7 SEMEJANZA Y TRIGONOMETRÍA

PA R A

1

E M P E Z A R

¿Indica razonadamente la medida de los ángulos Cˆ, Dˆ, Eˆ y Fˆ de la figura. Como los ángulos de un triángulo suman 180, tenemos que: B 60º

^ E ^ D

^ F

A

Cˆ  180  (Aˆ  Bˆ )  180  110  70 Como los ángulos opuestos por el vértice son iguales, se verifica que:

50º

Fˆ  Aˆ  50 C

Como los ángulos de lados paralelos son iguales, se cumple que: Dˆ  Bˆ  60 y Eˆ  Cˆ  70

2

3

Utiliza la calculadora para hallar la medida en grados, minutos y segundos de cada uno de los ángulos que resultan al dividir un círculo en: a) 7 partes iguales

b) 13 partes iguales

a) 360 : 7  51 25 43

b) 360 : 13  27 41 32

En un triángulo rectángulo isósceles, la hipotenusa mide 10 centímetros. Calcula la medida de los catetos y de los ángulos agudos. Para obtener la medida de los catetos aplicamos el teorema de Pitágoras:

B

102  x2  x2 ⇒ 100  2x2

10 cm

x A

4

x

⇒ x

Los dos ángulos agudos de un triángulo isósceles son iguales, para obtener su medida utilizamos el hecho de que la suma de los ángulos de un triángulo es igual a 180.

C

180  Aˆ 180  90 Cˆ  Bˆ      45 2 2

La maqueta de LEGO del estadio Allianz Arena está construida a escala 1 : 50, es decir, un metro de la maqueta equivale a 50 metros del estadio real. Observa las dimensiones reales y calcula cuánto mide el de la maqueta. Largo del terreno de juego en la maqueta: 105 : 50  2,1 m Ancho del terreno de juego en la maqueta: 68 : 50  1,36 m

68 m

105 m

4

  7,07 cm 50

Teorema de Tales PA R A

P R A C T I C A R

Ejercicio resuelto 7.1 Divide un segmento de 6,4 centímetros de longitud en tres partes iguales.

C3 C2 C1

A

D1

B

D2 6,4 cm

Sean A y B los extremos del segmento que se desea dividir. Desde el extremo A se traza una semirrecta auxiliar sobre la que se llevan tres segmentos de la misma longitud y que tienen por extremos C1, C2 y C3. Se une C3 con B y se trazan paralelas al segmento BC3 por C2 y C1, que cortan el segmento AB en D2 y D1. El teorema de Tales asegura que los segmentos AD1, D1D2 y D2B son iguales.

7.2 Divide un segmento de 10 centímetros de longitud en siete partes iguales. C7 C6 C5 C4 C3 C2 C1 A

D1

D2

D3

D4

D5

B

D6

10 cm

Sean A y B los extremos del segmento que se desea dividir. Desde el extremo A se traza una semirrecta auxiliar sobre la que se llevan siete segmentos de la misma longitud y que tienen por extremos C1, C2 , C3, C4, C5, C6 y C7. Se une C7 con B y se trazan paralelas al segmento BC7 por C6, C5, C4 , C3, C2 y C1, que cortan el segmento AB en D6, D5, D4 , D3, D2 y D1, respectivamente. El teorema de Tales asegura que los segmentos AD1, D1D2, D2D3, D3D4, D4D5, D5D6 y D6B son iguales.

7.3 Divide un segmento de 6 centímetros de longitud en nueve partes iguales. Si se procede de un modo similar al de las dos actividades anteriores obtenemos:

C1 A

D1

C3

C2 D2

D3

C4

D4 D5 6 cm

C5

D6

C7

C6

D7

C8

D8

C9

B

5

7.4 a) Dibuja un triángulo ABC cuyos lados midan 9, 12 y 15 centímetros, respectivamente. 1 b) Con ayuda del teorema de Tales, construye dos triángulos semejantes a ABC de razón 2 y . 4 a) Con ayuda de la regla graduada y el compás trazamos el triángulo ABC pedido. 1)

2) A 0 1 2 3 4

5 6 7 8 9

B

C

0 1 2 3 4

5 6 7 8 9 10 11 12

A 0 1 2 3 4

3)

B

C

A

4)

B

0 1 2 3 4

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

5)

C

A 0 1 2 3 4

5 6 7 8 9

6)

B

B 12 cm

9 cm B 0 1 2 3 4

A

C

C

0 1 2 3 4

5 6 7 8 9 10 11 12

A

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

C

15 cm

b) Para construir el triángulo AMN semejante a ABC de razón 2, prolongamos dos de los lados del triángulo ABC y con un compás llevamos sobre ellos la medida de los lados.

M

M

2)

24

18

cm

1)

B

A

C

A

N

cm

B

C 30 cm

N

1 Para construir el triángulo APQ semejante a ABC de razón  nos ayudamos de una recta auxiliar sobre la que llevamos cuatro 4 segmentos iguales. Procediendo de un modo similar al de la actividad 7.1, dividimos el lado AB en cuatro partes iguales, de este modo obtenemos el vértice P. Para obtener el tercer vértice trazamos por P una paralela al lado BC, el punto de corte con AC nos proporciona el vértice Q.

B

P A

6

Q C1 C2

C C3

C4

Ejercicio resuelto 7.5 Divide un segmento de 5 centímetros de longitud en tres partes proporcionales a 1, 2 y 3. A''' 3 cm A'' 2 cm A' 1 cm A

M

B

N 5 cm

Sea AB un segmento de 5 centímetros de longitud. Desde el extremo A se traza una semirrecta auxiliar sobre la que se llevan los segmentos AA, AA y AA, de longitudes 1, 2 y 3 centímetros, respectivamente. Se une A con B y se trazan paralelas a este segmento por los puntos A y A, que cortan el segmento AB en M y N, respectivamente. El teorema de Tales asegura que AM, MN y NB son proporcionales a 1, 2 y 3.

7.6 Divide un segmento de 13 centímetros de longitud en tres partes proporcionales a 2, 3 y 5. A’’’ 5 cm A’’ 3 cm A’

2 cm A

M

B

N 13 cm

Sea AB un segmento de 13 centímetros de longitud. Desde el extremo A se traza una semirrecta auxiliar sobre la que se llevan los segmentos AA, AA y AA, de longitudes 2, 3 y 5 centímetros, respectivamente. Se une A con B y se trazan paralelas a este segmento por los puntos A y A, que cortan el segmento AB en M y N, respectivamente. El teorema de Tales asegura que AM, MN y NB son proporcionales a 2, 3 y 5.

