9. Ecuaciones, parte III

Matem´aticas I, 2012-I

9. Ecuaciones, parte III El concepto de informaci´ on Ya hemos visto ejemplos de ecuaciones con una u ´nica soluci´on y otras que admiten dos soluciones. Ahora veremos unos ejemplos m´as extra˜ nos. Ejemplo 1. Resuelve la ecuaci´on x + 1 = x. Para ello restamos x: | −x

x+1=x 1=0

Ups - ¡algo pas´o! Perdimos la inc´ognita x por completo. Ya no aparece en la ecuaci´on. ¿C´omo debemos entonces “resolver” esta ecuaci´on? La respuesta es m´as f´acil de lo que parece: la ecuaci´on 1=0 es falso siempre, para cualquier valor de x. La consecuencia es que la ecuaci´on original no tiene ninguna soluci´on. Como “resolver una ecuaci´on” significa “encontrar todas las soluciones”, est´a ecuaci´on es f´acil de resolver: no tiene ninguna soluci´on. Falso ser´ıa responder “esto no se puede”. Ejemplo 2. Resuelve la ecuaci´on x2 + x = x(x + 1). Primero multiplicamos el lado izquierdo y luego restamos lo que se encuentra del lado derecho para tener todo de un lado: x2 + x = x(x + 1) x2 + x = x2 + x x=x 0=0

| Multiplicar | −x2 | −x

Tambi´en perdimos la inc´ognita, pero ahora la ecuaci´on es verdadera. No importa el valor de la inc´ognita x. La consecuencia: cualquier n´ umero x es 2 soluci´on de la ecuaci´on x + x = x(x + 1). Los dos ejemplos anteriores son extremos: una de ellas no tiene ninguna soluci´on, la otra tiene todos los n´ umeros como soluci´on. Si pensamos que la ecuaci´on expresa una informaci´on acerca de la inc´ognita, la primera expresa 9-1

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la imposibilidad, mientras la segunda expresa ninguna informaci´on ya que no restringe el valor de la inc´ognita. A cambio (x − 2)(x + 3) = 0 expresa la informaci´on “x = 2 o´ x = −3”. Cuando transformamos las ecuaciones hay que ser cuidadoso con esta informaci´on para que – en la medida de lo posible – no se altere. Desafortunadamente no siempre es posible resolver una ecuaci´on sin alterar la informaci´on contenida en ella. En lo que sigue estudiamos dos problemas.

Soluciones adicionales Si multiplicamos una ecuaci´on con un t´ermino que contiene la inc´ognita entonces es posible que se obtienen soluciones adicionales (que a veces se llaman extra˜ nas), esto son soluciones que no eran soluciones de la ecuaci´on original. Ejemplo 3. La ecuaci´on x−3=0

(9.1)

tiene una u ´nica soluci´on: x = 3. Pero si (por alguna raz´on) se multiplica (9.1) por el t´ermino x − 2 entonces se obtiene (x − 2)(x − 3) = 0. Esta ecuaci´on tiene dos soluciones: x = 2 y x = 3 pero s´olo la segunda es soluci´on de la ecuaci´on original (9.1). La primera es soluci´on de x − 2 = 0. Este ejemplo es ilustrativo y al mismo tiempo algo enga˜ noso: enga˜ noso porque nadie multiplicar´ıa la ecuaci´on (9.1) con x − 2 para resolverla. Es ilustrativo porque muestra que la soluci´on adicional es justo la que se obtiene al igualar a cero el t´ermino con el que se multiplic´o. Esto no es algo especial del ejemplo. Si tenemos alguna ecuaci´on, del estilo A = B, donde A y B son dos t´erminos en la inc´ognita x y la multiplicamos con x − 2 entonces obtenemos (x − 2)A = (x − 2)B. 9-2

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Esta ecuaci´on podemos factorizar: (x − 2)A = (x − 2)B (x − 2)A − (x − 2)B = 0 (x − 2)(A − B) = 0 x − 2 = 0 o´ A − B = 0 x = 2 o´ A = B

| −(x − 2)B | Factorizar x − 2 | Separar | Resolver

Es decir x − 2 = 0 o se tienen las soluciones de la ecuaci´on original A = B. Veamos ahora otros ejemplos. Ejemplo 4. Resuelve la ecuaci´on 1 1 2 + = 2 . x+3 x−3 x −9 Es importante observar primero que (x + 3)(x − 3) = x2 − 9. As´ı que, si multiplicamos ambos lados por (x + 3)(x − 3) entonces podemos resolver la ecuaci´on: 1 1 2 + = 2 x+3 x−3 x −9 (x − 3) + (x + 3) = 2 2x = 2 x=1

| ·(x + 3)(x − 3) | Sumar | ÷2

Para estar seguro de que x = 1 es soluci´on de la ecuaci´on original se sustituye. El lado izquierdo da 1 1 1 1 1 1 1 + = + = − =− 1+3 1−3 4 −2 4 2 4 mientras el lado derecho da 12

