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VIBRACIONES V01–J94 Un cuerpo de masa 1,4 kg se conecta a un muelle de constante elástica 15 N—m-1 y el sistema oscila tal como indica la figura. La amplitud del movimiento es de 2,0 cm. Calcular: a) La energía total del sistema. b) Las energías cinética y potencial cuando el desplazamiento del cuerpo es de 1,3 cm. c) La velocidad máxima del cuerpo. a) Como Etotal = ½ K A2 =½—15—(0,02)2 = 3,0 × 10–3 J b) Ex =½ K x2 =½—15—(0,013)2 = 1,27 × 10–3 J y Ecin = Etotal – Ex = 3,0 × 10–3 – 1,27 × 10–3 J = 1,73 × 10–3 J c) La velocidad máxima se alcanza en el punto de equilibrio (x=0), donde toda la energía del sistema es cinética (la potencial elástica es nula), luego ½ K A2 = ½ m v2max ; v= A—(k/m)½ = 6,55 × 10–2 m/s V02–J96 Para un movimiento ondulatorio armónico, decir si las frases siguientes son verdaderas o falsas, dando la explicación correspondiente: a) La velocidad de un punto del medio es igual a la velocidad de propagación. b) La amplitud y la longitud de onda son siempre proporcionales. c) Entre la longitud de onda, λ, el período, T, y la velocidad de propagación, v, existe la relación: v = λλ/T. a) Falso, la partícula vibra localmente (velocidad variable de acuerdo a un M.A.S. –en un caso ideal) mientras que la onda se transmite a distancia b) No tienen ninguna relación c) Cierto ya que el movimiento de propagación es uniforme y al ser periódico, en un tiempo igual al período la onda avanza una longitud de onda. V03–S96 Se tiene un muelle de longitud natural 50 cm y constante de rigidez 100 N/cm, el cual se cuelga de un techo con un cuerpo de 20 kg en el otro extremo. a) Determinar la longitud del muelle en el equilibrio. El sistema se pone a oscilar verticalmente con una amplitud de 5 cm. b) Calcular la velocidad del cuerpo cuando pasa por la posición de equilibrio. c) Determinar la energía suministrada por la fuerza de la gravedad durante la bajada del cuerpo y también durante una oscilación completa. a) Cuando se alarga, en la situación de equilibrio el peso de la masa es compensado por la fuerza elástica, es decir: mg= |–k x|; operando en valor absoluto: x = mg/k = 20—9,8/104 = 0,0196 m, luego la longitud del muelle sería: 50 + 1,96 = 51,96 cm. b) En la posición de equilibrio x = 0 y la energía potencial elástica es nula con lo que la energía total está como cinética: ½ K A2 = ½ m v2max ; con lo que v= A—(k/m)½ = 1,12 m/s. c) Si suponemos que la gravedad es constante al variar la posición de la masa muy poco, tendremos que: Bajada (1): ∆ Epot = Ep(+A) – Ep(–A) = mg(+A) – mg(–A) = 2mgA= 19,60 J. Bajada y subida (2): ∆ Epot = Ep(–A) – Ep(–A) = 0 J.

Energía (J)

V04–S97 M a) Un cuerpo B enganchado a un muelle M posee un movimiento armónico sin rozamiento B (ver figura). B a veces está en movimiento y a veces en reposo. ¿Con qué tipo de energía se intercambia la energía cinética de B? b) Dibujar una gráfica en la que se expongan las evoluciones de la energía cinética de B y de la energía total del sistema frente al tiempo, si el movimiento de B se describe mediante x = 0,01 m cos (4 s–1 t), y su masa es 1,00 kg. Indicar en la gráfica el período de movimiento, T. c) ¿Qué interacción es la responsable del comportamiento elástico del muelle: la gravitatoria o la electromagnética? Explicar. a) Al no haber rozamiento en el sentido del movimiento el cuerpo solo interacciona con el muelle (en esa dirección) con lo que la energía cinética se intercambia con la energía potencial elástica. b) Para este movimiento A = 0,01 m y ω = 4 s–1, luego: Como K = m ω2, 0,0008 entonces Etotal = ½ K A2 =½—m—ω2 A2 = 8,0 × 10–4 J y es constante en el Total 0,0006 tiempo. Cinética 2 –4 2 v = dx/dt = – 0,04 sen 4t, con lo que Ecin = ½ m v ; Ecin = 8,0 × 10 (sen 0,0004 4t). Esta función se anula en los extremos del movimiento (0, ½ T; T) y se0,0002 rá máxima cuando pase por x= 0 : (1/4T y 3/4T). Representando las funciones de la energía total (constante) y cinética se 0,0000 obtiene la gráfica de al lado. El período es 1,57 s 0,0 0,4 0,8 1,2 1,6 Tiempo (s) c) La naturaleza será electromagnética al depender del tipo de material que es función directa de los enlaces entre las partículas que lo forman.