1 7.7 Divide un segmento de 7 centímetros de longitud en tres partes proporcionales a , 2 y 3. 2 A’’’ 6 cm A’’ 4 cm 1 cm A’ A

M

N 7 cm

B

Esta actividad es equivalente a dividir un segmento en tres partes proporcionales a 1, 4 y 6. Por tanto, trazamos AB, un segmento de 7 centímetros de longitud, y procedemos de un modo análogo al de las dos actividades anteriores. 7

PA R A

A P L I C A R

7.8 a) Dos cuadriláteros son semejantes con razón de semejanza 3. ¿Qué razón de proporcionalidad hay entre sus perímetros? Sean a, b, c, d y a, b, c, d los lados de los dos cuadriláteros. Por ser semejantes con razón de semejanza 3, se cumple que: a b c d         3 ⇒ a  3a a b c d

b  3b

c  3c

d  3d

De este modo comprobamos que la razón entre sus perímetros también es 3: 3(a  b  c  d) 3a  3b  3c  3d abcd       3 a  b  c  d a  b  c  d a  b  c  d

b)

Generaliza el resultado anterior para dos polígonos semejantes con razón de semejanza k. Del mismo modo que en el apartado anterior, se comprueba que si dos polígonos son semejantes con razón de semejanza k, la razón de proporcionalidad entre sus perímetros es también k.

7.9 Las medidas de los lados de un rectángulo son 3 y 5 centímetros. Calcula los lados de otro rectángulo semejante al anterior que tenga 40 centímetros de perímetro. 40 El perímetro del rectángulo dado es de 16 cm. La razón de semejanza entre las figuras será   2,5. 16 De este modo, los lados del rectángulo serán 3 2,5  7,5 cm y 5 2,5  12,5 cm, respectivamente.

7.10 La figura muestra las escaleras mecánicas de un centro comercial. Calcula la distancia x que se indica.

2.ª PLANTA

x 20  8    10 20

1.ª PLANTA

10 12 ⇒ x    6 m 20

x SÓTANO

10 m 7.11 Calcula el valor de las letras en las siguientes figuras. b)

5

x 2m 5m

Aplicando en ambos casos el teorema de Tales tenemos que: 2 x 2 4 a)    ⇒ x    1,6 m 5 4 5 2 x x b)      5 y 6x

⇒

12  2x  5x

y6x

12 12 42  12 30 Así: x   m y  6       m 7 7 7 7 8

x 6m

4m

m

2

m

a)

y

20 m 8 m

Aplicando el teorema de Tales tenemos que:

7.12 En la figura se muestran dos cuadrados de 2 y 5 centímetros de lados, respectivamente. Calcula el área de la región sombreada.

5 cm

Aplicando el teorema de Tales tenemos que la longitud x de la figura viene dada por:

5 cm

2 cm

x 2 10    ⇒ x    1,43 cm 5 7 7 10  2 7 10 El área pedida es    cm2 2 7

x

Criterios de semejanza de triángulos PA R A

P R A C T I C A R

Ejercicio resuelto 7.13 Calcula la medida de los lados AC y EF para que los triángulos ABC y DEF sean semejantes. E B 7 cm 5 cm A

3,4 cm C

D

4,2 cm

F

Por el tercer criterio de semejanza, los dos triángulos serán semejantes si tienen los tres lados proporcionales. Como AB y DE DE 7 son lados homólogos, calculamos la razón de semejanza de los triángulos     1,4. AB 5 4,2 EF Por tanto,   1,4 y   1,4 AC 3,4 4,2 Así, AC    3 cm y EF  1,4 3,4  4,76 cm 1,4

7.14 Calcula el valor de los lados desconocidos para que las siguientes parejas de triángulos sean semejantes. a) 3, 4, 6

5, x, y

b) x, 5, 3

10, 10, y

c) 4, x, 12

y, 3x, z

5     a) La razón de semejanza es   1,6 , por lo que x  4 1,6  6,6 e y  6 1,6  10. 3 10 b) La razón de semejanza es   2, por lo que 2x  10 5

⇒ x  5 e y  3 2  6.

3x c) La razón de semejanza es , por lo que y  4 3  12 y z  4 12  48. x El valor de x puede ser cualquiera siempre que se pueda formar un triángulo con dichas longitudes, es decir, 8 x 16.

9

7.15 En los siguientes casos se conocen las medidas de dos ángulos de cada uno de los dos triángulos. Indica cuáles son semejantes y cuáles no. a) 50, 40

40, 90

b) 25, 30

30, 135

c) 50, 50

50, 80

d) 50, 60

60, 70

a) Como la suma de los ángulos de un triángulo es 180, los ángulos del primer triángulo son 50, 40 y 90, mientras que los del segundo serán 40, 90 y 50. Como los triángulos tienen los mismos ángulos, aplicando el primer criterio de semejanza tenemos que son semejantes. b) El ángulo desconocido del primer triángulo mide 125. Como no coinciden dos ángulos con el otro triángulo, no son semejantes. c) El ángulo desconocido del primer triángulo mide 80. Como coinciden dos ángulos con el otro triángulo, el primer criterio de semejanza nos permite asegurar que los triángulos son semejantes. d) El ángulo desconocido del primer triángulo mide 70. Como coinciden dos ángulos con el otro triángulo, son semejantes.

7.16 Utiliza los criterios de semejanza de triángulos para explicar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. a) Todos los triángulos equiláteros son semejantes. b) Todos los triángulos rectángulos son semejantes. c) Si dos triángulos isósceles tienen el mismo ángulo desigual, entonces son semejantes. a) Verdadera. Los triángulos equiláteros tienen los tres lados correspondientes proporcionales; por tanto, el tercer criterio de semejanza nos permite asegurar que son semejantes. b) Falsa. c) Verdadera. Los triángulos isósceles tienen dos pares de lados proporcionales; si además tienen el mismo ángulo desigual, entonces el segundo criterio de semejanza nos permite asegurar que son semejantes.

PA R A

A P L I C A R

Problema resuelto 7.17 Si un edificio de 100 metros de altura proyecta una sombra de 24 metros, ¿qué altura tendrá otro edificio que en ese mismo instante deje una sombra de 15 metros?

Como en un mismo instante la inclinación de los rayos solares es la misma, los triángulos de la figura tienen dos ángulos iguales. Así, por el primer criterio de semejanza, los dos triángulos son semejantes. Por tanto, los lados han de ser proporcionales: 100 24 1500    ⇒ h    62,5 h 15 24 El edificio mide 62,5 metros de altura.

