
b
xf .x/ dx:
0
Si usamos un plano que pasa por el eje de revoluci´on, como el de la figura:
34
C´alculo integral
Rect´angulo de intersecci´on del s´olido con el semiplano de corte.
h
r
Obtenemos un corte del so´ lido de revoluci´on en donde se ve el cascar´on cil´ındrico de radio r & altura h. El per´ımetro de la base del cascar´on cil´ındrico es 2 r .
bB
h
h
b r
A Per´ımetro de la base del cascar´on D 2 r .
El cascar´on cil´ındrico se obtiene haciendo rotar el segmento AB alrededor del eje y (el eje de rotaci´on). Esta recta se encuentra a una distancia r del eje de rotaci´on (radio del cilindro) y tiene una longitud h (altura del cilindro). Tenemos por lo tanto: ´ Area lateral de cil´ındro D A.r / D 2 r h: Para este ejemplo r D x 2 Œ0; b & h D f .x/ es la funci´on que define la regi´on que rota.
Prodr´ıamos pensar que cada capa cil´ındrica tiene un grosor dr y nos dar´a por resultado que el volumen de revoluci´on es V D
Z
rm´ax
rm´ın
2 r h dr D
Z
b
2 xf .x/ dx:
0
Aqu´ı, por supuesto, se debe escribir h D f .r / como funci´on de r D x para poder realizar el c´alculo. Los l´ımites de integraci´on rm´ın & rm´ax son los extremos del dominio de la funci´on que define la regi´on que rota.
3.1 Volumen de so´ lidos
35
Rotacio´ n de una regio´ n entre dos curvas Regi´on entre dos curvas que rota alrededor de un eje para obtener un s´olido de revoluci´on.
rm´ın
b
b
rm´ax
Eje
Debe tenerse claro que (ve´anse figuras): El intervalo Œrm´ın ; rm´ax define a la regi´on entre las curvas. P 2 Œrm´ın; rm´ax. r es el radio de cada cascar´on cil´ındrico y es la distancia de punto P a la recta que juega el papel de eje de revoluci´on. h mide la longitud del segmento entre las curvas en el punto P . Este segmento es paralelo al eje de revoluci´on.
h r
b P
Eje
Ejemplo 3.3.14 Se tiene una regi´on limitada como sigue: arriba por la par´abola y D eje x. Calcular el volumen del s´olido generado al rotar la regi´on alrededor del eje y.
x 2 C 4x
3, abajo por el
H La regi´on que se rota es la senalada ˜ en la figura y est´a comprendida entre la par´abola con v´ertice .2; 1/ que abre sus ramas hacia abajo y el eje x al cual corta en x D 1 y en x D 3.
y
yD
x 2 C 4x
3
r
h
b 1
b 3
x
36
C´alculo integral
Como el eje de giro es el eje y entonces, el radio es r D x & la altura es h D f .x/ D x 2 C 4x volumen buscado es Z 3 Z 3 Z 3 V D 2 r h dr D 2 x. x 2 C 4x 3/ dx D 2 . x 3 C 4x 2 3x/ dx D 1
1
3; as´ı que el
1
x4 x3 x 2 3 81 1 27 1 D 2 C4 3 D 2 C4 4 3 2 4 3 1 104 8 16 12 D 2 D u3 : D 2 20 C 3 3 3
3
9
1
2
D
Ejemplo 3.3.15 Calcular el volumen del s´olido del ejemplo 3:3:13 usando cascarones cil´ındricos y
x
Ô H El so´ lido se genera al rotar, alrededor del eje y, la regi´on sombreada, limitada por la par´abola y D x 2 C1, por el eje y, por el eje x & por la recta y D 10x 20. Al tomar las cascarones cil´ındricos, el radio r de estos coincide con x y var´ıa de 0 a 3; las correspondientes alturas h se definen en dos casos distintos: 1. Si 0 x 2, entonces h D x 2 C 1. y
b.3; 10/
x
h
b
Ô
.2; 0/
x
2. Si 2 x 3, entonces el segmento vertical es la diferencia entre la par´abola y D x 2 C 1 y la recta y D 10x 20, por lo tanto: h D .x 2 C 1/
.10x
20/ D x 2
10x C 21:
3.1 Volumen de so´ lidos
37 y
b.3; 10/
x h
b
Ô Entonces el volumen es Z 3 Z V D 2 r h dr D 2 0
D 2
3
0
Z
0
2
.x 3 C x/ dx C
xh.x/ dx D 2 Z
3
.x 3
2
Z
2
x.x 2 C 1/ dx C
0
x
.2; 0/
Z
3
x.x 2
2
10x C 21/ dx D
10x 2 C 21x/ dx D
2 4 x4 x2 x x3 x 2 3 81 16 27 8 9 4 D 2 C C 10 C 21 D 2 4 C 2 C 10 C 21 D 4 2 4 3 2 2 4 3 2 0 65 190 105 72 C 195 760 C 630 137 D 2 6 C C D 2 D 71:733 u3 ; 4 3 2 12 6
esto es, el mismo resultado que obtuvimos antes, con un poco menos de esfuerzo. Ejemplo 3.3.16 Sea R la regi´on del plano limitada por las rectas y 2x D 0 y la par´abola x 2 C y D 0. Utilice el m´etodo de Cascarones Cil´ındricos para calcular el volumen del s´olido obtenido al rotar R alrededor de los siguientes ejes:
H
1. x D 0.
