Cálculo I Integral (MAT201), Secc.675 3er Trimestre, 2do Semestre 2015; 2doParcial – 7maGuíaEstudio Documento elaborado por: M.Sc. Ing. Julio César López Zerón CICH4363

7ma Guía de Estudio – 2do Parcial Estudio de Series de Potencia SOLUCIONARIO – Guía Complementaria No.07 Comentarios Generales Ésta guía cumple única y exclusivamente la función de repaso o complemento de los temas que posiblemente serán evaluados en el segundo examen parcial, además, se establece que en ningún momento ésta guía de estudio pretende reemplazar el libro de texto y mucho menos, proporcionar un formato de los ejercicios que podrían ser evaluados en un examen; se hace ésta aclaración para evitar

especulaciones y conjeturas desacertadas entre los estudiantes de ésta y las otras secciones de Cálculo I Integral, dado que ésta herramienta ha sido elaborada tomando como referencia diferentes textos de Cálculo y guías de universidades extranjeras, que a criterio del Catedrático (Autor), genera un valor agregado en el conocimiento de los futuros profesionales de la Ingeniería. Se le recuerda la importancia de trabajar con disciplina, perseverancia y honestidad cada ejercicio, dado que Ud. es el único responsable de su éxito o fracaso, el catedrático no es más que un facilitador del conocimiento, por lo tanto, ante cualquier inquietud no dude en consultarlo.

Instrucciones Específicas:

Para que el trabajo grupal sea aceptado y revisado por la totalidad del puntaje, el documento deberá cumplir las siguientes condiciones: a) Desarrollo en hojas blancas o rayadas (sin espiral) tamaño carta utilizando ambas caras de la hoja. b) Formato de presentación conforme a lo estipulado en el silabo de curso (portada y todos los demás elementos que apliquen según sea el caso). c) Los ejercicios deberán estar listados en el orden numérico correlativo de la guía. d) Todas las páginas que conformen el trabajo (excepto la portada) deberán estar etiquetadas con su respectivo número de página en la esquina inferior derecha de las mismas y el formato será: “X de Y”, donde: X = página cualquiera; Y = número total de páginas que forman el trabajo. e) Ser entregado en la fecha estipulada en el calendario del aula virtual.

A.-) En los problemas del 1 al 28, determine el radio e intervalo de convergencia de las series planteadas

1.)





n 0

lim

n 

2n x  3  n!

an 1 an

n 1

 lim

n 

n 1 1 2n 1 x  3  n  1! 2n x  3  n!

n 1

 lim

n 

2n21 x  3  x  3   n ! n

2

n  1 n !2n x  3n x  31

2x  3   lim n  n  1

1

1  2x  3   0  1; por lo tan to converge para todo x  R n  n  1   2x  3  lim

Finalmente ; IC    x  ;

RC  

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2.)





2n! x  1n

n0

lim

an 1

n 

an

n ! 3n

 lim

n 

2n  1! x  1n 1 n  1! 3n1 2n! x  1n

 lim

n 

2n  2 2n  12n ! x  1n x  11  n ! 3n n  1 n ! 3n31  2n! x  1n

n ! 3n  lim

n 

2n  2 2n  1x  1 n  13



x 1 x 1 x 1 2n  12n  1  lim 22n  1   lim n  1 3 n  3 3 n 

dado que tenemos una multiplica ción por  , debemos buscar el valor de " x " que nos de como resultado poder realizar la operación 0    0 , que está definida para este caso de series porque el inifinito está restringid o a los números naturales , a diferencia del inf inito trabajado en las funciones que incluye todos los reales . x 1  0  x  1; por lo tan to la serie diverge para todos los valores de x  1 3  Finalmente ; IC  1;

RC  0

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3.)





n 1

lim

n 

xn n

an 1 an

x n 1 n 1

 lim

 lim

xn n

n 

x n x1  n

n 

n  1  xn

 lim

n 

n x n  x lim  x 1  x n n  1 n 1

 x 1  1  x  1  cuando x  1 



n 1

 1n n

serie alterna

 1n

    1n converge por n n  n  n la serie  n  n 1  1 1  an 1  an   se cumple para todo n  1criterio de series alternas n 1 n    lim an  lim

 lim

1 0 n

cuando x  1 



n 1

1n n







n 1

1  n





1 1

n 1 n 2

; diverge porque es una serie  p, con p  1  1 2

 Finalmente ; IC  1  x  1; R C  1 -----------------------------------------------------------------------------------------------------

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4.)





