8.4. CRITERIO DE ESTAB.: METODO DE LIAPUNOV 309

8.4.

CRITERIO DE ESTABILIDAD POR EL METODO DIRECTO DE LIAPUNOV

Consideremos el sistema aut´onomo dx = F (x, y) dt dy = G(x, y), dt

(8.32)

y supongamos que tiene un punto cr´ıtico aislado; sea (0, 0) dicho punto cr´ıtico (un punto cr´ıtico (x0 , y0 ) se puede llevar al or´ıgen mediante la traslaci´on de coordenadas x = u − x0 , y = v − y0 ). Sea Γ(x(t), y(t)) una trayectoria de (8.32) y consideremos la funci´on E(x, y) continua y con primeras derivadas parciales continuas en una regi´on que contiene a la trayectoria. Si un punto (x, y) se mueve a lo largo de las trayectorias de acuerdo a las ecuaciones x = x(t) y y = y(t), entonces E(x, y) = E(x(t), y(t)) = E(t) es una funci´on de t sobre Γ , su raz´on de cambio es E 0 (x, y) =

dE ∂E dx ∂E dy ∂E ∂E = + = F+ G dt ∂x dt ∂y dt ∂x ∂y

(8.33)

Esta f´ormula es la idea principal de Liapunov. Definici´ on 8.5. Supongamos que E(x, y) es continua y tiene primeras derivadas parciales continuas en una regi´on que contiene al origen. Si E(0, 0) = 0 y i. Si E(x, y) > 0 para todo (x, y) 6= (0, 0), decimos que E es definida positiva. ii. Si E(x, y) < 0 para todo (x, y) 6= (0, 0), decimos que E es definida negativa. iii. Si E(x, y) ≥ 0 para todo (x, y) 6= (0, 0), decimos que E es semidefinida positiva.

310

CAP´ITULO 8. INTROD. A LA TEORIA DE ESTABIL.

iv. Si E(x, y) ≤ 0 para todo (x, y) 6= (0, 0), decimos que E es semidefinida negativa. Nota: E(x, y) = ax2m + by 2n con a > 0, b > 0 y m, n enteros positivos, es definida positiva. E(x, y) es definida negativa si y solo si −E(x, y) es definida positiva. E(x, y) = ax2m + by 2n con a < 0 y b < 0 y m, n enteros positivos, es definida negativa. x2m es semidefinida positiva, ya que x2m = 0 para todo (0, y) y x2m > 0 para todo (x, y) 6= (0, 0). Similarmente se demuestra que y 2n , (x − y)2m son semidefinidas positivas. Si E(x, y) es definida positiva, entonces z = E(x, y) es la ecuaci´on de una superficie que podr´ıa parecerse a un parabolo´ıde abierto hacia arriba y tangente al plano XY en el or´ıgen (ver figura 8.18). Definici´ on 8.6 (funci´ on de Liapunov). Decimos que E(x, y) es una funci´on de Liapunov para el sistema (8.32), si E(x, y) es continua, con primeras derivadas parciales continuas en una regi´on que contiene al or´ıgen. E(x, y) es definida positiva. Existe la derivada de E a lo largo de las trayectorias u o´rbitas del sistema (8.32) y sea menor o igual que cero sobre la trayectoria, es decir, que exista la siguiente derivada, ∂E ∂E dE dE = F+ G= (x, y) = E 0 (x(t), y(t)) ≤ 0 dt ∂x ∂y dt

(8.34)

= ∂E F + ∂E G = dE (x, y) = E 0 (x(t), y(t)) < 0, decimos que cuando dE dt ∂x ∂y dt E(x, y) es una funci´on de Liapunov estricta.

8.4. CRITERIO DE ESTAB.: METODO DE LIAPUNOV 311 z

y

x

Figura 8.18

Nota: Si (8.34) fuera semidefinida negativa impl´ıca que E 0 (x, y) =

∂E ∂E dE = F+ G≤0 dt ∂x ∂y

y esto impl´ıca que E es no creciente a lo largo de las trayectorias de (8.32) pr´oximas al or´ıgen. Por lo anterior las funciones E generalizan el concepto de energ´ıa total de un sistema f´ısico.

