3. Ecuaciones, parte I

Matem´aticas I, 2012-I

3. Ecuaciones, parte I La ecuaci´ on es como una balanza Una ecuaci´on es como una balanza en equilibrio: en la balanza se exhiben dos objetos del mismo peso en ambos lados mientras que en la ecuaci´on se exhiben dos n´ umeros o expresiones del mismo valor en ambos lados. Por ejemplo: la siguiente balanza expresa que :

es tres veces m´as pesado que

Como f´ormula, este hecho se escribe as´ı: 1

=3 .

En matem´aticas es m´as com´ un (pero no necesario) usar letras en lugar de s´ımbolos. Algunas balanzas se ver´an entonces as´ı:

A

BB

AAB

Balanza 1

AA

ABB

Balanza 2

BB

BAC

Balanza 3

BBBCA

Balanza 4

La primera balanza se escribe en lenguaje matem´atico como A = 2B ya que hay dos B’s del lado derecho. El objeto A pesa lo doble del objeto B. La ecuaci´on de la segunda balanza es 2A + B = A + 2B ya que del lado izquierdo hay dos A’s y adem´as un B. Sabemos que una balanza se mantiene en equilibrio si le quitamos en ambos lados lo mismo. Si quitamos un A y un B en ambios lados, nos queda del lado izquierdo un A y del lado derecho un B. Eso lo escribimos como A = B. Los dos objetos pesan entonces lo mismo. La ecuaci´on de la tercera balanza se escribe como 2A = 2B. Sabemos que si dividimos el peso en ambos lados a la mitad, entonces la balanza sigue en equilibrio si as´ı lo estaba desde antes. Por ello A pesa lo mismo que B. Nuevamente tenemos A = B. 3-1

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La ecuaci´on de la cuarta balanza es B + A + C = 3B+ C + A. Si quitamos uno de cada uno de los s´ımbolos en ambos lados obtenemos que del lado derecho quedan dos B y del lado izquierdo nada. El “nada” se expresa como cero en las matem´aticas. Obtenemos entonces la ecuaci´on 0 = 2B. Podemos dividir ambos lados en dos partes iguales ya que 0 + 0 = 0. Concluimos que 0 = B o como es m´as usual escribir B = 0. Es decir, B es cero, lo que equivale en nuestra situaci´on a que B es un objeto sin peso alguno. Del peso de A y C no sabemos nada en esta situaci´on.

Las operaciones con ecuaciones que son permitidas Hemos usado las siguientes operaciones: Quitar (restar) en ambos lados lo mismo, o a˜ nadir (sumar) en ambos lados lo mismo. Dividir ambos lados entre dos. Pero tambi´en podr´ıamos dividirlo en tres, cuatro o m´as partes si en ambos lados hacemos lo mismo. Tambi´en podriamos multiplcar ambos lados por un n´ umero, siempre que este no sea cero. Intercambiar el contenido de los dos lados. Estas operaciones pueden emplearse siembre en cualquier ecuaci´on.

Trabajar con las expresiones En lo que sigue veremos c´omo se puede obtener la soluci´on de una ecuaci´on dada en varios ejemplos. Ejemplo 1. Se quiere resolver la ecuaci´on x + 5 = 20. Si se resta en ambos lados 5 se obtiene x + 5 = 20 x + 5 − 5 = 20 − 5 x = 15

| −5 | simplificar

Usualmente no se escribe el paso intermedio antes de simplificar, sino esto se hace en la mente. 3-2

3. Ecuaciones, parte I

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Ejemplo 2. Resuelve la siguiente ecuaci´on en la inc´ognita z: 3z + 7 = 22. La inc´ognita se encuentra del lado izquierdo. El lado izquierdo es una suma de un t´ermino que contiene la inc´ognita (3z) y el n´ umero 7. Si restamos 7 en ambos lados la situaci´on se simplifica: 3z + 7 = 22 3z = 15

| −7

Ahora, el lado izquierdo es un producto del n´ umero 3 y la inc´ognita. Por ello dividimos ambos lados entre 3 para obtener el resultado: 3z = 15 z=5

| ÷3

Ejemplo 3. Se quiere resolver la siguiente ecuaci´on en la inc´ognita t: 3t + 6 = 5t − 14. Ahora la inc´ognita se encuentre en ambos lados. Ambos lados son una suma de un t´ermino que contiene la inc´ognita y un n´ umero. Si restamos 5t en ambos lados, del lado derecho queda solamente un n´ umero y obtenemos 3t + 6 = 5t − 14 3t + 6 − 5t = −14 (3 − 5)t + 6 = −14 −2t + 6 = −14