 1n x n

n 0

lim

n 

n 1

an 1 an

x n 1 n  1  1

 lim

xn n 1

n 

 lim

x n x1  n  1

n 

n  2   x n

 lim

n 

n  1  x  1  x x n  1  x lim n  n  2  n  2 

 x 1  1  x  1  cuando x  1 



n 0

 1n  1n n 1







 1  1n

n0

n 1





1n



1

 n  1   n  1; diverge

n 0

por serie armónica

n0

 cuando x  1 



n0

 1n 1n n 1



 1n



 n 1

serie alterna

n0

 1n

 n     1 converge por n n  n  1 la serie  n  n 1  1 1  an 1  an   se cumple para todo n  1criterio de series alternas n  2 n 1  

 lim an  lim

1 0 n n  1

 lim

Finalmente ; IC  1  x  1;

RC  1

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5.)





 1n1 x n n3

n 1

x n 1 lim

n 

an 1

 lim

an

n  13 xn

n 

 lim

n 

x n x 1  n3

n  13  x n

 lim

n

xn3

n  13

 x lim

n

n3

n  13

 x 1  x

n3  x 1  1  x  1  cuando x  1 



n 1

 1n1  1n n

3





1

 n3

n 1



 

1

n 1 n

3

; serie  p convergent e con p  3  1

 cuando x  1 



n 1

 1n1 1n n3







n 1

 1n1 n3

 1n1

serie alterna

    1n converge por n n  n   n3 n3 la serie  n  n 1 1 1   an 1  an   se cumple para todo n  1criterio de series alternas n  13 n3  

 lim an  lim

 lim

Finalmente ; IC  1  x  1;

1

0

RC  1

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6.)





n xn

n 1

lim

n 

an 1

n  1 x n 1

 lim

an

n 

nx

n

 lim

n  1  x n x1

n

nx

n

 x lim

n 

n 1 n 1  x lim  x 1  x n n n

 x 1  1  x  1  cuando x  1 

n  1



n

serie alterna

n 1

n

   1n diverge por n   la serie  n  n 1  criterio de series alternas

n  1  lim n

 lim an  lim

n 

n

 an 1  an  cuando x  1 



n 1  n

n 1





n

n 1

lim an  lim

n 

n

n  ; divergente por criterio del n  ésimo tér min o

 Finalmente ; IC  1  x  1;

RC  1

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

7.)





n0

lim

n 

xn n!

an 1 an

 lim

n 

x n 1 n  1! n

x n!

 lim

n 

x n x1  n !

n  1 n ! x

n

1  x 0  0 1 n  n  1

 x lim

por lo tan to converge para todo x  R  Finalmente ; IC    x  ; R C   SOLUCIONARIO – Guía Complementaria No.07: Estudio de Series de Potencia

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8.)





n ! x  2 

n 1

lim

n 

an 1 an

n

nn

 lim

n 

n  1! x  2 n1 n  1n1 n n ! x  2 

 lim

n 

n  1 n ! x  2 n x  2 1  nn n  1n n  11  n ! x  2 n

 lim

n 

x  2 nn n  1n

nn n

 n   x  2 lim   n   n  1    n 

n

lim n ln    n  n 1  lim    en   n   n  1   n  lim n ln   0 n  n  1

 n  1 1 1 ln   2 lnn   lnn  1 n2 n  1 0   n n 1 n n    lim 2  1  lim lim   lim  L ' H lim 1 1 1 1 n  n  n  n  n  n  n 0  2  2 n n n n 

 n  lim n ln  en    n 1 

 e 1  1

e  n

   

 

 n  x  2 lim    x2 1 e n   n  1  x2 1 x2  e e e  x  2  e e  2  x  e  2

 Finalmente ; IC   e  2  x  e  2;

RC 

e  2   e  2  e 2

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9.)

