El diámetro de los tubos de cartón para un envase ha de estar entre 19 y 21mm. La maquina prepara tubos cuyos diámetros están distribuidos como una manual de media 19’5mm y desviación típica 1’2mm. ¿Qué porcentaje de tubos no será adecuado? a. N(19’5 , 1’2)

P(19 ≤ X ≤ 21) = P(

=P

)=

–P

= P

–P

=P

≤ Z≤

=

–

=P

= 0’8944 – 1 + 0’6628 = 0’5572

= El 55’72% no son adecuados.

El peso en gr de una pieza fabricada en serie se distribuye según una manual de media µ=52 y desviación típica Γ=6.5 se pide: a) Probabilidad de que una pieza fabricada pese más de 68gr. b) Si el 30% de las piezas fabricadas pesan más que una pieza dada ¿Cuánto pesa esta última? a) N (52 , 6.5) =P b) Xₒ??

P (X ≥ 68) = P

=P

=

= 1-0’9931 = 0’0069

1-P Me dan P (Z ≥ Zₒ) =

= 0’3

Me calculo el Zₒ / P (Z ≤ Zₒ) = 0’7000 media 0’525

El más próximo es

Esta seria la Zₒ si me hubiese pedido el 70% por abajo y como me pide el 30% mayor, es el mismo Zₒ. Zₒ =

; 0’525 =

;

Xₒ = 52 + 0.525 · 6’5 = 55’41gr es lo que pesa la última, que pesa más que el 30%.

El peso en kg de los estudiantes universitarios de una gran ciudad se supone aproximado por una distribución normal con media 60kg y desviación típica 8kg. Se toman 100 muestras aleatorias simples de 64 estudiantes cada una. Se pide: a) la media y la desviación típica de la distribución de la media muestral b) ¿En cuántas de las 100 muestras cabe esperar una media entre 59 y 61 kg? N (60,8)

n= 100 muestras de 64 estudiantes

χ y σ´ de la media muestral

= 0´8944 – 1 + 0´8944 = 0´7888

para 1 muestra

Para 100 muestras habrá 78´8  78 estudiantes

En cierta población la edad de los individuos tiene una distribución normal con una media de 32 años y una desviación típica de 8 años. a) Halla la proporción de individuos menores de 18 años. b) Si en la citada población viven 2 millones de personas, halla el nº de personas mayores de 60 años. X = {edad de la población}

N (32,8)

a ) % de x < 10 años calculamos P ( x ≤ 18 ) = P( z ≤

) = P( z ≤ -1’75 ) = P( z ≥ 1’75) =

= 1 - P( z ≤ 1’75) = 1 – 0’9599 = 0’0401 ;

% en P = 0’0401 es 4’01%

b ) nº de los 2 000 000 cuya P( x ≥ 3’5) = 1- P(z ≤ 3’5) = 1 – 0’9998 = 0’0002 → 0’02% de 2 000 000 → 400 personas

2

El tiempo de vida de una clase de depuradoras de agua utilizadas en una planta industrial se distribuye normalmente, con una desviación típica de 2.000 horas. En un ensayo realizado con una muestra aleatoria de 9 depuradoras, se obtuvieron los siguientes tiempos de vida en miles de horas. 9,5 10 7,5 10,5 16,5 10 12 32 18 (a) Hállese un intervalo de confianza al 99% para la vida media de las depuradoras. (b) Calcúlese el tamaño mínimo que debería tener la muestra, en el caso de admitir un error máximo de 500 horas, con un grado de confianza del 95%.

(a)

N(

, 2000)

n = 9 / 9,5 10 7,5 10,5 16,5 10 12 32 18

=

=

El intervalo de confianza es: Para 99% ;

=

= 14000

– = 0´005 ; 1 –

= 0´01

= 0´995

– =(

,

(b)

n? .

n>

– ( 500 h.

