Maximización de benecio, minimización de coste y la función de coste December 12, 2011

8.1

1. 1/4

f (λL, λK) = (λL)

(λK)

1/2

K /}2 = λ /4 f (K, L) < λf (K, L) = λ /4 λ /2 |L /4{z 1

1

1

1

3

f (K,L)

La función de producción exhibe rendimientos decrecientes a escala.

2. M in{L,K} CT = wL + rK s.a. L /4 K 1

1/2

=Y

Utilizaremos el método de sustitución (también se puede aplicar el método lagrangiano). Primero despejamos en la restricción L en función de K :  4 1 L = Y K − 2 = Y 4 K −2

A continuación lo introducimos en la función objetivo y obtenemos un problema de maximización sin restricciones:
M in{L,K} CT = w Y 4 K −2 + rK

Entonces: ∂CT =0 ∂K

1

−2wY 4 K −3 + r = 0 r = 2wY 4

1 K3

La demanada condicionada del capital es: K(w, r, Y )=



2wY 4 r

1/3

Para encontrar la demanda condicionada del trabajo repetimos el proceso despejando la restricción K en función de L :  2 1 1 K = Y L− /4 = Y 2 L− /2

lo introducimos en la función objetivo y obtenemos un problema de maximización sin restricciones: M in{L,K} CT = wL + rY 2 L− /2 1

Entonces: ∂CT =0 ∂L 1 3 w − rY 2 L− /2 = 0 2 w=

rY 2 2L3/2

La demanda condicionada del trabajo es: rY 2 L(w, r, Y )= 2w 

2/3

3. CT = wL + rK

Sustituimos las demandas encontradas en el apartado anterior:  CT = w

rY 2 2w

2/3

 +r

2

2wY 4 r

1/3

− /3 /3 CT = 2− /3 |w1 w {z }r Y 2

2

2

4/3

w1/3

− /3 /3 /3 + r|1 r{z }2 w Y 1

1

1

4/3

r 2/3

Sacamos factor común: CT = r

2/3

Y

4/3

w

1/3



1 22/3

|

+2 {z

1/3

 }

3 2 2 /3

Coste medio: CM e =

CT Y

1/3

2

CM e = Y

w /3 r /3 1



3



22/3

Coste Marginal: ∂CT ∂Y   1/3 3 22 1/3 1/3 2/3 4 1 2 Y w r CM g = = 2 /3 Y w /3 r /3 3 22/3 CM g =

8.2 1. RT S(L,K) = −

∂F/∂L P M gL = − ∂F /∂K P M gK

Calculemos la RTS para f (L, K) = 3L1/3 K 1/3 1

RT S(L,K) = − 31 3

3L−2/3 K 1/3 L−2/3 K 1/3 K = − =− L L1/3 K −2/3 3L1/3 K −2/3

La RTS es la pendiente de la isocuanta y mide la relación a la que tendrá que sustituir un factor de producción por otro para mantener constante la producción. En este caso, debemos sustituir una unidad de L por una unidad de K para mantener constante la producción.

3

2. 1/3

f (λL, λK) = 3 (λL)

(λK)

1/3

3 K /}3 = λ /3 f (K, L) < λf (K, L) = λ /3 λ /3 |3L /{z 1

1

1

1

2

f (K,L)

La función de producción tiene rendimientos decrecientes a escala.

3. Las funciones de productividad marginal de L y K son: P M gL =

∂F 2 1 = L− /3 K /3 ∂L

P M gK =

∂F 1 2 = L /3 K − /3 ∂K

Las funciones de productividad media de L y K son: P M eL =

f (K, L) 3L1/3 K 1/3 1 2 = = 3L− /3 K /3 L L

P M eK =

f (K, L) 3L1/3 K 1/3 1 2 = = 3L /3 K − /3 K K

4. El problema de maximización de benecios de la empresa es: M ax{L,K} Π : p f (K, L) − wL − rK

las condiciones de primer orden son: ∂Π 2 1 = 0 → p L− /3 K /3 = w ∂L ∂Π 1 2 = 0 → p L /3 K − /3 = r ∂K