2 n



n x   1n 2n

n 1

n  12 x n1 lim

n 

an 1 an

2n 1

 lim

 lim

n2 x n

n 

n  12 x n x1 2n

n 

2n21 n2 x n

 lim

n 

n  12 x 2n2



x 2

lim

n 

n  12 n2



x 2

1

2n 

x

1 2  x 2  2  x  2  n 2 n n  2     1  2n 

n 1

n n 2 n n  1 2     1  2n 



n 1





  1n n2

n 1

 lim an  lim  1 n2  lim n2  ; divergente por el criterio del n  ésimo tér min o n

n 

n 

n 

 n 2 n n 2     1  2n 



n 1



  1n n2

n 1

 lim an  lim  1 n2  lim n2  ; divergente por el criterio del n  ésimo tér min o n

n 

n 

n 

 Finalmente IC  2  x  2;

RC  2

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10 .)





10n x n n3

n 1

10n 1 x n 1 lim

n 

an 1 an

n  13

 lim

10 n x n

n 

10n101 x n x1  n3

 lim

n 

n  13  10n x n

 lim

n 

10 xn3

n  13

 10 x lim

n 

n3

n  13

n3 3

 n   10 x lim    10 x  1  10 x  1 n   n  1   10 x  1  1  10 x  1  1  x  1 10 10  cuando x   1 10



10 n  1 10  3 n n 1 



n







 1n 10 n

10 n

n3

n 1

 1n







 1n

n 1

n3

serie alterna

 n     1 n n   n3 n   n3 converge por la serie  n  n 1 1 1   an 1  an   3 se cumple para todo n  1criterio de series alternas 3 n  1 n   cuando x  1 10

 lim an  lim

 

10 n 1  n310 n 1 

n







n 1

10

n

 lim

1n 10 n n

3



1

0



1

 n3 ; serie  p convergent e con p  3  1

n 1

 Finalmente ; IC   1  x  1 ; 10 10

RC  1 10

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11 .)

 2 n x n





4

n 1

n

 2 n1 x n1 lim

n 

4

an 1

 lim

an

n 1

 2  4

 2 x lim

4

n 

 lim

n n

n 

 2 n  2 1 x n x1  4 n n 4 n  1   2  x n

n 

x

 lim

n 

 2 x  4 n 4

n 1

  2 x lim

n  4

4

n 1

n

n  2x  41  2x  1 n 1

 2x 1  1  x  1 2 2  cuando x  1 



n 1

 2 n 1 2 

n

4

n

2 n

1    2   2   4  n n 1

 1n





 1n 4

n 1

serie alterna

n

 n     1 4 4 n  n  n  n converge por la serie  4 n  n n 1  1 1  an 1  an  4  4 se cumple para todo n  1criterio de series alternas n 1 n  

 lim an  lim

cuando x   1 



n 1

 2 

n

 12 

4

n

n

 lim

1

0

2 n

1    2    2    4 n n 1



1n

 4n

n 1





1

 4 n ; serie  p divergente

n 1

con p  1

4

1

 Finalmente ; IC   1  x  1 ; 2 2

RC  1

2

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n

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12 .)

xn





5n n5

n 1

x n 1

 lim

an

n 

5n 1 n  1

5

an 1

lim

 lim

xn

n 

n 

x n x1 5n n5

5n51 n  1 x n 5

 lim

n 

n5 x

5n  1

5



x 5

lim

n 

n5

n  15



x 5

1

5n n5 x



1 5  x 5  5  x  5 

 5 n





n 1



5n n5 









 1n 5 n 5n n5

n 1







n5

n5

n 1

 1n ; convergent e por

n 1

 1n la prueba de la serie alterna

 



n 1



5 n n 5

5 n 



n 1

1 n5







n 1

1 n5

; convergent e por serie p  5  1

 IC  5  x  5; R C  5 -----------------------------------------------------------------------------------------------------

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13 .)