;

< 500 ; 1´96 · > 61,46



,

= 0,05 ; < 500 ; n = 62

) = 0,025 ; 1 – <

= 0,975 ;

; 784 <

;

= 1,96 > 784 ;

El tiempo de espera en minutos de una ventanilla se supone aproximado mediante una distribución N(,) con  igual a 3 minutos. Se lleva a cabo un muestreo aleatorio simple de 10 individuos y se obtiene que la media muestral del tiempo de espera es de 5 minutos. Determinar un intervalo de confianza del 95% para . De los datos podemos asegurar que la distribución es : N(,)

donde  = 3 min

En número de individuos de la muestra es n=10 y la media muestral es: X = 5 min Mientras no me digan lo contrario, la media de la población µ la podemos considerar _ como la X – Donde la

_ al 95% se obtiene calculando

Buscamos en los números centrales de la tabla, el valor más aproximado a 0,975 y al ser exacto, le buscamos la Z que le corresponde = 1,96

y el intervalo de confianza es

–

4

El tiempo necesario para terminar cierto examen sigue una distribución normal con media de 60 minutos y desviación estándar 10 minutos. Se pide: a) ¿Cuánto debe de durar el examen para que el 95% de las personas lo terminen? b) ¿Qué porcentaje de personas lo terminarán antes de 75 minutos?: En este ejercicio se observa que la variable tiempo para acabar un examen se ajusta a una distribución normal N(µ,σ) = N(60,10) y se pide el tiempo necesario para que la probabilidad sea de 0,95 y la probabilidad de que la variable tiempo se halle en determinado intervalo. Para resolver el problema habrá que tipificar la variable X para normalizar a N(0,1) y poder utilizar las tablas. Para tipificar la variable Z = a) P(z < r) = 0’95. Se busca en la tabla el valor de z al que le corresponde 0’95 y es por defecto z = 1’645 1’645 =

; 16’45 = x- 60

b) P(x < 75) = P (z <

x= 76’45 minutos

) = P (z < 1,5) = 0,9332

(1) Buscamos en la tabla el valor correspondiente a 1,5

En cierta población humana, la media muestral χ de una característica se distribuye mediante una distribución normal. La probabilidad de que χ sea menor o igual que 75 es 0,58 y la de que χ sea mayor que 80 es 0,04. Hallar la media y la desviación típica de χ. (Tamaño muestral n = 100). N (χ, σ)

En las tablas.

75 – χ = 0´2 · 3´226

χ = 75 – 0´645 = 74´355

En la ciudad A, la edad de sus 400000 habitantes sigue una distribución normal de media 41 años y una desviación típica de 12 años. En la ciudad B, hay el doble de habitantes, la edad se distribuye normalmente con media de 47 años y desviación típica 8 años. a) ¿En cuál de las 2 ciudades es mayor la proporción de habitantes mayores de 65 años? b) ¿Cuál de las 2 ciudades tiene mayor nº de habitantes en una edad superior a 65 años? a ) A: N (41,12)

P (x ≥ 65) = P(z ≥

= 1 - 0’9772 = 0’0228 B: N (47,8)

Hay 2’28% de habitantes en A

P (x ≥ 65) = P(z ≥

= 1 - 0.9878= 0’0122

) = P ( z ≥ 2 ) = 1 – P( z ≤ 2) =

) = P( z ≥ 2’25) = 1- P( z ≤ 2’25) =

Hay 1’22% de habitantes en B

En A hay mayor proporción de habitantes que en B b ) Si en A hay 400000 → el

∙ 400000 = 9120 personas

Si en B hay 800000 → el

∙ 800000 = 9760 personas

En B hay mayor número de habitantes que en A en edad superior a 60 años 6

En una encuesta se pregunta a 10.000 personas cuántos libros leen al año, obteniéndose una media de 5 libros. Se sabe que la población tiene una distribución normal con desviación típica 2. a) Hallar un intervalo de confianza al 80% para la media poblacional. b) Para garantizar un error de estimación de la media poblacional no superior a 0,25 con un nivel de confianza del 95%, ¿a cuántas personas como mínimo sería necesario entrevistar? n = 10.000

