Curso de Apoyo en Matemática

8. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS La palabra trigonometría proviene del griego trí = tres, gonon = ángulo y metria = medida. Es la parte de la Matemática que nos ayuda a resolver problemas relacionando y haciendo cálculos con las medidas de los lados y los ángulos de un triángulo. En esta Unidad estudiaremos dos sistemas de medición de ángulos para luego recordar las principales funciones trigonométricas: seno, coseno y tangente, observando su relación en los distintos cuadrantes. Finalmente, las funciones trigonométricas inversas nos permitirán obtener el valor de un ángulo conociendo su ubicación y el valor de la función. Todos estos recursos nos ayudarán a resolver problemas como el siguiente.

a1

.c

om

¿Cómo medir el ancho de un río sin cruzarlo? Supongamos que se tienen aparatos para medir distancias y para medir ángulos pero no se puede cruzar el río. Además la orilla es escarpada y sólo es posible moverse perpendicularmente al río, donde hay un camino. ¿Cómo medir el ancho del río? Este y otros problemas similares han podido ser resueltos desde la antigüedad utilizando las relaciones trigonométricas entre los ángulos y los lados de los triángulos. En esta Unidad recordaremos algunas de ellas.

at

ic

8.1. Ángulos

w

Ángulo

w

w

.M

at

em

Un ángulo α en el plano es la re gión determinada por dos semirrectas l 1 y l 2 con origen común O, cuando se hace girar el lado inicial l 1 hasta el lado final l 2 en el sentido contrario al de las agujas del reloj. Este sentido también es llamado antihorario. l 1 se denomina lado inicial y l 2 lado

Ejemplo: Ángulo nulo l 1 coincide con l 2.

Página 134

∧

final de α y lo denotamos por α = A O B.

Trigonometría

Ángulo recto l 2 es perpendicular a l 1.

Ángulo llano l 2 es opuesta a l 1.

om

Ángulo de 1 giro .l 1 coincide con l 2 después de un giro. ∧

w

w

w

.M

l 2 está en el primer cuadrante.

at

em

at

ic

a1

.c

Si colocamos el origen de un ángulo α = AO B en el origen de coordenadas y hacemos coincidir el lado inicial l1 con el semieje positivo de las x, entonces el lado terminal l2 quedará en algún cuadrante.

l 2 está en el segundo cuadrante.

De esta manera, podemos hablar del cuadrante al que pertenece un ángulo α. Por definición, los ángulos agudos son los que pertenecen al primer cuadrante.

Página 135

Curso de Apoyo en Matemática 8.1.1. Sistemas de Medición de Ángulos Para medir la amplitud de un ángulo tenemos diferentes sistemas de medición. El sistema sexagesimal consiste en tomar como unidad de medida la 90-ava parte de un ángulo recto. Se denomina a dicha unidad grado sexagesimal y se la denota 1º.

Sistema Sexagesimal

A la 60-ava parte de un grado se la llama minuto y se la denota 1' ; y la 60-ava parte de un minuto se la denomina segundo y se denota 1''. Si se requiere más precisión se consideran décimas, centésimas, etc. de segundo.

a1

.c

om

Ejemplos: 1) Un ángulo recto mide 90º. 2) Un ángulo llano mide 180º. 3) Expresemos en grados, minutos y segundos el ángulo que mide 30,28º. 30,28º = 30º + 0,28º

em

at

ic

En principio separamos la parte entera y la parte decimal de 30,28º

.M

1º → 60' 0,28º → 60' . 0,28 = 16,80' = 16' + 0,80'

w

w

Separando luego la parte entera y la parte decimal de los minutos.

at

Ahora, usando proporcionalidad directa calculamos cuántos minutos son 0,28º.

w

1' → 60'' 0,80' → 60'' . 0,80 = 48''

Con la regla de tres simple calculamos cuántos segundo son 0,80' Consulta el manual de tu calculadora para poder expresar 30,28º como 30º 16' 48''

Así obtenemos: 30,28º = 30º 16' 48''

Otra unidad de medida de ángulos, de uso frecuente es el radián.