10

7.18 En un instante determinado, una persona de 1,72 metros de altura proyecta una sombra de 0,23 metros. En ese mismo momento, la sombra de un árbol es de 1,34 metros. ¿Qué altura tiene este?

h 1,72 m

0,23 m

1,34 m

Los triángulos que se forman son semejantes, ya que ambos son rectángulos y la inclinación de los rayos solares es la misma si la medición se realiza en el mismo instante. En consecuencia, los lados han de ser proporcionales y tendremos que: 1,72 0,23 1,72 1,34    ⇒ h    10,02 m h 1,34 0,23

7.19 Utiliza los criterios de semejanza de triángulos para calcular la anchura del río de la figura.

h 30 m

6m

1,5 m

Los triángulos de la figura son rectángulos y además tienen dos ángulos opuestos por el vértice; por tanto, tienen dos ángulos correspondientes iguales. El primer criterio de semejanza nos permite asegurar que los triángulos son semejantes. 30 h Aplicando el teorema de Tales tenemos que:    2 1,5 6  1,5 2 

⇒ h  7,75 m

7.20 Dibuja un triángulo rectángulo ABC. Traza el triángulo MNP que se obtiene al unir los puntos medios de los lados del triángulo ABC. ¿Qué criterio de semejanza aplicarías para probar que los dos triángulos son semejantes? B

N

A

M

P

C

Las siguientes parejas de lados son paralelos: AC y NP

AB y MP

CB y MN

Por ser ángulos de lados paralelos tenemos las siguientes igualdades de ángulos: Nˆ  Cˆ, Mˆ  Bˆ y Pˆ  Aˆ. El primer criterio de semejanza de triángulos nos asegura que los dos triángulos son semejantes.

11

7.21 Las carreteras que unen tres pueblos A, B y C forman un triángulo rectángulo en B tal y como indica la figura. Los tres pueblos comparten un gran centro cultural situado en el punto P, que es la base de la altura sobre la hipotenusa. Para mejorar las comunicaciones se construye una carretera circular que pasa por B, C y P. Calcula el radio de esa carretera.

B O

53 km A

P

C

28 km

Como el triángulo PBC es rectángulo en P, la hipotenusa BC es el diámetro de la circunferencia circunscrita a dicho triángulo. El 1 radio de dicha circunferencia será r  BC. 2 Los triángulos PBC y PBA tienen ambos un ángulo recto y dos ángulos de lados perpendiculares; por tanto, tienen dos ángulos correspondientes iguales. El primer criterio de semejanza nos asegura que son triángulos semejantes. BC PB Así tenemos que:   . AB PA 1 1 PB AB 532  2 82 53 45 53  Por tanto, r  BC         42,59 km. 2 2 PA 2 28 56

Razones trigonométricas de un ángulo agudo Ejercicio resuelto 7.22 a) Comprueba que los triángulos ABC y ABC son semejantes. b) Calcula las razones trigonométricas de los ángulos Bˆ y Bˆ .

B

c) Trata de explicar los resultados obtenidos. B’

a) Comprobamos que verifican el tercer criterio de semejanza.

9 cm

6 9 10,82       1,5 ⇒ ABC y ABC son semejantes. 4 6 7,21 cateto opuesto 6 b) sen Bˆ      0,55; hipotenusa 10,82

4 sen Bˆ    0,55 7,21

cateto contiguo 9 cos Bˆ      0,83; hipotenusa 10,82

6 cos Bˆ    0,83 7,21

cateto opuesto 6 tg Bˆ      0,67; cateto contiguo 9

4 tg Bˆ    0,67 6

A

10,82 cm 6 cm 6 cm

C

7,21 cm

A’ 4 cm C’

c) En los triángulos semejantes, los lados homólogos son proporcionales. Por tanto, las razones trigonométricas son iguales en todos los triángulos rectángulos semejantes.

PA R A

P R A C T I C A R

Ejercicio resuelto 7.23 Con ayuda de la calculadora, halla el valor de x en los siguientes casos. a) sen 40  x

b) cos 55  x

a) x  40 SEN  0,6428 b) x  55 COS  0,5736 c) x  0,5469 COS–1  56,8454 d) x  0,6494 TAN–1  33 12

 56 51

c) cos x  0,5469

d) tg x  0,6494

7.24 Utilizando la calculadora, halla el valor de las siguientes razones trigonométricas. a) sen 74

c) tg 20

e) tg 13

b) cos 65

d) cos 59

f) sen 35

a) sen 74  0,9613

c) tg 20  0,364

e) tg 13  0,2309

b) cos 65  0,4226

d) cos 59  0,515

f) sen 35  0,5736

7.25 Con ayuda de la calculadora, halla la medida de los ángulos cuyas razones trigonométricas son las siguientes: a) sen Aˆ = 0,5

d) sen Dˆ = 0,7771

b) cos Bˆ = 0,5

e) cos Eˆ = 0,97437

c) tg Cˆ = 1

f) tg Fˆ = 5,14455

a) Aˆ  0,5 SEN–1  30

d) Dˆ  0,7771 SEN–1  51

b) Bˆ  0,5 COS–1  60

e) Eˆ  0,97437 COS–1  13

c) Cˆ  1 TAN–1  45

f) Fˆ  5,14455 TAN–1  79

Ejercicio resuelto 7.26 Calcula la medida del ángulo Bˆ. La razón trigonométrica que relaciona Bˆ con los datos de la figura es el coseno.

C

8 cos Bˆ    0,666 12

12 cm

Bˆ  0,666 COS–1  48,189

 48 11 23 B

8 cm

A

7.27 Calcula las razones trigonométricas de los ángulos agudos de los triángulos rectángulos de la figura. a)

b)

B 13 cm

B 3 cm A 4 cm C

A

12 cm

C

a) Aplicamos el teorema de Pitágoras para hallar la hipotenusa: BC 

32  42  5 cm. 