– 95%

μ=5

σ=2

80%

En una muestra aleatoria de 256 individuos se ha obtenido una edad media de 17,4 años. Se sabe que a desviación típica de la población normal de la que procede esa muestra es de 2 años. a) Obtenga un intervalo de confianza al 95% para la edad media de la población. b) ¿Cuál debe ser el tamaño mínimo de la muestra para que el correspondiente intervalo de confianza, al 90%, tenga de amplitud a lo sumo 0,5? (PAU JUNIO 2007) a) El intervalo de confianza para la media de la población es: –

Para un nivel de confianza del 95%

Sustituyendo todos los datos en el intervalo tenemos que el intervalo de confianza para la media es:

b) La relación entre el nivel de confianza, el error admisible y el tamaño de la muestra es: Como la amplitud tiene que ser 0,5; el error admisible tiene que ser 0,25. Sustituimos los valores y despejamos:

El tamaño mínimo tiene que ser de 174.

8

En un servicio de atención al cliente, el tiempo de espera hasta recibir atención es una variable normal de media 10 minutos y desviación típica 2 minutos. Se toman muestras aleatorias del tiempo de espera de los clientes que llegan un día concreto. Se pide: a) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo medio de espera de una muestra de 25 clientes no supere los 9 minutos? b) ¿Cuál es la distribución de la media muestral, si se toman muestras aleatorias de 64 clientes? Especificar sus parámetros. a) las muestras de tamaño n obtenidas en una población de media µ y desviación típica σ, N (µ, σ), se distribuye según una normal N (µ, ) Con esto,

) = P(Z < - 2´5) = 1 – P( Z < 2´5) =

= 1 – 0´9938 = 0´0062 b) Como hemos indicado anteriormente, la distribución de medias maestrales de

tamaño 64 se distribuye según la normal N (10,

) → N (10, 0´25)

Esto es, una normal de media 10 y desviación típica 0´25.

La duración de la batería de cierto modelo de teléfono móvil se puede aproximar por una distribución normal con una desviación típica de 5 meses. Se toma una muestra aleatoria simple de 10 baterías y se obtienen las siguientes duraciones (en meses): 33, 34, 26, 37, 30, 39, 26, 31, 36, 19. Hallar un intervalo de confianza al 95% para la duración media de este modelo de batería.

La duración de las llamadas de teléfono, en una oficina comercial, sigue una distribución normal con desviación típica 10 segundos. Se hace una encuesta entre 50 llamadas y a media de duración obtenida en esa muestra es 35 segundos. Calcular el intervalo de confianza al 99% para la duración media de las llamadas.

– Donde n = 50, σ = 10,

α = 0’01, P( Z ≤ Zα/2) =

= 0,995 ==> Zα/2 = 2’58

Llevando estos valores a la fórmula del intervalo de confianza: –

10

La duración de las pilas de una linterna se distribuye según una normal con media 70 horas y desv iacion típica 2 horas. A un establecimiento, le quedan del pedido anterior 20 pilas. a) ¿Cuántas tendrán una duración superior a 70 horas?. ¿Cuántas tendrán una duración entra 75 y 82 horas?. μ

σ

Como hay 20 pilas

20 · 0´5 = 10 pilas tendrán una duración superior a 70 horas.

20 · 0´0062 = 0´124 < 1 No se espera que exista ninguna pila con duración entre 75 y 82 horas.

La duración de las rosas conservadas en agua en un jarrón es una variable aleatoria que se puede aproximar por una distribución normal con una desviación típica de 10 horas. Se toma una muestra aleatoria simple de 10 rosas y se obtienen las siguientes duraciones (en horas) : 57, 49, 70, 40, 45, 44, 49, 32, 55, 45. Hallar un intervalo de confianza al 95% para la duración media de las rosas. N(µ,10)