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V05–J00 Un cuerpo puntual de masa 2,0 g se mueve con movimiento armónico simple a lo largo de una recta horizontal. Para t =0 se encuentra 7,1 cm a la derecha del punto de equilibrio moviéndose hacia la izquierda y sus energías cinética y potencial valen ambas 10-5 J. Escríbase la ecuación de movimiento de la partícula. Debemos determinar las magnitudes del movimiento. Como Epot = ½ K x2; sustituyendo y despejando se obtiene K = 0,00397 N/m. Como Etotal = 2Epot = =½ K A2, despejando y operando sale A = 0,10 m. También ω = (k/m)½ = 1,41 s–1. La ecuación del movimiento será x = 0,1 sen(1,41t + ϕ). Para determinar la fase inicial vamos a las condiciones iniciales t = 0; x = 0,071 y v < 0; sustituyendo ϕ = arc sen (0,071/0,1) tiene dos soluciones 0,79 rad y 2,35 rad; la primera solución da una velocidad positiva por lo que no debe tenerse en cuenta; la segunda solución es la correcta ya que da una velocidad negativa. En resumen: x = 0,1 sen(1,41t + 2,35). V06–S00 Se engancha un muelle de 30 cm de longitud y constante elástica 5,0 N cm–1 a un cuerpo de masa 2,0 kg, y el sistema se deja colgando del techo. (a) ¿En qué porcentaje se alargará el muelle? (b) Se tira ligeramente del cuerpo hacia abajo y se suelta; ¿cuál es el período de oscilación del sistema? (c) Se desengancha el muelle del techo y se conecta a la pared, poniendo el muelle horizontal y el cuerpo sobre una mesa; si se hace oscilar de nuevo el cuerpo sobre la mesa, siendo el coeficiente de rozamiento entre ambos despreciable, ¿cuál será el nuevo período de oscilación? a) El resorte se estira bajo la acción del peso hasta que la fuerza gravitatoria equilibra a la fuerza elástica, luego mg = |–k x|. Operando x = mg/k = 0,0392 m, luego se alarga (0,0392/0,30)×100 = 13,1 % b) Como k = m ω2 = m 4π2/T2; operando y despejando T = 0,40 s. c) Como T sólo depende de m y k, y estas no varían, el período tampoco lo hará. V07–J01 1. Un muelle de constante elástica K = 200 N/m, longitud natural L0 = 50 cm y masa despreciable se cuelga del techo. Posteriormente se engancha de su extremo libre un bloque de masa M = 5 Kg y se deja estirar el conjunto lentamente hasta alcanzar el equilibrio estático del sistema. a) ¿Cuál será la longitud del muelle en esta situación? Si por el contrario, una vez enganchado el bloque se liberase bruscamente el sistema, produciendose por tanto oscilaciones, b) Calcular la longitud del muelle en las dos posiciones extremas de dicha oscilación. 1. Ver teoría 2. a) Como mg = |–kx|m despejando x = mg/k = 0,245 m y la longitud será 0,5 + 0,245 = 0,745 m. V08–S01 2.- Se desea lanzar un objeto mediante la utilización de un resorte. Para ello, se coloca sobre una mesa suficientemente extensa un muelle de longitud natural L0 y constante elástica K, unido permanentemente por sus extremos a la pared y aun bloque de masas M1 (figura 1). Un bloque de masas M2 se pone en contacto con el primero, se comprime todo hasta que la longitud es L (figura 2) y posteriormente se suelta el conjunto. Si se supone que no existe rozamiento entre los bloques y la superficie de la mesa, discutir físicamente: a) cuando dejarán de hacer contacto los dos bloques, b)cual será la velocidad del bloque de masa M2 a partir de ese momento, c) cual será la frecuencia de oscilación del bloque que queda unido al muelle. a) En el momento en que la longitud es L0, pasa por el punto de equilibrio, en ese momento el objeto m1 unido al muelle comienza a decelerar al sobrepasar el punto de equilibrio mientras las masa m2 continúa con la misma velocidad al no haber rozamiento. b) La velocidad que tenía al pasar por el punto de equilibrio ½ (m1 + m2) v2 = ½ k(L0–L)2; despejando quedará v = (L0–L)—[k/( m1 + m2)]½ c) Como mω2 = k y ω = 2πν; operando quedaría ν = [k/(4π2m)]½ V09–J02 1. ¿Qué se entiende por resonancia y en que condiciones se produce? 2. Sea un muelle suspendido verticalmente del techo y de una determinada longitud. Si a su extremos libre se engancha un bloque de 60 g se observa que, en el equilibrio, el muelle se alarga en 10 cm. Posteriormente se da un pequeño tirón hacia abajo, con lo que el bloque se pone a oscilar. Calcular la frecuencia de la oscilación. 1. La resonancia se produce cuando se aporta energía a un sistema con una frecuencia que coincide con la frecuencia propia del sistema. 2. Como m—ω2 = K, entonces se deduce ν = [k/m]½/(2π). Además k= |mg/L| = 5,88 N/m con lo que ν = 1,58 s–1 V10–S02 1. Comenta si la siguiente afirmación es verdadera o falsa: “en las oscilaciones descritas por un movimiento armónico simple, los puntos de la trayectoria en los que la aceleración es máxima coinciden con la posición de equilibrio”. 2. Un bloque de 1,5 Kg colocado sobre una mesa y unido a un muelle de constante elástica K = 500 N/m, oscila sin rozamiento. La velocidad máxima que alcanza en su trayectoria es de 70 cm/s. Calcula: (a) la frecuencia de la oscilación, (b) la amplitud de la oscilación. 1. Es falsa, como a = – ω2x, la aceleración es máxima en los puntos donde la elongación es máxima, no en el punto de equilibrio donde es nula. 2. Como m—ω2 = K, entonces se deduce ν = ω/(2π) = [k/m]½/(2π). Entonces ν = 2,91 s–1. Como además vma = A—ω, despejando A = vma/ω y como ω = [k/m]½ = 18,26 s–1, entonces A = 0,038 m

