67.31 Transferencia de Calor y Masa

´Indice general 11.Intercambiadores de Calor 11.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Clasificaci´on . . .

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´Indice general

11.Intercambiadores de Calor 11.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Clasificaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3. Balance energ´etico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4. El m´etodo DLTM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4.1. Planteo general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4.2. Extensi´on a otras geometr´ıas . . . . . . . . . . . . . . . . 11.5. El m´etodo de la eficiencia-NUT . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.5.1. Planteo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.5.2. Eficiencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.5.3. Comportamiento frente a los par´ametros adimensionales.

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3 3 3 6 8 8 10 11 11 11 14

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11.1

Intercambiadores de Calor

Introducci´ on

Una vez establecidos los principales mecanismos de transferencia de calor, estudiaremos el intercambio de calor considerado desde un punto de vista m´as global, donde aparecen mezclados el conjunto de procesos: conducci´on, convecci´on, radiaci´on y cambios de fase. Los intercambiadores de calor son equipos que cumplen la funci´on de transmitir el calor desde un fluido a otro. Pr´acticamente todo sistema t´ermico necesita uno o m´as intercambiadores de calor para funcionar. Son numerosos los ejemplos de la vida cotidiana y de la industria donde encontramos intercambiadores. Basta pensar en nuestra calefacci´on, refrigeraci´on, cocina, transporte para advertir intercambiadores. Si pensamos en nuestra electricidad, la mayor parte la debemos a generaci´on t´ermica. A partir de datos de 2009, lamentablemente a´ un el 80 % del consumo energ´etico mundial proviene del petr´oleo (33 %), gas ( %21), carb´on(21 %) y uranio (7 %)1 Para la utilizaci´on de estos combustibles se asocian ciclos t´ermicos e intercambiadores de calor. Este escenario catastr´ofico2 en el mediano y largo plazo, refuerza la necesidad de comprender el funcionamiento de los intercambiadores de calor.

11.2

Clasificaci´ on

Una primera distinci´on de los intercambiadores es si producen el intercambio en forma directa o indirecta. En el primer caso, la energ´ıa t´ermica se transfiere directamente desde una corriente de fluido a otra, usualmente, a trav´es de paredes conductoras que las separan. El proceso es estacionario en la mayor parte de los casos y as´ı se dise˜ nan o estudian sus par´ametros. Por otro lado, los intercambiadores de calor indirectos, o regeneradores, utilizan un medio adicional para realizar la 1

Argentina en 2006 ten´ıa el 54 % correspondiente a generaci´on t´ermica, el 41 % a generaci´on hidroel´ectrica y el 4 % a generaci´ on nuclear, mientras que menos del 0,1 % corresponde a fuentes renovables. 2 Ver, por ejemplo, El Atlas del Medio Ambiente: amenazas y soluciones, Capital Intelectual, Le Monde Diplomatique, 2008.

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67.31 – Transferencia de Calor y Masa transferencia de calor. En un regenerador, dos corrientes fluyen en forma alternada trav´es de una matriz hecha de material de gran capacidad calor´ıfica (por ejemplo, empaquetados de esferas). Dentro del conjunto de los intercambiadores de calor en forma directa, que estudiaremos, aparecen diversas configuraciones geom´etricas de flujo que los definen. Se˜ nalemos: Una sola corriente. Dos corrientes en flujo paralelo. Dos corrientes en contracorriente. Dos corrientes en flujo cruzado. Dos corrientes en contraflujo cruzado. Dos corrientes a pasos m´ ultiples.

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Intercambiadores

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Figura 11.1: Esquema de un intercambiador de corrientes cruzadas.

11.3

Balance energ´ etico

Consideremos un intercambiador de arreglo en contracorriente como muestra la figura 11.1. Distinguimos una corriente de flujo fr´ıo m ˙ C y otra de flujo caliente m ˙ H con respectivas temperaturas de entrada y de salida del intercambiador. Un primer objetivo del estudio de un intercambiador es determinar el flujo de calor q˙ que pasa efectivamente de una corriente a otra as´ı como tambi´en analizar la evoluci´on de las temperaturas de los fluidos a partir de sus condiciones de entrada. Por otro lado, podemos buscar dise˜ nar un intercambiador que cumpla con los par´ametros de dise˜ no que necesitamos. La ecuaci´on de balance t´ermico vale independientemente de la configuraci´on de flujos y es, para el estado estacionario: m ˙ H iH,in + m ˙ C iC,in = m ˙ H iH,out + m ˙ C iC,out + q˙p