2 2 1 = =− . −9 −8 4

Como ambos valores coinciden se tiene que x = 1 es en efecto soluci´on de la ecuaci´on original. Ejemplo 5. Resuelve la ecuaci´on 1 1 6 + = 2 . x+3 x−3 x −9 9-3

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Se observa que este ejemplo es casi igual al anterior excepto que el numerador del lado derecho es 6 y no 2. Se procede de manera similar: 1 1 6 + = 2 x+3 x−3 x −9 (x − 3) + (x + 3) = 6 2x = 6 x=3

| ·(x + 3)(x − 3) | Sumar | ÷2

Ahora la sustituci´on da 1 1 1 + = . 6 0 0 Pero la divisi´on entre cero no se permite en matem´aticas. Por ello x = 3 no es una soluci´on de la ecuaci´on anterior sino una adicional que se a˜ nadi´o al multiplicar por x − 3. Tambi´en al elevar al cuadrado se pueden obtener nuevas soluciones como muetsra el siguiente ejemplo. Ejemplo 6. La ecuaci´on x+2=5 tiene solamente una soluci´on: x = 3. Pero si elevamos al cuadrado ambos lados obtenemos (x + 2)2 = 25 x(x + 2) + 2(x + 2) = 25 x2 + 2x + 2x + 4 = 25 x2 + 4x + 4 = 25 x2 + 4x − 21 = 0 (x + 7)(x − 3) = 0 x + 7 = 0 o´ x − 3 = 0 x = −7 ´o x = 3

| Multiplicar | Multiplicar | Sumar | −25 | Factorizar | Separar | Resolver

Es decir, la ecuaci´on despu´es de elevar al cuadrado tiene una soluci´on adicional: x = −7. 9-4

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P´ erdida de soluciones Para resolver la ecuaci´on x2 = x uno podr´ıa estar intentado a dividir ambois lados entre x: x2 = x x=1

| ÷x

Pero al dividir entre un t´ermino que contiene la inc´ognita se puede perder una soluci´on. En este caso se perdi´o la soluci´on x = 0. La manera correcta de resolver la ecuaci´on es usar la factorizaci´on: x2 = x x2 − x = 0 x(x − 1) = 0 x = 0 o´ x − 1 = 0 x = 0 o´ x = 1

| −x | Factorizar x | Separar | Resolver

Recuerda: evita dividir entre un t´ ermino que contiene la inc´ ognita y mejor usa la factorizaci´ on. Otro error se comete cuando se saca la ra´ız cuadrada sin considerar ambos signos posibles. Ejemplo 7. La ecuaci´on x2 = 9 tiene dos soluciones: x = 3 y x = −3 ya que (−3)2 = (−3) · (−3) = 9. Pero si sacamos la ra´ız cuadrada obtenemos √ x2 = 9 | x=3 Se perdi´o la soluci´on x = −3. Este error se corrige al sacar la ra´ız con ambos signos posibles: √ x2 = 9 |± x = ±3 Es suficiente introducir el signo en uno de los dos lados ya que −x = ±3 equivale a x = ∓3. Recuerda: No se pierde ninguna soluci´ on al sacar la ra´ız cuadrada si se consideranambos signos. 9-5

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Ejercicios 1jResuelve las siguientes ecuaciones:

(a) (T + 1)(T − 1) = T 2 − 1 1 1+x = (b) x x 3x − (1 − x) (c) =4+x 4 (d) (z − 1) · (z + 1) · [z − (−z)] = 0 2jResuelve las siguientes ecuaciones:

1 2 1 + = 2 x+2 x−2 x −4 3 5 (b) − =0 a−7 a+7 2 t−4 − =1 (c) t+4 t−4 14 7 1 (d) 2 − = z −9 z+3 z−3 (a)

3jResuelve las siguientes ecuaciones

(a) z 2 − 4 = 0 (b) x2 + 1 = 0 2

(c) (x2 − 26) = 100 (d) t4 − 13t2 + 36 = 0 (e) (x2 − 1)(x2 − 2)(x2 − 3)(x2 − 4) = 0 4jResuelve las siguientes ecuaciones

√ √ 2t2 − 3 = t2 + 1 √ √ (b) e2 − 4 = 3e √ √ (c) x2 − 4 = 2 − x p √ (d) (u − 3)(u + 3) = 4u + 3 (a)

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