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V11–S02 1. Comenta si la siguiente afirmación es verdadera o falsa: “en las oscilaciones descritas por un movimiento armónico simple, los puntos de la trayectoria en los que la aceleración es máxima coinciden con la posición de equilibrio”. 2. Un bloque de 1,5 Kg colocado sobre una mesa y unido a un muelle de constante elástica K = 500 N/m, oscila sin rozamiento. La velocidad máxima que alcanza en su trayectoria es de 70 cm/s. Calcula: (a) la frecuencia de la oscilación, (b) la amplitud de la oscilación. 1. Es falsa, como a = – ω2x, la aceleración es máxima en los puntos donde la elongación es máxima, no en el punto de equilibrio donde es nula. 2. Como m—ω2 = K, entonces se deduce ν = ω/(2π) = [k/m]½/(2π). Entonces ν = 2,91 s–1. Como además vma = A—ω, despejando A = vma/ω y como ω = [k/m]½ = 18,26 s–1, entonces A = 0,038 m V12–J03 1. Analiza el comportamiento de un péndulo simple y discute cómo puede ser utilizado para la determinación de g. 2. Una partícula oscila según un movimiento armónico simple de 8 cm de amplitud y 4 s de período. Calcula su velocidad y aceleración en los casos: (a) Cuando la partícula pase por el centro de oscilación. (b) Medio segundo después que la partícula haya pasado por uno de los extremos de su trayectoria 1. Ver teoría ( Es un oscilador aproximadamente armónico, sólo para pequeñas vibraciones, su período depende de la longitud y de la gravedad local, siendo independiente de la masa, Experimentalmente puede medirse g determinando períodos y longitudes asociadas) 2. (a) Cuando pasa por el centro de la oscilación la velocidad es máxima y valdrá v = ± = ω A = (2π/T) A = 0,13 m/s, y a = 0. (b) La ecuación será x = A sen ( ωt) [es intrascendente el suponer aquí ningún desfase], sustituyendo x = 0,057 m. Realizando un balance de energía o por derivación de la elongación se halla v = ± ω (A2 – x2)½ = 0,089 m/s y a = 0,14 m/s2 V13–S03 1. ¿ Qué se entiende por resonancia y en qué condiciones se produce? 2. Sea un bloque de 0,5 Kg , unido a un muelle de constante elástica K=20 N/m, que oscila sin rozamiento sobre una superficie horizontal. Si la amplitud de oscilación es 3 cm, calcular: (a) La energía mecánica total del sistema. (b) La velocidad máxima del bloque. (c) Las energías cinética y potencial cuando el bloque está a 2 cm del centro de oscilación. 1. Ver teoría 2. (a) La energía total es E = ½ k A2 por lo que resultará: Etotal = 9×10–3 J. (b) La velocidad máxima de las partículas se alcanza cuando pasa por el punto de equilibrio, donde toda la energía es cinética luego 9×10–3 = ½ m v2, operando resulta v = 0,19 m/s. (c) La Potencial es EP = ½ k x2 = 4×10–3 J, la cinética será la diferencia a la energía total EC = 5×10–3 J. V14–J04 1. Comenta si la siguiente afirmación es verdadera o falsa:”En un movimiento armónico simple, dado por x=Asen ωt, las direcciones y sentidos de la velocidad y la aceleración coinciden en todos los puntos de la trayectoria”. 2. Un objeto oscila según un movimiento armónico simple dado por x=Asenωt. Si el valor de la amplitud de la oscilación es 6 cm y la aceleración del objeto cuando x= –4 cm es 24 cm/s2, calcular: (a) la aceleración cuando x = 1 cm, (b) la velocidad máxima que alcanza el objeto. 1. La frase es falsa, para una misma velocidad, la aceleración puede actuar en sentido positivo o negativo luego, tiene la misma dirección (la del movimiento) pero el sentido puede ser el mismo o el opuesto. 2. La velocidad máxima es vmax = ± ω —A, debemos calcular la pulsación. Como a= – ω 2 x, sustituyendo los valores sale que ω = 2,45 s1, con lo que sustituyendo quedará que vmax = ± 14,7 cm/s y a = – ω 2 x = – 6 cm/s2 V15–S04 1. Deducir las expresiones de las energías asociadas al oscilador armónico simple. 2. Se observa que un determinado muelle se alarga 3,9 cm cuando se cuelga de él una masa de 10 g. Si una masa de 25 g unida a este muelle oscila en un movimiento armónico simple, calcular el período de la oscilación. 1. Ver teoría 2. Como T = 2 π(m/K)½. Para calcular K, sabemos que k = |–F/x| = 0,01×9,8/0,039 = 2,51 N/m. Sustituyendo en la primera expresión para la masa de 0,025 Kg, se obtiene T = 0,63 s V16–S05 1. Explica el fenómeno de resonancia 2. Sea un movimiento armónico simple, dado por x =Asen(ωt +φ), con frecuencia angular ω = 0,4 s-1, en donde, para t = 0 la posición y velocidad de la partícula son 0,2 cm y 2 cm/s respectivamente. Calcular la amplitud de las oscilaciones y la fase inicial 1. Ver teoría

