DINÁMICA Y CONTROL DE PROCESOS

8 FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA PARA SISTEMAS DE ÓRDENES MAYORES

Sistemas de segundo orden Consideremos una EDO de segundo orden con parámetros constantes.

d2y dy  a1  a0 y  b u t  2 dt dt También se puede escribir esa misma ecuación de esta forma: a2

d2y dy   2  y  k u t  2 dt dt 2

donde

2 

a2 a0

2 

a1 a0

k

b a0

y se llaman k: ganancia (unidades de salida/entrada) : factor de amortiguamiento (“dumping”, adimensional)  : período natural (unidades de tiempo) Si tomamos transformadas de Laplace

 2 s 2Y s   sy0  y 0 2 sY s   y0  Y s   kU s  Y asumimos que las condiciones iniciales son nulas (lo cual es generalmente cierto pues trabajamos con variables desviación)

Y s  

k U s   s  2 s  1 2 2

Las raíces del denominador de la función de transferencia se llaman polos, y tienen una importancia fundamental en el comportamiento del sistema

pi  

 2 1    

A saber: Factor de dumping

polos

comportamiento

>1

2 reales distintos

Sobreamortiguado

=1

2 reales iguales

Críticamente amortiguado

1, polos reales y distintos) – El denominador se puede factorear de la siguiente manera:

 2 s 2  2 s  1   1s  1 2 s  1 Y por lo tanto los polos son

 2 1  p2      2  

 2 1  p1      1   1

O bien

1 

1



2 

   1 2

O bien

 2   1 2

 

    2 1

1   2 2  1 2

Como se verá, se puede pasar de una expresión a otra fácilmente. La respuesta a un escalón de altura U estará dada por

  e  t 1   e  t  2  2  y t   kU 1  1  2  1    

A mayor factor de dumping la respuesta es más “lenta”.

ILM

2

DINÁMICA Y CONTROL DE PROCESOS

Sistema críticamente amortiguado ( =1, polos repetidos) – Es el caso límite del anterior. Para una entrada en escalón de altura U la respuesta es

  t  t  y t   kU 1  1  e       1 0.9 0.8

y/k.deltaU

0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0

0

5

10

15

t/tau

Sistema subamortiguado ( < 1, polos complejo conjugados) –

p 

1

1



 2 1 1  2      j    

En este caso, para una entrada en escalón la respuesta es oscilante, y la oscilación será mayor cuanto menor sea el factor de dumping.       t  1    y t   kU 1  e sin t      1  2 1  2 1  2    tan1   Donde

ILM

3

DINÁMICA Y CONTROL DE PROCESOS Ver „ejem.8.1.sce‟. Se suelen definir ciertas relaciones para caracterizar la oscilación: 1.8 1.6 1.4

a

1.2

tr

b

1

tp

0.8 0.6

c

0.4

d

0.2 0

0

5

10

15

Relación de decaimiento (Decay ratio) : b/a Overshoot ratio : a/c Período de oscilación : d Rise time : tiempo que demora en alcanzar el estado estacionario por primera vez (tr) Tiempo hasta alcanzar el primer pico (tp) Respuesta a un pulso de sistemas de segundo orden Al igual que antes el tipo de respuesta variará según el valor del factor de dumping, o lo que es igual según los polos. Sistema subamortiguado (polos reales) –

1 1  y t   kA e 2    1

ILM

t



t   sinh 1   2    

4

DINÁMICA Y CONTROL DE PROCESOS

Sistema críticamente amortiguado (polos repetidos) –

 t t  y t   kA 2 e     0.4 0.35 0.3

y/k.A

0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0

0

5

10

15

t/tau

Sistema sobreamortiguado (polos complejos) –

1 1  y t   kA e  1   2

ILM

t



t  sin 1   2  

  

5

DINÁMICA Y CONTROL DE PROCESOS Respuesta a una sinusoide de sistemas de segundo orden Si la entrada varía sinusoidalmente en el tiempo

ut   A sin t

A s 2 Y la respuesta de un sistema de segundo orden será U s  

En el dominio de Laplace

yt  

kA

1      2  2

2 2

con el ángulo de desfasaje

y la relación de amplitud

2

2

sin  t      2  2 2   1   

  tan 1  k

1      2  2

2 2

2

La respuesta dependerá también de la frecuencia . Por ejemplo, si g s  

1 s  0.2 * s  1 2

la salida (y) es casi coincidente con la entrada (u)

Por el contrario, si  = 5 , hay una gran diferencia de amplitud, la salida es un orden de magnitud más pequeña que la entrada. (Ver „ejem8.2.sce‟).

