2° BACH(CN)

TEMA S.- PUNTOS. RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO.

TEMA 5.- PUNTOS, RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO. 1.- PUNTOS. Sistema de referencia: formado

Un sistema de referencia en el espacio 913 consiste en un conjunto

por un punto fijo,

O, llamado

origen y una terna

B = {t,],k},

de vectores

que

llamaremos base. Todo punto A del espacio 913 tiene asociadas unas coordenadas respecto de un sistema de referencia. Estas coordenadas son equivalentes a las coordenadas del vector fijo DA en la base del sistema de referencia.

- - - -- - - - ';'1 ,

I 1

I

, 1

, I

I 1

I

---7

-7

-7

L

I

---7

-)

OP:= ai +: bj + ek 1

O

-7 }-<

I

J

1

I

,

1

--:7

I

j

1

-;-)

-¿

~

/.-'"

ai

1

I

•.. -----;. bJ"

,,'

v

- - - - -

I "

Se llama geometría vectorial a la geometría que sólo se ocupa de vectores y qeometría afín a la que además utiliza puntos del espacio. Por ejemplo, una suma de vectores correspondería a geometría vectorial, pero si queremos calcular un punto a una cierta distancia de otro punto dado ya estaríamos trabajando dentro de la geometría afín: B=A+A'¡¡ Coordenadas puntos

del vector

P(PPP2,pJ

operación PQ = OQCoordenadas del y Q(QI'Q2,Q3)

que une dos puntos: y

OP

Q(qpq2,q3)

vienen

Las coordenadas dadas

por

el

de un vector resultado

que une los

de

realizar

la

y son PQ = (q¡ - Ppq2 - P2,q3 - P3)'

punto medio de un seqmento: Dado el segmento PQ, donde P(PPP2,P3)

son sus puntos extremos,

semi-suma de las coordenadas, es decir,

se calcula el punto medio del segmento haciendo la

M

=

¡ ¡, 2 2, 3 3. (p 222 +Q P +Q P +Q )

Coordenadas del punto simétrico de un punto respecto de otro: El simétrico de P(PI'P2,pJ respecto

de Q(QpQ2,Q3)

es P'(a,fJ,S)

si Qes el punto

medio del segmento

PP'.

Las

coordenadas de P' se calculan despejando de las siguientes igualdades:

Q

¡-_

p¡

+a

2

Observación: estas últimas fórmulas no es necesario aprendérselas, basta con saber cómo hallar el punto medio de un segmento.

DAVID RIVIER

SANZ

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TEMA 5.- PUNTOS. RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO.

2° BACH(CN)

2.- RECTAS EN EL ESPACIO. ECUACIONES Una recta por el que pasa.

en el espacio

Dado el punto

viene

determinada

y el vector

P(PPP2,P3)

por una dirección cualquier

ii=(Ul,U2,U3)

tiene por dirección al vector u y pasa por el punto P se puede sumándole una cierta cantidad de veces el vector ii . De esta forma Q=P+tii,

tE9t,

Igualando

construimos

que expresada

las coordenadas

la

(un vector)

construir

punto a partir

y un punto

de la recta que del punto P y

ecuación vectorial de la recta:

en coordenadas

obtenemos

y =

P2

las

equivale

a

ecuaciones Daramétricas de la recta:

+ tU2

con t E

iR

+

{XZ=P3+tu3 = p¡ tUl

Eliminando

el parámetro

t en la ecuación

anterior,

obtenemos

recta:

la

ecuación continua de la

Observación: Esta notación puede ser utilizada en el caso en el que alguna coordenada del vector ii sea nula, siempre y cuando comprendamos que su significado es sólo notacional.

De esta ecuación continua obtenemos dos ecuaciones (ya que hay despejándolas llegamos hasta las ecuaciones imDlícitas de la recta:

dos

signos

"="),

y

A' x + By + C' = Z = {AX+BY+CZ DD'

Observación: En realidad cada una de estas ecuaciones es un plano, luego la recta vista en ecuaciones implícitas es en realidad la intersección de dos planos que se cortan en ella.