Sistema Radial

Un radián representa la medida de un ángulo central de una circunferencia, de modo tal que la longitud del arco comprendido sea igual al radio de la circunferencia y se denota por 1 rad.

El siguiente cuadro muestra la correspondencia entre las longitudes de distintos arcos de circunferencia y sus correspondientes ángulos centrales medidos en radianes.

Página 136

Trigonometría

Longitud del arco

↔

Ángulo central

1 radio

↔

1 rad.

2 radios

↔

2 rad.

2π radios

↔

2π rad.

longitud del arco AB = longitud del radio 0A

Se podría llegar a pensar que el valor de un radián depende de la circunferencia elegida para formular la definición. Observemos sin embargo que si el radio de una circunferencia se duplica, su longitud también se duplica. 2 π (2 r) = 2 (2 π r)

.c

om

En consecuencia, el arco correspondiente a un ángulo central también se duplica.

em

at

ic

a1

Siguiendo este razonamiento, podemos afirmar que nuestra definición no depende de la circunferencia elegida.

w

w

w

.M

at

PASO DE RADIANES A GRADOS Y DE GRADOS A RADIANES

En símbolos, 360º = 2 π rad

Siguiendo la definición, a un ángulo de 2 radianes le corresponderá un arco de circunferencia que mide dos veces el radio. Longitud del arco

↔

Ángulo central

2 radios

↔

2 rad.

Como la longitud de la circunferencia es 2 π r, el número de radianes de un ángulo de un giro es 2 π , ya que es el número de veces que el radio está contenido en la longitud de la 2π r circunferencia, es decir, = 2π . r Longitud del arco

↔

Ángulo central

2π radios

↔

2π radios

Página 137

Curso de Apoyo en Matemática

Otras equivalencias entre los dos sistemas son: 1º =

2π rad 360

1 rad =

360 2π

Ejemplos: a) Veamos cuántos radianes son 225º . 360º → 2 π rad 225º →

2 π rad x 225º 5 = π rad 360º 4

b) Veamos cuántos grados son

360º

π 6 = 30º

.c

2π

em

at

ic

a1

π rad → 6

om

2 π rad → 360º

π radianes 6

at

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE

w

w

.M

1) ¿A qué cuadrante pertenecen los siguientes ángulos? 300º, 192º, 93º, 180º 1', 150º, 35º

w

2) Expresar en grados, minutos y segundos los ángulos que miden 23,18º , 107,03º 3) Dibujar el triángulo de vértices A (0 , 0)

B (2 , 0) C (1 , ˆ mide 60º. Probar que es equilátero y que en particular el ángulo A

3)

4) Encontrar un punto P(x , y) del primer cuadrante de tal manera que la semirecta l2 de origen O y que pasa por P determine un ángulo de 30º. 5) Completar la siguiente tabla:

Grados

Radianes

0

0

30º

90º π 4

π 3

6) ¿Cuántos grados mide un radián?. Página 138

135º 150º 2 π 3

240º 270º π

360º 5 π 3

2π

Trigonometría

7) En una circunferencia de 10 cm de radio, un arco mide 6 cm. ¿Cuánto mide, en grados y en radianes, el ángulo correspondiente?. 8) Un ángulo mide 3 radianes. Si dibujamos su arco tomando un radio de 5 cm, ¿cuánto medirá dicho arco?.

8.2. Funciones trigonométricas de un ángulo Si tomamos un ángulo α con lado terminal l2 y punto sobre l2 , la distancia de P al origen es

l2

y

P(x , y) un

P(x, y) r

r=

α

a1

.c

om

0

y se llama seno de α y se denota: r

El cociente

x

x2 + y2

Seno

em

at

ic

sen α =

w

x

r

se llama coseno de α y se denota:

cos α =

x r

=

abscisa de P distancia de P al origen

w

w

Coseno

.M

at

y el cociente

y ordenada de P = r distancia de P al origen

l2 P

y

Estos cocientes aparentemente dependen del punto P(x , y) elegido sobre l2 , pero no es así, pues dependen únicamente del ángulo α.

y’

En efecto, si P'(x' , y') es otro punto sobre l2 , observemos las figuras de la izquierda.