(11.1)

donde i es la entalp´ıa de los fluidos y q˙p representa las p´erdidas al exterior. La entalp´ıa espec´ıfica es casi independiente de la presi´on para los l´ıquidos y totalmente independiente de la presi´on para gases ideales. Podemos escribir para estos casos a la entalp´ıa del fluido como el producto de la capacidad calor´ıfica del fluido c y la temperatura T relativa a una de referencia Tref : i = c(T − Tref )

(11.2)

Si bien c es una funci´on de la temperatura, en muchos casos esta dependencia es despreciable si analizamos por partes al intercambiador o bien si el rango de 6

Intercambiadores

Figura 11.2: Evoluci´on de las temperaturas en dos configuraciones geom´etricas distintas. temperaturas que adopta el fluido no es grande en el intercambiador. En adelante, consideraremos un valor medio para c dado por las temperaturas de entrada y de salida del fluido al intercambiador. Por otro lado, podemos descartar el t´ermino de p´erdidas q˙p , p.ej. si el intercambiador est´a bien aislado t´ermicamente. Podemos as´ı reescribir (11.1): m ˙ H cH (TH,in − TH,out ) = m ˙ C cC (TC,out − TC,in ) = q˙

(11.3)

Si no conocemos las temperaturas de salida de las corrientes, no podemos determinar q. ˙ Si conocemos alguna de ellas, resolvemos el problema. Dado que el producto mc ˙ aparece repetidamente en el an´alisis, se define C˙ = mc ˙ ˙ ˙ como la capacidad t´ermica del flujo. As´ı, CH = m ˙ H cH y C C = m ˙ C cC . Podr´ıamos intentar un primer c´alculo para determinar el flujo de calor q˙ si conocemos la superficie del intercambiador y si determinamos el coeficiente de transferencia (p.ej. de convecci´on) de una corriente a otra. Sin embargo, como podemos apreciar en la figura 11.2, al cambiar la temperatura de las corrientes a lo largo del intercambiador, nuestros resultados pueden ser muy diferentes. Para incluir el efecto del cambio de la temperatura, nuestro problema debe plantearse en t´erminos de una ecuaci´on diferencial que la incluya, como se aprecia en la figura 11.3. Dos m´etodos aparecen como soluciones pr´acticas del problema, el m´etodo de la diferencia t´ermica logar´ıtmica media(DTLM) y el m´etodo de la eficiencia-NUT (n´ umero de unidades de transferencia). 7

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Figura 11.3: Consideraci´on del cambio de ∆T a lo largo del intercambiador.

11.4

El m´ etodo DLTM

11.4.1

Planteo general

El m´etodo consiste en expresar la transferencia de calor como el producto de la conductancia del intercambiador (U A) y una diferencia de temperatura que asimila el cambio en el sistema ∆Tlm : q˙ = U A∆Tlm

(11.4)

Si consideramos un volumen de control diferencial, como consecuencia del cambio de temperatura, cambia la entalp´ıa del flujo, es decir. (m ˙ H iH )x = (m ˙ H iH )x +

d(m ˙ H iH ) dx + dq˙ dx

diH dx dx dTH dq˙ = −m ˙ H cH dx dx An´alogamente para la corriente fr´ıa: dq˙ = −m ˙H

dTC dx dx Por otro lado, el flujo de calor para el elemento dx en funci´on de la geometr´ıa y la diferencia de temperaturas local : dq˙ = −m ˙ C cC

dq˙ = (TH − TC )U A

dx L

(11.5) 8

Intercambiadores donde L representa la longitud total del intercambiador. Resultan as´ı dos ecuaciones diferenciales: dx dTH = −m ˙ H cH dx L dx dTC dx = −m ˙ C cC dx (TH − TC )U A L dx (TH − TC )U A

(11.6) (11.7)

Luego, dTH dx dTC dx

UA (TH − TC ) Lm ˙ H cH UA = − (TH − TC ) Lm ˙ C cC = −

(11.8) (11.9)

Ponemos as´ı de manifiesto las leyes de evoluci´on de las temperaturas de los fluidos. Esta ecuaci´on puede resolverse anal´ıticamente y en forma num´erica en casos que lo requieran (p.ej., si c = c(T )). Para c constantes,   UA 1 1 d(TH − TC ) =− (TH − TC ) − (11.10) dx L m ˙ H cH m ˙ C cC Resolviendo para θ = (TH − TC ), θx=L ln = −U A θx=0



1 1 − m ˙ H cH m ˙ C cC

 (11.11)

Son as´ı determinantes las condiciones en la entrada x = 0 o en la salida x = L del intercambiador. Para el caso de un intercambiador en contracorriente, θx=l = (TH,out − TC,in ) y θx=0 = (TH,in − TC,out ). Reemplazando,     TH,out − TC,in 1 1 = −U A − (11.12) ln TH,in − TC,out m ˙ H cH m ˙ C cC Utilizando la definici´on de capacidad t´ermica del flujo,  ln