n



x   1n 4n lnn

n2

x n 1

lim

n 

an 1 an

 lim

n 

4 n 1 lnn  1 xn

x n x1  4 n lnn 

 lim

n 

4 n lnn 

4 n 41 lnn  1  x n

 lim

n 

x lnn  x lnn  lim  4 lnn  1 4 n  lnn  1

 1 lnn   n  lim n  1  1   L ' H lim n  lnn  1 n  1 n  n  n 1  lim



x lnn  x x lim  1  1 4 n  lnn  1 4 4

x  1  4  x  4 4 

 1 

cuando x  4 n   1n serie alterna n 4    1     4 n lnn  n 1 lnn  n 1  1n  lim 1  0  lim an  lim n n   lnn  n  lnn  

 n     1 converge por la serie   n 1 lnn   1 1 se cumple para todo n  1criterio de series alternas  an 1  an   lnn  1 lnn    cuando x  4

n n     4  1  4    1 4n lnn   4n lnn n 1 n 1 

n



1 ; comparació n ordinaria con   n 1 lnn 

1 1 se cumple para todo n  2, por lo tan to  n lnn 



1

 lnn es



1

n

armónica div.

n 1

divergente

n 1

 Finalmente ; IC  4  x  4;

RC  4

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14.)



  1n

n 0

lim

n 

an1 an

x 2n 2n!

 lim

n 

x 2n1 2n  1! x 2n 2n!

 lim

n

x 2n x 2  2n!

2n  22n  12n!x 2n

 lim

n 

x2 2n  22n  1

1  x2  0  0  1 n 2n  2 2n  1 por lo tan to converge para todo x  R  Finalmente; IC    x  ; R C    x 2 lim

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

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

15 .)

x  2 n n2  1

n0

lim

an 1

n 

 lim

an

n 

x  2 n1 n  12  1 x  2 n

 lim

n 

n2  1  x  2 lim

n2  1

n 

n2  2n  2

x  2 n x  2 1  n2  1 n  12  1 x  2n

 lim

n 

x  2 n2  1 n  12  1

 x  2 1  x  2  1

 x 2 1  1  x  2  1  1  x  3  cuando x  1 



n 0

1  2 n n2  1







n0

 1n n2  1

 1n

serie alterna

    1n converge por n n   n2  1 n   n2  1 la serie   2  n 0 n  1 1 1  se cumple para todo n  1criterio de series alternas  an 1  an   2 2 n  1  1 n  1    lim an  lim

1

 lim

0

cuando x  3 



n 0

1  3n 2

n 1

1 2

n 1







n0

1 n



2

1n 2

n 1







n 0

1

; comparació n con serie  p n2  1

se cumple para todo n  0 , por lo tan to





n0

1 2

n 1





n0

1 n2

convergent e p  2  1

es convergent e

 Finalmente ; IC  1  x  3;

RC  1

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16 .)

x  3   1n 2n  1

n



n0

lim

an 1

n 

an

 lim

n 

x  3n 1 2n  1  1 x  3n

x  3n x  31  2n  1 2n  3  x  3n

 lim

n 

 lim

n 

x  32n  1 2n  3

2n  1 2n  1  x  3 1  x  3  1 n   2n  3  x3 1

 x  3 lim

 1  x  3  1  2  x  4  cuando x  4 n  4  3   1 2n  1 

n



n0





n0

 1n

 1n 1n 2n  1







n0

 1n 2n  1

serie alterna

    1n converge por n  n   2n  1 la serie     n  0 2n  1  1 1  an 1  an   se cumple para todo n  0 criterio de series alternas 2n  1  1 2n  1   cuando x  2  lim an  lim

2  3   1n 2n  1 

n0 



n0

n







n0

1 0 n   2n  1

 lim

 1n  1n 2n  1







n0

1n 2n  1







1 2n  1

n0 

1 comparació n en el límite con armónica 2n  1



n0

1 divergente por definición n

1 an n lim  lim 2n  1  lim  1  0 , por lo tan to 2 1 n   bn n  n   2n  1 n comparació n en el límite con una serie armónica





n0

1 diverge por 2n  1

 Finalmente ; IC  2  x  4;

RC  1

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17 .)