Las razones trigonométricas de los ángulos Bˆ y Cˆ son: 4 sen Bˆ    0,8; 5

3 cos Bˆ    0,6; 5

4 tg Bˆ    1,3 3

3 sen Cˆ    0,6; 5

4 cos Cˆ    0,8; 5

3 tg Cˆ    0,75 4

13

b) Aplicamos el teorema de Pitágoras para hallar el cateto desconocido: AB 

2  12  2  5 cm. 13

Las razones trigonométricas de los ángulos Bˆ y Cˆ son: 12 sen Bˆ    0,9231; 13

5 cos Bˆ    0,3846; 13

12 tg Bˆ    2,4 5

5 sen Cˆ    0,3846; 13

12 cos Cˆ    0,9231; 13

5 tg Cˆ    4,16v 12

7.28 Calcula la medida de los ángulos agudos de los triángulos rectángulos de la actividad anterior. 4 a) sen Bˆ    0,8 ⇒ Bˆ  0,8 SEN–1  53,13 5

 53 07 48

4 cos Cˆ    0,8 ⇒ Cˆ  0,8 COS–1  36,87 5

 36 52 12

12 b) sen Bˆ    0,9231 ⇒ Bˆ  0,9231 SEN–1  67,38 13 12 cos Cˆ    0,9231 ⇒ Cˆ  0,9231 COS–1  22,62 13

PA R A

 67 23  22 36 59

P R A C T I C A R

Problema resuelto 7.29 Calcula la altura aproximada de la antena. La razón trigonométrica que relaciona el ángulo con los catetos es la tangente: cateto opuesto x tan 35      0,7002 cateto contiguo 20

x

x  20 0,7002  14,004

35°

La antena mide, aproximadamente, 14 metros.

20 m

7.30 Calcula la altura aproximada de los árboles de la figura. a)

b)

h 65° 8m h a) tg 65   8

10m h 25°

⇒ h  8 tg 65  17,16 m

h b) sen 25   ⇒ h  10 sen 25  4,23 m 10

14

7.31 Una ONG ha decidido construir un puente sobre un río para comunicar dos pueblos de las orillas. Calcula la longitud aproximada del puente con los datos de la figura.

50° 55 m

x Si llamamos x a la anchura del río, tenemos que: cos 50   ⇒ x  55 cos 50  35,35 m. 55

7.32 Con ayuda de la calculadora, halla el ángulo aproximado que forman los rayos solares con la superficie del suelo en el momento en que una estatua de 2 metros de altura proyecta una sombra de 4 metros. Representamos gráficamente la situación: La razón trigonométrica que relaciona el ángulo con los catetos es la tangente. 2 tg     0,5 4

2m α

Así tenemos que:

4m   0,5 TAN–1  26,57

 26 33 54

7.33 La siguiente señal de tráfico significa que por cada 100 metros que se avanza en la horizontal se sube un desnivel de 13 metros. Con ayuda de la calculadora, halla el ángulo que forma en ese momento la carretera con la horizontal.

A

100 m

B 13 m C

Representamos gráficamente la situación. La razón trigonométrica del ángulo Aˆ que relaciona los datos del enunciado 13 es el seno: sen Aˆ    0,13. 100 Utilizando la calculadora hallamos el ángulo: Aˆ  0,13 SEN–1  7,47

 7 28 10

Relaciones entre las razones trigonométricas Ejercicio resuelto 7.34 El seno de un ángulo agudo vale 0,32. Calcula el coseno y la tangente de ese mismo ángulo. Como  es un ángulo agudo y sen   0,32, por la primera relación fundamental: sen2   cos2   1 ⇒ 0,322  cos2   1 ⇒ cos  

⇒ cos2   1  0,1024  0,8976 ⇒

  0,9474 0,8976

0,32 sen  Por la segunda relación fundamental: tg       0,3378 0,9474 cos  15

PA R A

P R A C T I C A R

7.35 El coseno de un ángulo agudo vale 0,5. Calcula el seno y la tangente de ese mismo ángulo. Como  es un ángulo agudo y cos   0,5 por la primera relación fundamental: sen2   cos2   1 ⇒ sen2   0,52  1 ⇒ sen  

⇒ sen2   1  0,25  0,75 ⇒

  0,866 0,75

sen  0,866 Por la segunda relación fundamental: tg       1,732 cos  0,5

7.36 Calcula el seno y la tangente de un ángulo agudo sabiendo que su coseno tiene los siguientes valores. a) 0,127

b) 0,2588

c) 0,9135

a) Por la relación fundamental, el seno del ángulo valdrá

 (0,127) 2  0,992. 1

0,992 Su tangente valdrá tg   sen \cos     7,811. 0,127 b) Por la relación fundamental, el seno del ángulo valdrá

 (0,2588) 2  0,966. 1

0,966 Su tangente valdrá tg   sen \cos     3,73. 0,2588 c) Por la relación fundamental, el seno del ángulo valdrá

 (0,9135) 2  0,4068. 1

sen  0,4068 Su tangente valdrá tg       0,4453. cos  0,9135

Ejercicio resuelto 5 7.37 El coseno de un ángulo agudo vale  Calcula el seno y la tangente de ese mismo ángulo. 3. Por la relación fundamental tenemos que: sen2   cos2   1 ⇒ sen   Así: sen  

    5 1   3

2



5 1    9

Por la segunda relación fundamental: 2  3 sen  2  tg     5   cos  5  3

16

1  co s2   4 2    9 3

7.38 Calcula el coseno y la tangente de un ángulo agudo sabiendo que su seno tiene los siguientes valores. 1 a)  6

7 c)  5

3 b)  4

3 d)  2

Da los resultados en forma de expresiones radicales. a) Por la primera relación fundamental tenemos que: cos  

1      .    1 3356 635 3 6 1 1   6

2

Obtenemos ahora el valor de la tangente realizando el cociente del seno entre el coseno. 1  6 1 sen  tg      35     cos  35    6

b) Por la primera relación fundamental tenemos que: cos  

9          1 176 47 1 6 3 1   4

2

Obtenemos ahora el valor de la tangente realizando el cociente del seno entre el coseno. 3  4 sen  3 tg      7     cos   7 4

c) Por la primera relación fundamental tenemos que: cos  

7      . 1285 35 2 2 5    1

7 1   5

2

Obtenemos ahora el valor de la tangente realizando el cociente del seno entre el coseno.

7  5 sen  7 tg        32 32 cos   5 d) Por la primera relación fundamental tenemos que: cos  

    3 1   2

2



3 1    4

1 1   . 4 2

Obtenemos ahora el valor de la tangente realizando el cociente del seno entre el coseno.