312

CAP´ITULO 8. INTROD. A LA TEORIA DE ESTABIL.

Teorema 8.4 ( Criterio de Liapunov). a. Si existe una funci´on de Liapunov para el sistema (8.32) entonces el punto cr´ıtico (0, 0) es estable. b. Si existe una funci´on de Liapunov estricta para el sistema (8.32) entonces el punto cr´ıtico (0, 0) es asint´oticamente estable. c. Si E 0 (x, y) es definida positiva entonces (0, 0) es un punto cr´ıtico inestable.

Demostraci´ on: sea C1 un circunferencia de radio R > 0 centrado en el or´ıgen de tal manera que C1 se halla dentro del dominio de definici´on de la funci´on E. Como E(x, y) es continua y definida positiva, tiene un m´ınimo positivo m en C1 . Adem´as, E(x, y) es continua en el or´ıgen y se anula en ´el, luego podemos hallar un n´ umero positivo r < R tal que 0 ≤ E(x, y) < m si (x, y) est´a dentro de la circunferencia C2 de radio r (Ver figura 8.19). Sea Γ(x(t), y(t)) cualquier trayectoria que est´e dentro de C2 para t = t0 , entonces E(t0 ) < m y como (8.34) es semidefinida negativa, entonces dE = dt ∂E ∂E F + G ≤ 0 lo cual impl´ ıca que E(t) ≤ E(t ) < m para todo t > t 0 0, ∂x ∂y luego la trayectoria Γ nunca puede alcanzar la cirdunferencia C1 en un t > t0 lo cual impl´ıca que hay estabilidad. Probemos la segunda parte del teorema. Probemos que, bajo la hip´otesis adicional ( dE < 0), E(t) → 0, porque al ser dt E(x, y) definida positiva, impl´ıca que Γ se aproxima al punto cr´ıtico (0, 0). Como dE < 0, entonces E(t) es decreciente y como E(t) est´a acotada dt inferiormente por 0, entonces E(t) tiene un l´ımite L ≥ 0 cuando t → ∞. Supongamos que L > 0. Sea r < r (ver figura 8.19) tal que E(x, y) < L para (x, y) dentro de la circunferencia C3 de radio r, como la funci´on (8.34) es continua y definida negativa, tiene un m´aximo negativo −k en el anillo limitado por las circunferencias C1 y C3 . Este anillo contiene a toda trayectoria Γ para t ≥ t0 , luego de la ecuaci´on E(t) = E(t0 ) +

Z

t t0

dE dt y dt

dE ≤ −k dt

8.4. CRITERIO DE ESTAB.: METODO DE LIAPUNOV 313 y

c1

c2 t = t0 • r

r•

•R

x

c3 Γ

Figura 8.19

se obtiene la desigualdad: E(t) ≤ E(t0 ) − k(t − t0 ) ∀t ≥ t0 Pero el lado derecho de la desigualdad tiende a −∞ cuando t → ∞, es decir, l´ım E(t) = −∞, pero E(x, y) ≥ 0 (Absurdo!), luego L = 0. ¥ t→∞

Ejemplo 4. La E.D. de una masa m sujeta a un resorte de constante k, en un medio que ofrece un amortiguamiento de coeficiente C es m

dx d2 x + kx = 0 +C 2 dt dt

donde C ≥ 0, k > 0. Analizar la estabilidad de su punto cr´ıtico. Soluci´on: El sistema aut´onomo equivalente es: dx = y; dt

dy k C =− x− y dt m m 2

Su u ´nico punto cr´ıtico es (0, 0). La energ´ıa cin´ es my2 y la energ´ıa poRetica x tencial (o energ´ıa almacenada en el muelle) es 0 kx dx = 12 kx2

314

CAP´ITULO 8. INTROD. A LA TEORIA DE ESTABIL.