TH,out − TC,in TH,in − TC,out



 = −U A

1 1 − C˙ H C˙ C

 (11.13)

Para recuperar una expresi´on del tipo (11.4), utilizamos las expresiones resultantes del balance energ´etico: q˙ = C˙ H (TH,in − TH,out ) q˙ = C˙ C (TC,out − TC,in ) 9

67.31 – Transferencia de Calor y Masa Luego, q˙ TH,in − TH,out q˙ C˙ C = TC,out − TC,in

C˙ H =

Sustituyendo en (11.13),     TH,out − TC,in (TH,in − TH,out ) − (TC,out − TC,in ) = −U A ln TH,in − TC,out q˙

(11.14)

Podemos reescribir una expresi´on para el flujo de calor en funci´on de la DTLM,   (TH,in − TH,out ) − (TC,out − TC,in )    q˙ = −U A  (11.15) TH,out −TC,in ln TH,in −TC,out | {z } DT LM

Despejamos, de acuerdo a la definici´on (11.4) el valor de la DTLM para un intercambiador de flujos a contracorriente.   (TH,in − TH,out ) − (TC,out − TC,in )  fc   (11.16) ∆Tlm = T −TC,in ln TH,out H,in −TC,out De forma similar, podemos obtener la expresi´on de la temperatura logar´ıtmica media para un intercambiador de corrientes paralelas, en ese caso:   (TH,in − TC,in ) − (TH,out − TC,out )  fp   ∆Tlm = (11.17) TH,in −TC,in ln TH,out −TC,out 11.4.2

Extensi´ on a otras geometr´ıas

Dado que la m´axima ∆Tlm que se puede alcanzar viene dada por la expresi´on para flujo a contracorriente (11.16), usamos esta referencia para el planteo de otras fc configuraciones geom´etricas del flujo. As´ı, ∆Tlm = F ∆Tlm y F es un factor de correcci´on y es < 1. F depende de la capacidad t´ermica de los flujos y de la resistencia t´ermica del intercambiador (o bien su conductancia U ). Definimos dos n´ umeros adimensionales para incluir estos factores: (TC,out − TC,in ) (TH,in − TC,in ) C˙ C (TH,in − TH,out ) R = = ˙ (TC,out − TC,in ) CH

P =

10

Intercambiadores

11.5

El m´ etodo de la eficiencia-NUT

11.5.1

Planteo

La alternativa al enfoque del m´etodo de la diferencia logar´ıtmica media aparece a partir de un planteo diferente de las mismas ecuaciones diferenciales. El m´etodo de la eficiencia (ε) permite la determinaci´on directa de las temperaturas de salida conocida U as´ı como proporciona mayor flexibilidad a la hora de considerar par´ametros de dise˜ no variables. Por empezar, se define la transferencia de calor q˙ en funci´on de la m´axima cantidad de calor posible a ser intercambiada: q˙ = εq˙max

(11.18)

Aparece enseguida definida la eficiencia ε como relaci´on entre la cantidad de calor m´axima q˙max y la real q. ˙ No es evidente a simple vista el valor de q˙max , recordemos el balance energ´etico: q˙ = C˙ H (TH,in − TH,out ) = C˙ C (TC,out − TC,in )

(11.19)

A medida que la conductancia U A de un intercambiador aumenta, la diferencia de temperatura entre las dos corrientes de fluido disminuye. En el caso l´ımite en el que U A fuera infinitamente grande, uno de los fluidos saldr´ıa del intercambiador con la misma temperatura que el otro. El fluido que m´as cambiar´a su temperatura ser´a aquel que tiene la menor capacidad t´ermica de flujo C˙ = C˙ min . Entonces, para este caso l´ımite, el calor m´aximo es: q˙max = C˙ min (TH,in − TC,in )

(11.20)

donde C˙ min = m´ın(C˙ H , C˙ C ). Extendemos as´ı: q˙ = εC˙ min (TH,in − TC,in )

11.5.2

(11.21)

Eficiencia

La ecuaci´on de balance de energ´ıa nos permite relacionar las temperaturas de salida con las de entrada: q˙ C˙ C q˙ = TH,in − C˙ H

TC,out = TC,in +

(11.22)

TH,out

(11.23) 11

67.31 – Transferencia de Calor y Masa

Figura 11.4: El caudal m´asico y el calor espec´ıfico influyen sobre la variaci´on de la temperatura. El producto de ambos, la capacidad t´ermica del flujo C˙ es determinante. si reemplazamos a partir de la definici´on de eficiencia en (11.21), εC˙ min (TH,in − TC,in ) C˙ C εC˙ min (TH,in − TC,in ) = TH,in − C˙ H

