Prof. Enrique Mateus Nieves Doctorado en Educación Matemática

Identidades Trigonométricas Una identidad trigonométrica es una igualdad entre expresiones que contienen funciones trigonométricas y es válida para todos los valores del ángulo en los que están definidas las funciones (y las operaciones aritméticas involucradas).

Notación: se define sen2α como (sen α)2. Lo mismo se aplica a las demás funciones trigonométricas.

Relación pitagórica

sen 2   cos 2  1

tan  

Identidad de la razón

sen  cos 

De estas dos identidades, se puede extrapolar la siguiente tabla. Sin embargo, nótese que estas ecuaciones de conversión pueden devolver el signo incorrecto (+ ó −). Por ejemplo, si sen   21 la conversión propuesta en la tabla indica que cos   1 - sen 2 

3 2

, aunque es posible que

obtener la única respuesta correcta se necesitará saber en qué cuadrante está θ.

Funciones de ángulos negativo sen -     sen   cos -    cos   cot -    Cot  

sec -    sec  

tan -     tan   csc -    Csc  

cos   

3 2

. Para

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Fórmulas de adición. sen      sen  cos   cos  sen  tan     

cos      cos  cos   sen  sen 

tan   tan  1  tan  tan 

cot     

cot  tan   1 cot   cot 

Funciones trigonométricas en función de las otras cinco. En términos de

Sen

Cos

sen 

sen 

1 cos 2 

Cos 

1  sen 2

Cos 

sen 

Tan 

1  sen  2

cot 

1  sen 2  sen 

Sec 

1

Csc 

Tan

Sec

Csc

1

sec 2   1 sec 

1 Csc 

1 sec 

Csc 2   1 Csc 

tan  1  tan 

1  cot 

1

Cot 

2

2

1  tan 

1  cot 

1  cos 2 cos 

Tan 

1 cot 

sec 2  1

Cos 

1 tan 

cot 

1

1  tan 2 

1  cot 2 cot 

1  tan 2 tan 

1  cot 2

2

1  cos  2

1  sen 

1 cos 

1 ses 

1  cos 2

2

cotan

1

2

sec 2  1

Sec  sec  sec 2  1

1 Csc 2  1 Csc 2  1

Csc  Csc 2  1

Csc 

Identidades de ángulos múltiples 

Si Tn es el n-ésimo Polinomio de Chebyshev entonces cos nx  Tn cos x  



Formula de De Moivre: cos nx   i sen nx   cos x   i sen x  

Identidades para ángulos doble, triple y medio Pueden obtenerse remplazándolo y por x (o sea sen x  x   sen 2 x ) en las identidades anteriores, y usando el teorema de Pitágoras para los dos últimos (a veces es útil expresar la identidad en términos de seno, o de coseno solamente), o bien aplicando la fórmula de De Moivre cuando n  2 .

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Fórmula del ángulo doble

sen 2   2sen  cos  sen 2  

2 tan  1  tan 2

cos 2   cos 2  - sen 2  cos 2   2 cos 2   1

tan 2  

cos 2   1  2 sen 2 cos 2  

1  tan 2  1  tan 2

2 tan  cot   tan Cot 2   2 2 1  tan 

Fórmula del ángulo triple sen 3   3sen   4 sen3 

cos 3   4 cos 3   3 cos 

tan 3  

3 tan   tan 3 1  3 tan 2

Fórmula del ángulo medio

sen

 1  cos   2 2

cos

 1  cos   2 2

Producto infinito de Euler:

tan

  Csc   cot  2

tan

 1  cos   2 1  cos 

tan

 sen   2 1  cos 

cot

  csc   cot  2

          sen  cos    cos    cos       cos  n    2 4 8  2  n1

Identidades para la reducción de exponentes Resuelve las identidades tercera y cuarta del ángulo doble para sen2 x y cos2 x .

Sen

sen2  

1 - cos 2 2

sen3  

3sen  - sen 3 4

Cos

cos 2  

1  cos 2 2

cos3  

3sen  - sen3  4

Otros

sen2  cos 2  

1 - cos 4 8

sen 3 cos3  

sen 3 2 8

cos5  

10 cos   5cos 3   cos 5 16

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Paso de producto a suma Puede probarse usando el teorema de la suma para desarrollar los segundos miembros.

cos  cos  

cos      cos    2

sen  sen  

cos      cos    2

sen  cos  

sen      sen    2

cos  sen  

sen      sen    2

Deducción de la identidad cos      cos    Sabemos por el teorema de la suma y la resta que: 2 cos      cos  cos   sen  sen  Si separamos la suma de la resta quedan entonces los dos posibles

cos  cos  

casos:

i. cos      cos  cos   sen  sen 

ii. cos      cos  cos   sen  sen 

Si tomamos la ecuación i y despejamos

cos  cos  nos queda que:

iii. cos  cos   cos      sen  sen  ii al miembro izquierdo de la ecuación iii, y para mantener la igualdad se suma el lado izquierdo de la ecuación ii en el lado derecho de la ecuación iii (al sumar la Y si sumamos el miembro de la derecha de la ecuación

misma cantidad a ambos miembros de la ecuación la nueva ecuación sigue siendo cierta), quedaría:

cos  cos   sen  sen   cos  cos   cos      sen sen   cos  -   Simplificando el elemento sen  sen  y sumando cos  cos  quedaría:

2 cos  cos   cos      cos    Y por último multiplicando ambos lados de la ecuación por ½ queda:

cos  cos  

cos      cos    2

Nota: 

Este procedimiento también se puede aplicar para demostrar el origen de las otras dos ecuaciones simplemente cambiando los valores.