n 1

3n x  4  n

n

3n 1 x  4  n 1

n 1

lim

an 1

n 

an

 lim

n

 lim

3n x  4  n

n

n 

3n31 x  4  x  4   n 1

n  1  3 x  4 

n

n

n 

 lim

n 

3x  4  n n 1

n n  3x  4  lim  3x  4   1  3x  4   1 n  n  1 n 1

 3x  4  lim

n 

 3x  4   1

 1  3x  4   1   1  x  4  1   13  x   11 3 3 3 3  cuando x   13 



n 1



3n  13  4 3 n

3



n









3n  1

n

n

n 1

 1n

 3



3   13 

n





n

n 1







 1n n

n 1

serie alterna

    1n converge por la serie n  n  n   n   n  n 1  1 1 se cumple para todo n  1criterio de series alternas  an 1  an   n 1 n   cuando x   11 3  lim an  lim





n 1 





3n  11  4 3 n 1  n





1 1



n







n 1

1 0 n

 lim

 3

3n 1

n

n







n 1

3  13 

n



n





n 1

1n n







n 1

1 n

; por lo tan to la serie  p diverge porque p  1  1 2

n 2 

n 1

n 1

Finalmente ; IC   13

3

 x   11 ; 3

RC  1

3

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

18 .)

n 1

n 4

n

x  1n n  1x  1n 1

an 1

lim

an

n 

4 n 1

 lim

 lim

nx  1

n

n 

n 

n  1x  1n x  11  4n n 4 n 41  nx  1

 lim

n 

n  1x  1 4 n

4n 

x 1 x 1 n 1 x 1  1  1 lim 4 4 n  n 4



x 1 1 4

x 1  1   4  x  1  4  5  x  3 4  cuando x  5  1 





n 1

n 4

 5  1 n

n







n 1

n 4

 4  n

n







n 1

n

 4   n  4 



  1n n

serie alterna

n 1

  n  lim an  lim  1 n  lim n  la serie   1n n diverge por n  n  n   n 1   an 1  an criterio de series alternas

 cuando x  3 

n

 4n 3  1

n

n 1





n

 4n 4 

n



n 1





n 1

lim an  lim n  ; por lo tan to

n 

n 

n

4   n 4 





n 1

n 1

 1n n  

 n diverge

n

por el criterio del n  ésimo tér min o

n 1

 Finalmente ; IC  5  x  3;

RC  4

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19.)





x  2n nn

n 1

lim

n 

an1 an

 lim

n 

x  2n1 n  1n1 x  2n

 lim

n

x  2n x  21  nn n  1n n  11  x  2n

 lim

n 

x  2  nn n  1n n  1

nn  x  2 lim

n

nn

n  1n n  1

 x  2 lim

n 

nn

n  1n

n

1 1  n   lim  x  2 lim    lim n n  1 n  n  1  n  n  1

  n 

n

lim n ln   n  n 1 lim    en     n   n  1   n  lim n ln   0 n  n  1

 n  1 1 1 ln   2 lnn  lnn  1 n2 n  1 0    n n 1 n n   lim  L ' H lim  lim   lim 2  1 lim 1 1 1 1 n  n  n  n  n  n  n 0  2  2 n n n n e

 n  lim n ln   n 1 

n

 e 1  1

e 

1 0 n  n  1  lim

n

1  n  x  2 lim   x 2  1 0  0 1   lim e n   n  1  n  n  1 por lo tan to converge para todo x  R  Finalmente; IC    x  ;

RC  

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20 .)





3x  2 n n3n

n 1

lim

an 1

n 

an

 lim

n 

3x  2 n1 n  13n1 3x  2 n

 lim

n 

3x  2 n 3x  2 1  n3n n  13n31  3x  2 n

 lim

n 

3x  2   n n  13

n3n 3x  2 n 3x  2 3x  2  1  1 lim n  n  1 3 3 3 

3x  2 1 3

3x  2  1   3  3 x  2  3  1  3 x  5   1  x  5 3 3 3 

 1 

cuando x   1 



n 1

3 13   2

3

n

n3n







n 1

 3n n3n







n 1

n

  3 1       3  n



1    1n  n 

serie alterna

n 1

 1 n 1    lim an  lim  1    lim  0 la serie  1n  1  converge por   n  n  n   n n     n n 1 1 1   an 1  an   se cumple para todo n  1criterio de series alternas n 1 n   cuando x  5 



n 1

35 3   2

3

n

n3n







n 1

3n n3n







n 1

n

3 1      3 n





1  1n  n   

n 1

 

n 1

1 n

diverge por definición ya que es una serie armónica  Finalmente ; IC   1  x  5 ; 3 3