3. x D 3.
5. x D 1.
2. y D 0.
4. y D 5.
6. y D 1.
Calculamos las intersecciones entra la rectas y D `.x/ D 2x & la par´abola y D p.x/ D x 2. `.x/ D p.x/ ) 2x D x 2 ) x 2
2x D 0 ) x.x
Los puntos de intersecci´on en el plano son P1 D .0; 0/I Dibujamos la regi´on R en el plano:
P2 D .2; 4/:
y
b .2; 4/ y D 2x
b .0; 0/
y D x2
x
2/ D 0 ) x D 0 & x D 2:
38
C´alculo integral 1. Eje de rotaci´on x D 0.
Para calcular el a´ rea lateral de un cascar´on cil´ındrico, se requiere calcular su altura h y su radio r (perpendicular al eje de rotaci´on): a. La altura del cascar´on cil´ındrico es h D `.x/ b. El radio del cascar´on es r D x.
p.x/ D 2x
x2.
y
b .2; 4/ r h
b
x
.0; 0/
ÕxD0 Por lo tanto, el volumen del so´ lido de revoluci´on de la regi´on R se calcula como sigue: Z 2 Z 2 Z 2 Z 2 2 VR D 2 r h dr D 2 x Œ`.x/ p.x/ dx D 2 x 2x x dx D 2 2x 2 0 0 0 0 2 8 D 2 23 x 2 41 x 4 D : 3 0
x 3 dx D
2. Eje de rotaci´on y D 0.
Para poder medir la altura h del cascar´on, las funciones que definen a la regi´on deben tener variable independiente y, es decir, de la forma x D g.y/. En este caso es f´acil despejar la variable x de las ecuaciones de la recta y de la par´abola para obtener expl´ıcitamente las funciones inversas. Veamos: 1 y D i `.y/I 2 p p.x/ D y D x 2 ) x D y D ip.y/: `.x/ D y D 2x ) x D
La funci´on i `.y/ es la inversa de la funci´on `.x/, es decir, i `Œ`.x/ D x & `Œi `.y/ D y, como se puede comprobar haciendo la composicion de funciones. Lo mismo sucede con la otra funci´on p.x/ y su funci´on inversa ip.y/. R se encuentra entre las gr´aficas de las rectas i `.y/ & ip.y/ en el intervalo Œ0; 4. Tenemos: a. El radio de un cascar´on cil´ındrico, perpendicular al eje de rotaci´on y D 0 es r D y. 1 p b. La altura del cascar´on cil´ındrico es h D ip.y/ i `.y/ D y y. 2 y
b .2; 4/
h yD0
Õ
.0; 0/
r
b
x
3.1 Volumen de so´ lidos
39
Por lo tanto, el volumen del so´ lido de revoluci´on de la regi´on R se calcula como sigue: Z 4 Z 4 Z 4 p VR D 2 r h dr D 2y Œip.y/ i `.y/ dy D 2y y 12 y dy D 0 0 0 4 Z 4 3 5 2 1 64 D 2 y 2 12 y 2 dy D 2 y2 y 3 D : 5 6 15 0 0
3. Eje de rotaci´on x D 3.
a. El radio del cascar´on, r D 3 b. La altura del cascar´on, `.x/
x. p.x/ D 2x
x2.
