REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA EXPERIMENTAL LIBERTADOR INSTITUTO DE MEJORAMIENTO PROFESIONAL DEL MAGISTERIO SECRETARIA NUCLEO TACHIRA

Sistema de ecuaciones Parte II R e g l a d e Cr a m e r

La

regla

de

C r am e r

s i r ve

para

r e s o l ve r

sistemas

de

e c u a c i o n e s l i n e a l e s . S e a p l i c a a s i st em a s q u e c u m p l a n la s d o s c o n d i c i o n e s s i g u i e nt e s :

E l n ú m e r o d e e c u ac i o n e s e s i g u a l a l nú m e r o d e i n c ó g ni t a s .

E l d e t e r m i n a nt e d e l a m a t r i z d e l o s c o ef i c i e n t e s e s d i st i nt o de cero.

T a l e s si s t em a s s e d e n o m i n a n s i st e m as d e C r am e r .

S e a Δ e l d et e r m i n an t e d e l a m at r i z d e c o ef i c i e n t e s .

Y sean: Δ 1, Δ

2

, Δ

3

... , Δ

n

1 Dr. Rodolfo Márquez [email protected]

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los

d e t er mi n a n t es

que

se

o bt i en e

al

s u st i t u i r

los

c o e f i ci e n t e s d el 2º m i e m b r o ( l o s t é rm i n o s i n d e p e n d i e nt e s ) en l a 1 ª c o l u m n a , en l a 2 ª c o l u m n a , e n l a 3 ª c o l u m n a y e n l a e n é s i m a c o l um n a re s p e c t i va m e n t e.

U n s i s t em a d e C ra m e r t i e n e u n a s o l a s o l u c i ó n q ue vi e n e d a d a p o r l a s s ig u i e n t e s e xp r e s i o n e s :

2 Dr. Rodolfo Márquez [email protected]

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Ejemplo

T e or e m a d e R o u c h é - F r ö b e n i u s

L a c o n d i c i ó n n e c e sa r i a y s uf i c i e n t e p ar a q u e u n s i st e m a de m e c u a c i o n e s y n i n c ó g n i t a s t e ng a s o l u ci ó n e s q u e e l r a n go d e l a m a t ri z d e l o s c o ef i ci e n t e s y e l d e l a m a t r i z am p l i a da s e a n i g u a l e s.



r = r ' S i st e m a C o mp a t i bl e . 3 Dr. Rodolfo Márquez [email protected]

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o

r = r '= n S i st e m a Co m p a t i b l e D e t e rm i n a d o .

o

r

=

r'≠

n

S i s t em a

C om p a t i b l e

I n d e t e rm i n a d o. 

r ≠ r' Si s t e ma I n c om p a t i b l e.

E s t u d i a r y r es o l ve r , s i e s p o s i b l e , e l s i s t e m a :

1 . T o m am o s l a m a t r i z d e l o s c o e f i c i e n t e s y l e h a l l a m o s e l r a ng o .

r ( A) = 3

2 . H a l l a m o s e l r a ng o d e l a m a t r i z a m p l i a d a

4 Dr. Rodolfo Márquez [email protected]

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r ( A' ) = 3

3 . A p l i c a m o s e l t e ore m a d e R o u c h é .

4 . S e r e s u e l ve e l s i s t e m a, s i é s t e n o e s i n c o m p a t i b l e , p o r l a r eg l a d e Cr am e r o p or e l m ét o d o d e G a u s s

T om a m o s e l s i s t em a q u e c o r r e s p o n d e a l a s u b m at r i z d e o r d e n 3, q u e t i e n e r a n g o 3 , y l o r e s o l ve m o s .

5 Dr. Rodolfo Márquez [email protected]

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S i s te mas homogéne os

S i u n s i st e m a d e m e c u a c i o n e s y n i n c ó g n i t a s t i e n e t od o s l o s t é r mi n o s i n d e pe n d i e n t e s n u l o s s e d i c e q u e e s h o m og é n e o .

S ó l o a d m i t e l a s o l uc i ó n t r i vi a l : x 1 = x 2 = . . . = x n = 0 .

L a c o n d i c i ó n n e c e s a r i a y s u f i c i e n t e p a r a q u e u n s i s t em a h o m og é n e o t e n g a s o l u c i o n e s di s t i n t a s d e l a t ri vi a l e s q u e e l r a n g o d e l a m a t r i z d e l o s c o ef i ci e n t es s e a m e n o r q ue el n º de i n c ó g n i t a s , o d i c h o d e o t r a f or m a , qu e e l d e t e r mi n a n t e d e l a m a t ri z d e l o s c o ef i c i e n t e s s e a n ul o .

r < n

Re s ol uc i ón de s iste ma s homogé neos

6 Dr. Rodolfo Márquez [email protected]

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r = 3 n = 3

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Di s c us i ón de s is te ma s

E n e s t e t em a , d i s cu t i r e m o s l o s s i st e m a s d e e c u a c i o n e s c o n p a r á m et r o s

ut i l i z an d o

d e t e r mi n a n t es

y

el

teor ema

Rouché-

Fröbenius.

1 . H a l l a m o s el r a ng o d e l a m a t ri z d e l o s c o ef e c i e nt e s .

2 . H a l l a m o s el r a ng o d e l a m a t ri z a mp l i a d a.

8 Dr. Rodolfo Márquez [email protected]

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3 . A p l i c a m o s e l t e or e m a d e R o u c h é

4 . R e s o l ve m o s e l s i s t em a c o m p a t i b l e d e t e r mi n a d o p o r l a r e g l a d e C r a m e r ( t a m b íé n s e p u e d e r e s o l ve r m e d i a n t e e l m é t o d o d e G a u ss ) .

P u e d e s c o n s u l t ar es t e ot r o m é t o d o p ar a d i s c ut i r si s t em as .

9 Dr. Rodolfo Márquez [email protected]