Cojo la segunda ecuación: p L /3 K − /3 = r 1

2

4

L /3 =

rK 2/3 p

L /3 =

r2 K 4/3 p2

1

2

lo sustituyo en la primera ecuación: pK 1/3 

r 2 K 4/3 p2

 =w

p3 =w r2 K K(w, r, p) =

p3 r2 w

Entonces: L /3 = 2

r3



L(w, r, p) =

r2

p3 r2 w



p3 r2 w

4/3

p2 2 =

p3

r 3 p6 r 4 p3 w 2

5. K(2, 1, 2) =

23 =4 12 2

L(2, 1, 2) =

23 =2 22

Cantidad ofrecida de producto: f (2, 4) = 3 · (2) /3 (4) /3 = 6 1

5

1

=

p3 rw2

8.3

1. Calculemos la RTS para f (L, K) = 4L1/4 K 1/4 1

RT S(L,K) = − 41 4

4L−3/4 K 1/4 K L−3/4 K 1/4 =− = − L L1/4 K −3/4 4L1/4 K −3/4

La RTS es la pendiente de la isocuanta y mide la relación a la que tendrá que sustituir un factor de producción por otro para mantener constante la producción. En este caso, debemos sustituir una unidad de L por una unidad de K para mantener constante la producción.

2. 1/4

f (λL, λK) = 4 (λL)

(λK)

1/4

/2 /4 /4 = λ /4 λ /4 4L | {zK } = λ f (K, L) < λf (K, L) 1

1

1

1

1

f (K,L)

La función de producción tiene rendimientos decrecientes a escala.

3. Las funciones de productividad marginal de L y K son: P M gL =

∂F 1 −3 = L /4 K /4 ∂L

P M gK =

∂F 1 −3 = L /4 K /4 ∂K

Las funciones de productividad media de L y K son: P M eL =

f (K, L) 4L1/4 K 1/4 3 1 = = 4L− /4 K /4 L L

P M eK =

f (K, L) 4L1/4 K 1/4 1 3 = = 4L /4 K − /4 K K

6

4. El problema de maximización de benecios de la empresa es: M ax{L,K} Π : p f (K, L) − wL − rK

las condiciones de primer orden son: ∂Π −3 1 = 0 → p L /4 K /4 = w ∂L ∂Π 1 −3 = 0 → p L /4 K /4 = r ∂K

Cojo la segunda ecuación: p L /4 K 1

−3/4

=r

L /4 =

rK 3/4 p

L /4 =

r3 K 9/4 p3

1

3

lo sustituyo en la primera ecuación: pK 1/4 

r 3 K 9/4 p3

p4

 =w

=w

r3 K 2

K(w, r, p) =

p2 r w1/2 3/2

Entonces: L /4 = 3

r4 L(w, r, p) =



r3

p2



9/4

p2 r 3/2 w1/2

p3 3

r 3/2 w1/2

=

p4

7

r 4 p6 p2 = 1/2 3/2 3/2 4 r p w r w 9/2

5. K(4, 4, 4) =

42 =1 4 41/2

L(4, 4, 4) =

42 =1 41/2 43/2

3/2

Cantidad ofrecida de producto: f (1, 1) = 4 · (1) /4 (1) /4 = 4 1

8

1

8.4

(a) 1.

2. M ax{L,K} Π : p L /4 K 1

1/2

− wL − rK

las condiciones de primer orden son: ∂Π 1 −3 1 = 0 → p − L /4 K /2 = w ∂L 4 ∂Π 1 1 −1 = 0 → p − L /4 K /2 = r ∂K 2

9

De la segunda ecuación saco: p L /4 K − /2 = 2r 1

1

2r pL1/4

K − /2 = 1

K

1/2

pL1/4 2r

=

Sustituyo en la primera ecuación: 1 −3 p − L /4 4



pL1/4 2r

 =w

p2 L−1/2 =w 8r 8rw p2

L− /2 = 1

p2 8rw

L /2 = 1

p4 (8wr)2

L(w, r, p) =

Entonces: K

1/2

p =



p4 (8wr)2

1/4

2r

p



=

K(w, r, p) =

p (8wr)1/2



2r p4

4r2 8rw

=

=

p2 2r(8wr)1/2

p4 32r3 w

Oferta de producto:  Y (w, r, p) =

p4 (8wr)2

1/4 

p4 32r3 w

1/2 =

p (8rw)

· 1/2

p2 p3 = 1 1 321/2 r3/2 w1/2 8| /2{z 32 /}2 r2 w 16

10

3. M in{L,K} CT : wL + rK s.a. L /4 K 1

1/2

=Y

Usaremos el método lagrangiano: L(L, K, λ) = wL + rK − λ(L /4 K 1

1/2

−Y)