y .2; 4/ b r h
b
x
.0; 0/
Õx D 3 Por lo tanto, el volumen del so´ lido de revoluci´on de la regi´on R se calcula como sigue: Z 2 Z 2 Z 2 VR D 2 r h dr D 2.3 x/ Œ`.x/ p.x/ dx D 2.3 x/ 2x x 2 dx D 0 0 0 2 Z 2 5 1 16 D 2 6x 5x 2 C x 3 dx D 2 3x 2 x 3 C x 4 D : 3 4 3 0 0
4. Eje de rotaci´on y D 5.
a. El radio del cascar´on, r D 5 b. La altura del cascar´on, ip.y/
y. i `.y/ D
p y
1 y. 2
y yD5
Õ
r
.0; 0/
b
b .2; 4/
h x
Por lo tanto, el volumen del so´ lido de revoluci´on de la regi´on R se calcula como sigue: Z 4 Z 4 Z 4 p y 12 y dy D VR D 2 r h dr D 2.5 y/ Œip.y/ i `.y/ dy D 2.5 y/ 0 0 0 4 Z 4 1 5 1 2 10 3 5 2 2 5 1 136 p D 2 5y 2 y y yC y dy D 2 y2 y y 2 C y 3 D : 2 2 3 4 5 6 15 0 0
40
C´alculo integral 5. Eje de rotaci´on x D
1.
a. El radio del cascar´on, r D x
. 1/ D x C 1.
b. La altura del cascar´on, `.x/
x2.
p.x/ D 2x
y
b.2; 4/ r h
b 0; 0/ xD
x
1
Õ
Por lo tanto, el volumen del so´ lido de revoluci´on de la regi´on R se calcula como sigue: VR D D
Z
2
0
Z
Z
2 r h dr D
0
2
0
2 2x C x
2
2
p.x/ dx D
2.x C 1/ Œ`.x/ x
3
1 dx D 2 x 2 C x 3 3
6. Eje de rotaci´on y D 1. a. El radio del cascar´on, r D y
. 1/ D y C 1. p b. La altura del cascar´on, ip.y/ i `.y/ D y
Z
2
2.x C 1/ 2x 0 1 4 2 16 x D 3 : 4 0
x 2 dx D
1 y. 2
y
b .2; 4/
h
.0; 0/ yD
b
x
r
1
Õ
Por lo tanto, el volumen del so´ lido de revoluci´on de la regi´on R se calcula como sigue: VR D D
Z
4
2 r h dr D
0
Z
0
4
2
p y
Z
0
4
2.y C 1/ Œip.y/
3 1 y Cy2 2
1 2 y 2
i `.y/ dy D
dy D 2
2 3 y2 3
Z
0
4
2.y C 1/
1 2 2 5 y C y2 4 5
p y 1 3 y 6
1 y 2
dy D
4 D 104 : 15 0
Ejemplo 3.3.17 Calcular el volumen del s´olido de revoluci´on generado al girar un c´ırculo de radio r > 0 alrededor de un eje situado a una distancia R > r de su centro.
3.1 Volumen de so´ lidos H
41
Este so´ lido es el toro del ejemplo 3.3.11; ahora usando el m´etodo de Cascarones Cil´ındricos. y
RCr y
b
R R
r
Õ
x
En este caso hemos tomado el eje x como el de revoluci´on. El c´ırculo tiene ecuaci´on: x 2 C .y
R/2 D r 2 :
(3.2)
Al tomar una capa cil´ındrica, para un segmento vertical con R r y R C r tenemos que el radio de la capa es el propio y, mientras que la altura h es lo que mide el segmento de x a x, donde x es el correspondiente valor que cumple .3:2/, es decir: p p x D r 2 .y R/2 I xD r 2 .y R/2 I p h D x . x/ D 2x D 2 r 2 .y R/2 : Por lo tanto el volumen es Z RCr Z V D 2yh dy D 4 R r
RCr
R r
y
p
r2
.y
R/2 dy D D 2 2Rr 2 :
Resolver la integral anterior requiere de t´ecnicas de sustituci´on trigonom´etrica que se vieron en el cap´ıtulo II. Aqu´ı solamente indicamos el valor final y hacemos hincapi´e en que se obtiene el mismo resultado utilizando este m´etodo o el de las Arandelas. Ejemplo 3.3.18 Sea R la regi´on del plano limitada por las rectas y D 2x 3, 7x y C 9 D 0 & 4x y C 2 D 0. Utilice el m´etodo de Cascarones Cil´ındricos para calcular el volumen del s´olido obtenido al rotar R alrededor de los ejes:
H
1. x D 0.