ILM

6

DINÁMICA Y CONTROL DE PROCESOS Para otros valores de  la salida puede ser más grande que la entrada y también se puede producir un desfasaje entre ambas señales. Incluso se puede dar un fenómeno en el que los picos de una señal coinciden con el valor nulo de la otra (“resonance peaking”). 2.5

 =1

2 1.5 1

u,y

0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2 -2.5

0

5

10 tiempo (min)

15

20

Sistemas de segundo orden con dinámica en el denominador Ciertos sistemas más complejos exhiben una “dinámica en el numerador” refiriéndonos a la expresión en el dominio de Laplace:

Y s  

k  n s  1 U s   1s  1 2 s  1

Se llaman “ceros” a las raíces del numerador. Por lo tanto la expresión en el formato “polos – ceros” es k pz s  z1  Y s   U s  s  p1 s  p2  donde

k pz 

k n

 1 2

p1  

1

1

p2  

1

2

Para una entrada en escalón de altura U la respuesta es

    t    t  yt   kU 1  n 1 e 1  n 2 e  2   2 1  1  2  Por ejemplo si tuviéramos la función

G s  

k  n s  1 3s  115s  1

Para distintos valores de n tenemos respuestas completamente diferentes: ILM

7

DINÁMICA Y CONTROL DE PROCESOS

Obsérvese que en ciertos casos se produce un pico que sobrepasa el nuevo valor de estado estacionario. Por el contrario, para ciertos valores ocurre lo que se llama “respuesta inversa”, esto es, a un aumento en la entrada la señal de salida produce en primera instancia una disminución hasta alcanzar un mínimo y después comenzar a “subir” hasta llegar al nuevo estado estacionario. Véase „ejem8.3.sce‟. Un sistema con dinámica en el numerador que presenta respuesta inversa muchas veces es consecuencia de dos procesos en paralelo con distintas constantes de tiempo y que actúan en forma inversa (ganancias de distinto signo).

Y s  K1 K2   U s   1s  1  2 s  1  Llamando

K1  2 s  1  K 2  1s  1   2 s  1 1s  1

ILM

 K1  K 2  2 s  1 1s  1



K1 2  K 2 1 K1 2  K 2 1  K1  K 2 K

K  n s  1  1s  1 2 s  1

La condición para que ocurra respuesta inversa es

O bien



K  K1  K 2

n  queda



K1  K 2  K1 2  K 2 1 s  1



K2  2  K1  1

n  0 K1 2  K 2 1 K

0

8

DINÁMICA Y CONTROL DE PROCESOS Efecto de las localizaciones de polos y ceros en la respuesta a un escalón En general la función de transferencia de un proceso (con coeficientes constantes) puede escribirse según

Gs  

k  n1s  1 n 2 s  1... nms  1  d1s  1 d 2 s  1... dns  1

O bien en forma polinomial

Gs  

bm s m  bm1s m1  ...  b1s  b0 an s n  an1s n 1  ...  a1s  a0

O bien en forma de polos y ceros

Gs   donde

k pz s  z1 s  z2 ...s  zm 

s  p1 s  p2 ...s  pn 

n

k pz  k

  p  i

i 1 m

  z 

pi  

1

 di

zi  

1

 ni

i

i 1

Si representamos las posiciones de polos y ceros en el plano imaginario tenemos el siguiente esquema general:

“ceros” positivos respuesta inversa

ILM

9

DINÁMICA Y CONTROL DE PROCESOS Aproximación de Padé para el tiempo muerto La transformada de Laplace para el tiempo muerto es e-s , que se puede desarrollar en serie de potencias, a los efectos de tener expresiones exclusivamente polinómicas, que son más fáciles de manejar. Así, dependiendo de los términos de orden superior que despreciemos tendremos: Aproximación de Padé de primer orden

e

s



1 1



s

2



s

2

Aproximación de Padé de segundo orden

e

s



1 1

 2



2

s s

2 12

2

12

s2 s2 e 5 s 5s  1

Por ejemplo, si la función de transferencia fuera

Gs  

La aproximación de primer orden sería

 2.5s  1 12.5s 2  7.5s  1

Y la de segundo orden

G2 s  

G1 s  

2.0833s 2  2.5s  1 10.4167 s 3  14.5833s 2  7.5s  1

Y gráficamente 1.2 1

y/k.deltaU

0.8

0.6 0.4 exacta Padé 1er orden Padé 2ºorden

0.2 0

-0.2

0

5

10

15

20

25

t (min)

Obsérvese que la aproximación de primer orden produce en este caso respuesta inversa, y la de segundo orden primero “sube”, luego “baja” y finalmente vuelve a “subir” para alcanzar el estado estacionario. Las diferencias más grandes con la solución exacta se dan en el período inicial que corresponde al retardo; luego las soluciones son prácticamente coincidentes. ILM

10

DINÁMICA Y CONTROL DE PROCESOS

Sistemas de órdenes mayores Supongamos que tenemos un sistema de n etapas con igual constante de tiempo . K G n s   n    s  1 n  La respuesta a una entrada en escalón será

 

k   nt nt n 1      y t   K U 1  e    k ! k 0  

A mayor número de etapas la respuesta se aproxima más al escalón retardado en . En muchos casos de procesos en serie de primer orden (1, 2, ..., n), la mayoría están “dominados” por uno o dos de ellos que tienen constantes de tiempo mayores. Los demás pueden “agruparse” en un “retraso aparente”. En este caso se puede aproximar  s