TC,out = TC,in +

(11.24)

TH,out

(11.25)

Recordando la soluci´on general para un intercambiador de contracorriente, (11.13),     1 1 TH,out − TC,in ln = −U A − TH,in − TC,out C˙ H C˙ C podemos reemplazar las temperaturas halladas en funci´on de ε:   εC˙ min (TH,in −TC,in )   TH,in − − TC,in 1 1 ˙H C  = −U A ln  − εC˙ (T −TC,in ) ˙H C C˙ C TH,in − TC,in + min H,in C˙

(11.26)

C

Ordenando la expresi´on anterior:    ˙   (TH,in − TC,in ) 1 − ε CCmin ˙H 1 1    = −U A ln  − ˙ ˙H C C˙ C (TH,in − TC,in ) 1 − ε CCmin ˙

(11.27)

C

12

Intercambiadores Simplificando,  ln 

1− 1−

˙ ε CCmin ˙H ˙ ε CCmin ˙C





 = −U A

1 1 − C˙ H C˙ C

 (11.28)

Consideremos, en lo que sigue, que es la corriente fr´ıa la que tiene la menor capacidad t´ermica de flujo, C˙ min = C˙ C y C˙ max = C˙ H .   ˙   1 − ε CC˙ min 1 1 max   ln = −U A (11.29) − C˙ min C˙ max C˙ min 1 − εC ˙ min

Ordenando los t´erminos, 

 C z }|R {     ˙  1 − ε Cmin     UA    C˙ min  C˙ max  ln  −1 =−  ˙ ˙  1−ε   Cmin  Cmax   | {z } | {z }   NUT CR

(11.30)

Definimos el n´ umero adimensional N U T = U A/C˙ min como n´ umero de unidades de transferencia que compara la conductancia U A respecto dela capacidad t´ermica del flujo m´ınimo C˙ min . Por otro lado, el n´ umero CR = C˙ min /C˙ max compara ambas corrientes y refleja el balance dentro del intercambiador. Si CR es cercano a 1, las corrientes cambiaran de temperatura en forma semejante, por el contrario, si CR  1, uno de los fluidos no cambiar´a pr´acticamente de temperatura, caso que corresponde a una situaci´on de cambio de fase. La ecuaci´on se resume en   1 − εCR ln = −N U T (CR − 1) (11.31) 1−ε Nuestra suposici´on de C˙ min = C˙ C no modifica este resultado, algebraicamente se llega a la misma expresi´on. Podemos despejar una expresi´on para la eficiencia ε en forma expl´ıcita: ε=

1 − exp[−N U T (1 − CR )] 1 − CR exp[−N U T (1 − CR )]

para CR < 1

(11.32)

Para CR = 1, la ecuaci´on es indeterminada, tomando l´ımite CR → 1 ε=

NUT 1 + NUT

para CR = 1

(11.33) 13

67.31 – Transferencia de Calor y Masa

Figura 11.5: Intercambiador en contracorriente. que sirve para casos en los que uno de los fluidos tiene un cambio de fase. Las expresiones que encontramos sirven para una configuraci´on de contracorriente, es posible extender el an´alisis a otras configuraciones geom´etricas y ´estas se encuentran tabuladas. 11.5.3

Comportamiento frente a los par´ ametros adimensionales.

Podemos observar la dependencia de ε respecto de CR y N U T . Si CR → 0 significa que una de las corrientes no cambia su temperatura, situaci´on que sucede durante cambios de fase. l´ım ε = 1 − exp(−N T U ) (11.34) CR →0

Si N U T es peque˜ no, entonces el intercambiador dispone de una peque˜ na superficie para intercambiar y las temperaturas de las corrientes no cambian. l´ım ε = N T U

N U T →0

(11.35)

Si N U T es muy grande, podemos pensar que disponemos de una gran superficie de intercambio y as´ı las temperatura de ambas corrientes tiende a ser la misma. Mientras que para intercambiadores en contracorriente significa ε → 1, para flujo paralelo, el l´ımite de la eficiencia depende s´olo de la relaci´on entre capacidades t´ermicas CR , seg´ un: 1 (11.36) ε= 1 + CR 14

Intercambiadores

Figura 11.6: CR → 0.

Figura 11.7: N U T → 0.

15

Figura 11.8: ε en funci´on de N U T para distintos CR en un intercambiador paralelo.

Dise˜ nos o´ptimos considerar´an N U T entre 1 y 2, all´ı donde se mantiene sensibilidad de la eficiencia ε frente al n´ umero de unidades de transferencia N U T que califica a un intercambiador.

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