3. x D 2.
5. x D 4.
2. y D 0.
4. y D 1.
6. y D 8.
Calculamos las intersecciones de las rectas `1 .x/ D 2x
3, `2 .x/ D 7x C 9, `3 .x/ D 4x C 2.
4 1 ) y D `1 .x/ D : 3 3 5 4 `1 .x/ D `3 .x/ ) 2x 3 D 4x C 2 ) 6x D 5 ) x D ) y D `1 .x/ D : 6 3 7 22 `2 .x/ D `3 .x/ ) 7x C 9 D 4x C 2 ) 3x D 7 ) x D ) y D `2 .x/ D : 3 3 `1 .x/ D `2 .x/ )
2x
3 D 7x C 9 ) 9x D 12 ) x D
42
C´alculo integral
Los puntos de intersecci´on en el plano son 4 1 5 P12 D ; ; P13 D ; 3 3 6
4 3
Dibujamos la regi´on R en el plano: 4 3
P23 D
22 : 3
7 ; 3
5 6
b
x
1 3
`1
b 2x
;
y 7 3
`1 .x/ D y D
4 3
3;
`2 .x/ D y D 7x C 9;
R
`2
`3 .x/ D y D 4x C 2.
`3
b
22 3
1. Eje de rotaci´on x D 0.
La regi´on R se divide en dos subregiones R1 y R2 . V´ease la siguiente figura. a. R1 se encuentra entre las gr´aficas de las rectas `2 .x/ & `3 .x/ en el intervalo b. R2 se encuentra entre las gr´aficas de las rectas `1 x/ & `3 .x/ en el intervalo y 7 3
7 ; 3 4 ; 3
4 . 3 5 . 6
5 6
4 3
x
b `1
b
R2
`2
R1 `3 h r
b
Õ
xD0
Para calcular el a´ rea lateral de los cascarones cil´ındricos, debemos tener en consideraci´on: a. El eje de un cascar´on cil´ındrico es el eje de rotaci´on. En este caso el eje y (x D 0).
b. La altura h de un cascar´on cil´ındrico es un segmento, entre las curvas que definen la regi´on, paralelo al eje de rotaci´on. c. El radio r de un cascar´on cil´ındrico es la distancia entre su altura h y el eje de rotaci´on.
3.1 Volumen de so´ lidos
43
Por lo tanto: a. En la regi´on R1 , la altura es h1 D `2 .x/
`3 .x/ D .7x C 9/
b. En la regi´on R2 , la altura es h2 D `1 .x/
`3 .x/ D . 2x
c. El radio r en los dos casos es 0
xD
.4x C 2/ D 3x C 7.
3/
.4x C 2/ D 6x
5.
x.
El volumen del so´ lido generado por la regi´on R1 es
VR1 D
Z
4 3 7 3
D 2
2 r h dr D 4 3
Z
7 3
4 3
Z
7 3
2. x/Œ`2 .x/
2
.7x C 3x / dx D
2
`3 .x/ dx D
7 2 x C x3 2
El volumen generado por la regi´on R2 es
VR2 D
Z
D 2
5 6 4 3
Z
2 r h dr D 5 6 4 3
Z
5 6 4 3
2. x/Œ`1 .x/
2
.5x C 6x / dx D 2
4 3 7 3
`3 .x/ dx D
5 2 x C 2x 3 2
El volumen del so´ lido de revoluci´on solicitado es
5 6 4 3
4 3
Z
2. x/.3x C 7/ dx D
7 3
D 5:
Z
5 6 4 3
2. x/. 6x
5/ dx D
D 74 :
27 7 Vol.R/ D Vol.R1 / C Vol.R2 / D 5 C D 4 4 2. Eje de rotaci´on y D 0. Para calcular el a´ rea de un cascar´on cil´ındrico observamos: a. El eje de un cascar´on cil´ındrico es el eje de rotaci´on. En este caso el eje x (y D 0). b. La altura h de un cascar´on cil´ındrico es un segmento, entre las gr´aficas de las funciones que definen la regi´on; dicho segmento es paralelo al eje de rotaci´on. Es decir, perpendicular al eje y. La variable independiente de las funciones debe ser y. `1 .x/ D y D
2x
3 ) xD
1 .y C 3/ D i `1 .y/I 2
1 `2 .x/ D y D 7x C 9 ) x D .y 7 1 `3 .x/ D y D 4x C 2 ) x D .y 4
9/ D i `2 .y/I 2/ D i `3 .y/:
c. El radio r de un cascar´on cil´ındrico es la distancia entre su altura h y el eje de rotaci´on
44
C´alculo integral y yD0
h
Õ
b R2
x
1 3
i `1
b
4 3
r R1
i `3 i `2
b
22 3
Por lo tanto:
a. En la regi´on R1 , la altura es h1 D i `3 .y/
i `2 .y/ D
b. En la regi´on R2 , la altura es h2 D i `1 .y/
i `2 .y/ D
c. El radio r en cada caso es 0
1 .y 4
1 .y 7
2/
1 .y 2
1 .y 7
C 3/
9/ D
3 11 yC . 28 14
9/ D
9 y 14
3 . 14
y D y.