3  2 sen  tg       cos  1  2

3

17

7.39 Dibuja un triángulo rectángulo ABC sabiendo que tg Bˆ  2. cateto opuesto Como tg Bˆ    AC\AB  2 cateto contiguo

⇒ AC  2AB

B

Cualquier triángulo rectángulo que verifique esta relación cumplirá lo pedido. 3 cm

Así, si, por ejemplo, AB  3 cm, entonces, tomando AC  6 cm, tendremos que tg Bˆ  2. A

C

6 cm

7.40 Sabiendo que tg 35  0,7, dibuja el ángulo a 5 35 sin ayuda de transportador, pero utilizando la de7 finición de tangente y teniendo en cuenta que 0,7  . 10 Si dibujamos un triángulo rectángulo ABC, rectángulo en Aˆ, tal que tg Bˆ  0,7, entonces será Bˆ  35. Como:

C

AC 3,5 cateto opuesto 7 tg 35      0,7     AB 5 cateto contiguo 10 3,5 cm

bastará con que AC  3,5 cm y AB  5 cm. Con la escuadra y el cartabón trazamos el triángulo pedido y comprobamos luego con el transportador de ángulos que efectivamente Bˆ  35.

B

35 5 cm

A

1 7.41 Si tg   , dibuja un triángulo rectángulo que cumpla esta condición y calcula las medidas de los lados. 2 A partir de estos lados halla sen  y cos . cateto opuesto 1 Como tg      ⇒ cateto contiguo  2 cateto opuesto cateto contiguo 2 Cualquier triángulo rectángulo que verifique esta relación cumplirá lo pedido. Así, si, por ejemplo:

3 cm

α 6 cm

Aplicamos el teorema de Pitágoras para hallar la medida de la hipotenusa:

2  32  45   6,71 cm 6

Como el triángulo está dibujado con medidas reales, comprobamos que efectivamente la hipotenusa mide 6,71 cm. 3 6 cateto opuesto cateto contiguo Así: sen       0,447; cos       0,8942 6,71 6,71 hipotenusa hipotenusa

18

E J E R C I C I O

R E S U E LT O

7.42 Si  es un ángulo agudo y su tangente vale 2,73. ¿Cuánto valen las otras razones? sen  tg    cos 

⇒ sen   2,73 cos 

Se sustituye en la primera relación fundamental. (2,73 cos )2  cos2   1 ⇒ ⇒ 7,4529 cos2   cos2   1 ⇒ ⇒ 8,4529 cos2   1

⇒ cos  

1   0,344   8,4529

Se calcula el seno. sen   2,73 cos   2,73 0,344  0,939

7.43 Calcula el seno y el coseno de un ángulo agudo sabiendo que su tangente tiene los siguientes valores. a) 1,53 b) 6,45 c) 0,87 a) El coseno del ángulo valdrá: cos  

1   0,547.  (1,52)  1 2

Hallamos el seno: sen   tg  . cos   1,53 0,547  0,837.

b) El coseno del ángulo valdrá: cos  

1   0,1532.  (6,45)  1 2

Hallamos el seno: sen   tg  cos   6,45 0,1532  0,988.

c) El coseno del ángulo valdrá: cos  

1   0,7544.  (0,87)  1 2

Hallamos el seno: sen   tg  cos   0,87 0,7544  0,6563.

3 7.44 La tangente de un ángulo agudo vale . Calcula el seno y el coseno de ese mismo ángulo y expresa los 2 resultados mediante fracciones y radicales. El coseno del ángulo valdrá: cos  

1 1 1     .   1    9 13 3  13   1   2

2

2

4

4

2 3 3 El seno valdrá: sen   tg  cos       . 2  13  13

19

7.45 Dibuja un triángulo equilátero de lado x y traza su altura. Aplica el teorema de Pitágoras a uno de los triángulos rectángulos obtenidos y calcula las razones trigonométricas de los ángulos de 30 y 60. Comprueba los resultados con la calculadora. Con el teorema de Pitágoras expresamos la altura en función del lado. h

  x23 x x2   2

2

30 x

h

Calculamos las razones trigonométricas del ángulo de 60. x3  2 h 3 sen 60     x  2 x x  2 1 cos 60   x  2

x

60 x– 2

x3  2 h tg 60      3 x x   2 2 Calculamos las razones trigonométricas del ángulo de 30. x  2 1 sen 30   x  2

x3  2 h 3 cos 30     x  2 x

x x   2 2 1 tg 30       h x3 3  2

Comprobamos con la calculadora los resultados obtenidos.

3 sen 60  cos 30  0,866   2 tg 60  1,732 

1 cos 60  sen 30  0,5   2 1 tg 30  0,5774   3

3

7.46 Razona como en la actividad anterior sobre el triángulo de la figura para obtener las razones trigonométricas de un ángulo de 45. Comprueba los resultados con la calculadora.

B x 45º A

x

C

Con el teorema de Pitágoras expresamos la hipotenusa en función de los lados iguales del triángulo isósceles. BC 

2  x2  x2 x

Calculamos las razones trigonométricas del ángulo de 45. x x 1 sen 45  cos 45       BC x2 2

x tg 45    1 x

Comprobamos con la calculadora los resultados obtenidos. sen 45  cos 45  0,7071  20

1 2

tg 45  1

7.47 Con ayuda de la calculadora, halla los valores de las expresiones A y B. A  sen 45  sen 45 B  sen (45  45) Explica razonadamente si la siguiente fórmula es verdadera o falsa. 2sen   sen(2) Obtenemos el valor de las expresiones: 22 A  sen 45  sen 45   2 

2

B  sen (45  45)  sen (90)  1 Así, si tomamos como   45, tenemos que: A  sen 45  sen 45  2 sen 45 

2

B  sen (45  45)  sen (2 45)  1 Por lo que A B, lo que demuestra que la fórmula indicada es por lo general falsa.

7.48 Explica razonadamente si las siguientes fórmulas son verdaderas o falsas. a) sen   sen   sen (  ) b) cos   cos   cos (  ) Ambas son falsas. Basta con considerar, por ejemplo,   30 y  60. En este caso,    90 1 3 1  3 a) sen 30  sen 60       1  sen 90 2 2 2

3 1 3  1 b) cos 30  cos 60       0  cos 90 2 2 2

Matemáticas aplicadas PA R A

A P L I C A R

7.49 Construye un medidor de ángulos y utilízalo para calcular las siguientes alturas. a) La del edificio donde vives. b) La de la torre de alguna iglesia de tu ciudad. c) La del árbol más alto cercano a tu casa. Para resolver esta actividad se procede del mismo modo que en el ejemplo resuelto en la teoría. Los resultados de cada alumno dependerán de los datos tomados en cada caso particular.