Donde

n= 10

57, 49, 70, 40, 45, 44, 49, 32, 55, 45

al 95% se calcula

Se busca 0´975 en la tabla y corresponde a Zα/2 = 1´96 – –

La edad a la que contraen matrimonio los hombres de la Isla Barataria es una variable aleatoria que se puede aproximar por una distribución normal de media 35 años y desviación típica de 5 años. Se elige aleatoriamente una muestra de 100 hombres de dicha isla. Sea χ la media muestral de la edad de casamiento. (a) ¿Cuáles son la media y la varianza de χ? (b) ¿Cuál es la probabilidad de que la edad media de casamiento de la muestra esté comprendida entre 36 y 37 años? (PAU Junio 2007) N(35,5) n = 100

La probabilidad de que un estudiante obtenga el título de licenciado en económicas es de 0,3. Hallar la probabilidad de que un grupo de 7 alumnos matriculados en 1º curso, a) ninguno de los 7 finalice la carrera, b) finalicen todos, c) al menos 2 acaben la carrera d) hallar la media y la desviación típica del numero de alumnos que acaban la carrera. Es una demostración binomial

B (7,0´3) es la distribución binomial a) b)

c)

d) e)

12

Las tallas de los individuos de una población se distribuyen normalmente con media igual a 175 cm y desviación típica igual a 8 cm. Calcular la probabilidad de que un individuo tenga una talla a) mayor que 180 cm, b) menor que 170 cm, c) entre 170 y 180 cm.

Se ha observado durante un largo período que la cantidad semanal gastada en mantenimiento y en reparaciones de una fábrica, tiene una distribución normal, de media 400$ y desviación típica 20$. Si el presupuesto para la próxima semana es de 450$, ¿Cuál es la probabilidad de que los costes reales sean mayores de los presupuestados?¿Cual es la probabilidad de que el coste sea inferior a 560$? En este ejercicio se observa que la variable gasto se ajusta a una distribución normal N(µ,σ) = N (400,20) y se pide la probabilidad de que la variable gasto se halle en determinados intervalos. Para resolver el problema habrá que tipificar la variable X para normalizar a N (0,1) y poder utilizar las tablas. Para tipificar la variable Z = (1 )

(2 )

) = P (z > 2,5) = 1 - P (z ≤ 2,5) = 1 – 0’9938 = 0’0062

a) P (x > 450)= P(z >

(1)

=12,5

2,5

(2) Buscamos en la tabla el valor correspondiente a 2,5 b) P (x < 560) = P (z <

= P (z < 8) = 1(1) )

(1) Como el 8 se sale de la tabla tomamos la máxima que es 1

14

Se supone que la recaudación diaria de los comercios de un barrio determinado es una variable aleatoria que se puede aproximar por una distribución normal de desviación típica 328€. Se ha extraído una muestra de 100 comercios de dicho barrio, obteniéndose que la recaudación diaria media asciende a 1248, Calcular: a) El intervalo de confianza para la recaudación diaria media con un nivel de confianza del 99% b) El tamaño muestral mínimo necesario para conseguir, con un nivel de confianza del 95%, un error en la estimación de la recaudación diaria media menor del 127€. (PAU Septiembre 2007)

) , y a un nivel de confianza del 99% le corresponde un

valor critico

0,005

0,005

0,99

Z 2 0,995

El intervalo de confianza para la media será:

–

–



= 1248  2,58.



328 328  ;1248  2,58.  = (1163,37 ; 1332,62) 100 100 

b) El nivel de confianza es 1- α = 0,95 y el valor crítico obtenido en la tabla de distribución normal es: El error máximo es:

E

Z  328 .  1,96.  127 2 n n

0,025

0,025 0,95

2

 1,96.328  n   25, 62  127 

0,005

Z 2 0,975

Por tanto, el tamaño de la muestra mínimo debe ser, al menos, de 26 comercios.

Un almacen de camisas ha determinado que el cuello de los varones adultos se distribuye normalmente con media 38 cm y desviación típica 1’5 cm. Con el fin de poder preparar la producción de la próxima temporada y teniendo en cuenta que su producción esta en 10000 camisas. ¿Cuántas camisas de los números 35, 36, 37, 38 y 39 tendran que fabricar?. ¿Cuántas habrá de fabricar del nº 43?.

