1. ESTANDARES Modelar situaciones de variaciones de variación periódicas con funciones trigonométricas.
2.
LOGROS
2.1. Deducir las identidades trigonométricas fundamentales 2.2. Demostrar identidades trigonométricas
3. ¿Para que sirven las identidades trigonométricas?. Las identidades trigonométricas sirven para desarrollar el pensamiento deductivo de los estudiantes. En efecto, en proceso de demostración se hace necesario de partir de las identidades fundamentales y mediante una serie de procedimientos algebraicos como sustituciones, operaciones con fracciones algebraicas, multiplicaciones, factorizaciones y simplificaciones, se debe llegar a una conclusión final.
CONCEPTOS PREVIOS Los estudiantes deben de manejar:
Explicar y comprender el concepto de igualdad Conocer las identidades básicas Procedimientos algebraicos como operaciones básicas de fracciones algebraicas productos notables, factorización
DEFINICION DE IDENTIDAD TRIGONOMETRICAS Es una relación que contiene funciones trigonométricas y que es válida para todos los valores del ángulo en los que están definidas estas funciones.
Ejemplos:
1.
sec x × cos x = 1
2. sen 2 x + cos 2 x = 1 3.
cos x × tan x × csc x = 1
IDENTIDADES TRIGONOMETRICA FUNDAMENTALES IDENTIDADES POTAGORICAS Para deducir estas identidades, se debe tener en cuenta el círculo trigonométrico cuyo radio es igual a la unidad; las líneas trigonométricas y el Teorema de Pitágoras
(c
2
= a 2 + b2
)
r =1 Sen x
x cos x
sec x Tag x
r =1
Cot x
r = 1 csc x x
Por Pitágoras en cada un de las figuras podemos obtener:
1.
Sen 2 x + cos 2 x = 1
2.
Sec 2 x = 1 + tag 2 x
3.
Csc 2 x = 1 + cot 2 x
IDENTIDADES DE COCIENTE
4.
Tag x =
5.
Cot x =
Sen x Cos x
Sen x Cos x
IDENTIDADES RECIPROCAS 6.
Cot x =
1 Tag x
7.
Sec x =
1 Cos x
8.
Csc x =
1 Sen x
FUNCIONES PARES E IMPARES
Sen(− x ) = − Sen x
9.
10.
Cos (− x ) = −Cos x
2. PASOS PARA DEMOSTRAR IDENTIDADES 1. Se debe partir del lado más complejo y transformarse en el lado más sencillo. 2. Sustituir las funciones: tangente, cotangente, secante y cosecante en función de seno y coseno. 3. Realizar las operaciones algebraicas. 4. Tienen como objetivo, el otro lado de la identidad, para hacer las sustituciones necesarias para llegar a este lado.
3. Ejemplos:
Verificar las siguientes identidades
1.
Cot x × Sec x × Sen x = 1
Solución:
cos x 1 Cot x × Sec x × Sen x = (sen x ) sen x csc x
= Sen x 2.
Csc x − Sen x = Cot x × Csc x
Solución:
Csc x − Sen x =
1 − Sen x Sen x
1 − Sen 2 x = Sen x
Cos 2 x = Sen x
Csc x = (Cos x ) Sen x = Cot x × Cos x
3.
tan x.senx + cos x = sec x
Solución
senx tan x.senx + cos x = (senx ) + cos x cos x Sen 2 = + cos x cos x
Sen 2 x + Cos 2 x = cos x
1 cos x = sec x =
4.
tan (− x ) = − tan x
Solución
tan (− x ) =
sen(− x ) cos(− x )
− senx cos x = −tagx
=
5.
cos x cos x + = 2 sec x 1 − senx 1 + cos x
Solución
cos x cos x cos x(1 + senx ) + cos x(1 − senx ) + = 1 − senx 1 + senx (1 − senx )(1 + senx )
cos x + senx cos x + cos x − senx cos x = 1 − Sen 2 x =
2 cos x Cos 2 x
1 cos x = 2 sec x =2
6.
Sen 4 x − Cos 4 x = Sen 2 x − Cos 2 x
Solución
(
)(
Sen 4 x − Cos 4 x = Sen 2 x + Cos 2 x Sen 2 x − Cos 2 x = Sen 2 x − Cos 2 x
)
7.
Sec 2 x − Tan 2 x = Sen 2 x − Cos 2 x Csc x
Solución
1 Sen 2 x − Sec 2 x − Tan 2 x Cos 2 x Cos 2 x = 1 Csc x Senx
1 − Sen 2 x 2 = Cos x 1 Senx Cos 2 x 2 = Cos x 1 Senx
=
1 1 Senx
= Senx
8.
(Sen x + Cos x )2 = 1 + 2Sen x Cos x
Solución
(Sen x + Cos x )2 = Sen2 x + 2Sen x
(
Cos x + Cos 2 x
)
= Sen 2 x + Cos 2 x + 2 Senx Cosx = 1 + 2 Senx Cosx 9.