21

Actividades finales PA R A

P R A C T I C A R

Y

A P L I C A R

7.50 Utiliza el teorema de Tales para dividir un segmento de 7 centímetros de longitud en 9 partes iguales.

C1 A

D1

D2

C5

C4

C3

C2

D3

C6

D4 D5 7 cm

D6

C9

C8

C7

D7

D8

B

Sean A y B los extremos del segmento que se desea dividir. Desde el extremo A se traza una semirrecta auxiliar sobre la que se llevan nueve segmentos de la misma longitud y que tienen por extremos C1, C2, C3, C4 C5, C6, C7, C8 y C9. Se une C9 con B y se trazan paralelas al segmento BC9 por los extremos restantes. Estas paralelas cortan el segmento AB en D8, D7, …, D3, D2 y D1, respectivamente. El teorema de Tales asegura que los segmentos AD1, D1D2, D2D3, D3D4, D4D5, D5D6, D6D7, D7D8 y D8B son iguales. 7.51 Explica razonadamente si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. a) Todos los triángulos isósceles son semejantes. b) Todos los cuadrados son semejantes. c) Todos los paralelogramos son semejantes. d) Todos los hexágonos regulares son semejantes. e) Todos los polígonos regulares son semejantes. f) Todas las circunferencias son semejantes. a) Falsa. Los triángulos isósceles tienen dos pares de lados proporcionales; para ser semejantes tienen que tener además el mismo ángulo desigual. b) Verdadera, ya que todos los cuadrados tienen los lados proporcionales y todos sus ángulos son iguales, ya que son todos rectos. c) Falsa. d) Verdadera, ya que todos los hexágonos regulares tienen los lados proporcionales y todos sus ángulos son iguales, ya que miden todos 120. e) Falsa. Un cuadrado y un triángulo equilátero son polígonos regulares y no son semejantes entre sí. Los polígonos regulares son semejantes entre sí si tienen el mismo número de lados. f) Verdadera. 7.52 Utiliza alguno de los criterios de semejanza para demostrar que las siguientes parejas de triángulos son semejantes. B

B

80º 40º

3,45 cm

5,8 cm

A

C

C

A

B'

B' 6,21 cm

80º

10,44 cm

40º A'

C'

A'

C'

a) Los triángulos tienen dos ángulos correspondientes iguales y, por tanto, por el primer criterio de semejanza de triángulos son semejantes. 6,21 10,44 b) Hallamos la razón entre los lados correspondientes:     1,8. 3,45 5,8 Los dos triángulos tienen dos pares de lados proporcionales (los catetos) y el ángulo comprendido igual (los dos triángulos son rectángulos); por tanto, el segundo criterio de semejanza de triángulos asegura que son semejantes. 22

7.53 En un póster realizado a escala 1:6, Pau Gasol mide 35,9 centímetros. ¿Cuántos metros mide en realidad? La altura en centímetros será 35,9 6  215,4 cm, por lo que la altura real de Pau Gasol es 2,15 m.

7.54 Los lados de un hexágono miden 2, 5, 6, 3, 4 y 3 centímetros, respectivamente. a) Calcula la medida de los lados de otro hexágono semejante al anterior cuyo lado menor mide 6 centímetros. b) ¿Cuál es la razón de semejanza entre los dos hexágonos? c) ¿Cuál es la razón entre los perímetros? 6 a) Si su lado menor mide 6 cm, la razón de semejanza será   3, por lo que las medidas de los lados serán 6, 15, 18, 9, 12 2 y 9 cm. b) La razón de semejanza es 3. c) La razón entre los perímetros coincide con la razón de semejanza, es decir, es 3.

7.55 Observa las medidas señaladas en la foto de las Torres KIO de Madrid.

80 m

130 m

150 m ¿Cuánto debería prolongarse cada una de las torres para que entre las dos formaran un triángulo? Si llamamos x a la medida pedida, aplicando el teorema de Tales tenemos que x 150    ⇒ 80x  150x  19500 ⇒ 278,57 m. 80 x  130

7.56 Los triángulos ABC y DEF verifican las siguientes condiciones. AB  5 DE

AC  5 DF

Aˆ  Dˆ

a) Utiliza alguno de los criterios de semejanza para demostrar que los dos triángulos son semejantes. b) Calcula la longitud del lado EF si el lado BC mide 15 centímetros. a) AB  5 DE AC  5 DF Aˆ  Dˆ Los dos triángulos tienen dos pares de lados proporcionales y el ángulo comprendido igual; por tanto, el segundo criterio de semejanza de triángulos asegura que son semejantes. b) La razón de semejanza entre los triángulos es 5, por lo que BC  5 EF

BC 15 ⇒ EF      3 cm. 5 5 23

7.57 Calcula la medida de los lados desconocidos de los siguientes triángulos rectángulos.

C

b

B

a 6 cm

70° A 5 cm B

c

20° b

C

A

5 5 a) cos 70   ⇒ a    14,62 cm a cos 70 b tg 70   5

⇒ b  5 tg 70  13,74 cm

c b) sen 20   ⇒ c  6 sen 20  2,05 cm 6 b cos 20   6

⇒ b  6 cos 20  5,64 cm

7.58 Calcula las razones trigonométricas de los ángulos agudos de los triángulos rectángulos de la figura. Con ayuda de la calculadora, obtén la medida de dichos ángulos.

B C

cm

A a) La hipotenusa mide a 

5 cm

21 cm

C

4

B

A

2  21  2  29 cm. 20

Las razones trigonométricas pedidas serán: 20 sen Cˆ  cos Bˆ    0,689 ⇒ Cˆ  0,689 SEN–1  4336 29 21 cos Cˆ  sen Bˆ    0,7241 ⇒ Bˆ  0,7241 SEN–1  4624 29 21 tg Bˆ    1,05; 20

20 tg Cˆ    0,95 21

1 20 21 20 sen Bˆ  cos Cˆ  ; cos Bˆ  sen Cˆ  ; tan Bˆ     ˆ 29 29 21 tan C b) El cateto desconocido lo calculamos utilizando el teorema de Pitágoras: c  Las razones trigonométricas pedidas serán: 1 sen Bˆ  cos Cˆ  4; cos Bˆ  sen Cˆ  3; tan Bˆ    4 tan Cˆ 5 5 3 Los ángulos desconocidos miden Bˆ  53,13 y Cˆ  36,87. 24

52  42  3 cm. 