DAVID RIVIER

SANZ

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2° BACH(CN)

TEMA S.- PUNTOS. RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO.

3.- PLANOS EN EL ESPACIO. ECUACIONES Un plano en el espacio viene determinado el que pasa.

por dos direcciones (dos vectores) y un punto por

y los vectores

Dado el punto P(P¡,P2,P3)

y

U=(Ul,U2,U3)

V=(Vl,V2,v3)

(linealmente

independientes) cualquier punto del plano se puede obtener a partir del punto P y sumándole una combinación lineal de los vectores u y v. De esta forma construimos

ecuación vectorial del Dlano:

t, s E m, que expresada en coordenadas equivale a

Q = P + tu + SV,

Igualando

la

las coordenadas obtenemos

las

ecuaciones Daramétricas del Dlano:

con t,s E m

y = P2 + tU2 + sV2 {X

z == P 31 + tu 31 + SV 13

Como los vectores son linealmente independientes, el rango de la matriz formada por ambos será 2. De igual modo, si añadimos la columna de términos independientes (considerando como variables a t y a s), el rango también será 2. Por tanto el determinante debe ser cero.

yz{X-

P2 -tu2

+sv2

P3 +sv3 Pl =tu3 :tuI +svI

De esta forma se obtiene la el determinante:

rg

y-

P~

v2

z-

P3 P

v3 Vlj

[X-

=2

~

Y-P2 Z x-

P3 Pl

ecuación C1eneralo imDlícita del Dlano, resultando al operar

Ax + By + Cz + D = O

donde A,B,C,D

E

m

Observación: Dado que la ecuación general del plano se obtiene del determinante en el que dos de sus columnas son los vectores directores, la operación equivale a hacer el producto vectorial de ellos. Por lo tanto el vector (A,B,C) es un vector perpendicular al plano, llamado

vector normal. La ecuación de un plano a partir de un punto P y de un vector normal a viene dada por: ~,

------------------------------------,

DAVID RIVIER

SANZ

3/6

TEMA 5.- PUNTOS. RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO.

4.- POSICIONES

2° BACH(CN)

RELATIVAS

A) POSICIONES

RELATIVAS DE DOS PLANOS

Dados dos planos

existen varias posibilidades en cuanto a la ¡r':: A'x+By+C'z {¡r Ax + By + Cz = =D D' posición relativa entre ellos: pueden cortarse en una recta, pueden ser paralelos o pueden ser coincidentes. Para estudiar en cuál de los casos estamos, recurrimos a estudiar el rango de la matriz del sistema (M) formado por los dos planos y el rango de la matriz ampliada (M '). Esto es lo mismo que estudiar el número de soluciones que tiene el sistema: i)

ii)

iii)

Si rang(M)=rang(M')= 1 el sistema es compatible indeterminado. En particular una ecuación es proporcional a la otra, por lo tanto los planos serán coincidentes, es decir, son el mismo plano. Si rang(M)=rang(M ')=2 el sistema es compatible indeterminado, pero en este caso se cortarán en una recta (porque hay infinitas soluciones, pero no son coincidentes. Esas infinitas soluciones forman una recta, que ya vimos en el apartado 1, en las ecuaciones implícitas de una recta). Se llaman secantes. Si rang(M)= b= 2=rang(M') entonces el sistema es incompatible, por lo tanto no existe ninguna solución, es decir, ningún punto pertenece a los dos planos a la vez, por lo tanto serán paralelos.

Observación: dos planos serán paralelos si tienen el mismo vector normal, ecuaciones, omitiendo el término independiente, son proporcionales.

