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Semejanza y Proporcionalidad

Semejanza y Proporcionalidad Clase # 15

Universidad Andr´ es Bello

Septiembre 2014

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Semejanza y Proporcionalidad

Teorema de Thales

Definici´on Si varias paralelas son cortadas por transversales, la raz´on entre las medidas de dos segmentos cualesquiera, cortados por una transversal, ser´a igual a la raz´ on de las medidas de los segmentos correspondientes de la otra, es decir, son proporcionales. ¿Qu´e cosa dijo? Esta definici´on si nos pilla volando bajo (sin haber estudiado), no la comprenderemos en lo absoluto. Veamos si en la gr´afica siguiente nos acercamos a esto.

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Teorema de Thales Teorema de Thales En la figura, al trazar el ´angulo ∠ T OS y dividir la recta OT , en tres segmentos marcados con los puntos P, Q y R, si se trazan paralelas que corten a OT y OS por lo puntos P, Q y R, se originan los puntos U, V, W .

Entonces OP PQ QR = = OU UV VW Universidad Andr´ es Bello

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Teorema de Thales Ejemplo En la figura, U P //QV //RW . S y T son transversales que se intersectan en O. Con las medidas se˜ naladas en la figura, calcule el valor de x.

Soluci´on 10 14 · 4 28 4 = →x= = = 5, 6 x 14 10 5 Universidad Andr´ es Bello

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Teorema de Thales Proporcionalidad en las Paralelas En la figura siguiente , BD//EC. L1 y L2 son transversales que se intersectan en A.

Entonces: Los trazos de las paraleleas son proporcionales BD AB = CE AC

BD AD = CE AE Universidad Andr´ es Bello

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Teorema de Thales Proporcionalidad en las Paralelas En la figura , L1//L2. Con las medidas se˜ naladas en la figura, calcule el valor de AD.

Soluci´on: Aplicando la proporcionalidad de trazos AD AD + 6 = → 8AD = 5AD + 30 → 3AD = 30 → AD = 10 5 8 Universidad Andr´ es Bello

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Teorema de Thales En la figura siguiente L1//L1. L3 y L4, son transversales que se intersectan en O.

OA : AB = OC : CD OA : OB = OC : OD AB : OB = CD : OD OA : AC = OB : BD OC : CA = OD : DB OA : OB = AC : BD = CO : DO

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Divisi´on de un trazo en una raz´on dada

Divisi´on Interior Dividir interiormente un trazo, es encontrar un punto P , de manera que los segmentos determinados por P est´en en una raz´on dada.

El punto P divide interiormente al trazo AB, en la raz´on x : y PA x = y PB

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Divisi´on de un trazo en una raz´on dada

Ejemplo: En la figura, AB = 24cm Calcule un punto que divida interiormente el trazo en la raz´on 3 : 5

Soluci´on: Se desea que: x 3 = y 5

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Divisi´on de un trazo en una raz´on dada

Componiendo la proporci´ on: x+y 3+5 = y 5 Desarrollando, ya que x + y = 24: 8 24 = y 5 24 · 5 = 15 8 y = 15cm

y=

x = 9cm Universidad Andr´ es Bello

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Ejercicios Ejercicio 1: En la figura, L1 y L2 son rectas paralelas intersectadas por las transversales L3 y L4, que a su vez se intersectan en P . Con los valores de la figura encuentre el valor de x.

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Ejercicios Soluci´on Ejercicio 1: De acuerdo a la figura, se trata de proporcionalidad de trazos, solucionable mediante el teorema de Thales. 5 x = 6 9 45 6 15 x= 2 x=

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Ejercicios Ejercicio 2: En la figura, L1 y L2 son rectas paralelas. Las transversales L3yL4 se intersectan en P . Con los valores dados en la figura, encuentre el valor de x

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Ejercicios Soluci´on Ejercicio 2: De acuerdo a la figura, se trata de proporcionalidad de trazos mediante el teorema de Thales. 5 6 = x 18 90 6 x = 15

x=

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Ejercicios

Ejercicio 3: En la figura, ABC es tri´angulo. Si DE es paralelo a BC , entonces, con los valores dados, la medida de x, es:

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Ejercicios Ejercicio 3: Como DE//BC , es aplicable el teorema de Thales: mediante el teorema de Thales. 2, 5 7, 5 = 2 x 15 x= 2, 5 x=6

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Adelanto

Pr´oxima Semana: Martes 30 de Septiembre, 17:30 Unidad de Geometr´ıa: CONGRUENCIA, SEMEJANZA Y PROPORCIONALIDAD EN ´ TRIANGULOS M´as Informaci´on y Ejercicios : www.preunab.cl

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