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2.

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Sustituyendo los valores dados en la ecuación queda 0,2 = A sen φ; y 2 = 0,4 A cos ϕ. Dividiendo los dos términos sale tg φ = 0,04, con lo que φ1 = 0,04 rad y φ2 = 3,1 rad (esta solución no es la correcta – analizarlo), volviendo a la ecuación se despeja A = 5 cm.

V17-J06 Un estudiante dispone de un muelle y de cuatro masas (M), las cuales suspende sucesivamente del primero y realiza experimentos de pequeñas oscilaciones, midiendo en cada caso el período de oscilación (T) . El estudiante representa los resultados experimentales según se muestra en la figura. Se pide: a) Determinar la constante elástica del muelle b) Justificar físicamente el comportamiento observado [La gráfica en el ejercicio no contiene la recta trazada, esta es parte de la solución] a) Del estudio teórico se deduce que T2 = (4π2/K)(M + m,) siendo K la constante del resorte, M la masa que oscila y m, la masa asociada al muelle). De esa expresión (4π2/K) = (0,33 – 0,04)/(0,150 – 0) = 1,93 [pendiente de la recta trazada]. De ahí se deduce que la constante del resorte es K = 20,4 N/m. Como la ordenada en el origen es 0,04, deducimos que la contribución de la masa del resorte a la oscilación es 2,07 g b) Ver discusión en teoría V18-J07 1. ¿Qué es la frecuencia propia de un sistema? ¿A qué fenómeno está asociada? 2. En una catedral hay una lámpara que cuelga desde el techo de una nave y que se encuentra a 2 m del suelo. Se observa que oscila levemente con una frecuencia de 0,1 Hz. ¿Cuál es la altura h de la nave? 1. Ver teoría 2. El periodo será T = 10 s, y como l = (T/2π)2 —g, sale l = 24,8 m, con lo que la altura total de la nave será de 26,8 m V19–J08 En un laboratorio se dispone de un muelle de longitud natural (sin deformación) L0 y de cuatro masas M. Un estudiante cuelga las masas del muelle una a una y mide la longitud resultante, L, para cada caso. Al representar los resultados, obtiene la gráfica que se muestra en la figura. a) Dibuja un esquema de la configuración del experimento, antes y después de colgar una masa. b) Determinar la longitud natural del muelle L0. c) Determinar la constante elástica del muelle. Dato: g = 9,8 m/s2. a) Dibujar un muelle sin masa colgado de un soporte y un gancho y después el mismo esquema con el muelle estirado una cierta cantidad. Debe rotularse convenientemente. b) Trazando la línea más probable corta al eje vertical en L0 = 10 cm c) A partir de la pendiente de la línea (tomando el corte con el eje de ordenadas y el último punto y poniendo el peso de las masas correspondientes) k = (0,18 m – 0,10 m)/(1,96 N – 0 N) = 0,041 m/N. Puesto que la ley estudiada es la ley de Hooke: F = – K—x, la constante del resorte es K = 1/k = 24,5 N/m NOTA: en el original del examen no figura la línea de tendencia trazada, debe hacerla el estudiante. V20-S08 1. En un movimiento armónico simple dado por x = A cos (ωt), razona en qué instantes de tiempo se alcanza la máxima velocidad y en cuales la máxima aceleración. ¿Con que puntos de la trayectoria se corresponden? 2. En un reloj de cuco hay un péndulo de longitud 0,15 m y del que cuelga una hoja de madera. El péndulo oscila con una frecuencia de 1,28 Hz. a) Calcular la aceleración de la gravedad en el lugar en que se encuentra el reloj. b) Calcula la longitud que debería tener el péndulo si se desea que oscile con un periodo de 2s. 1. Ver teoría 2. a) De la expresión del péndulo g = 4—π2—l/T2, como T = 1/1,28 = 0,78 s, resulta g = 9,70 m/s2 b) De la expresión del período del péndulo l = g—T2 / (4—π2) = 0,1495 m V21-J09 Se conecta una masa de 2,0 kg a un muelle ideal colgado del techo y el muelle se alarga 1,0 cm. Luego se pone a oscilar verticalmente. Determine: (a) la constante de rigidez del muelle; (b) La frecuencia angular y el período de las oscilaciones que se producen. (1,5 puntos). a. La constante será k = |–mg/x|, operando k = 1960 N/m JOSÉ LUIS RODRÍGUEZ BLANCO