Las tres condiciones de primer orden son:  ∂L 1 −3/4 1/2  K =0  ∂L = 0 → w − 4 λL 1 ∂L 1 /4 −1/2 =0 ∂K = 0 → r − 2 λL K   ∂L 1/4 1/2 = 0 → L K − Y = 0 ∂λ

Multiplicando la primera ecuación por L y la segunda por K : wL =

1 −3/4 1 1 λL L K /2 = λY 4 | {z } 4 L1/4 | {z } Y

rK =

1 1/4 −1/2 1 λL |K {z K} = λY 2 2 K 1/2 | {z } Y

Entonces: L=λ

Y 4w

K=λ

Y 2r

Sustituimos en la tercera ecuación para despejar λ: 

Y λ 4w

λ( /4+ /2) Y 1

λ /4 =

1

1/4

Y

3

Y

1/4

(4w) −1/4 Y 1/2

1/4 

Y λ 2r

(4w) − /4 Y 1

=Y 1/2

(2r) − /2 = Y

= Y Y − /4 (4w) 1

(2r) −1/2

1/2

11

1

1/4

Y − /2 (2r) 1

1/2

=Y

1/4

(4w)

1/4

(2r)

1/2

4/3  1 2 1 1 1 1 = Y /3 (4w) /3 (2r) /3 λ = Y /4 (4w) /4 (2r) /2

Sustituyo λ en L y K : Y 1/3 (4w) 1/3 (2r) 2/3 Y Y 4/3 (2r) 2/3 = = 4w (4w) 2/3

L(w, r, Y ) =

K(w, r, Y ) =

 2/3 4/3 2/3 1 Y r 2 w2/3

4/3 Y 1/3 (4w) 1/3 (2r) 2/3 Y w1/3 Y 4/3 (4w) 1/3 1/3 Y = 2 = 2r (2r) 1/3 r1/3

La función de costes a largo plazo será: CTlp = w L(w, r, Y ) + r K(w, r, Y )  2/3 4/3 2/3 4/3 1 Y r w1/3 1/3 Y + r 2 2 w2/3 r1/3  2/3 1 1 1 4 2 1 2 4 = Y /3 r /3 w /3 + 2 /3 Y /3 r /3 w /3 2 =w

Sacamos factor común:

CTlp (w, r, Y ) =

!  2/3  2/3    1 1 + 21/3 22/3 3 1/3 4 2 1 4/3 2/3 1/3 4 2 1 +2 Y /3 r /3 w /3 = Y r w = Y /3 r /3 w /3 2 22/3 22/3

4.

Función de oferta:  M ax{L,K} Π : p Y −



3 22/3

| c.p.o = p−

Y /3 r /3 w /3 {z } 4

CT

∂Π =0 ∂Y

4 3 1/3 2/3 1/3 Y r w =0 3 22/3 Y

1/3

=

p 4 22/3

12

r

2/3

w1/3

2

1

Y (w, r, p) =

p3 16 r2 w

Es la misma función de oferta que la que encontramos en el apartado 1. 5.

Nos esta hablando de la elasticidad: 4CT/CT

εCTlp ,w =

εCTlp ,w =

1 3

4w/w



=

4CT w 4w CT



3

Y 4/3 r2/3 w−2/3 w 1  = 4/3 2/3 1/3 3 3 Y r w 22/3

22/3



Si el salario w aumenta en 1 % el coste a largo plazo de producir Y unidades se incrementa en 1/3%. 6.

A corto plazo el capital es jo: M inCT = wL + rK s.a. L /4 K 1

1/2

=Y

Aislamos L en la restricción: L=K

−2

Y4

la substituimos en la función objetivo para encontrar la función de coste a corto plazo: CTcp (w, r, Y ) = w Y 4 K

−2

+ rK

7. CTcp (1, 1, Y ) = CTlp (1, 1, Y ) 4 −2

1Y 1

 +1=

3 22/3

13

 Y

4/3

1 /3 1 /3 2

1

(b) 1)

2. M ax{L,K} Π : p L /3 K 1

2/3

− wL − rK

las condiciones de primer orden son: ∂Π 1 −2 2 = 0 → p − L /3 K /3 = w ∂L 3 2 1 ∂Π −1 = 0 → p − L /3 K /3 = r ∂K 3