α 0

x’

x

∆

∆

Como los triángulos rectángulos PX0 y P' X'0 donde X = (x , 0) y X’ = (x’ , 0) son semejantes, los lados son

Página 139

Curso de Apoyo en Matemática X = (x , 0) y X’ = (x’ , 0) proporcionales, luego:

l2 P

y P’

y’

x’

r=

x

r’ =

x' r'

=

r

y y' = r r'

y

α

r x

x

son semejantes, los lados son

0

2

+y

2

Como cos α =

x

r muestran que cos α elegido sobre la recta.

2 2 x' + y'

y , las igualdades anteriores r y sen α son independientes del punto

y sen α =

Para pensar...

om

A partir de las definiciones se deduce que:

.c

- 1 ≤ sen α ≤ 1

a1

- 1 ≤ cos α ≤ 1

at

ic

¿Por qué?

,

em

Además, podemos obtener la relación fundamental x2

at

sen2 α + cos2 α =

y2 r2

=

x2 + y 2 r2

=

r2 r2

= 1

es decir,

w

w

.M

r2

+

w

Relación Fundamental

Ejemplo: Sea α el ángulo cuyo lado terminal l2 pasa por P(2 , 3). Entonces:

y l2 3

sen2 α + cos 2 α = 1

P

r =

α 0

2

x

sen α =

3 13

2 2 + 32 =

13

,

cos α =

2 13

En este ejemplo se calcularon las funciones trigonométricas de un ángulo cuya medida no se conoce. Ahora veremos cómo se pueden calcular los valores de las funciones trigonométricas para los ángulos de 30º, 45º y 60º.

Página 140

Trigonometría

Ejemplo: ángulo de 45º

y

l2

1

P(1, 1)

12 + 12 =

Como r =

r 45º 0

1

1 = 2

sen 45º =

x

2 , entonces

2 2

cos 45º =

1 = 2

2 2

Ejemplo: ángulo de 60º (recordar el ejercicio 3 ) y

l2

3

P(1,

Como r =

3)

12 +

( 3)

2

=

4 = 2, entonces

r 60º 1

x

3 2

cos 60º =

1 2

.c

om

0

sen 60º =

em

at

ic

a1

A partir de las funciones seno y coseno es posible obtener una nueva función llamada la tangente del ángulo α , definida por: tg α =

sen α cos α

w

.M

at

Tangente Tangente

O sea y sen α y ordenada de P tg α = = r = = x cos α x abscisa de P r

w

Observemos que....

w

como no se puede dividir por 0, debemos excluir los ángulos de 90º y 270º.

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE 9) Mostrar que: 1 sen 30 º = 2

;

cos 30º =

3 2

Recordar el ejercicio 4. 10) Mostrar que: sen 0º = 0 sen 90º = 1 sen 180º = 0 sen 270º = -1

; ; ; ;

cos 0º = 1 cos 90º = 0 cos 180º = -1 cos 270º = 0 Página 141

Curso de Apoyo en Matemática 11) Hallar la tangente de los ángulos que miden: 0º , 30º , 45º , 60º 12) Hallar sen α, cos α y tg α , si α es el ángulo cuyo lado terminal l2 pasa por P(- 2 , 3).