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b.

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Como k = m—ω2, despejando y operando ω = 31,3 rad/s, y el periodo T = 2π/ ω = 0,2 s

V22-S09 Se engancha un muelle de constante de rigidez k y masa m a un techo. Se quieren determinar ambas magnitudes haciendo experimentos midiendo el período de oscilación. Paras ello se cuelgan dos masas diferentes del muelle y se pone a oscilar verticalmente el sistema. Una teoría avanzada que explica el fenómeno nos dice que el cuadrado del período de oscilación verifica:

4π 2 M + 31 m k (0,8 puntos) Poniendo M en abscisas y T2 en ordenadas, dibuje la curva que representa esa solución. Usando una masa M1 = 5,5 kg se ha medido un período de 0,64 s y usando una masa M2 = 12,1 kg se ha medid o un período de 0,94 s. (b) (1,2 puntos) Determine los valores de k y de m. (c) (0,5 puntos) Si se deja el muelle sin masa acoplada, ¿cuánto valdría el período de oscilación? Dará una línea recta de pendiente 4π2/k y ordenada en el origen (4π2/k)—(m/3) La pendiente vale 0,0718 = 4π2/k , operando k = 549,8 N/m y la ordenada en el origen 0,0146 = .(4π2/k)—(m/3), despejando m = 0,610 kg (se puede resolver algebraicamente) El período valdría la raíz cuadrada de la ordenada en el origen T = 0,12 s

a.

b. c. a. b.

c.

(

)

V23-J10-General-A En un experimento de laboratorio se utiliza un muelle vertical sujeto a M (gramos) un techo. Del muelle se van colgando masas diferentes y se pone a T (s) oscilar el sistema, obteniéndose los siguientes períodos de oscilación: Usando un método gráfico, determine la constante elástica del muelle. (1,5 p)

4π 2 M + 31 m , k 0,175 0,200 0,878 0,933

0,150 0,82

0,800

0,60 0,40 0,20 0,00 0,0

2,0

4,0

6,0

8,0 10,0 12,0 14,0

M (kg)

100 0,689

125 0,757

150 0,820

175 0,878

200 0,933

2

T = 3,9575·M + 0,0787

0,700 0,600

T2 (s2) 0,475 0,573 0,672 0,771 0,870 Se halla la masa en kg y el cuadrado del periodo; la pendiente de la gráfica de T2 frente a M es 4π2/k con lo que despejando y operando resulta: k = 9,98 N/m

2

0,125 0,757

y = 0,0718x + 0,0146 0,80

0,900

)

0,500

2

M (kg) 0,100 T (s) 0,689

(

T (s )

2

Conocida la relación entre el periodo y la masa T =

1,00

T 2 (s2)