Habra 12 camisas del nº 43 16

Un fabricante de electrodomésticos sabe que la media de estos sigue una distribución normal con media  = 100 meses y desviación típica  = 12 meses. Determínese el mínimo tamaño muestral que garantiza, con una probabilidad del 0,98, que la vida media de los electrodomésticos en dicha muestra se encuentra entre 90 y 110 meses. Como el intervalo 90,100 = 100  10,100  10 , se esta dispuesto a admitir un error máximo de 10 (   10 ) con una confianza del 98%.



siendo  la desviación típica poblacional,  / 2 el valor n correspondiente en la tabla normal para una confianza de 1 -  y n el tamaño muestral. En nuestro caso para el 98% de confianza (  = 0,02),  / 2 = 2,33 Luego se tiene: Como     / 2

10 > 2’33 .

12 n

 n > 7’81. La muestra debe contener un mínimo de 8 elementos.

Una variable aleatoria tiene una distribución normal de media  y desviación típica . Si se extraen muestra aleatorias simples de tamaño n, a) ¿Qué distribución tiene la variable aleatoria media muestral  ? b) Si se toman muestras de tamaño n=4 de una variable aleatoria X con distribución N ( 165,12 ), calcúlese P ( > 173´7 ) N (  ,  ) n muestra . La  tiene una distribución normal ) con la misma

P(

> 173,7 )  tipificar

=

P ( Z > -1,45 ) = P ( Z < 1,45 ) = 0,9265

Una variable tiene una distribución normal de media  y desviación tipica  . Si se extraen muestras aleatorias simples de tamaño n: a) ¿ qué distribución tiene la variable aleatoria media muestral X ? b) Si se toman muestras de tamaño n = 4 de una variable aleatoria X con distribución N(165, 12), Calcúlese P( X > 173,7) a) La variable aleatoria muestral X obtenida de una N(  ,  ) se distribuye como

    una normal N   , n  b) Para N(165,12) la distribución de las medias muestrales de tamaño 4 se comportan como una normal N(165,6)  173,7  165  P( X > 173,7) = P  Z   = P(Z > 1,45) = 1 – 0,9265 = 0,0735 6  

18

El tiempo en minutos dedicado cada día a escuchar música por los estudiantes de secundaria de una cierta ciudad se supone que es una variable aleatoria con distribución normal de desviación típica igual a 15 minutos. Se toma una muestra aleatoria simple de 10 estudiantes y se obtienen los siguientes tiempos (en minutos): 91 ; 68 ; 39 ; 82 ; 55 ; 70 ; 72 ; 62 ; 54 ; 67 a) Determínese un intervalo de confianza al 90% para el tiempo medio diario dedicado a escuchas música por un estudiante. b) Calcúlese el tamaño muestral mínimo necesario para conseguir una estimación de la media del tiempo diario dedicado a escuchar música con un error menor que 5 minutos, con un nivel de confianza del 95%.   15 min .

n =10 X =

a) al 90%

:

P (Z<

 

’ ’

= 0’95

) =

α α

’ ’

= 1’645 σ

Intervalo de confianza ; = ( 66 - 1’645·

15 10

c)

1’96 

, 66 + 1’645·

 n

;

al 95%

p ( Z<

15 n

< 5

)=

1'96  15 < 5

σ

α

α

15 10

) = (58’22 , 73’78)

 n

==>

==>

n

=

5’88 <

= 1’96

n ; n > (5’88)2

A partir de n = 36 estudiantes podemos asegurar con un nivel de confianza del 95% que el error cometido es menor que 5

El rendimiento por hectárea de las plantaciones de trigo en una cierta región, se supone que es una variable aleatoria con distribución normal de desviación típica igual a 1 tonelada por hectárea. Se ha tomado una muestra aleatoria simple de 64 parcelas con una superficie igual a 1 hectárea cada una, obteniéndose un rendimiento medio de 6 toneladas. a) ¿Puede asegurarse que el error de estimación del rendimiento medio por hectárea es menor que 0’5 toneladas, con un nivel de confianza del 98%? Razónese. b) ¿Qué tamaño muestral mínimo ha de tomarse para que el error en la estimación sea menor que 0’5 toneladas con un nivel de confianza del 95%?