RC  1

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21 .)





n 1

n b

n

x  an ; b  0 n  1x  an1

an 1

lim

an

n 

bn 1

 lim

 lim

nx  a 

n

n 

n 

n  1x  an x  a1  bn n bnb1  nx  a 

 lim

n 

n  1x  a bn

bn xa n 1 xa xa  1  1 lim b b n  n b 

xa 1 b

xa  1  b  x  a  b  a  b  x  b  a b   1 

cuando x  a  b 



n 1

n b

a  b  a n

n







n 1

 b n n  bn





n 1

n

 b   n  b 



  1n n

serie alterna

n 1

 n  lim an  lim  1 n  lim n   la serie   1n n diverge por n  n  n   n 1   an 1  an  criterio de series alternas 

 cuando x  b  a 

n

 bn b  a  a

n

n 1







n 1

bn bn

n





n 1

n

b   n b





n 1

n 1

 1n n  

n

lim an  lim n  ; diverge por criterio del n  ésimo tér min o

n 

n 

 Finalmente ; IC  a  b  x  b  a;

RC  b

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22 .)





nx  4 

n

n3  1

n 1

lim

n 

n  1x  4 n 1 n  13  1 n nx  4 

n  1x  4 n x  4 1  n3  1 n  13  1  nx  4 n

 lim

n 

n3  1

n  1  n3  1  n   n  13  1  n

 lim

n 

n  1x  4   n3  1 n  13  1  n

1 n3  1 n 1 n3  1     x 4 lim 1 lim lim   n   n n   n  13  1 n   n  n   n  13  1

x  4 lim

x  4 lim

 x  4 1 1  x  4  1  1  x  4  1  3  x  5  cuando x  3 



n 1

n3  4 

n

n3  1







n 1

n 1

n

serie alterna

n3  1

n 1

 n   n 1 n  n   n3  1 n   n3  1 converge por la serie  3  n 1  n 1 n n 1   se cumple para todo n  1  an 1  an  criterio de series alternas  n  13  1 n3  1   n

 lim an  lim

n

 lim

0

cuando x  5 



n 1 



n 1

n5  4 

n

3

n 1 n 3

n 1







n 1

n1

n

3

n 1







n 1

n 3

n 1

comparació n en el límite con serie  p





n0

1 n2

convergent e porque p  2  1

n

 an n3 n  lim n  1  lim 3  1  0 , por lo tan to  3 converge por 1 n   bn n  n  n  1 n 1 n  1 n2 comparació n en el límite con una serie  p convergent e

lim

3

 Finalmente ; IC  3  x  5;

RC  1

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 n ! 2 x  1n

23 .)

n 1

lim

an 1

 lim

an

n 

n  1! 2 x  1n1

 lim

n ! 2 x  1

n

n 

n 

n  1 n ! 2 x  1n 2 x  11 n n ! 2 x  1

 lim n  12 x  1 n 

2 x  1 lim n  1  2 x  1   n 

dado que tenemos una multiplica ción por  , debemos buscar el valor de " x " que nos de como resultado poder realizar la operación 0    0 que está definida para este caso de series porque el inifinito está restringid o a los números naturales , a diferencia del inf inito trabajado en las funciones que incluye todos los reales . 2x  1  0 x  1

2

por lo tan to la serie diverge para todos los valores de x  1

2

 Finalmente ; IC  1 ; 2

RC  0

----------------------------------------------------------------------------------------------------



24 .)

n 1

lim

an 1

n 

 lim

an

n 

n2 x n 2  4  6  ...  2n 

 lim

n  12 x n 1 2  4  6  ...  2n   2n  2  n2 x n 2  4  6  ...  2n 

n 

n  1x 2n

2



 lim

n 

n  12 x n x1  2  4  6  ...  2n 2  4  6  ...  2n  2n  1  n2 x n

x n 1 x lim  0  0 1 2 2 n  n 2

R /  Por el criterio del cociente Ic    ,   R ;





n 1

n2 x n es convergent e para toda x 2  4  6  ...  2n 

Rc  

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25 .)