2

T =

0,400 0,300 0,200 0,100

0,000 V24-J10-General-B 0,000 0,100 0,200 b: Se tiene un péndulo matemático de longitud 800 mm y varias alumnas M (g) realizan la determinación de su período de oscilación para pequeña amplitud con un cronómetro que aprecia milésimas de segundo, obteniéndose los resultados siguientes: Alumna 1 2 3 4 5 6 7 T (s) 1,790 1,799 1,805 1,810 1,802 1,793 1,806 Determine el valor más probable de la aceleración de la gravedad en el lugar del experimento y estime el error del mismo. (1,5 p) De la expresión del periodo T2 = (4 π2/g)—l, con lo que despejando g = 4π2—l/ T2, siendo l = 0,800 m Alumna 1 2 3 4 5 6 7 T (s) 1,790 1,799 1,805 1,810 1,802 1,793 1,806 2 g (m/s ) 9,857 9,759 9,694 9,640 9,726 9,824 9,683 Puesto que la longitud tiene tres cifras significativas y el periodo cuatro, el resultado vendrá dado con tres cifras, el valor que debemos dar es el medio: 9,74 ± 0,08 m/s2, para el error se ha hallado la desviación típica

V25-J10-Específica-B Se tiene una masa m acoplada a un muelle de constante elástica k, y cuando se pone a oscilar el sistema tiene una frecuencia 3 Hz. Si se cambia la masa por una de valor 2m, ¿cuánto vale ahora el período? (1,5 p) Como el periodo depende de la raíz cuadrada de la masa, si se duplica, se multiplica por raíz de dos b: En un experimento de laboratorio se utiliza un muelle vertical sujeto a un techo. Del muelle se van colgando masas diferentes y se miden los alargamientos del muelle obteniéndose los siguientes valores: M (gramos) x (mm)

300 88

400 118

500 147

600 176

700 206

Usando un método gráfico, determine la constante elástica del muelle en N/cm. (1,5 p) JOSÉ LUIS RODRÍGUEZ BLANCO

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7,00

0,4 3,92 11,8

0,5 4,90 14,7

0,6 5,88 17,6

0,7 6,86 20,6

6,00 F = 0,3333·x 5,00 F (N)

Se completa la tabla de al M (kg) 0,3 lado y se representa F F (N) 2,94 frente al alargamiento, la pendiente es la constante x (cm) 8,8 del resorte. Calculada usando dos puntos se obtiene: k = 0,333 N/cm

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4,00 3,00 2,00

V26-S10-General-A b: En un experimento de laboratorio se utiliza un muelle vertical sujeto a un techo. Del muelle se van colgando masas diferentes y se obtienen los alargamientos indicados en la tabla siguiente: M (gramos) 100 200 300 400 x (cm) 15,1 30,0 45,1 59,9 Usando un método gráfico, determine la constante elástica del muelle. Se usa un procedimiento similar al ejercicio anterior se obtiene 6,54 N/m

1,00 0,00 0

4

8

12 x (cm)

16

20

24

500 74,9

V27-S10-General-B Se deja caer partícula de masa de 1,3 kg desde 2,0 m de altura. a) Calcule la energía que posee la partícula. b) Determine la velocidad que adquiere al llegar al suelo, si se desprecia el rozamiento del aire. c) En el suelo existe un muelle vertical de constante elástica 200 N/m, el cual es comprimido por la masa. Determine cuánto se comprime el muelle si en el impacto se pierde el 20% de la energía. (2,5 p) a. La energía es potencial respecto al suelo: Ep = m—g—h = 254,8 J b. Igualando a la energía cinética: v = (2E/m)1/2 = 19,8 m/s c. La energía disponible es 0,8 × 254,8 = 203,84 J y si se emplea íntegramente en la energía potencial elástica para comprimir el muelle x = (2—E´/k)1/2 = 1,43 m V28-S10-Específica-BEn un experimento con un péndulo matemático (una cuerda con masa despreciable sujeta a un techo, de la que cuelga una bola de acero) se va variando la longitud de la cuerda y se obtienen los tiempos siguientes para 10 oscilaciones: Longitud de cuerda (mm) 313 511 629 771 918 Tiempo para 10 oscilaciones (s) 11,25 14,38 15,95 17,66 19,27 Utilizando un método gráfico, determine la aceleración de la gravedad en el lugar del experimento. 4,000 3,500 2

3,000

T = 4,0451·l

2,500 2

2

T (s )

Teniendo en cuenta la expresión del periodo de un péndulo, modificamos la tabla, pasando la longitud a metros y el tiempo al periodo siendo T = t/10, así queda: l (m) 0,313 0,511 0,629 0,771 0,918 T (s) 1,125 1,438 1,595 1,766 1,927 2 2 T (s ) 1,266 2,068 2,544 3,119 3,713 Representando gráficamente se halla la figura de al lado y determinando la pendiente sale que es igual a 4 π2/g = 4,045 con lo que resulta g = 9,76 m/s2