B) POSICIONES

Dados tres planos

RELATIVAS DE TRES PLANOS

+ By + C' z = D' , existen varias posibilidades en cuanto a la ¡r": A"+x By + B" y +=C" {¡r : Ax + Cz D z = D" ¡r': A' x

posición relativa entre ellos: o cortarlos, pueden ser los cortarse los tres en la misma ello dependerá de los rangos i)

ii)

iii)

iv)

v)

DAVID RIVIER

es decir si sus

pueden ser coincidentes los tres, o dos de ellos y el otro paralelo tres paralelos, pueden cortarse entre ellos dos a dos, pueden recta o incluso pueden cortarse los tres en un único punto. Todo de la matriz de coeficientes (M) y de la matriz ampliada (M'):

Si rang(M)=rang(M ')=1 el sistema es compatible indeterminado, pero además sabemos que todas las filas son proporcionales, por lo que estamos hablando de planos coincidentes. Si rang(M)=bó 2=rang(M') el sistema es incompatible, no existe ninguna solución y por tanto existen dos posibilidades: que los tres planos sean

paralelos o que dos sean paralelos y el tercero coincidente con uno de ellos (esto dependerá de si una de las ecuaciones de proporcional a otra o no). Si rang(M)=2=rang(M') el sistema es compatible indeterminado, por lo tanto tenemos infinitas soluciones. De nuevo tenemos dos posibilidades: que los tres planos se corten en una recta o que dos sean coincidentes y el tercero los corte en una recta (este caso ocurrirá cuando dos de las ecuaciones sean proporciona les). Si rang(M)=2;t 3=rang(M') El sistema es incompatible, es decir no existe ninguna solución, o lo que es lo mismo, no hay ningún punto perteneciente a los tres planos a la vez por lo que podemos estar ante tres planos paralelos o dos paralelos y el tercero cortarlos (esta última posibilidad depende de que haya dos ecuaciones proporcionales excepto en su término independiente). El sistema es compatible determinado por lo tanto Si rang(M)=3=rang(M') tiene una única solución, entonces los tres planos se cortan en un punto. Para calcular ese punto sólo habrá que resolver el sistema. SANZ

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2° BACH(CN)

TEMA S.- PUNTOS. RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO.

C) POSICIONES RELATIVAS DE UNA RECTA Y UN PLANO

Dados una recta y un plano: r: {AX+BY+CZ A'x+By+C'z 7r :

= =D D'

,existen

varias posibilidades en cuanto

A" x + B" y + C" z = D

a la posición relativa entre ellos: Pueden cortarse en un punto, pueden ser paralelos o puede que la recta pertenezca al plano. Todo ello dependerá una vez más de los rangos de las matrices asociadas. En este caso partimos de que el rango de la matriz M no puede ser 1, ya que los dos primeros planos determinan una recta y por tanto no pueden ser paralelos. i)

ii) iii)

luego hay Si rang(M)=2=rang(M '). El sistema es compatible indeterminado, infinitas soluciones, por lo tanto la recta estará contenida en el plano. Y las soluciones coinciden con los puntos de la propia recta. Si rang(M)=27o 3=rang(M '). El sistema es incompatible, por lo tanto no existe ningún punto en común, es decir, la recta es paralela al plano. Si rang(M)=3=rang(M'). El sistema es compatible determinado, por lo tanto existe una única solución, la recta corta al plano (el punto en el que se cortan la recta y el plano será la solución del sistema).

D) POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS

A'x+By+C'z = =D D' r :{AX+BY+CZ

s:

ax+by+cz

=d

Dadas dos rectas: { a'x +by +c' z = d' , existen varias posibilidades en cuanto a su poslclon relativa: pueden ser coincidentes, pueden ser paralelas, pueden cruzarse (sin cortarse) y, por último, pueden cortarse en un punto. De nuevo hay que estudiar los rangos de las matrices del sistema. En este caso el rango de M es al menos 2, ya que cada dos planos está definida una recta. i)

ii)

iii) iv)

Si rang(M)=2=rang(M infinitas soluciones, por

El sistema es compatible indeterminado, existen lo tanto las dos rectas deben ser la misma, son

coincidentes. Si rang(M)=27o 3=rang(M '). El sistema es incompatible,

ningún punto en común. Como el rang(M' dos rectas, por lo tanto son paralelas (por Si rang(M)=3=rang(M'). El sistema es dos rectas se cortan en un punto. Si rang(M)=3 * 4=rang(M '). El sistema ningún punto en común, pero en este caso

cruzan.

DAVID RIVIER

').