Para las aplicaciones es importante conocer los valores de las funciones trigonométricas de cualquier ángulo. Los métodos para calcularlos no son elementales y se basan en el cálculo infinitesimal; dichos métodos permiten calcular los valores con la precisión que se quiera. No obstante, una calculadora común da los valores con una aproximación que resulta muy buena para la mayoría de los problemas. Para los ángulos especiales de 0º, 30º, 45º, 60º y 90º es conveniente usar los valores exactos calculados con anterioridad.

om

8.3. Triángulos Rectángulos

.c

Consideremos un triángulo rectángulo cuyos catetos miden a y b y su hipotenusa c. Sean α y β sus ángulos agudos.

a1

β

c

ic

α y β se dicen ángulos complementarios y su suma es siempre α + β = 90º.

at

α

at

em

b

w

w

Teorema de Pitágoras

w

.M

Las relaciones entre estas cantidades que conviene tener presente son: c2 = a2 + b2

Las definiciones de las funciones trigonométricas

sen α =

a c

cos α =

b c

tg α =

a b

y las correspondientes para β.

sen β =

b c

cos β =

a c

tg β =

b a

La suma de los ángulos interiores de un triángulo vale 180º; por lo que en un triángulo rectángulo:

Página 142

β = 90º - α

Trigonometría

Ejemplo: A partir del triángulo anterior y usando las relaciones mencionadas, obtenemos: b sen (90º - α) = sen β = = cos α c a cos (90º - α) = cos β = = sen α c b 1 tg (90º - α) = tg β = = a tg α

Relaciones trigonométricas de ángulos complement a rios

Ejemplo:

om

Veamos ahora cómo podemos hallar los ángulos de un triángulo rectángulo, si se conocen sus lados.

y,

por el teorema de

ic

a1

.c

Supongamos que a = 3 , b = 4 Pitágoras, c = 5. Queremos hallar el valor de α .

at

5

De la definición de las funciones trigonométricas tenemos que

em

3

α

tg α =

3 4

w

w

.M

at

4

w

Este valor de α, también se podría haber hallado a partir del seno y coseno de ángulos agudos, es decir: sen α =

3

y α = arc sen

5

3

Denotamos por α = arc tg el ángulo agudo cuya tangente es

5

3 4

3 . 4

Su valor numérico cos α =

4

y α = arc cos

5

4 5

α = 36,86º = 36º 51' 36'' puede ser hallado utilizando la calculadora.

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE 13) Calcular sen α, cos α y tg α en los siguientes casos. a) a = 5 ; b = 3. b) a = 6 ; c = 10.

Página 143

Curso de Apoyo en Matemática 14) a) Si sen α =

1 y a = 2 , calcular el valor exacto de b y c. 3

b) Si tg β = 2 y a = 2 , calcular el valor exacto de b y c. c) Calcular el valor exacto del área del triángulo si c = 1 y cos β =

1 . 4

15) a) Hallar el área de un triángulo rectángulo en el cual un ángulo mide 30º y la hipotenusa mide 4. b) En un triángulo rectángulo, un ángulo mide 60º y el cateto opuesto mide 3. Hallar su perímetro. 16)

.c

om

a) Hallar los ángulos del triángulo rectángulo cuyos catetos miden 30 y 35. b) La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 18 y uno de sus catetos 7. Hallar sus ángulos.

ic

a1

8.4. Signos de las Funciones Trigonométricas

P(x, y)

w

y

x 0

sen α =

y >0 r

cos α =

x

α x

;

w

w

.M

at

em

at

Los signos de las funciones trigonométricas dependen del cuadrante en que se encuentra el ángulo. Así por ejemplo, si α está en el segundo cuadrante, como r > 0 :

tg α =

r

0

y

cos α < 0

c) sen α < 0

y

tg α > 0

d) tg α < 0

y

cos α > 0

om

8.5. Relaciones entre las Funciones Trigonométricas

a1

.c

Hemos visto que para cada ángulo α vale la relación fundamental

at

ic

sen2 α + cos2 α = 1

em

y definimos la tangente de un ángulo α distinto de 90º y 270º como: sen α . cos α

w

w

.M

at

tg α =

w

Ejemplo: Sea α un ángulo del tercer cuadrante del cual se conoce que sen α = -

1 3

a) Calculemos el cos α: Como sen2 α + cos2 α = 1, entonces cos α = ±

y α

x

= ±

0 r

1 - sen 2 α  1 1 - -   3

2

= ±

8 = ± 9

8 3

y como α está en el tercer cuadrante, cos α < 0 , luego, cos α = -

8 . 3

Página 145

Curso de Apoyo en Matemática b) Calculemos la tangente de α: tg α =

sen α = cos α

-

1 3 8 3

1 . 8

=

Ejemplo: Sea α el ángulo del segundo cuadrante tal que tg α = - 3. a) Calculemos cos α sen α Como - 3 = tg α = , entonces sen α = - 3 cos α cos α sen2 α + cos2 α = 1 , tenemos que:

Usando que

(- 3)2 cos2 α + cos2 α = 1 10 cos2 α = 1 y

r

α

.c

0

1 10

cos α = ±

1 10

ic

a1

x

cos2 α =

om

P(x, y)

.M

at

em

at

Dado que α está en el segundo cuadrante, cos α < 0 , luego 1 cos α = 10

Como - 3 = tg α =

w

Utilizamos la relación fundamental

w

w

b) Calculemos sen α:

sen 2 α sen α + = 1 9 2

sen α + cos α = 1. 2

sen α sen α , entonces cos α = cos α −3

2

10 sen2 α = 1 9 sen2 α = P(x, y) y r x

sen α = ±

α 0

9 =± 10

3 10

Como α está en el segundo cuadrante, sen α > 0 , entonces 3 sen α = . 10

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Página 146

9 10

Trigonometría

20) Calcular las funciones trigonométricas del ángulo α en los siguientes casos: 2 a) sen α = , α en el cuarto cuadrante; 3 b) tg α = 3 , α en el primer cuadrante; 2 c) cos α = , α en el segundo cuadrante; 5 d) tg α = 2 , α en el tercer cuadrante;

8.6. Funciones Trigonométricas Inversas de un Angulo

a1

.c

om

Hemos visto que conocido el valor de una función trigonométrica para ángulos agudos, es posible hallar el valor del ángulo mediante las funciones arco seno, arco coseno , arco tangente. Nuestro objetivo es ahora, calcular estas funciones para ángulos del segundo, tercero y cuarto cuadrante, para lo que debemos tener en cuenta el signo de las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente.

at

ic

Observemos que...

y

at

em

las calculadoras científicas devuelven:

w

.M

+ w

w

x

sen

y

+

• si sen α > 0 , un ángulo α del primer cuadrante, • si sen α < 0 , un ángulo α del cuarto cuadrante,

Ø mediante la función arc cos x

cos

Ø mediante la función arc sen

• si cos α > 0 , un ángulo α del primer cuadrante, • si cos α < 0 , un ángulo α del segundo cuadrante,

Página 147

Curso de Apoyo en Matemática

y

Ø mediante la función arc tg

+

• si tg α > 0 , un ángulo α del primer cuadrante

x

• si tg α < 0 , un ángulo α del cuarto cuadrante. tg

Si el ángulo que nos interesa no se encuentra en el cuadrante que la calculadora nos devuelve, debemos hacer la reducción correspondiente.

om

Ejemplo: Calculemos α sabiendo que sen α = 0,83867 y α está en el segundo cuadrante.

.c

Operando con la calculadora obtenemos:

ic

a1

β = arc sen 0,83867 ≈ 57º

em

at

ángulo que pertenece al primer cuadrante. ∆

∆

y P’

0

w

w

α β -x

P

r

w

.M

at

Observemos en la figura que los triángulos 0XP y 0X' P' son congruentes, pues son simétricos respecto del eje y, X = (x , 0) y X’ = (- x , 0). y Luego, sen β = = sen α. r Para calcular α, que es el ángulo que nos interesa, basta observar del dibujo que α = 180º - β ≈ 180º - 57º = 123º

x

Ejemplos: 1) Calculemos el ángulo α sabiendo que α está en el cuarto cuadrante. Con la calculadora obtenemos: β = arc sen (- 0,5) = - 30º

α β

x

Aquí el signo menos delante del valor del ángulo significa, que el mismo se ha medido en sentido de las agujas del reloj. De la figura obtenemos que: α = 360º - 30º = 330º