Multiplicando la primera ecuación por L y la segunda por K : 14

1 −2 2 p |L {z/3 L}K /3 = wL 3 L1/3

2 1 −1/3 p L /3 K | {z K} = rK 3 K 2/3

Suponiendo que Y = L1/3 K 2/3 reformulamos estas expresiones: 1 p Y = wL 3 2 p Y = rK 3

Despejamos L y K para encontrar las demandas óptimas de los factores: L=

pY 3w

K=

2pY 3r

Introducimos las demandas óptimas de los factores en la función de producción: L /3 K 1



pY 3w

1/3 

2/3

=Y

2pY 3r

2/3 =Y

Sacamos factor común: Y

1/3+2/3

 p 1/3  2p 2/3 =Y 3w 3r

 p 1/3  2p 2/3 =0 3w 3r

¾Que problema hay? Cuando la empresa tiene redimientos constantes de escala la función de oferta no está bien denida. Esta empresa es indeferente en cuanto a su nivel de producción.

15

(c). 1.

2. M ax{L,K} Π : p L /4 K 3

3/4

− wL − rK

las condiciones de primer orden son: 3 −1 ∂Π 3 = 0 → p − L /4 K /4 = w ∂L 4 3 3 ∂Π −1 = 0 → p − L /4 K /4 = r ∂K 4

Multiplicando la primera ecuación por L y la segunda por K :

16

3 −1 3 p |L {z/4 L}K /4 = wL 4 L3/4

3 3 −1/4 p L /4 K | {z K} = rK 4 K 3/4

Suponiendo que Y = L3/4 K 3/4 reformulamos estas expresiones: 3 p Y = wL 4 3 p Y = rK 4

Despejamos L y K para encontrar las demandas óptimas de los factores: L=

3 pY 4 w

K=

3 pY 4 r

Introducimos las demandas óptimas de los factores en la función de producción: L /4 K 3



Y

3 pY 4 w

3/4 



3/4+3/4

3 p 4 w

Y − /2 = 1

Y

1/2

 = 

Y (w, r, p) =

3/4



3 pY 4 r

3/4 

3 p 4 w

3 p 4 w

3 p 4 w

=Y 3/4 =Y

3 p 4 r

3/4 

−3/4 

−3/2 

17

3/4

3 p 4 r

3 p 4 r

3 p 4 r

=Y 3/4

−3/4

−3/2

3/2

=

(w r)
3 3 4 p

3. M in{L,K} CT : wL + rK s.a. L /4 K 3

3/4

=Y

Usaremos el método lagrangiano: L(L, K, λ) = wL + rK − λ(L /4 K 3

3/4

−Y)

Las tres condiciones de primer orden son:  ∂L 3 −1/4 3/4  K =0  ∂L = 0 → w − 4 λL 3 ∂L 3 /4 −1/4 =0 ∂K = 0 → r − 4 λL K   ∂L 3/4 3/4 = 0 → L K − Y = 0 ∂λ

Multiplicando la primera ecuación por L y la segunda por K : wL =

3 −1/4 3 3 λL L K /4 = λY 4 | {z } 4 L3/4 | {z } Y

rK =

3 3/4 −1/4 3 λL |K {z K} = λY 4 4 K 3/4 | {z } Y

Entonces: L=λ

3Y 4w

K=λ

3Y 4 r

Sustituimos en la tercera ecuación para despejar λ: 

3/2

λ

3Y λ 4w

3Y λ 4r

3/4 =Y

 3/2 3 3 3 3 Y /2 w− /4 r− /4 = Y 4

3/2

λ

3/4 

 −3/2 3 1 3 3 = Y − /2 w /4 r /4 4

18

 −1 3 1 1 1 Y − /3 w /2 r /2 λ= 4

Sustituyo λ en L y K :  −1 3 3Y 1 1 1 2 1 1 Y − /3 w /2 r /2 = Y /3 w− /2 r /2 4 4w  −1 3Y 3 1 1 1 2 1 1 Y − /3 w /2 r /2 K(w, r, Y ) = = Y /3 w /2 r− /2 4 4 r L(w, r, Y ) =

La función de costes a largo plazo será: CTlp = w L(w, r, Y ) + r K(w, r, Y ) =wY

2/3

w− /2 r /2 + r Y 1

1

2/3

w /2 r− /2 = 2Y 1

1

2/3

w /2 r /2 1

1

4.