SANZ

por lo tanto no existe )=3, hay un plano que contiene a las ser coplanarias y no cortarse). compatible determinado, por tanto las es incompatible por tanto no existe las rectas no son coplanarias, luego se

5/6

TEMA

5.- PUNTOS,

2°

RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO.

BACH(CN)

RESUMEN COINCIDENTES SECANTES PARALELOS

7[': A' x { ". : Ax

RELATIVAS DE DOS sistema formado Dar PLANOS los dos Dianas v M' la matriz ')=1 amDliada. rang(M)=rang(M

+ By + C' z = D' + By + Cz = D

SE CORTAN COINCIDENTES EN UN PUNTO DOS COINCIDENTES DOS DOS PARALELOS PARALELOS Y EL OTRO YY EL UNO LOS OTRO COINCIDENTE CORTE LOS EN CORTA UNA RECTA

SEy CORTAN EN UNA RECTA rang(M)=rang(M PARALELOS PARALELOS stema formado por los tres planos M' la')=1 matriz amnliada. ') POSICIONES RELATIVAS DE TRES PLANOS

.

7[': A' X

+ 7[": By +A" C' Xz + = B" D' y + C" z = D" rAx+~+Q~D

RECTA SE CORTAN CONTENIDA EN UN ENAL PUNTO EL PLANO PLANO RECTA PARALELA

ado Dar la recta v el Diana v M' la matriz ')=2 amDliada. rang(M)=rang(M ECTA Y UN PLANO r: A' X + By + C' z = D'

7[:

{AX+ By+Cz~ D = D A"x+B"y+C"z

COINCIDENTES SE CRUZAN PARALELAS SECANTES (EN (COPLANARIAS) PUNTO)

S DE DOS RECTAS rang(M)=rang(M ')=2 a formado Dar las rectas v M' la matriz amDliada.

a' X + by + e' z A'x+By+C'z

DAVID RIVIER SANZ

==d'D'

r : { Ax + By + Cz ~ D S: {ax+bY +CZ ~ d

6/6

{.?

fN

EC.

TA S

éL

s~

Puntos

s~

.

)

1

I

.~

: ../G

r

• Las coordenadas de los puntos representados en esta figura son: y

TI

Escribe las ecuaciones de la recta que pasa por el PO, --7 -3, O) Y es paralela al vector --7 punto --7. --7 U X v, slendo uO, -1, 2) Y v(2, O, O).

s '~II Estudia la posición relativa de las siguientes rectas y halla el punto de corte, cuando sea posible:

x-1

x)i"ouiiu ...

(O, O,'3); (O, 3, 3); (3, 3, 3); (3, O, 3); (3, 0, O); (3, 3, O); (O, 3, O); (O, 3/2, 3); (0, 3, 3/2); (3, 3/2, O); (3, O, 3/2)

y+2

z-l

x-1 y-1 --=--=--1 2

z-2

-3- = -2- = -4x+2 _y-3 _z-2 s:--------1 2 3

a) r:

b)1':

x-4 y-4 S·--=--=--

Asocia a cada punto sus coordenadas.

.

2'

¡Comprueba si los puntos A O, -2, 1), B(2, 3, O) Y C(-l, 0, -4) están alineados.

4

1

x

c) r: - = y 2

,.;si

D'

i:i~

Calcula a y b para que los puntos AO, 2, -1), B(3, 0, -2) Y C(4, a, b) estén alineados. .

--7

1 z-5

z+l

1 = -- 3

s· . {'X- 3y-z+ 2y-

3--7

2

11

=

O O

¡Halla los puntos P y Q tales que AQ = -::-AB ) --72--7

AP ="3 AQ, siendo A(2, 0,1) Y BO, 5, -4). !J:

rty

'Halla el simétrico del punto A (-2, 3, O) respecto del punto MO, -1, 2). Los puntos AO, 3,-1), B(2, 0, 2) Y C(4, -1, -3) son vértices consecutivos de un paralelogramo. Halla el cuarto vértice, D, y el centro del paralelogramo.