Ke G s    1s  1 2 s  1 n

   i 3

Procesos “Multiple Input – Multiple Output” (MIMO) La mayoría de los sistemas complejos reciben la influencia de más de una variable de entrada así como tienen más de una variable de salida. En general la interrelación entre las variables hace del proceso un sistema complejo. Consideremos por ejemplo un mezclador de corrientes de líquido a distinta temperatura. ILM

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DINÁMICA Y CONTROL DE PROCESOS

De los balances de masa y energía resultan

C  Considerando



  w C T

d V T  Tref  dt

h

h

 Tref   wcC Tc  Tref   wC T  Tref 

dV  wh  wc  w dt



  T  T  dV  V dT dt dt

d V T  Tref 

ref

dt y asumiendo el área transversal constante

dT 1 whTh  wcTc  wh  wc T   dt Ah dh 1 wh  wc  w  dt A Después de linealizar esas ecuaciones, pasar a variables desviación y tomar transformadas de Laplace llegamos a ocho funciones de transferencia:

T s  Th , s  Ts  ws    s 1 W h s  T s  Tc , s  Ts  ws    s 1 W c s  T s  wh , s ws   Th s   s  1 T s  wc , s ws   Tc s   s  1 donde



H s  1   W h s  H s  1   W c s  H s  0  Th s  H s  0  Tc s 

A s A s

Ahs ws

El sistema se puede escribir en forma matricial. ILM

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DINÁMICA Y CONTROL DE PROCESOS

 Th , s  Ts  ws    T s    s  1  H s    1 A    s  O bien

T

c , s  Ts  ws

   wc , s ws  Wh s   s  1  Wc s     0   Th s       Tc s  

wh , s ws

s  1 1 A s

s  1 0

 Th , s  Ts  ws Tc , s  Ts  ws       T s    s  1 s  1  Wh s      H s   1 A 1 A     Wc s  s s    wh , s ws wc , s ws      Th s    s  1  s  1   0 0  Tc s  

Que se puede representar en el siguiente diagrama de bloques:

 Wh s 

T

h,s

 Ts  ws

s  1

 Wc s 

 Th s 

T

c,s

 Ts  ws

s  1

wh , s ws

+

+

T s 

+ +

s  1

 Tc s 

wc , s ws

s  1 1 A s 1 A s

ILM

+

H s 

+

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DINÁMICA Y CONTROL DE PROCESOS Sistemas con recirculación Otro tipo importante de sistemas que aparecen en los procesos industriales es el de aquellos en los que la señal de salida retroalimenta a la entrada.

Como

Y s   G1 s U s 

pero

U s   Rs   Z s  Z s   G2 s Y s 

por tanto

reordenando

Y s   G1 s Rs   G2 s Y s  Y s  

G1 s  Rs  1 G1 s G2 s 

La porción del diagrama que aparece recuadrada puede concebirse como una única función de transferencia equivalente:

Gc s  

G1 s  1 G1 s G2 s 

Este resultado es general, no depende de las cuáles sean las funciones de transferencia involucradas. La regla general para construir la función de transferencia para un sistema con retroalimentación es la siguiente: en el numerador va el producto de todas las funciones que están entre la entrada y la salida; en el denominador, 1 menos el producto de todas las funciones que aparecen en el bucle de retroalimentación.

Conversión entre la formulación de estado y la de función de transferencia Un mismo sistema puede representarse en el dominio del tiempo expresado como ecuación diferencial o en el dominio de Laplace como función de transferencia. Por ejemplo, para un sistema de segundo orden las siguientes formulaciones son equivalentes: ILM

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DINÁMICA Y CONTROL DE PROCESOS

2

d2y dy  2  y  k u t  2 dt dt

Y s  

k U s   s  2 s  1 2 2

Se puede reordenar la primera ecuación de la siguiente manera

d2y 2 dy 1 k   2 y  2 u t  2 dt  dt   llamando

x1  y x2  x1

entonces

y  x1  x2

y podemos reescribir como un sistema de dos ecuaciones diferenciales de primer orden:

x2  

2



x2 

1



2

x1 

k

2

u t 

x1  x2 Que se puede escribir en forma matricial de la siguiente manera:

 x1   0  x    1  2    2

  x1   0       k u   x    2   2  x  y  1 0 1   x2 

O en forma general

1 2

x  Ax  Bu y  Cx

Donde x es el vector de variables de estado, u el de variables de entrada e y el de variables de salida. Esta representación del sistema como un sistema lineal se denomina “en variables de estado” (“state-space”) y es particularmente útil porque muchos paquetes de cálculo ya tienen incorporados algoritmos de resolución. A su vez, si se cuenta con la representación del sistema en variables de estado se puede obtener la representación en el dominio de Laplace como función de transferencia: Tomando transformadas Sustituyendo

O sea que

Xs   sI  A BUs  1





Ys   CsI  A B Us  1

Gs   CsI  A  B 1

Véase „ejem.8.4.sce‟. ILM

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