El volumen del so´ lido generado por la regi´on R1 es
VR1 D
4 3
Z
D
22 3
2 r h dr D
1 14
Z
4 3 22 3
Z
4 3
22y C 3y
2
dy D
El volumen generado por la regi´on R2 es:
VR2 D
Z
1 3 4 3
3 D 7
Z
2 r h dr D 1 3 4 3
y C 3y
Z 2
1 3 4 3
i `2 .y/ dy D
2. y/ Œi `3 .y/
22 3
1 2 3 11y C y 14
2. y/ Œi `1 .y/
3 dy D 7
El volumen de revoluci´on solicitado es
1 2 y 2
i `2 .y/ dy D y 3
Vol.R/ D Vol.R1 / C Vol.R2 / D
1 3 4 3
D
Z
4 3
22 3
Z
4 3 22 3
D
1 3 4 3
2. y/
11 3 yC 28 14
dy D
90 : 7
2. y/
9 y 14
3 14
9 : 14
90 9 27 C D : 7 14 2
3. Eje de rotaci´on x D 2. El razonamiento es similar al del inciso 1. p´ag. 42. Cambian los radios de los cascarones.
dy D
3.1 Volumen de so´ lidos
45 y 7 3
5 6
4 3
x
b `1 R2
b
R1
`2
`3 h r
b xD2
Õ a. En la regi´on R1 , la altura es h1 D `2 .x/
`3 .x/ D .7x C 9/
b. En la regi´on R2 , la altura es h2 D `1 .x/
`3 .x/ D . 2x
c. El radio r en cada caso es 2
.4x C 2/ D 3x C 7.
3/
.4x C 2/ D 6x
5.
x.
El volumen del so´ lido generado por la regi´on R1 es
VR1 D
4 3
Z
7 3
D 2
Z
2 r h dr D 4 3 7 3
14
Z
x
4 3 7 3
3x
2
2.2
x/ Œ`2 .x/
dx D 2 14x
Z
`3 .x/ dx D 1 2 x 2
x 3
4 3 7 3 4 3 7 3
2 .2
x/ .3x C 7/ dx D
D 11:
El volumen generado por la regi´on R2 es
VR2 D
Z
D 2
5 6 4 3
Z
2 r h dr D 5 6 4 3
10
Z
5 6 4 3
2 .2
7x C 6x
2
x/ Œ`1 .x/
dx D 2
`3 .x/ dx D 10x
Z
7 2 x C 2x 3 x
5 6 4 3
2 .2
5 6 4 3
D
El volumen del so´ lido de revoluci´on solicitado es
Vol.R/ D Vol.R1 / C Vol.R2 / D 11 C
4. Eje de rotaci´on y D 1.
19 63 D : 4 4
x/ . 6x 19 : 4
5/ dx D
46
C´alculo integral y yD1
h
Õ
b R2
x
1 3
i `1
b
4 3
r R1
i `3 i `2
b
22 3
a. En la regi´on R1 , la altura es h1 D i `3 .y/
i `2 .y/ D
b. En la regi´on R2 , la altura es h2 D i `1 .y/
i `2 .y/ D
c. El radio r en cada caso es 1
1 .y 4
1 .y 7
2/
1 .y C 3/ 2
3 11 yC . 28 14
9/ D
1 .y 7
9/ D
2 .1
y/
9 y 14
3 . 14
y.