3 6A 43 + + 8A + 4A

s'~;]¡ Obtén

el valor de a para el cual las rectas r y s se cortan:

r: x = y= z- a 2x-1 y+3 z-2 s·---=--=-. 3 -2 O~

Redas , ¡Escribe las ecuaciones de la recta que pasa por los puntos A (-3, 2, 1) Y B(-;,

s:. yz== {x=

;, o).

g Comprueba si existe alguna recta que pase por los puntos P(3, 1, O), Q(O, -5, 1) Y R(6, -5, 1). (;; Escribe las ecuaciones paramétricas y las ecuaciones implícitas de los ejes de coordenadas. s 'í (~ ¡Halla las ecuaciones (paramétricas, implícitas, forma continua ... ) de la recta que pasa por el punto A (-4, 2, 5) Y es paralela al eje OZ.

Calcula el punto de corte de r y s para el valor de a que has calculado . •e- En s, divide por 2 el numerador y el denominador de la primera fracción.

s íl¿¡, • Halla los valores de m y n para que las rectas r y s sean paralelas:

r:

y=3+ A A {Xz== 5 -+ 4A

x y-1 S:-=--=--

m

3

z+3

n

I a) Balla

'i S

da por los planos

1

¡

i

r

el vector director de la recta determina. {x- y+z=2 y =O

.

í b)

I

523 .puntos Escribe SIguIentes: l~ e:uación del piano que pasa por los 1

Escribe las ecuaciones paramétricas de la rec-

0(0, O, O), A(2, 2, O), B(1, 1, 2)

1

Estudia la posición relativa de la recta y el plano

l¡

siguientes:~_ x- 3 y +

524

I ta anterior. 1@ IExpresa la siguiente recta como intersección de

1

planos: ~ x y+ 1

ilr:-=--=z 2 -1

.

z

1

¡r:-2-=-1-= -1 ,

I In: x - y + Z -

Idos ¡

I,

3=O

1

1

52~ ¡Determina las ecuaciones paramétricas del pla-

!1 5 ti' 1. ¿Se puede unrectas triángulo r y que s? tenga dos de sus ladosconstruir sobre las

no SIguIente: ~u~ contiene al punto P(2, 1, 2) Y a la rec-

! ta

1,

1

ii ! x-l r: --

1

j

¡¡

2

=y =

s: y = -1 + A A {X z== 2A

z+1

i ¡

I

•r: --

=y = z - 2 s: ~ {x - 2z = 5 2 2y = 11 ¡a) Comprueba que r y s son paralelas. Ix

¡

¡b) Halla

1

-t

-t

por e~unto i! b) Pasa normal es n (5, -3,

1

Ixc) Perpendicular

I ¡

~

2@

I¡

Ii

a la recta

?-

y+1

= --

-1

!En caso afirmativo, escribe la ecuación del pla-

! no que los contiene.

z

523

1

1

¡Escribe las ecuaciones paramétricas de los planos: la)

¡i

521 1¿Son coplanarios los puntos A 0, O,O), B (O, 1, O), C(2, 1, O) Y D(-l, 2, 1)?

de los las planos Oxy' OYZ, OXZ. e implícitas Halla ecuaciones paramétricas

j

z=3

2! ¡¡¿Cuáles

b)x

=-1

la ecuación implicita del plano que contiene a r y a s.

1

= - y que 3

pasa por el punto (1, O, 1).

¡

~

P(2, -3, 1) Y su vector -4). .

x-

i

I I

-1

1

: 51~ ¡Halla la ecuación implicita de cada uno de los siguientes planos: a) Determinado por el punto A (1, -3, 2) Y por los vectores u(2, 1, O) Y v(-l, O, 3).

z-4 -3

-1

! 526 ¡Considera las rectas siguientes: !