| −5t | simplificar | simplificar

Ahora restamos 6 en ambos lados para que se simplifique el lado izquierdo: −2t + 6 = −14 −2t = −20

| −6

Ambos lados aparecen con un signo negativo. Por ello obtenemos signos positivos si multiplicamos ambos lados por −1: −2t = −20 2t = 20 t = 10

| ·(−1) | ÷2

M´as adelante veremos ejemplos m´as complicadas de ecuaciones. 3-3

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3. Ecuaciones, parte I

La comprobaci´ on Que alg´ un n´ umero sea o no soluci´on de una ecuaci´on se puede comprobar f´acilmente al sustituir la inc´ognita por el n´ umero dado: Ejemplo 4. El n´ umero 3 es soluci´on de la ecuaci´on 3x + 1 = 10 porque al sustituir la inc´ognita x por el valor 3 se obtiene del lado izquierdo 3 · 3 + 1 = 9 + 1 = 10 que es el mismo n´ umero que el lado derecho. Por otro lado, 2 no es una soluci´on ya que al sustituir x por 2 se obtiene del lado izquierdo 3 · 2 + 1 = 6 + 1 = 7 que no es igual a 10. Ejemplo 5. El n´ umero 1 es soluci´on de la ecuaci´on 3x3 + x + 1 = 5x2 , porque al sustituir la inc´ognita x por el valor 1 se obtiene del lado izquierdo 3 · 13 + 1 + 1 = 3 · 1 + 1 + 1 = 3 + 1 + 1 = 5 mientras del lado derecho se obtiene 5 · 15 = 5 · 1 = 5. Por otro lado 0 no es una soluci´on: al sustituir x por 0 el lado izquierdo da 3·03 +0+1 = 3·0+1 = 0+1 = 1 mientras el lado derecho da 5·05 = 5·0 = 0. La comprobaci´on es u ´ til sobre todo despu´es de largas cadenas de transformaciones de las ecuaciones. La comprobaci´on puede detectar errores cometido en estas transformaciones. En el Ejemplo 3 la comprobaci´on resulta as´ı: Si susituimos t por 10 en la ecuaci´on 3t+ 6 = 5t−14 obtenemos del lado izquierdo 3· 10 + 6 = 30 + 6 = 36 y del lado derecho 5t − 14 = 5 · 10 − 14 = 50 − 14 = 36. Esto muestra que t = 10 es en efecto una soluci´on de la ecuaci´on dada.

Sobre la notaci´ on La notaci´on en matem´aticas es producto de una larga historia. En cualquier momento es una convenci´on, pero desde hace como 200 a˜ nos, esta convenci´on ya no ha cambiado sustancialmente. Por ejemplo, se anota 3 para expresar que se tienen tres . El n´ umero 3 sirve entonces como un “contador”. Por otro lado 3 · es el producto del n´ umero 3 con el objeto . Pero resulta, que por definici´on, multiplicar algo por tres es como tomar la suma de algo+algo+algo. As´ı que se tiene 3·

=

+ 3-4

+

=3 .

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Aunque el lado izquierdo expresa formalmente algo diferente del lado derecho, ambos lados siempre tendr´an el mismo valor. Por ello se suele omitir el s´ımbolo de producto si esto no puede causar confusi´on. Por ejemplo: 3x es tres veces x. Pero si sustituimos x por 4 entonces no podemos escribir 34 ya que esto se confundir´ıa con el n´ umero “treinta y cuatro”. Hay que hacer expl´ıcito que se trata de un producto en este caso: 3 · 4. Hemos visto que de vez en cuando hay que escribir par´entesis para aclarar cu´al operaci´on debe ejecutarse primero: (2 + 1) · 3 = 3 · 3 = 9 pero 2 + (1 · 3) = 2 + 3 = 5. En la expresi´on de la izquierda hay que sumar primero, en la expresi´on a la derecha hay que multiplicar primero. Si simplemente escribieramos 2 + 1 · 3 no ser´ıa claro cu´al de las dos opciones es la correcta. Para no siempre tener que escribir par´entesis, se estableci´o una regla general en qu´e orden deben ejecutarse las operaciones. Por ello es importante hablar primero de la jerarqu´ıa de las operaciones: La multiplicaci´on es una itearci´on de la suma: 6x es simplemente una abreviaci´on para x + x + x + x + x + x. Vi´endolo de esta manera, la multiplicaci´on es de un nivel de complejidad mayor que la suma. Similarmente la potenciaci´on es una iteraci´on del producto: por ejemplo, x6 es una abreviaci´on para x·x·x·x·x·x. Por ello, la potenciaci´on es m´as complejo que la multiplicaci´on (y la suma). La primera regla es que las operaciones se ejecutan en la jerarqu´ıa de mayor a menor complejidad : primero la potenciaci´on, luego los productos y divisiones y al final las sumas y restas. Ejemplo 6. En la expresi´on 2+3∧2·4 hay que evaluar primero la potenciaci´on: 2 + (3 ∧ 2) · 4 = 2 + 9 · 4. Luego la multiplicaci´on 2 + 9 · 4 = 2 + 36 y finalmente la suma 2 + 36 = 38. La segunda regla a seguir es: si no se quiere evaluar en este orden, entonces hay que colocar par´entesis adecuados: Ejemplo 7. Si se quere primero efectuar la suma en la expresi´on 2 + 3 ∧ 2 · 4 entonces hay que anotarlo as´ı: (2 + 3) ∧ 2 · 4. Ejemplo 8. Se debe multiplicar x − 5 por 3. 3-5