N ( , 1)

n = 64 parcelas a 1 hectárea cada una

  0'5

P (Z<

X = 6 tn.

= 2’33

)= 2

a) |

·

b) P (Z<

1’96 

 1 2'33 | < 0’5 ; 2’33 · < 0’5 ; Como < 0’5 8 n 64 )=

1 n

1  0'95 = 0’975 ; 2

< 0’5 ;

1'96 < 0'5

n ;

Si se puede asegurar

= 1’96

n > 3’92 ; n >

; A partir de n = 16

podemos asegurar con un nivel de confianza del 95 % que el error es menor que 0’5 toneladas

20

HIPOTESIS DE CONTRASTE

Se sabe que la renta anual de los individuos de una localidad sigue una distribución normal de media desconocida y de desviación típica 0,24 millones. Se ha observado la renta anual de 16 individuos de esa localidad escogidos al azar, y se ha obtenido un valor medio de 1,6 millones de pesetas. Contrástese, a un nivel de significación del 5%, si la media de la distribución es de 1,45 millones de pesetas. a) ¿Cuáles son las hipótesis nula y la alternativa del contraste? b) Determínese la forma de la región crítica. c) ¿Se acepta la hipótesis nula, con el nivel de significación indicado? a) Hipótesis nula

Ho : µ = 1,45

En la hipótesis alternativa pueden considerarse dos opciones: [2] Hi : µ ≠ 1,45 (en sentido genérico) [2´] Hi : µ > 1,45 (es lo que sugiere que χ = 1,6) b) Para [2], la región crítica la constituyen las dos colas: χ < µ - Z α/2 · σ/ √n, por la izquierda, y χ > µ + Z α/2 · σ/ √n, por la derecha. En nuestro caso: χ < 1,45 – 1,96 · 0,24 / 4 y χ > 1,45 + 1,96· 0,24 / 4  χ ε (1,3324 , 1,5676) Para [2´], la región crítica la constituye la cola derecha: χ > µ+ Zα/2· σ/ √n

P (Z≤ Zα/2 )

0,9495 → Zα/2 = 1,64 0,9505 → Zα/2 = 1,65

Zα/2 = 1, 645

En nuestro caso: χ > 1,45 + 1,645 · 0,24 / 4 χ > 1,5487.  χ ε (1,5487, ∞) c) Tanto en [2] como en [2´] hay que rechazar la hipótesis nula, pues 1`6, que ha sido la media obtenida en el muestreo, es mayor que 1`5487, respectivamente. En los dos casos la media muestral cae dentro de la región crítica y no dentro del intervalo de confianza.

Un investigador afirma que las horas de vuelo de cierto tipo de aviones comerciales se distribuyen normalmente, con una media de 200.000 horas y una desviación típica de 20.000 horas. Para comprobar la veracidad de su hipótesis, obtuvo una muestra aleatoria de 4 aviones de distintas compañías aéreas, fuera ya de ser-vicio, y anotó el número de horas de vuelo de cada uno, resultando los siguientes datos (en miles de horas): 150 320 270 140 (a) Plantéense cuáles son las hipótesis nula y alternativa del contraste. b) Realícese el contraste con un nivel de significación del 5 %. N (200000, 20000) N(

,

muestra: 150

)

= 220000 horas

320

270

140

=

n=4

La hipótesis nula / = µo si ε (a, b) La hipótesis de contraste / µ ≠ µo si (a, b) = 5%

nivel de confianza 95%

= 0,05;

= 0,025 P [Z < El intervalo de confianza será: (µ – · , µ+ ·

;

) = (200 – 1,96·

= 1,96

, 200 + 1,96 ·

)=

(200 – 19,6 , 200 + 19,6) = (180,4 , 219,6) = 200

(180,4 , 219,6) luego hay hipótesis de contraste

/ µ ≠ 200000 horas.

22