¡Planos 1

1

r:x-2=--=-y-3

1

Estudia la posición relativa de los hes planos en cada uno de los siguientes,.casos:

a)

I 1

3y + 2z -

1

=

O

z- 3 =O x++ 2y y+- z-2=0

{X

-.-

c) y = 2 1

el vector normal del plano

x

= -1?

b)

I

x-y

+ Z- 2 =O

3x-y+z-4=O {2x-Y+Z-3=O

I1 Escribe las ecuaciones de una recta perpendicu-

lar-a ese plano que pase por A (2, 3, O). 522 1 Calcula m y n para que los planos siguientes 1 sean paralelos: 1

! c) 1

3x + y - 2z

=O

{X-Y+Z-l=O 2x + 2y - 3z + 4 = O

"""

¡

ja:mx+y-3z-1=0 1

Ip: 2x + ny - z I¿Pueden ser 1

IX

3=O y pcoincidentes?

5291I punto CalculaAla(1, ecuación plano que determinan el O, 1) .Ydel la recta:

I 1

r: { 2x-y+2z x +y - z +

1

= O =0

Halla la ecuación del plano que contiene a la Calcula b para que las rectas r y s se corten. ¿Cuál es el punto de corte?

recta r:

x-1 y+5 z+l r·--=--=-. 2 -3 2 x y-b s·_=--=-. 4 -1

x-3 y+1 s·--=--=-

z-l 2

. 5

s:'~é";

s~: i Determina,

en cada' C'dSO, el valor de k para que las rectas r y S sean coplanarias. Halla, después, el plano que las contiene:

a)

x y-k r·-=--=.1 1

z

°

1-1e

{Xz==

-11 ++ lele

3A

z -3

2

Calcula el valor de m para que los puntos O, 1), BCO, 1, 2), C(1, 2, 3) Y DO, 2, 1) estén en un mismo plano. ¿Cuál es la ecuación de ese plano?

Dado el plano

1(;:

y-2 -1

x-1

y=

yes paralelo a:

le le

AÚn,

r: -s:

y = -1{Xz== 2 +

z+l

= --

1

2x - 3y + Z = O Y la recta

= __

2'

o

halla la ecuación del

"

plano que contiene a la recta r y es perpendicular al plano 1(;.

b) r: x - 6 = y - 3 _ z - 3

3

s:

2 --1-

Halla las ecuaciones de la recta determinada por la intersección de los planos 1(;1 y 1(;2:

y = 4 + kle {Xz==

36 +21e + 61e

z== 1tI: {Xy

Halla la ecuación del plano que pasa por los puntos A(2, 2, 1), B(6, 1, -1) Y C(O, -2, -1) de dos formas distintas:

Dadas la recta r, determinada por los puntos (1, 1, 1) Y B(3, 1, 2), Yla recta:

-2=0 {X y -2z-1=0

estudia su posición relativa y halla, si existe, la ecuación del plano que las contiene. Halla la ecuación del plano que. pasa por los puntos A(1, 3,2) Y B(-2, 5, O) yes paralelo y=

2+

{Xz=-2 = 3

A.

-3A - le

1(;2: X

1t: Z

r:

b) Llamando ax + by + cz + d = O al plano y obligando a que los tres puntos cumplan la ecuación. Se obtiene, así, un sistema de ecuaciones.

alarecta

+ - Jl. Jl.

31e 31e

z=3

+y -

Estudia la posición relativa de la recta y el plano siguientes:

a) Mediante vectores.

s:

32 -

{Xy=2 =3

=

1 \

Sean la recta

1":

ax - y

2

+

4z-

2x -z+3=0 {3X-y+Z ";0

yel plano

= O.

a) Calcula el valor de a para que lela al plano.

r sea para-

b) ¿Existe algún valor de a para el cual r sea perpendicular al plano? Dados la recta r: "

{X

y-- 2z+ z- 43 _-= OO

Yel plano

+ 2y + 3z - 1 = O, halla la ecuación de una recta s contenida en el plano 1(; que pase por el punto PC2, 1, -1) Y sea perpendicular al'.

1(;: X

• El vector dirección de s ha de ser f!mpendicular al vector dii-ección de r y al vector ndFiiUlIdel plano.

Halla la ecuación de una recta que cumpla las condiciones siguientes:

Halla las ecuaciones de la recta r que pasa por el punto P(2, O,-1) Y corta a las rectas:

1) Es par