28 . Calcula el coseno y la tangente de ese mismo ángulo. 7.59 El seno de un ángulo agudo vale   53 El coseno lo calcularemos aplicando la relación fundamental: cos   8. Su tangente valdrá 2 45

PA R A

   4553 . 8 1  2 53

2

R E F O R Z A R

7.60 Los lados de un triángulo ABC miden 5, 8 y 9 centímetros, respectivamente. El lado menor de otro triángulo semejante a ABC mide 12 centímetros. Halla la razón de semejanza y la medida de los otros dos lados. 2  2,4. La razón de semejanza será 1 5 Por tanto, los lados del triángulo medirán 5 2,4  12 cm, 8 2,4  19,2 cm y 9 2,4  21,6 cm.

7.61 ¿Qué altura tiene la estatua?

1,8 ⇒ x  8,52 m. Aplicando el teorema de Tales tenemos que x    2,13 0,45

7.62 Calcula la anchura de la carretera teniendo en cuenta las medidas que se indican en la figura.

h 5m 15 m

2m

5 ⇒ h  6 m. Aplicando el teorema de Tales tenemos que h  1 2 5

7.63 Las siguientes parejas de triángulos son semejantes. Calcula la razón de semejanza y los valores desconocidos. a) 5, 8, 10

15, x, y

b) x, 6, 16

2, 3, y

c) 4, x, 7

y, 5x, z

a) La razón de semejanza es 3, y, por tanto, x  24 e y  30. b) La razón de semejanza es 1, y, por tanto, x  4 e y  8. 2 c) La razón de semejanza es 5, y, por tanto, y  20 y z  35. El valor de x puede ser cualquiera siempre que se pueda formar un triangulo con dicho valor, es decir, 3 x 11.

25

7.64 En el momento del día en que los rayos solares tienen una inclinación de 45 grados, la sombra que proyecta un edificio mide 30 metros. Calcula la altura del edificio. La altura será h  30 tan 45  30 m.

7.65 Calcula el largo de esta cancha de baloncesto.

28° 15 Su anchura medirá   28,21 m. tan 28

PA R A

A M P L I A R

7.66 Calcula las dimensiones de un rectángulo cuya diagonal mide 10 centímetros, sabiendo que es semejante a otro rectángulo que tiene 4 centímetros de base y 3 centímetros de altura. La diagonal del segundo rectángulo mide

1 2

2  32  25   5 cm, con lo que la razón de semejanza será k  . 4

Las dimensiones pedidas son 8 cm la base y 6 cm la altura.

7.67 Las dimensiones de dos ortoedros son 6  8  18 y 21  28  63 centímetros, respectivamente. a) Explica razonadamente si los dos ortoedros son semejantes. b) Si dos figuras son semejantes con razón de semejanza k, la razón de sus áreas es k2 y la razón de sus volúmenes es k3. Comprueba que los ortoedros anteriores cumplen esta propiedad. a) Son semejantes, ya que todos los ángulos son rectos y los lados correspondientes son proporcionales con razón 1  28  63  3,5. k  2   6 8 18 b) Primero comprobamos que la razón de sus áreas es k2  3,52  12,25. 2 21 28  2. 28 63  2 21 63 7350  12,25     2 6 8  2. 8 18  2 6 18 600 Ahora comprobamos que la razón de sus volúmenes es k3  3,53  42,875. 21 28 63 37044     42,875 6 8 18 864 49 ? 7.68 ¿Cuál es la relación entre los radios de dos circunferencias si la razón de sus áreas es   9 9 , su razón de semejanza será Según lo visto en la actividad anterior, si la razón de sus áreas es 4 9 26

499  73.

7.69 Un polígono tiene un lado de 5 centímetros. Halla la longitud de su lado homólogo en un polígono semejante, sabiendo que sus áreas están en razón de 4 a 25. Si sus áreas están en razón de 4 a 25, su razón de semejanza será Por tanto, la razón entre los lados es 2  5 ⇒ x  12,5 cm. 5 x

245  25.

Su lado homólogo mide 12,5 cm de longitud.

7.70 Los volúmenes de dos esferas están en razón de 8 a 27. Si el radio de una de ellas mide 6 centímetros, ¿cuánto puede medir el radio de la otra? 8 Si la razón entre sus volúmenes es , su razón de semejanza será 27 2  6 ⇒ x  9 cm o bien 2  x ⇒ x  4 cm.     x 6 3 3

287  23, por lo que el radio pedido puede medir: 3

7.71 Las entradas de un partido de baloncesto se imprimen en forma de romboide, de forma que sus lados paralelos miden 3 y 5 centímetros, respectivamente. El ángulo agudo que forman dos de sus lados es tal que su tangente vale el doble que su seno. Calcula el área de las entradas. Calculemos el ángulo agudo del paralelogramo. Dicho ángulo verifica que tan   2sen  ⇒ sen \cos   2sen  ⇔

1   cos , con lo que   60. 2

33 , con lo que el área pedida será 5 33  153 cm2. La altura h del paralelogramo será h  3 sen 60      2 2 2

7.72 La base de la carpa de un circo tiene forma de octógono regular de 30 metros de lado. Calcula su área.

Se considera uno de los 8 triángulos isósceles que resultan al unir el centro del octógono con los vértices. El ángulo desigual de cada uno de ellos mide 360 : 8  45. Como los triángulos son isósceles, los ángulos de la base miden 67,5 cada uno. Se halla la medida de la altura h de uno de los triángulos isósceles. h tg 67,5   ⇒ h  15 tg 67,5  36,21 m 15 30 36,21  543,15 m2. La superficie de cada uno de los triángulos es:   2 Como la base de la carpa está formada por 8 triángulos iguales, la superficie total será de: 8 543,15 m2  4345,2 m2 27

