7. Momento angular

7. MOMENTO ANGULAR El concepto de momento angular es muy útil para describir movimientos en dos o tres dimensiones y rotaciones. Consideremos el movimiento de un punto de masa m respecto de O. Este movimiento se puede pensar como la superposición un movimiento radial con velocidad vr y un movimiento de rotación alrededor de O con velocidad vt . Desde este punto de vista la cantidad de movimiento p = mv es la suma de dos términos:

p = mvr + mvt = pr + pt

(7.1)

donde pr = rˆ( rˆ ⋅ p) es la cantidad de movimiento radial y pt la cantidad de movimiento asociada con la rotación alrededor de O (Fig. 7.1).

p pt pr m r

O

Fig. 7.1. El movimiento de un punto respecto de O se puede pensar como la superposición de un movimiento radial y un movimiento de rotación alrededor de O. Una forma práctica de separar las dos partes de p es introducir la cantidad L=r×p

(7.2)

L = r × p = r × pt

(7.3)

dado que L depende solamente de pt porque

La magnitud L se llama momento angular y es el momento1 de la cantidad de movimiento; su valor depende de la elección de O, en efecto el momento angular respecto del punto O′ que difiere de O por un desplazamiento rOO′ es LO′ = LO − rOO′ × p (Fig. 7.2). Cuando no haya riesgo de confusión daremos por sobreentendido el punto respecto del cual se calcula L.

1

El origen del término momento proviene de que se denomina momento de un vector A (aplicado en el punto P)

respecto de un origen O a la cantidad M = rOP × A .

201

7. Momento angular

S

P U U 2 U22

2|

Fig. 7.2. El momento angular depende del punto respecto del cual se lo calcula. Veamos dos ejemplos: • Sea un cuerpo de masa m que sigue una trayectoria circular con velocidad angular ω alrededor de un eje y sea O un punto del eje (Fig. 7.3). Entonces v = ω × r = ω × r⊥ , luego p = mv = mω × r⊥ y el momento angular respecto de O es L = r × p = m r × (ω × r⊥ )

(7.4)

Si A, B, C son tres vectores cualesquiera A × ( B × C ) = ( A ⋅ C ) B − ( A ⋅ B)C , luego

L = m r⊥2ω − mr||ω r⊥

(7.5)

Si O coincide con el centro de giro r|| = 0 y

L = m r⊥2ω

(7.6)

w

r⊥

O

m

p v

r

Fig. 7.3. Momento angular de un cuerpo que sigue una trayectoria circular. •

Sea un objeto que se mueve con movimiento rectilíneo y O un punto cualquiera (Fig. 7.4). Luego L = r × m v ; pero r = r|| + r⊥ y entonces L = m r⊥ × v

202

(7.7)

7. Momento angular

p

r

r⊥ O

Fig. 7.4. Momento angular de un cuerpo que se mueve con movimiento rectilíneo. Relaciones entre momento angular, cantidad de movimiento y energía cinética Dado que el momento angular y la cantidad de movimiento radial son magnitudes útiles para describir movimientos conviene tener a mano expresiones que las vinculen con la energía cinética. La energía cinética se expresa como T = 12 m v 2 =

p2 2m

(7.8)

Partiendo de la definición de L calculemos

L2 = L ⋅ L = ( r × p) ⋅ ( r × p) = r 2 p2 sen 2 ϕ = r 2 p2 (1 − cos2 ϕ )

(7.9)

donde ϕ es el ángulo entre r y p. Pero rp cos ϕ = r ⋅ p = rpr de modo que L2 = r 2 p2 − r 2 pr2 . Dividiendo por 2 mr 2 resulta L2 p2 pr2 = − 2 mr 2 2 m 2 m

(7.10)

y entonces T=

L2 pr2 + 2 mr 2 2 m

(7.11)

Claramente el primer término del miembro derecho es la parte de la energía cinética debida a la rotación alrededor del punto respecto del cual estamos calculando el momento angular y el segundo término es la parte de T asociada con el movimiento radial. Variación del momento angular Diferenciando la definición de L obtenemos dL = dr × p + r × dp = r × Fdt

(7.12)

dL =r×F dt

(7.13)

pues dr × p = vdt × p = 0 . Luego

203

7. Momento angular Ahora M ≡ r × F es el momento de F (calculado respecto del punto desde donde tomamos el momento angular). Luego

dL =M , M=r×F dt

(7.14)