El volumen del so´ lido generado por la regi´on R1 es
VR1 D
4 3
Z
D
22 3
2 r h dr D
1 14
Z
4 3 22 3
Z
4 3 22 3
2 .1
22 C 19y C 3y
y/ Œi `3 .y/ 2
i `2 .y/ dy D
1 14
dy D
4 3
Z
22 3
19 22y C y 2 C y 3 2
El volumen generado por la regi´on R2 es
VR2 D
Z
1 3 4 3
3 D 7
Z
2 r h dr D 1 3 4 3
1
Z
1 3 4 3
2 .1
2y C 3y
2
y/ Œi `1 .y/
3 dy D 7
y
El volumen del so´ lido de revoluci´on solicitado es
i `2 .y/ dy D y C y 2
Vol.R/ D Vol.R1 / C Vol.R2 / D 5. Eje de rotaci´on x D
3
Z
1 3 4 3
1 3 4 3
D
2 .1
4 3 22 3
y/
11 3 yC 28 14
D
dy D
117 : 7
9 y 14
9 : 7
117 9 C D 18: 7 7
4.
El razonamiento es similar al del inciso 1. p´ag. 42. Cambian los radios de los cascarones.
3 14
dy D
3.1 Volumen de so´ lidos
47 y 7 3
5 6
4 3
x
b `1
b
R2
`2
R1 `3
h
r
b xD
4
Õ
a. En la regi´on R1 , la altura es h1 D `2 .x/
`3 .x/ D .7x C 9/
b. En la regi´on R2 , la altura es h2 D `1 .x/
`3 .x/ D . 2x
c. El radio r en cada caso es x
.4x C 2/ D 3x C 7.
3/
.4x C 2/ D 6x
5.
. 4/ D x C 4.
El volumen del so´ lido generado por la regi´on R1 es
VR1 D
4 3
Z
2 r h dr D
7 3
D 2
4 3
Z
7 3
Z
4 3 7 3
2 .4 C x/ Œ`2 .x/
28 C 19x C 3x
2
`3 .x/ dx D
Z
19 dx D 2 28x C x 2 C x 3 2
4 3 7 3
2 .4 C x/ .3x C 7/ dx D 4 3 7 3
D 7:
El volumen generado por la regi´on R2 es
VR2 D D
Z
5 6 4 3
2
2 r h dr D Z
5 6 4 3
Z
5 6 4 3
`3 .x/ dx D
2 .4 C x/ Œ`1 .x/
20 C 29x C 6x
2
Z
5 6 4 3
29 dx D 2 20x C x 2 C 2x 3 2
2 .4 C x/ . 6x
5 6 4 3
El volumen de revoluci´on solicitado es
Vol.R/ D Vol.R1 / C Vol.R2 / D 7 C
6. Eje de rotaci´on y D 8.
17 45 D : 4 4
D
17 : 4
5/ dx D
48
C´alculo integral y
b R2
x
1 3
i `1
b
4 3
R1
i `3 i `2
r yD
Õ
b
8
22 3
h
a. En la regi´on R1 , la altura es h1 D i `3 .y/ b. En la regi´on R2 , la altura es h2 D i `1 .y/ c. El radio r en cada caso es y
1 1 3 11 .y 2/ .y 9/ D yC . 4 7 28 14 1 9 3 1 i `2 .y/ D .y C 3/ .y 9/ D y . 2 7 14 14 i `2 .y/ D
. 8/ D y C 8.
El volumen del so´ lido generado por la regi´on R1 es
VR1 D
Z
4 3 22 3
1 D 14
2 r h dr D Z
4 3 22 3
Z
4 3 22 3
2 .y C 8/ Œi `3 .y/
176 C 46y C 3y
2
i `2 .y/ dy D
4 3
Z
2 .y C 8/
22 3
1 dy D 176y C 23y 2 C y 3 14
4 3 22 3
3 11 yC 28 14
dy D
D 18:
El volumen generado por la regi´on R2 es
VR2 D D
Z
1 3 4 3
3 7
2 r h dr D Z
1 3 4 3
Z
1 3 4 3
2 .y C 8/ Œi `1 .y/
8 C 25y C 3y 2 dy D
El volumen de revoluci´on solicitado es
i `2 .y/ dy D
1 3
Z
3 25 8y C y 2 C y 3 7 2
4 3
2 .y C 8/
1 3 4 3
D
9 y 14
3 14
dy D
9 : 2
9 45 Vol.R/ D Vol.R1 / C Vol.R2 / D 18 C D : 2 2 Ejemplo 3.3.19 Un tanque para almacenar gas tiene la forma de un cilindro circular recto de radio a, altura b, con una semiesfera del mismo radio en cada extremo. Calcular su volumen.