Luego la energ´ıa total: E(x, y) = como

1 2

my 2 + 12 kx2 la cual es definida positiva,

µ ¶ ∂E k C ∂E F+ G = kxy + my − x − y = −Cy 2 ≤ 0 ∂x ∂y m m Luego, E(x, y) es una funci´on Liapunov para el sistema y por tanto (0, 0) es estable. Se sabe que si C > 0 el punto cr´ıtico (0, 0) es asint´oticamente estable, pero la funci´on Liapunov no detecta este hecho. Ejemplo 5. (Resorte no lineal). Este es un ejemplo de una masa m = 1 sujeta a un resorte no lineal, en el cual la fuerza restauradora es una funci´on de la distancia de la masa al origen, sea −f (x) una funci´on no lineal que representa la fuerza restauradora tal que f (0) = 0 y xf (x) > 0 si x 6= 0; no hay fricci´on. La E.D. de su movimiento es d2 x + f (x) = 0 dt2 Analizar la estabilidad de su punto cr´ıtico. Soluci´on: el sistema aut´onomo equivalente es x0 = y y 0 = −f (x) Su u ´nico punto cr´ıtico es (0, 0). La energ´ıa cin´etica es 21 x02 = 12 y 2 y la energ´ıa potencial es Z x

f (x) dx

F (x) =

0

y la energ´ıa total es

y2 2 Como x, f (x) tienen el mismo signo entonces F (x) ≥ 0 y por tanto E(x, y) es definida positiva. Adem´as E(x, y) = F (x) +

E 0 (x, y) = F 0 (x)x0 + yy 0 = f (x)y + y(−f (x)) = 0 es decir, es semidefinida negativa y por el teorema el punto cr´ıtico (0, 0) es estable. Igual que sucede con un resorte lineal, se puede demostrar que este

8.4. CRITERIO DE ESTAB.: METODO DE LIAPUNOV 315 punto cr´ıtico es un centro. Ejemplo 6. Analicemos la estabilidad del punto cr´ıtico del siguiente sistema x3 − x sen y, 3 y3 0 y = −y − 3

x0 = −x −

Soluci´on: (0, 0) es el u ´nico punto cr´tico. Sea E(x, y) = 12 (x2 + y 2 ), luego E 0 (x, y) = x(−x −

y3 x4 y4 x3 − x sen y) + y(−y − ) = −x2 − − y 2 − − x2 sen y 3 3 3 3

pero |x2 sen y| ≤ x2 y por tanto x2 + x2 sen y ≥ 0. Entonces E 0 (x, y) = −

x4 y4 x4 y4 − y2 − − (x2 + x2 sen y) ≤ − − y 2 − 0 y b2 − 4ac < 0. Semidefinida positiva si y solo si a > 0 y b2 − 4ac ≤ 0 Definida negativa si y solo si a < 0 y b2 − 4ac < 0 Semidefinida negativa si y solo si a < 0 y b2 − 4ac ≤ 0 Demostraci´ on. Veamos la primera parte. Si y = 0 entonces E(x, 0) = ax2 > 0 si x 6= 0 y a > 0 Si " µ ¶ # µ ¶ 2 x x y 6= 0 : E(x, y) = y 2 a +c +b y y y si a > 0, el polinomio cuadr´atico en ⇔ b2 − 4ac < 0.

x y

es positivo para todo

x y

¥

Ejercicio 1. Determinar si cada una de las siguientes funciones estan definidas positivas, negativas o semidefinidas positivas o negativas o ninguna de las anteriores. a) x2 − xy − y 2 , b) 2x2 − 3xy + 3y 2 , c)−2x2 + 3xy − y 2 , d) −x2 − 4xy − 5y 2 . (Rta.: a) Ninguna de las anteriores, b) Definida positiva, c) Ninguna de las anteriores, d) Definida negativa) 3