Esta es la ecuación de movimiento del momento angular y expresa que la tasa de variación del momento angular es igual al momento aplicado. Fuerzas centrales y conservación del movimiento angular Sea un móvil sometido a la acción de una fuerza central. Las fuerzas centrales son aquellas que están siempre dirigidas hacia un punto fijo2. Con muy buena aproximación las interacciones gravitatorias entre el Sol y los planetas y entre los planetas y sus satélites son centrales. Las fuerzas electrostáticas entre cargas puntuales son centrales. Por lo tanto el movimiento de cuerpos sometidos a fuerzas centrales es un problema muy importante. Veamos sus propiedades. Si referimos la posición al centro de la fuerza, una fuerza central se expresa como F = Frˆ (aquí F puede ser positiva o negativa) o sea que r y F son siempre paralelas (Fig. 7.5). Si tomamos momentos respecto del centro de fuerzas, M = r × F = 0 y entonces de la (7.14) obtenemos

dL = M = 0 ⇒ L = cte. dt

(7.15)

Luego en todo movimiento que se realiza bajo la acción de una fuerza central se conserva el momento angular. Este hecho tiene varias importantes consecuencias que pasaremos a analizar.

F

m

r F'

r'

m

O

Fig. 7.5. En un movimiento bajo la acción de una fuerza central se conserva el momento angular respecto del centro de la fuerza. El movimiento se realiza en un plano En un instante dado r y p definen un plano que pasa por el centro de fuerzas O y que es normal a L. En otro instante cualquiera r ′ y p ′ definen también un plano que pasa por el centro. Su normal está en la dirección de L′ = r ′ × p ′ y coincide con la anterior pues L′ = L . Luego ambos planos pasan por O y tienen la misma normal, por consiguiente coinciden y el movimiento está contenido en ese plano, que se denomina plano de la órbita (Fig. 7.6).

2

La atracción gravitatoria es una fuerza central (el peso está siempre dirigido hacia el centro de la Tierra, por lo

menos con buena aproximación).

204

7. Momento angular L

O

r

p m

Π

Fig. 7.6. La conservación del momento angular implica que el movimiento se realiza en un plano. Ley de las áreas (Segunda Ley de Kepler) Analicemos el movimiento en el plano de la órbita (Fig. 7.7). Por la conservación de L L = m r v sen ϕ = cte.

(7.16)

El área barrida por el radio vector que va de O al móvil es dA = 12 r v dt sen ϕ (Fig. 7.7), luego

dA 1 L = 2 r v sen ϕ = = cte. dt 2m

(7.17)

Esta es la célebre ley de las áreas o Segunda Ley de Kepler y establece que el radio vector del centro de fuerzas al móvil barre áreas iguales en tiempos iguales. Kepler dedujo esta ley para el movimiento de los planetas alrededor del Sol, pero aquí vemos que el resultado es más general pues depende de la conservación del momento angular y por lo tanto vale para todo movimiento regido por una fuerza central. v vdt

ϕ O

r

Fig. 7.7. Ley de las áreas: el radio vector del centro de fuerzas al móvil barre áreas iguales en tiempos iguales. La conservación de L está relacionada con la simetría del campo de la fuerza central, que al depender solamente de la distancia al centro no establece ninguna dirección privilegiada en el espacio: el campo es invariante ante cualquier rotación alrededor del centro. Este es un nuevo ejemplo de la relación entre simetrías y leyes de conservación. Movimiento bajo la acción de una fuerza central Sea un cuerpo de masa m sometido a una fuerza central. Tomamos el origen de coordenadas O en el centro de fuerza, que suponemos fijo. Sea F (r )rˆ el campo de fuerza, donde F depende

205

7. Momento angular sólo de la distancia r entre el cuerpo y O. Si F(r ) es positiva la fuerza es repulsiva, si es negativa la fuerza es atractiva. Un campo como el que suponemos es conservativo. En efecto (Fig. 7.8) dr = dr rˆ + rdθ θˆ y entonces

dW = F ⋅ dr = F(r )rˆ ⋅ ( dr rˆ + rdθ θˆ ) = F(r )dr

(7.18)

Por lo tanto r2

2

W12 = ∫ F ⋅ dr = ∫ F(r )dr 1

(7.19)

r1

no depende del camino seguido para ir de 1 a 2. Podemos entonces definir una energía potencial r