Usando iii y el resultado anterior se obtiene también: sen  sen   cambio de signo.

cos      cos    Notar el 2

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Funciones trigonométricas inversas Las tres funciones trigonométricas inversas comúnmente usadas son: 

Arcoseno es la función inversa del seno de un ángulo. Se nota arcsen  . El significado geométrico es: el arco cuyo seno es dicho valor. La función arcoseno real es una función - 1,1   0 ,2  , es decir, no está definida para cualquier número real. Esta función puede expresarse mediante la siguiente serie de Taylor:

  x  1 - 2   1 x3 1 3x5 1 3  5 x 7 arcsen    x      -1  x  1 2 3 2 4  5 2  4  6  7    x1  2 



Arcocoseno es la función inversa del coseno de un ángulo. Se nota arccos  .

El significado

geométrico es: el arco cuyo coseno es dicho valor. Es una función similar a la anterior, de hecho puede definirse como: arcsen   

  arsen  2

Arcotangente es la función inversa de la tangente de un ángulo. Se nota arctan  . El significado geométrico es: el arco cuya tangente es dicho valor. A diferencia de las anteriores la función arcotangente está definida para todos los reales. Su expresión en forma de serie es:

 x3 x5 x7 x 1  x  3  5  7   arctan    .  1 1 1        con x  1,  con x  -1  2 x 3 x 3 5 x 5

  2 , arctan   ar cot      ,  2

si x  0 si x  0

    arctan   arctan   arctan    1 -  

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Series de potencias A partir de la definición anterior pueden establecerse que las funciones seno y coseno son funciones analíticas cuya serie de Maclaurin viene dada por:

 1k x 2 k 1  x  x 3  x 5  x 7  1! 3! 5! 7! k 0 2k  1! 

sen   

k   1 x 2 k cos    2k  ! k 0 



x x2 x4 x6     0! 2! 4! 6!

Estas identidades son a veces usadas como las definiciones de las funciones seno y coseno. Con frecuencia se utilizan como el punto de partida para el tratamiento riguroso de las funciones trigonométricas y sus aplicaciones (por ejemplo en las Series de Fourier), debido a que la teoría de las series infinitas puede ser desarrollada a partir de la base del sistema de números reales, independientemente de cualquier consideración geométrica. La diferenciabilidad y continuidad de estas funciones es entonces establecida a partir de las definiciones de series por sí misma.

Relación con la exponencial compleja Existe una relación importante entre la exponenciación de números complejos y las funciones trigonométricas según la fórmula de Euler: e i   cos   i sen  Esta relación puede probarse usando el desarrollo en serie de Taylor para la función exponencial y el obtenido en la sección anterior para las funciones seno y coseno. Separando ahora en parte real e imaginaria en la expresión anterior se encuentran las definiciones de seno y coseno en términos de exponenciales complejas:

cos  

ei   e i  ; 2

sen  

ei   e i  2i

A partir de ecuaciones diferenciales Las funciones seno y coseno satisfacen la igualdad:

y   y Es decir, la segunda derivada de cada

función es la propia función con signo inverso. Dentro del espacio funcional de dos dimensiones V, que consiste en todas las soluciones de esta ecuación,

 y0 , y 0    1,0



La función seno es la única solución que satisface la condición inicial



Y La función coseno es la única solución que satisface la condición inicial

 y0 , y 0    0,1

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Dado que las funciones seno y coseno son linealmente independientes, juntas pueden formar la base de V. Este método para definir las funciones seno y coseno es esencialmente equivalente a utilizar la fórmula de Euler. Además esta ecuación diferencial puede utilizarse no solo para definir al seno y al coseno, con ella también se pueden probar las identidades trigonométricas de las funciones seno y coseno. Además, la observación de que el seno y el coseno satisfacen y   y implica que son funciones eigen del operador de la segunda derivada.

La función tangente es la única solución de la ecuación diferencial no lineal y  1  y 2 satisfaciendo la condición inicial y(0) = 0. Existe una interesante prueba visual de que la función tangente satisface esta ecuación diferencial.

Referencias: Stewart, J. “Cálculo. Trascendentes tempranas”.Cengage Learning. Sexta edición. 2008. Texto guía del curso. Stewart. Weisstein, E.W: CRC Concise Encyclopedia of Mathematics. Chapman & Hall 1999 Heath, Sir Thomas (1921) (en inglés). A history of Greek Mathematics vol. 1. Londres, Inglaterra: Oxford University Press. OCLC 2014918. «Esquema del desarrollo histórico de la matemática» págs. pág. 6. Universidad Nacional del Nordeste. J J O'Connor y E F Robertson. «Abu Abdallah Mohammad ibn Jabir Al-Battani» (en inglés) (html). Consultado el 08-06-2008. «La trigonometria àrab, Al-Battani, Abu’l-Wafa, Ibn Yunus, Nasir al-Tusi» (en catalán) (html). Consultado el 08-06-2008. «Al-Kashi, Gamshid ibn Messaoud» (en francés).

Viète, François (1579). Canon mathematicus seu ad triangula. Lutetia Mettayer. OCLC165919384. Boyer, Carl B.; Uta C. Merzbach (1968). A History of Mathematics. New York: Estados Unidos: John Wiley & Sons. pp. 439–445. ISBN 0471-54397-7.