Tan x + 2Cosx Cscx = Sec x Cos x + Cot x
Solución
Sec x + 2 Cos Cos x
Tan x + 2Cosx Cscx =
=
1 x Sen x
Cos x Sen x + 2 Cos x Sen x
Sen 2 x + 2Cos 2 x = Senx Cosx
(Sen x + Cos x ) + Cos x = 2
2
Sen x Cos x
2
1 + Cos 2 x = Sen x Cos x 1 Cos 2 x = + Sen x Cosx Sen x Cos x
1 Cos x 1 + = Senx Cosx Cos x Sen x = Cos x Sec x + Cot x
10.
Tan x +
Cos x = Sec x 1 + Sen x
Solución
Tan x +
Cos x Sen x Cos x = + 1 + Sen x Cos x 1 + Sen x =
Sen x + (1 + Sen x ) + Cos x . Cos x Cos x (1 + Sen x )
(
senx + sen 2 x + Cos 2 x = Cos x(1 + Sen x )
=
(1 + sen x ) Cos x(1 + Sen x )
)
=
1 Cos x
= Sec x TALLER
Demostrar las siguientes identidades 1.
Cos x . Sec x = 1
2.
Sen x . Csc x = 1
3.
(1 + Cos x )(1 − Cos x ) = Sen2
4.
Sen x = Csc x 1 − Cos x
5.
Cos x + Sen x = Csc x Sen x
6.
Tan 2 x Cos 2 x = 1 − Cos 2 x
7.
Csc x = Cos x Cot x + Tan x
x
8.
9.
Sec x + Tan x =
Cos x 1 − Sen x
1 + Sen x = 1 + Cos x Sen x
Sen 2 x − Tan 2 x 10. = Sen x Cosc x
11.
Sen x Cos x + =1 Cos x + 1 Sec x
12.
Cos x Cos x + = 2 Tan x Cosc x Sec x − 1
13.
1 − Cos x Sec x − 1 = 1 + Cos x Sec x + 1
14.
1 1 + =1 Cosc 2 x Sec 2 x
15.
Cot x +
SOLUCION
Sen x = Cos x 1 + Cos x
1.
Cos x.Sec x = 1
1 D // . Cos x.Secx = (Cosx ) =1 Cosx 2.
Sen x Cos x = 1
1 D // Sen x Cosx = Senx =1 Senx
3.
(1 + Cos x ) (1 − Cos x ) = Sen2 x
D // . (1 + Cosx ) (1 − Cosx ) = 1 − Cos 2 x = Sen 2 x
4.
Sen x = Cosc x 1 − Cos 2 x
D // .
5.
Sen x Senx 1 = = = Csc x 2 2 1 − Cos x Sen x Sen x
Cos 2 x + Sen x = Csc x Sen x
Cos 2 x Cos 2 x + Sen 2 x 1 D // . + Sen x = = = Csc x Sen x Sen x Sen x
6.
Tan 2 x Cos 2 x = 1 − Cos 2 x
Sen 2 D // Tan x Cos x = 2 Cos 2
7.
2
(
)
x Cos 2 = Sen 2 x = 1 − Cos 2 x x
Cos x = Cos x Cot x + tan x
1 Cscx Sen x D // . = Cot x + Tan x Cos x + Sen x Sen x Cos x 1 Sen x = Sen 2 x + Cos 2 x Sen x Cos x
1 Sen x = 1 Sen x Cos x =
Sen x Cos x Sen x
= Cos x
8.
Sec x + Tan x =
Cos x 1 − Sen x
D // . Sec x + Tan x =
1 Sen x + Cosx Cos x
=
1 + Sen x Cos x
=
(1 + Sen x )(1 − Sen x ) Cos x(1 − Sen x )
1 − Sen 2 x = Cos x(1 − Sen x )
Cos 2 x = Cos x(1 − Sen x )
=
9.
D//
Cos x 1 − Sen x
1 + Sen x = 1 + Csc x Sen x 1 + Sen x 1 Sen x = + Sen X Sen x Sen x = Csc x + 1
10.
D//
Sen 2 x − Tan 2 x = Sen x Csc x 1 Sen 2 x − 2 2 2 Sec x − Tan x Cos x Cos 2 x = 1 Cos x Sen x
1 − Sen 2 x Cos 2 x = 1 Sen x
Cos 2 x Cos 2 x = 1 Sen x
=
1 1 Sen x
= Sen x
11.
D//
Sen x Cos x + =1 Csc x Sec x Sen x Cos x Sen x Cos x + = + 1 1 Csc x Sec x Sen x Cos x = Sen 2 x + Cos 2 x
=1
12.
D//
Cos x Cos x + = 2Tan x Csc x + 1 Csc x − 1 Cos x Cos x Cos x Cos x + = + 1 1 Csc x + 1 Csc x − 1 +1 −1 Sen x Sen x
=
=
Cos x Cos x + 1 + Sen x 1 − Sen x Sen x Sen x
=
Sen x Cos x Sen x Cos x + 1 + Sen x 1 − Sen x
Sen xCos x (1 − Sen x ) + Sen x Cos x (1 + Sen x ) (2 + Senx )(1 − Senx ) =