V (r ) = − ∫ F(r )dr + V0

(7.20)

r0

donde r0 es un nivel de referencia y V0 es una constante arbitraria. 2

dr rdθ

dθ r

O

dr

1

Fig. 7.8. Un campo de fuerza central es conservativo. Separación del movimiento de un cuerpo sometido a una fuerza central Debido a la conservación de L un cuerpo sometido a una fuerza central se mueve en un plano. Describiremos entonces el movimiento en el plano de la órbita. Tomamos como origen el centro de la fuerza y usamos coordenadas polares r, θ (Fig. 7.9). Las componentes de la velocidad son vr = v ⋅ rˆ = v sen ϕ , vθ = v ⋅ θˆ = v cos ϕ v

ϕ

r O

θ r órbita

Fig. 7.9. Geometría para estudiar el movimiento en el plano de la órbita.

206

(7.21)

7. Momento angular Por la conservación de L tenemos que

L = mrvθ = cte.

(7.22)

de donde si conocemos r podemos inmediatamente determinar vθ (L es una constante del movimiento, luego es un dato del problema y lo podemos obtener de las condiciones iniciales). Si usamos ahora la conservación de la energía mecánica:

E = T + V = cte.

(7.23)

podremos relacionar vr con r. En efecto de (7.23), usado (7.11) y (7.20) resulta E = 12 mvr2 +

L2 + V (r ) = cte. 2 mr 2

(7.24)

En esta expresión no figura θ. Sólo aparecen r y vr , además de la constante del movimiento L2 . Obsérvese que la (7.24) es equivalente a la expresión de la energía mecánica de un movimiento unidimensional para el cual la energía potencial es U (r ) =

L2 + V (r ) 2 mr 2

(7.25)

En consecuencia gracias a la conservación del momento angular el problema ha quedado separado en dos partes: • un movimiento de rotación alrededor del origen con la velocidad

vθ =

•

L mr

, L = cte.

(7.26)

y que por lo tanto cumple la ley de las áreas, y un movimiento radial determinado por la energía potencial U (r ) .

El potencial centrífugo La energía potencial U (r ) del problema unidimensional (Fig. 7.10) es la suma de dos términos. El primero es la energía potencial V (r ) del campo de fuerzas centrales. El segundo, L2 / 2 mr 2 , es la parte de la energía cinética asociada con el movimiento de rotación, que depende solamente de L (que es un dato) y de la distancia al centro. Este término equivale formalmente a una energía potencial repulsiva (pues crece a medida que r disminuye) ya que la fuerza dada por:

−

mvθ2 d  L2  L2 = =   dr  2 mr 2  mr 3 r

(7.27)

tiende a empujar el móvil lejos del origen. Esta fuerza no es otra que la fuerza centrífuga, que aparece al describir el movimiento desde un sistema rotante (no inercial). Esto es en efecto lo que estamos haciendo en el problema unidimensional equivalente, pues estamos describiendo el movimiento desde un sistema con origen en O y que sigue al móvil en su órbita mientras gira con velocidad angular ω = vθ / r alrededor del centro de fuerzas. Por este motivo el término L2 / 2 mr 2 se suele llamar potencial centrífugo.

207

7. Momento angular

L2 2mr 2

U (r)

0

r1 r3

E>0

r2

r

r0

E 0 la órbita es ilimitada: el móvil llega del infinito, se acerca al origen hasta la distancia mínima r0 (que depende de L) y vuelve al infinito donde vr = v∞ ≡ 2 E / m . Corresponde mencionar dos casos límites: • si E = Umin < 0 la órbita es circular y toda la energía cinética es de rotación ya que vr = 0 , • si E = 0 la órbita se extiende al infinito y el móvil llega al infinito con vr = v∞ = 0 . •

1

Fig. 7.11. Órbita limitada en un potencial V (r ) ~ r −0.9 . La integración comenzó en 1. En general las órbitas con E < 0 no son curvas cerradas, es decir el móvil no vuelve a pasar por el mismo lugar con igual velocidad en un tiempo finito. Sin embargo para algunas leyes de fuerzas especiales la órbita puede ser cerrada (en particular eso ocurre si F ~ − r −2 ). Si V (r ) es repulsivo la órbita es siempre ilimitada. Movimiento planetario Consideremos el movimiento de un planeta alrededor del Sol, o de un satélite alrededor de su primario. La fuerza en este caso proviene de la interacción gravitatoria. Como veremos en el Capítulo 9, dos cuerpos de masas M y m se atraen con una fuerza central cuyo módulo vale

