PROPORCIONES Y SEMEJANZA Veamos el siguiente ejemplo: Cuando tomamos una fotografía con nuestra cámara, si pedimos al laboratorio fotográfico que nos imprima dos copias de tamaño 5 X 7 pulgadas, las figuras observadas en estas fotos serán iguales y tendrán el mismo tamaño, esto es, son congruentes, pero si hubiéramos pedido una foto de 5 X 7 y otra de 10 X 14 pulgadas, las figuras que aparecerán en la foto serán iguales, pero tendrían diferente tamaño. Las figuras obtenidas en esta última pareja de fotos, son semejantes y guardan entre sí la misma relación que las medidas del papel en que fueron impresas, esto es:

En estas figuras, a = (1/2).a’ y b = (1/2).b’ o a’ = 2.a y b’ = 2.b Comparando las dimensiones de los lados correspondientes se tiene que (a/a’) = (b/b’) = ½

o

(a’/a) = (b’/b) = 2

Definición: Se dice que a, b, c y a’, b’, c’ son proporcionales si y sólo si:

a b c = = =k a ' b' c'

Al número real k, se le llama razón de proporcionalidad. A la comparación entre dos cantidades para saber cuantas veces contiene una a la otra se le denomina comparación geométrica o razón geométrica y a la igualdad de dos razones geométricas se le llama proporción.

A una expresión de la forma

se le denomina proporción continua si

a’ = b, es decir si los medios proporcionales son iguales. Dada la proporción

, a los términos a y b se les llama antecedentes y se

denomina consecuentes a los términos c y d. Como la proporción

, también se puede escribir así :

entonces se acostumbra decir que a y d son los extremos de la proporción y b, c son los medios.

Propiedades de las proporciones. Las siguientes son las propiedades más importantes de las proporciones y las utilizaremos para la demostración de algunos teoremas y problemas. 1) El producto de los medios es igual al producto de los extremos.

(a/b) = (c/d) 2)

=>

a.d = b.c

Si se intercambia medio por medio o extremo por extremo, se obtiene otra proporción:

(a/b) = (c/d)

=>

(a/c)

= (b/d)

3) Si se invierten sus términos se obtiene otra proporción.

(a/b) = (c/d) 4)

=>

(b/a)

= (d/c)

Si se suma a los antecedentes su consecuente, proporción.

(a/b) = (c/d)

=>

se obtiene otra

(a+b)/b = (c+d)/d

5) Si se resta a los antecedentes su consecuente, se obtiene otra proporción.

(a/b) = (c/d)

=>

(a-b)/b = (c-d)/d

TRIANGULOS SEMEJANTES Definición: “Dados 2 triángulos ABC y MNQ, decimos que son semejantes si y sólo si, tienen iguales sus 3 pares de ángulos.” De la definición anterior se deduce que 2 triángulos idénticos son semejantes pero 2 triángulos semejantes no tienen porqué ser idénticos. La Semejanza de triángulos, así definida, es una cualidad de mayor dimensión que la identidad. Otro corolario que se obtiene de la semejanza de 2 triángulos es que los lados correspondientes en ambos son proporcionales.

TEOREMA DE THALES DE MILETO Tales de Mileto vivió hacia el año 600 a. de c. Es el más antiguo de los Siete Sabios de Grecia y aunque se sabe muy poco de su vida, no hay duda en considerarle como el padre de la Geometría.

Enunciado:”Dada una familia de rectas paralelas, que son intersectadas por 2 transversales, los segmentos sobre las primeras que éstas determinan. resultan ser proporcionales.”

Las rectas r y s cortan a las rectas paralelas a, b, c y d. Según el enunciado anterior debe ser: (AB) / (CD) = (EF) / (GH), veamos la demostración del mismo. Se consideran los segmentos AI y CK paralelos a la recta s, de la definición vista de triángulos semejantes, se deduce que los ABI y CDK son semejantes pues tienen sus tres lados respectivamente paralelos y por ende sus 3 pares de ángulos son iguales, por lo tanto estos triángulos tienen sus lados correspondientes proporcionales es decir: (AB)/(AI) = (CD)/(CK), pero AI = EF y CK = GH, por ser ambos cuadriláteros paralelogramos por construcción, por tanto sustituyendo resulta: (AB)/(EF) = (CD)/(GH) y aplicando la propiedad 2 vista de las proporciones se obtiene: (AB)/(CD) = (EF)/(GH) c.q.d.

CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIANGULLOS Primer Criterio:”Dos triángulos con 2 pares de ángulos iguales son Semejantes” Segundo Criterio:”Dos triángulos con sus tres lados paralelos son Semejantes” Tercer Criterio:”Dos triángulos con un par de ángulos iguales y los lados de éstos, proporcionales, son Semejantes” Cuarto Criterio:”Dos triángulos que tengan sus lados respectivamente proporcionales, son Semejantes”.

HOMOTECIA Definición:”Es una transformación del plano en sí mismo, Biyectiva, con un y sólo un punto fijo, (llamado centro de Homotecia) y tal que para todo punto P del plano, se tiene una imagen P’, alineada con P y el centro de la transformación, de modo que sea (OP’)/(OP) = r constante. Dicha constante r que debe ser diferente de 0, se denomina razón de la Homotecia”

Propiedades La homotecia es una trasformación lineal y por consiguiente conserva: 1) El alineamiento: las imágenes de puntos alineados están alineados. 2) El centro de un segmento, y más generalmente el baricentro: la imagen del baricentro es el baricentro de las imágenes. 3) El paralelismo: dos rectas paralelas tienen imágenes paralelas. 4) Los ángulos orientados, en particular los ángulos rectos. 5) La imagen de una recta, que no pase por O, es otra recta paralela. Si la recta pasa por O entonces es UNIDA. Todas las longitudes son multiplicadas por |r|, el valor absoluto de la razón. k = - 1 corresponde a la simetría de centro O, o una rotación alrededor de O de ángulo 180º, con centro de giro en O. |k| > 1 implica una ampliación de la figura. |k| < 1 implica una reducción. k < 0 se puede interpretar como la composición de una simetría de centro O con una homotecia sin inversión.