Página 148

sen α = - 0,5 y

Trigonometría

2) Calculemos el ángulo α sabiendo que α está en el tercer cuadrante.

sen α = - 0,5 y

Como en el ejemplo anterior, la calculadora nos devuelve: β = arc sen (- 0,5) = - 30º ∆

α -x

x β

0 r y

P

.c

om

P’

∆

Observamos en la figura que los triángulos 0XP y 0X' P' , donde X = (x , 0) y X’ = (- x, 0) , son congruentes por ser simétricos respecto del eje y, en consecuencia, y sen β = = sen α r De la figura observamos que como los triángulos mencionados son congruentes: ˆ ' P = 0X ˆ P = 30º 0X luego, ˆ P = 180º + 30º = 210º α = 180º + 0X y α está

at

ic

a1

3) Calculemos α sabiendo que cos α = 0,61566 en el cuarto cuadrante. En la calculadora obtenemos: β = arc cos 0,61566 ≈ 52º

P’

em

y α

at .M

x

0

con

w

P

w

-y

w

r

X = (x , 0) ,

0XP es congruente

∆

0XP' por ser simétricos respecto al eje x de aquí x = cos α r concluimos que α = 360º - β cos β =

4) Calculemos α sabiendo que cos α = - 0,342 en el tercer cuadrante De la calculadora obtenemos: β = arc cos (- 0,342) ≈ 110º

P’

∆

-y α β

x

0 r P

∆

De la figura vemos que, si

β

y

y α está

∆

Vemos que, si X = (x , 0), 0XP' es congruente con 0XP por ser simétricos respecto al eje x, luego x cos β = = cos α r ˆ P = 0X ˆ P' = 180º - β. y también 0X ˆ P = 180º + (180º - β) = 360º - β, es Entonces α = 180º + 0X decir, α = 360º - 110º = 250º

Página 149

Curso de Apoyo en Matemática

Retomemos el ejemplo que presentamos al comienzo de la Unidad ¿Cómo podremos medir el ancho de un río sin cruzarlo? Tenemos aparatos para medir distancias y para medir ángulos pero no podemos cruzar el río. Además la orilla es escarpada y sólo es posible moverse perpendicularmente al río, donde hay un camino. ¿Cómo medir el ancho del río?

En primer lugar, debemos situarnos frente a algún objeto ubicado en la orilla opuesta que nos sirva de referencia. Desde allí nos movemos a lo largo de la orilla y en dirección perpendicular al árbol una distancia d, como muestra la figura. Desde este punto P medimos el ángulo α que forma la dirección al árbol con el camino que acabamos de recorrer.

a1

.c

om

Para fijar ideas, supongamos que d = 100m. y α = 24º. a a Como tg α = = entonces a = 100 tg 24º ≈ 44,52 m. d 100

w

w

w

.M

at

em

at

ic

Ejemplo: Un árbol y un observador se encuentran en orillas opuestas de un río. El observador mide el ángulo que forma su visual con el punto más alto del árbol y obtiene 35 º; retrocede 10 m. y mide el nuevo ángulo, obteniendo un valor de 25 º . ¿Qué altura tiene el árbol?, y ¿ cuál es el ancho del río?.

Página 150

Trigonometría

Llamando h a la altura del árbol y a el ancho del río, el gráfico muestra los datos del problema.

tg 35º =

h a

y

h = a tg35º

Despejando la variable h

tg 25º =

y

h a + 100

h = (a + 100) tg25º

a tg35º = a tg25º + 100 tg25º

Igualando ambas ecuaciones

om

a (tg35º - tg25º) = 100 tg25º 100 tg 25º ≈ 199,36 m. tg 35º− tg25º

a1

.c

a=

Reemplazando en alguna de las ecuaciones anteriores

em

at

ic

Entonces h = a tg35º ≈ 139,59 m.

at

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE

.M

21) Determinar α en cada uno de los siguientes casos:

c) cos α = - 0,656

α en el segundo cuadrante,

w y

α en el segundo cuadrante.