4 x  1n n2

n 1



lim

an 1 an

n 

 lim

n 

4 x  1n1 n  12 4 x  1n

 lim

n 

4 x  1n 4 x  11  n2 n  12  4 x  1n

 lim

n 

4 x  1  n2 n  12

n2  4 x  1 lim

n

n2

n  12

 4x  1  1  4x  1

 4x  1  1  1  4 x  1  1   2  4 x  0   1  x  0 2  R /  Por el criterio del cociente





Ic   1 ,0  R ; 2

Rc 



0 1 2





4 x  1n

n 1



2  1

n2

es convergent e para  1  x  0 2

4

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

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26 .)

x 2n





n ln 2 n 

n 2

x 2n  2 lim

a n 1

n 

 lim

an

n  1ln 2 n  1 x 2n

n 

 lim

n 

x 2n x 2  n ln 2 n 

n  1ln 2 n  1  x 2n

 x

2

lim

n 

n ln 2 n 

n  1ln 2 n  1

n ln 2 n   n ln 2 n 

 lnn   n   lim  lim  lim 2 n  n  1 ln n  1 n  n  1 n   lnn  1 

2

 lnn   n   lim   lim n  n  1  n  lnn  1 

2

aplicando regla de LHopital en el segundo límite 2

  1 2   n 1  2 n  1   lim   1  1  1   1   lim  n  n   n  1 n  1     n ln 2 n 

 x 2 lim

n 

n  1ln n  1 2

 x2 1  x2

Por el criterio del cociente tenemos que Ic  x 2  1  x  1  1  x  1  Ahora debemos verificar los extremos 2n    1 1 2n   x  1   2 2 n  2 n ln n  n  2 n ln n  





n 2

1 n ln 2 n 

f x  

analizarem os

1 x ln

2

x 

 f ' x   

y

 12n   1 2n , finalmente  1  2  2  2 n  2 n ln n  n  2 n ln n  n  2 n ln n  

la convergenc ia con el criterio de la int egral  lnx   2

x 2 ln 3 x 

 0  x  2,  m

 1  1    lim   ; int egral converge , serie converge 2 x ln 2 x   mlim  2   2 x ln x  m    lnx   ln2  2  

1

m

1

R /  Ic  1  x  1 y R c  1

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

27 .)

n 1

xn 1  3  5  ...  2n  1

an  1  3  5  ...  2n  1

an 1  1  3  5  ...  2n  1  2n  1  1 an 1  1  3  5  ...  2n  1  2n  1



lim

an 1 an

n 

 lim

n 

 lim

x n 1 1  3  5  ...  2n  1  2n  1 xn 1  3  5  ...  2n  1

n 

 lim

n 

x n x1  1  3  5  ...  2n  1

1  3  5  ...  2n  1  2n  1  x n

x 1  x lim  x 0  0 1 n  2n  1 2n  1

 R /  Por el criterio del cociente Ic    ,   R ;





n 1

xn es convergent e para toda x 1  3  5  ...  2n  1

Rc  

--------------------------------------------------------------------------------------------------

n ! xn



 1  3  5  ...  2n  1

28 .)

n 1

an  1  3  5  ...  2n  1

an 1  1  3  5  ...  2n  1  2n  1  1 an 1  1  3  5  ...  2n  1  2n  1



lim

an 1

n 

 lim

an

n 

 lim

n  1! x n1 1  3  5  ...  2n  1  2n  1

n 

n  1x 2n  1

n ! xn 1  3  5  ...  2n  1

 lim

n 

n  1n !  x n x1  1  3  5  ...  2n  1 1  3  5  ...  2n  1  2n  1  x n n !

x n 1  x 1   1  x  2  2  x  2 2 n  2n  1 2

 x lim

 R /  Por el criterio del cociente





n 1

Ic   2,2   R ;

Rc 

xn es convergent e para  2  x  2 1  3  5  ...  2n  1

2   2  2 2

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