3.1 Volumen de so´ lidos
49 y
p a2
r2
p a2
b
a
a
r
r2
a r
Ô
x
h
H Podemos suponer que el eje x es el eje de rotaci´on del tanque. Una capa cil´ındrica a distancia r del eje de rotaci´on se muestra en la figura. r var´ıa desde 0 hasta a La altura h correspondiente del cilindro se calcula sumando b (la altura del cilindro original) con 2 p segmentos que miden a2 r 2 ( por el teorema de Pit´agoras), por lo tanto: p h D b C 2 a2 El volumen del tanque es Z a Z V D 2 r h dr D 0
a
0
p 2 r .b C 2 a2
r 2 / dr D b
r 2:
Z
0
a
2r dr C 2
Z
a
p a2
r 2.2r dr / D
0
u D a2
du D
a D br 2
0
2
Z
4 D a2b C a3 : 3
0
a2
p
r 2I
2r dr:
3 2 u 2 a u du D a b C 2 3 D 2
2
0
Lo anterior es la suma del volumen del cilindro original m´as el volumen de la esfera que forman las dos semiesferas de los extremos. Tambi´en pod´ıamos haber usado el m´etodo de Arandelas, pero ser´ıa un poco m´as laborioso. Lo mas sensato en ejemplos de este tipo es usar la aditividad del volumen y partir el c´alculo del so´ lido que se pide en el c´alculo del volumen de un cilindro y una esfera (resultado de pegar las dos semiesferas de los extremos). Alguna vez se preguntar´a el lector cu´al de los m´etodos usados (el de Arandelas o el de Cascarones Cil´ındricos) se debe utilizar para calcular un volumen de revoluci´on dado. La respuesta es que no hay un m´etodo que sea el mejor para todos los casos. Si se decide aplicar uno de ellos, lo m´as seguro es que se pueda plantear la integral correspondiente determinando los l´ımites de integraci´on y la funci´on integrando adecuada; si la integral por calcular resulta demasiado laboriosa, o no se puede resolver con las t´ecnicas de integraci´on desarrollada hasta ahora, puede ser buena idea intentar el otro m´etodo para ver si con e´ l es posible completar el c´alculo. Cerramos esta secci´on con un ejemplo sencillo en el que aplicamos los dos m´etodos de c´alculo de volumen de revoluci´on, para que el lector los pueda comparar una vez m´as. Ejemplo 3.3.20 Un s´olido tiene la forma de un cono circular recto de radio a, altura b; coronado por una semiesfera de radio a (como un barquillo de nieve). Calcular su volumen usando el m´etodo de Arandelas y el de Cascarones Cil´ındricos.
50
C´alculo integral
H El so´ lido se genera al girar el tri´angulo de v´ertices .0; 0/, .0; b/ y .a; 0/ y al girar el cuarto de c´ırculo x 2 C y 2 a2 del primer cuadrante alrededor del eje y; v´ease la siguiente figura: y
y x 2 C y 2 D a 2 o bien q x D a2 y 2
Ôb .0; a/
Ôb .0; a/
b x .a; 0/
yD xD
b x .a; 0/
b ax a b .y
hD
`b
ax
b
´
rDx
b .0; b/ Capas cil´ındricas conc´entricas.
1. C´alculo por el m´etodo de Arandelas: Z a Z 0 h Z a p i2 2 a V D A.y/ dy D .y C b/ dy C a2 y 2 dy D b b b 0 Z a 2 Z 0 a D 2 .y C b/2 dy C a2 y 2 dy D b b 0 2 Z b y 3 a a 2 2 D 2 u du C a y D b 3 0 0
u D y C bI
du D dy:
2a3 a2 a2 b 3 C D .b C 2a/: 2 b 3 3 3
2. C´alculo por el m´etodo de Cascarones Cil´ındricos: p Z a Z a b V D 2 r h dr D 2 x a2 x 2 x b dx D a 0 0 Z ap Z a b 2 2 2 D a x 2x dx 2 x bx dx D a 0 0 3 Z 0 p bx bx 2 a D u du 2 D 3a 2 a2 0 3 2 2 2u 2 a ba2 ba2 2 3 a b D 2 D a 2 D 3 0 3 2 3 6 D
x2
b o bien C b/
b .0; b/ Cortes transversales para arandelas.