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3. Ecuaciones, parte I

Hay que multiplicar x − 5 de un lado por 3 del otro lado. Es decir, se debe calcular (x − 5) · (3). Pero los par´entesis alrededor del 3 no agrupan nada y por lo tanto no se requiere. Sin par´entesis ser´ıa x−5 · 3. Como el producto se evalua primero se obtendr´ıa x − 5 · 3 = x − 15, que no es lo mismo que (x − 5) · 3 = x · 3 − 5 · 3 = 3x − 15. Por ello hay que poner los parentesis as´ı: (x − 5) · 3.

3-6

3. Ecuaciones, parte I

Matem´aticas I, 2012-I

1jDetermina c´ omo se comparan el peso de A con los pesos de B y C en los

siguientes ejemplos (a), (b), (c) y (d).

AAAABB

AABBB

ABCC

Balanza (a)

AA

CBC

Balanza (b)

BBCC

AAAB

Balanza (c)

BBBBCCC

Balanza (d)

2jLas siguientes dos balanzas est´ an en equilibrio. Expresa el peso de

de

por el peso de

y

.

3j¿Cu´ antas

hay que poner del lado derecho en la balanza a la derecha para equilibrarla?

4jResuleve las siguientes ecuaciones:

(a) 5x − 12 = 3 en la inc´ognita x. (b) 2a = 3a − 1 en la inc´ognita a. (c) 1000t + 1 = t + 1000 en la inc´ognita t. (d) 3 · (y + 2) = 12 en la inc´ognita y. 5jResuleve las siguientes ecuaciones:

(a)

x+3 2

= 4 en la inc´ognita x.

(b) 2(z + 1) = 3(z + 2) en la inc´ognita z. (c)

α 3

+ 2 = α2 + 3 en la inc´ognita α (α es la primera letra del alfabeto griego y se lee como “alfa”).

(d) 3 ·

b−1 2

= 12 en la inc´ognita b.

6jEn cada caso determina si el n´ umero dado es soluci´on o no de la ecuaci´on

dada: 3-7

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3. Ecuaciones, parte I

(a) x = 0 de la ecuaci´on x4 − x2 = x5 . (b) z = 1 de la ecuaci´on

1−z 1+z 3

=0

(c) t = 2 de la ecuaci´on t − 2t2 + t = 1 (d) α = −1 de la ecuaci´on

1−α α2

= α3 + 3

7j¿Hay que poner par´ entesis o no? Argumenta tu respuesta.

(a) Al sumar a y c · d. (b) Cuando se resta 3 de x − 2. (c) Cuando se eleva al cuadrado 2 + x. (d) Cuando se eleva al cuadrado 2 · x. (e) Cuando se divide 1 ÷ 2 entre x. 8jEn las siguientes expresiones, determina si los par´ entesis est´an necesarios

(y por lo tanto apropiados), superfluos (correctas pero innecesarias) o err´oneos (que no tiene sentido la expresi´on). (a) (3 ÷ 4) ∧ 2

(b) 9(−)t

(c) 5 + (2 · a)

(d) (a2 )3

3)

(e) a(2

(f) [a − (b − 2] − 1)

(g) 3 ∧ (x − 1)

(h) a + (b∧)2

3-8