PA R A

I N T E R P R E TA R

Y

R E S O LV E R

7.73 La torre inclinada

En el centro de una gran ciudad se ha construido una moderna torre. Los arquitectos la han diseñado con una inclinación inicial  de 5 grados como muestra la figura. Sin embargo, debido a ciertos fallos en el proyecto, la inclinación aumenta con el paso del tiempo, de forma que la vertical se separa del punto P 10 milímetros cada año. a) Calcula el tiempo que ha de pasar desde el año de la construcción para que la vertical sobrepase el centro de la base. b) ¿Cuánto medirá el ángulo  en ese momento? a) En principio, la separación de la vertical del punto P es de 60 sen a  60 sen 5  5,23 m. Para que esta separación llegue a la mitad del lado de la base, debe aumentar en 7,5  5,23  2,27 m  2270 mm. 2270  227 años para que la vertical sobrepase el centro de la base. Por tanto, han de pasar más de   10 b) En el momento en que la vertical alcance el centro de la base, la inclinación  será de: 7,5  0,125 ⇒   7 11 sen     60 7.74 Las agujas del reloj

a) En un reloj como el de la estación de trenes, ¿cuántos grados recorre la aguja de las horas cuando el minutero da una vuelta completa? b) El reloj de la estación marca las doce y cuarto, ¿qué ángulo forman las dos agujas? c) Las agujas del reloj de la estación miden 30 y 25 centímetros, respectivamente. Considera el triángulo que tiene los vértices en el centro del reloj y los extremos de las agujas. ¿Cuál será el área del triángulo dentro de una hora? B

a) Cuando el minutero gira 360, el horario gira 360 : 12  30. 30 b) Cuando el minutero gira 90 (360 : 4), el horario gira   7,5  7 30. 4 Por tanto, a las 12.15, las agujas formarán un ángulo de 90  7 30  82 30. c) Dentro de una hora serán las 13.15 y las agujas formarán un ángulo

25 cm 52,5º A

de 90  (30  7,5)  90  37,5  52,5. Se trata, pues, de hallar el área del triángulo ABC de la figura. Hallamos la altura del triángulo con ayuda de las razones trigonométricas del ángulo Aˆ  52,5. h sen 52,5   ⇒ h  25 sen 52,5  19,83 cm 25 28

h

30 cm

C

A U T O E VA L U A C I Ó N

7.A1 Divide un segmento de 17 centímetros de longitud en tres partes proporcionales a 2, 3 y 4 centímetros. A’’’ 4 cm A’’ 3 cm 2 cm

A’

A

M

B

N 17 cm

Sea AB un segmento de 17 centímetros de longitud. Desde el extremo A se traza una semirrecta auxiliar sobre la que se llevan los segmentos AA, AA y AA, de longitudes 2, 3 y 4 centímetros, respectivamente. Se une A con B y se trazan paralelas a este segmento por los puntos A y A, que cortan el segmento AB en M y N, respectivamente. El teorema de Tales asegura que AM, MN y NB son proporcionales a 2, 3 y 4. Podemos comprobar que los segmentos miden, respectivamente, 3,7; 5,6 y 7,5 cm.

7.A2 La espaldera del gimnasio del instituto tiene forma triangular, tal y como indica la figura.

Aplicando el teorema de Tales tenemos que la longitud MN es:

M

3 1,5    MN 2

A

⇒ MN  1 m

3m

Calcula la longitud del tramo MN.

2m

B

N 1,5 m

C

7.A3 Los perímetros de dos triángulos isósceles semejantes miden 12 y 18 centímetros, respectivamente, y el lado desigual del triángulo de mayor tamaño mide 9 centímetros. a) Calcula la razón de semejanza. b) Halla la medida de los lados desconocidos. a) Hallamos la razón de semejanza entre los perímetros para obtener la razón entre los lados de los triángulos. 8  1,54 k  1 12 b) En el triángulo mayor tenemos: x  x  9  18 ⇒ 2x  9

⇒ x  4,5 cm

Así, como los triángulos son semejantes con razón de dos tercios, tenemos: 4,5   1,5 y 9   1,5 z

4,5  3 cm ⇒ y  1,5 ⇒ z  9  6 cm 1,5

Por lo que los lados desconocidos miden 4,5 cm en el triángulo mayor, y en el triángulo menor, 3, 3 y 6 cm, respectivamente.

29

7.A4 Calcula la medida de los ángulos y los lados desconocidos del triángulo rectángulo de la figura.

C b

a

A

4m

25°

B

Cˆ  180  (90  25)  65 b tg 25   ⇒ b  4 tg 25  1,86 m 4 cos 25  4 ⇒ a  4  4,41 m a cos 25 7.A5 Explica razonadamente si las siguientes parejas de triángulos son semejantes. ¿Qué criterios de semejanza utilizas? B'

B'

B B

37º 69º

6,4 cm C'

A'

5,2 cm 8 cm A' 4 cm C'

74º

6,5 cm

37º A

A

C

5 cm

C

a) El ángulo desconocido del primer triángulo mide 180  (37  69)  74. Los triángulos tienen dos ángulos correspondientes iguales y, por tanto, por el primer criterio de semejanza de triángulos son semejantes. 6,5  1,25. b) Hallamos la razón entre los lados correspondientes: 8  5    6,4 4 5,2 Los tres lados correspondientes son proporcionales (k  1,25); por tanto, el tercer criterio nos asegura que los triángulos son semejantes. 7.A6 Con ayuda de la calculadora, obtén las razones trigonométricas del ángulo   72 40 55. sen   0,955

cos   0,298

tg   3,207

es el seno. sen   3  0,75 ⇒   0,75 SEN–1  48 35 25 4 Debe colocarse formando 48 35 25 con la horizontal.

4

La razón trigonométrica del ángulo alfa que relaciona el cateto opuesto con la hipotenusa

m

7.A7 Con ayuda de la calculadora, halla la medida aproximada del ángulo de inclinación con que debe colocarse una escalera de 4 metros para que alcance una altura de 3 metros. 3m α

7.A8 El coseno de un ángulo agudo vale 0,77. Calcula el seno y la tangente de ese mismo ángulo. Por la relación fundamental tenemos que: sen2   cos2   1 ⇒ sen   Así: sen  

1  co s2  

 (0,77) 2  0,4071  0,638 1

sen   0,638  0,828 Por la segunda relación fundamental: tg      cos  0,77 El seno vale 0,638, y la tangente, 0,828. 30

E N T R E T E N I D O

Las cuatro tarjetas Estas 4 tarjetas verdes son azules por el otro lado. El objetivo del juego es que queden las 4 de color azul, teniendo en cuenta que en cada movimiento debes obligatoriamente dar la vuelta a 3 tarjetas a la vez.

¿Cómo lo consigues? Hay distintos modos de lograr el objetivo, el que lo consigue con el menor número de movimientos necesita efectuar 4 pasos. POSICIÓN INICIAL

V

V

V

V

V

A

A

A

A

V

V

A

V

A

V

V

A

A

A

A

4 tarjetas verdes PRIMER MOVIMIENTO 1 tarjeta verde y 3 azules SEGUNDO MOVIMIENTO 2 tarjetas verdes y 2 azules TERCER MOVIMIENTO 3 tarjetas verdes y 1 azul CUARTO MOVIMIENTO 4 tarjetas azules

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