D
p a2
u D a2
du D
x 2I
2x dx:
a2 .2a C b/: 3
Observe que ambos procedimientos arrojan el mismo resultado, que tambi´en puede verse como la suma 2 a b 2 a3 del volumen de un cono y el de una semiesfera . 3 3 Ejercicios 3.3.3 Vol u´ menes. Soluciones en la p´agina 52 1. Sea R la regi´on del plano delimitada por la curva y D sen 2x y el eje x, entre x D 0 y x D . Calcular el volumen del so´ lido que se genera al hacer girar la regi´on alrededor de los ejes:
3.1 Volumen de so´ lidos a. y D 0.
b. x D 0.
51 c. y D 3.
d. x D 4.
e. y D 2. f. x D 1.
x2 , y D .x 6/2 y la recta y D 0. Calcular 4 el volumen del so´ lido que se genera al hacer girar la regi´on alrededor de los ejes:
2. Sea R la regi´on del plano delimitada por las par´abolas y D a. y D 0.
b. x D 0.
c. y D 4.
d. x D 6.
e. y D 1. f. x D 2.
3. Sea R la regi´on del plano delimitada por y D e x , y D e 5 x & x D 3. Calcular el volumen del so´ lido que se genera al hacer girar la regi´on alrededor alrededor de los ejes: a. y D 0.
b. x D 0.
c. y D 24.
d. x D 6.
e. y D 1. f. x D 2.
4. Sea R la regi´on del plano delimitada por y D x 3 , y D .x 10/3 y la recta y D 0. Calcular el volumen del so´ lido que se genera al hacer girar la regi´on alrededor de los ejes: a. y D 0.
b. x D 0.
c. y D 5.
d. x D 6.
e. y D 2. f. x D 1.
5. Sea R la regi´on del plano delimitada por y D x 2 C 8x 3 & y D jx 4j C 1. Calcular el volumen del so´ lido que se genera al hacer girar la regi´on alrededor alrededor de los ejes: a. y D 0.
b. x D 0.
c. y D 20.
d. x D 8.
e. y D 2. f. x D 1.
6. Sea R la regi´on del plano delimitada por por y D 4 e x , y D 4 e x & y D 0. Calcular el volumen del so´ lido que se genera al hacer girar la regi´on alrededor alrededor de los ejes: a. y D 0. b. y D 2.
c. x D 2. d. y D 2.
e. x D 2.
7. Sea R la regi´on del plano delimitada por y D 2 cos.x/ & y D 1. Calcular el volumen del so´ lido que se genera al hacer girar la regi´on alrededor alrededor de los ejes: a. y D 0.
b. x D 0.
c. y D
2.
d. x D 2.
e. y D 3. f. x D 7.
52
C´alculo integral
Ejercicios 3.3.1 Vol´umenes. Preguntas, p´agina 9
1.
3.
2.
4.
Ejercicios 3.3.2 Vol´umenes. Preguntas, p´agina 30
1.
2.
p 232 3 . 5 b. 87:0624.
c.
p 312 3 . 5 d. 174:125.
e.
32 . 3 b. 26:8083.
c. 16.
e.
a.
d. 703:717.
64 . 3 f. 703:717.
c. 18.
e.
a.
2 . 3 b. 4:1888.
d. 10:472.
4.
a. 3 2 .
b. 19 2 .
5.
a. .4 C /.
b. .4 C 3/.
6.
a.
7.
a. . 2 C e/. 1 b. .1 C e2 /. 2
8.
a.
3.
a.
3 .24 C /. 2
p 368 3 . 5 f. 130:594
b.
16 . 3 f. 5:236.
c. . 4 C 7/.
3 . 24 C /. 2
c. . 17 C 10e/. 1 d. . 29 C 12e C e2 /. 2
1 2 . 4
b.
1 .8 C 3/. 4
e. . 2 C 5e/. 1 f. .9 C e2 /. 2 „ « 19 c. 6C . 4
Ejercicios 3.3.3 Vol´umenes. Preguntas, p´agina 50
1.
2 3 u . 2
96 3 u . 5 " e10 C 2e15 3. 2 e10
156 250 3 u . 7 3006 3 5. u . 5 „ « 33 C 16 ln.4/ u3 . 6. 2 2 4.
2.
1
#
u3 .
7. 7 2 u3 .