F=G

mM r2

(7.30)

donde G ≅ 6.67 × 10 −11 Nm 2 / kg 2 es la constante universal de la gravitación. Supongamos que M (masa del Sol) >> m (masa del planeta)3. En este caso podemos imaginar que el Sol está fijo y es el centro de la fuerza que actúa sobre el planeta4. La energía potencial gravitatoria es

V (r ) = − G

mM r

(7.31)

donde hemos elegido V0 de modo que V (r ) → 0 para r → ∞ . Entonces U (r ) = − G

3

4

mM L2 + r 2 mr 2

(7.32)

La masa del Sol es de 1.9891× 1030 kg y la masa de la Tierra es de 5.9742 × 1024 kg, luego M/m = 3.329 × 105. En el Capítulo 8 veremos las correcciones que se originan al tomar en cuenta el movimiento del Sol.

209

7. Momento angular Órbita circular Si el planeta se mueve en una órbita circular vr = 0 , vθ = v y la fuerza centrípeta es la fuerza de atracción gravitatoria, por lo tanto m

v2 mM =G 2 r r

(7.33)

2π r = cte. T

(7.34)

Por otra parte L es constante, luego

v=

donde T es el período de revolución. Reemplazando en (7.33) resulta 4π 2 r GM = 2 T2 r

(7.35)

4π 2 3 r MG

(7.36)

De (7.35) obtenemos T2 =

Por lo tanto el cuadrado del período es proporcional al cubo del radio de la órbita. Este resultado es la expresión de la Tercera Ley de Kepler para órbitas circulares. Integración de la ecuación radial: la Primera Ley de Kepler En general la órbita no es circular. Para determinar su forma partimos de la ecuación de la energía para el movimiento radial E = 12 mvr2 +

L2 C − 2 r 2 mr

, C = GmM

(7.37)

Ahora vθ = r ω y L = m r 2ω , de modo que dr dθ dr dr L = ω= dθ dt dθ dθ m r 2

(7.38)

2 L2  1 dr  2 1  C L2  d  1   1  C + + − =  −  2  r 2  r 2 m  dθ  r   r 2  r 2 m  r dθ 

(7.39)

vr = Sustituyendo en (7.37) obtenemos

E=

Si ahora hacemos la sustitución z = 1/ r en (7.39) resulta E=

 L2  dz  2 2   + z  − Cz 2 m  dθ 

que podemos escribir en la forma

210

(7.40)

7. Momento angular

2 mE m 2 C 2  dz  2  mC  2 + = z + −   dθ  L2 L4 L2 

(7.41)

Hagamos ahora el cambio

ζ =z−

mC 1 mC = − 2 L2 r L

, A2 =

2 mE m 2 C 2 + L2 L4

(7.42)

La ecuación de la órbita queda entonces de la forma 2

 dζ    + ζ 2 = A2  dθ 

(7.43)

La solución de esta ecuación es ζ = Acosθ de donde obtenemos

1 mC = A cosθ + 2 r L

(7.44)

Esta es la ecuación polar de las cónicas. La podemos escribir de la forma equivalente

r=

q 1 + e cosθ

, q=

L2 mC

, e=

AL2 E = 1 + 2q mC C

(7.45)

la cantidad e se denomina excentricidad y de acuerdo con su valor se pueden dar los casos que figuran en la Tabla 7.1. Las órbitas de los planetas son elipses (de semiejes mayor y menor a y b, respectivamente, siempre de muy baja excentricidad con la excepción de Marte y de Plutón) y el Sol ocupa uno de los focos ( F1 en la Fig. 7.12). Este resultado es la Primera Ley de Kepler. Las distancias mínima rp y máxima ra del planeta al Sol se denominan perihelio y afelio y sus valores son:

rp =

q q = a(1 − e ) , ra = = a(1 + e ) 1+ e 1− e

(7.46)

Tabla 7.1. Tipos de órbitas Órbita

Semiejes o distancia focal

Energía

e=0

circular

a=b=q

E = −C / 2q

0 < e 1

hiperbólica

f = q /(1 + e )

E>0

211

7. Momento angular

a

b P

F2

F1 ae

A

a(1+e)

a(1–e)

Fig. 7.12. Órbita elíptica. El sol ocupa el foco F1 . La figura corresponde a e = 0.5 . La Tercera Ley de Kepler El área de la elipse es S = π a b . Por otra parte, por la segunda Ley de Kepler

L T 2m

(7.47)

2m 2 π a 1 − e2 L

(7.48)

S= Luego

T= Pero

L = m Cp = m Ca(1 − e 2 )

(7.49)

e introduciendo esta expresión en (7.48) obtenemos

T 2 = 4π 2

m 3 a , C = GmM C

(7.50)

de modo que T2 =

4π 2 3 a GM

(7.51)

Este resultado es la Tercera Ley de Kepler: el cuadrado del período de la órbita es proporcional al cubo del semieje mayor.