3

2

= xy 2 − x2 , dy = − y2 + yx5 Ejercicio 2.Dado el sistema dx dt dt Mostrar que (0, 0) es asint´oticamente estable (Ayuda: tomar V (x, y) = ax2 + by 2 ). Ejercicio 3. Dado el sistema Mostrar que (0, 0) es estable.

dx dt

= −6x2 y,

Ejercicio 4. Dado el sistema dx = −3x3 − y, dt Mostrar que (0, 0) es asint´oticamente estable.

dy dt

= −3y 3 + 6x3 dy dt

= x5 − 2y 3

8.4. CRITERIO DE ESTAB.: METODO DE LIAPUNOV 317 Ejercicio 5. Dado el sistema dx = −2x + xy 3 , dt Mostrar que (0, 0) es asint´oticamente estable.

dy dt

= −x2 y 2 − y 3

Ejercicio 6. Mostrar que (0, 0) es un punto cr´ıtico inestable del sistema x = F (x, y), y 0 = G(x, y), si existe una funci´on E(x, y) con las siguientes propiedades: a) E(x, y) es continua, con primeras derivadas parciales continuas en una regi´on del plano que contiene al origen. b) E(0, 0) = 0. c) Todo c´ırculo centrado en el origen, contiene al menos un punto para el cual E(x, y) es positiva. d) ( ∂E )F + ( ∂E G) es definida positiva. ∂x ∂y 0

Ejercicio 7. Utilizando el ejercicio anterior mostrar que (0, 0) es inestable = 2xy + x3 , dy = −x2 + y 5 para el sistema dx dt dt Ejercicio 8. Sea f (x) una funci´on tal que f (0) = 0 y xf (x) > 0 para x 6= 0 (es decir, f (x) > 0 si x > 0R y f (x) < 0 si x < 0) 0 a) Mostrar que E(x, y) = 12 y 2 + x f (x) dx esta definida positiva. 2 b) Mostrar que (0, 0) es un punto cr´ıtico estable del la E.D. ddt2x + f (x) = 0 c) Si g(x) ≥ 0 en un c´ırculo alrededor del origen, mostrar que (0, 0) es un punto cr´ıtico estable del sistema d2 x dx + g(x) + f (x) = 0 2 dt dt Ejercicio: 9. Dado el sistema x0 = y−xf (x, y), y 0 = −x−yf (x, y), donde f (0, 0) = 0 y f (x, y) tiene un desarrollo en serie de potencias convergente en una regi´on R alrededor del origen. Demostrar que el punto cr´ıtico (0, 0) es estable si f (x, y) ≥ 0 en alguna regi´on alrededor de (0, 0). asint´oticamente estable si f (x, y) es definida positiva en alguna regi´on alrededor de (0, 0). inestable si en toda regi´on alrededor de (0, 0) hay puntos (x, y) tales que f (x, y) < 0. Ejercicio: 10. Mediante el ejercicio anterior determinar la estabilidad de los siguientes sistemas a) x0 = y − x(y 3 sen 2 x), y 0 = −x − y(y 3 sen 2 x).

318

CAP´ITULO 8. INTROD. A LA TEORIA DE ESTABIL.

b) x0 = y − x(x4 + y 6 ), y 0 = −x − y(x4 + y 6 ). a) x0 = y − x( sen 2 y), y 0 = −x − y( sen 2 y). (Rta.: a) Inestable, b) Asint´oticamente estable, c) Estable.) Ejercicio: 11. Considere la ecuaci´on x00 + f (x, x0 ) + g(x) = 0 y suponga que f y g tienen primeras derivadas continuas y f (0, 0) = g(0) = 0 y yf (x, y) > 0 cuando y 6= 0 y xg(x) > 0 cuando x 6= 0. Trasforme la anterior E.D. en un sistema y luego demuestre que el punto cr´ıtico (0, 0) es estable. Ejercicio: 12. Con el resultado del anterior ejercicio, demostrar la estabilidad de la E.D. x00 + (x0 )3 + x5 = 0