y

α está en el tercer cuadrante,

y

α está en el cuarto cuadrante,

y

α está en el tercer cuadrante,

y

α está en el segundo cuadrante

w

b) tg α = - 1,42814

y

w

a) sen α = 0,63465

d) tg α = - 2 1 3 f) cos α = - 0,659 e) sen á = −

22) Completar α1 α2 α3 α4 α5 α6 α7 α8

Sexagesimal 36º

Radial

sen

cos

tg

1 (3/4) π 210º 30' (7/8) π 810º - (7/6) π - 162º 38' 20'' Página 151

Curso de Apoyo en Matemática 23) Escribir todos los ángulos α (comprendidos entre 0 y 360) cuyo coseno valga -0.5. 24) ¿Para qué valores de α ∈ [0 , 2π] el seno y el coseno coinciden? 25) Resolver los siguientes triángulos: a) a = 5 cm

, β = 30º

, α = 90º

b) b = 2 cm , c = 5 cm , α = 90º c) b = 82 cm , α = 90º , γ = 57º 26) Cuando el ángulo de elevación del sol sobre el horizonte es de 30º, una torre proyecta una sombra de 75 m. Calcular su altura. 27) ¿Cuán larga es la sombra que arroja un mástil de 11 m de altura cuando el sol tiene una elevación de 20º?.

om

28) El hilo que sujeta un barrilete mide 250 m y forma un ángulo de 32º con la vertical. Hallar la altura a que se halla si se supone que el hilo está en línea recta.

a1

.c

29) Un automóvil asciende una cuesta que tiene una ni clinación de 22º. Si viaja a una velocidad de 60 km/h, ¿cuántos metros varía su altura sobre el nivel del mar en 15 minutos?.

em

at

ic

30) Se piensa construir una pista de aviación y debido a la orientación elegida se ve que al final de la misma quedará una arboleda de 25 m de altura. ¿A qué distancia mínima de la arboleda debe terminar la pista si el ángulo de despegue de los aviones es de 16º?.

w

.M

at

31) Cuando se apoya una escalera de 3 m de largo en una de las paredes de un pasillo, llega a una altura de 2,50 m. Si se la inclina sobre la otra pared llega a 2 m de altura. Averiguar el ancho del pasillo.

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w

32) Un carpintero desea construir una escuadra de madera y necesita que uno de los ángulos sea de 30º. Desea saber las relaciones que deben guardar los lados entre sí. 33) Los lados paralelos de un trapecio miden 6 cm y 8 cm, y los otros dos miden 3 cm. Hallar las longitudes de sus diagonales y su área. 34) El frente de un terreno da sobre una diagonal y tiene las dimensiones que se indican en el esquema. Calcular los metros que tiene el frente y el área que ocupa.

35) Se quiere saber cuántos metros de alambrado son necesarios para cerrar el terreno sombreado de la figura: Página 152

Trigonometría

36) En un triángulo sabemos que la hipotenusa mide 4 cm y la tangente del ángulo que esta determina con la base es igual a 0,2. Calcular el área de dicho triángulo. 37) Un sitio rectangular mide 102m x 296 m. Determinar la longitud de la diagonal y el ángulo que esta forma con el lado mayor.

om

38) Calcular los lados de un rombo cuyas diagonales miden 12 cm y 8 cm y calcular las medidas de los ángulos interiores.

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a1

.c

39) Un poste de teléfono está sujeto por medio de varios cables que parten del extremo superior. Uno de estos cables está atado a una estaca situada a 5 m del pie del poste y forma con la horizontal un ángulo de 60º. Calcular la altura del poste y la longitud del cable.

em

at

40) En una circunferencia de 7 cm de radio se traza una cuerda de 9 cm. ¿Qué ángulo central abarca dicha cuerda?.

w

.M

at

41) El radio de una circunferencia mide 6 cm. ¿Cuál es la longitud del arco correspondiente a un ángulo de 20º?: π radianes respectivamente. ¿Cuánto mide el otro 6

w

ángulo?.