Función de oferta: M ax{L,K} Π : p Y − |2Y c.p.o = p= Y

1/3

2/3

/2 /2 w {z r } 1

1

CT

∂Π =0 ∂Y

4 −1/3 1/2 1/2 w r Y 3 =

4 1/2 1/2 −1 w r p 3 3/2

Y (w, r, p) =

(w r)
3 3 4 p

Es la misma función de oferta que la que encontramos en el apartado 1.

19

5.

Nos esta hablando de la elasticidad: 1 2

εCTlp ,w =

2Y 2/3 w−1/2 r1/2 w 1 = 2/3 1/2 1/2 2 2Y w r

Si el salario w aumenta en 1 % el coste a largo plazo de producir Y unidades se incrementa en 1/2%. 6.

A corto plazo el capital es jo: M inCT = wL + rK s.a. L /4 K 3

3/4

=Y

Aislamos L en la restricción: L=K

−1

Y

4/3

la substituimos en la función objetivo para encontrar la función de coste a corto plazo: CTcp (w, r, Y ) = w K

−1

Y

4/3

+ rK

7. CTcp (1, 1, Y ) = CTlp (1, 1, Y ) Y Y

4/3

4/3

+ 1 = 2Y

− 2Y

2/3

2/3

+1=0

Tenemos una ecuación de segundo grado: ∗

Y =

2±

p

4 − 4(1)(1) =1 2

20

(d) 1.

2.

La empresa tiene rendimientos constantes de escala.

21

(e) 1.

2.

La empresa tiene rendimientos constantes de escala.

8.5 M ax{L} Π : pL /2 K 1

c.p.o :

1/2

− wL − rK

∂Π =0 ∂L

1/2 1/2 pL−1/2 K

22

−w =0

2w

L− /2 = 1

pK

1/2

1/2

L /2 = 1

pK 2w

L(w, p) =

p2 K (2w)2

Función de oferta:  Y (w, p) =

p2 K (2w)2

1/2 K


1/2

=

pK

1/2

K 2w

1/2

=

pK 2w

• ¾Cómo afecta un cambio en el precio del factor trabajo w en la oferta ? pK ∂Y =− ∂w 2 p y K son positivos por lo tanto un aumento de w disminuye la producción.

• ¾Cómo afecta un cambio en el precio del producto p en la oferta ? ∂Y K = ∂p 2w w y K son positivos por lo tanto un aumento de p aumenta la producción.

8.6 M ax{Y } Π : pY − Y 3 + 7Y 2 − 17Y − 66 c.p.o :

∂Π =0 ∂Y

Entonces: p − 3Y 2 + 14Y − 17 = 0

Reescribimos: 23

−3Y 2 + 14Y − (17 − p) = 0

Tenemos una ecuación de segundo grado:

Y =

−14 ±

p √ 142 − 4(−3)(−17 + p) 14 + 12p − 8 = , para p ≥ 2/3 2(−3) 6

Gráco:

8.7 1. f (λL) = (λL)α = λα Lα

Es una función homogénea de grado α. 2. Y = Lα

24

L=Y

1/α

CT = w Y

1/α

3. CM g =

1 (1−α)/α wY α

4. CM e =

w Y 1/α (1−α)/α = wY Y

Sí es cierto.

8.8 1. M in{L,K} 2L + K s.a. 27L2 K = Y

Utilizamos el lagrangiano: L(L, K, λ) = 2L + K − λ(27L2 K − Y )

Condiciones de primer orden: 2 − 2λ27LK = 0 → 27LK = 1 − λ27L2 = 0 → 27L2 =

1 λ

1 λ

27L2 K − Y = 0 → 27L2 K = Y

Igualamos la primera y segunda ecuación: 27LK = 27L2

25

K=L

Sustituimos en la tercera ecuación: 27L2 L = Y  L=

Y 27

 K=

1/3

Y 27

1/3

Costes Totales:  CT = 2

Y 27

1/3

 +

Y 27

26

1/3

 =3

Y 27

1/3

2.  CM e = 3  CM g =

1 27

1 27

1/3

1/3

Y − /3

Y − /3

3. M in{L,K} 2L + K s.a. 27L2 K = Y

Aislamos K en la restricción: K=

Y 27L2

27

2

2

y lo sustituimos en la función objetivo: 2L +

Y 27L2

Derivamos con respecto a L e igualamos a zero: 2−

2Y =0 27L Y 27

L=

Costes Totales: CT =

2 Y +1 27

4. CM e =

2 1 + 27 Y

28

CM g =

29

2 27