2,000 1,500 1,000

0,500 V29-J11-General-A b: En cierto lugar se ha utilizado un péndulo matemático con una longitud 0,000 250 mm y se han medido 20 oscilaciones de pequeña amplitud obteniéndo0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 se un tiempo 20,091 s. Determine el valor de la aceleración de la gravedad l (m) en el lugar. Si el error en la medida de longitud es de 1 mm y se supone que el error en la medida del tiempo es despreciable, determine el error cometido en la determinación de la aceleración de la gravedad. (1,5 p) De la expresión del período del péndulo (teniendo en cuenta que T = t / n = 1.00455 s) resulta: g = 9,780400... m/s2. Se puede hacer suponiendo que, en ausencia de otros errores, el error relativo de la gravedad y de la longitud es el mismo al tener una dependencia lineal entonces ∆ g / g = ∆ L / L. Puesto que ∆ L = 0,001 m sustituyendo resulta ∆ g = 0,04 m/s2. Otra forma sería hallar el valor de la gravedad para 0,251 m y para 0,249 (se obtiene 9,8195 m/s2 y 9,7413 m/s2 respectivamente) y partiendo la diferencia se halla el mismo valor ∆ g = 0,04 m/s2

V30-J11-General-B 2) En un oscilador armónico que tiene una frecuencia de 0,12 Hz, la posición inicial de la partícula es x = − 3,0 cm y se suelta con velocidad nula. Determine: a) la amplitud del movimiento; b) la máxima aceleración de la partícula; c) la velocidad de la partícula cuando pasa por el punto de equilibrio. (2,5 p) Al indicar velocidad nula supone que está en el extremo de máxima compresión luego la amplitud vale 3 cm. Puesto que la máxima aceleración será a =| – ω2—A|, hallando ω = 2·π·ν = 0,754 s –1, se obtiene a (max) = 1,71 cm/s2. Para la velocidad de la partícula, v =± ω—A, sustituyendo se halla v =± 2,26 cm/s

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VIBRACIONES

PAU – UNIVERSIDAD DE OVIEDO

V31-J11-Específica-A 1) Se deja caer una piedra de 12 kg desde 2,0 m de altura sobre un muelle de constante 250 N/m, dispuesto verticalmente en el suelo. Determine la velocidad con que la piedra llega al muelle. Al impactar la piedra en el muelle, éste se comprime. Determine lo que se comprime el muelle y la fuerza que éste ejerce sobre la piedra cuando está comprimido. (2,5 p) Por aplicación de las leyes de caída libre v 2 = 2—g—h con lo que operando v = 6,26 m/s (Se puede hacer suponiendo que la energía mecánica en la caída permanece constante). Toda la energía del objeto (potencial inicialmente y en el momento del impacto cinética) se invierte en comprimir el resorte y disminuir la energía potencial de la masa, con lo que m—g—h = ½ K—x2 + m—g—(–x), resultadno una ecuación de segundo grado que resolviéndola da x = 1,92 m. V32-J11-Específica-B b: En un experimento de laboratorio se utiliza un muelle vertical sujeto a un techo. Del muelle se van colgando masas diferentes y se obtienen los alarga-

M (gramos) x (cm)

mientos indicados en la tabla siguiente: Usando un método gráfico, determine la constante elástica del muelle. (1,5 p) Representando x frente a m se obtiene una gráfica como la de la figura de al lado. La pendiente vale 0,075 cm/g = 0,75 m/kg. Puesto que, para este caso mg = |–k—x|, se halla que x = (g/k)—m, con lo que 0,75 = 9,8/k con lo que k = 9,8/0,75 = 13,07 N/kg

200 15,1

400 30,0

600 45,1

800 59,9

1000 74,9

90 80 70 y = 0,075x

x (cm)

60 50

V33-S11-General-A 40 1) Se conecta un muelle ideal de constante 500 N/m a una partícula de masa 30 5,0 kg. Se desplaza la partícula 7,0 cm desde la posición de equilibrio y se 20 suelta con velocidad nula. Determine: a) la amplitud del movimiento; b) la 10 fuerza que ejerce el muelle en ese instante; c) la frecuencia del movimiento; d) la velocidad de la partícula cuando pasa por la posición de equilibrio; e) la 0 aceleración de la partícula cuando pasa por la posición de equilibrio. (2,5 p) 0 200 400 600 800 1000 1200 m (g) a) la amplitud está indicada y es 0,07 m. b) Como f =– k—x, la fuerza será f = – 35 N (el signo negativo indica opuesto al desplazamiento. c) Debe demostrarse que k = m—ω 2 y de ahí hallar la frecuencia, resulta ν = 1,59 Hz. d) Se puede hacer tomando que vmax = ± ω—A o a partir de un balance de energía entre el extremo y el punto de equilibrio (donde la velocidad es máxima), en todo caso resulta vmax = 0,7 m/s. e) Como a = – ω 2 —x, el punto de equilibrio será nula V34-S11-General-A b: Se tiene un péndulo matemático de longitud 500 mm y varios Estudiante 1 2 3 4 5 6 estudiantes realizan la determinación de su período de oscilación T (s) 1,415 1,422 1,429 1,430 1,425 1,418 para pequeña amplitud con un cronómetro que aprecia milésimas g (m/s2) 9,859 9,762 9,666 9,653 9,721 9,817 de segundo, obteniéndose los resultados siguientes: Determine el valor más probable de la aceleración de la gravedad en el lugar del experimento y estime el error del mismo. (1,5 p) De la expresión del periodo de un péndulo se halla que g = 4—π 2—L/T 2 con lo que operando se hallan los distintos valores de la gravedad local (añadidos en cursiva en la última fila de la tabla). Se tomará como valor la media: 9,746 m/s2. Para hallar el error se puede hallar el error promedio (media de los valores absolutos de las desviaciones) o la desviación estándar; hallada está última resulta 0,08 m/s2. y el error promedio 0,06 m/s2, valores muy aproximados. El resultado final será 9,75 ± 0,08 m/s2. 511 14,33 1,433 2,053