w

42) Dos ángulos de un triángulo miden 50º y

43) Un barco navega a 30 kilómetros por hora en dirección norte-oeste. ¿Qué distancia ha recorrido en una hora hacia el norte?. ¿Y hacia el oeste?. 44) Calcular el perímetro y el área de un triángulo isósceles, cuyos ángulos iguales miden 27º y sus dos lados iguales 40 m. 45) Calcular el perímetro y el área de un pentágono regular inscripto en una circunferencia de 10 cm de radio. 46) Para conocer la altura de una torre se ha medido el ángulo que forma la visual al punto más alto con la horizontal obteniendo 43º al acercarse 15 metros hacia la torre, se obtiene un nuevo ángulo de 57º. ¿Cuánto mide la altura de la torre?. 47) Desde un acantilado de 50 metros se ve un barco bajo un ángulo de 70º con la vertical. ¿A qué distancia de la costa se encuentra el barco?. 48) Un árbol y un observador se encuentran en orillas opuestas de un río. El observador mide el ángulo que forma su visual con el punto más alto del árbol y obtiene 35º; retrocede 10 metros y mide el nuevo ángulo, obteniendo un resultado de 25º. ¿Qué altura tiene el árbol?. Página 153

Curso de Apoyo en Matemática 49) A los ángulos que están relacionados con los de 30º, 45º y 60º se les puede calcular en forma exacta el valor de las funciones trigonométricas, ellos son: 120º , 135º, 150º, 210º, 225º, 240º, 300º, 315º y 330º. Hallar dichos valores. 50) En un triángulo isósceles la altura correspondiente a la base mide el doble que esta. Hallar el valor de sus ángulos. 51) ¿Qué ángulos del primer cuadrante son adecuados para calcular las razones trigonométricas de 718º, 516º, 342º?. 52) Dibujar los ángulos que cumplen las siguientes condiciones y dar el valor de sus razones trigonométricas: 1 a) sen α = y tg α > 0 b) tg α = - 1 y cos α < 0 2 3 3

y

α>

π , calcular sen α y cos α. 2

at

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8.7. Identidades trigonométricas

a1

.c

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53) Si tg α =

.M

at

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En lo que resta de esta unidad veremos un listado de las identidades trigonométricas más importantes. Las mismas son de suma utilidad en la resolución de problemas de cálculo, álgebra y geometría.

w

w

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8.7.1. Razones trigonométricas de α + β y de α – β sen(α + β) = sen α cos β + cos α sen β cos(α + β) = cos α cos β – sen α sen β Puedes verificar la veracidad de estas identidades asignando valores a los ángulos α y β, o mejor aún, buscar las demostraciones de estas identidades en un libro de Cálculo.

tg(α + β) =

tgα + tgβ 1 − tgα tgβ

sen(α – β) = sen α cos β – cos α sen β cos(α – β) = cos α cos β + sen α sen β tg(α – β) =

tgα − tgβ 1 + tgα tgβ

8.7.2. Razones trigonométricas del ángulo doble sen 2α = 2 sen α cos α Página 154

Trigonometría

cos 2α = cos2 α – sen2 α tg 2α =

2tgα 1 − tg 2α

8.7.3. Teoremas del seno y del coseno Teorema del seno γ

Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos.

a

b

β

α

a b c = = senα senβ senγ

w

w

w

.M

at

em

at

ic

a1

.c

om

c

Página 155

Curso de Apoyo en Matemática

Teorema del coseno γ

El cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados menos el doble del producto de estos lados por el coseno del ángulo comprendido.

a

b

a2 = b2 + c2 – 2ab cos α

β

α

b2 = a2 + c2 – 2ac cos β

c

c2 = a2 + b2 – 2ab cos γ

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE

a1

.c

1 = 1 + tg 2α 2 cos α

em

at

b) sen (α + β) sen (α – β) = sen2 α – cos2 β

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a)

om

54) Comprobar que las siguientes igualdades son ciertas utilizando las identidades vistas.

w

w

w

.M

at

c) cos2 α = sen2 α cos2 α + cos4 α

Página 156