212

7. Momento angular Comentarios Hemos visto que la existencia de las constantes de movimiento L y E simplifica el problema del movimiento bajo la acción de una fuerza central. Esto se debe a que todo campo de fuerza central tiene simetría de rotación y es conservativo. La conservación de L tiene dos consecuencias. La primera es que el movimiento tiene lugar en un plano que pasa por el centro de la fuerza y cuya orientación es ortogonal a L y por lo tanto está determinado por las condiciones iniciales. Gracias a esto el problema se reduce al de un movimiento en dos dimensiones en el plano de la órbita. La segunda es que se cumple la ley de las áreas (7.17). Esto implica que la velocidad angular del móvil alrededor del centro de fuerza está dada por

dθ L = dt mr 2

, L = cte.

(7.52)

donde L depende de las condiciones iniciales. La conservación de la energía mecánica junto con la conservación de L implica que el movimiento radial cumple dr 2 L2 =± [ E − U (r )] , U (r ) = V (r ) + dt m 2 mr 2

(7.53)

De resultas de esto el problema de resolver las ecuaciones de Newton r˙˙ = −∇V (r ) / m , que son un sistema de tres ecuaciones del segundo orden en el tiempo, queda reducido al de integrar las dos ecuaciones del primer orden en el tiempo (7.52) y (7.53). Esto se puede lograr en dos pasos. El primero consiste en resolver la (7.53), donde no figura θ. Para esto la escribimos en la forma

dt = ±

dr 2 [ E − U (r )] m

(7.54)

que se integra formalmente para obtener r

⌠ t ( r ) = t0 ±   ⌡r0

dr ′ 2 [ E − U (r ′)] m

(7.55)

Aquí se debe tomar en cuenta que si al avanzar el tiempo r crece se debe tomar el signo +, mientras que si r decrece se debe tomar el signo –. Así partiendo del instante inicial t0 en el que el móvil está a la distancia r0 del centro, para cada par de valores de E y L se obtiene la función t (r ) . Invirtiendo esta función obtenemos r (t ) . Conociendo r (t ) podemos dar el segundo paso que consiste en integrar la (7.52) para obtener t

L θ (t ) = θ 0 + ⌠ dt ′  ⌡t0 mr (t ′)2

(7.56)

con lo que queda resuelto el problema. Por lo tanto para obtener la solución basta con calcular las dos cuadraturas (7.55) y (7.56). 213

7. Momento angular Como alternativa podemos obtener directamente la relación r(θ ) que da la forma de la órbita. Para esto basta dividir la (7.53) por la (7.52) para eliminar t. dr mr 2 =± dθ L

2 [ E − U (r )] m

(7.57)

de donde resulta r

⌠ θ (r ) = θ 0 ±   mr ′ 2 ⌡r0 L

dr ′ 2 [ E − U (r ′)] m

(7.58)

que finalmente nos da r(θ ) por inversión. Se puede observar que la órbita es simétrica respecto del punto donde dr / dθ cambia de signo, esto es de los puntos donde r alcanza un valor extremo. El punto de máximo acercamiento al centro se llama periapsis (perihelio cuando el centro es el Sol, perigeo cuando es la Tierra) y el de máximo alejamiento (cuando hay uno a distancia finita) se llama apoapsis (afelio en el caso del Sol, apogeo para la Tierra). Sin perjuicio de lo anterior se debe notar que solamente cuando V (r ) ~ 1 / r se pueden obtener expresiones cerradas para t (r ) y r(θ ) . En los demás casos el programa esbozado anteriormente no se puede llevar a cabo por vía analítica. En la práctica si se quiere obtener la forma de órbitas como la que se muestra en la Fig. 7.11 lo más sencillo es integrar numéricamente las ecuaciones de Newton en el plano de la órbita.

214