629 15,90 1,59 2,528

771 17,69 1,769 3,129

918 19,23 1,923 3,698

y = 4,03x

T2 (s2)

V35-S11-General-B 313 b: En un experimento con un péndulo matemático (una cuerda con L (mm) masa despreciable sujeta a un techo, de la que cuelga una bola de t (10 osc) (s) 11,24 acero) se va variando la longitud de la cuerda y se obtienen los tiempos T (s) 1,124 siguientes para 10 oscilaciones: T2 (s2) 1,263 Utilizando un método gráfico, determine la aceleración de la gravedad 3,800 en el lugar del experimento (1,5 p) Usando la ley del péndulo debemos representar T 2 frente a L (pasado a me3,400 tros), por lo que se halla el periodo y su cuadrado (dos últimas filas en cursiva). 3,000 Representando estas magnitudes se halla la gráfica adjunta y hallando su pen2 diente resulta un valor de 4,034 s /m (4,03 si somos estrictos con las cifras 2,600 significativas. Como la constante de proporcionalidad vale 4—π 2/g = 4,03 s2 /m, 2,200 resulta un valor para g = 9,80 m/s2 1,800

V36-S11-Especifica-A b: En un experimento de laboratorio se utiliza un muelle vertical sujeto a un techo Del muelle se van colgando masas diferentes y se pone a oscilar el sistema, obteniéndose los siguientes períodos de oscilación: JOSÉ LUIS RODRÍGUEZ BLANCO

1,400 1,000 0,000

0,200

0,400

0,600

0,800

1,000

L (m)

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M (g) 200 250 300 350 400 T (s) 0,689 0,757 0,820 0,878 0,933 Usando un método gráfico, determine la constante elástica del muelle (1,5 p) Puesto que la ley (deducirlo) es T2 = 4—π 2—(m/k), representando T2 (última fila de la tabla en cursiva) frente a la masa (en kg) resulta la gráfica adjunta. Es una línea recta cuya pendiente es 4—π 2—/k = 1,98 con lo que despejando se halla k = 20,0 N/m. Fijaros que es un muelle real (la ordenada en el origen es debido a el periodo del resorte que oscila bajo su propio peso). Se puede hallar la masa del resorte que contribuye a la oscilación. Consultando la teoría resulta que 0,0787 = (4—π 2—/k )—m` dando 1,000 entonces un valor m’ = 0,0787/1,98 = 0,0397 kg (recordad que este valor, idealmente, es la tercera parte de la masa del resorte) 0,800 y = 1,98x + 0,0787

T2 (s2)

V37-S11-Especifica 0,600 b: Se tiene un péndulo matemático de longitud 600 mm y varios estudiantes realizan la determinación de su período de oscilación para pequeña amplitud 0,400 con un cronómetro que aprecia milésimas de segundo, obteniéndose los resultados siguientes: 0,200 Estudiante 1 2 3 4 5 6 T (s) 1,550 1,558 1,563 1,568 1,561 1,553 0,000 g (m/s2) 9,758 9,696 9,634 9,721 9,821 9,859 0,000 0,100 0,200 0,300 0,400 0,500 Determine el valor más probable de la aceleración de la gravedad en el lugar m (kg) del experimento y estime el error del mismo (1,5 p) De la expresión del periodo de un péndulo se halla que g = 4—π 2—L/T 2 con lo que operando se hallan los distintos valores de la gravedad local (añadidos en cursiva en la última fila de la tabla). Se tomará como valor la media: 9,748 m/s2. Para hallar el error se puede hallar el error promedio (media de los valores absolutos de las desviaciones) o la desviación estándar; hallada está última resulta 0,08 m/s2. y el error promedio 0,07 m/s2, valores muy aproximados. El resultado final será 9,75 ± 0,08 m/s2.

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